方程与一次方程(组)及解法
第五章二元一次方程(组)及其解法(解析版)
第五章二元一次方程组考点类型大总结【知识点及考点类型梳理】知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）考点类型二、用字母表示数考点类型三、二元一次方程（组）的解知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法考点类型二、消元法考点类型三、含参数类型考点类型四、整体思想、换元思想考点类型五、新定义风向知识点一、二元一次方程（组）考点类型一、二元一次方程（组）1．已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（）A ．,11m n ==-B ．1,1m n =-=C ．14,33m n ==-D ．14,33m n =-=【答案】A根据二元一次方程的定义，得出关于m ，n 的方程组，求出答案．【详解】∵关于x 、y 的方程x 2m﹣n ﹣2+y m +n +1＝6是二元一次方程，∴22111m n m n --=⎧⎨++=⎩，解得11m n =⎧⎨=-⎩．故选：A ．【点睛】此题考查了二元一次方程的定义和二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．2．若1335m n m x y --+=是二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（）A ．2m =，3n =B ．2m =，1n =C ．1m =-，2n =D ．3m =，4n =【答案】B【分析】利用二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程判断即可．【详解】解：∵1335m n m x y --+=是二元一次方程，∴m -1=1，3n -m =1，解得：m =2，n =1，故选：B ．此题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．3．方程23235,3,3,320,6x y xy x x y z x y y -==+=-+=+=中是二元一次方程的有___个．【答案】1【分析】二元一次方程满足的条件：整式方程；含有2个未知数；未知数的最高次项的次数是1．【详解】解：符合二元一次方程的定义的方程只有2x −3y ＝5；xy ＝3，x 2＋y ＝6的未知数的最高次项的次数为2，不符合二元一次方程的定义；x ＋3y＝1不是整式方程，不符合二元一次方程的定义；3x −y ＋2z ＝0含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义；由上可知是二元一次方程的有1个．故答案为：1．【点睛】主要考查二元一次方程的概念．要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程．4．如果2120a b x y -++=是二元一次方程，则a =____，b =_____．【答案】3【分析】根据二元一次方程的定义可知21a -=，11b +=，据此可解出a 、b .解：依题意，得：2111a b -=⎧⎨+=⎩，解得：30a b =⎧⎨=⎩.故答案为：3，0.【点睛】此题考查的是对二元一次方程的定义理解，根据未知数的次数为1，可以列出方程组求解．5．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．35233x y x z +=⎧⎨-=⎩B ．12163m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩C ．56m n mn n +=⎧⎨+=⎩D ．321026x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】B【分析】本题根据二元一次方程组的基本形式及特点进行求解即可，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次．【详解】解：A ：含有三个未知数，不是；B ：符合条件，是；C ：mn 项的次数为2，不是；D ：存在不是整式的式子，不是．故选：B ．本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点．6．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩B ．43624x y y z +=⎧⎨+=⎩C ．41x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．22513x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据二元一次方程组的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、方程组141y x x v ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；B 、方程组中有三个未知数，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；C 、该方程组是二元一次方程组，所以本选项符合题意；D 、方程组中第二个方程未知数x 、y 的次数是2，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的概念是关键．7．已知方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，则（）A ．2m ≠±B ．3m =C ．3m =-D ．3m ≠【分析】二元一次方程组：由两个整式方程组成，两个方程一共含有两个未知数，且含未知数的项的最高次数是1，这样的方程组是二元一次方程组，根据定义列方程或不等式，从而可得答案.【详解】解： 方程组2(2)13(3)40m m x x m y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩是关于x ，y 的二元一次方程组，203021m m m ⎧+≠⎪∴-≠⎨⎪-=⎩解得：233m m m ≠-⎧⎪≠⎨⎪=±⎩3.m ∴=-故选：.C 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键.