3.3.2函数的极值与导数学案
332函数的极值与导数(导学案).docx
3・3・2函数的极值与导数(导学案)一. 【知识链接】1 •用导数求函数单调区间的步骤：2. 求下列函数单调区间(1 )f(x)=2x~+2x-4; (2)f(x)=2x 3+4x; (3) f(x)=x+cosx; xW ( 0,§ ); 预习教材完成下列问题：探究一 •极值的概念1、观察下图中的曲线在a 、b 处的函数值f(a)、f(b)与它附近的函数值比较有什 么特点？ a 点的函数值f(a)比它临近点紅虽数值都点的函数值都2、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点X 。
附近有定义，如果对X 。
附近的所有的点，都有f(x)< f(Xo),我们就说Xo 是函数f(x)的一个 __________________ , f(x ())是函数f(x)的一个_________ ，记作y 极大值= f(xo);如果对Xo 附近的所有的点，都有f(x)>f(x 0),我们 就说&)是函数f(x)的一个 ________________________ , f(xo)是函数f(x)的一个 __________________ , •i 己作y 极小值=f(x 0)・注意：在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指 的是函数值•请注意以下几点：(i )极值是一个局部概念•它只是某个点、的函数值与它吐近直的函数值比较 是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.・b 点、的理数值f(b)比它临近(ii )函数的极值不是唯一的•即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系•即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，工i是极大值点，•耳是极小值点，而畑>畑・(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.探究二、极值的求法3、观察下图中的曲线，曲线在极值点处附近切线的斜率情况.上图中，曲线在极值点处切线的斜率为______________ ,极大值点左侧导数为_________,右侧为________ ;极小值点左侧导数为___________ ,右侧为_______ ・(填正、负)4、利用导数判别函数的极大(小)值：一般地，当函数f(x)在点、xO处连续时，判别f(xO)是极大(小)值的方法是：(1)如果在xO附近的左侧f'(x)>0,右侧f *(x)<0,那么，f(xO)是________________ 值;⑵如果在x()附近的左侧f f(x)<0,右侧f'(x)>0,那么，f(xO)是__________________ 值;思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？三.【新知应用】例1求函数•并利用性质画出简图:［总结］:求可导函数f(x)的极值的步骤：⑴.(2).(3).⑷巩固练习P96 1,2四.【课堂小结】1.函数的极值的定义：2.导数求极值的步骤：五.自我检测求下列函数的极值(1) f(x)=6x2+x+2 ; (2) f(x)=x3-12; (3) f(x)=6-12x+x3; (4) f(x)=48x-x3.33.3函数的最大(小)值与导数导学案一、学习目标：1 •连续函数在闭区间上的最大值与最小值定理；2•结合函数图象，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数最值.二、重难点：1・重点：会用导数求在给定区间上函数的最值；2•难点：最值与极值的区别.三、学习过程：1 •思考发现：能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函数的最小值必是函数的极小值？从下题中得出结论：如图为函数/(x)在区间［a,b］上的图象，请说出/(X)的极大值，极小值，最大值及最小值.2•由(1)你能总结出最值的概念吗？函数/(兀)在［a,b］上的最值，如果在区间［d,b］上的函数的图象是一条____ 的曲线，那么/(兀)必有最大值和最小值，此性质包括两个条件:(1) 给定函数的区间是 __________ :(2) 图彖在区间上的每一点必须 _______ •函数的最值是比较整个 __________ 的函数值得出 的，函数的极值是比较 _________ 的函数值取得的.例1求函数f(x) = -x 3-4x + 4在［0,3］上的最大值与最小值. 2•你能总结出求函数/(x)在［d,切上的最值的步骤吗?巩固练习1•下列命题中，真命题是()A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 C ・函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D ・函数在开区间不存在最大值和最小值 2•函数.f (兀)-3x4-1在闭区间［-3,0］上的最大值，最小值分别是()3 •函数f\x) = l2x-x 3在区间［-3,3］上的最小值 _______ 4•函数/(兀)二In 兀一兀在(0, e ］上的最大值 ______5 •求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1) /(%) = 6x 2+x + 2, xe ［-l,l ］(2) /(x) = ?-12x, xe ［-3,3］7•稲于/©)=丘一丄/ 一2兀+ 5,当兀引一1,2］时，f(x)<m 恒成立，求实数加的取值范 2 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.3,-17 D.9,-19。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 函数的极值与导数》0
函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，先学习导数，方便学生学习和研究函数
教
学
目
标
1知识与技能目标：
（1）理解极大值、极小值的概念；
（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
（3）掌握求可导函数的极值的步骤
2过程与方法目标：
（1）培养他们的辨析能力；
（2）培养他们的分析问题和解决问题的能力；
3情感、态度与价值观目标：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度
教学重点
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤
教学难点
布
置
作
业
课本99页第5题
巩固本节课知识
板书设计
3.3.3函数的极值与导数
一．定义学生板书
1极大值和极大值点
2极小值和极小值点
二．求函数极值的基本步骤
三．函数极值的应用
通过实际生活中的几个具体例子，一图片的形式给出与本节课相关的图片，一方面吸引学生的注意力，另一方面让学生对极值有一个直观的认识
依
据
图
形
形
成
概
念
【思考】
（1）端点值处有极值吗？
（2）极值点是一个点吗？
（3）极大值一定比极小值大吗？
（4）“点 是函数 的极值点”是“ ”的什么条件？
1.根据预习情况，完成学案知识梳理部分；
3.3.2函数的极值与导数
新乡市一中 刘秋玲
教
材
分
析
1．导数的地位、作用：
高中数学选修1-1优质学案3：3.3.2 函数的极值与导数
3.3.2函数的极值与导数学习要求：1.了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.学法指导：函数的极值反映的是函数在某点附近的性质，是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”，通过研究极值初步体会函数的导数的作用.1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧单调递减，右侧单调递增，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.引言“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点.那么每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？例1：求函数y ＝2x ＋8x 的极值．探究点二 利用函数极值确定参数的值问题 已知函数的极值，如何确定函数[解析]式中的参数？例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c的值． 达标检测1．下列说法正确的是( )A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C ．函数f (x )＝|x |只有一个极小值D ．函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上一定存在极值2．