实际问题与二次函数——利润问题、动点问题
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨
价x元时则每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件,销
额为 (60+x)(300-10x) 元，买进商品需付 40(300-10x) 元因
P
A
C
Q
B
解：根据题意，设经过x秒后ΔPBQ的面积y最大,则： AP=2x cm 则 PB=（8-2x ） cm QB=x cm
A
1 y= x（8-2x） 2
P
=-x2 +4x =-（x2 -4x +4 -4） = -（x - 2）2
+
4
（0<x<4）
C
Q
B
所以，当P、Q同时运动2秒后ΔPBQ的面积y最大
此，所得利润为 y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 元 即
y 10x 100x 6000 (0≤X≤30)
2
y 10x 100x 6000 (0≤X≤30)
2
b x 5时，y最大值 10 52 100 5 6000 6250 2a
建立直角坐标系 二次函数
问题求解 找出实际问题的答案
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解： (1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米 ∴ 花圃宽为（24－4x）米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 （0<x<6）
A B
D
C
(2)当x＝
b 3 2a
时，S最大值＝
4ac b 2 4a ＝36（平方米）
(3) ∵墙的可用长度为8米 ∴ 0<24－4x ≤8
1 2 x x 2
(x>2）
C
D
P A B
(2)当S△PCQ＝S△ABC时，有
①
1 2 x x＝２ 2
此方程无解
②
Q
1 2 x x 2
2
＝２
D C
x 2x 4 0
∴ x1=1+ 5 , x2=1－5 (舍去)
B
P A ∴当AP长为1+ 5 时，S△PCQ＝S△ABC
用抛物线的知识Leabharlann 决运动场上或者生活中 的一些实际问题的一般步骤：
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗?
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实
际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过
配方求出二次函数的最大值或最小值。
例1、某商场将进价40元一个的某种商品按50元一
个售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价一元，
3、如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q 分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线 运动，已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长
线运动，PQ与直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x
的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
y\元
6250 6000
0
5
30
x\元
可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，这条
抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说当x取顶点坐标
的横坐标时，这个函数有最大值。由公式可以求出顶点的横坐
标.
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得 出答案。 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出 （300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付 40(300-10x)元，因此，得利润
销量减少10个，为赚得最大利润，售价定为多少？最大利 润是多少？
分析：利润=（每件商品所获利润）× （销售件数） 设每个涨价x元， 那么 （1）销售价可以表示为 （50+x）元（x≥ 0，且为整数）
（2）一个商品所获利润可以表示为 （50+x-40）元 （3）销售量可以表示为 (500-10x) 个
（4）共获利润可以表示为 (50+x-40)(500-10x)元
解： y=(50+x-40)(500-10x)
=-10 x2 +400x+5000 =- 10（x-20）2 +9000
(0 ≤ x≤50 ,且为整数 ) 答：定价为70元/个，利润最高为9000元.
例2、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中 间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积 为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
最大面积是 4 cm2
2、在矩形荒地ABCD中，AB=10，BC=6,今在四边上分别选取E、
F、G、H四点，AE=AH=CF=CG=x，建一个花园，如何设计，可使花
园面积最大？
G
C
D H A E
F
B
6
10
D H A E
G
C
F
B
6
10 解：设花园的面积为y
则 y=60-x2 -（10-x）（6-x） =-2x2 + 16x =-2（x-4）2 + 32 （0<x<6） 所以当x=4时 花园的最大面积为32
4≤x<6
∴当x＝4m时，S最大值＝32 平方米
1、如图，在ΔABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°， 点P从点A开始沿AB边向点B以2厘米／秒的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米／秒的速度移动， 如果P,Q分别从A,B同时出发，几秒后ΔPBQ的面积最大？ 最大面积是多少？
y 60 x 300 18x 40300 18x
2
2
18x 60x 6000 (0≤x≤20)
当x
1 答：定价为 58 元时，利润最大，最大利润为6050元 3
b 5 5 5 时，y最大 18 60 6000 6050 2a 3 3 3
实际问题与二次函数
利润问题、面积动点问题
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每 涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商 品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？ （2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些 量随之发生了变化？
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