考点类型二、用字母表示数8．由132x y -=可以得到用x 表示y 的式子为（）A ．223x y -=B ．223x y =-C ．2133x y =-D ．223x y =-【分析】先移项，后系数化为1，即可得．【详解】解：132x y -=移项，得123y x =-，系数化为1，得223x y =-，故选B ．【点睛】本题考查了方程的基本运算技能，解题的关键是熟练掌握方程的基本运算技能．9．在二元一次方程142653x y -=中，用含x 的代数式表示y ，则下面结论正确的是（）A ．20524xy -=B ．52024x y -=C ．52024x y +=D ．52024x y +=-【答案】B【分析】先把二元一次方程142653x y -=去分母得：52420x y -=，再通过移项合并同类项可得结果．【详解】解：由二元一次方程142653x y -=去分母，得：52420x y -=，移项合并同类项得：52024x y -=，系数化为1得：52024x y -=，故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程的变形，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程的基本步骤．10．把方程635x y -=改成用含x 的代数式表示y 为y =__________．【答案】2x -53【分析】把x 看作已知数求出y 即可．【详解】解：6x -3y =5，3y =6x -5，解得：y =2x -53故答案为：y =2x -53【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看作已知数求出y ．考点类型三、二元一次方程（组）的解11．已知14x y =-⎧⎨=⎩是方程mx ﹣y ＝3的解，则m 的值是（）A ．﹣1B ．1C ．﹣7D ．7【答案】C【分析】把14xy=-⎧⎨=⎩代入mx﹣y＝3，得到关于m的方程，进而即可求解．【详解】解：14xy=-⎧⎨=⎩是方程mx﹣y＝3的解，∴-m﹣4＝3，解得：m=-7，故选C．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，掌握方程的解的定义，是解题的关键．12．如果方程组23759x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是方程716x my+=的一个解，则m的值为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【分析】求出方程组的解得到x与y的值，代入方程计算即可求出m的值．【详解】解：23759x yx y+=⎧⎨-=⎩①②{，①+②×3得：17x=34，即x=2，把x=2代入①得：y=1，把x=2，y=1代入方程7x+my=16得：14+m=16，解得：m =2，故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组和二元一次方程解的概念，解出二元一次方程组的解代入另一个方程是解决此题的关键．13．二元一次方程210x y +=有______个解，有________个正整数解，它们是___________．【答案】无穷多412348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；【分析】将x 看做已知数求出y ，即可确定出正整数解的个数．【详解】解：由方程210x y +=，得到102y x =-，当x =1时，y =8；当x =2时，y =6；当x =3时，y =4；当x =4时，y =2．则正整数解有4个，故答案为：无穷多；4；12348642x x x x y y y y ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩；；；．【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ．14．若二元一次方程组51cx ay x y -=⎧⎨+=⎩和23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩解相同，则可通过解方程组（）求得这个解．A ．151cx ay x y -=⎧⎨+=⎩B ．51cx ay ax by -=⎧⎨+=⎩C ．23151x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．23151x y ax by -=⎧⎨+=⎩【答案】C【分析】根据方程组同解，可知方程组的解同时满足四个方程，将两个已知方程组成方程组即可．【详解】解：∵二元一次方程组51cx ayx y-=⎧⎨+=⎩和23151x yax by-=⎧⎨+=⎩解相同，方程组的解同时满足这四个方程；∴解方程组23151x yx y-=⎧⎨+=⎩即可求出方程组的解，故选：C．【点睛】本题考查了方程组同解问题，解题关键是明确方程组的解的意义，把已知方程组成方程组．15．若关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，则方程组(3)(1)4(3)(1)8a xb ya xb y+--=-⎧⎨++-=⎩的解是（）A．14xy=-⎧⎨=⎩B．23xy=⎧⎨=⎩C．14xy=⎧⎨=-⎩D．52xy=⎧⎨=⎩【答案】A 【分析】通过观察所给方程组的关系可得3213xy+=⎧⎨-=⎩，求出x、y即可．【详解】解：∵关于x，y的方程组48ax byax by-=-⎧⎨+=⎩的解是23xy=⎧⎨=⎩，∴234 238a ba b-=-⎧⎨+=⎩，又∵(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩，∴3213x y +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =-⎧⎨=⎩，∴方程组(3)(1)4(3)(1)8a x b y a x b y +--=-⎧⎨++-=⎩的解为14x y =-⎧⎨=⎩，故选：A ．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是要知道两个方程组之间的关系．16．