第十五章傅里叶级数

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(整理)第十五章傅里叶级数

第十五章傅立叶级数§1 傅立叶级数1．在指定区间内把下列函数展开成傅立叶级数：（1）f(x)=x (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (2) f(x)=x 2 (i),x p p -<<(ii) 02;x p << (3) ax 0,x p -<?f(x)= (a,b 为不等于0的常数，且a ≠b) bx 0x p <<解：（1）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

011()0,a f x dx xdx p p p p p p--===蝌1n ³时，有11cos sin sin 0n xa x nxdx nxnxdx n n p p ppp pp pp---==-=蝌2,1sin 2,n nb x nxdx n p pp -ìïï-ïï==íïïïïïîò所以在(,)p p -上11sin ()2(1)n n nx f x n ¥+==-å（ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

20012,a xdx pp p ==ò1n ³时，有201cos 0,n a x nxdx pp ==ò2012sin ,n b x nxdx np p ==-ò所以在(0,2)p 上1sin ()2n nxf x n p ¥==-å（2）（i ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

22012,3a x dx p p p p -==ò1n ³时，有22241cos 4n n a x nxdx np pp -ìïïïï==íïï-ïïïîò 21sin 0n b x nxdx p pp -==ò所以在(,)p p -上221cos ()4(1)3n n nx f x n p ¥==+-å （ii ）f(x)按段光滑，由收敛定理知它可以展成傅立叶级数。

十五章傅里叶级数

2
2
2
当只给出一种周期旳体现式时，傅里叶级数在两端点旳值
可用上述公式求之.
例1：设
x, f (x) 0,
0 x x 0
求f
旳傅里叶级数展开式.
解：函数f 及其周期延拓后的图象如图所示，
y
3 2 O 2 3 4
x
显然 f 是按段光滑旳,故由收敛定理，它能够展开成傅里叶级数。
因为
第十五章傅里叶级数
§15.1 傅里叶级数
一、三角级数 • 正交函数系
二、以 2 为周期旳函数旳傅里叶级数
三、收敛定理
§15.1 傅里叶级数
一、三角函数正交函数系
在科学试验与工程技术旳某些现象中，常会遇到一种周期运动，最简
单旳周期运动，可用正弦函数 A sin(x ) 来描写。
所体现旳周期运动也称为简谐运动，其中 A 为振幅，为初相角，
f (x) cos kxdx
a0 cos kxdx 2
(an cos nx cos kx bn sin nx cos kx)dx n1
cos2 kxdx
f (x) cos kxdx ak
ak
1
f (x) cos kxdx
(k 1, 2, )
同理可得:
bk
1
f (x) sin kxdx
f 的傅里叶级数收敛于f 在点x的左，右极限的算术平均值，即
f
(x
0) 2
f
(x 0)
a0 2
(an
n1
cos nx bn
sin nx)
其中an ,bn为f的傅里叶系数。
推论：
若f 是以2为周期的连续函数，且在[， ]上按段光滑，则 f 的

数学分析15傅里叶级数总练习题

第十五章傅里叶级数总练习题1、求三角多项式T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A 的傅里叶级数展开式.解：T n (x)以2π为周期，且在(-∞,+∞)上光滑，∴能展开为傅里叶级数.又a 0=⎰ππ-02A π1dx+∑⎰⎰=n 1k ππ-k ππ-k dx )sinkx B +dx coskx A (π1=A 0; 当m ≥0时，a m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1cosmxdx=⎩⎨⎧>≤n m 0，n m ，A m ;b m =⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A π1sinmxdx=⎩⎨⎧>≤nm ，0n m ，B m .∴在(-∞,+∞)上，有T n (x)=2a 0+∑∞=1m m m sinm x )b +cosmx (a =2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，即T n (x)的傅里叶级数展开式是其本身.2、设f 为[-π,π]上的可积函数，a 0, a k , b k (k=1,2,…,n)为f 的傅里叶系数. 试证明：当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，积分⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx取得最小值，且最小值为⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 其中 T n (x)=2A 0+∑=n1k k k sinkx )B +coskx (A ，A 0, A k , B k 为其傅里叶系数.证：⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A )x (f dx=-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n 1k k k 0sinkx)B +coskx (A 2A dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞=ππ-21k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx =-2π⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k k k k k 00b B a A a 2A +π⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20B A 2A +2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a -π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∞+=∞+=1n k 1n k 2k 2k b a =π⎥⎦⎤⎢⎣⎡++∑∑==n1k 2k k n 1k 2k k 200)b -(B )a -(A )a -(A 21+π∑∞+=+1n k 2k 2k )b (a .∴当A 0=a 0, A k =a k , B k =b k (k=1,2,…,n)时，⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 取得最小值.方法一：根据帕塞瓦尔等式有⎰ππ-2(x)f π1dx=2a 20+∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，即 ⎰ππ-2(x )f dx=2πa 20+π∑∞=1n 2n 2n )b +(a ，∴这个最小值为 π∑∞+=+1n k 2k2k)b (a =π∑∞=+n k 2k2k)b (a -π∑=n1k 2k2k)b +(a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法二：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰ππ-n (x )T )x (f dx+⎰ππ-2n (x )T dx.∵2⎰ππ-n (x )T )x (f dx=π00A a +2π∑=+n 1k k k k k )B b A a (=π2a +2π∑=n1k 2k 2k )b +(a ，由贝塞尔不等式有⎰ππ-2n(x )T dx ≥2πA 20+∑=n 1k 2n 2n )B +(A π=2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a ， ∴⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx ≥⎰ππ-2)x (f dx-π2a -2π∑=n1k 2k2k )b +(a +2πa 20+π∑=n 1k 2k 2k )b +(a=⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]，即 ⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx 有最小值⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ]. 方法三：又⎰-ππ-2n ](x )T )x (f [dx=⎰∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a )x (f dx=⎰ππ-2)x (f dx-2⎰∑∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∞=ππ-n1k k k 01k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a sinkx)b +coskx (a 2a dx+⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=ππ-2n1k k k 0sinkx)b +coskx (a 2a dx=⎰ππ-2)x (f dx-2π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n 1k 2k 2k 20b a 2a +π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∑∑==n 1k n1k 2k 2k 20b a 2a =⎰ππ-2)x (f dx-π[2a 0+∑=n 1k 2k 2k )b +(a ].3、设f 是以2π为周期，且具有二阶连续可微的函数. b n =nx sin )x (f π1ππ-⎰dx ，b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx. 证明：若级数∑''nb 绝对收敛，则∑=n1k k |b |≤)|b |2(21n1k k∑=''+. 证：利用∑=n1k 2k 1≤∑∞=1k 2k1=6π2<2，及分部积分法可得：b n ”=nx sin )x (f π1ππ-⎰''dx=-cosnx )x (f πn ππ-⎰'dx=-sinnx )x (f πn ππ-2⎰dx=-n 2b n ；∴)|b |2(21n 1k k ∑=''+≥)|b |k 1(21n1k k n 1k 2∑∑==''+=])|b |(k k 1[212k 2n 1k 2+∑=≥|b |k k 1221k n 1k ⋅⋅∑==∑=n 1k k |b |.注：可记a ’n =cosnx )x (f π1ππ-⎰'dx; 则a ’n =-nb n ，b ”n =na ’n ，∴b ”n =-n 2b n .4、设周期为2π的可积函数f(x)与g(x)分别满足以下关系式： (1)f(-x)=g(x)；(2)f(-x)=-g(x). 试问：f 的傅里叶系数a n , b n 和g 的傅里叶系数αn , βn 有什么关系？解：令x=-t ，则 a n =cosnx )x (f π1ππ-⎰dx=-cos(-nt))t (f π1ππ-⎰-d(-t)=cosnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=0,1,2,…； b n =sinnx )x (f π1ππ-⎰dx=-sin(-nt))x (f π1ππ-⎰-d(-t)= -sinnt )t (f π1ππ-⎰-dt, n=1,2,….(1)当f(-x)=g(x)时，a n =cosnt )t (g π1ππ-⎰dt=αn , n=0,1,2,…； b n = -sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=-βn , n=1,2,….(2)当f(-x)=-g(x)时，a n =cosnt )t (g -π1ππ-⎰dt=-αn , n=0,1,2,…； b n =sinnt )t (g π1ππ-⎰dt=βn , n=1,2,….5、设定义在[a,b]上的连续函数列{g n }满足：⎰bam n )x (g )x (g dx=⎩⎨⎧=≠m n 1mn 0，，；对于在[a,b]上的可积函数f ，定义αn =⎰ba n )x (g )x (f dx, n=1,2,….证明：∑∞=1n 2nα收敛，且有不等式∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.证：作级数∑∞=1n n n )x (g α，令S m (x)=∑=m1n n n )x (g α，则⎰-ba2m )]x (S )x ([f dx=⎰b a2)x (f dx-2⎰b am )x (S )x (f dx+⎰ba2m )x (S dx ；又2⎰ba m )x (S )x (f dx=2⎰∑=ba m 1n n n )x (g α)x (f dx=2∑⎰=m1n ba n n )x (g )x (f αdx=2∑=m1n 2n α；由{g n }的定义有：⎰b a 2m)x (S dx=⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ba2m 1n n n )x (g αdx=∑=m1n 2n α；∴0≤⎰-b a 2m )]x (S )x ([f dx=⎰ba 2)x (f dx-∑=m 1n 2nα, 即∑=m1n 2n α≤⎰ba2)x (f dx. 又m 为任意自然数，且⎰ba 2)x (f dx 为有限值，∴∑∞=1n 2nα因部分和数列有界而收敛，且有∑∞=1n 2nα≤⎰ba 2)x (f dx.。

