2020-2021北京市初三数学上期末试题(附答案)
2020-2021学年北京市大兴区九年级上学期 期末数学试卷 解析版
2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．2．若，则的值是（）A．B．2C．D．13．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）A．4B．4.5C．5D．5.54．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+35．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（）A．3B．6C．12D．246．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（）A．4B．C．2D．7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得P A＞AB；②若，则PB＝2P A；③∠P AB不是直角；④∠POB＝2∠OP A．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．②③④D．①②④二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是．10．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC∠BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．11．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是．13．若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是（结果保留π）．14．请你写出一个函数，使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，这个函数的解析式可以是．15．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D 在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，①DA平分∠EDC；②△AEF∽△DBF；③∠BDF＝∠CAD；④EF＝BD．所有正确结论的序号是．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q （m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．18．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标．19．（5分）下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：∠APB，使得∠APB＝30°．作法：①分别以点A，B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；②以点C为圆心，CA的长为半径作⊙C；③在优弧AB上任意取一点P（点P不与点A，B重合），连接P A，PB．则∠APB就是所求作的角．根据小青设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，BC．∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝°．∵P是优弧AB上一点，∴∠APB＝∠ACB（）（填写推理依据）．∴∠APB＝30°．20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．（1）求k，m的值；（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线P A交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．22．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AC，CD分别交于点E，F，且∠DAF＝∠BAC．（1）求证：直线AF与⊙O相切；（2）若tan∠DAF＝，AB＝4，求⊙O的半径．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．24．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D是射线CA上一点，连接BD，以点B为中心，将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，连接AE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，连接DE，若DE⊥AB，则线段AE，BE的数量关系是；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2．①探究线段AE，BE的数量关系，并证明；②直接写出线段CD，AB，AE之间的数量关系．25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和点P，给出如下定义：若P A＝PB且点P不在线段AB上，则称点P是线段AB的等腰顶点．特别地，当∠APB≥90°时，称点P是线段AB的非锐角等腰顶点．（1）已知A（2，0），B（4，2）①在点C（4，0），D（3，1），E（﹣1，5），F（0，5）中，是线段AB的等腰顶点的是；②若点P在直线y＝kx+3（k≠0）上，且点P是线段AB的非锐角等腰顶点，求k的取值范围；（2）直线y＝﹣x+与x轴交于点M，与y轴交于点N．⊙P的圆心为P（0，t），半径为，若⊙P上存在线段MN的等腰顶点，请直接写出t的取值范围．2020-2021学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据正弦的定义解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，则sin A＝＝，故选：A．2．若，则的值是（）A．B．2C．D．1【分析】直接利用已知得出x＝y，进而代入化简得出答案．【解答】解：∵，∴x＝y，则＝＝．故选：A．3．如图，直线l1∥l2∥l3，直线l4，l5被直线l1，l2，l3所截，截得的线段分别为AB，BC，DE，EF．若AB＝4，BC＝6，DE＝3，则EF的长是（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝4，BC＝6，DE＝3，∴，∴EF＝4.5，故选：B．4．将抛物线y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2（x+1）2+3B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣3C．y＝﹣2（x+1）2﹣3D．y＝﹣2（x﹣1）2+3【分析】由抛物线平移不改变二次项系数a的值，根据点的平移规律“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得y＝﹣2（x﹣1）2+3．故选：D．5．如图，点A是函数y＝（x＞0）图象上的一点，过点A分别向x轴，y轴作垂线，垂足为B，C，则四边形ABOC的面积是（）A．3B．6C．12D．24【分析】直接根据反比例函数比例系数k的几何意义求解．【解答】解：矩形OABC的面积＝|k|＝6．故选：B．6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠A＝30°，AC＝2，则CD的长是（）A．4B．C．2D．【分析】利用垂径定理得到CE＝DE，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CE，从而得到CD的长．【解答】解：∵AB⊥CD，∴CE＝DE，在Rt△ACE中，∵∠A＝30°，∴CE＝AC＝×2＝1，∴CD＝2CE＝2．故选：C．7．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．下列说法正确的是（）A．ac＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a﹣3b+c＞0D．am2+bm＜a﹣b（其中m≠﹣1）【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对A选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），则根据判别式的意义可对B选项进行判断；由于x＝﹣3时，y＝0，则可对C选项错误；根据二次函数的最值问题可对D选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0，所以A选项错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴△＝b2﹣4ac＞0，所以B选项错误；∵x＝﹣3时，y＝0，∴9a﹣3b+c＝0，所以C选项错误；∵x＝﹣1时，y有最大值，∴am2+bm+c＜a﹣b+c，即am2+bm＜a﹣b，所以D选项正确．故选：D．8．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得P A＞AB；②若，则PB＝2P A；③∠P AB不是直角；④∠POB＝2∠OP A．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．②③④D．①②④【分析】根据圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．【解答】解：①至少存在一点P，使得P A＞AB，错误．不存在．②若，则PB＝2P A，错误，应该是PB＜2P A．③∠P AB不是直角，正确．④∠POB＝2∠OP A．正确．故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．已知反比例函数y＝的图象分布在第二、第四象限，则m的取值范围是m＜0．【分析】根据反比例函数的性质，结合图像所在的象限，求出m的取值范围．【解答】∵反比例函数图像在第二、四象限，∴m＜010．如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，则∠ABC与∠BCD的大小关系为：∠ABC＝∠BCD（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，求得AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，于是得到∠ABC＝∠BCD＝45°，进而得到结论．【解答】解：连接AC，BD，根据勾股定理得到AC2＝BC2＝BD2＝22+12＝5，AB2＝CD2＝32+12＝10，∴AC2+BC2＝AB2，BD2+BC2＝CD2，∴△ABC和△BCD都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BCD＝45°．故答案为：＝．11．抛物线y＝﹣3（x﹣2）2﹣4的顶点坐标是（2，﹣4）．【分析】直接由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣2）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．12．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是AC边上的中线，则tan∠ADB的值是2．【分析】根据中线的性质和AB＝AC，可得到AD与AB间关系，利用直角三角形的边角间关系可直接得结论．【解答】解：∵BD是AC边上的中线，∴AD＝AC．∵AB＝AC，∴AD＝AB．在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝2．故答案为：2．13．若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是（结果保留π）．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案为π．14．请你写出一个函数，使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，这个函数的解析式可以是（答案不唯一）．【分析】直接利用反比例函数的性质得出答案【解答】解：∵当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，∴只要反比例函数比例系数k＜0就符合题意，∴（答案不唯一）．故答案为：．15．如图，在△ABC中，AB＞AC，将△ABC以点A为中心顺时针旋转，得到△AED，点D 在BC上，DE交AB于点F．如下结论中，①DA平分∠EDC；②△AEF∽△DBF；③∠BDF＝∠CAD；④EF＝BD．所有正确结论的序号是①②③．【分析】根据旋转的性质对①进行判断；利用“两角法”对②中的相似三角形进行判断；利用三角形的外角性质对③进行判断；利用全等三角形判定的条件对④进行判断．【解答】解：①由旋转的性质知：AD＝AC，∠ADE＝∠C．∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠C．∴∠ADC＝∠ADE，即DA平分∠EDC．故①符合题意；②∵∠E＝∠B，∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△DBF．故②符合题意；③∵∠ADB＝∠ADE+∠BDF＝∠C+∠CAD，∠ADE＝∠C，∴∠BDF＝∠CAD．故③符合题意；④∵∠F AD不一定等于∠CAD，AD＝AD，∠ADC＝∠ADE，∴不能证明△ADF全等于△ADC，故CD不一定等于DF．∴DE﹣DF＝BC﹣CD不一定成立，即无法证明EF＝BD．故④不符合题意．故答案是：①②③．16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（4，0）两点．若P（5，y1），Q （m，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是1＜m＜5．【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，即可求得点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），根据点的坐标特征即可得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向上，∴点P（5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点为（1，y1），∵y1＞y2，∴1＜m＜5，故答案为1＜m＜5．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+（π﹣2）0．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣+1＝＝．18．（5分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x轴的交点坐标．【分析】（1）把两已知点的坐标代入y＝x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组；（2）通过解方程x2﹣2x﹣3＝0可得到抛物线与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点（1，﹣4），（0，﹣3），∴，解得，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0）．19．（5分）下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：∠APB，使得∠APB＝30°．作法：①分别以点A，B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点；②以点C为圆心，CA的长为半径作⊙C；③在优弧AB上任意取一点P（点P不与点A，B重合），连接P A，PB．则∠APB就是所求作的角．根据小青设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AC，BC．∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝60°．∵P是优弧AB上一点，∴∠APB＝∠ACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）（填写推理依据）．∴∠APB＝30°．【分析】（1）根据小青设计的尺规作图过程，即可补全图形；（2）根据作图过程可得△ABC是等边三角形，再根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即可完成证明．【解答】解：（1）补全的图形如图所示：（2）证明：如图，连接AC，BC．∵AC＝BC＝AB，∴△ABC是等边三角形．∴∠ACB＝60°．∵P是优弧AB上一点，∴∠APB＝∠ACB（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）．∴∠APB＝30°．故答案为：60；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．20．（5分）在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度．如图，在树前的平地上选择一点C，测得树的顶端A的仰角为30°，在C，B间选择一点D（C，D，B三点在同一直线上），测得树的顶端A的仰角为75°，CD间距离为20m，求这棵树AB的高度．（结果保留根号）．【分析】作DE⊥AC，垂足为E，根据特殊角三角函数即可求出结果．【解答】解：如图，作DE⊥AC，垂足为E，在Rt△CED中，∵sin C＝，∠C＝30°，CD＝20m，∴DE＝10m．