测量误差理论的基本知识
测量误差理论的基本知识
1.研究测量误差的目的是什么？
2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？
3.偶然误差有哪些特征？
4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？
5.什么是极限误差？什么是相对误差？
6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法
钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。
7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。
8.什么是观测量的最或是值？
9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。
10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？
11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问
两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？
12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？
为什么？
13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。
14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？
15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米，
中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。
16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中
误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。
17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm，
求该二点的实地距离L及其中误差m L。
18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得
倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？
19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′
55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误
差。
20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546，
346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。
21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测
多少次？
22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？
23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为
±5毫米，问全长之中误差为多少？
24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的
中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？
25. 用DJ 2经纬仪测角，其一测回方向中误差为±2″，问用该仪器施测三角形的内角，其
最大闭合差为多少？欲使三角形闭合差小于±4″，问至少应测多少个测回。 26. 等精度观测一个三角形三个内角，已知测角中误差为±10″，求三角形闭合差的中误差，
如将闭合差平均分配到各内角，求改正后三角形各内角的中误差。
27. 在普通水准测量中，每观测一次，取得一个读数的中误差约为±2毫米，若仪器欲水准
尺的正常距离平均为50米，容许误差为中误差的2倍，试求用往返测量的方法，单程路线为L 公里的高差允许闭合差为多少？
28. DJ 6经纬仪的标称精度称为一测回单方向中误差±6″，不计其他影响，使推证： （1）半测回测角中误差为±8.5″ （2）半测回单方向中误差为±8.5″ （3）一测回的测角中误差为±6″ （4）测回差的极限值为±24″
29. 若三角形的三个内角分别为α、β、γ，已知α角的测角中误差为±9″，α与β为独
立观测值，其权之比为4：2，问： （1） 由α、β计算γ角，求γ角之权； （2） 计算单位权中误差； （3） 求β、γ角的中误差。
30. 已知三角形三内角的观测值权分别为2、1/2、1/4，求该三角形闭合差W 的权倒数。 31. 图中B 点的高程由水准点BM 1经a 、b 、c 三条水准路线分别测得，设每个测站观测高
差的精度相同，若取一测站观测高差的权为30，问a 、b 、c 三段水准路线的权各是多少？两点间的高差最或然值的权又是多少？
32. 某角度的两个观测值L 1=38°50′40″，L 2=38°50′20″。其中L 1是4个测回观测值
的平均值，其每测回的中误差为±10″，L 2是9个观测值的平均值，其每个测回的中误差为±9″，试求该角的最或然值及其中误差。
测量误差理论的基本知识
第13题答案： 90°±3.6″ 第15题答案： 1.258±0.0036 第16题答案：
m 85.27575.8436.14874.42321=++=++=S S S S
cm 7.64522
2
2
2
32
22
1±=++±=++±=S S S S m m m m 第17题答案：
该二点间的实地距离为L ：L=500×I=500×0.0234=11.70 m
L 的中误差为：m 0.1m m 1002.0500±=±=?±=L m 实地距离最后结果为：11.7±0.1 m 第18题答案：
水平距离为：d=S ×cos a =247.50×cos(10o34')=243.303 m 水平距离的中误差为：
cm
0.434383)]4310sin(50.247[005.0)]4310[cos(3438)sin ()(cos 2
2222
2
22
±=??
?
???'?-+?'±=?
?
?