数学分析15.1傅里叶级数

第十5章傅里叶级数1傅里叶级数一、三角级数·正交函数系概念1：由正弦函数y=Asin(ωx+φ)表示的周期运动称为简谐振动，其中A 为振幅，φ为初相角，ω为角频率，其周期T=ω2π.常用几个简谐振动y k =A k sin(k ωx+φk ), k=1,2,…,n 的叠加来表示较复杂的周期运动，即：y=∑=n 1k k y =∑=n1k k k )φ+ x sin(k ωA ，其周期为T=ω2π.若由无穷多个简谐振动叠加得函数项级数A 0+∑∞=1n n n )φ+ x sin(n ωA 收敛，当ω=1时，sin(nx+φn )=sin φn cosnx+cos φn sinnx ，所以 A 0+∑∞=1n n n )φ+sin(nx A = A 0+∑∞=1n n n n n sinnx )cos φA +cosnx sin φ(A ，记A 0=2a 0，A n sin φn =a n ，A n cos φn =b n ，n=1,2,…，则该级数可以表示为： 2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a . 它是由三角函数列(或称为三角函数系) 1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…构成一般形式的三角级数.定理15.1：若级数2a 0+∑∞=+1n n n |)b ||a (|收敛，则三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.证：对任何实数x ，∵|a n cosnx+b n sinnx|≤|a n |+|b n |，由魏尔斯特拉斯M 判别法得证.概念2：若两个函数φ与ψ在[a,b]上可积，且⎰ba φ(x )ψ(x )dx=0，则称函数φ与ψ在[a,b]上是正交的, 或称它们在[a,b]上具有正交性，若有一系列函数两两具有正交性，则称其为正交函数系.注：三角函数列：1,cosx,sinx,cos2x, sin2x,…,cosnx,sinnx,…有以下性质： 1、所有函数具有共同的周期2π；2、任何两个不相同的函数在[-π, π]上具有正交性，即为在 [-π, π]上的正交函数系. 即有：⎰ππ-cosnx dx=⎰ππ-sinnx dx=0；⎰ππ-cosmx cosnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-sinmx sinnx dx=0 (m ≠n)；⎰ππ-cosmx sinnx dx=0 (m ≠n).3、任何一个函数的平方在[-π, π]上的积分都不等于零，即⎰ππ-2nx cos dx=⎰ππ-2nx sin dx=π；⎰ππ-21dx=2π.二、以2π为周期的函数的傅里叶级数定理15.2：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则：a n =⎰ππ-f(x)cosnx π1dx, b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx, n=1,2,…. 证：由定理条件可知，f(x)在[-π, π]上连续且可积，∴⎰ππ-f(x )dx=2a⎰ππ-dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )sinnx dx b +dx cosnx (a =2a 0·2π=a 0π.即a 0=⎰ππ-f(x)π1dx. 对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以coskx(k 为正整数)，可得：f(x)coskx=2a 0coskx +∑∞=1n n n )sinnx coskx b +cosnx coskx (a ，则新级数收敛，有coskx f(x )ππ-⎰dx=2a 0⎰ππ-coskx dx +∑⎰⎰∞=1n ππ-n ππ-n )dx sinnx coskx b +coskx dx cosnx a (.由三解函数的正交性，等式右边除了以=a k 为系数的那一项积分kx cos a 2ππ-k ⎰dx= a k π外，其余各项积分都为0，∴coskx f(x )ππ-⎰dx= a k π，即a k =⎰ππ-f(x)coskx π1dx (k=1,2,…). 同理，对f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a两边同时乘以sinkx(k 为正整数)，可得：b k =⎰ππ-f(x)sinkx π1dx (k=1,2,…).概念3：若f 是以2π为周期且在[-π, π]上可积的函数，则按定理15.2中所求a n , b n 称为函数f(关于三角函数系)的傅里叶系数，以f 的傅里叶系数为系数的三角级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 称为f(关于三角函数系)的傅里叶级数，记作f(x)~2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .注：若2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 在整个数轴上一致收敛于f ，则，f(x)=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a .三、收敛定理概念4：若f 的导函数在[a,b]上连续，则称f 在[a,b]上光滑. 若定义在[a,b]上除了至多有限个第一类间断点的函数f 的导函数在[a,b]上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数f ’的左右极限存在，则称f 在[a,b]上按段光滑.注：若函数f 在[a,b]上按段光滑，则有： 1、f 在[a,b]上可积；2、在[a,b]上每一点都存在f(x ±0)，且有t 0)f(x -t)f(x lim 0t +++→=f ’(x+0)，t-0)f(x -t)f(x lim 0t ---→=f ’(x-0)；3、补充定义f ’在[a,b]上那些至多有限个不存在点上的值后，f ’在[a,b]上可积.定理15.3：(傅里叶级数收敛定理)若周期为2π的函数f 在[-π, π]上按段光滑，则在每一点x ∈[-π, π]，f 的傅里叶级数2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a 收敛于f 在点x 的左右极限的算术平均值，即20)-f(x 0)f(x ++=2a 0+∑∞=1n n n sinnx )b +cosnx (a ，其中a n , b n 为傅里叶系数.注：当f 在点x 连续时，则有20)-f(x 0)f(x ++=f(x)，即f 的傅里叶级数收敛于f(x).推论：若周期为2π的续连函数f 在[-π, π]上按段光滑，则f 的傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f.注：由f 周期为2π，可将系数公式的积分区间[-π, π]任意平移，即：a n =⎰+2πc c f(x)cosnx π1dx, b n =⎰+2πc c f(x)sinnx π1dx, n=1,2,….c 为任意实数. 在(-π, π]以外的部分，按函数在(-π, π]上的对应关系作周期延拓，如 f 通过周期延拓后的函数为：,2,1k ],1)π(2k , 1)π-(-(2k x ，) 2π-f(x ]π, (-πx ，f(x)(x)f ˆ⎩⎨⎧⋯±±=+∈∈= 函数f 的傅里叶级数就是指函数(x)fˆ的傅里叶级数.例1：设f(x) )0, (-πx ，0]π[0,x x ，⎩⎨⎧∈∈=，求f 的傅里叶级数展开式.解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰ππ-f(x)π1dx=⎰π0x π1dx=2π. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx=⎰π0xcosnx π1dx=⎰-π0π0sinnx n π1|xsinnx n π1dx=π2|cosnx πn 1 =πn 12(cosn π-1)=πn 1(-1)2n -；b n =⎰ππ-f(x)sinnx π1dx=⎰π0xsinnx π1dx=-⎰+π0π0cosnx n π1|xcosnx n π1dx=n (-1)1n +.∴在(-π, π)上，f(x)=4π+∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n n2n sinnx n (-1)cosnx πn 1-)1(.当x=±π时，该傅里叶级数收敛于20)πf(0)πf(+±+-±=20π+=2π.∴f 在[-π, π]上的傅里叶级数图象如下图：例2：把函数f(x)= π2x πx πx 0πx 0 x 22⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<，，，展开成傅里叶级数. 解：f 及其周期延拓后图象如图：可见f 按段光滑.由收敛定理，有a 0=⎰2π0f(x)π1dx=⎰π02x π1dx-⎰2ππ2x π1dx =-2π2. 当n ≥1时，a n =nx cos f(x)π1ππ-⎰dx =⎰π02cosnx x π1dx-⎰2ππ2cosnx x π1dx ；又⎰π02cosnx x π1dx=⎰-π0π02xsinnx n π2|sinnx x n π1dx=21n n 2(-1)+-；⎰2ππ2cosnx x π1dx=⎰-2ππ2ππ2xsinnx n π2|sinnx x n π1=21n 2n 2(-1)n 4++； ∴a n =21n 221n n 2(-1)n 4n 2(-1)++---=2n4[(-1)n -1]. b n =⎰2π0f(x)sinnx π1dx=⎰π02sinnx x π1dx-⎰2ππ2sinnx x π1dx ；又⎰π02sinnx x π1dx=-⎰-π0π02xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --+；⎰2ππ2sinnx x π1dx=-⎰-2ππ2ππ2xcosnx n π2|cosnx x n π1dx=-πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n +--+； ∴b n =πn ](-1)-2[1n π)1(3n 1n --++πn ](-1)-2[1n π)1(n 4π3n 1n --++ =πn ](-1)-4[1n 2π)1(n 4π3n n ---=πn ](-1)-4[1n (-1)]-[1 2πn 2π3n n -+ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πn 4n 2π](-1)-[1n 2π3n ；∴当x ∈(0, π)∪(π, 2π]时， f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4 .当x=π时，该傅里叶级数收敛于20)f(π0)f(π++-=2)π(π22-+=0；当x=0或2π时，该傅里叶级数收敛于20)f(00)f(0++-=204π-2+=-2π2.注：由当x=2π时，有f(x)= -π2+∑∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++1n 3n n 2sinnx πn 4n 2π](-1)-[1n 2π1]cosnx -[(-1)n 4=-π2+∑∞=1n n 21]-[(-1)n4=-π2-8∑∞=+0n 21)(2n 1=-2π2. 可求得∑∞=+0n 21)(2n 1=8π2.例3：在电子技术中经常用到矩形波，用傅里叶级数展开后，就可以将巨形波看成一系列不同频率的简庇振动的叠加，在电工学中称为谐波分析。