∵cos C＝，∴．∴CE＝10（m）．∵∠ADB是△ACD的外角，∠ADB＝75°，∠C＝30°，∴∠CAD＝45°．在Rt△ADE中，∵tan∠EAD＝，∴AE＝10m．∴AC＝AE+CE＝（10+10）m．在Rt△ABC中，∵sin∠C＝，∴AB＝（5+5）m．答：这棵树AB的高度是（5+5）m．21．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与函数y＝（x＞0）的图象G交于点A（1，2），与x轴交于点B．（1）求k，m的值；（2）点P为图象G上一点，过点P作x轴的平行线PQ交直线l于点Q，作直线P A交x轴于点C，若S△APQ：S△ACB＝1：4，求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）分两种情况讨论，通过证得△APQ∽△ACB，从而得到，即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，2）代入y＝kx+1（k≠0）中，得k+1＝2，∴k＝1，将点A（1，2）代入y＝（x＞0）中得m＝2；（2）①当点P在点A下方时，过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H，∵PQ平行于x轴，∴△APQ∽△ACB，∴＝，∴，∵点A（1，2），∴点P纵坐标为1．∵m＝2，∴．∴P点坐标为（2，1）．②当点P在点A上方时，过点A作AG⊥x轴，交直线PQ于点H．∵PQ平行于x轴，∴△APQ∽△ACB．∴（）2＝，∴，∵点A（1，2），∴P点纵坐标为3．代入得，，∴P点坐标为，∴P点坐标为（2，1）或（，3）．22．（6分）如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以O为圆心，OC的长为半径的⊙O与AC，CD分别交于点E，F，且∠DAF＝∠BAC．（1）求证：直线AF与⊙O相切；（2）若tan∠DAF＝，AB＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OF．由等腰三角形的性质得出∠OCF＝∠OFC．由矩形的性质得出∠B＝∠D＝∠DCB＝90°．证得∠AFO＝90°．则可得出结论；（2）由勾股定理求出AC＝2，求出AF的长，设⊙O的半径为r，由勾股定理得出（2﹣r）2＝r2+12，解方程可得出答案．【解答】（1）证明：连接OF．∵OC＝OF，∴∠OCF＝∠OFC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠DCB＝90°．又∵∠DAF＝∠BAC，∴∠AFD＝∠ACB，∵∠ACB+∠ACD＝90°，∴∠AFD+∠OFC＝90°．∴∠AFO＝90°．∴OF⊥AF于F．∴直线AF与⊙O相切；（2）解：∵tan∠DAF＝，∠DAF＝∠BAC，∴tan∠BAC＝．∵∠B＝90°，∴tan∠BAC＝＝．∵AB＝4，∴BC＝2，∴．又∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2．又∵∠D＝90°，tan∠DAF＝，∴DF＝AD•tan∠DAF＝2×＝2．∴AF＝2．设⊙O的半径为r，在Rt△AFO中，∠AFO＝90°．∴OA2＝OF2+AF2．即（2﹣r）2＝r2+12．解得r＝．∴⊙O的半径为．23．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．（1）用含有a的代数式表示b；（2）求抛物线顶点M的坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫整点．过点P（0，a）作x轴的平行线交抛物线于A，B两点．记抛物线在点A，B之间的部分与线段AB围成的区域（不含边界）为W．①当a＝﹣1时，直接写出区域W内整点的个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【分析】（1）根据对称轴公式即可求得；（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1．把解析式化成顶点式即可求得；（3）①当a＝﹣1时，抛物线经过原点，此点关于对称轴的对称点为（2，0），画出图象，根据图象，即可求得；②分两种情况，当抛物线过（﹣1，0）时和当抛物线过（0，﹣2）时，画出函数的图象，结合图象确定有3个整数点时a的值，进而确定a的范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+a+1（a＜0）的对称轴为直线x＝1．∴，∴b＝﹣2a；（2）把b＝﹣2a代入y＝ax2+bx+a+1得：y＝ax2﹣2ax+a+1，配方得：y＝a（x﹣1）2+1．∴顶点M（1，1）；（3）①当a＝﹣1时，a+1＝0，∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣0），此点关于对称轴的对称点为（2，0），如图1，由图象可知，区域W内整点有（1，0）1个；②由①得，a＝﹣1时，区域W内有1个整点．（Ⅰ）当抛物线过（﹣1，0）时，区域W内恰有3个整点．如图2，将（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，得，结合图象可得，；（Ⅱ）当抛物线过（0，﹣2）时，区域W内恰有3个整点．如图3，将（0，﹣2）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，得a＝﹣3．综上所述，a的值范围是或a＝﹣3．24．（7分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，D是射线CA上一点，连接BD，以点B为中心，将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，连接AE．（1）如图1，当点D在线段CA上时，连接DE，若DE⊥AB，则线段AE，BE的数量关系是AE＝BE；（2）当点D在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2．①探究线段AE，BE的数量关系，并证明；②直接写出线段CD，AB，AE之间的数量关系．【分析】（1）由旋转的性质得出BD＝BE，∠DBE＝60°，由等腰三角形的性质得出∠DBA＝∠DAB，得出DE是AB的垂直平分线，则可得出结论；（2）由题意补全图形，①过点E作EM⊥AB于M．证明△DBC≌△EBM（AAS）．由全等三角形的性质得出BC ＝BM，由直角三角形的性质得出BM＝AB，可得出ME是AB的垂直平分线，则可得出结论；②由①得出AE＝BD，根据勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）AE＝BE．∵将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，∴BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE为等边三角形，∵DE⊥AB，∴∠DBA＝∠DBE＝30°，∵∠BAC＝30°，∴∠DBA＝∠DAB，∴DA＝DB，∴DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE；故答案为：AE＝BE．（2）依题意补全图形：①AE＝BE．如图3，过点E作EM⊥AB于M．∵将线段BD顺时针旋转60°，得到线段BE，∴∠EBD＝60°，BD＝BE，∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝60°+∠ABD，∠EBM＝∠EBD+∠ABD＝60°+∠ABD，∴∠DBC＝∠EBM．在△DBC与△EBM中，，∴△DBC≌△EBM（AAS）．∴BC＝BM．在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB．∴BM＝AB．∴EM垂直平分AB．∴AE＝BE．②CD2+．∵△DBC≌△EBM，∴BD＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝BD，∵∠DCB＝90°，∴CD2+BC2＝BD2，∵BC＝AB，∴CD2+＝AE2．25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知线段AB和点P，给出如下定义：若P A＝PB且点P不在线段AB上，则称点P是线段AB的等腰顶点．特别地，当∠APB≥90°时，称点P是线段AB的非锐角等腰顶点．（1）已知A（2，0），B（4，2）①在点C（4，0），D（3，1），E（﹣1，5），F（0，5）中，是线段AB的等腰顶点的是C，E；②若点P在直线y＝kx+3（k≠0）上，且点P是线段AB的非锐角等腰顶点，求k的取值范围；（2）直线y＝﹣x+与x轴交于点M，与y轴交于点N．⊙P的圆心为P（0，t），半径为，若⊙P上存在线段MN的等腰顶点，请直接写出t的取值范围．【分析】（1）①根据点P是线段AB的等腰顶点的定义判断即可．②根据点P是线段AB的非锐角等腰顶点的定义，求出三种特殊情形的k的值，利用图象法判断即可．（2）如图3中，作线段MN的垂直平分线，当⊙P与线段MN的垂直平分线有交点（线段MN的中点除外）时，满足条件．求出相切时，点P是的坐标，即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，根据图象结合点P是线段AB的等腰顶点的定义可知，点C，E是线段AB的等腰顶点．故答案为：C，E．②（Ⅰ）当点（4，0）在直线y＝kx+3上时，4k+3＝0，k＝．（Ⅱ）当点（3，1）在直线y＝kx+3上时，3k+3＝1，k＝．（Ⅲ）当点（2，2）在直线y＝kx+3上时，2k+3＝2，k＝．结合图象可知满足条件的k的值为：且．（2）如图3中，作线段MN的垂直平分线，当⊙P与线段MN的垂直平分线有交点（线段MN的中点除外）时，满足条件．当⊙P与线段MN的垂直平分线相切时，P（0，）和P′（0，﹣3），观察图像可知，满足条件的t的值为：﹣3≤t＜．。
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市西城区初三数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（3分）在抛物线245y x x =--上的一个点的坐标为( ) A ．(0,4)-B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(1,0)-2．（3分）在半径为6cm 的圆中，60︒的圆心角所对弧的弧长是( ) A ．cm πB ．2cm πC ．3cm πD ．6cm π3．（3分）将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为( )A ．2(3)5y x =++B ．2(3)5y x =-+C ．2(5)3y x =++D ．2(5)3y x =-+4．（3分）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2)，我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，那么以下结论正确的是( )A ．四边形ABCD 与四边形ABCD ''''的相似比为1:1 B ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为1:2 C ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的周长比为3:1 D ．四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的面积比为4:15．（3分）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，若32CDB ∠=︒，则ABC ∠等于( )A ．68︒B ．64︒C ．58︒D ．32︒6．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A ，(3,0)B 两点，则抛物线的对称轴为( ) A ．1x =B ．2x =C ．3x =D ．4x =7．（3分）近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为( ) A ．2.44(1) 6.72x += B ．2.44(12) 6.72x +=C ．22.44(1) 6.72x +=D ．22.44(1) 6.72x -=8．（3分）现有函数24()2()x x a y x x x a +<⎧=⎨-⎩如果对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，y n =，那么实数a 的取值范围是( ) A ．54a -B ．14a -C ．41a -D ．45a -二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）若正六边形的边长为2，则它的外接圆半径是 ．10．（3分）若抛物线2(0)y ax a =≠经过(1,3)A ，则该抛物线的解析式为 ． 11．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，则sin B = ．12．（3分）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的示意图如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“>”，“ =”或“<” )．13．（3分）如图，AB 为O 的直径，10AB =，CD 是弦，AB CD ⊥于点E ，若6CD =，则EB = ．14．（3分）如图，PA，PB是O的两条切线，A，B为切点，若2OA=，60APB∠=︒，则PB=．15．（3分）放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD DA CB==，DC AB BE==，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①ODA∆和OCE∆为等腰三角形，则1(180)2DOA ODA∠=︒-∠，1(1802COE∠=︒-∠)；②四边形ABCD为平行四边形（理由是)；③DOA COE∠=∠，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当35DCCB=时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，(4,3)P，O经过点P．点A，点B在y轴上，PA PB=，延长PA，PB分别交O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）O的半径为；（2）tan α= ．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．（5分）计算：22sin60tan 45cos 30︒-︒+︒． 18．（5分）已知关于x 的方程2240x x k ++-=． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根． 19．（6分）借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，ABC ∆的三个顶点是网格线的交点，点A 在BC 边的上方，AD BC ⊥于点D ，4BD =，2CD =，3AD =．以BC 为直径作O ，射线DA 交O 于点E ，连接BE ，CE ． （1）补全图形；（2）填空：BEC ∠= ︒，理由是 ； （3）判断点A 与O 的位置关系并说明理由；（4）BAC ∠ BEC ∠（填“>”，“ =”或“<” )．20．（5分）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过(3,0)点，当1x =时，函数的最小值为4-． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x m =与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠和直线3y x =-的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．21．（5分）如图，AB 为O 的直径，AC 为弦，点D 在O 外，BCD A ∠=∠，OD 交O 于点E ． （1）求证：CD 是O 的切线； （2）若4CD =， 2.7AC =，9cos 20BCD ∠=，求DE 的长．22．（5分）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 边上，1BE =，F 为BC 边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD ，点P 在线段EF 上运动（点P 可与点E ，点F 重合），作矩形PMDN ，其中M ，N 两点分别在CD ，AD 边上．设CM x =，矩形PMDN 的面积为S ．（1）DM = （用含x 的式子表示），x 的取值范围是 ； （2）求S 与x 的函数关系式；（3）要使矩形PMDN 的面积最大，点P 应在何处？并求最大面积．23．（7分）已知抛物线212y x x =-+．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y 轴的交点坐标； （2）已知该抛物线经过1(34,)A n y +，2(21,)B n y -两点． ①若5n <-，判断1y 与2y 的大小关系并说明理由；②若A ，B 两点在抛物线的对称轴两侧，且12y y >，直接写出n 的取值范围．24．（7分）在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，3BC =ABC ∆绕点B 顺时针旋转(0120)αα︒<︒得到△A BC ''，点A ，点C 旋转后的对应点分别为点A '，点C '．（1）如图1，当点C '恰好为线段AA '的中点时，α= ︒，AA '= ； （2）当线段AA '与线段CC '有交点时，记交点为点D ．