第一章解三角形练习题及答案
必修5第一章《解三角形》练习题
一、选择题
1.在ABC ?中,6=a ,
30=B ,
120=C ,则ABC ?的面积是( )
A .9
B .18
C .39
D .318 2.在ABC ?中,若
b
B
a A cos sin =
,则B 的值为( )
A .
30 B .
45 C .
60 D .
90 3.在ABC ?中,若B a b sin 2=,则这个三角形中角A 的值是( )
A .
30或
60 B .
45或
60 C .
60或
120 D . 30或 150 4.在ABC ?中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )
A .10=b ,
45=A ,
70=C B .60=a ,48=c ,
60=B C .7=a ,5=b ,
80=A D .14=a ,16=b ,
45=A
5.已知三角形的两边长分别为4,5,它们夹角的余弦是方程02322
=-+x x 的根,则第三边长是( )
A .20
B .21
C .22
D .61 6.在ABC ?中,如果bc a c b c b a 3))((=-+++,那么角A 等于( )
A .
30 B .
60 C . 120 D .
150
7.在ABC ?中,若
60=A ,16=b ,此三角形面积3220=S ,则a 的值是( )
A .620
B .75
C .51
D .49 8.在△ABC 中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC 上的高为( )
A .
223 B .233 C .2
3
D .33 9.在ABC ?中,若12+=
+c b , 45=C , 30=B ,则( )
A .2,1=
=c b B .1,2==c b C .221,22+==
c b D .2
2
,221=+=c b 10.如果满足
60=∠ABC ,12=AC ,k BC =的△ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是( )
A .38=k
B .120≤ C .12≥k D .120≤ 二、填空题 11.在ABC ?中,若6 :2:1 : := c b a,则最大角的余弦值等于_________________. 12.在ABC ?中,5 = a, 105 = B, 15 = C,则此三角形的最大边的长为____________________. 13.在ABC ?中,已知3 = b,3 3 = c, 30 = B,则= a__________________. 14.在ABC ?中,12 = +b a, 60 = A, 45 = B,则= a_______________,= b_______________. 三、解答题 15.△ABC中,D在边BC上,且BD=2,DC=1,∠B=60o,∠ADC=150o,求AC的长及△ABC的面积.16.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosB+ccosC=acosA,试判断△ABC的形状.17. 如图,海中有一小岛,周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行,望见小岛B在北偏东75°, 航行8海里到达C处,望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进,问此舰有没有角礁的危险? 18.如图,货轮在海上以35n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152o的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122o.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32o.求此时货轮与灯塔之间的距离. 19. 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10000m,速度为180km(千米)/h (小时)飞机先看到山顶的俯角为150,经过420s(秒)后又看到山顶的俯角为450,求山顶的海拔高度(取2=1.4,3=1.7). 20.在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如上图)的东偏南) 10 2 (cos= θ θ方 向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时? O P θ 45° 东 西 北 东 1545 A C B D 图1 图2 A C B 北 北 152o 32 o 122o A C B D 必修5第一章《解三角形》练习题参考答案 CBDDB BDB A D 11.4 1 - 12、621565+ 13、6或3 14、61236-=a ,24612-=b 15.在△ABC 中,∠BAD =150o -60o =90o ,∴AD =2sin60o =3. 在△ACD 中,AD 2=(3)2+12-2×3×1×cos150o =7,∴AC =7. ∴AB =2cos60o =1.S △ABC =21×1×3×sin60o =34 3 . 16.∵ bcosB +ccosC =acosA ,由正弦定理得:sinBcosB +sinCcosC =sinAcosA ,即sin2B +sin2C =2sinAcosA , ∴2sin(B +C)cos(B -C)=2sinAcosA .∵A +B +C =π,∴sin(B +C)=sinA .而sinA≠0,∴cos(B -C)=cosA ,即 cos(B -C)+cos(B +C)=0∴2cosBcosC =0.∵ 0<B <π,0<C <π,∴B =2π或C =2 π ,即△ABC 是直角三角形. 17、解:过点B 作BD ⊥AE 交AE 于D 由已知,AC=8,∠ABD=75°,∠CBD=60° 在Rt △ABD 中,AD=BD·tan ∠ABD=BD·tan 75° 在Rt △CBD 中,CD=BD·tan ∠CBD=BD·tan60° ∴AD -CD=BD (tan75°-tan60°)=AC=8, ∴8.3460 tan 75tan 8 0>=-= BD ∴该军舰没有触礁的危险。 18.在△ABC 中,∠B =152o -122o =30o ,∠C =180o -152o +32o =60o ,∠A =180o -30o -60o =90o ,BC = 2 35,∴AC = 235sin30o =435.答:船与灯塔间的距离为4 35n mile . 19. 解:如图 ∵=∠A 150 =∠DBC 450 ∴=∠ACB 300, AB= 180km (千米)/h (小时)?420s (秒)= 21000(m ) ∴在ABC ?中∴ AB A BC = sin ∴)26(1050015sin 2 121000 0-=?= BC ∵AD CD ⊥, ∴0sin sin 45CD BC CBD BC =∠=? =)26(10500-2 2 ? =)13(10500-=)17.1(10500-=7350山顶的海拔高度=10000-7350=2650(米) 20.解:设经过t 小时台风中心移动到Q 点时,台风边沿恰经过O 城,由题意可得:OP=300,PQ=20t , OQ=r(t)=60+10t ,因为102cos =θ,α=θ-45°,所以1027sin =θ,54cos =α 由余弦定理可得:OQ 2=OP 2+PQ 2-2·OP·PQ· αcos 即 (60+10t)2=3002+(20t)2-2·300·20t·5 4 即0288362 =+-t t ,解得121=t ,242=t -2t 121=t 答:12小时后该城市开始受到台风气侵袭,受到台风的侵袭的时间有12小时? 谢谢大家 O P θ 45° 东 西 北 东 A B D C 2 1 (I)求 (II)若,求. 2.