1 1 CQ•PB = AP•PB S△PCQ＝ 2 2 1 2 即S＝ x x (0<x<2） 2
Q
当P在线段AB的延长线上时
1 S△PCQ＝ 2
1 CQ PB x( x 2) 2
即S＝
二次函数与最大利润问题
利润
8000
列表分析2: 总利润 =单件利润×数量 总利润=单件利润×数量 利润 8000 (50+x-40) (500-10x)
问题3 在这个问题中，总利润是不是一个变量？ 如果是，它随着哪个量的改变而改变？ 若设每个涨价为x元，总利润为W元。你能 列出函数关系式吗？ 解：设每个涨价为x元时获得的总利润为W元. w =(50+x-40) (500-10x) (0<x<50) =(10+x)(500-10x) =-10x2+400x+5000 =-10(x2-40x-500) =-10［(x-20)2-100)] =-10(x-20)2+9000
情景导入
阿姨想买一双鞋，问导购员：“这双鞋前两天卖40 元，怎么现在卖50元了呢？”导购员说：“前几天 是中秋节活动打八折，现在恢复原价了。”阿姨说: “我只带了45元，能不能打个折扣。”这时候经理过 来了，告诉阿姨：“我们经过调查，如果每双鞋盈 利10元，每天可售出50双；若每双鞋涨价1元，日 销售量将减少两双，现在商场要求，每天盈利600 元，所以，只能恢复原价。” 聪明的同学们，利用我们所学的数学知识，谁能帮 阿姨想个办法打个折扣？
进价为4０元的篮球，市场调查发现，若以每个5０元的价格 销售，平均每月销售500个，价格每提高１元，平均每月少 销售10个． （1）求平均每月销售量y个与涨价x之间的函数关系式； （2）要想获得8000元的利润则篮球的定价应是多少？ （3）当每个篮球的销售价为多少元 时，可以获得最大利润？最大利润 是多少？
答：定价为60-2.5=57.5时利润最大,最大值为6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗? 答:综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元.
九年级数学实际问题与二次函数(利润类)课件
格上涨
〔200-10x〕
x元(3，0+那x-么20销)(2售0量0-1为0x)
件，利润为
④假设价格每下降1元，销元售量增加20件，现
价格下降x元，那(2么0销0+售20量x)为
件，
利润为 (30-x-20)(200+20x) 元；
新知探究
某商品的进价为每件40元。现在的售价 是每件60元，每星期可卖出300件。场 调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，
3、关于销售问题的一些等量关系. 〔单件商品〕 利润=售价—进价 总利润=单件商品利润×销售量
新课小热身：
某商品本钱为20元，售价为30元，卖出200件，
那么利润为2000 元，
①假设价格上涨x元，那么利20润0〔为30+x-20〕
②假设价格下降x元，那么利20润0〔为30-x-20〕
③假设价格每上涨1元，销售量减少10件，现价
每星期要少卖出10件；每降价一元，每 星期可多卖出20件。如何定价才能使利 润最大？
解〔1〕涨价时：
设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60+x-40)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
y\元
=-10x2+100x+6000 6250
=-10(x2-10x-600) 6000 =-10［(x-5)2-25-600］
〔1〕〔3分〕求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围 〔2〕〔3分〕求该公司销售 该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数 关系式． 〔3〕〔4分〕当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元 ？
课堂小结：
22.3(1)实际问题与二次函数(最大利润问题)
22.3（1）实际问题与二次函数——最大利润问题目标：能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系；会运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大值（或最小值）；能在自变量取值范围内求实际问题的最值。
课前准备1.当a>0时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是，即当x= 时，函数有，为.2.对抛物线y= -3(x+4) 2-1，说说当时，函数的最值情况，当时呢？当呢？你是怎么得到的？自主探究探究一：根据实际问题列函数关系式3.某商场购进一批货物，其差价（售价-进价=差价）x（元）与日销售量y（件）之间满足一次函数关系y=-2x+500，则日销售利润p与差价x之间的函数关系式为。
4.某商品原利润为每件60元，每月销售100件；若每涨价2元每月就少售出10件，那么涨价x元后每件利润为，每月出售该商品的利润y（元）与x之间的函数关系式为。
探究二：销售问题中的最大利润5.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。
（1）市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。
要想每周获得6090元的利润，该商品定价应为多少元？分析：（1）没调价之前商场一周的利润为，设销售单价上涨x元，那么每件商品的利润可表示为，每周的销售量可表示为，一周的利润可表示为，要想获得6090元利润可列方程。
（2）在（1）的条件下，如何定价才能使利润最大？（3）市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件；每涨价1元，每星期要少卖出10件。
如何定价才能使利润最大？自主思考：①调整价格的方式有哪几种？②若设每件涨价x元，类比（1）的分析，填写下表：的取值范围是；如何求利润③参考上述方法，确定降价时利润的最大值，并综合说明是选择降价还是涨价才能获得最大利润？（4）在（3）的条件下，若商场规定试销期间获利不得低于40%又不得高于60%，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？小结：利用二次函数模型解决最大利润问题的基本思路是①②③④巩固应用1.某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．2.商场对某种商品进行市场调查，1至6月份该种商品的销售情况如下：①销售成本p（元/千克）与销售月份x的关系如图所示：②销售收入q（元/千克）与销售月份x满足；③销售量m（千克）与销售月份x满足m＝100x＋200；（1）根据图形，求p与x之间的函数关系式；（2）求该种商品每月的销售利润y（元）与销售月份x的函数关系式，并求出哪个月的销售利润最大？22.3（1）最大利润问题作业1.某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。
实际问题与二次函数利润问题
1.谈谈这节课你的收获. 2.总结解这类最大利润问题的一般步骤:
（1）列出二次函数的解析式，并根据自 变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用公式 法或通过配方求出二次函数的最大值或最 小值.