数学分析傅立叶级数习题讲解

第十五章傅里叶级数一．填空题1. 设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,2,0,0,0,2)(，则)(x f 的傅里叶系数=n a .2.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 3. 设,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在π=x 处收敛于 .4. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<=<<--=ππx x x x x x f 0,,0,0,0,)(22，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .5. 设⎩⎨⎧<≤<≤-50,3,05,0)(x x x f ，则此函数的傅里叶级数在0=x 处收敛于 .6. )(x f 是以π2为周期的连续函数，且在],[ππ-上按段光滑，则()=++∑∞=1sin cos 2n n n nx b nx a a . 二．选择题1.下列说法正确的是（）.A 若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ππnxdx x f b n sin )(， ,3,2,1=n.B 若)(x f 是以l 2为周期的函数，且在],[l l -上可积，则)(x f 的傅里叶系数中的⎰-=ll n dx lxn x f a πcos)(， ,3,2,1=n .C 若)(x f 是以π2为周期的偶函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成余弦级数∑∞=1cos n n nx a ..D 若)(x f 是以π2为周期的奇函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可展开成正弦级数∑∞=1sin n n nx b .2.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≤--=ππππx x x x f 0,4,0,0,0,4)(，则下列说法错误的是（）.A )(x f 在),(ππ-上可以展开成傅里叶级数..B )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4π. .C )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于0. .D )(x f 的傅里叶系数0=n a .3.设函数)(x f 满足)()(x f x f -=+π，则该函数的傅里叶级数具有性质（）.A 0=n a .B 0=n b .C 022==n n b a .D 01212==--n n b a4.设)(x f 是周期为π2的函数，在),[ππ-上的表达式为⎩⎨⎧<≤<<--=ππx x x f 0,4,0,4)(，则下列说法正确的是（）.A )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于4..B )(x f 的傅里叶展式在π-=x 处收敛于-4. .C )(x f 的傅里叶展式在π=x 处收敛于4. .D )(x f 的傅里叶展式在π±=x 处均收敛于0.5.将⎩⎨⎧<<-≤<-=42,3,20,1)(x x x x x f 在)4,0(上展开成余弦级数，则下面关说法错误的是（）.A )(x f 的傅里叶展式在2=x 处收敛于-1..B )(x f 的傅里叶展式在0=x 处收敛于1. .C )(x f 的傅里叶展式在4=x 处收敛于1. .D )(x f 的傅里叶展式在3=x 处收敛于1.6. 若将函数x x f =)(在)2,0(内展成正弦级数，则下列说法正确的是（）.A 40=a.B )(x f 的正弦级数展式在2=x 处收敛于2. .C 当)2,0(∈x 时，展成的正弦级数收敛于)(x f 本身. .D )(x f 在)2,0(内不能展成余弦级数三．判断题1. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],[ππ-上的正交函数系. ( )2.若)(x f 是以π2为周期的函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上的傅里叶级数收敛于)(x f 本身. （）3.若)(x f 在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成傅里叶级数. （）4.函数)(x f 是在],[ππ-上的周期函数，且在],[ππ-上按段光滑，则)(x f 在],[ππ-上可以展成正弦级数. （）5.函数)(x f 的傅里叶级数在连续点处收敛于该点的函数值. ( )6.设函数,0(),0,0x x f x x ππ≤≤⎧=⎨-≤<⎩则此函数的傅里叶级数在x π=-处收敛于0.( )7. ,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 是],0[π上的正交函数系. ( ) 8.x x f =)(在)2,0(上不能展成余弦级数. ( )9.2cos )(xx f =在],0[π上不能展成正弦级数. ( )10.若级数()∑∞=++10||||2||n n n b a a 收敛，则级数()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 在整个数轴上一致收敛. ( ) 四．计算题1.（1）将2)(xx f -=π在]2,0[π上展开成傅里叶级数；（2）利用展开式证明： +-+-=71513114π2.将x x f =)(在)1,1(-上展开成傅里叶级数.3.（1）将x x f =)(在]1,0[上展开成余弦级数；（2）根据展开式求()211.21n n ∞=-∑4.将x e x f =)(在],0[π上展开成正弦级数.5.求⎩⎨⎧<≤<<-=T x x T C x f 0,0,0,)(（C 是常数）在),[T T -上的傅里叶展开式.五．证明题1.设)(x f 在],[ππ-上可积或绝对可积，若对],[ππ-∈∀x ，成立)()(x f x f =+π，证明：01212==--n n b a .2.设周期为π2的可积函数)(x f 在],[ππ-的傅里叶系数为n n b a ,，函数)(x g 的傅里叶系数为n n b a ~,~，且)()(x f x g -=，证明：n n n n b b a a ==~,~.3.根据2)1()(-=x x f 在)1,0(的余弦级数展开式证明631211222π=+++ .4.已知帕萨瓦尔等式为∑⎰∞=-++=122202)(2)]([1n n n b a a dx x f πππ，（n n b a ,为)(x f 的傅里叶系数），利用),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx n x n n 证明9031211444π=+++ . 5.已知),(,cos )1(431222πππ-∈-+=∑∞=x nx nx n n，利用逐项积分法证明3x 在),(ππ-的傅里叶级数为x n n n n sin )6()1(21322∑∞=--π第十六章——第十七章一、判断题1、设平面点集{}(,),D x y x y Z =∈，则(0,0)为其内点。

