2003考研数三真题及解析.doc

2 0 0 3年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1)x cos1, 若x 0,0 处连续，则. 设 f ( x) x 其导函数在 x 的取值范围是0, 若x 0,(2) 已知曲线 y x3 3a 2 x b 与 x 轴相切，则 b 2 可以通过 a 表示为 b2 .(3) 设 a 0 ， f ( x) g( x)a,若0 x 1,D 表示全平面，则而0, 其他，I f ( x) g( y x)dxdy =.D(4) 设n维向量(a,0, ,0, a)T , a 0 ；E为 n 阶单位矩阵，矩阵A EB E 1T ，其中A的逆矩阵为B，则a.aT，(5) 设随机变量 X 和 Y 的相关系数为0.9, 若Z X 0.4 ，则 Y 与 Z 的相关系数为.(6) 设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X1, X2, , X n为来自总体X 的简单随机样本，则当n 时， Y n 1 n X i2依概率收敛于.n i 1二、选择题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共24 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设 f ( x) 为不恒等于零的奇函数，且 f (0) 存在，则函数g ( x) f ( x)() x(A) 在x 0 处左极限不存在 . (B) 有跳跃间断点(C) 在x 0 处右极限不存在 . (D) 有可去间断点x0 . x0 .(2) 设可微函数 f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 取得极小值，则下列结论正确的是( )(A) f ( x0 , y) 在 y y0处的导数等于零. (B) f (x0, y)在y y0处的导数大于零.(C) f ( x0 , y) 在 y y0处的导数小于零. (D) f (x0 , y) 在 y y0处的导数不存在.(3) 设 p n a n a n a n a n1,2, ，则下列命题正确的是( ) ， q n ， n2 2(A)若a n条件收敛，则p n与q n都收敛.n 1n 1n 1(B) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 都收敛 .n 1n 1n 1a b (C) 若 a n 条件收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1(D) 若a n 绝对收敛，则p n 与q n 敛散性都不定 .n 1n 1n 1a b b(4) 设三阶矩阵A b a b ，若 A 的伴随矩阵的秩为 1，则必有 ( )b b a(A) a b 或 a 2b 0 . (B) a b 或 a 2b 0 .(C)a b 且 a 2b 0 .(D)a b 且 a 2b 0 .(5) 设1 , 2,, s 均为 n 维向量，下列结论不正确的是()(A) 若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , ,k s ，都有 k 1 1k2 2k s s 0 ，则1,2, ,s 线性无关 .(B) 若1, 2,, s线 性 相 关 ， 则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1 , k 2 , , k s ， 都 有k 11k2 2k ss0.(C) 1, 2, , s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)1,2, ,s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.(6) 将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A 1 ={ 掷第一次出现正面 } ， A 2 ={ 掷第二次出现正面 } ， A 3 ={ 正、反面各出现一次 } ， A 4 ={ 正面出现两次 } ，则事件 ()(A)A 1 , A 2 , A 3 相互独立 . (B)A 2 , A 3 , A 4 相互独立 .(C) A 1 , A 2 , A 3 两两独立 .(D)A 2 , A 3 , A 4 两两独立 .三 、 (本题满分 8 分 )设 f (x)11 1 , x [ 1 ,1) ，试补充定义 f (1)使得 f (x) 在 [ 1,1] 上连x sin x(1 x) 2 2续 .四 、 (本题满分 8 分 )设 f (u,v) 具有二阶连续偏导数，且满足 2 f 2 f 1 ，又g(x, y) f [xy,1(x2 y2 )] ,u 2 v2 22 g 2 g求x2 y 2 .五、 (本题满分 8 分 )计算二重积分其中积分区域 D {( x, y) x2 y2 }.六、 (本题满分9 分 )求幂级数1 ( 1) n x2 n ( x 1) 的和函数f (x) 及其极值.n 1 2n七、 (本题满分9 分 )设 F (x) f ( x)g ( x) , 其中函数 f ( x), g( x) 在 ( , ) 内满足以下条件：f (x)g (x) ，g (x) f (x) ，且 f (0) 0 , f (x) g( x) 2e x .