自动控制原理 第二章 自动控制系统的数学模型【精选】
合集下载
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
02 自动控制原理—第二章
Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
《自动控制原理》第2章 自动控制系统的数学模型
2020年2月4日
EXIT
第2章第3页
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一 个数学表达式分析，具有相同的数学模型（可以 进行仿真研究）。
（2）根据各元件在工作过程中所遵循的物理或化学定律，按工 作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出微分 方程。常用的定律有：电路系统的基尔霍夫定律、力学系统的牛顿 定律和热力学定律等等。
（3）消去中间变量后得到描述输出量与输入量（包括扰动量） 关系的微分方程，即元件的数学模型。
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2020年2月4日
EXIT
第2章第24页
2.建立步骤 ① 按系统数学模型的建立方法，列出系统各个部分的微分 方程。 ② 确定系统的工作点，并分别求出工作点处各变量的工作 状态。 ③ 对存在的非线性函数，检验是否符合线性化的条件，若 符合就进行线性化处理。 ④ 将其余线性方程，按增量形式处理，其原则为：对变量 直接用增量形式写出；对常量因其增量为零，故消去此项。 ⑤ 联立所有增量化方程，消去中间变量，最后得只含有系 统总输入和总输出增量的线性化方程。
exit2020年2月18日exit2020年2月18日2121控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立2222非线性系统微分方程的线性化非线性系统微分方程的线性化2323传递函数传递函数2424控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2525自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数2626信号流图信号流图2727脉冲响应函数脉冲响应函数exit2020年2月18日数学模型1
自动控制理论第二章 自动控制系统的数学模型课件
四、拉氏变换的基本性质 下面给出拉氏变换的几个基本性质，这些性质今后会经常用到，特
别是其中的一些细节，请注意深入理解。
齐次性 线性性质 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 卷积定理
Laf (t) aF(s)
Laf1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
L
d dt
f (t) sF(s)
0 dt
0
s0
即
f () lim sF (s) 。 s0
因为要求 s 沿着使 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内的某条路径趋于零，根据使 拉氏变换积分为收敛的条件，这要求 f (t) 的拉氏变换 F (s) 在 s 右半闭平面内是解析的。 在使用终值定理时，要首先检验 F (s) 在 s 右半闭平面解析的条件，否则会导致错误。
（5）初值定理
设 F (s) 是 f (t) 的 0 型的拉氏变换，且极限 lim sF (s) 存在，则有 s f (0 ) lim sF(s) s
注意，应用初值定理无法给出严格的 f (t) 在 t 0 时刻的值，但能给出 f (t) 在 t 0 的值。 应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于无穷
大，根据使拉氏变换积分为收敛的条件，这时总有 R s 0 ，于是对于时间间隔 0 t ，
有 lim est 0 ，故有 s
lim
s
L
df (t) dt
lim
s
0
df (t) dt
est dt
lim
s
sF (s)
f (0 ) 0
即
f (0 ) lim sF(s) s
从上述证明过程可以看出，应用初值定理只能给出函数 f (t) 在 t 0 时刻的值，而且，这样一个 事实与函数 f (t) 是否满足 f (0 ) f (0) f (0 ) 并无关系。
别是其中的一些细节，请注意深入理解。
齐次性 线性性质 微分定理 积分定理 终值定理 初值定理 卷积定理
Laf (t) aF(s)
Laf1(t) bf2 (t) aF1(s) bF2 (s)
L
d dt
f (t) sF(s)
0 dt
0
s0
即
f () lim sF (s) 。 s0
因为要求 s 沿着使 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内的某条路径趋于零，根据使 拉氏变换积分为收敛的条件，这要求 f (t) 的拉氏变换 F (s) 在 s 右半闭平面内是解析的。 在使用终值定理时，要首先检验 F (s) 在 s 右半闭平面解析的条件，否则会导致错误。
（5）初值定理
设 F (s) 是 f (t) 的 0 型的拉氏变换，且极限 lim sF (s) 存在，则有 s f (0 ) lim sF(s) s
注意，应用初值定理无法给出严格的 f (t) 在 t 0 时刻的值，但能给出 f (t) 在 t 0 的值。 应用函数导数的拉氏变换法则，在使函数 f (t) 的拉氏变换积分为收敛的区域内令 s 趋于无穷
大，根据使拉氏变换积分为收敛的条件，这时总有 R s 0 ，于是对于时间间隔 0 t ，
有 lim est 0 ，故有 s
lim
s
L
df (t) dt
lim
s
0
df (t) dt
est dt
lim
s
sF (s)
f (0 ) 0
即
f (0 ) lim sF(s) s