已知关于x 、y 的方程组242x y a x y a -=-⎧⎨-=⎩的解x 与y 互为相反数，则a =__________．【答案】2【分析】直接①-②可得42x y a +=-，由题意可得0x y +=，进而可得420a -=，再解即可．【详解】242x y a x y a-=-⎧⎨-=⎩①②，①-②得：42x y a +=-，x y 、互为相反数，0x y ∴+=，420a∴-=，解得：2a=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，解题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件x＝−y．知识点二、二元一次方程组的求解考点类型一、代入法17．用代入法解下列方程组：（1）3 759 y xx y=+⎧⎨+=⎩；（2）35 5215 s ts t-=⎧⎨+=⎩；（3）3416 5633 x yx y+=⎧⎨-=⎩；（4）4(1)3(1)2223x y yx y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩．【答案】（1）1252xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）25112011st⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）612xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）23xy=⎧⎨=⎩．【分析】根据代入法解二元一次方程组即可，代入消元法是将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入到另一个方程中去，这就消去了一个未知数，代入消元法简称代入法．【详解】（1）3759y x x y =+⎧⎨+=⎩①②将①代入②得：75(3)9x x ++=，解得12x =-，将12x =-代入①得，52y =，∴原方程组的解为：1252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（2）355215s t s t -=⎧⎨+=⎩①②由①得，35t s =-③，将③代入②得，52(35)15s s +-=，解得2511s =，将2511s =代入③，得，2011t =，∴原方程组的解为：25112011s t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩①②由①得344y x =-③，将③代入②得，56(4)334x x 3--=，解得6x =，将6x =代入③，得，12y =-，∴原方程组的解为：612x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩；（4）4(1)3(1)2223x y y x y --=--⎧⎪⎨+=⎪⎩①②由①得444332x y y --=--，即45y x =-③，由②可得3212x y +=④，将③代入④得32(45)12x x +-=，解得2x =，将2x =代入③，得，3y =，∴原方程组的解为：23x y =⎧⎨=⎩；【点睛】本题考查了代入法解二元一次方程组，掌握代入法是解题的关键．考点类型二、消元法18．用加减法解下列方程组：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩．【答案】（1）272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）50x y =⎧⎨=⎩；（3）9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【分析】（1）根据加减消元可直接进行求解方程组；（2）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（3）根据加减消元法可直接进行求解方程组；（4）根据加减消元法可直接进行求解方程组．【详解】解：（1）29321x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①+②得：48x =，解得：2x =，把2x =代入①式得：229y +=，解得：72y =，∴原方程组的解为272x y =⎧⎪⎨=⎪⎩；（2）52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×2-②得：735x =，解得：5x =，把5x =代入①得：55225y ⨯+=，解得：0y =，∴原方程组的解为50x y =⎧⎨=⎩；（3）258325x y x y +=⎧⎨+=⎩①②①×3-②×2得：1114=y ，解得：1411y =，把1411y =代入①得：1425811x +⨯=，解得：911x =；∴原方程组的解为9111411x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；（4）236322x y x y +=⎧⎨-=-⎩①②①×2+②×3得：136x =，解得：613x =，把613x =代入①得：623613y ⨯+=，解得：2213y =，∴原方程组的解为6132213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法是解题的关键．考点类型三、含参数类型19．甲、乙两人同解方程组515411ax y x by +=⎧⎨-=-⎩①②时，甲看错了方程①中的a ，解得31x y =-⎧⎨=-⎩，乙看错了②中的b ，解得54x y =⎧⎨=⎩，试求20202021()a b +-的值．【答案】0【分析】将31x y =-⎧⎨=-⎩代入第二个方程可得b 的值，将54x y =⎧⎨=⎩代入第一个方程得a 的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：将31x y =-⎧⎨=-⎩代入411x by -=-得：1211-+=-b ，解得1b =将54x y =⎧⎨=⎩代入方程组中的515ax y +=得：52015a +=，即1a =-20202021()ab ∴+-20202021(1)(1)110=-+-=-=．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．