四川理工学院 概率与统计(15-16-1)A卷

四川理工学院试卷（2015至2016学年第1学期）课程名称：概率与数理统计（A 卷） 命题教师：李柳芬适用班级：自动化14级各班学生注意事项：1、满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、选择题(每小题3分, 共21分)1. 在相同的条件下同时抛5枚硬币，则5枚硬币中至少有1枚硬币正面朝上的概率为( )A. 50.5B. 510.5-C. 0.5D. 40.5 2. 设,A B 为两随机事件，则下列式子一定正确的是( )A. ()()()P AB P A P B =B. ()1()P AB P A B =-C. ()1()P AB P AB =-D. ()()()P AB P A P B =-3. 设随机变量X 的分布律为{}52kaP X k ==, 1,2,k =, 则a =( ) A. 0.2 B. 0.5 C. 2 D. 14. 下列函数中可作为某随机变量X 的概率密度的是( )A. 23,01()0,x x f x others ⎧<<=⎨⎩B. 22,01()0,x e x f x others -⎧<<=⎨⎩C. cos ,0()0,x x f x others π<<⎧=⎨⎩ D. sin ,0()0,x x f x others π<<⎧=⎨⎩5. 对任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则( )A. X 与Y 独立B. ()()()D X Y D X D Y +=+C. 0XY ρ=D. ()()()D X Y D X D Y -=- 6. 设2(,)XN μσ, 其中μ已知, 2σ未知,123, ,X X X 为其样本，下列不属于统计量的是( )A. 1()X E X +B. {}123min ,,X X XC.2321i i X σ=∑ D. 1X μ-7. 若~(0,1),~(0,1)X N Y N , 那么22~X Y ( )A.2(1)χ B. (1)t C. 2(2)χ D. (1,1)F二、填空题 (每小题4分, 共28分)1. 已知10个电子元件中有2个是次品，任取2次每次取1个，作不放回抽样，则第1件是正品，第2件是次品的概率为_____ _.2. 设,A B 为随机事件, ()0.4P AB =, ()0.6P A =, 则(|)P B A = .3. 设随机变量X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x others ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩，则(1)P X ≥=4. 设1X 与2X 相互独立，且12~(0,6),~(3)X R X P ，则12(23)E X X -+= .5. 设随机变量~(1,2),~(0,1)X N Y N ，且X 与Y 相互独立，则23~X Y + .6.设123,,X X X 是来自正态总体X ~(,1)N μ的样本, 则当a = 时,123ˆ2X X aX μ=++是总体均值μ的无偏估计. 7. 设~(,1)X N μ, 样本容量16n =, 样本均值 5.2X =, 则未知参数μ的置信度为95%的置信区间为 .(查表0.975 1.96u =)三、(本题12分)设二维随机变量(),X Y 的联合分布律为\12310.20.100.100.310.10.10.1X Y-求()E X ,()E Y ,()E XY四、(本题14分)设二维连续型随机变量(),X Y 的联合密度函数为2,0,0(,)0,x y ke x y f x y others --⎧>>=⎨⎩. (1)求常数k 的值； (2)求X 和Y 的边缘密度函数； (3)求()1P X Y +≤.12分) 设随机变量X的概率密度为2,01()0,x x f x others <<⎧=⎨⎩，试求 X Y e =的概率密度； （2）求Y 的方差()D Y .（六、(本题13分) 设12n ,,X X X ⋯,为总体X 的一个样本，X 的密度函数(),0x 0,x e x f x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.四川理工学院试卷（2015至2016学年第1学期）课程名称：概率与统计30学时（A 卷）参考答案命题教师： 李柳芬 适用班级：自动化14级所有班级 考试 2015年12 月 日一、选择题（本题21分，每小题3分）1.B2.B3.A4.A5.C6.C7.D二、填空题（本题28分，每小题4分，） 1. 8452. 133. 0.54. 05. N (2,17)6. 