函数f (x )的定义域为区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )内的极小值的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．求函数y ＝x ＋1x 的极值．课堂小结：1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.——★ 参 考 答 案 ★——：例1：解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.例2：解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 达标检测1．[解析]函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.[答案]C2．[解析]在(a，b)内，f′(x)＝0的点有A、B、O、C.要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．[答案]A3．[解析]f′(x0)＝0⇒/ y＝f(x)在x0处有极值，但y＝f(x)在x0处有极值⇒f′(x0)＝0，应选B.[答案]B4．解：y′＝1－1x2＝x2－1x2，令y′＝0解得x＝±1，而原函数的定义域为{x|x≠0}，∴当x变化时，y′，y的变化情况如下表：所以当x＝－1时，y极大值＝－2，当x＝1时，y极小值＝2.。
河北省承德市高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数导学案 新人教A版选修1-1
函数的极值与导数
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近的左侧
(x)______0，右侧f(x)单调递______，f ′(x) ______0
数值都比f(a)小，且f ′(a)_____0.在x＝b邻近情形恰好相反，图形上与类似的点还有__________，(e，f(e))，与b类似的点还有
我们把点a叫做函数f(x)的极______值点，f(a)是函数的一个极函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧
牛刀小试
1．函数y＝x3＋1的极大值是( )
A．1 B．0 C．2 D．不存在
2．下列说法正确的是( )
A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小
C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值
D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值
3．函数y＝x3－6x的极大值为( )
A．4 2 B．3 2 C．－3 2 D．－4 2 4．函数y＝2x3－15x2＋36x－24的极大值为__________ __________.
二例题分析
例1求函数y＝3x3－x＋1的极值．
f
将你认为正确的序号填在横线上)．
′(x)的图象如图所示，则函数
2x2＋2ax的单调区间与极值．
时有极值0，求常数a
的定义域为开区间(a，b)，导函数
(在开区间(a，b)内有极小值点
C．3个 D．4
的极小值点求函数的递减区间．
′＝＝0
2－。
高中数学选修1-1优质学案：3.3.2 函数的极值与导数
3.3.2 函数的极值与导数学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识点1极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)若有极大值和极小值，则极大值一定大于极小值.()(2)若f′(x0)＝0，则x0是函数f(x)的极值点.()(3)若f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则f(x)在区间(a，b)上没有极值点.() 提示(1)函数f(x)的极大值和极小值的大小关系不确定，如图所示，极大值f(x1)小于极小值f(x2)，所以(1)错.(2)反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，则f′(0)＝0，但0不是f(x)＝x3的极值点，(2)错.(3)由极值的定义可知(3)正确.[答案](1)×(2)×(3)√知识点2求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值.【预习评价】函数f(x)＝13x3－x2－3x＋6的极大值为________，极小值为________.[解析]f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)＞0，得x＜－1或x＞3，令f′(x)＜0得－1＜x ＜3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单增，在(－1，3)上单减，故f(x)的极大值为f(－1)＝233，极小值为f(3)＝－3.[答案]233－3题型一求函数的极值【例1】求函数f(x)＝2xx2＋1－2的极值.解函数的定义域为R.f′(x)＝2（x2＋1）－4x2（x2＋1）2＝－2（x－1）（x＋1）（x2＋1）2.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－3↗－1↘由上表可以看出：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.【训练1】求函数f(x)＝3x＋3ln x的极值.解函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3（x－1）x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：↘↗因此当x＝1时，f(题型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点，∴x ＝±1是方程f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32. (2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0， 当－1<x <1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1，1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.【训练2】 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝x 0处取得极大值5，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，求： (1)x 0的值；(2)a ，b ，c 的值.解 (1)由图象可知，在(－∞，1)上f ′(x )＞0，在(1，2)上f ′(x )＜0，在(2，＋∞)上f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减，因此f (x )在x ＝1处取得极大值，所以x 0＝1. (2)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a ＝2，b ＝－9，c ＝12. 互动探究题型三 函数极值的综合应用解 f ′(x )＝9x 2－1，令f ′(x )＞0，得x ＜－13或x ＞13，令f ′(x )＜0，得－13＜x ＜13，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13上单调递减，因此，当x ＝－13时，f (x )有极大值，且极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝119，当x ＝13时，f (x )有极小值，且极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝79，由此易知f (x )的大致形状及走向如图所示，由图可知f (x )共有一个零点.【探究2】 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围.解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2).当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示.所以，当5－42＜a＜5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即当a∈(5－42，5＋42)时，方程f(x)＝a有三个不同的实根.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.【训练3】设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.解(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.