20．若关于x 、y 的二元一次方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩与方程组4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩有相同的解．求m 、n 的值．【答案】m =1，n =3【分析】根据题意列不含m 、n 的方程组求解，求出x ，y 值，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中即可解得m ，n ．【详解】解：解方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩得：21x y =⎧⎨=⎩，代入4213mx ny ny mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩中得：21314m n m n +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：13m n =⎧⎨=⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是根据题意重新联立方程组．21．已知关于x 、y 的方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，求代数式2a +b 的平方根．【答案】代数式2a +b 的平方根是±1．【分析】由已知解方程组2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，即可求解．【详解】解： 方程组2331x y ax by -=⎧⎨+=-⎩的解和2333211ax by x y +=⎧⎨+=⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩与2331ax by ax by +=⎧⎨+=-⎩的解相同，∴2333211x y x y -=⎧⎨+=⎩①②，①2⨯得，466x y -=③，②3⨯得，9633x y +=④，③+④得，3x =，将3x =代入①得，1y =，∴方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩，将31x y =⎧⎨=⎩代入233ax by +=中，得21a b +=，2a b ∴+的平方根为±1．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，理解同解二元一次方程组的含义，将所给方程组重新组合新的方程组，灵活运用加减消元法和代入消元法求方程组的解是解题的关键，也考查了平方根的性质．考点类型四、整体思想、换元思想22．材料：解方程组()1045x y x y y --=⎧⎨--=⎩时，可由①得1x y -=③，然后再将③代入②得415y ⨯-=，求得1y =-，从而进一步求得01x y =⎧⎨=-⎩这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组()()423324x y x y x y -=⎧⎨--=⎩【答案】7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】观察方程组的特点，把2x y -看作一个整体，得到322x y -=，将之代入②，进行消元，得到33422x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得76x =，进一步解得56y =，从而得解．【详解】解：()()423324x y x y x y -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②由①得322x y -=③，把③代入②得33422x ⎛⎫+⨯= ⎪⎝⎭，解得76x =，把76x =代入③，得73262y ⨯-=，解得56y =，故原方程组的解为7656x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．23．阅读材料在解方程组253 4115 x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，明明采用了一种“整体代换”的解法．解：将方程②变形：4x +10y +y ＝5，即2（2x +5y ）+y ＝5③；把方程①代入③得2×3+y ＝5，∴y ＝﹣1，把y ＝﹣1代入①，得x ＝4，∴方程组的解为41x y =⎧⎨=-⎩．请你解决以下问题；模仿明明的“整体代换”法解方程组436 8718 x y x y -=⎧⎨-=⎩①②．【答案】36x y =-⎧⎨=-⎩【分析】将方程②变形为()24318x y y --＝，再将436x y -＝整体代入即可求方程组．【详解】解：4368718x yx y-=⎧⎨-=⎩①②中将②变形，得()24318x y y--＝③，将①代入③得，2×6﹣y＝18，∴y＝﹣6，将y＝﹣6代入①得，x＝﹣3，∴方程组的解为36 xy=-⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法，解题的关键是读懂题意，明确整体思想．24．阅读下列材料：小明同学遇到下列问题：解方程组23237432323832x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把（2x﹣3y）看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：令m＝2x+3y，n＝2x﹣3y．原方程组化为743832m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解的6024mn=⎧⎨=-⎩，把6024mn=⎧⎨=-⎩代入m＝2x+3y，n＝2x﹣3y，得23602324x yx y+=⎧⎨-=-⎩解得914xy=⎧⎨=⎩所以，原方程组的解为914xy=⎧⎨=⎩．请你参考小明同学的做法解方程组：（1）3 6101 610x y x yx y x y+-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩；（2）52113213x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．