????-+?±=οοa S
d m a S m a m
第19题答案：
该角度的最或然值为：
02.5592454
4
.5592457.5592450.5592450.459245]['''='''+'''+'''+'''==οοοοοn L x 各观测值的最或然误差（改正数）为：
v 1=x-L 1=1".02, v 2=x-L 2=0".02, v 3=x-L 3=-0".68, v 4=x-L 4=-0".38 角度观测中误差为：74.01
]
[''±=-±
=n vv m 该角度最或然值的中误差为：37.0''±=±
=n
m
m x 第20题答案：
该距离的算术平均值（最或然值）为：
m 545.3466
573
.346550.346546.346520.346548.346535.346][=+++++==
n L x 各观测值的最或然误差（改正数）为：
v 1=x-L 1=+0.0103, v 2=x-L 2=-0.0027, v 3=x-L 3=+0.0253, v 4=x-L 4=-0.0007 v 5=x-L 5=-0.0047, v 6=x-L 6=-0.0277 距离观测中误差为：cm 8.11
]
[±=-±
=n vv m 该距离最或然值的中误差为：m m 3.7±=±=n
m m x
第23题答案： mm 10± 第24题答案： mm 20±
第25题答案： "±8.9 6测回 第29题答案：
"
±=∴==∴=
=''±=2
9 324
2:4 ,9 2
2
ββλm m P λm P :P P m a a i i a a ΘΘ又
3
4
39)29(9 180 2
2
2
2
=
∴"
±=+±=+±=∴
--=γβγβ
P m m m a r a οΘ 81324 ''±±±＝＝＝单位权中误差：λμ
第30题答案：6.5
第31题答案： 5.6235.1====x c b a p p p p 、、、 第32题答案：
25
,9 225
,39
:510
:21212
221
1===''±=±=''±=±=L L i i L L P P m P n m L n m L 则：＝令根据权的定义，的中误差均值的中误差均值λλ
3
.52053825
9020538250405389][]['''=+'
'?+'''?==οοοP PL x ：则该角度的最或然值为
6
.2343253459][][2222222
2
22
2211''±=?+?±=????? ??+????? ??±=L L L L x m P P m P P m 误差为：
则该角度最或然值的中
测量误差的基本知识
名称：测量误差的基本知识 一、基本概念 1．真值：一个物理量的真实数值称为真值。真值是难以准确测量的。 2．约写真值：足够接近真值的量，它与真值的差异可以忽略不计，称这个量为约定真值。 3．标称值：测量器具上标注的数值称为标称值。 4．示值：在测量过程中，测量仪器、仪表的指示值简称示值。 5．影响量：影响测量仪器示值的任何量称为影响量。 6．测量误差：表示测量数值与被测量真值之间的差异称为测量误差。 二、误差的来源 1．仪器误差 由于仪器本身及附件的电气和机械性能不完善而引入的误差 2．使用误差 由于仪器的安装、布置、调节不当所造成的误差。 3．影响误差 由于受外界温度、湿度、电磁场、机械振动等影响超出仪器技术条件而造成的误差。 4．人身误差 由于测量者的分辨能力、工作习惯及责任心等原因引起的误差。 5．方法和理论误差 由于采用测量方法或仪表选择不当所造成的误差称为方法误差。测量时，依据的理论不严格或用近似公式、近似值（例如π，√2，√3等）计算等造成的误差称理论误差。 三、测量误差的表示方法 1．绝对误差 指测量结果与被测量的真值之差，（因通常真值不能确定，实际上用的是约定真值，一般指被测量的算术平均值或标准值）表示为Δx=x-x0x—测量结果，x0—约定真值，Δx —绝对误差（Δx有大小和符号，其单位与测量结果的单位相同） 另：与Δx的绝对值相等但符号相反的量称为修正值。（用C表示） C=–Δx= x0–x 通过检定（校准），由上级标准仪器给出受检仪器的修正值。因此，将测得值与已知
的修正值相加，即可算出被测量的约定真值：x0=x+c 我厂仪器分内检和外检两种，检定结果若合格（兰色标签），所得修正值都在公司许可的误差内（这样才能判为合格），对使用者测量不会产生影响，故不再给出修正值，使用者可认为所用仪器的测量结果是准确的。对于“准用”的仪器，请参照“准用证”旁的准用说明，对测量结果予以修正。 2．相对误差 指测量结果的绝对误差：Δx与真值x0之比 δx=Δx/x0×100% 3．引用误差 指计量器具的示值的绝对误差与器具的特定值x lim（如计量的上限值，量程）之比即： δx lim=Δx/x lim×100% 一般x lim常指满度值，因此，也称满度相对误差，它是指仪器仪表度盘上最大的绝对误差与量程值（满度值）之比的百分数。 r m=Δx m/x m×100% r m—满度相对误差 常用r m表征仪器仪表的准确度等级，以0.5、1.0、1.5、2.5等数值表示，它是r m的分子优选系列值。 4．