①在图2中补全图形，猜想线段AD 与A D '的数量关系并加以证明； ②连接BD ，请直接写出BD 的长的取值范围．25．（7分）对于平面内的图形1G 和图形2G ，记平面内一点P 到图形1G 上各点的最短距离为1d ，点P 到图形2G 上各点的最短距离为2d ，若12d d =，就称点P 是图形1G 和图形2G 的一个“等距点”． 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(6,0)A ，(0B ，23)．（1）在(3,0)R ，(2,0)S ，3)T 三点中，点A 和点B 的等距点是 ； （2）已知直线2y =-．①若点A 和直线2y =-的等距点在x 轴上，则该等距点的坐标为 ； ②若直线y a =上存在点A 和直线2y =-的等距点，求实数a 的取值范围； （3）记直线AB 为直线1l ，直线23:l y =，以原点O 为圆心作半径为r 的O ．若O 上有m 个直线1l 和直线2l 的等距点，以及n 个直线1l 和y 轴的等距点(0,0)m n ≠≠，当m n ≠时，求r 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1～8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【解答】解：当0x =时，5y =-，因此(0,4)-不在抛物线245y x x =--， 当2x =时，4859y =--=-，因此(2,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =时，1458y =--=-，因此(1,0)不在抛物线245y x x =--上， 当1x =-时，1450y =+-=，因此(1,0)-在抛物线245y x x =--上， 故选：D ．2．【解答】解：弧长为：6062()180cm ππ⨯=． 故选：B ．3．【解答】解：将抛物线2y x =先向右平移3个单位长度，得：2(3)y x =-； 再向上平移5个单位长度，得：2(3)5y x =-+， 故选：B ．4．【解答】解：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，点O 是位似中心，点A '是线段OA 的中点，:1:2OA OA ∴'=， :1:2A B AB ∴''=，∴四边形ABCD 与四边形A B C D ''''的相似比为2:1，周长的比为2:1，面积比为4:1．故选：D ． 5．【解答】解：AB 是O 的直径，90ADB ∴∠=︒， 90ADC CDB ∴∠+∠=︒，90903258ADC CDB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒， ABC ADC ∠=∠， 58ABC ∴∠=︒，故选：C ．6．【解答】解：抛物线2y x bx c =++经过(1,0)A 、(3,0)B 两点，∴抛物线对称轴为直线1322x +==， 故选：B ．7．【解答】解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x ， 则可列出关于x 的方程为22.44(1) 6.72x +=， 故选：C ． 8．【解答】解：222(1)1y x x x =-=--，∴函数22y x x =-的最小值为1-，把1y =-代入4y x =+得，14x -=+，解得5x =-，由图象可知，当54a -时，对于任意的实数n ，都存在实数m ，使得当x m =时，函数y n =， 故选：A ．二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9．【解答】解：如图所示，连接OB 、OC ； 此六边形是正六边形， 360606BOC ︒∴∠==︒， OB OC =，BOC ∴∆是等边三角形， 2OB OC BC ∴===．故答案为：2．10．【解答】解：把(1,3)A 代入2(0)y ax a =≠中， 得231a =⨯， 解得3a =，所以该抛物线的解析式为23y x =． 故答案为：23y x =．11．【解答】解：在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =， 则62sin 93AC B AB ===， 故答案为：23． 12．【解答】解：抛物线开口方向向上， 0a ∴>，对称轴在y 轴的右侧， 0b ∴<，抛物线与y 轴交于负半轴， 0c ∴<．故答案为>，<，<．13．【解答】解：连接OC ，如图所示： 弦CD AB ⊥于点E ，6CD =， 132CE ED CD ∴===，在Rt OEC ∆中，90OEC ∠=︒，3CE =，152OC AB ==， 22534OE ∴=-=， 15412BE OB OE AB OE ∴=-=-=-=， 故答案为：1．14．【解答】解：PA 、PB 是O 的两条切线，60APB ∠=︒，2OA OB ==， 1302BPO APB ∴∠=∠=︒，BO PB ⊥．24PO AO ∴==，22224223PB PO OB ∴=-=-=． 故答案是：23．15．【解答】解：①ODA ∆和OCE ∆为等腰三角形， 1(180)2DOA ODA ∴∠=︒-∠，1(180)2COE OCE ∠=︒-∠；②AD BC =，DC AB =，∴四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA ，AE ，DOA COE ∠=∠，O ∴，A ，E 三点在一条直线上；④35DC BC =，∴设3CD AB BE x ===，5OD AD BC x ===，四边形ABCD 是平行四边形， //AD BC ∴， AOD EOC ∴∆∆∽，∴35855OC x x OD x +==， ∴图形N 是以点O 为位似中心，把图形M 放大为原来的85，故答案为：OCE ；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；85．16．【解答】解：（1）连接OP ． (4,3)P ，5OP ∴==， 故答案为：5．（2）设CD 交x 轴于J ，过点P 作PT AB ⊥交O 于T ，交AB 于E ，连接CT ，DT ，OT ． (4,3)P ，4PE ∴=，3OE =，在Rt OPE ∆中，4tan 3PE POE OE ∠==， OE PT ⊥，OP OT =， POE TOE ∴∠=∠，12PDT POT POE ∴∠=∠=∠，PA PB =．PE AB ⊥， APT DPT ∴∠=∠，∴TC DT =，TDC TCD ∴∠=∠， //PT x 轴， CJO CKP ∴∠=∠，CKP TCK CTK ∠=∠+∠，CTP CDP ∠=∠，PDT TDC CDP ∠=∠+∠， TDP CJO ∴∠=∠， CJO POE ∴∠=∠，4tan tan 3CJO POE ∴∠=∠=． 补充方法：证明CJO EOP ∠=∠时，可以这样证明：90CJO TOJ ∠+∠=︒，90TOJ EOT ∠+∠=︒， CJO EOT ∴∠=∠， EOT EOB ∠=∠，CJO EOP ∴∠=∠，可得结论．故答案为：43．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分） 17．【解答】解：原式23321(=-+ 3314+ 134=． 18．【解答】解：（1）△2241(4)204k k =-⨯⨯-=-． 方程有两个不相等的实数根，∴△0>．2040k ∴->，解得5k <；k ∴的取值范围为5k <．（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=， (1)(3)0x x -+=， 10x -=或30x +=，解得11x =，23x =-．19．【解答】解：（1）补全图形见图1．（2）BC 是直径，90BEC ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角）． 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角． （3）点A 在O 外． 理由如下：连接OA ．4BD =，2CD =，6BC BD CD ∴=+=，32BCr ==． AD BC ⊥， 90ODA ∴∠=︒，在Rt AOD ∆中，3AD =，1OD BD OB =-=，∴22221310OA OD AD =++103>，OA r ∴>，∴点A 在O 外．（4）观察图象可知：BAC BEC ∠<∠． 故答案为：<．20．【解答】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=． 解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）由图象可得0m <或3m >． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC ．AB 为O 的直径，AC 为弦，90ACB ∴∠=︒，90OCB ACO ∠+∠=︒． OA OC =， ACO A ∴∠=∠． BCD A ∠=∠， ACO BCD ∴∠=∠． 90OCB BCD ∴∠+∠=︒． 90OCD ∴∠=︒． CD OC ∴⊥． OC 为O 的半径， CD ∴是O 的切线；（2）解：BCD A ∠=∠，9cos 20BCD ∠=， 9cos cos 20A BCD ∴=∠=．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒， 2.7AC =，9cos 20A =． 2.769cos 20AC AB A∴===． 32ABOC OE ∴===． 在Rt OCD ∆中，90OCD ∠=︒，3OC =，4CD =，∴5OD =．532DE OD OE ∴=-=-=．22．【解答】解：（1）正方形ABCD 的边长为4，CM x =，1BE =， 4DM DC CM x ∴=-=-，其中01x ．故答案是：4x -，01x ； （2）如图，延长MP 交AB 于G ，正方形ABCD 的边长为4，F 为BC 边的中点，四边形PMDN 是矩形，CM x =，1BE =， //PM BC ∴，122BF FC BC ===，BG MC x ==，4GM BC ==， EGP EBF ∴∆∆∽，1EG x =-，∴EG PG EB BF =，即112x PG-=． 22PG x ∴=-，4(22)22DN PM GM PG x x ∴==-=--=+，2(4)(22)268S DM DN x x x x ∴=⋅=-+=-++，其中01x ． （3）由（2）知，2268S x x =-++， 20a =-<，∴此抛物线开口向下，对称轴为322b x a =-=，即32x =，∴当32x <时，y 随x 的增大而增大． x 的取值范围为01x ，∴当1x =时，矩形PMDN 的面积最大，此时点P 与点E 重合，此时最大面积为12．23．【解答】解：（1）212y x x =-+，∴对称轴为直线1112()2x =-=⨯-，令0x =，则0y =，∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,0)，（2）(34)(21)5A B x x n n n -=+--=+，1(34)1333(1)A x n n n -=+-=+=+，1(21)1222(1)B x n n n -=--=-=-．①当5n <-时，10A x -<，10B x -<，0A B x x -<．A ∴，B 两点都在抛物线的对称轴1x =的左侧，且A B x x <，抛物线212y x x =-+开口向下，∴在抛物线的对称轴1x =的左侧，y 随x 的增大而增大．12y y ∴<；②若点A 在对称轴直线1x =的左侧，点B 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得3412111(34)(21)1n n n n +<⎧⎪->⎨⎪-+<--⎩，∴不等式组无解，若点B 在对称轴直线1x =的左侧，点A 在对称轴直线1x =的右侧时， 由题意可得：3412111(21)341n n n n +>⎧⎪-<⎨⎪-->+-⎩，115n ∴-<<-，综上所述：115n -<<-．24．【解答】解：（1）90C ∠=︒，3BC =，30ABC ∠=︒， tan301AC BC ∴=⋅︒=， 22AB AC ∴==， BA BA ='，AC AC '=''， 30ABC A BC ∴∠'=∠''=︒，ABA ∴∆'是等边三角形，60α∴=︒，2AA AB '==．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD A D '=．理由：如图2，过点A 作A C ''的平行线，交CC '于点E ，记1β∠=． 将Rt ABC ∆绕点B 顺时针旋转α得到Rt △A BC ''， 90A C B ACB ''∴∠=∠=︒，A C AC ''=，BC BC '=．21β∴∠=∠=．3190ACB β∴∠=∠-∠=︒-，290A C D A C B β''''∠=∠+∠=︒+． //AE A C ''90AED A C D β''∴∠=∠=︒+．4180180(90)90AED ββ∴∠=︒-∠=︒-︒+=︒-． 34∴∠=∠． AE AC ∴=． AE A C ''∴=．在ADE ∆和△A DC ''中， ADE A DC AED A C D AE A C ∠=∠''⎧⎪∠=∠''⎨⎪=''⎩， ADE ∴∆≅△()A DC AAS ''，AD A D '∴=．②如图1中，当60α=︒时，BD 的值最大，最大值为3． 当120α=︒时，BD 的值最小，最小值1sin30212BD AB =⋅︒=⨯=， 13BD ∴．25．【解答】解：（1）点(6,0)A ，(0B ，23)，(3,0)R ，(2,0)S ，(1,3)T ， 3AR ∴=，21BR =，4AS =，4BS =，27AT =，2BT =， AS BS ∴=，∴点A 和点B 的等距点是(2,0)S ，故答案为：(2,0)S ；（2）①设等距点的坐标为(,0)x ， 2|6|x ∴=-， 4x ∴=或8，∴等距点的坐标为(4,0)或(8,0)，故答案为：(4,0)或(8,0)；②如图1，设直线y a =上的点Q 为点A 相直线2y =-的等距点，连接QA ，过点Q 作直线2y =-的垂线，垂足为点C ，点Q 为点A 和直线2y =-的等距点， QA QC ∴=，22QA QC ∴=点Q 在直线y a =上，∴可设点Q 的坐标为(,)Q x a222(6)[(2)]x a a ∴-+=--． 整理得2123240x x a -+-=，由题意得关于x 的方程2123240x x a -+-=有实数根．∴△2(12)41(324)16(1)0a a =--⨯⨯-=+．解得1a -； （3）如图2，直线1l 和直线2l 的等距点在直线33:3l y = 直线1l 和y 轴的等距点在直线4:323l y x =-+或53:23l y =+ 由题意得3r 或3r ．。
2020~2021北京市昌平区九年级初三上学期期末数学试卷及答案
北京市昌平区2020-2021学年第一学期初三年级期末水平测试数 学 试 卷2021．1本试卷共5页，共100分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如图，以点P 为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l 相切的是（A ）P A （B ）PB （C ）PC （D ）PD2. 已知3x =4y （y ≠0），那么下列比例式中成立的是（A ）34=x y （B ）43=x y （C ）34=x y （D ） 43=x y3.抛物线2(3)+1=-y x 的顶点坐标是（A ）（3,1） （B ）(3,1)- （C ）(3,1)- （D ）(3,1)-- 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =36°， 那么∠BAD 等于（A ） 36° （B ） 44° （C ） 54° （D ） 56°5．已知二次函数221（）=-+y x ，若点A 1(0)y ，和B 2(3)，y 在此函数图象上，则1y 与2y 的大小关系是（A ）12y y > （B ）12y y < （C ）12y y ＝ （D ）无法确定 6.小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是（A ）南偏东40度 （B ）南偏西40度 （C ）北偏东50度 （D ） 北偏西50度7.如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠ACB 的值为（A ）13（B ） 35 （C ）23 （D ）12B C DP lABACBA8.如图，点M 坐标为（0,2），点A 坐标为（2,0），以点M 为圆心，MA 为半径作⊙M ，与x 轴的另一个交点为B ，点C 是⊙M 上的一个动点，连接BC ，AC ，点D 是 AC 的中点，连接OD ，当线段OD 取得最大值时，点D 的坐标为 （A ）（0，1+2） （B ）（1，1+2） （C ）（2，2） （D ）（2，4）二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）9.请写出一个开口向上且过点(0,2)-的抛物线表达式为______________________． 10.点1(2,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6=-y x图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“＞”，“＜”或“=”）11.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则AB 的长为__________． 12.如图，ABCD 中，延长AD 至点E ，使DE =12AD ，连接BE ，交CD 于点F ，若⊙DEF 的面积为2，则⊙CBF 的面积为__________．13. 如图，AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD =16，BE =4，则CE =____，⊙O 的半径为_____. 14．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A =40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则 ∠BOC =__________°，∠DEF =__________°.15. 二次函数y =ax ²+bx +c 图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y…0 4664…﹣6…则这个二次函数的对称轴为直线x =________，m =________（m ＞0）.16.抛物线22y x x m =-++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①抛物线过点（2，m ）； ②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形；③a +b ＝4； ④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ．OABCDEFA BOD EC AB C D EFO 第11题 第12题第13题第14题 xyCBAODM其中结论正确的序号是______________________．三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）17. 计算：3tan 60°+cos 245°-sin 30°．18．如图，AC 平分⊙BAD ，⊙B =∠ACD . （1）求证：△ABC ∽△ACD ； （2）若AB =2，AC =3，求AD 的长.19．已知二次函数223=--y x x ．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图； （2）结合函数图象，直接写出0<y 时x 的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线P A 和直线PB ，使P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①作射线PO ，与⊙O 交于点M 和点N ； ②以点P 为圆心，以PO 为半径作⊙P ;③以点O 为圆心,以⊙O 的直径MN 为半径作圆，与⊙P 交于点E 和点F ，连接OE 和OF ，分别与 ⊙O 交于点A 和点B ； ④作直线P A 和直线PB .所以直线P A 和PB 就是所求作的直线.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）O-4-3-2-1-1-2-3-4xy 12344321DABC（2）完成下面的证明。