【答案】（1）137x y =⎧⎨=-⎩；（2）1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】认真理解题目中给定的整体代换思路，按照所给的方法求出方程组的解即可．【详解】解：（1）令6x y m +=，10x y n -=，原方程组化为31m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩，∴16210x y x y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得：137x y =⎧⎨=-⎩．∴原方程组的解为137x y =⎧⎨=-⎩．（2）令1m x =，1n y=，原方程组可化为：52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，∴1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，经检验，1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是原方程的解．∴原方程组的解为1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键．考点类型五、新定义风向25．在平面直角坐标系中，已知点(),A x y ，点()2,2B x my mx y --（其中m 为常数，且0m ≠），则称B 是点A 的“m 系置换点”．例如：点()1,2A 的“3系置换点”B 的坐标为()1232,2312-⨯⨯⨯⨯-，即()11,4B -．（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为________；（2）若点A 的“3系置换点”B 的坐标是(-4，11)，求点A 的坐标．（3）若点(),0A x （其中0x ≠），点A 的“m 系置换点”为点B ，且2AB OA =，求m 的值；【答案】（1）()28，；（2）()21，；（3）1m =±．【分析】（1）根据题中新定义直接将m 的值代入即可得出答案；（2）根据题中新定义列出关于x 、y 的二元一次方程组求解即可得出答案；（3）根据题中新定义可得出点B 的坐标，再根据2AB OA =列方程求解即可得出答案．【详解】解：（1）点(2，0)的“2系置换点”的坐标为()22202220-⨯⨯⨯⨯-，，即()28，；（2）由题意得：2342311x y x y -⨯⨯=-⎧⎨⨯⨯-=⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩∴点A 的坐标为：()21，；（3） (),0A x ∴点()2,2B x my mx y --为()20,20x m mx -⨯-即点B 坐标为(),2x mx ∴2AB mx =，OA x= 2AB OA =22mx x∴= m 为常数，且0m ≠∴1m =±．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、绝对值方程，理解“m 系置换点”的定义并能运用是本题的关键．26．对x ，y 定义一种新的运算A ，规定：()()(),ax by x y A x y ay bx x y ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩（其中0ab ≠）．（1）若已知1a =，2b =-，则()4,3A =_________．（2）已知()1,13A =，()1,20A -=．求a ，b 的值；（3）在（2）问的基础上，若关于正数p 的不等式组()()3,21413,2A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩恰好有2个整数解，求m 的取值范围．【答案】（1）2-；（2）12a b =⎧⎨=⎩；（3）2618m -<-≤【分析】（1）根据新定义就是即可；（2）根据题中的新定义列出方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值；（3）由（2）化简得A （x ，y ）的关系式，先判断括号内数的大小，再转化成不等式求解即可．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：1×4+3×(-2)=-2，故答案为-2；（2）根据题中的新定义得：320a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩；（3）由（2）化简得：A （x ，y ）=()()22x y x y y x x y ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩，∴在关于正数p 的不等式组()()3214132A p p A p p m ⎧->⎪⎨---≥⎪⎩，，中，∴A （3p ，2p -1）=7p -2＞4，A （-1-3p ，-2p ）=-2p +2（-1-3p ）=-8p -2≥m ，∴p ＞67，p ≤m 28+-∵恰好有2个整数解，∴2个整数解为1，2．∴2≤m28+-＜3，∴-26＜m≤-18．【点睛】本题主要考查新定义的运算，解决本题的关键是要按照定义式子中列出算式进行解方程和不等式组．。
一次方程组的古今表示及解法
一次方程组的古今表示及解法
一次方程组的古今表示及解法
一次方程组是指由一个或多个未知数组成的方程式的集合，一次方程组是数学里最重要的初等代数问题，也是学习数学的基础，它在很多科学技术研究中起着重要作用。
古代方程组的表示
早在古代，印度学者们就把方程写成两边的形式，就如今天“x+y=2”这样的形式，例如：
五世纪耶尼丝·桑哈里用以下公式表示一次方程：
六世纪马里亚诺·马基·拉帝用以下公式表示一次方程：
十一世纪阿拉伯学者拉希德·艾哈迈德·艾马迪亚也用以下公式表示一次方程：
今日方程组的表示
今天，我们对一次方程组的表示一般用一下形式表示：
ax+by=c
其中x、y是未知数，a、b、c是系数，这些系数可以是整数、有理数或是实数等。
一次方程组的解法
一次方程组可以采用消元法、把步法、图形解法、逐步逼近法等方法来求解。
1、消元法：消元法是将多个未知数的方程式组合成n个未知数的标准型求解的最常用的方法。