分贝误差 分贝误差是表示相对误差的另一方式，表示式为： 1）电压量ΔD=20lg(1+Δx/x)≈8.69×Δx/x 2）功率量ΔD=10lg(1+Δx/x)≈4.35×Δx/x 四、测量误差的分类 按误差性质可分为下列三种： 1、系统误差（恒值或有规律变化） 指在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量，所得结果的平均值与被测量的真值之差。系统误差决定测量结果的“正确”程度。按表现形式，又可分为两类：在一定的条件下测量时，其测量值与真值之间的大小和符号固定不变的误差称恒值系统误差，遵循一定规律变化的误差称变值系统误差。系统误差主要由仪器误差、使用误差、影响误差（温度、湿度等环境影响），方法和理论误差等。消除系统误差
4测量误差基本知识(精)
四、测量误差基本知识 1、测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么？ 2、产生测量误差的原因有哪些？偶然误差有哪些特性？ 3、何谓标准差、中误差和极限误差？ 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值x、一测回的中误差m及算术平均值的中误差m x。 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差?=α+β+γ-180?，其结果如下：?1=+3"，?2=-5"，?3=+6"，?4=+1"，?5=-3"，?6=-4"，?7=+3"，?8=+7"，?9=-8"；求此三角形闭合差的中误差m?以及三角形内角的测角中误差mβ。 图4-1 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）α和β，其测角中误差均为m=±20"，根据角α和角β可以计算第三个水平角γ，试计算γ角的中误差mγ。 15
16 7、量得某一圆形地物直径为64.780m ，求其圆周的长S 。设量测直径的中误差为±5㎜，求其周长的中误差m S 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长a =100m ，a m =±25mm ；按S=4a 计算周长和P=a 计算面积，计算周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 9、某正方形测量了四条边长a 1=a 2=a 2=a 4=100m ，m = m = m = m =±25mm ；按 S=1a +2a +3a +4a 计算周长和P=（1a ?2a +3a ?4a ）/2计算面积，求周长的中误差s m 和面积的中误差p m 。 10．误差传播定律应用 （1）（1）已知m a =m c =m ，h=a -b ，求h m 。 （2）已知a m =m =±6"，β=a -c ，求βm 。 （3）已知a m =b m =m ，S=100(a -b) ，求s m 。 （4）已知D=( ) h S -，s m =±5mm ，h m =±5mm ，求D m 。 （5）如图4-2，已知x a m =±40 mm ，y a m =±30 mm ； S=30.00m ，β=30? 15'10"，s m =±5.0mm ，βm =±6"。求P 点坐标的中误差x p m 、y p m 、M （M=m m + ）。
测量误差及数据处理的基本知识
第一章 测量误差及数据处理的基本知识 物理实验离不开对物理量的测量。由于测量仪器、测量方法、测量条件、测量人员等因素的限制，测量结果不可能绝对准确。所以需要对测量结果的可靠性做出评价，对其误差范围作出估计，并能正确地表达实验结果。 本章主要介绍误差和不确定度的基本概念，测量结果不确定度的计算，实验数据处理和实验结果表达等方面的基本知识。这些知识不仅在每个实验中都要用到，而且是今后从事科学实验工作所必须了解和掌握的。 1.1 测量与误差 1.1.1测量 物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量。测量就是借助仪器用某一计量单位把待测量的大小表示出来。根据获得测量结果方法的不同，测量可分为直接测量和间接测量：由仪器或量具可以直接读出测量值的测量称为直接测量。如用米尺测量长度，用天平称质量；另一类需依据待测量和某几个直接测量值的函数关系通过数学运算获得测量结果，这种测量称为间接测量。如用伏安法测电阻，已知电阻两端的电压和流过电阻的电流，依据欧姆定律求出待测电阻的大小。 一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如车速的测量，可以直接用测速仪进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。 一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。 1.1.2 误差 绝对误差 在一定条件下，某一物理量所具有的客观大小称为真值。测量的目的就是力图得到真值。