16 7. [4.71, 5.69]三、(本题12分)设二维随机变量(),X Y 的联合分布律为\12310.20.1000.100.310.10.10.1X Y- 求(),(),()E X E Y E XY .解： X 的边缘分布律为 1010.30.40.3-⎛⎫ ⎪⎝⎭--------------1分Y 的边缘分布律为 1230.40.20.4⎛⎫ ⎪⎝⎭--------------1分()10.300.410.30E X =-⨯+⨯+⨯= ------------2分 ()10.420.230.42E Y =⨯+⨯+⨯= -----------2分3210123~00.10.20.40.10.10.1XY ---⎛⎫ ⎪⎝⎭------------4分()00.20.200.10.20.30.2E XY =--++++=------------2分四、(14分)设二维连续型随机变量(),X Y 的联合密度函数为2,0,0(,)0,x y ke x y f x y others --⎧>>=⎨⎩. (1)求常数k 的值； (2)求X 和Y 的边缘密度函数； (3)求()1P X Y +≤.解:（1）由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰------1分即 2201122y x yx k ke dy e dx k e e +∞+∞+∞+∞----⎡⎤⎡⎤=--==⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰， 得 k =2 -------3分（2）22200222,0()(,)0,0x y x y x X e dy e e x f x f x y dy x +∞+∞-----+∞-∞⎧⎡⎤=-=>⎪⎣⎦==⎨⎪≤⎩⎰⎰ ----3分22002,0()(,)0,0x y x y y Y e dx e e y f y f x y dx y +∞+∞-----+∞-∞⎧⎡⎤=-=>⎪⎣⎦==⎨⎪≤⎩⎰⎰ -------3分（3）()112201,,0122xx y x y x y x y P X Y e dxdy e dx e dy -----+≤>+≤==⎰⎰⎰⎰1112121210002(1)212xx x x ee dx e e e e -------⎡⎤⎡⎤=-=-+=+-⎣⎦⎣⎦⎰ --------4分五、（12分) 设随机变量X 的概率密度为2,01()0,x x f x others <<⎧=⎨⎩，试求（1）XY e =的概率密度； （2）求Y 的方差()D Y .解 （1）函数x y e =在(0,1)是单调递增的函数，故存在反函数ln x y =，且其导函数为1x y'=---------------2分 故Y 的密度函数为2ln 2,0ln 1ln ,11()(ln )0,0,Y x y y y y ey yf y f y y others others ⎧⎧<<<<⎪⎪=⨯==⎨⎨⎪⎪⎩⎩ --------3分 （2）()[][]11112()ln 2ln 2ln 22e e e eE Y yf y dy y ydy ydy y y y y+∞-∞==⋅==-=⎰⎰⎰-----------2分()22221112()ln 2ln ln ee e E Yy f y dy y ydy y ydy ydy y +∞-∞====⎰⎰⎰⎰()2222211111ln ln 122eeey y y d y e y e ⎡⎤⎡⎤=-=-=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰ ----------3分 ()()()()()22221114722D YE Y E Y e e =-=+-=-⎡⎤⎣⎦ ----------2分六、(13分) 设12n ,,X X X ⋯,为总体X 的一个样本，X 的密度函数(),0x 0,0x e x f x θθ-⎧>=⎨≤⎩，求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.解：(1) 101()()xE X xf x dx xe dx θθθ+∞--∞===⎰⎰, ------------3分令()E X X =，则1Xθ= 所以θ的矩估计值为1ˆxθ= ---------2分 (2) 似然函数 11()(,)nii nx nii L f x eθθθθ=-=∑==∏ ------------2分取自然对数 1l n ()l n ni i L n x θθθ==-∑ --------2分对θ求导数 1l n ()n i i d L n x d θθθ==-∑ -----------2分令 1l n ()0ni i d L n x d θθθ==-=∑ 解出θ得 1nii nxθ==∑所以θ的极大似然估计值为111ˆ1ni i xx n θ===∑ ------------2分。