1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两
段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则 这两个正方形面积之和的最小值是 25 或12.5cm2．
请大家带着以下几个问题读题:
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
解：设每件涨价为x元时获得的总利润为y元.
y =(60-40+x)(300-10x)
(0≤x≤30)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x2-10x-600)
=-10［(x-5)2-25-600］
=-10(x-5)2+6250
当x=5时，y的最大值是6250.
定价:60+5=65（元）
即定价65元时，利润最大，最大利润是6250元.
解：设降价x元时利润为y元，根据题意得：
y=(60-x-40) ) (300+20x) (0≤X≤20)
=(20-x)(300+20x) =-20x2+100x+6000
1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方 法，并会应用函数关系式求利润的最值； 2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
某种品牌的电脑进价为3000元，售价3600元. 十 月份售出m台，则每台电脑的利润为 600元 ， 十月份的利润为 600m元 .
二次函数与实际问题中利润问题(附答案)
③日用品何时获得最大利润：
3.某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
设销售价为x元(x≥30元),利润为y元,则
(1)写出售价x(元/件)与每天所得利润y(元)之间的函数关系式;
(2)每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
⑥纯牛奶何时利润最大：
6.某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱40元,生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间.市场调查发现:若每箱发50元销售,平均每天可售出90箱,价格每降低1元,平均每天多销售3箱;价格每升高1元,平均每天少销售3箱.
(1)写出售价x(元/箱)与每天所得利润w(元)之间的函数关系式;
(2)每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利润是多少?
⑦水产品何时利润最大：
.某商店销售一种销售成本为40元的水产品,若按50元/千克销售,一月可售出5000千克,销售价每涨价1元,月销售量就减少10千克.
(1)写出售价x(元/千克)与月销售利润y(元)之间的函数关系式;
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：
顶点式,对称轴和顶点坐标公式:
利润=售价-进价
总利润=每件利润×销售数量
①何时橙子总产量最大：
1.某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.增种多少棵橙子树时,总产量最大?
实际问题与二次函数——利润问题
22.3 实际问题与二次函数——利润问题教学目标：1、通过探究商品销售中的变量关系，列出函数关系式；2、学会用二次函数求实际问题中的极值.教学重点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.教学难点：会列出二次函数关系式，并解决利润问题中的最大（小）值.教学方法：以问题为载体，引导学生探究新知教学过程：一、导入简单的复习。
将学生分成两大组，分别完成第一题的|（1）、（2）小题。
1、求下列二次函数的最值⑴ y=2x2＋8x ＋13 ; ⑵ y= -x2＋4x在第一题的基础上，给出函数图像，完成第二题。
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：y=2x2＋8x ＋13⑴若-3≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.⑵又若0≤x ≤3，该函数的最小值为（ ）.通过上两题提出第三个问题：3、求函数的最值问题，应注意什么? 【归纳】一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当________时，二次函数y=ax2+bx+c 有最小（大）值________.二、新授例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请同学们带着以下几个问题读题（1）题目中有几种调整价格的方法？（2）题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.先来看涨价的情况：现售价为每件60元,成本40元，每星期可卖300件，如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件.⑴设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 也随之变化，涨价x 元,则每星期少卖 件，实际卖出_______件,每件利润为_______因此，所得总利润为___________元.带领同学们以表格形式探讨其中的价格和数量的关系，表格如下：根据表格分析再填空，此时y与x的函数关系式就显而易见了.