从上述证明过程可以看出，应用初值定理只能给出函数 f (t) 在 t 0 时刻的值，而且，这样一个 事实与函数 f (t) 是否满足 f (0 ) f (0) f (0 ) 并无关系。
自动控制原理-第二章 控制系统的数学模型
dn dtn f ( t )
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
t
f (t)dt 0
t
f ( )d
n
ki .L[ f (t )]
i 1
sF (s) f (0 )
s2F (s) sf (0 ) f (0 )
snF (s) sn1 f (0 ) sn2 f (0 ) f (n1) (0 )
电枢回路方程为
La
dia (t) dt
Raia (t)
Ea (t)
ua (t)
电磁转矩方程 M m Cmia (t)
电动机轴上转矩平衡方程
Jm
dm (t)
dt
fmm (t)
Mm
MC
(t)
若以角速度 m 为输出量、电枢电压 ua 为输入量，
消去中间变量，直流电动机的微分方程为
(s2+s+1)Uc(s)= Ur(s)+0.1(s+2)
即 U S 1 U S 0.1S 2
C
S2 S 1 r
S2 S 1
通电瞬间, ur(t)=1 或 Ur(s)=L[ur(t)]=1/S
故 U S 1 1 0.1S 2
C
S2 S 1 S S2 S 1
再对上式两边求反拉氏变换：
u c
t
L1 U C
S
L1
S
2
1 S
1
1 S
S
2
1 S
1
=1+1.15e-0.5tSin(0.866t-120°)+ 0.2e-0.5tSin(0.866t+30°)
自动控制原理第二章自动控制原理控制系统的数学模型
第二章 控制系统的数学模型2-1 控制系统的时域模型一、建立系统微分方程的基本步骤(P23，第二自然段)：⑴ 分析系统工作原理、各变量之间的关系，确立系统的输入变量和输出变量； ⑵ 依据支配系统工作的基本规律，逐个列写出各元件的微分方程；⑶ 消去中间变量，列写出只含有输入和输出变量以及它们的各阶导数的微分方程； ⑷ 将方程写成规范形式。
例2-1：系统输入i u ，输出o u ；从输入到输出顺序列写各元件方程， td id Lu L =，i R u R =，⎰=t id C u o 1，及o R L i u u u u ++=利用输出电压与回路电流的关系消去中间变量，t d u d C i o =，22t d u d C t d id o =；o o o i u t d u d RC td u d LC u ++=22 写成规范的微分方程(标准形式)：i o o o u u td u d RC t d u d LC =++2；或 i o u u p T p T =++)1(221，其中LC T =1，RC T =2，t d dp =。
“系统初始条件均为零”是指在零时刻以前系统的输入和输出及他们的各阶导数均为零。
在复数域，复变量s 对应微分算子，而s /1对应积分运算。
“输出对输入的响应” 是指，初始条件为零时，系统输出的运动情况。
因此，可以直接列写控制系统在复数域的方程。
就本例而言有：)()(s sI L s U L =，)()(s I R s U R =，)(1)(s I sC s U o =，及 )()()()(s U s U s U s U o R L i ++=； 消去中间变量)()(s U s C s I o ⋅=，得()()1(221U s U s T s T i o =++例2-2：系统输入F ，输出x ；力平衡方程：)()()()(2s X K s f s F s X ms +-=；整理得，)()()(2s F s X K s f ms =++。
自动控制原理第2章
传递函数是在拉氏变换基础上的复域中的数学模型。
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
※传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以
用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
微分方程 t （时域）
L
L
1
F
F 1
系统
传递函数
s j
j
频率特性
s
（复域）
s
（频域）
2.3.1拉氏变换相关知识
2.3.2传递函数的定义
线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f 2 ( x1 x10 ) 2 y f ( x10 , x20 ) ( x1 x10 ) ( x2 x20 ) ( x1 x10 )(x2 x20 ) 2 ( x2 x20 ) 2 x 2! x x2 x1x2 x2 1 1
例2.5试建立如图2.4所示系 统的微分方程。
R1
解：根据克希霍夫电压定律， 可写出下列方程组
u1
R2
ur
i1
C1 图2.4
i2
C2
uc
1 ur R1i1 C (i1 i2 )dt 1 1 1 (i1 i2 )dt R2i2 i2 dt C2 C1 1 uc i2 dt C2
用台劳级数展开为
df ( x) 1 d 2 f ( x) y f ( x) f ( x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) ( ) x 0 ( x x0 ) 2 ... dx 2! dx 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
据处理而辨识出系统的数学模型。
北京航空航天大学
总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。
北京航空航天大学
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求
2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数 (transfer function)