(1)求 F (x) 所满足的一阶微分方程；(2)求出 F (x) 的表达式.八、 (本题满分8 分 )设函数 f (x) 在[0，3]上连续，在(0 ， 3)内可导，且 f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1 .试证：必存在( 0,3) ，使 f ( ) 0.九、 (本题满分13 分 )已知齐次线性方程组n 0.试讨论 a1 ,a2 ,其中a i , a n和b满足何种关系时，i 1(1)方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.十、 (本题满分13 分 )设二次型 f (x1 , x2 , x3 ) X T AX ax12 2x22 2x32 2bx1 x3 (b 0) ，中二次型的矩阵 A 的特征值之和为1，特征值之积为 -12.(1)求 a, b 的值；(2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、 (本题满分13 分 )设随机变量X 的概率密度为F ( X ) 是X的分布函数.求随机变量 Y F ( X ) 的分布函数.十二、 (本题满分13 分 )设随机变量X 与 Y 独立，其中X 的概率分布为1 2X ~ ，0.3 0.7而 Y 的概率密度为 f ( y)，求随机变量 U X Y 的概率密度g(u).2003 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(1) 【答案】 2【分析】无穷小量乘以有界函数的极限仍是无穷小量.【详解】是参变量，x 是函数 f (x) 的自变量f ( x) f (0) x cos11f (0) lim x lim x 1 cos ，lim 0x 0 x 0 x 0 x x 0 x要使该式成立，必须lim x 1 0 ，即 1 .x 0当 x ( ,0) (0, ) 时，要使 f ( x) 0 在x 0 处连续，由函数连续的定义应有由该式得出 2 . 所以 f ( x) 在x 0 处右连续的充要条件是 2 ．(2)【答案】 4a 6【详解】设曲线与 x 轴相切的切点为( x0,0)，则y x x 0 .而 y 3x2 3a2，有 3x0 2 3a2又在此点 y 坐标为0(切点在x轴上)，于是有x03 3a2 x0 b 0 ，故b x03 3a2 x0 x0 ( x02 3a2 ) ，所以b2 x02 (3a 2 x02 )2 a 2 4a 4 4a6 .(3) 【答案】a2【详解】本题积分区域为全平面，但只有当0 x 1,0 y x 1 时，被积函数才不为零，则二重积分只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分商积分即可，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可．I f (x)g( y x)dxdy= a2 dxdy =a2 1 x 1 a2 1 2dx dy [( x 1) x]dx aD 0 x 10 x 00 y x 1(4) 【答案】 -1【详解】这里T为 n 阶矩阵，而T2a 2为数，直接通过AB E 进行计算并注意利用乘法的结合律即可．由题设，有AB (E T )( E 1 T ) = E T1T1 a1aE T ( T ) T= Ea aTT1a1aT TT 2a TE ( 1 2a 1 ) T E ，1 a 1, a于是有 1 2a 0 ，即2a2 a 1 0 ，解得a 1. 已知 a 0 ，故a 2a 1 ．(5) 【答案】0.9.【详解】利用方差和相关系数的性质 D ( X a) DX ， Cov( X ,Y a)Cov ( X , Y) ，又因为 Z 仅是 X 减去一个常数，故方差不会变，Z 与 Y 的协方差也不会变，因此相关系数也不会变．E( XY ) E(Y ) E( X )Cov ( X ,Y) ，且 D Z D X . 又Cov (Y, Z)Cov (X , Y) ，所以(6) 【答案】1．2【分析】本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1 , X 2 ,, X n，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：【详解】本题中 X12 , X 22 , , X n2 满足大数定律的条件，且EX i2 DX i (EX i ) 2=1( 1 )2 1 ，4 2 2因此根据大数定律有Y n 1 n X i2依概率收敛于1 n E X i2 1 .n i 1 n i 1 2二、选择题(1) 【答案】( D )【详解】方法 1：直接法：由 f (x) 为奇函数知， f (0) 0 ；又由g (x) f (x)，知 g(x) 在xx 0 处没定义，显然x 0 为g(x)的间断点，为了讨论函数g( x) 的连续性，求函数g( x) 在x 0 的极限．lim g( x)f ( x) f ( x) f (0) 导数的定义lim x lim x 0 f (0) 存在，x 0 x 0 x 0故 x 0 为可去间断点．