同学们设好未知数并列好函数关系式y=(60+x-40)(300-10x)，同时提问：对于自变量x 的范围有没有要求呢？六人一组分小组讨论，然后全班交流答案.得出0≤x≥30.在自变量范围内求最值：发现函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点（5，6250）是函数图象的最高点，而x=5恰好在0≤x≥30范围内，也就是说当x取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值.展示解题过程：解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元.依题意可得：y=(60+x-40)(300-10x) (0≤x≤30)即y= -10（x-5）2 +6 250∴当x=5时，y最大值=6 250.涨价的情况下，当售价为65元时，每周利润最大，且最大为6250元.此为间接设元，若是直接设元，你会列函数解析式吗？请同学们课后试一试.【归纳】1、切记自变量的取值范围（可从自变量的实际意义考虑，也可从用含自变量来表示的量的实际意义考虑）2、最值可优先考虑抛物线顶点，但要检查顶点的横坐标是否在自变量取值范围内.接下来看看降价的情况：某商品现售价为每件60元，成本40元，每星期卖300件，如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.在降价的情况下，最大利润是多少？在涨价的基础上，同学们自行求解降价的最值，并请一名同学在黑板上展示结果，再由全班同学一起批改.【归纳】解决这类题目的一般步骤（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方法求出二次函数的最大值或最小值.（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
二次函数与实际问题(利润问题)
实际问题与二次函数 复习课一、 教学内容及其分析：1、内容：二次函数c bx axy ++=2的最小（大）值及其应用.2、分析：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二 次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润、最大面积等实际问题都与二次函数的最小（大）值有关.本节课是在学习了二次函数与实际问题的基础上，进一步让学生熟练地掌握用二次函数的性质求最大利润问题的解题方法。
所以本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小（大）值解决实际问题. 二、教学目标及其分析：1、目标：能根据已知条件确定二次函数关系式，并会用二次函数的最小（大）值解决实际问题.2、分析：学生通过具体问题，找出变量之间的关系，进一步从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小（大）值的结论和已有知识综合运用起来解决实际问题.三、教学问题诊断分析：学生已经学习了二次函数与实际问题，但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说难度较大。
基于以上分析，本节课的难点是：将实际问题转化成二次函数问题.四、教学过程设计 ●教学基本流程：课前回顾——揭示复习目标——中考考点对应——典例分析——当堂训练——课后小结 ●教学情境 （一）课前回顾：1. 二次函数()5322+--=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，y 的最 值是___2. 二次函数122++-=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当 210≤≤x 时，函数有最大值是3.二次函数9822+-=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
设计意图：复习回顾二次函数顶点及最值的求解方法，为后续解实际问题作铺垫. （二）揭示复习目标：1、能通过探究商品销售中变量之间的关系，列出函数关系式；2、会用二次函数的相关知识解决利润问题. （三）中考考点对应：习中，学生可以有目的，有针对性的训练。
专题实际问题与二次函数利润问题
日销售量y(kg)与时间第t(天)之间的函数关系 如图所示．
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
②当41≤t≤80时，
1 w＝ ( t 46 6)(－2t＋200)＝(t－90)2－100， 2
解得
∴y＝－2t＋200(1≤t≤80，t为整数)．
展示竞学 荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知每千克小龙虾养殖成本 为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t(天)
（1 t 40，t为整数）， 14t＋16 之间的函数关系为 p 1 － t＋46 （41 t 80，t为整数）， 2
y= ，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千 克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克， 每天的利润 是W元(利润=销售收入一成本) (1)m= ，n= ； (2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
∴当t＝41时，w最大值＝2 301，
∵2 450＞2 301，
小结评学
1.通过本节课的学习你有什么收获?