第十五章傅里叶级数练习题(2021

第十五章傅里叶级数（2021.1）一、填空1、若函数()f x 与()g x 在[,]a b 上正交，则,()()=⎰b a f x g x dx . 答案：02、对任意的正整数,m n ，积分,sin cos -=⎰nx mxdx ππ . 答案：03、对任意的正整数,且≠m n m n ，积分20,sin sin =⎰nx mxdx π . 答案：04、对任意的正整数,且≠m n m n ，积分20,cos cos =⎰nx mxdx π . 答案：05、若函数)(x f 在区间[]ππ,-可积，则函数)(x f 的傅立叶系数=n b . 答案：1()sin -=⎰n b f x nxdx πππ 6、若函数)(x f 在区间[]ππ,-可积，则函数)(x f 的傅立叶系数=n a ．答案：1()cos -=⎰n a f x nxdx πππ7、设()x f 是周期为π2的周期函数，且()() =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶叶系数=n a _____.答案：0=n a8、设()x f 是周期为π2的周期函数，且()()2 =-<≤f x x x ππ，则 ()x f 的傅里叶系数=n b _____.答案：0=n b9、设()x f 是周期为π2的周期函数，且()()3 =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶叶系数=n a _____.答案：0=n a10、设()x f 是周期为π2的周期函数，且()() =-<≤f x x x ππ，则()x f 的傅里叶级数在=x π收敛于_____.答案：0解析：()x f 的傅里叶级数在=x π收敛于(0)(0)()022-+++-==f f ππππ 11、设f x x x x (),,=-<≤---<<⎧⎨⎪⎩⎪02220ππππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则S 94π⎛⎝ ⎫⎭⎪=______ . 答案：S 9434ππ⎛⎝ ⎫⎭⎪= 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的奇函数，从而93S S 2S S 4444424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫πππππππ=π+==--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12、设f x x x x (),,=≤<≤≤⎧⎨⎪⎩⎪0022πππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则()S -3π=______ .答案：π解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π 为周期的偶函数，从而()()()S 3S 43S -π=π-π=π=π13、设f x x x x (),,=≤<≤≤⎧⎨⎪⎩⎪0022πππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则S 3⎛⎫π- ⎪⎝⎭=______ . 答案：0解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的偶函数，从而S S 033⎛⎫⎛⎫ππ-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14、设f x x x x (),,=≤<≤≤⎧⎨⎪⎩⎪0022πππ，已知S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则8S 3⎛⎫π- ⎪⎝⎭=______ . 答案：23π- 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的奇函数，从而8822S S S 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫ππππ-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭15、设f x x x x x (),,=-≤<≤<⎧⎨⎪⎩⎪2022πππ，又设S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则()S 4=______ .答案：S(4)24=π- 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的偶函数，从而S(4)S (4)S (24)24=-=π-=π- 16、设f x x x x x (),,=-≤<≤<⎧⎨⎪⎩⎪2022πππ，又设S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，则()S 6=______ . 答案：S(6)82=-π 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的余弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的偶函数，从而S(6)S (6)S (26)2(26)82=-=π-=-π-=-π 17、设f x x x x x (),,=-≤<≤<⎧⎨⎪⎩⎪2022πππ，又设S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，则()S 6=______ .答案：S(6)28=π- 解析：由于S x ()是f x ()的以2π为周期的正弦级数展开式的和函数，所以S x ()是以2π为周期的奇函数，从而()S (6)S (6)S (26)[226]28=--=-π-=--π-=π-18、设()f x 是以2π为周期的连续函数，其傅里叶系数01=a ，1=n a n， 0(1,2,3,)==n b n ，则()=f x _______________ . 答案：111cos 2∞=+∑n nx n19、设()f x 是以2π为周期的连续函数，其傅里叶系数01=a ，()1-=n nb n ， 0(1,2,3,)==n a n ，则()=f x _______________ . 答案：()111sin 2∞=-+∑nn nx n 20、设()f x 是以2π为周期的连续函数，其傅里叶系数01=a ，1=n a n ，()1-=n n b n， (1,2,3,)=n ，则()=f x _______________ . 答案：()111cos 1sin 2∞=⎡⎤++-⎣⎦∑n n nx nx n。