2、把步法：把步法是将多个未知数的方程式，先将一个未知数求解，用求解出来的值替换其它未知数，再求解出其它未知数的值，求解，这是一种比较容易理解的一种解法。
3、图形解法：把方程式绘制成图象，在图象上求解出未知数的值的过程，叫做图形解法。
4、逐步逼近法：逐步逼近法是在推测未知的值中，利用方程体右边的函数值，不断调整未知数的初值，做到调整未知值无限接近实际解，直到未知值满足方程体的要求。
各种方程(一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法)的解法
一元一次、二元一次、三元一次、一元一次、二元二次方程的解法整理稿方程含有未知数的等式叫方程。
等式的基本性质1：等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a＝b，c为一个数或一个代数式。
则：(1)a+c＝b+c(2)a-c＝b-c等式的基本性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。
(4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
【方程的一些概念】方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
解方程的依据：1.移项；2.等式的基本性质；3.合并同类项；4. 加减乘除各部分间的关系。
解方程的步骤：1.能计算的先计算；2.转化——计算——结果例如：3x=5*63x=30x=30/3x=10移项：把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项，根据是等式的基本性质1。
方程有整式方程和分式方程。
整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程。
分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
一元一次方程人教版5年级数学上册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第七章会学到,苏教版5年级下第一章定义：只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程。
通常形式是kx+b=0(k，b 为常数，且k≠0）。
一般解法：⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
但顺序有时可依据情况而定使计算简便。
可根据乘法分配律。
⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。
⒋合并同类项将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。
⒍得出方程的解。
同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
方程的同解原理：⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
七年级下-二元一次方程组的定义及解法
二元一次方程组的定义及解法知识集结知识元二元一次方程（组）的定义知识讲解1. 二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。
所以满足三个条件：①方程中有且只有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数为1；③方程为整式方程，就是二元一次方程。
注意：主要考查未知数的项的次数为1，方程必须为整式，不能为分式。
例：x=2y.2.二元一次方程组的定义：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。
注意三条：①方程组中有且只有两个未知数。
②方程组中含有未知数的项的次数为1。
③方程组中每个方程均为整式方程。
注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：①方程可以超过两个；②有的方程可以只有一元。
例题精讲二元一次方程（组）的定义例1.下列方程中，是二元一次方程的是（）.A．8x2+1=y B．y=8x+1C．y=D．xy=1例2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（）.C．D．A．B．例3.有下列方程组：（1）（2）（3）（4），其中说法正确的是（）.A．只有（1）、（3）是二元一次方程组B．只有（3）、（4）是二元一次方程组C．只有（4）是二元一次方程组D．只有（2）不是二元一次方程组根据定义求字母的值知识讲解含有参数的二元一次方程组，根据二元一次方程的定义：1.二元的系数不为零。
2.未知数的次数为1。
注意：出现在选择填空题时，可以不用解出方程，可以直接将m,n的值代入验证即可。
例题精讲根据定义求字母的值例1.已知3 =y是二元一次方程，那么k的值是（）.A．2B．3C．1D．0例2.若﹣8 =10是关于x，y的二元一次方程，则m+n=．例3.'若(a-3)x+=9是关于x，y的二元一次方程，求a的值。
'由实际问题抽象出二元一次方程组知识讲解分析实际问题，找出等量关系，列出实际问题.例题精讲由实际问题抽象出二元一次方程组例1.4辆板车和5辆卡车一次能运27吨货，10辆板车和3车卡车一次能运货20吨，设每辆板车每次可运x吨货，每辆卡车每次能运y吨货，则可列方程组（）.A．B．C．D．例2.元旦期间，某服装商场按标价打折销售，小王去该商场买了两件衣服，第一件打6折，第二件打5折，共记230元，付款后，收银员发现两件衣服的标价牌换错了，又找给小王20元，请问两件衣服的原标价各是多少？解：设第一件衣服的原标价为x元，第二件衣服的原标价为y元；由题意可得方程组__________。
二元一次方程组与一次函数
二元一次方程组与一次函数一、定义和性质：ax + by = cdx + ey = f其中a、b、c、d、e、f是已知的实数，且a和d不同时为0。
在二元一次方程组中，有以下性质：1.若方程组中的两个方程的系数比例相同，则这个方程组无解或有无数多个解。
2.三个线性方程的组合也仍然是满足二元一次方程组性质的。