但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差异，即总存在测量误差。设测量值为N ，相应的真值为N 0，测量值与真值之差ΔN ΔN ＝N －N 0 称为测量误差，又称为绝对误差，简称误差。 误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。 相对误差 绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示： %1000 ??=N N E 由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替0N 。在这种情况下，Ｎ可能是公认 值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。 1.1.3 误差的分类
测量误差的基本概念测量误差的基本概念
测量误差的基本概念测量误差的基本概念 使用任何仪器进行测量时，都存在测量误差。测量结果与测量的真值之间的差异，称为测量误差。真值就是一个量所具有的真实数值。真值是一个理想概念，实际应用中通常用实际值来替代真值。实际值是根据测量误差的要求，用更高一级的标准器具测量所得之值。 一、测量误差的表示方法 测量误差的表示方法 测量误差有绝对误差和相对误差两种表示方法。 1、绝对误差是指被测量的测量值与其真值之差。与绝对误差的大小相等，但符号相反的量值称为修正值。绝对误差只能说明测量结果偏离实际值的情况，不能确切反映测量的准确程度。 2、相对误差是指绝对误差与被测量的真值之比。相对误差是两个相同量纲的量的比值，只有大小和符号。 测量中常用绝对误差与仪器的满刻度值之比来表示相对误差，称为引用相对误差。测量仪器使用最大测量仪器使用最大引用相对误差表示它的准确度引用相对误差表示它的准确度，，它反应了仪器综合误差的大小它反应了仪器综合误差的大小。。 电工仪表一般分为7级：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0。当仪表的准确度等级确定以后，示值越接近量程，示值相对误差越小。所以测量时要注意选择量程，尽量使仪表指示在满度值的2/3以上区域。 二、测量误差的来源 测量误差的来源 1、仪器误差，是测量仪器本身及其附件引入的误差。例如仪器的零点漂移、刻度不准确等引起的误差。 2、影响误差，是指由于温度、湿度、振动、电源电压、电磁场等环境因素和仪表要求条件不一致而引起的误差。 3、方法误差，是指由于测量方法不合理而造成的误差。 4、人身误差，是指测量人员由于分辨力、视力疲劳、不良习惯或缺乏责任心，如读错数字、操作不当等引起的误差。 5、测量对象变化误差，是指由于测量过程中测量对象的变化使得测量值不准确而引起的误差。 三、测量误差的分类 测量误差的分类 按性质可分为三类：系统误差、随机误差、过失误差。 1、系统误差是指在确定的测试条件下，误差的数值（大小和符号）保持恒定或在条件改变时按一定规律变化的误差，也叫确定性误差。系统误差常用来表示测量的正确度系统误差常用来表示测量的正确度系统误差常用来表示测量的正确度。。系统误差越小系统误差越小，，则正确度越高则正确度越高。。
测量误差理论的基本知识
测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？
精度检测基本概念
第五章精度检测基本概念 内容概要：主要论述几何量精度检测的基本理论，包括测量的基本概念、计量单位、测量器具、测量方法、测量误差和测量数据处理等。 教学要求：在掌握机械精度设计的基础上，对其检测技术方面的基础知识有一个最基本的了解，并能运用误差理论方面的知识对测量数据进行处理后，正确地表达测量结果。 学习重点：测量误差和测量数据的处理。 学习难点：测量误差的分析。 习题 一、判断题（正确的打√，错误的打×） 1、直接测量必为绝对测量。( ) 2、为减少测量误差，一般不采用间接测量。( ) 3、为提高测量的准确性，应尽量选用高等级量块作为基准进行测量。( ) 4、使用的量块数越多，组合出的尺寸越准确。( ) 5、0~25mm千分尺的示值范围和测量范围是一样的。( ) 6、用多次测量的算术平均值表示测量结果，可以减少示值误差数值。( ) 7、某仪器单项测量的标准偏差为σ=0.006mm，若以9次重复测量的平均值作为测量结果，其测量误差不应超过0.002mm。( ) 8、测量过程中产生随机误差的原因可以一一找出，而系统误差是测量过程中所不能避免的。( ) 9、选择较大的测量力，有利于提高测量的精确度和灵敏度。( ) 10、对一被测值进行大量重复测量时其产生的随机误差完全服从正态分布规律。( ) 二、选择题（将下面题目中所有正确的论述选择出来） 1、下列测量中属于间接测量的有_____________ A、用千分尺测外径。 B、用光学比较仪测外径。 C、用内径百分表测内径。 D、用游标卡尺测量两孔中心距。 E、用高度尺及内径百分表测量孔的中心高度。 2、下列测量中属于相对测量的有__________ A、用千分尺测外径。 B、用光学比较仪测外径。 C、用内径百分表测内径。
4测量误差基本知识.