傅里叶级数课程及习题讲解

第15章傅里叶级数§15.1傅里叶级数一基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中1()nn n f x a x ∞==∑，可视为()f x 经函数系线性表出而得．不妨称2{1,,,,,}nx x x 为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数．1三角函数系函数列{}1, cos , sin , cos 2, sin 2, , cos , sin , x x x x nx nx 称为三角函数系．其有下面两个重要性质．(1)周期性每一个函数都是以2π为周期的周期函数； (2)正交性任意两个不同函数的积在[,]ππ-上的积分等于零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在[,]ππ-可积的函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:，定义两个函数的内积为(),()()()d bn m n m a u x u x u x u x x=⋅⎰，如果0 (),() 0 n m l m nu x u x m n ≠=⎧=⎨≠⎩，则称函数系{}() [, ], 1,2, n u x x a b n ∈=:为正交系．由于1, sin 1sin d 1cos d 0nx nx x nx x ππππ--=⋅=⋅=⎰⎰；sin , sin sin sin d 0 m nmx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；cos , cos cos cos d 0 m n mx nx mx nx x m n πππ-=⎧=⋅=⎨≠⎩⎰；sin , cos sin cos d 0mx nx mx nx x ππ-=⋅=⎰；2 1, 11d 2x πππ-==⎰，所以三角函数系在[],ππ-上具有正交性，故称为正交系．利用三角函数系构成的级数称为三角级数，其中011,,,,,,n n a a b a b 为常数2以2π为周期的傅里叶级数定义1设函数()f x 在[],ππ-上可积，11(),cos ()cos d k a f x kx f x kx xππππ-==⎰0,1,2,k =；11(),sin ()sin d k b f x kx f x kx xππππ-==⎰1,2,k =，称为函数()f x 的傅里叶系数，而三角级数称为()f x 的傅里叶级数，记作()f x ～()01cos sin 2n n n a a nx b nx ∞=++∑．这里之所以不用等号，是因为函数()f x 按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于()f x ．二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-++=∑，其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．定义2如果()[, ]f x C a b '∈，则称()f x 在[,]a b 上光滑．若[,),(0),(0)x a b f x f x '∀∈++存在；(,],(0)x a b f x ∀∈-，(0)f x '-存在，且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称()f x 在[,]a b 上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成，它至多有有限个第一类间断点与角点．推论如果()f x 是以2π,]ππ-上按段光滑，则x R ∀∈，有()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑．定义3设()f x 在(,]ππ-上有定义，函数称()f x 为的周期延拓．二习题解答1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数(1)(),(i) , (ii) 02f x x x x πππ=-<<<<；解：(i)、()f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰，所以11sin ()2(1)n n nxf x n ∞+==-∑，(,)x ππ∈-为所求．(ii)、()f x =x ，(0,2)x π∈作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰．当1n ≥时，220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰，2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰，所以1sin ()2n nxf x n π∞==-∑，(0,2)x π∈为所求． (2)2()(i) (ii) 02f x =x , -π<x <π,<x <π；解：(i)、()2f x =x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得220112()d d 3a f x x x x πππππππ--===⎰⎰．当1n ≥时，222224cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ--=-=-⎰，2222sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰，所以221sin ()4(1)3nn nxf x n π∞==+-∑，(,)x ππ∈-为所求．()2f x =x0a =当1n ≥时，222220224cos cos d |x nx nx x n n n ππππ=-=⎰，2222004224sin sin d |x nx nx x n n n n ππππππ=-+-=-⎰，所以22214cos sin ()43n nx nx f x n n ππ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑，(0,2)x π∈为所求．(3)0()(,0,0)0ax x f x a b a b bx x ππ-<≤⎧=≠≠≠⎨<<⎩．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得000111()()d d d 2b a a f x x ax x bx x ππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，所以21()2()1()cos(21)4(21)n b a b a f x n x n ππ∞=--=+--∑11sin ()(1)n n nxa b n ∞+=++-∑，(,)x ππ∈-为所求．2设f 是以2π为周期的可积函数，证明对任何实数c ，有2 11()cos d ()cos d ,0,1,2,c n c a f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰， 2 11()sin d ()sin d ,1,2,c n cb f x nx x f x nx x n πππππ+-===⎰⎰．证：因为()f x ，sin nx ，cos nx 都是以2π为周期的可积函数，所以令2t x π=+有c+2 c+211()cos d ()cos d f t nt t f x nx xππππππ==-⎰⎰．从而2 1()cos d c n ca f x nx xππ+=⎰1()cos d f x nx xπππ-=⎰．同理可得2 11()sin d ()sin d c n cb f x nx x f x nx xπππππ+-==⎰⎰．3把函数04()04x f x x ππππ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩展开成傅里叶级数，并由它推出(1)11114357π=-+-+；(2)111111357111317π=+--+-+；11111157111317=-+-+-+．解：函数()f x ，(,)x ππ∈-作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．由系数公式得00111()d d d 044a f x x x x πππππππππ---==+=⎰⎰⎰．当1n ≥时，0011cos d cos d 044n a nx x nx x ππππππ--=+=⎰⎰．11211[1(1)]202n n k nn n k+⎧=+⎪=--=⎨⎪=⎩，故11()sin(21),(,0)(0,)21n f x n x x n ππ∞==-∈--∑为所求．(1)取2x π=，则11114357π=-+-+；(2)由11114357π=-+-+得111112391521π=-+-+，于是111111341257111317πππ=+=+--+-+；(3)取3x π=，则111111457111317π⎫=-+-+-+⎪⎝⎭，11111157111317=-+-+-+．4设函数()f x 满足条件()()f x f x π+=-，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=-，所以(2)()()f x f x f x ππ+=-+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得11()d ()d 0f t t f x x πππππ=++=⎰⎰．当1n ≥时，02()cos d 2102f x nx x n k n k ππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．02()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰，故当()()f x f x π+=-时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是20k a =，20k b =． 5设函数()f x 满足条件：()()f x f x π+=，问此函数在(),ππ-内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为()f x 满足条件()()f x f x π+=，所以(2)()()f x f x f x ππ+=+=，即()f x 是以2π为周期的函数．于是由系数公式得112()d ()d ()d f t t f x x f x xπππππππ=++=⎰⎰⎰．当1n ≥时，02()cos d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰． 02()sin d 2021f x nx x n k n k ππ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰，故当()()f x f x π+=时，函数()f x 在(),ππ-内的傅里叶级数的特性是210k a -=，210k b -=． 6试证函数系cos , 0,1,2,nx n =和sin , 1,2,nx n =都是[0, ]π上的正交函数系，但他们合起来的却不是[0, ]π上的正交函数系．证：就函数系{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx ，因为n ∀，1,1d x ππ==⎰，2001cos ,cos cos d (cos21)d 22nx nx nx x nx x πππ==+=⎰⎰，又1,cos cos d 0nx nx x π==⎰；,m n ∀，m n ≠时，0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=++-=⎰⎰．所以{1,cos ,cos2,,cos ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．就函数系{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx ，因为n ∀，2001sin ,sin sin d (1cos2)d 22nx nx nx x nx x πππ==-=⎰⎰，又,m n ∀，m n ≠时，0011cos()d cos()d 022m n x x m n x x ππ=-++-=⎰⎰．所以{sin ,sin 2,,sin ,}x x nx 在[0, ]π上是正交系．但{1,sin ,cos ,sin 2,cos2,,sin ,cos ,}x x x x nx nx 不是[0, ]π上的正交系．实因：1,sin sin d 10x x x π==≠⎰．7求下列函数的傅里叶级数展开式(1)(),022x f x x ππ-=<<；(),02x f x x ππ-=<< 0a 当1n ≥时，22001sin sin d 022|x nx nx x n n πππππ-=+=⎰，220011cos cos d 22|x nx nx x n n n πππππ-=--=⎰，所以1sin ()n nxf x n ∞==∑，(0,2)x π∈为所求．(2)()f x x ππ=-≤≤；解：()f x x ππ=-≤≤作周期延拓的图象如下．其按段光滑，故可展开为傅里叶级数．因为02()02x x f x x x ππ-≤<==⎨⎪≤≤⎪⎩，所以由系数公式得0sin d sin d 22x x x x ππ-=+=．当1n ≥时，sin cos d 2x nx x π==．0sin sin d sin sin d 022n x x b nx x nx x ππππ-=+=⎰．所以211()cos 41n f x nxnππ∞==--，(,)x ππ∈-．而x π=±时，(0)(0)()2f f f πππ±-+±+==±，故211()cos 41n f x nxnππ∞==--，[,]x ππ∈-为所求．(3)2(), (i) 02, (ii) f x ax bx c x x πππ=++<<-<<；解：(i)由系数公式得22218()d 223aax bx c x b cππππ=++=++⎰．当1n ≥时，24an =， 42a n n ππ=--，故224()3a f x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑为所求．(ii)由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰2212()d 23aax bx c x c ππππ-=++=+⎰．当1n ≥时，24(1)nan =-， 12(1)n bn -=-，故222()3af x ax bx c cπ=++=+2142(1)cos (1)sin ,(,)nn n a b nx nx x n n ππ∞=+---∈-∑为所求．