方法 2：间接法：取 f ( x) x ，此时 g( x) =x1, x0,可排除 ( A) ( B) (C)三项．x 0, x 0,(2) 【答案】( A)【详解】由函数 f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微，知函数 f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数都存在，又由二元函数极值的必要条件即得 f ( x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的两个偏导数都等于零．从而有选项 ( A) 正确．(3) 【答案】( B)p n a n a n， q na n a np n a n，0 q n a n【详解】由 2 2 ，知 0若a n绝对收敛，则a n收敛. 再由比较判别法，p n与q n 都收敛，后者与n 1 n 1 n 1 n 1q n仅差一个系数，故q n 也收敛，选 (B) ．n 1 n 1(4)【答案】 (C)【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1，说明A的秩为2，由此可确定a, b 应满足的条件．【详解】方法 1：根据A与其伴随矩阵A 秩之间的关系知秩 ( A )=2 ，它的秩小于它的列数或者行数，故有有 a 2b 0 或 a b ．当a b 时，显然秩 A 1 2 ，故必有 a b 且 a 2b 0 ．应选(C)．n r A n方法 2：根据A与其伴随矩阵 A 秩之间的关系，r A* 1 r A n 1 ，0 r A n 1知 r A* 1 ， r A 2 .对 A 作初等行变换当 a b 时，从矩阵中可以看到 A 的秩为 1，与秩A 2 ，不合题意(排除(A)、(B))故 a b ，这时故 a2b 0 ，且 a b 时，秩 ( A )=2 ，故应选．(5) 【答案】 (B)【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式．应注意是寻找不正确的命题．【详解】 (A): 若对于任意一组不全为零的数k 1, k 2 , , k s ，都有k1 1k 22k s s 0，则1 , 2,, s 必线性无关 .因 为 若1 , 2, , s 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数 k 1 ,k 2 , , k s ， 使 得k 11k2 2ks s0 ，矛盾． 可见 (A) 成立．(B): 若1, 2,, s 线 性 相 关 ， 则 存 在 一 组 ( 而 不 是 对 任 意 一 组 不 全 为 零 的 ) 数k 1, k 2 , ,k s ，都有 k 11k2 2k s s 0. (B) 不成立．(C)1, 2,, s 线性无关，则此向量组的秩为 s ；反过来，若向量组1, 2,, s 的秩为 s ，则1,2,, s 线性无关，因此 (C) 成立．(D) 1 , 2,, s 线性无关，则其任一部分组线性无关，则其中任意两个向量线性无关，可见 (D) 也成立．综上所述，应选 (B) ．【评 注 】 原 命 题 与 其 逆否 命 题 是 等 价的 ． 例如，原命 题： 若 存 在 一组 不全为 零的数k 1 , k 2 , ,k s ，使得 k 1 1k2 2k ss0 成立，则1, 2,,s 线性相关．其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k 1 , k 2 , , k s ，都有 k 11k 22ks s0 ，则1, 2,, s 线性无关．在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性．(6) 【答案】 C【分析】 (1)A, B 两事件相互独立的充要条件： P AB P A P B(2)A, B,C 三事件相互独立的充要条件：(i) A, B, C 两两相互独立； (ii)P ABCP A P B P C【详解】 方法 1：因为 P A 11 A 211 1， P ， P A 3 ， P A 4，且2224P A 1 A 21 P A 1 A 31 P A2 A 31P A 2 A 41， ，，，4444P A 1 A 2 A 30 ，可见有P A 1A 2P A 1 P A 2，P A 1 A 3P A 1P A 3，P A 2 A 3P A 2P A 3，P A 1 A 2 A 3P A 1P A 2P A 3， P A 2 A 4P A 2P A 4．故 A 1 , A 2 , A 3 两两独立但不相互独立；A 2 , A 3 , A 4 不两两独立更不相互独立，应选(C) ．方法 2：由三事件相互独立的定义可知：相互独立必两两独立；反之，两两独立不一定相互独立．可见 (A) 不正确，因为如果正确，则 (C) 也正确，但正确答案不能有两个；同理， (B) 也不正确 .因此只要检查 (C) 和 (D) 故 (D) 错，应选 (C) ．三【详解】为使函数f ( x) 在 [ 1,1] 上连续，只需求出函数 f ( x) 在 x 1 的左极限 lim f ( x) ，2x 1然后定义f (1)为此极限值即可．