因为当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，当x∈(－1，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，所以f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)因为f(x)在(－∞，－1)内单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)内单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2＞a－2，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＋2＝0，a＝－2，如图1所示.当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a－2＝0，a＝2，如图2所示.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰有两个实数根.课堂达标1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点[解析]f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.[答案] C2.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1，0)，则f(x)的极值情况为()A.极大值为427，极小值为0B.极大值为0，极小值为427 C.极大值为0，极小值为－427 D.极大值为－427，极小值为0[解析] f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，知x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝3－2p －q ＝0，f （1）＝1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1， 所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝13或x ＝1，易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0，故选A. [答案] A3.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.(－1，2)B.(－3，6)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)>0， 解得a >6或a <－3. [答案] D4.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________.[解析] f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1， 所以a ＝9，经验证此时Δ＞0，符合题意. [答案] 95.已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc ，若函数f (x )在x ＝1处取得极值 －43，则b ＝________，c ＝________.[解析] f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处取得极值－43，得⎩⎨⎧f ′（1）＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，此时f (x )没有极值； 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3 ＝－(x ＋3)(x －1)， 当－3＜x ＜1时，f ′(x )＞0， 当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )有极大值－43. 故b ＝－1，c ＝3. [答案] －1 3课堂小结1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.。
高中数学新人教版A版精品教案《3.3.2 函数的极值与导数》
3.3.2 函数的极值与导数课前预学案一、预习目标了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值二、自主学习 观察图象回答问题1函数在点x a =的函数值与这点附近的 函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？2()f a '等于多少？在点x a =附近，函数的导数的符号有什么规律？3函数在点x b =处的情况呢通过以上问题的探究，你能得到什么结论？用文字语言描述：函数在图象拐弯处的导数值等于0，且在该处左右两侧的导数值异号时取得极值用图形语言描述：Oyxf 'f '(x )>0'ba极值的定义：（1）极大值点与极大值：函数 f 在=a 的函数值fa 比在点=a 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则a 为函数 = f 的极大值点，函数值fa 为函数的极大值；（2）极小值点与极小值：函数 f 在=b 的函数值fb 比在点=b 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则b 为函数 = f 的极小值点，函数值fb 为函数的极小值；3 极大值和极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 思考1：结合极值定义，你认为判断 = f 的极值的一般方法？思考2：结合教材例4，你认为应如何求函数的极值？思考3：极大值一定大于极小值吗？思考4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？预学检测＝f 的导函数＝f ′的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间－2,1内f 是增函数； ②在区间1,3内f 是减函数； ③＝2时，f 取到极大值； ④在＝3时，f 取到极小值．其中正确的是__________将你认为正确的序号填在横线上．2．函数=f 的导数/与函数值和极值之间的关系为A 、导数/由负变正,则函数由减变为增,且有极大值 B 、导数/由负变正,则函数由增变为减,且有极大值 C 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极小值 D 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极大值3．函数331x x y -+=有 ( ) A ．极小值-1，极大值1 B ．极小值-2，极大值3 C ．极小值-2，极大值2 D ．极小值-1，极大值34．若2=x 是函数233)(x ax x f -=的极值点，则a 为A ．1B ．2C ．D ．33.3.2 函数的极值与导数课内探究案【学习目标】1理解极大值、极小值的概念，理解函数极值与导数的关系；2会判别函数极大值、极小值；3会利用导数求函数的极值；探究1：极值点与极值的概念知识归纳：注意事项：1极值是一个局部概念，反映了函数值在某一个点附近的大小情况；2极值不是唯一，函数的极值可能不止一个；3极大值与极小值之间无确定性大小关系，函数的极大值未必大于极小值；4函数的极值点一定出现在区间中部，区间的端点不能成为极值点；探究2：极值与导数的关系方法总结：求函数=f 的极值的方法：先确定定义域,再解方程()0f x '=当()0f x '=时①如果在0附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '<,那么,f 0是极大值; ②如果在0附近的左侧()0f x '<右侧()0f x '>,那么,f 0是极小值探究3：极值点与导数的关系结论：左右侧导数异号f 的极值点 (f '反过来是否成立点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0探究4：求函数的极值求函数3()3ln f x x x=+的极值错误!变式1：设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f -=-,求a ，b ，c 的值，并1x =±判断分别是极大值点还是极小值点？变式2：设函数32()9f x x ax x =+-的导函数()f x '，且(2)15f '=（1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程2求函数()f x 的极值庖丁解牛感受高考）（2021年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数)(x f '在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别当堂检测1函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =2函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点121,2x x ==，求,a b 的值3已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数的解析式并。