(4)()ch , f x x x ππ=-<<；解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰12ch d sh x x πππππ-==⎰．当1n ≥时，222sh 1(1)nna n n ππ=--，所以22sh (1)(1)n n a n ππ=-+． 2211sh sin ch sin d |x nx x nx x n n ππππππ--=-+⎰21nb n =，所以0n b =，故21211()ch sh (1)cos 21n n f x x nx n ππ∞=⎡⎤==+-⎢⎥+⎣⎦∑， (,)x ππ∈-为所求．(5)()sh ,f x x x ππ=-<<．解：由系数公式得01()d a f x x πππ-=⎰1sh d 0x x πππ-==⎰．当1n ≥时，1sh cos d 0n a x nx x πππ-==⎰．1221(1)sh n n b n n ππ+=--，所以122sh (1)(1)n n n xb n π+=-+，故1212sh ()sh (1)sin (1)n n n f x x nxn ππ∞+===-+∑，(,)x ππ∈-为所求．8求函数221()(362)12f x x x ππ=-+的傅里叶级数展开式并应用它推出22116n n π∞==∑．解：由224()3af x ax bx c b cππ=++=++21442cos sin ,(0,2)n a a bnx nx x n n ππ∞=++-∈∑得211cos n nx n ∞==∑，(0,2)x π∈．而2(00)(20)6f f ππ+=-=，故由收敛定理得22211(00)(20)11cos062n n f f n n ππ∞∞==++-===∑∑．9设()f x 为[],ππ-上光滑函数，()()f f ππ-=．且,n n a b 为()f x 的傅里叶系数，,n n a b ''为()f x 的导函数()f x '的傅里叶系数．证明00,,(1,2,)n n n n a a nb b na n '''===-= ．证：因为()f x 为[],ππ-上光滑函数，所以()f x '为[],ππ-上的连续函数，故可积．由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．故结论成立．10证明：若三角级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中的系数,n n a b 满足关系{}33sup ,n n nn a n b M≤，M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数．证：设0()2a u x =，()cos sin n n n u x a nx b nx =+，1,2,n =．则0n ∀≥，()n u x 在R 上连续，且0()0u x '=，()sin cos nn n u x na nx nb nx '=-+亦在R 上连续．又x R ∀∈，()sin cos nn n u x n a nx n b nx '≤+ 22Mn ≤．而22Mn∑收敛，所以()()cos sin n n n u x nb nx na nx '=-∑∑在R 上一致收敛．故设01()(cos sin )2n n n a s x a nx b nx ∞==++∑，则且1()(cos sin )n n n s x na nx nb nx ∞='=-+∑在R 上连续．§15.2以2l 为周期的函数的展开一基本内容一、以2l 为周期的函数的傅里叶级数设()f x 是以2l 为周期的函数，作替换ltx π=，则()lt F t f π⎛⎫= ⎪⎝⎭是以2π为周期的函数，且()f x 在(, )l l -上可积()F t ⇔在(,)ππ-上可积．于是()01()cos sin 2n n n a F t a nt b nt ∞=++∑，其中 1()cos d ,n a F t nt t πππ-=⎰1()sin d n b F t nt tπππ-=⎰．令xt l π=得()()lt F t f f x π⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin sin ,cos cos n x n xnt nt l l ππ==，从而01()cos sin 2n n n a n x n x f x a b l l ππ∞=⎛⎫++ ⎪⎝⎭∑．其中1()cos ,l n l n x a f x dx l l π-=⎰ 1()sin l n l n xb f x dx l l π-=⎰．上式就是以2l 为周期的函数()f x 的傅里叶系数．在按段光滑的条件下，亦有01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x n x n x a b l l ππ∞=++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑．其只含余弦项，故称为余弦级数．同理，设()f x 是以2l 为周期的奇函数，则()cos f x nx 奇，()sin f x nx 偶．于是1()cos d 0l n l n xa f x x l l π-==⎰，012()sin d ()sin d l l n l n x n xb f x x f x x l l l l ππ-==⎰⎰．从而01()2n n a f x a ∞=+∑由此可知，函数偶延拓() (0,()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨-∈-⎩函数(),(0,)f x x l ∈要展开为正弦级数必须作奇延拓．奇延拓() (0,) ()() (,0)f x x l f x f x x l ∈⎧=⎨--∈-⎩．二习题解答1求下列周期函数的傅里叶级数展开式 (1)()cos f x x =(周期π)；解：()cos f x x =,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥由于(f ()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得22002244cos d cos d a x x x x ππππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，1(1)2(1)2(21)(21)n n n n ππ+-⋅-⋅=++-124(1)(41)n n π+=--． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故121241()cos (1)cos241n n f x x nxn ππ∞+===+--∑，(,)x ∈-∞+∞为所求．(2)()[]f x x x =-(周期1)；解：函数()[]f x x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数．因12l =，所以由系数公式得()()111210022[]d 2[]d 2d 1a x x x x x x x x -=-=-==⎰⎰⎰．当1n ≥时，110011sin 2sin 2d 0|x n x n x x n n ππππ=-=⎰．110011cos2cos2d |x n x n x x n n ππππ-=+⎰1n π-=．故1111()[]sin 22n f x x x n xn ππ∞==-=-∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． (3)4()sin f x x =(周期π)；2222解：函数4()sin f x x =，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因2l π=，所以由系数公式得 204311cos 2cos 4d 828x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰34=．当1n ≥时，11201,2128n n n n ⎧-=⎪⎪=≠≠⎨⎪⎪=⎩． 222cos sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故4311()sin cos2cos4828f x x x x==-+，(,)x ∈-∞+∞为所求．(4)()sgn(cos )f x x =(周期2π)．解：函数()sgn(cos )f x x =，(,)x ππ∈-延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l π=，所以由系数公式得0012sgn(cos )d sgn(cos )d 0a x x x x πππππ-===⎰⎰．当1n ≥时，02sgn(cos )cos d n a x nx xππ=⎰4sin 2n n ππ=024(1)21(21)kn k n k k π=⎧⎪=⎨-=-⎪+⎩．2sgn(cos )sin d 0n b x nx x πππ-==⎰．故14cos(21)()sgn(cos )(1)21nn n xf x x n π∞=+==-+∑，(,)x ∈-∞+∞．2求函数 01() 1 123 23x x f x x x x ≤≤⎧⎪=<<⎨⎪-≤≤⎩的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数()f x ，(0,3)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因32l =，所以由系数公式得31230001222224()d d d (3)d 33333a f x x x x x x x ==++-=⎰⎰⎰⎰．当1n ≥时， 2222323cos 3n n n πππ=-．2()sin d 0n b f x nx x πππ-==⎰．故2221231122()cos cos333n n n xf x n n πππ∞=-⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，(,)x ∈-∞+∞为所求． 3将函数()2f x xπ=-在[0,]π上展开成余弦级数．解：函数()2f x xπ=-，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得20021d 0222a x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．当1n ≥时，242102n k n n kπ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩．0n b =．故2141()cos(21),[0,]2(21)n f x x n x x n πππ∞==-=-∈-∑．4将函数()cos2xf x =在[0,]π上展开成正弦级数．解：函数()cos2xf x =，[0,]x π∈作偶延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．28(41)nn π=-．故在[0, ]π上218()cos sin 241n x nf x nxn π∞===-∑为所求．5把函数102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩ 在(0, 4)上展开成余弦级数．解：函数()f x ，(0,4)x ∈延拓后的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因4l =，所以由系数公式得4240002211()d (1)d (3)d 0422a f x x x x x x ==-+-=⎰⎰⎰．当1n ≥时，402()cos d 44n n xa f x x π=⎰所以102()324x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩22181(21)cos(21)2n n xn ππ∞=-=-∑为所求．6把函数()2()1f x x =-在(0, 1)上展开成余弦级数，并推出222116123π⎛⎫=+++⎪⎝⎭．解：函数()f x ，(0,1)x ∈延拓为以2为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．因l=0.5，所以由系数公式得11200022()d 2(1)d 3a f x x x x ==-=⎰⎰．当1n ≥时，1202(1)cos d n a x n x xπ=-⎰224n π=．0n b =．所以2221141(1)cos ,[0,1]3n x nx x n π∞=-=+∈∑．令0x =得22114113n n π∞==+∑，即22116n n π∞==∑． 7求下列函数的傅里叶级数展开式 (1)()arcsin(sin )f x x =；解：函数()arcsin(sin )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是奇函数，故其展开式为正弦级数．由系数公式得0,0,1,2,n a n ==．所以214(1)()arcsin(sin )sin(21)(21)nn f x x n x n π∞=-==--∑，x R ∈．(2)()arcsin(cos )f x x =．解：函数()arcsin(cos )f x x =是以2π为周期的函数如下图．由于()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．002arcsin(cos )d 0a x x ππ==⎰，当1n ≥时，202421n k n k n π=⎧⎪=⎨=-⎪⎩．0,1,2,n b n ==．所以2141()arcsin(cos )cos(21)(21)n f x x n x n π∞===--∑，x R ∈． 8试问如何把定义在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的可积函数()f x 延拓到区间(),ππ-内，使他们的傅里叶级数为如下的形式(1)211cos(21)n n an x∞-=-∑；(2)211sin(21)n n bn x∞-=-∑．解：(1)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下：()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下：()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨-<≤⎩．其图象如下．由于()f x 按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．由系数公式得002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()sin d 0n b f x nx x ππ==⎰．204()cos d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．