2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷及答案解析
第1页（共29页）
2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与
CD 的延长线交于点F ，∠DCE ＝85°，∠F ＝28°，则∠E 的度数为（ ）
A ．38°
B ．48°
C ．58°
D ．68°
2．（2分）将抛物线y ＝x 2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛
物线的解析式为（ ）
A ．y ＝（x +3）2
B ．y ＝（x ﹣3）2
C ．y ＝（x +2）2+1
D ．y ＝（x ﹣2）2+1
3．（2分）圆心角为60°，半径为1的弧长为（ ）
A ．π2
B ．π
C ．π6
D ．π3 4．（2分）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边
AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，其中有：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝DE ；④∠A ＝∠EBC ，四个结论，则结论一定正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．（2分）如图，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果∠BAC ＝60°，OD ＝1，则
BC 为（ ）。
北京市丰台区2020-2021学年数学九年级上学期期末试卷答案
丰台区2020—2021学年第一学期期末练习初三数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BADB ACCD二、填空题（本题共24分，每小题3分）9.y =x 2-210.1∶911.0.88112.4b =±13.△BDA ，△BCE14.815.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等16.1；3.23三、解答题（本题共52分，17-21题每小题5分，22题6分，23-25题每小题7分）17. 解：（1）∵2243(2)1y x x x =−+=−−，∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1). ··············································· 2分（2）如图：··············································· 4分（3）-1≤y <3. ··························· 5分18.（1）证明：∵AD AB AE AC ⋅=⋅，∴AD AEAC AB=. 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB . ······················ 2分 （2）解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE =∠ACB . ······················· 3分 ∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°. 又∵∠B =55°，∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°. ·····5分 19.解：（1）如图：················································2分（2）如图：················································5分20. 解：（1）∵点D 是矩形OABC 的对角线交点， ∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点， 又∵A (4，0)，C (0，2)，∴点D 的坐标为(2，1). ················ 1分 ∵反比例函数ky x=的图象经过点D ， ∴12k=，解得：k =2. ··················· 2分 （2）由题意可得：点M 的纵坐标为2，点N 的横坐标为4. ∵点M 在反比例函数2y x=的图象上， ∴点M 的坐标为(1，2)， ··············· 3分 ∴14x ≤≤. ······························· 5分 21. （1）证明：连接OD .∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ， ∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ， ∴∠AOC =∠AOD . 在△AOD 和△AOC 中，AO AOAOD AOC OD OC =∠=∠ =∴ △AOD ≌△AOC ， ·················· 1分 ∴ ∠ADO =∠ACO . ∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°, ·············· 2分 又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线. ···················· 3分 （2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3. 在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=， ∴BO =5，∴BC =BO +OC =8. ························4分 ∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .在Rt △ACB 中，222AC BC AB +=， 即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6. ······························5分 22. 解：（1）3，0.75； ····························4分 （2）16. ·····································6分23. 解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx 过点(4，0)，∴0164a b =+， ∴4b a =−. ··································2分 （2）∵点A (0，a )绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，∴点B 的坐标为(a ，0)， ················3分 ∵点B 向右平移2个单位长度得到点C ， ∴点C 的坐标为(a +2，0). ··············4分（3）（i ）当a >0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向上，与x轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图1），只需满足：24a a >+≥，解得：2a ≥. ··············5分图1（ii ）当a <0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向下，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图2），只需满足：20a a <+≤，解得：2a −≤. ············ 6分图2综上所述，a 的取值范围为2a ≥或2a −≤. ··············································· 7分24.（1）证明：∵CF ⊥AE ，∴EFC ∠=90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴ABC ∠=90°， ∴ABE ∠=90°， ∴EFC ∠=ABE ∠， 又∵AEB CEF ∠=∠，∴FAB BCF ∠=∠. ························ 2分 （2）①如图：··············································· 3分② AF +BM = CF . ························4分证明：在CF 上截取点N ，使得CN =AF ，连接BN .∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB =CB .在△AFB 和△CNB 中，AF CNFAB NCB AB CB =∠=∠ =∴ △AFB ≌△CNB ， ···················5分∴ ∠ABF =∠CBN ，FB =NB ， ∴∠FBN =∠ABC =90°， ∴△FBN 是等腰直角三角形， ∴∠BFN =45°.∵点B 关于直线AE 的对称点是点M ， ∴FM =FB ，∵CF ⊥AE ，∠BFN =45°， ∴∠BFE =45°， ∴∠BFM =90°， ∴∠BFM =∠FBN ， ∴FM //NB .∵FM =FB ，FB =NB ， ∴FM =NB ，∴四边形FMBN 为平行四边形， ······6分 ∴BM =NF ，∴AF +BM = CF . ···························7分 （其它方法酌情给分）25. 解：（1）点C和点E； ······················ 2分（2）线段AB的所有2倍等距点形成的图形为以点O为圆心，以1为半径的圆围成的区域（包括边界），如图所示：··············································· 4分该区域的面积为：221S=π×−π×=π.··············································· 5分（3）21≤≤. ········ 7分bb≤≤或12−−。
2020-2021学年北师大版九年级上册数学期末复习试卷(有答案)
2020-2021学年北师大新版九年级上册数学期末复习试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（）A．3B．2C．1D．22．如图所示几何体的左视图正确的是（）A．B．C．D．3．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数C．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃4．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 6．若，则的值为（）A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB ＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4B．5C．6D．88．如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，下列说法：①BD ＝2GE；②AF＝2FD；③△AGE与△BDF面积相等；④△ABF与四边形DCEF面积相等，结论正确的是（）A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）A．点B坐标为（5，4）B．AB＝ADC．a＝﹣D．OC•OD＝1610．正方形ABCD的边长AB＝2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为2.7米，又测得墙上影高CD为1.2米，旗杆AB的高度为米．12．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐标是（1，2），则点A'的坐标是．13．在一个布袋里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．将2个红球分别记为红Ⅰ，红Ⅱ，两次摸球的所有可能的结果如表所示，则两次摸出的球都是红球的概率是．14．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为xm，则可列方程为．15．如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，过点B、C分别作AB、BC的垂线相交于点D，延长AC、BD相交于点E，若tan∠BDC＝2，则DE＝．三．解答题（共3小题，满分22分）17．计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．18．如图，是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字．小明转动转盘，小亮猜结果，如果转盘停止后指针指向的结果与小亮所猜的结果相同，则小亮获胜，否则小明获胜．（1）如果小明转动转盘一次，小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是．（2）如果小明连续转动转盘两次，小亮猜两次的结果都是“正数”，请用画树状图或列表法求出小亮获胜的概率．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为37°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A 和教学楼BC距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：销售单价x（元）121416每周的销售量y（本）500400300（1）求y与x之间的函数关系式；（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？六．解答题（共3小题，满分34分）22．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．23．【方法提炼】解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．【问题情境】如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．小明在分析解题思路时想到了两种平移法：方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；【尝试应用】（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC 的值；（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF，连结DE分别交线段BC，PC于点M，N．①求∠DMC的度数；②连结AC交DE于点H，求的值．24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：方程x2﹣6x+5＝0较小的根为p＝1，方程5x2﹣4x﹣1＝0较大的根为q＝1，则p+q＝2，故选：B．2．解：从几何体的左面看所得到的图形是：故选：A．3．