函数的极值与导数经典教案
3.3.2函数的极值与导数[教材分析]：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
[学情分析]：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。
[教学目标]：知识与技能：•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
过程与方法：•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
情感态度与价值观：•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；•激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。
[教学重点和教学难点]：教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。
教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
[教法学法分析]：教法分析和教学用具：本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。
并利用信息技术创设实际问题的情境。
发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。
学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。
通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。
教学过程教学内容设计意图一、自主学习：课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。
通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。
培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。
二、成果展示：对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。
高中数学_3.3.2 利用导数研究函数的极值教学设计学情分析教材分析课后反思
效果分析我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。
事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。
1. 教材由山峰、山谷的实例，引入极大值、极小值、极值、极值点等概念，非常直观，贴近生活。
2. 我在这里借助一个函数图像，把生活和数学联系起来，培养学生应用数形结合方法的习惯。
本节课在教师的积极引导下，学生能主动回答问题，提出问题，学生与学生之间，教师与学生之间有效的互动使课堂气氛和谐活跃，学生参与面广，能照顾到各个层次的学生。
课标分析本节课的重点是利用导数知识求导数的极值。
教材给出极大值、极小值、极值、极值点的定义后，借助函数图象介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法；利用函数的导数求极值时，首先要确定函数的定义区间；其次，为了清楚起见，可用导数为0的点，将函数的定义区间分成若干小区间，并列表格，判断导数在各小区间的符号；求函数的最值，需要先确定函数的极大值和极小值，因此函数的极值的求法是关键。
学情分析学生前面学习了《利用导数研究函数单调性》，为学习本节奠定了基础，但还不够深入，因此在学习上还有一定的困难，本节课能进一步提高学生利用导数研究函数的能力。
在教学中要特别重视学法的指导。
随着《基础教育课程改革纲要（试行）》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。
倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。
数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。
我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。
在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念；观察归纳——形成概念②讨论研究——深化概念③寻找充要条件④即时训练—巩固新知⑤深入探讨——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。
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高二数学选修1-1 3.3.2函数的极值与导数学案
一、学习任务：
1.理解极大值、极小值的概念；
2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
3.掌握求可导函数的极值的步骤. 二、探究新知： 复习1：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.
复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 . 探究任务一：
问题1：如下图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？
看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.
新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值. 试试：（1）函数的极值 （填“是”，“不是”）唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.
(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 （能，不能）成为极值点. 反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点.
自学检查：例1 求函数31
443
y x x =-+的极值.
变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.
小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:
变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+. （1）写出函数的递减区间；
（2）讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；（3）画出它的大致图象.
练1. 求下列函数的极值： （1）2()62f x x x =--；（2）3()27f x x x =-；（3）3()612f x x x =+-；（4）3()3f x x x =-.
练2. 下图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.
巩固训练：
1. 函数232y x x =--的极值情况是（ ）
A ．有极大值，没有极小值
B ．有极小值，没有极大值
C ．既有极大值又有极小值
D ．既无极大值也极小值
2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A ．3269y x x x =++ B ．3269y x x x =-+ C ．3269y x x x =-- D ．3269y x x x =+-
3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为（ ）
A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=
B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=
C ．1,5a b =-=
D ．以上都不正确 4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为
5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为
6.如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处（1）导函数()y f x '=有极大值？ （2）导函数()y f x '=有极小值？（3）函数()y f x =有极大值？（4）导函数()y f x =有极小值？
7. 求下列函数的极值：
（1）2()62f x x x =++； （2）3()48f x x x =-.
8.已知函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，求c 的值.
三、本节课收获：
o 1 2 y。