检测固学
（2016•湖北襄阳）襄阳市某企业积极响应政府“创新 发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产 这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关 于售价x（元/件）的函数解析式为： y=
合作互学
展示竞学 荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知每千克小龙虾养殖成本 为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/kg)与时间第t(天)
（1 t 40，t为整数）， 14t＋16 之间的函数关系为 p 1 － t＋46 （41 t 80，t为整数）， 2
二次函数的实际应用(利润问题)
建立模型
将问题抽象为二次函数模型，确定各项参数。
验证和调整
通过实际数据验证模型的准确性，并根据实际 情况进行调整和优化。
2 图像特点
二次函数的图像形状通常为抛物线，具有顶点、对称轴和开口方向等特点。
3 重要概念
二次函数的最值、最值点、零点等重要概念对利润问题的分析很有帮助。
二次函数的利润问题
利润问题是二次函数在实际应用中的一个典型问题。通过二次函数，我们可以计算出不同销量对应的利润，并 进一步分析销量与利润之间的关系。
利润的计算公式
1 收入
收入是销量乘以单价，可以表示为 R = px，其中 p 表示单价，x 表示销量。
2 成本
成本是与销量相关的固定成本和单位成本的乘积，可以表示为 C = a + bx。
3 利润
利润是收入减去成本，可以表示为 P = R - C。
二次函数在利润问题中的应用举例
例一：最大利润
根据给定的销量-利润函数，我们 可以通过分析函数的图像找到最 大利润所对应的销量。
例二：利润变化率
我们可以通过利润函数的一阶导 数（利润对销量的变化率）来分 析利润的增减情况。
例三：最佳生产量
通过分析利润函数的零点，我们 可以确定最佳生产量以最大化利 润。
最大化利润和最小化亏损
最大化利润
通过优化销量，控制成本和定价策略，我们可以最 大化企业的利润。
最小化亏损
在经营中，我们也需要考虑如何降低亏损，避免经 营困难。
求解利润最大化的方法
1
利润函数建模
将利润问题建立二次函数模型，确定各项参数。
2
图像分析
分析二次函数图像的顶点、开口方向等特点，确定最值点。
实际问题与二次函数--利润问题 人教版九年级上册数学
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数--利润问题1.在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．(1) 求出y与x的函数关系式．(2) 当销售单价为多少元时，月销售额为14000元．(3) 当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少．2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？3.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为{mx−76m,1≤x<20,x为整数n,20≤x≤30,x为整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=；(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？4.某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2500元，销售单价定为3200元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3200元销售：若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低5元，但销售单价均不低于2800元．(1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价怡好为2800元？(2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）5.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通信产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）为120万元，在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．(1) 直接写出y关于x的函数关系式为．(2) 市场管理部门规定，该产品销售单价不得超过100元，该公司销售该种产品当年获利55万元，求当年的销售单价．6.传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y={34x,0≤x≤6 20x+80,6<x≤20．(1) 李明第几天生产的粽子数量为280只？(2) 如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价−成本）7.某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1) 写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2) 写出销售该品牌童装获得的利润W元与销售单价x元之间的函数关系式；(3) 若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？8.襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为，y={mx−76m,1≤x<20,x为正整数n,20≤x≤30,x为正整数且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元（利润=销售收入−成本）．(1) m=，n=．(2) 求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？(3) 在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？9.为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=−10x+ 1200．(1) 求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额−成本）；(2) 当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？10.某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价为25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1) 写出每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求当x为多少时，w有最大值，最大值是多少？(2) 商场的营销部结合上述情况，提岀了甲、乙两种营销方案：方案甲：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案乙：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．11.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=−2x+80(20≤x≤40)，设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？12.销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．(1) 请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元．(3) 足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元．13.诸暨某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表示）(2) 每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．(3) 要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．