(2013四川)在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 3.(2013山东)设△ 的内角所对的边分别为,且,, . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值. 4.(2013湖北)在 中,角,,对应的边分别是,,.已知 . (I)求角的大小; (II)若的面积,,求的值. 5.(2013新课标)△ 在内角的对边分别为,已知. (Ⅰ)求; (Ⅱ)若 ,求△ 面积的最大值. 6.(2013新课标1)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90° (1)若PB=1 2 ,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA [ 7.(2013江西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-3sinA)cosB=0. (1) 求角B 的大小; (2)若a+c=1,求b 的取值范围 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7 cos 9 B = ,a c sin()A B -ABC ?A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC ?S =5b =sin sin B C (I)求 (II)若,求. 【答案】 4.(2013年高考四川卷(理))在 中,角的对边分别为,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 【答案】解: 由,得 , 即, 则,即 B sin sin A C = C ABC ?,,A B C ,,a b c 2 3 2cos cos sin()sin cos()25 A B B A B B A C ---++=-cos A a =5b =BA u u u r BC uuu r ()I ()()2 3 2cos cos sin sin cos 25 A B B A B B A C ---++=-()()3 cos 1cos sin sin cos 5 A B B A B B B -+---=-????()()3 cos cos sin sin 5 A B B A B B ---=- ()3cos 5A B B -+=- 3cos 5 A =- 三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°, ∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知 高一必修5 解三角形单元测试题 1.在△ABC 中,sinA=sinB ,则必有 ( ) A .A=B B .A ≠B C .A=B 或A=C -B D .A+B= 2 π 2.在△ABC 中,2cosBsinA=sinC ,则△ABC 是 ( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形 3.在ABC ?中,若 b B a A cos sin =,则B 的值为 ( ) A . 30 B . 45 C . 60 D . 90 4.在ABC ?中,bc c b a ++=2 2 2 ,则角A 等于 ( ) A .60° B .45° C .120° D .30° 5.在△ABC 中,b =, ,C=600,则A 等于 ( ) A .1500 B .750 C .1050 D .750或1050 6.在△ABC 中,A:B:C=1:2:3,则a:b:c 等于 ( ) A .1:2:3 B .3:2:1 C . 2: D . 7.△ABC 中,a=2,A=300,C=450,则S △ABC = ( ) A B . C 1 D .11)2 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,则acosB+bcosA 等于 ( ) A . 2 b a + B . b C . c D .a 9.设m 、m +1、m +2是钝角三角形的三边长,则实数m 的取值范围是 ( ) A .0<m <3 B .1<m <3 C .3<m <4 D .4<m <6 10.在△ABC 中,已知a=x , A=450,如果利用正弦定理解这个三角形有两个解, 则x 的取值范围为 ( ) A . B .2 解三角形大题专练 1.(2018·北京)在△ABC 中,a =7,b =8,cos B =-1 7. (1)求∠A ; (2)求AC 边上的高. 解 (1)在△ABC 中,因为cos B =-1 7, 所以sin B =1-cos 2 B =43 7 . 由正弦定理得sin A = a sin B b =3 2 . 由题设知π2<∠B <π,所以0<∠A <π 2, 所以∠A =π 3. (2)在△ABC 中, 因为sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =33 14 , 所以AC 边上的高为a sin C =7×3314=33 2 . 2.在△ABC 中,∠A =60°,c =3 7 a . ①求sin C 的值; ②若a =7,求△ABC 的面积. [解析](2)(文)①在△ABC 中,因为∠A =60°,c =3 7a , 所以由正弦定理得sin C = c sin A a =37×32=33 14 . ②因为a =7,所以c =3 7 ×7=3. 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32 -2b ×3×12, 解得b =8或b =-5(舍). 所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×8×3×3 2 =6 3. 3.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin(A +C )=8sin 2 B 2 . ①求cos B ; ②若a +c =6,△ABC 的面积为2,求b . (理)①解法一:∵sin(A +C )=8sin 2 B 2, ∴sin B =8sin 2 B 2,即2sin B 2·cos B 2=8sin 2 B 2, ∵sin B 2>0,∴cos B 2=4sin B 2 , ∴cos 2B 2=1-sin 2B 2=16sin 2B 2,∴sin 2B 2=117 ∴cos B =1-2sin 2B 2=1517 . 解法二:由题设及A +B +C =π得sin B =8sin 2 B 2,故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去),cos B =15 17 . ②由cos B =1517得sin B =817,故S △ABC =12ac sin B =4 17ac . 又S △ABC =2,则ac =17 2. 由余弦定理及a +c =6得, b 2=a 2+ c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac (1+cos B ) =36-17×32 17 =4,∴b =2. 4.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知. (1)求tanC 的值; (2)若△ABC 的面积为3,求b 的值。 【答案】(1)2;(2)3. 【思路分析】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sinB 的值,再结合正弦定理以及三角形面积的计算公式即可求解. 2221 ,42 A b a c π =-=解三角形大题及答案
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