四、测量误差基本知识 1测量误差分哪两类？它们各有什么特点？测量中对它们的主要处理原则是什么? 3、何谓标准差、中误差和极限误差? 4、对某个水平角以等精度观测4个测回，观测值列于下表（表4-1）。计算其算术平均值 一测回的中误差m及算术平均值的中误差 表4-1 5、对某一三角形（图4-1）的三个内角重复观测了九次，定义其闭合差 结果如下：1=+3 , 2=- 5 , 3=+6 , 4=+1 , 5=- 3 , 6=- 4 , 7=+3 , 8=+7 , 求此三角 形闭合差的中误差m以及三角形内角的测角中误差 6、在一个平面三角形中，观测其中两个水平角（内角）a和B,其测角中误差均为20，根据角 a和角B可以计算第三个水平角丫，试计算丫角的中误差 2、产生测量误差的原因有哪些? 偶然误差有哪些特性? m x。 X、 + + -180 ，其 9=-8 ； m= ±
已知 m a = m b = m , S=100(a- b)，求 m s 。 7、量得某一圆形地物直径为 64.780m ，求其圆周的长 S 。设量测直径的中误差为± 其周长的中误差m s 及其相对中误差m S /S 。 8、对某正方形测量了一条边长 a =100m ，m a = 25mm ；按S=4a 计算周长和 P= a' 计算周长的中误差 m s 和面积的中误差 m p 。 计算面积, 9、某正方形测量了四条边长 S=a i + a 2+ a 3+ a 4计算周长和 的中误差m p 。 a i =a 2=a 2=a 4=l00m , m a = m ^ = m a i = m a J = 25mm ； P= ( a a 2+ a 3 a 4) /2计算面积，求周长的中误差 按 m s 和面积 10.误差传播定律应用 （1） (1)已知 m a =m c = m , h=a-b ，求 m h 。 (2) 已知 m a = m c = 6 =a-c ,求 m 。 (4)已知 D= s' h ， m s = 5mm , m h = 5mm ，求 m D 。 （5）如图 4-2，已知 m xa = 40 mm ， m = 6。求P 点坐标的中误差 m xp 、 m ya = m yp 、 30 mm ；S=30.00m, =30 15 10 , m s = 5.0mm , M ( M= J ￡ 3 \ m xp m yp )。 (3)
第五章测量误差的基本知识题库
第五章测量误差的基本知识 1、衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。 5．测量，测角中误差均为10″，所以A角的精度高于B角。(×) 8．在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。(×) 10.测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。(×) 1、什么是偶然误差？它有哪些特性？ 定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。如估读、气泡居中判断等。 偶然误差的特性：(1)有界性 (2)渐降性 (3)对称性 (4)抵偿性 7．已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为mβ=±20″，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10″？（） A．1 B.2 C.3 D.4 3．偶然误差服从于一定的________规律。 4．对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会________。 14.测量误差的来源有___________、___________、外界条件。 3.设对某距离丈量了6次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、 246.537m，试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。 6．偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于______________。 14．设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5″，则算术平均值的中误差为±″。 24．衡量测量精度的指标有、、极限误差。 3.观测值与______之差为闭合差。( ) A.理论值 B.平均值 C.中误差 D.改正数 5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是( ) A．偶然误差 B.系统误差 C．可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差 8．阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为_______________。 3．什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些? 4．测量误差按性质可分为和两大类。1．2．相对误差 2. 由估读所造成的误差是( )。 A.偶然误差 B.系统误差
误差的基本概念