令 u1 x ，则当 x1 时， u0 ，所以定义 f (1)1，从而有 lim f ( x)1 f (1)， f ( x) 在 x 1 处连续． 又 f (x) 在 [ 1,1)x 12上连续，所以f (x) 在 [ 1,1] 上连续．2四【详解】由复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 的求导法则，得从而所以2g2g222f222f222f2f 22x 2y2( xy )u2( x y )v2( x y ) (u2= )y .v 2x五【详解】从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算．作极坐标变换：设x r cos , y r sin，有记 Ae t sin tdt ，则e1e t d sin t e1 e t sin te t sintdt = e1 A.因此A1(1 e ) ， Ie (1 e )(1 e ).222六【分析】 (1) 和函数一般经过适当的变换后，考虑对其逐项求积分后求和，再求导即可得和函数；或者先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数．本题可直接采用后者．(2) 等比级数求和公式【详解】先对和函数f ( x) 1(nx 2n1)求导n 12n对上式两边从 0 到 x 积分由 f (0)1， 得为了求极值，对f ( x) 求一阶导数， f ( x)1 2xx2 1 x 21x 2令 f ( x) 0 ，求得唯一驻点 x 0 ． 由于f( x)1 x2 ，f (0)1(1 x 2 )2由极值的第二充分条件，得f (x) 在 x 0 处取得极大值，且极大值为f (0) 1 ．七【分析】题目要求 F ( x) 所满足的微分方程，而微分方程中含有其导函数，自然想到对F (x) 求导，并将其余部分转化为用 F (x) 表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程即可．【详解】 (1) 方法 1：由 F ( x) f ( x) g (x) ，有F ( x)f ( x)g ( x) f ( x)g (x) = g 2 ( x) f 2 ( x)[ f (x) g( x)]22 f ( x)g( x) = (2 e x )22F (x)可见 F (x) 所满足的一阶微分方程为相应的初始条件为F (0) f (0) g(0)0 ．方法 2：由 F ( x) f ( x) g( x) ，有F (x)f ( x) g( x) f ( x)g ( x) = [ f ( x)] 2 [ g ( x)]2又由 f (x)g( x) 2e x . 有 f (x)g ( x) 2e x ， f ( x)g( x) ， g ( x) f ( x) ，于是可见 F (x) 所满足的一阶微分方程为相应的初始条件为F (0) f (0) g (0) 0(2) 题 (1) 得到 F ( x) 所满足的一阶微分方程，求 F ( x) 的表达式只需解一阶微分方程．又一阶线性非齐次微分方程dyP(x) y Q( x) 的通解为dx所以F (x ) e2 dx[ 4e 2 x e 2 dx dx C ] = e 2 x [ 4e 4 x dx C] = e 2 x Ce 2 x .将 F (0) 0 代入上式，得0 1 C , C 1 .所以 F (x)e2x e 2 x .八【分析】题目要证存在(0,3) ，使得其一阶导数为零，自然想到用罗尔定理. 而罗尔定理要求函数在某闭区间连续，且端点处函数值相等．题目中已知 f (3) 1 ，只需要再证明存在一点 c [0,3) ，使得 f ( c) 1 f (3) ，然后在 [ c,3] 上应用罗尔定理即可．条件 f (0) f (1) f (2) 3 等价于 f (0) f (1) f (2) 1 ．问题转化为 1 介于f (x)的最值3之间，最终用介值定理可以达到目的．【详解】方法1：因为f ( x)在[0，3]上连续，所以 f ( x) 在[0，2]上连续，则在[0，2]上必有最大值 M 和最小值m(连续函数的最大值最小值定理)，于是m f (0) M ， m f (1) M ， m f ( 2) M ．三式相加3m f ( 0 ) f ( 1 ) f ( 2 ) M 3从而m f ( 0 ) f ( 1 )f ( 2 )M .31由介值定理知，至少存在一点 c [0,2] ，使因为 f (c) f (3) 1 ，且f ( x) 在 [ c,3] 上连续，在(c,3) 内可导，由罗尔定理知，必存在(c,3) (0,3) ，使f ( ) 0.方法 2 ：由于f (0) f (1) f (2) 3 f (0), f (1),f (2)1，例如，如果中至少有一个等于f (2) ，则在区间[2,3]上对f ( x)使用罗尔定理知，存在(0,2) (0,3)使1f ( ) 0. 如果 f (0), f (1), f (2) 中没有一个等于1，那么它们不可能全大于1，也不可能全小于 1．即至少有一个大于1，至少有一个小于1，由连续函数的介值定理知，在区间(0, 2) 内至少存在一点使 f ( ) 1 ．在区间 [ , 3] 对 f ( x) 用罗尔定理知，存在( ,3) (0,3) ，使 f ( ) 0.证毕．九【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有行对应元素相加后相等．