解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小时随机出的是“剪刀”为，不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数的概率是＝＝0.5，符合这一结果，故此选项正确；C、从一个装有1个红球2个黄球的袋子中任取一球，取到的是黄球的概率为：，不符合这一结果，故此选项错误；D、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为：0.25，不符合这一结果，故此选项错误；故选：B．4．解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．5．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．6．解：∵，∴＝2＝2﹣＝；故选：B．7．解：作CE⊥x轴于E，∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴OA＝CE＝2，∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，∴∠OAB＝∠CBE，∵∠AOB＝∠BEC，∴△AOB∽△BEC，∴＝，即＝，∴BE＝4，∴OE＝5，∵点D是AB的中点，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．解：∵中线AD，BE相交于点F，∴BD＝CD，AE＝CE，BF＝2EF，AF＝2FD，②正确；∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF，∴＝＝2，∴BD＝2GE，①正确；∵AF＝2FD，∴△ABF的面积＝2△BDF的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，△BDF的面积＝△ABC的面积，∵EG∥BC，AE＝CE，∴△AGE∽△ADC，＝，∴＝（）2＝，∴△AGE的面积＝△ADC的面积△ABC的面积，∴△AGE与△BDF面积不相等，③不正确；∵BD＝CD，AE＝CE，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝△ABC的面积＝△ABE的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积＝△BCE的面积，∴△ABD的面积﹣△BDF的面积＝△BCE的面积﹣△BDF的面积，即△ABF与四边形DCEF面积相等，④正确；故选：D．9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴A（0，4），∵对称轴为直线x＝，AB∥x轴，∴B（5，4）．故A无误；如图，过点B作BE⊥x轴于点E，则BE＝4，AB＝5，∵AB∥x轴，∴∠BAC＝∠ACO，∵点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，∴∠ACO＝∠ACB，∴∠BAC＝∠ACB，∴BC＝AB＝5，∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：EC＝3，∴C（8，0），∵对称轴为直线x＝，∴D（﹣3，0）∵在Rt△ADO中，OA＝4，OD＝3，∴AD＝5，∴AB＝AD，故B无误；设y＝ax2+bx+4＝a（x+3）（x﹣8），将A（0，4）代入得：4＝a（0+3）（0﹣8），∴a＝﹣，故C无误；∵OC＝8，OD＝3，∴OC•OD＝24，故D错误．综上，错误的只有D．故选：D．10．解：∵BF∥AD∴△BNF∽△DNA∴，而BF＝BC＝1，AF＝，∴AN＝，又∵AE＝BF，∠EAD＝∠FBA，AD＝AB，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠AED＝∠BFA∴△AME∽△ABF∴，即：，∴AM＝，∴MN＝AN﹣AM＝．故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．解：过点D作DE⊥AB于点E，则BE＝CD＝1.2m，∵他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，∴＝，即＝，解得：AE＝3m，∴AB＝AE+BE＝3+1.2＝4.2（m）．故答案为：4.2．12．解：根据以原点O为位似中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应乘以﹣2，故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）．13．解：根据图表可知，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的有4种，则两次摸出的球都是红球的概率为；故答案为：．14．解：设人行通道的宽度为xm，则两块矩形绿地可合成长为（30﹣3x）m、宽为（24﹣2x）m的大矩形，根据题意得：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．故答案为：（30﹣3x）（24﹣2x）＝480．15．解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF＝BD，∵EF＝5，∴BD＝10，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD＝10，∴菱形ABCD的周长＝4×10＝40，故答案为：40．16．解：作CF⊥BD于F，作AG⊥BC于G，如图所示：∵AB＝AC＝9，AG⊥BC，∴BG＝CG，∵BE⊥AB，CD⊥BC，∴∠ABG+∠CBD＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ABG＝∠BDC，∴tan∠ABG＝＝tan∠BDC＝＝2，∴AG＝2BG，BC＝2CD，设BG＝x，则AG＝2x，在Rt△ABG中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝92，解得：x＝，∴BC＝2BG＝，CD＝BC＝，∴BD＝＝＝9，∵CF⊥BD，∴△BCD的面积＝BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，∴DF＝＝＝，∵AB⊥BD，CF⊥BD，∴CF∥AB，∴△CFE∽△ABE，∴＝，即＝，解得：DE＝3；故答案为：3．三．解答题（共3小题，满分22分）17．解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．18．解：（1）∵每个扇形上分别标上，1，﹣1三个数字，其中是“正数”的有2个数，∴小亮猜的结果是“正数”，那么小亮获胜的概率是；故答案为：；（2）根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中两次的结果都是“正数”的有4种，∴小亮获胜的概率是．19．（1）证明：∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC为平行四边形，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴四边形OBEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝AB，OB＝OD，OA＝OC，∵∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝2，∴OD＝OB＝，在Rt△AOD中，AO＝＝＝3∴OC＝OA＝3，∵四边形OBEC是矩形，∴BE＝OC＝3．四．解答题（共1小题，满分8分，每小题8分）20．解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F．由题意得，AB＝57，DE＝30，∠A＝37°，∠DCF＝45°．在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴tan37°＝≈0.75．∴AE＝40，∵AB＝57，∴BE＝17∵四边形BCFE是矩形，∴CF＝BE＝17．在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∴∠CDF＝∠DCF＝45°．∴DF＝CF＝17，∴BC＝EF＝30﹣17＝13．答：教学楼BC高约13米．五．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）21．解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），，得，即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；（2）由题意可得，w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，∵a＝﹣50＜0∴w有最大值∴当x＜16时，w随x的增大而增大，∵12≤x≤15，x为整数，∴当x＝15时，w有最大值，此时，w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．六．解答题（共3小题，满分34分）22．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2）把A（1，2）代入反比例函数y＝，∴k＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y＝，解得，，，∴B（2，1）；（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），∵A（1，2），∴AC＝＝2，过A作AD⊥x轴于D，∴OD＝1，CD＝AD＝2，当AP＝AC时，PD＝CD＝2，∴P（﹣1，0），当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，∴OP＝3﹣2或OP＝3+2∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，∴P（1，0），综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．23．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，∴∠DMC＝∠GDE＝45°；②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，∴AC＝AD，∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，∴＝＝＝．24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PF＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，即：＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S＝AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，四边形AEBD∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．。
北京市朝阳区2020—2021年九年级上期末检测数学试卷含答案
16
1 （1 分）； n （2 分）
56
n 1
三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 小题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 解：2 cos45 tan 60 sin 30 1 2
2 2 3 1 1 ……………………………………………………………4 分
20.党的十八大提出，倡导富强、民主、文明、和谐，倡导自由、平
等、公平、法治，倡导爱国、敬业、诚信、友善，积极培养和践
行社会主义核心价值观，这 24 个字是社会主义核心价值观的差
不多内容．其中：
“富强、民主、文明、和谐”是国．家．层面的价值目标；
“自由、平等、公平、法治”是社．会．层面的价值取向；
旧成立，即_______的面积=_______的面积，此面积的值为____．
小高说：我还发觉，在图①或图②中连接某两个已知点，得到的线段与 AD 和 BC 都
相等，这条线段是
．
y
B 6
5
C
4F
3
2G
D
1 H
I
A
x
O 123456
y
B
6
C
5F
4
3
2
1G H
D I Ax
O 123456
图②
图①
（1）请完成以上填空； （2）请结合以上三位同学的讨论，对图②所示的情形下，证明 AD=BC； 小峰突然提出一个问题：通过刚才的证明，我们能够明白当直线与双
， 3 1.732 ）．
24. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 边于点 D，交 AC 边于点
2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷(附解析)
2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k=()A. 2B. 3C. −6D. 62.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是()A. B.C. D.3.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 14.如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC.若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为()A. 9B. 6C. 3D. 325.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是()A. x−1=0B. x2+x=0C. x2−1=0D. x2+1=06.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC⏜的长为()A. 14πB. 13ππC. 23D. π7.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是()A. −4B. −2C. 0D. 28.下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是()A. 长度为√5线段B. 斜边为3的直角三角形C. 面积为4的菱形D. 半径为√2，圆心角为90°的扇形二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是______ ．10.若点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，则a，b的大小关系是：a______xb(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为______ (填“相交”、“相切”或“相离”)．12.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，则m的值为______．13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是______ (结果保留小数点后一位)．14.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC= 2m，CD=12m，则旗杆高度DE=______ m.15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为______ ，CE的长为______ ．与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).16.已知双曲线y=−3x(1)若x1+x2=0，则y1+y2=______ ；(2)若x1+x2>0时，y1+y2>0，则k______ 0，b______ 0(填“>”，“=”或“<”)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：x2−4x+3=0．四、解答题（本大题共8小题，共47.0分）18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．(1)证明：△ABC∽△ACD；(2)若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼⋅考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理依据是：______ ．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=______ cm；用含r的代数式表示OD，OD=______ cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=______ ，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：(1)用等式写出m，n所满足的数量关系______ ；(2)从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是______ 事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为1，求m和n的值．421.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(4,2)，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD.已知点(x>0)的图象上．B在反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式，并画出图象；(2)判断点C是否在此函数图象上；(3)点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N.