第六节、误差的基本概念 由于人们认识能力的局限，科学技术水平的限制，以及测量数值不能以有限位数表示（如 圆周率∏）等原因，在对某一对象进行试验或测量时，所测得的数值与其真实值不会完全相等，这种差异即称为误差。但是随着科学技术的发展，人们认识水平的提高，实践经验的增加，测量的误差数值可以被控制到很小的范围，或者说测量值可更接近于其真实值。 一，真 值 真值即真实值，是指在一定条件下，被测量客观存在的实际值。真值通常是个未知量，一般所说的真值是指理论真值、规定真值和相对真值。 理论真值：理论真值也称绝对真值，如平面三角形三内角之和恒为18O0。 规定真值：国际上公认的某些基准量值，如1960年国际计量大会规定“1m等于真空中氪86原子的2P10和5d5能级之间跃迁时辐射的1650 763.73个波长的长度”。1982年国际计量局召开的米定义咨询委员会提出新的米定义为“米等于光在真空中1／299792458 秒时间问隔内所经路径的长度”。这个米基准就当作计量长度的规定真值。规定真值也称约定真值。 相对真值：计量器具按精度不同分为若干等级，上一等级的指示值即为下一等级的真值，此真值称为相对真值）例如，在力值的传递标准中；用二等标准测力机校准三等标准测力计， 此时二等标准测力机的指示值即为三等标准测力计的相对真值。 二、误 差 根据误差表示方法的不同，有绝对误差和相对误差。 1．绝对误差 绝对误差是指实测值与被测之量的真值之差，即 但是，大多数情况下，真值是无法得知的；因而绝对误差也无法得到。一般只能应用一种更精密的量具或仪器进行测量，所得数值称为实际值，它更接近真值，并用它代替真值计算误差。 绝对误差具有以下一些性质： （1）它是有单位的，与测量时采用的单位相同； （2）它能表示测量的数值是偏大还是偏小以及偏离程度； （3）它不能确切地表示测量所达到的精确程度。 2．相对误差 相对误差是指绝对误差与被测真值（或实际值）的比值，即： 相对误差不仅表示测量的绝对误差，而且能反映出测量时所达到的精度。相对误差具有以下一些性质： ‘～。，。 （1）它是元单位的，通常以百分数表示，而且与测量所采用的单位元关，而绝对误差则不然，测量单位改变，其值亦变； （2）能表示误差的大小和方向，因为相对误差大时绝对误差亦大； （3）能表示测量的精确程度。当测量所得绝对误差相同时，则测量的量大者精度就高。因此，通常都用相对误差来表示测量误差。 三、误差的来源 在任何测量过程中，无论采用多么完善的测量仪器和测量方法，也无论在测量过程中怎样 细心和注意，都不可避免地存在误差、产生误差的原因是多方面的，可以归纳如下。 1；装置误差 主要由设备装置的设计制造、安装、调整与运用引起的误差。如试验机示值误差，等臂天
测量误差基本知识
第五章测量误差基本知识 教学目的：1. 使学生了解测量误差的概念。 2. 测量误差产生的原因。 3．减少测量误差的措施。 4．熟悉衡量精度的标准。 教学重点：各种误差的概念 教学难点：各种精度的应用 教学资料：测量学教材、教学课件 教学方法：讲授法、讲解法 讲授新课： 前面所学的水准测量、角度测量及距离测量，在实际测量过程中我们发现观测结果中不可避免地存在着测量误差。下面介绍：测量误差产生的原因、测量误差的分类、衡量精度的标准及算术平均值及其中误差。 第一节测量误差及其分类 一、测量误差产生的原因 1、观测者 2、仪器误差 3、外界条件的影响 这三者结合起来就是观测条件，如观测条件相同称为等精度观测，反之是非等精度观测
二、测量误差的分类 按性质不同可分为： （一）、系统误差 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特性：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 （二）、偶然误差 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特性：①、具有一定的范围。 ②、绝对值小的误差出现概率大。 ③、绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 ④、数学期限望等于零。即： 0] [lim =?∞ →n n 第二节 衡量精度的标准 测量上常见的精度指标有：中误差、容许误差、相对误差。 一、中误差 m = （5-3） 式中 []??——真误差的平方和，[]??＝△12+△22+……+△n 2 n ——观测次数 上式表明，观测值的中误差并不等于它的真误差，只是一组观测值的精度指标，中误差越小，相应的观测成果的精度就越高，反之精度就越低。在计算中误差m 时应取2～3位有效数字，并在数值前冠以"±"号，数值后写上“单位”。 二、容许误差
测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识 本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。 §5-1 测量误差及分类 摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。 讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。 讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。 讲授重点内容提要： 一、测量误差的概念 人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。 