可先将所有行对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的(-1) 倍加到其余各行，即可计算出行列式的值．【详解】方程组的系数行列式1 a2 a3 a n0 b 0 0nn= b n 1(b(b a i ) 0 0 b 0 a i ).i 1 i 10 0 0 bn(1) 当A 0 ，即 b 0 且 b a i 0时，秩 A n ，方程组仅有零解．i 1(2)当 b 0 时， A 0 ，原方程组的同解方程组为n由a i 0 可知，a i (i 1,2, , n) 不全为零．不妨设a1 0 ，得原方程组的一个基础解系i 11 ( a2 ,1,0, ,0)T， 2 ( a3 ,0,1, ,0)T，,n (an ,0,0, ,1)T .a1 a1 a1n(3) 当b a i时，A 0 . 这时b 0 ，原方程组的系数矩阵可化为i 1由此得原方程组的同解方程组为x2 x1， x3 x1， , x n x1．原方程组的一个基础解系为十【分析】特征值之和等于 A 的主对角线上元素之和，特征值之积等于 A 的行列式，由此可求出 a, b 的值；进一步求出 A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要) ，然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵．a 0 b【详解】 (1) 二次型f 的矩阵为 A 0 2 0 . 设A的特征值为i (i 1,2,3) ，由题设得b 0 21 2 3 a11a22a33 a 2 ( 2) 1，解得 a 1,b 2 ．(2)求矩阵 A 的特征值，令1 0 2E A 0 2 0( 2) 2 (3) 0 ，2 0 2得矩阵 A 的特征值 1 2 2, 3 3.1 0 2对于 1 2 2, 解齐次线性方程组(2E A) x 0 ，系数矩阵为0 0 0 ，得基2 0 4础解系1(2,0,1) T， 2 (0,1,0) T .4 0 2对于 3 3 ，解齐次线性方程组( 3E A) x 0 ，系数矩阵为0 5 0 ，得基2 0 1础解系由于 1 , 2 , 3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 1 , 2 , 3 单位化，由此得1 (2 ,0, 1) T，2(0,1,0) T， 3 (1,0, 2 )T.5 5 5 5 令矩阵20 15 5Q 1 2 3 0 1 0 ，10 25 5则 Q 为正交矩阵．在正交变换X QY 下，有2 0 0Q T AQ 0 2 0 ，0 0 3且二次型的标准形为【评注】本题求a,b 也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：二次型 f 的矩阵 A 对应特征多项式为设 A 的特征值为 1 , 2 , 3，则1 2, 2312 3 2 ( a 2) 1， 1 2 3a 2,23( 2ab 2 ). 由题设得2(2a b2 )12.解得 a 1,b 2 ．第一步求参数见《数学复习指南》 P361 重要公式与结论 4，完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学三 P47 第九题．十一 【分析】先求出分布函数F ( x) 的具体形式，从而可确定 Y F ( X ) ，然后按定义求 Y 的 分布函数即可．注意应先确定YF (x) 的值域范围 (0 F ( X )1) ，再对 y 分段讨论．【详解】易见，当x 1时， F ( x) 0 ; 当 x 8 时， F ( x) 1．对于 x [1,8] ，有设 G ( y) 是随机变量 Y F ( x) 的分布函数． 显然，当 y 0 时， G ( y) =0；当 y 1时，G ( y) =1． 对于 y [0,1) ，有于是， YF ( x) 的分布函数为十二【分析】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性．求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率．注意 X 只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算．求概率密度 g (u) ，一般应先求分布函数 G (u) P{U u}P{ XY u} ，在计算概率的时候，应充分利用X只有可能取值 X 1X 2．和全概率公式：如果事件A 1, , A n 构成一个完备事件组，即它们是两两互不相容，其和为(总体的样本空间 )；并且 PA i0,i 1,2, , n. 则对任一事件 B 有nP BP( A i )P(B | A i )．i 1【详解】设 F ( y) 是 Y 的分布函数，由全概率公式，得 U X Y 的分布函数0.3P{ Y u 1 X 1} 0.7P{ Y u 2 X2} ．由于 X 和 Y 相互独立，所以 P{ Yu 1}P{ Y u 1 X 1}P{Yu 2} P{Y u2 X 2}，所以G( u)0. 3P Y{ u 1} 0.P7 Y{ u 0.3Fu( 1) 0F. 7u ( 2由此，因为连续型随机变量密度函数是分布函数在对应区间上的微分得到，得U 的概率密度。