二、解法：1.消元法：通过将一个方程的任意倍数加到另一个方程上，消去一个未知数的项，从而得到一个关于另一个未知数的一次方程。
根据得到的方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
2.代入法：将一个方程的一个未知数表达式代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
根据这个方程解出一个未知数的值，再带入到另一个方程中求得另一个未知数的值。
3.矩阵法：将方程组的系数和常数项构成矩阵，然后通过矩阵的运算方法（如行列式、逆矩阵等）求解未知数。
解方程组的关键是找到合适的方法和技巧。
对于一些特殊的方程组，还可以利用几何方法进行解答。
三、二元一次方程组与一次函数的关系：从形式上看，二元一次方程组和一次函数都是关于未知数的一次方程。
一次函数是变量的对应关系，而二元一次方程组是未知数之间的关系。
将二元一次方程组写成矩阵形式为：..[ab][x]=[c][de][y][f]可以将这个方程组解释为从二维平面上的两条直线的交点。
其中x和y分别是直线的横坐标和纵坐标，a、b、c、d、e、f是直线的特征系数。
而一次函数可以看作是二维平面上一条直线，其斜率m和常数项c与二元一次方程组的系数有关。
对于方程组中的第一个方程ax + by = c，其可以表示为 y = (-a/b)x + c/b，其中(-a/b)表达了直线的斜率m，c/b表达了直线的截距c。
因此，一次函数和二元一次方程组在形式上和几何意义上都有相似之处，但是在概念上有明显的区别。
总结：本文从定义、性质、解法以及与一次函数的关系等几个方面进行了对二元一次方程组的介绍。
一次方程与方程组知识点总结归纳
一次方程与方程组知识点总结归纳一、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
- 一般形式：ax + b=0(a≠0)，其中a是未知数x的系数，b是常数项。
例如2x + 3 = 0就是一元一次方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
例如x = - (3)/(2)是方程2x+3 = 0的解。
3. 等式的性质。
- 性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
如果a=b，那么a±c = b±c。
- 性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
如果a = b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么(a)/(c)=(b)/(c)。
- 利用等式的性质可以求解一元一次方程，例如解方程2x+3 = 0，首先根据等式性质1，两边同时减3得2x=-3，再根据性质2，两边同时除以2得x = - (3)/(2)。
4. 一元一次方程的解法步骤。
- 去分母（若方程中存在分母时）：根据等式性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。
例如方程(x + 1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6得3(x + 1)+2(x - 1)=6。
- 去括号：根据乘法分配律将括号去掉。
如3(x + 1)+2(x - 1)=6去括号后变为3x+3 + 2x-2 = 6。
- 移项：把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号。
例如3x+3 + 2x-2 = 6移项后得3x+2x=6 - 3+2。
- 合并同类项：将方程中同类项合并。
如3x+2x=6 - 3+2合并同类项得5x = 5。
- 系数化为1：根据等式性质2，方程两边同时除以未知数的系数。
如5x = 5两边同时除以5得x = 1。
二、二元一次方程（组）1. 二元一次方程。
一元一次方程和它的解法教案
一元一次方程和它的解法教案【3篇】教学目标：学问与技能：1、理解一元一次方程，以及一元一次方程解的概念。
2、会从题目中找出包含题目意思的一个相等关系，列出简洁的方程。
3、把握检验某个数值是不是方程解的方法。
过程与方法：在实际问题的过程中探讨概念，数量关系，列出方程的方法，训练学生运用学问解决实际问题的力气。
情感态度和价值观：让学生体会到从算式到方程是数学的进步，表达数学和日常生活亲切相关，生疏到很多实际问题可以用数学方法解决，激发学生学习数学的热忱。
教学重点：建立一元一次方程的概念，查找相等关系，列出方程。
教学过程与方法：在实际问题的过程中探讨概念，数量关系，列出方程的方法，训练学生运用学问解决实际问题的力气。
情感态度和价值观：让学生体会到从算式到方程是数学的进步，表达数学和日常生活亲切相关，生疏到很多实际问题可以用数学方法解决，激发学生学习数学的热忱。
教学重点：建立一元一次方程的概念，查找相等关系，列出方程。
教学难点：依据具体问题中的相等关系，列出方程。
教学预备：多媒体教室，配套课件。
教学过程：设计理念：数学教学要从学生的阅历和已有的学问动身，创设有助于学生自主学习的问题情景，在数学教学活动中要制造性地使用数学教材。
课程标准的建议要求教师不再是“教教材”而是“用教材”。
本节课在抓住主要目标，用活教材，针对学生实际、激活学生学习热忱等方面做了有益的探究，现就几个教学片断进展探讨。
一、玩耍导入，设置悬念师：同学们，教师学会了一个魔术，情你们协作表演。
请看大屏幕，这是2023年10月的日历，请你用正方形任意框出四个日期，并告知教师这四个数字的和，教师马上就告知你这四个数字。
生1：24,师：2，3，9,10生2:84师：17，18,24，25师：同学们想学会这个魔术吗？生：想！师：通过这节课的学习，同学们确定能学会！【一些教师常用教材的章前图或者行程问题情景导入，但章前图过于平淡且较难，不易激发学生兴趣，本次课用玩耍导入激发学生的求知欲，其实质是列一元一次方程x+(x+1)+(x+7)+(x+8)=任意框出的四个日期的和，x是第一个日期，这是本次课的第一个变化。
中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组
中考数学复习重要知识点专项总结—方程和方程组一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。