二、测量与观测值 通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。 三、观测与观测值的分类 1.同精度观测和不同精度观测 观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。 同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。 反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。 2.直接观测和间接观测 直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。 间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。 （说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。） 3.独立观测和非独立观测 独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。 非独立观测：若各观测量之间存在一定的几何或物理条件的约束，则称为非独立观测，观测值称为
测量误差的基本概念
第2章 测量与常用仪表 2．1测量误差的基本概念 2．1．1测量误差的主要来源 利用仪器、仪表进行测量时，其测量结果不可能准确地等于被测量的真实值，即存在误差。误差是各种因素综合作用的结果，通常把误差的来源分为五类。 1．仪器误差 仪器误差是指用仪器、仪表进行测量时，由于仪器、仪表本身的电气或力学性能不良所产生的误差。例如：用万用表测直流电压，每次测量都比实测值小，该误差即为仪器误差。 2．使用误差 又称操作误差，是指仪器在使用过程中，由于安装、调节、放置、使用不当所引起的误差。 3．人身误差 人身误差是指由于人的感觉器官或运动器官不完善所产生的误差。对于某些需借助人耳、人眼来判断结果的测量以及需要进行人工调谐的测量工作，均会产生人身误差。 4．影响误差 又称环境误差，是指仪器受外界温度、湿度、气压、电磁场、机械振动、光照、放射性等因素影响所产生的误差。 1．了解测量误差的主要来源。 2．了解按性质对测量误差的分类。 3．掌握误差的三种表示方法及意义 1． 误差的表示方法。 2． 误差表示方法的意义。
5．方法误差 方法误差是指由于测量方法不完善所引起的误差。 2．1．2误差的分类 按照误差的性质可将误差分为三类。 1．系统误差 系统误差是指在一定的条件下，误差的数值保持恒定或按照一定规律变化的误差。它包含仪器误差、使用误差、人身误差、影响误差和方法误差等，其中最主要的是仪器误差和方法误差。 2．随机误差 随机误差又称偶然误差。这是一种具有随机变量特点服从统计规律的误差。随机变量作为个体是无规律的，但作为整体是有规律的。当测量次数足够多时，它具有以下显著特点：（1）误差有正有负，有时为零；（2）出现小误差的次数比大误差的次数多，出现特大误差的可能性极小；（3）正误差和负误差绝对值相同的可能性相等；（4）当以相等的精密度测量某一量时，测量次数越多，误差值的代数和越接近于0。 减小随机误差的主要方法是进行多次测量，取其统计平均值。 3．粗大误差 由于测量者的粗心大意造成的误差，如读错或记错数据、操作有误等。 2．1．3误差的表示方法 1．绝对误差（Δx ） 被测量的测量值x 与它本身的真实值x 0之间的差值Δx 称为绝对误差，即 0x x x -=? 在实际测量中，当知道绝对误差后，就可以对测量值进行修正。修正值的大小和绝对误差相等，符号相反。 2．相对误差（r ） 相对误差r 是绝对误差Δx 与被测量的真实值x 0之间的百分数，即 %1000 ??=x x r 相对误差比绝对误差更确切地说明测量的精度，测量误差通常用相对误差表示。
工程测量——测量误差的基本知识5
第五章测量误差的基本知识 内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。 难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。 § 5.1 测量误差的概念 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。 一、系统误差(system error) 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二、偶然误差(accident error) 1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2、特点： （1）具有一定的范围。 （2）绝对值小的误差出现概率大。 （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4）数学期限望等于零。即：
误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。 此外，在测量工作中还要注意避免粗差(gross error) （即：错误）的出现。 偶然误差分布频率直方图 § 5.2 衡量精度的指标 测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。 一、中误差 方差： ——某量的真误差，[] ——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m ）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m 的方法，有： 1、用真误差（true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