2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数
2-6 典型反馈系统传递函数
北京航空航天大学
返回主目录
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
可得
df y dx |x0
xk
x ，简记为 y=kx。
若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
f
f
z xv |(x0 , y0 ) x y |(x0 , y0 ) y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
然有，当
r(t) ＋r1(t) 时r2 (，t) 必存在解
为 c(t) c1(t) c2 (t) ，即为可叠加性。
北京航空航天大学
Байду номын сангаас
若 r(t) ar1(t) 时，a 为实数，则方程解
为 c(t) ac1(t) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增
北京航空航天大学
令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 4) 可写成
T
2
d
2 y(t) dt 2
2
T
dy(t) dt
y(t)
kF (t)
(2 5)
T称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶
强若干倍，这就是叠加原理。
北京航空航天大学
• 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实验法
北京航空航天大学
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
北京航空航天大学
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t) dt dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 c，2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
北京航空航天大学
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
北京航空航天大学
北京航空航天大学
返回子目录
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
北京航空航天大学
• 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是 建立系统的数学模型。
线性定常微分方程。
北京航空航天大学
2－2 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程 度的非线性，如下图所示。
返回子目录
北京航空航天大学
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
m K
d 2 y(t) dt 2
f K
dy(t) dt
y(t)
1 K
F (t)
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
k
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
M y(t)
Fi 0
f
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。
北京将航空各航天力大学代入上等式，则得
北京航空航天大学
返回子目录
列写微分方程的一般方法
• 例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
i
ur
C
uc
北京航空航天大学
解：由基尔霍夫定律得:
ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
北京航空航天大学
• 例2. 设有一弹簧质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。
北京航空航天大学
总结： 解析方法适用于简单、典型、常 见的系统，而实验方法适用于复杂、非常 见的系统。实际上常常是把这两种方法结 合起来建立数学模型更为有效。
北京航空航天大学
2-1控制系统微分方程的建立
基本步骤： 分析各元件的工作原理，明确输入、输出量 建立输入、输出量的动态联系 消去中间变量 标准化微分方程
第二章 自动控制系统的数学模型
基本要求
2-1 控制系统微分方程的建立 2-2 非线性微分方程的线性化
2-3 传递函数 (transfer function)
2-4 动态结构图 2-5 系统的脉冲响应函数
2-6 典型反馈系统传递函数
北京航空航天大学
返回主目录
基本要求 1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉 氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。
可得
df y dx |x0
xk
x ，简记为 y=kx。
若非线性函数由两个自变量，如z＝f（x,y），则在
平衡点处可展成（忽略高次项）
f
f
z xv |(x0 , y0 ) x y |(x0 , y0 ) y
经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性 关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为 强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于 线性系统，可采用叠加原理来分析系统。
然有，当