若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．(1)求证：OA=OB；(2)连接AD，若AD=√7，求⊙O的半径．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,y1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+4的图象上．(1)若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m<0时，y1与y2的大小关系；(2)若只有当m≥1时，满足y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．24.已知∠MAN=45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点(不与点A重合)，点D在线段BC的延长线上，且CD=CB，过点D作DE⊥AM于点E．(1)当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是______ ；(2)当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；(3)在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：(1)如图2，已知点A(7,0)，点B在直线y=x+1上．①若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点______ 是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；(2)已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F.若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．答案和解析1.【答案】D的图象经过点(2,3)，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k=2×3=6．故选：D．直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．(k为常数，k≠0)的图本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是1，3故选：A．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n4.【答案】B【解析】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC，∴AEAC =ADAB，即24=3AB，解得AB=6，故选：B．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，据此可得结论．本题主要考查了平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．5.【答案】C【解析】解：A、x−1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵△=0−4×1×(−1)=4>0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵△=0−4×1×1=−4<0，故此选项不合题意．故选：C．根据题意一次项系数为0且△>0．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的根的判别式．6.【答案】B【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB=360°×16=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=1，弧BC的长为60π×1180=13π.故选：B．连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=−1.5，∴点(0,2)关于直线x=−1.5的对称点为(−3,2)，当−3<x<0时，y>2，即当函数值y>2时，自变量x的取值范围是−3<x<0．故选：B．利用抛物线的对称性确定抛物线与(0,2)的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：半径为1的圆的直径为2，A、∵√5>2，∴长度为√5线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；B、∵3>2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；C、∵面积为4的菱形的长的对角线>2，∴面积为4的菱形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；D、∵半径为√2，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为√2，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故选：D．根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．9.【答案】y=x2【解析】解：∵二次函数有最小值，∴a>0，∴这个二次函数的解析式可以是y=x2，故答案为y=x2．根据二次函数有最小值，即可得出a>0，据此写出一个二次函数即可．本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的10.【答案】>【解析】解：∵反比例函数y=4中，k=4>0，x∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，且2>1，x∴a>b，故答案为：>．直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．11.【答案】相切【解析】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为相切．连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．12.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，∴x=1满足一元二次方程x2−3x+m=0，∴1−3+m=0，解得，m=2．故答案是：2．根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13.【答案】0.9【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故答案为：0.9．根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．14.【答案】9【解析】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠EDC=90°，∵∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE =BCCD，∴1.5DE =212，∴DE=9(m)，故答案为：9．根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15.【答案】45°√10【解析】解：如图，连接CE，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，∴BE=1，∴CE=√BE2+CB2=√1+9=√10，故答案为：45°，√10．由旋转的性质可得旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16.【答案】0 <>【解析】解：(1)∵双曲线y=−3x与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).∴y1=−3x1，y2=−3x2，∵x1+x2=0，∴x2=−x1，∴y2=−3x2=−3−x1=−y1，∴y1+y2=0，故答案为0；(2)∵双曲线y=−3x在二、四象限，∴设A(x1,y1)在第二象限，B(x2,y2)在第四象限．则x1<0，y1>0，x2>0，y2<0，∵x1+x2>0，y1+y2>0，∴|x2|>|x1|，|y1|>|y2|，如图，∴直线y=kx+b经过一、二、四象限，故答案为<，>．(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；(2)根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．17.【答案】解：x2−4x+3=0(x−1)(x−3)=0x−1=0，x−3=0x1=1，x2=3．【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．属于基础题．利用因式分解法解出方程．18.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△ACD；(2)解：∵∠B=90°，AB=4，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−42=3，由(1)得：△ABC∽△ACD，∴BCCD =ABAC，即3CD =45，解得：CD=154．【解析】(1)由角平分线定义得∠BAC=∠CAD，再由∠B=∠ACD=90°，即可得出结论；(2)先由勾股定理求出BC=3，再由相似三角形的性质求出CD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】垂直弦的直径平分弦45 (r−15)452+(r−15)2【解析】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；用含r的代数式表示OD，OD=(r−15)cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=452+(r−15)2，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，(r−15)，452+(r−15)2．根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】m+n=14随机【解析】解：(1)观察表格发现：6+m+n=20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14，故答案为：m+n=14；(2)①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为14，∴m20=14，∴m=5，n=9．(1)根据表格确定m，n满足的数量关系即可；(2)①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．21.【答案】解：(1)将点B(4,2)代入反比例函数y=k中，得k=2，∴反比例函数的解析式为y=8，x图象如图1所示，(2)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A(1,2)，∴C(1×2,2×2)，即C(2,4)，，由(1)知，反比例函数解析式为y=8x=4，当x=2时，y=82∴点C在反比例函数图象上；(3)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B(4,2)，∴D(4×2,2×2)，即D(8,4)，由(2)知，C(2,4)，∴直线CD的解析式为y=4，)，∵点M的横坐标为m，则M(m,4)，N(m,8m|，∴MN=|4−8m∴AB=3，∵MN≥AB，|≥3，∴|4−8m∴m≥8或m≤8，7或m≥8．即0<m≤87【解析】(1)将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；(2)先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；(3)先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．22.【答案】(1)证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA=OB；(2)解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE=OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAC=∠B=∠OAB=30°，在Rt△OAC中，AC=√3OC=√3r，在Rt△ACD中，(√3r)2+(2r)2=(√7)2，解得r=1，即⊙O的半径为1．【解析】(1)连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，(2)设⊙O 的半径为r ，先证明AO 平分∠BAC ，再证明∠OAC =∠B =∠OAB =30°，所以AC =√3OC =√3r ，利用勾股定理得到(√3r)2+(2r)2=(√7)2，然后解方程即可． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质． 23.【答案】解：(1)①∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(0,4)，(4,4)， ∴{c =416+4b +c =4，解得{b =−4c =4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−4x +4，∵y =x 2−4x +4=(x −2)2，∴图象的顶点坐标为(2,0)；②画出函数的图像如图：由图像可知，m <0时，y 1>y 2；(2)由题意可知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，把(1,0)和点(4,0)代入得{1+b +c =016+4b +c =0， 解得{b =−5c =4， ∴此时二次函数的解析式为y =x 2−5x +4．【解析】(1)①待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数y =−x +4的图像，根据图像即可得到结论；(2)由题意可知，只有二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，才能满足m ≥1时，y 1⋅y 2≤0，然后根据待定系数法求得即可．本题考查了二次函数的图像预下载，待定系数法求二次函数的解析式，明确题意是解题24.【答案】AC=DE【解析】(1)解：∵CD=CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，在△ABC和△ADC中，{AB=AD CB=CD AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠CAD=∠BAC=45°，∴∠BAD=45°+45°=90°，∴AC=CD=CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC=DE，故答案为：AC=DE；(2)证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴AE+DE=AF+CF+CE+DE=AC+ CF+AF=AC+AC=2AC，∴2AC=AE+DE；(3)解：能，2AC+AE=DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴2AC+AE=AC+CE=AC+CF=AF=DE．(1)易证△ABD是等腰三角形，得AB=AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD=∠BAC=45°，则∠BAD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；(2)依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC=∠DEC=90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF=DE，CF=CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF=AF，推出AF=DE，即可得出结论；(3)过点B作BF⊥AM于F，同(2)△BFC≌△DEC(AAS)，得出BF=DE，CF=CE，证得AF=DE，即可得出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25.【答案】O，C【解析】解：(1)①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B 的内联点，观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．∵E(4,2)，∴OH =4，EH =2，∴OE =√OH 2+EH 2=2√5， 当OF ⊥OE 时，点O 是△OEF 关于点E 的内联点， ∵∠EOF =∠NOH =90°，∴∠FON =∠EOH ，∵∠FNO =∠OHE =90°，∴△FNO∽△EHO ，∴OF OE =FN EH =ON OE ， ∴22√5=FN 2=ON 4，∴FN =2√55，ON =4√55， ∴F(−2√55,4√55)， 观察图像可知当−2√55≤m ≤0时，满足条件．作点F 关于点O 的对称点F′(2√55,−4√55)， 当OF″⊥EF″时，设OH 交F″E 于P ，∵∠EF″O =∠EHO =90°，OE =EO ，EH =OF″，∴Rt △OHE≌△EF″O(HL)，∴∠EOH =∠OEF″，∴PE =OP ，s3PE =OP =t ，在Rt △PEH 中，则有t 2=22+(4−t)2，解得t =52，∴OP =52，PH =PF″=32，可得F″(85,−65)，观察图像可知，当2√55≤m≤85．综上所述，满足条件的m的值为−2√55≤m≤0或2√55≤m≤85．(1)①分别以B为圆心，BO，BC BA为半径作圆，观察图像根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N.利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷及解析