所以211()cos(21)0,2n n f x a n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． (2)先把()f x 延拓到[0,]π上，方法如下．()02()()2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩；再把()f x 延拓到[0,2]π上，方法如下．()0ˆ()(2)2f x x f x f x x ππππ⎧≤≤=⎨--<≤⎩．()f x 是偶函数，故其展开式为余弦级数．002()d 0a f x x ππ==⎰，当1n ≥时，201()cos d 0n a f x nx x ππ==⎰204()sin d 2102f x nx x n k n kππ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩⎰．所以211()sin(21)0,2n n f x b n x x π∞-=⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭∑． §15.3收敛定理的证明一基本内容一、贝塞尔(Bessel)不等式定理1 设()f x 在[,]ππ-上可积，则()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++≤∑⎰,其中,n n a b 为()f x 的傅里叶系数．推论1设()f x 在[,]ππ-上可积，则lim ()cos d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰, lim ()sin d 0n f x nx x ππ-→∞=⎰．推论2设()f x 在[,]ππ-上可积，则01lim ()sin d 02n f x n x x π→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰，1lim ()sin d 02n f x n x x π-→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰．定理2设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上可积，则1sin 12()d 2sin2n tf x t tt πππ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰，此称为()f x 的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3(收敛性定理) 设以2π为周期的函数()f x 在[,]ππ-上按段光滑，则(0)(0)lim ()022n n f x f x S x →∞-+⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，定理4如果()f x 在[,]ππ-上有有限导数，或有有限的两个单侧导数，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．定理5如果()f x 在[,]ππ-按段单调，则()01(0)(0)cos sin 22n n n a f x f x a nx b nx ∞=++-=++∑．二习题解答1设()f x 以2π为周期且具有二阶连续的导函数，证明()f x 的傅里叶级数在(,)-∞+∞上一致收敛于()f x ．证：由题目设知()f x 与()f x '是以2π为周期的函数，且光滑，故 01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，且1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．于是2222111122n nn n nn a b a b a b nn n n ''⎛⎫⎛⎫''+=+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22211()2n n a b n ''=++．由贝塞尔不等式得221()nn n a b ∞=''+∑收敛，又211n n ∞=∑收敛，从而()012n n n a a b ∞=++∑收敛，故01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑在(,)-∞+∞上一致收敛．2设f 为[],ππ-上可积函数，证明：若f 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于f ，则成立贝塞尔(Parseval)等式()2 2220 11()d 2n n n a f x x a b πππ∞-==++∑⎰，这里,n n a b 为f 的傅里叶系数．证：设()01cos sin 2mm n n n a S a nx b nx ==++∑，因为()f x 的傅里叶级数在[,]ππ-上一致收敛于()f x ，所以0,0N ε∀>∃>，,[,]()m m N x f x S ππε∍>∀∈-⇒-<“”．于是2(),()m m f x S f x S ε--<．而()2 2221()d 2mn n n a f x x a b ππππ-==--+∑⎰．所以m N >时，()222221()d 2mn n n a f x x a b ππππε-=--+<∑⎰，故()2222011()d 2n n n a a b f x x πππ∞-=++=∑⎰．3由于贝塞尔等式对于在[,]ππ-上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式． (1)22118(21)n n π∞==-∑；(2)22116n n π∞==∑；(3)44190n π=∑．解：(1) 取04()04x f x x ππππ⎧--<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，由§1习题3得1sin(21)(),(,0)(0,)21n n xf x x n ππ∞=-=∈--∑．由贝塞尔等式得22111d 16(21)n x n ππππ∞-==-∑⎰，即22118(21)n n π∞==-∑．(2) 取(),(,)f x x x ππ=∈-，由§1习题1(1)得11sin ()2(1),(,)n n nxf x x n ππ∞+==-∈-∑．由贝塞尔等式得21211(1)2d n n x x n πππ+∞-=⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑⎰，故22116n n π∞==∑．(3) 取2(),[,]f x x x ππ=∈-，由§1习题1(2)得 2221cos 4(1),(,)3nn xx x n πππ∞==+-∈-∑．由贝塞尔等式得22242111(1)4d 23n n x x n ππππ∞-=⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰，故44190n π=∑． 4证明：若,f g 均为[,]ππ-上可积函数，且他们的傅里叶级数在[,]ππ-上分别一致收敛于f 和g ，则00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．其中,n n a b 为f 的傅里叶系数，,n n αβ为g 的傅里叶系数．证：由题设知01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑，1()(cos sin )2n n n g x nx nx ααβ∞==++∑．于是 1()()d (),()f xg x x f x g x πππ-=⎰而001(),cos sin ,222n n n a f x a nx b nx αα∞==++∑ cos ,cos n n n n a nx nx a αα==， cos ,cos n n n n b nx nx b ββ==，所以 00 11()()d ()2n n n n n a f x g x x a b ππααβπ∞-==++∑⎰．5证明若f 及其导函数f '均在[,]ππ-上可积,()d 0f x x ππ-=⎰,()()f f ππ-=，且成立贝塞尔等式，则22()d ()d f x x f x xππππ--'≥⎰⎰．证：因为()f x 、()f x '在[],ππ-上可积，()d 0f x x ππ-=⎰，()()f f ππ-=，设01()(cos sin )2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn n a f x a nx b nx ∞=''''=++∑，由系数公式得1()d a f x x πππ-''=⎰()1()()0f f πππ=--=．当1n ≥时，1()cos d na f x nx x πππ-''=⎰1()cos ()sin d |nnf x nx f x nx x nb ππππππ--'=+=⎰．于是由贝塞尔等式得2()d f x xππ-=⎰．总练习题151试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑是以2π为周期的光滑函数，所以可展为傅里叶级数，由系数公式得001(),1(cos sin ),12nn k k k A a T x A kx B kx A ===++=∑，当1k ≥时，1(cos sin ),cos 02nkk k k A k n A A kx B kx kx k n =≤⎧=++=⎨>⎩∑，1(cos sin ),sin 02nkk k k B k n A A kx B kx kx k n =≤⎧=++=⎨>⎩∑，故在(,)-∞+∞，01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑的傅里叶级数就是其本身．2设f 为[,]ππ-上可积函数，0,,(1,2,,)k k a a b k n =为f 的傅里叶系数，试证明，当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时，积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为[]22220 1()d ()2nk k k a f x x a b πππ-=⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∑⎰．上述()n T x 是第1题中的三角多项式,0,,k k A A B 为它的傅里叶系数．证：设()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞==++∑， 01()(cos sin )2nn k k k A T x A kx B kx ==++∑，且00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====，因为[]2()()d n f x T x xππ--⎰22 ()d 2()()d ()d n n f x x f x T x x T x xππππππ---=-+⎰⎰⎰，而()001()()d 2nn k k k k k A a f x T x x A a B b ππππ-==++∑⎰， () 22201()d 2nnk k k A T x x A B πππ-==++∑⎰，所以[]2()()d n f x T x xππ--⎰故当00,,(1,2,,)k k k k A a A a B b k n ====时，积分[]2()()d n f x T x xππ--⎰取最小值，且最小值为[]22220 1()d ()2nk k k a f x x a b πππ-=⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦∑⎰． 3设f 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，11()sin d , ()sin d n nb f x nx x b f x nx xππππππ--''''==⎰⎰，若级数n b ''∑绝对收敛，则11122n n n b ∞∞==⎛⎫''+ ⎪⎝⎭∑．证：因为()f x 为以2π周期，且具有二阶连续可微的函数，所以1()sin d n b f x nx x πππ-''''=⎰2 2 ()cos ()sin d nn n f x nxf x nx x n b ππππππ--=-+=⎰．即211,n n n b b n ''∀≥=⋅，从而2111,2n n b n ⎛⎫''∀≥+ ⎪⎝⎭又n b ''∑绝对收敛，21n ∑收敛，所以n ∞=1122n n b ∞=⎛⎫''<+ ⎪⎝⎭∑．故结论成立．4设周期为2π的可积函数()x ϕ与()x ψ满足以下关系式(1)()()x x ϕψ-=；(2)()()x x ϕψ-=-．试问ϕ的傅里叶系数,n n a b 与ψ的傅里叶系数,n n αβ有什么关系？解：设()01()cos sin 2n n n a x a nx b nx ϕ∞==++∑，()1()cos sin 2n n n x nx nx αψαβ∞==++∑，(1)则当()()x x ϕψ-=时，0n ∀≥，n α=．1n ∀≥，n β=-．(2)当()()x x ϕψ-=-时，0n ∀≥，n α=-．1n ∀≥，n β=．5设定义在[,]a b 上的连续函数列{}()n x ϕ满足关系0 ()()d 1 bn m a n mx x x n m ϕϕ≠⎧=⎨=⎩⎰，对于在[,]a b 上的可积函数f ，定义()()d , 1,2,b n n a a f x x x n ϕ==⎰，证明21n n a ∞=∑收敛，且有不等式 22 1[()]d b n a n a f x x ∞=≤∑⎰．证：在[,]a b 上的所有可积函数构成的集合中定义内积为(),()()()d b a f x g x f x g x x =⎰，则函数列{}()n x ϕ为标准正交系．令1()(),1,2,m m n n n S x a x m ϕ===∑，则,(),()n n n a f x x ϕ∀=，又 2 [()()]d bm a f x S x x -⎰22 ()d 2()()d ()d n n f x x f x S x x S x x ππππππ---=-+⎰⎰⎰，而11(),()(),()(),()m m n n n n n n n f x S x f x a x a f x x ϕϕ====∑∑ 21m nn a ==∑． 211(),()m mk k k k k k k a a x x a ϕϕ====∑∑，于是 222 1()d [()()]d 0m b n m an f x x a f x S x x ππ-=-=-≥∑⎰⎰，所以22 11,[()]d m b n a n m a f x x =∀≥≤∑⎰，即{}()m S x 有上界．故 21n n a∞=∑收敛，且 22 1[()]d b n a n a f x x∞=≤∑⎰．。