（4）一元一次方程有唯一的一个解。
2、一元二次方程（1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c 是已知数，a≠0）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法。
（4）一元二次方程的根的判别式：当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时方程有两个相等的实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两个根，那么：，（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）分式方程的解法：一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。
特殊方法：换元法。
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：一般形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。
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中考数学精选例题解析：方程与一次方程(组)及解法
知识考点：
了解等式和方程、一元一次方程（组）的概念，掌握等式的基本性质，能正确熟练地解一元一次方程，会对方程的解进行检验。
明确解方程组的基本思想是化归思想，并能用加减消元法和代入消元法解一次方程组。
精典例题：
【例1】解方程：12
733)1(2-=-+
+x
x x 分析：依据方程的同解原理，突出基本步骤，去分母时防止漏乘，注意移项时要改变符号。
答案：7
12
=
x 【例2】若关于x 的方程：4)2(35)3(10--
=+-x k x x k 与方程3
21)1(25x
x -=+-的解相同，求k 的值。
分析：由“解相同”的定义，将方程3
21)1(25x
x -=+-的解代入第一个方程，建立一个关于k 的方程，解之即可。
答案：k ＝4
【例3】在代数式m by ax ++中，当x ＝2，y ＝3，m ＝4时，它的值是零；当x ＝－3，y ＝－6，m ＝4时，它的值是4；求a 、b 的值。
分析：由代数式值的定义得关于a 、b 的二元一次方程组，侧重分析如何选择使用加减法或代入法消元。
答案：⎪⎩
⎪⎨⎧=-=3107
b a
探索与创新：
【问题一】要把面值为10元的人民币换成2元或1元的零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么共有换法（ ）
A 、5种
B 、6种
C 、8种
D 、10种
略解：首先把实际问题转化成数学问题，设需2元、1元的人民币各为x 、y 张（x 、y 为非负数），则有：x y y x 210102-=⇒=+，0≤x ≤5且x 为整数⇒x ＝0、1、2、3、4、5。
答案：B
【问题二】如图是某风景区的旅游路线示意图，其中B 、C 、D 为风景点，E 为两条路的交叉点，图中数据为相应两点的路程（单位：千米）。
一学生从A 处出发以2千米／小时的速度步行游览，每个景点的逗留时间均为0.5小时。
（1）当他沿着路线A →D →C →E →A 游览回到A 处时，共用
了3小时，求CE 的长；
（2）若此学生打算从A 处出发后，步行速度与在景点的逗留时间保持不变，且在最短时间内看完三个景点返回到A 处，请你为他设计一条步行路线，并说明这样设计的理由（不考虑
其它因素）。
略解：
（1）设CE 线长为x 千米，列方程可得x ＝0.4。
（2）分A →D →C →B →E →A 环线和A →D →C →E →B →E →A 环线计算所用时间，前者4.1小时，后者3.9小时，故先后者。
跟踪训练： 一、填空题：
1、若)23(x -∶2＝)23(x +∶5，则x ＝ 。
2、如果
532-x 与33
2
-x 的值互为相反数，则x ＝ 。
3、已知⎩⎨
⎧-==11y x 是方程组⎩⎨⎧=-=+2
412
by x by ax 的解，则b a +＝ 。
二、选择题：
1、若单项式124+-m b a 与7
23
2+-
m m b a 是同类项，则m ＝（ ） A 、2 B 、±2 C 、－2 D 、4
2、已知方程组⎩⎨
⎧=+=+4535y ax y x 与⎩⎨⎧=+=-1
55
2by x y x 有相同的解，则a 、b 的值为（ ）
问题二图
x
••
•
•
•
1.2
0.4
1
1
1.6
E
D C
B
A
A 、⎩⎨⎧==21b a
B 、⎩⎨⎧-=-=64b a
C 、⎩⎨⎧=-=26b a
D 、⎩
⎨⎧==214b a
3、若方程组⎩⎨
⎧=++=+3
31
3y x k y x 的解x 、y 满足0＜y x -＜1，则k 的取值范围是（ ）
A 、2＜k ＜3
B 、2＜k ＜4
C 、－4＜k ＜0
D 、－4＜k ＜－2
4、在一次美化校园的活动中，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？解题时若设支援拔草的人数有
x 人，则下列方程中正确的是（ ）
A 、18232⨯=+x
B 、)38(232x x -=+
C 、)18(252x x +=-
D 、18252⨯=-x 三、解方程（组）
1、
4
2
331+-
=-x x ； 2、
2
5
03.002.003.02.18.08.1-=
+-+x x x ； 3、⎩⎨
⎧=-=+1
235
32y x y x ；
4、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+x y y x y x y x 2334
35
)
(24231。
四、当x ＝1、2、3时，c bx ax ++2的对应值分别是2、3、6，求a 、b 、c 的值。
五、已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，解关于x 的方程：1)2(2-=++a b x a
参考答案
一、填空题：
1、
149；2、8
27；3、8
二、选择题：CDBB 三、解方程（组）：
1、26-=x ；
2、6=x ；
3、⎩⎨⎧==11y x ；
4、⎩
⎨⎧==611
y x ；
四、⎪⎩
⎪
⎨⎧=-==321
c b a
五、6=x。