2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．（3分）正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．（3分）若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75．（3分）下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A ．指针指向黄色的概率为23B ．指针不指向红色的概率为34C ．指针指向红色或绿色的概率为12D ．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率 7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC AP ⊥，OD BP ⊥，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为( )A ．12B ．22C ．32D ．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx =交于M ，N 两点，则二次函数2()y ax b k x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm ．10．（3分）如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为 （用含α的式子表示）．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根为 ．12．（3分）下列事件：①通常加热到100C ︒，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180︒．其中是随机事件的是 （只填写序号即可）． 13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为 ．14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为 ．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆的顶点A 在y 轴的正半轴上，(5,0)B -，(5,0)C ，点(11,0)D ，将ACD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE ∆，则BC 的长度为 ，线段AE 的长为 ，图中阴影部分面积为 ．16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40． 所有合理推断的序号是 ．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分） 17．（5分）关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了ABC ∆和点(D A ，B ，C ，D 是网格线交点）． （1）画出一个DEF ∆，使它与ABC ∆全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：DEF ∆是由ABC ∆经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）． （2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C 和点F 的坐标．19．（5分）已知：如图，ABC ∆中，90C ∠=︒． 求作：CPB A ∠=∠，使得顶点P 在AB 的垂直平分线上． 作法：①作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O ；②以O 为圆心，OA 为半径画圆，O 与直线l 的一个交点为P （点P 与点C 在AB 的两侧）； ③连接BP ，CP ，CPB ∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明．证明：连接OC ， l 为AB 的垂直平分线， OA ∴= ． 90ACB ∠=︒， OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．又点P 在O 上，(CPB A ∴∠=∠ )（填推理依据）． 20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表： 成绩x 人数 班级 7075x < 7580x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 01 4 7 7 1 四班m3752（1）频数分布表中，m = ；（2）从7075x <中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？ 21．（6分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=︒，2AC =，求CE 的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点(1,0)A -，(,3)B m -，点P 是线段AB 上的动点．（1）①m = ； ②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．（7分）在等腰直角ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90︒交直线l 于点D ． （1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形． ①求证：BDP PCB ∠=∠；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．（7分）已知抛物线22234y ax ax a =++-． （1）该抛物线的对称轴为 ；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点1(,)M m y ，2(2,)N y 在该抛物线上，若12y y >，求m 的取值范围．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在O上，其他部分不在O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到O的“极大距离”，记为(,)d AB O．（1）若点(4,0)A-．①当点B为(3,0)-，如图所示，平移线段AB，在点1(2,0)P-，2(1,0)P-，3(1,0)P，4(2,0)P中，连接点A 与点的线段的长度就是(,)d AB O；②当点B为(4,1)-，求线段AB到O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．（2）若点(4,4)A-，(,)d AB O的取值范围是．参考答案与试题解析一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试带答案
2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试带答案班级： 姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．3-的倒数是（ ）A ．3B ．13C ．13-D ．3-2．若实数m 、n 满足 02m =-，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ ）A ．12B ．10C ．8或10D ．63有意义，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m 2>- B ．m 2>-且m 1≠C ．m 2≥-D ．m 2≥-且m 1≠ 4．已知关于x 的不等式3x ﹣m+1＞0的最小整数解为2，则实数m 的取值范围是（ ）A ．4≤m ＜7B ．4＜m ＜7C ．4≤m ≤7D ．4＜m ≤75．《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，所列方程正确的是（ ）A ．54573x x -=-B ．54573x x +=+C ．45357x x ++=D ．45357x x --= 6．用配方法解方程2x 2x 10--=时，配方后所得的方程为（ ）A ．2x 10+=（）B ．2x 10-=（）C ．2x 12+=（）D ．2x 12-=（）7．如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°8．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，动点P ，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A D C →→，A B C →→的方向，都以1/cm s 的速度运动，到达点C 运动终止，连接PQ ，设运动时间为x s ，APQ ∆的面积为2y cm ，则下列图象中能大致表示y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（ ）A．485B．325C．245D．125二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．化简：4=____________.2．因式分解：3x3﹣12x=_______．3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．4．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于______．5．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．6．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是_____________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程：3213x x x --=-2．已知关于x 的一元二次方程(3)(2)(1)x x p p --=+.（1）试证明：无论p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根1x ，2x 满足222121231x x x x p +-=+，求p 的值.3．如图，点E 、F 在BC 上，BE=CF ，AB=DC ，∠B=∠C ，AF 与DE 交于点G ，求证：GE=GF ．4．在平面直角坐标系中，直线1y 22x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数21y bx 2x c =++的图象经过点B,C 两点，且与x 轴的负半轴交于点A ，动点D 在直线BC 下方的二次函数图象上.（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，连接DC,DB,设△BCD 的面积为S,求S 的最大值；（3）如图2，过点D 作DM ⊥BC 于点M ，是否存在点D ，使得△CDM 中的某个角恰好等于∠ABC 的2倍？若存在，直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由.5．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？6．俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、B3、D4、A5、B6、D7、C8、A9、A10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、２2、3x（x+2）（x﹣2）3、84、40°．5、406、5三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、95 x=2、（1）证明见解析；（2）-2.3、略.4、（1）二次函数的表达式为：213222y x x=--；（2）4；（3）2或2911.5、（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．6、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；（3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020-2021北京市初三数学上期末试题(附答案)一、选择题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．正三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形3．如图，AB 是圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，若35C ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．55︒B ．45︒C ．35︒D ．65︒ 4．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A ．y ＝﹣2（x +1）2+1B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x +1）2﹣15．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于A ．5-B ．5C ．9-D ．96．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）A ．黄河入海流B ．锄禾日当午C ．大漠孤烟直D ．手可摘星辰7．关于下列二次函数图象之间的变换，叙述错误的是（ ）A ．将y ＝﹣2x 2+1的图象向下平移3个单位得到y ＝﹣2x 2﹣2的图象B ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y ＝﹣2（x+2）2的图象C ．将y ＝﹣2x 2的图象沿x 轴翻折得到y ＝2x 2的图象D ．将y ＝﹣2（x ﹣1）2+1的图象沿y 轴翻折得到y ＝﹣2（x+1）2﹣1的图象8．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，y 与x 的部分对应值如下： x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 y ﹣1.59 ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76则一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个解x 满足条件( )A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.6 9．已知点P （﹣b ，2）与点Q （3，2a ）关于原点对称点，则a 、b 的值分别是（ ） A ．﹣1、3B ．1、﹣3C ．﹣1、﹣3D ．1、3 10．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（ ）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108° 11．天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．100（1+2x ）＝150B ．100（1+x ）2＝150C ．100（1+x ）+100（1+x ）2＝150D ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝15012．如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F .P 是⊙A 上一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．4－9πB ．4－89πC ．8－49πD ．8－89π 二、填空题 13．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．14．己知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3,3)，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.15．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，以点D 为圆心，AD 长为半径画AC ，再以BC 为直径画半圆，若阴影部分①的面积为S 1，阴影部分②的面积为S 2，则图中S 1﹣S 2的值为_____．(结果保留π)16．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．17．用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径等于_____cm．18．已知在同一坐标系中，抛物线y1＝ax2的开口向上，且它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，请你写出一个满足条件的a值：_____．19．