《数学分析》第十五章傅立叶级数

1 22

1 32

1 42

,
2

4

1
2
4
,

1
2

2 , 6
2

1 3

2 , 2432 1
2 . 12
例 3 设f ( x)是以2为周期的连续函数，且
f ( x) a0
2 试证明：1

n1

f

(an cos nx 2( x)dx
第十五章傅立叶级数
15.1 傅立叶级数 15.2 正弦级数与余弦级数 15.3 以为周期的函数的展开式 15.4 收敛定理的证明
15.1 傅立叶级数
一、问题的提出二、三角级数三角函数系的正交性
三、函数展开成傅里叶级数
一、问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t
)

1,

1,
当 t 0 当0 t
sin nx)
问题:
f
(x)
条件?
a0 2

(an
n1
cos nx

bn
sin nx)
2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)
设 f ( x)是以2为周期的周期函数.如果它满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数收敛, 并且 (1) 当x 是 f ( x)的连续点时,级数收敛于 f ( x) ;
f
( x)sin nxdx]
n1

f 2( x)dx

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第十五章傅里叶级数
1 三角级数与傅里叶级数
1．证明
(1) sin x ，sin 2x ，， sin nx ，是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ，， ()sin 21n x +，是[0,
]2
π
上的正交系；
(3) 1，cos x ，cos 2x ，，cos nx ，是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ，， sin nx ，不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数： (1) 三角多项式()()0
cos sin n
n i
i
i P x a ix b ix ==
+∑；
(2) ()()3
f x x x ππ=-<<； (3) ()cos
2
x
f x =； (4) ()() ax
f x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 0
0, 0x x f x x ππ
-<<⎧=⎨
≤<⎩；
(8) ()()2
2
f x x x πππ=--<<； (9) ()sgncos f x x =； (10) ()() 022
x
f x x ππ-=
<<.
3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则
21210, 1,2,m m a b m --=== ；
(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则
220, 1,2,m m a b m === .
2 傅里叶级数的收敛性
1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；
(2) ()2, [0,]
1, [,0)
x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩；
2．由展开式
()1
1sin 2(1) n n nx
x x n
ππ∞
+==--<<∑， (1) 用逐项积分法求2
x ，3
x ，4
x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；
(2) 求级数
()
1
4
1
1n n n +∞
=-∑
，
4
11
n n
∞
=∑的和. 3． (1) 在 (,)ππ-内，求()x
f x e =的傅里叶展开式； (2) 求级数
2
1
1
1n n ∞
=+∑的和. 4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，
'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：
0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=
. 5．证明：若三角级数
()01
cos sin 2n n n a a nx b nx ∞
=++∑ 中的系数n a ，n b 满足关系
{}
33max ,n n n a n b M ≤，
M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.
6．设()()01
cos sin 2n
n k k k a T x a kx b kx ==++∑，求证：
()()1sin 122sin
2
n n n t
T x T x t dt t πππ-⎛
⎫+ ⎪⎝⎭=+⎰. 7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：
()0 0n a n ≥>.
9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.
10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和
()()01
cos sin 2n
n k k k a S x a kx b kx ==++∑，
则 ()()()
()20
224
22
n n f x t f x t S x D t dt π
π
++-=⎰
，
其中()n D t 是狄利克雷核.
11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：
()()()00 n S x f x n →→+∞.
12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足
()()000lim 2
t f x t f x t L +→++-= 存在. 证明()0lim n n x L σ→∞
=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞
=，其中
()()0
11n
n k k x S x n σ==+∑.
3 任意区间上的傅里叶级数
1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间()0,2l 展开
, 0,
()0, 2;A x l f x l x l <<⎧=⎨
≤<⎩
(2) ()cos , ,22f x x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
； (3) ()(), 0,f x x l =；
(4) , 01,()1, 12,3, 2 3.x x f x x x x ≤≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≤≤⎩
2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ()cos f x x =； (2) []()f x x x =-.
3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ()sin , 0f x x x π=≤≤；
(2) 1, 02,
()3, 2 4.x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩
4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) ()cos
, 02
x
f x x π=≤≤ (2) 2
(), 02f x x x =≤≤.
5．把函数()2
()1f x x =-在()0,1上展开成余弦级数，并推出
222116123π⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
.
6．将函数()f x 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中
1, 0,21
(), ,2
20, .2x f x x x ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪==⎨⎪⎪<≤⎪⎩
7．应当如何把给定在区间0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的可积函数延拓到区间(),ππ-内，
使得它在(),ππ-中对应的傅里叶级数为： (1) ()()21
1cos 21n n f x a
n x ∞
-=-∑
； (2) ()()21
1
sin 21n n f x b
n x ∞
-=-∑ .
4 傅里叶级数的平均收敛性
1．若()f x ,()g x 以2π为周期，在[,]ππ-平方可积，
()01()cos sin 2n n n a f x a nx b nx ∞
=++∑ ，
()0
1
()cos sin 2
n n n g x nx nx ααβ∞
=++∑
，
则
()001
1
()()2n n n n n a f x g x dx a b π
π
ααβπ
∞
-
==++∑⎰.
2．设()f x 在[0,]l 上平方可积，求证：
222
001
21()2l n n f x dx a a l ∞==+∑⎰，其中
02()cos l n n x
a f x dx l l
π=
⎰.。