建筑工程测量-第五章 测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识 第三节误差传播定律 例如：三角形中，已知：A、B角的中误差为m A、m B 求：C角中误差m C 解：∠C=180°-∠A-∠B，C角是直接观测值A、B角的函数m c=? 高差测定中的h=a-b，h是直接观测值a、b的函数m c=? 一、误差传播定律 在间接观测的情况下，未知量的中误差和观测值中误差之间必有一定的关系，阐述这种关系的定律为误差传播定律。 即根据观测值的中误差去求观测值函数中误差。 二、倍数函数的中误差 倍数函数：Z=KX 则有：m Z=±Km X 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 [例5-3]在1:500地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm，其中误差m d=±0.2mm，求该两点的地面水平距离D的值及其中误差m D 解：D=500d=500×0.2345=117.25m m D=±500m d=±500×0.0002=±0.10m 三、和(差)函数的中误差 和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有m Z2=m x12+m x22 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。
当Z是一组观测值X1、X2……X n代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±X n Z的中误差的平方为m Z2=m x12+m x22+...+m xn2 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即 [例5-4]已知水准仪距水准尺75m时，一次读数中误差为m读≈±2mm(包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差)，若以三倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测n站所得高差闭合差的容许误差。 解：水准测量每一站高差h i=a i-b i(i=1,2...,n) 则每站高差中误差 观测n站所得总高差h=h1+h2+...+h n 则n站总高差h的总误差 若以三倍中误差为容许误差,则高差闭合差容许误差为 四、线性函数 线性函数Z=K1X1±K2X2±...±K n X n 则有m Z2=K12m X12+K22m X22+...+K n2m xn2 [例5-5]设对某一个三角形观测了其中α、β两个角，测角中误差分别为mα=±3.5"，mβ=±6.2"，现按公式γ=180°-α-β求得γ角，试求γ角的中误差mγ 解： 五、一般函数的中误差 一般函数：Z=f(X1,X2,...,X n)
测量误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为： 一.系统误差（system error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。 二.偶然误差（accident error） 1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。 2.特点： （1） 具有一定的范围。 （2） 绝对值小的误差出现概率大。 （3） 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。 （4） 数学期限望等于零。即： ——某量的真误差，[]——求和符号。 规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。 在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有： 1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。 真误差Δ——观测值与其真值之差，有： 中误差（标准差估值） ， V——最或是值与观测值之差。一般为算术平均值与观测值之差，即有：
2.往返测较差率K= 三.极限误差（容许误差） 常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。即：。 、…为相互独立的直接观测量，有函数 ，则 二.权（weight）的概念 1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有： 权为任意大小的常数。 当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error） m0，故有：。 2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。