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是________．20．已知二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，则该函数图象的顶点坐标为_____．三、解答题21．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：(1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况；(2)求在寻宝游戏中胜出的概率．22．如图，PA，PB是圆O的切线，A,B是切点，AC是圆O的直径，∠BAC=25°，求∠P的度数.23．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE ⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．24．如图，平面直角坐标系中，每个小正方形边长是1.（1）画出△ABC关于原点中心对称的得到△A1B1C1；（2）画出△ABC关于C点顺时针旋转90°的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求出B点旋转后所形成的弧线长．25．某企业为响应国家教育扶贫的号召，决定对某乡镇全体贫困初、高中学生进行资助，初中学生每月资助200元，高中学生每月资助300元．已知该乡受资助的初中学生人数是受资助的高中学生人数的2倍，且该企业在2018年下半年7﹣12月这6个月资助学生共支出10.5万元．（1）问该乡镇分别有多少名初中学生和高中学生获得了资助？（2）2018年7﹣12月期间，受资助的初、高中学生中，分别有30%和40%的学生被评为优秀学生，从而获得了该乡镇政府的公开表扬．同时，提供资助的企业为了激发更多受资助学生的进取心和学习热情，决定对2019年上半年1﹣6月被评为优秀学生的初中学生每人每月增加a%的资助，对被评为优秀学生的高中学生每人每月增加2a%的资助．在此奖励政策的鼓励下，2019年1﹣6月被评为优秀学生的初、高中学生分別比2018年7﹣12月的人数增加了3a%、a%．这样，2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元，求a的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．详解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A ．点睛：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．2．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形， 轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形， 轴对称图形.3．A解析：A【解析】【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得35BAD C =∠=︒∠，再根据圆直径所对的圆周角是直角，可得90ADB ∠=︒，再根据三角形内角和定理即可求出ABD ∠的度数．【详解】∵35C ∠=︒∴35BAD C =∠=︒∠∵AB 是圆O 的直径∴90ADB ∠=︒∴18055ABD ADB BAD =︒--=︒∠∠∠故答案为：A ．【点睛】本题考查了圆内接三角形的角度问题，掌握同弧所对的圆周角相等、圆直径所对的圆周角是直角、三角形内角和定理是解题的关键．4．B解析：B【解析】【详解】∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1，故选B．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．5．C解析：C【解析】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8∴（7+a）×（﹣4）=8∴a=﹣9．故选C．6．D解析：D【解析】【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．【详解】A、是必然事件，故选项错误；B、是随机事件，故选项错误；C、是随机事件，故选项错误；D、是不可能事件，故选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．D解析：D【解析】【分析】根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】A选项,将y＝﹣2x2+1的图象向下平移3个单位得到y＝﹣2x2﹣2的图象,故A选项不符合题意;B选项,将y＝﹣2（x﹣1）2的图象向左平移3个单位得到y＝﹣2（x+2）2的图象,故B选项不符合题意;C选项,将y＝﹣2x2的图象沿x轴翻折得到y＝2x2的图象,故C选项不符合题意;D选项,将y＝﹣2（x﹣1）2+1的图象沿y轴翻折得到y＝﹣2（x+1）2+1的图象,故D选项符合题意．故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换,熟练掌握平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的关键.8．C解析：C【解析】【分析】仔细看表，可发现y的值-0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．【详解】解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y=0，即这个数是ax2+bx+c=0的一个根．ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．故选C．【点睛】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的．9．A解析：A【解析】【分析】让两个横坐标相加得0，纵坐标相加得0即可求得a，b的值．【详解】解：∵P（-b，2）与点Q（3，2a）关于原点对称点，∴-b+3=0，2+2a=0，解得a=-1，b=3，故选A．【点睛】用到的知识点为：两点关于原点对称，这两点的横纵坐标均互为相反数；互为相反数的两个数和为0．10．C解析：C【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是3605=72度，故选C．11．B解析：B【解析】【分析】可设每月营业额平均增长率为x，则二月份的营业额是100（1+x），三月份的营业额是100（1+x）（1+x），则可以得到方程即可．【详解】设二、三两个月每月的平均增长率是x．根据题意得：100（1+x）2＝150，故选：B．【点睛】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a （1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．12．B解析：B【解析】试题解析：连接AD，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=80°，∴S扇形AEF=280?28 3609ππ=，S△ABC=12A D•BC=12×2×4=4，∴S阴影部分=S△ABC-S扇形AEF=4-89π．二、填空题13．8【解析】【分析】首先求出AB的坐标然后根据坐标求出ABCD的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3设y＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A点的坐标是（﹣10解析：8【解析】【分析】首先求出A、B的坐标，然后根据坐标求出AB、CD的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣3，设y＝0，∴0＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝3，x2＝﹣1，即A点的坐标是（﹣1，0），B点的坐标是（3，0），∵y＝x2﹣2x﹣3，＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点C的坐标是（1，﹣4），∴△ABC的面积＝12×4×4＝8，故答案为8．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．14．5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点EME与抛物线交于点P′由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值即可得出当点P运动到点P′时△PMF周长取最小值【详解】解解析：5【解析】【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E，结合点到直线之间垂线段最短及MF为定值，即可得出当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值.【详解】解：过点M作ME⊥x轴于点E，ME与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，又∵点到直线之间垂线段最短，MF=22(30)(32)-+-=2，∴当点P运动到点P′时，△PMF周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF周长的取最小值时点P的位置是解题的关键.15．π【解析】【分析】如图设图中③的面积为S3构建方程组即可解决问题【详解】解：如图设图中③的面积为S3由题意：可得S1﹣S2＝π故答案为π【点睛】本题考查扇形的面积正方形的性质等知识解题的关键是学会利解析：1 2π【解析】【分析】如图，设图中③的面积为S3．构建方程组即可解决问题．【详解】解：如图，设图中③的面积为S3．由题意：2132231··241··12S SS Sππ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得S1﹣S2＝12π，故答案为12π．【点睛】本题考查扇形的面积、正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题.16．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面解析：16﹣4π【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．【详解】解：如图．2+2=4，恒星的面积=4×4-4π=16-4π．故答案为16-4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．17．【解析】【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系列方程求解【详解】设此圆锥的底面半径为r根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr解得：r=1故答案为：1【点睛】本题考查了圆锥解析：【解析】【分析】把扇形的弧长和圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．【详解】设此圆锥的底面半径为r．根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：2πr1203180π⨯=，解得：r=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0再由开口的大小由a的绝对值决定可求得a的取值范围【详解】解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上∴a＞0又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小∴|a|＞3解析：4【解析】【分析】由抛物线开口向上可知a＞0，再由开口的大小由a的绝对值决定，可求得a的取值范围．解：∵抛物线y1＝ax2的开口向上，∴a＞0，又∵它的开口比抛物线y2＝3x2+2的开口小，∴|a|＞3，∴a＞3，取a＝4即符合题意【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的绝对值决定是解题的关键，即|a|越大，抛物线开口越小．19．－2【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m根据正方形的性质则可得出BC坐标代入二次函数y=ax2+c中即可求出a和c从而求积【详解】设正方形的对角线OA长为2m则B（﹣mm）C（mm）A（02解析：－2．【解析】【分析】设正方形的对角线OA长为2m，根据正方形的性质则可得出B、C坐标，代入二次函数y=ax2+c中，即可求出a和c，从而求积．【详解】设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，①代入②得：am2+2m=m，解得：a=-1m，则ac=-1m2m=-2．考点：二次函数综合题．20．(﹣31)【解析】【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（hk）即可求解【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1∴﹣b=1根据二次函数的顶点式方程y解析：(﹣3，1)【解析】【分析】根据二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k），即可求解．【详解】解：∵二次函数y=a(x+3)2﹣b(a≠0)有最大值1，∴﹣b=1，根据二次函数的顶点式方程y=a(x+3)2﹣b(a≠0)知，该函数的顶点坐标是：(﹣3，﹣b)，∴该函数图象的顶点坐标为(﹣3，1)．故答案为：(﹣3，1)．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k中的h、k所表示的意义．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）1 6【解析】【分析】列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】（1）树状图如下：（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法22．∠P=50°【解析】【分析】根据切线性质得出PA=PB，∠PAO=90°，求出∠PAB的度数，得出∠PAB=∠PBA，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∴∠PAB=∠PBA，∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴AC⊥AP，∴∠CAP=90°，∵∠BAC=25°，∴∠PBA=∠PAB=90°-25°=65°，∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°-65°-65°=50°．【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π-．【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD ﹣S扇形OBC即可得到答案．【详解】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD=22228443-=-=DO OC∴S△OCD=43422⋅⨯=CD OC=83，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=16×π×OC2=83π，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．24．（1）图见详解；（2）图见详解；（3）32π． 【解析】【分析】 （1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）利用弧长公式计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图示，△A 1B 1C 1为所求；（2）如图示，△A 2B 2C 2为所求；（3）∵△ABC 关于C 点顺时针旋转90°得到的△A 2B 2C 2，每个小正方形边长是1, 由题图可知，半径3BC =，根据弧长的公式得：2239036320BB ． 【点睛】此题主要考查了平移变换、旋转变换，正确得出对应点位置和熟悉弧长公式是解题关键．25．（1）50，25；（2）20【解析】【分析】（1）先将10.5万元化为105000元，设该乡镇有x 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x 名初中学生受到资助，由题意得一元一次方程，求解即可；（2）以“2019年上半年评为优秀学生的初、高中学生所获得的资助总金额一个月就达到了10800元”为等量关系，列出方程，然后设a%＝t ，化为关于t 的一元二次方程，求解出t ，再根据a%＝t ，求得a 即可．【详解】（1）10.5万元＝105000元设该乡镇有x 名高中学生获得了资助，则该乡镇有2x 名初中学生受到资助，由题意得： 20023006105000x x ⨯+⨯=解得：25x =∴250x =∴该乡镇分别有50名初中学生和25名高中学生获得了资助．（2）由题意得：5030%13%2001%2540%1%30012%10800a a a a ⨯⨯+⨯++⨯⨯+⨯+=∴1013%1%101%12%36a a a a ⨯+⨯++⨯+⨯+=设%a t ＝，则方程化为：22101431013236t t t t +++++=∴2253580t t +=﹣解得 1.6t =﹣（舍）或20%t =∴20a =．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程和一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．。