r(t) ＋r1(t) 时r2 (，t) 必存在解
为 c(t) c1(t) c2 (t) ，即为可叠加性。
北京航空航天大学
Байду номын сангаас
若 r(t) ar1(t) 时，a 为实数，则方程解
为 c(t) ac1(t) ，这就是齐次性。
上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生 的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响 应之和，而且外作用增强若干倍，系统响应也增
北京航空航天大学
令 T m / K ，2 T f / K 即 f / 2 mK
k 1/ K ， 则式 (2 4) 可写成
T
2
d
2 y(t) dt 2
2
T
dy(t) dt
y(t)
kF (t)
(2 5)
T称为时间常数， 为阻尼比。显然，
上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶
强若干倍，这就是叠加原理。
北京航空航天大学
• 系统的数学模型是描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。 – 建立数学模型的方法分为解析法和实验法
北京航空航天大学
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵
循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信
号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数
北京航空航天大学
叠加原理
叠加原理含有两重含义，即可叠加性和均匀性（或 叫齐次性）。
例： 设线性微分方程式为
d 2c(t) dc(t) c(t) r(t) dt dt
若 r(t) r1(t) 时，方程有解 c1(t) ，而 r(t) r2 (t)时，
方程有解 c，2 (分t) 别代入上式且将两式相加，则显
平衡位置附近的小偏差线性化
输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。
北京航空航天大学
在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y 只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系
函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x
很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非
线性），即小偏差线性化。
北京航空航天大学
北京航空航天大学
返回子目录
6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方 法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用 梅森公式求传递函数的方法。 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误 差传递函数的概念。
北京航空航天大学
• 分析和设计任何一个控制系统，首要任务是 建立系统的数学模型。
线性定常微分方程。
北京航空航天大学
2－2 非线性微分方程的线性化
• 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程 度的非线性，如下图所示。
返回子目录
北京航空航天大学
于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其 求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处 理确有必要。
对弱非线性的线性化
如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影 响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或 间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响， 也近似为放大特性，如图中虚线所示。
d 2 y(t) dy(t) m dt2 f dt Ky(t) F (t)
式中：y——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); K ——弹簧刚度（N/m)。
(2 4)
将式(2-4)的微分方程标准化
m K
d 2 y(t) dt 2
f K
dy(t) dt
y(t)
1 K
F (t)
F(t) f
k M y(t)
解：分析质量块m受力，有
外力F,
弹簧恢复力 Ky（t）
阻尼力 fdy(t) / dt
F(t)
k
惯性力 md 2 y / dt 2
由于m受力平衡，所以
M y(t)
Fi 0
f
式中：Fi是作用于质量块上 的主动力，约束力以及惯性 力。
北京将航空各航天力大学代入上等式，则得
北京航空航天大学
返回子目录
列写微分方程的一般方法
• 例1. 列写如图所示RC网络的微分方程。 R
i
ur
C
uc
北京航空航天大学
解：由基尔霍夫定律得:
ur
Ri
1 C
idt
uc
1 C
idt
(2 1)
式中: i为流经电阻R和电容C的电流,消去中间变
量i,可得:
RC
duc dt
uc
ur
(2 2)
令 RC T（时间常数），则微分方程为：
T
duc dt
uc
ur
(2 3)
北京航空航天大学
• 例2. 设有一弹簧质 量 阻尼动力系统如 图所示，当外力F(t)作 用于系统时，系统将
产生运动，试写出外 力F(t)与质量块的位移 y(t)之间的动态方程。 其中弹簧的弹性系数 为k，阻尼器的阻尼系 数为f，质量块的质量 为m。