14.某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间的函数关系如图所示．(1) 求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2) 当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3) 某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．15.小米利用暑期参加社会实践，在妈妈的帮助下，利用社区提供的免费摊点卖玩具，已知小米所有玩具的进价均为2元/件，在销售过程中发现：每天玩具销售量y（件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB段为反比例函数图象的一部分，BC段为一次函数图象的一部分，设小米销售这种玩具的日利润为w元．(1) 根据图象，求出y与x之间的函数解析式；(2) 求出每天销售这种玩具的利润w（元）与x（元/件）之间的函数解析式，并求每天利润的最大值；(3) 若小米某天将价格定为超过4元（x>4），那么要使得小米在该天的销售利润不低于54元，求该天玩具销售价格的取值范围．16.由于雾霾天气对人们健康的影响，市场上的空气净化器成了热销产品．某公司经销一种空气净化器，每台净化器的成本价为200元．经过一段时间的销售发现，每月的销售量y（台）与销售单价x（元）的关系为y=−2x+1000．(1) 该公司每月的利润为w元，写出利润w与销售单价x的函数关系式．(2) 若要使每月的利润为40000元，销售单价应定为多少元？(3) 公司要求销售单价不低于250元，也不高于400元，求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少？17.某水产品养殖企业为指导该企业某种产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品的养殖情况进行了调查，调查发现这种水产品每千克的售价y1（元）与x+36，其每千克成本y2（元）与销销售月份x（月）满足关系式y1=−38售月份x（月）满足的函数关系如图所示：(1) 试确定b，c的值；(2) 求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；(3) 几月份出售这种水产品可使每千克利润最大？每千克的最大利润是多少？Array18.甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理:如果我公司每辆汽车月租费3000元,那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元,那么将少租出1辆汽车.另外,公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理:我公司每辆汽车月租费3500元,无论是否租出汽车,公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费−月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润−月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：(1) 当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是元；当每个公司租出的汽车为辆时，两公司的月利润相等．(2) 求两公司月利润差的最大值．(3) 甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元（a>0）给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围．利润问题答案 1. 【答案】(1) y =240−x−605×20，∴y =−4x +480．(2) 根据题意可得，x (−4x +480)=14000， 解得：x 1=70，x 2=50（不合题意舍去），∴ 当销售单价为 70 元时，月销售额为 14000 元．(3) 设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意，得w =(x −40)(−4x +480)=−4x 2+640x −19200=−4(x −80)2+6400,当 x =80 时，w 的最大值为 6400， ∴ 当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元．2. 【答案】(1) y =−10x +740(44≤x ≤52)．(2) w =(x −40)(−10x +740)=−10x 2+1140x −29600=−10(x −57)2+2890,当 x <57 时，w 随 x 的增大而增大，而 44≤x ≤52， ∴ 当 x =52 时，w 有最大值，最大值为 2640．答：将足球纪念册销售单价定位 52 元时，商店每天销售纪念册得的利润 w 元最大，最大利润 2640 元．3. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）第 x 天的销售量为 20+4(x −1)=4x +16，当 1≤x <20 时，W =(4x +16)(−12x +38−18)=−2x 2+72x +320=−2(x −18)2+968，∴ 当 x =18 时，W 最大=968，当 20≤x ≤30 时，W =(4x +16)(25−18)=28x +112， ∵28>0，∴W 随 x 的增大而增大，∴ 当 x =30 时，W 最大=952， ∵968>952，∴ 当 x =18 时，W 最大=968．(3) 当 1≤x <20 时，令 −2x 2+72x +320=870， 解得 x 1=25，x 2=11，∵ 抛物线 W =−2x 2+72x +320 的开口向下， ∴11≤x ≤25 时，W ≥870， ∴11≤x <20， ∵x 为正整数，∴ 有 9 天利润不低于 870 元，当 20≤x ≤30 时，令 28x +112≥870，解得 x ≥27114，∴27114≤x ≤30， ∵x 为正整数，∴ 有 3 天利润不低于 870 元，∴ 综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天．4. 【答案】(1) 设商家一次性购买这种产品 x 件时，销售单价恰好为 2800 元，根据题意得：3200−5(x −10)=2800,解得x =90.答：商家一次性购买这种产品 90 件时，销售单价怡好为 2800 元．(2) 由题意得：当 0≤x ≤10 时，y =(3200−2500)x =700x ，当 10<x ≤90 时，y =[3200−5(x −10)−2500]⋅x =−5x 2+750x ，当 x >90 时，y =(2800−2500)⋅x =300x ．(3) 因为要满足一次性购买数量越多，所获利润最大，所以 y 随 x 的增大而增大，函数 y =700x ，y =300x 均是 y 随 x 的增大而增大，而 y =−5x 2+750x =−5(x −75)2+28125 在 10<x ≤75 时，y 随 x 的增大而增大．由上述分析可知 x 的取值范围为 10<x ≤75，即一次购买 75 件时，恰好是最低价，最低价为 3200−5×(75−10)=2875 (元)．答：公司应将最低销售单价调整为 2875 元．5. 【答案】(1) y =−120x +8(2) W =yx −40y −120=(−120x +8)(x −40)−120=−120x 2+10x −440.令 W =55，−120x 2+10x −440=55， x 2−200x +9900=0，(x −90)(x −110)=0，x 1=90，x 2=110，∵x ≤100，∴x =90，∴ 当年的销售价为 90 元．6. 【答案】(1) 设李明第 x 天生产的粽子数量为 280 只，由题意可知：20x +80=280,解得x =10.答：第 10 天生产的粽子数量为 420 只．(2) 由图象得，当 0≤x <10 时，p =2；当 10≤x ≤20 时，设 P =kx +b ，把点 (10,2)，(20,3) 代入得，{10k +b =2,20k +b =3, 解得 {k =0.1,b =1,∴p =0.1x +1，① 0≤x ≤6 时，w =(4−2)×34x =68x ，当 x =6 时，w 最大=408（元）；② 6<x ≤10 时，w =(4−2)×(20x +80)=40x +160，∵x 是整数，∴ 当 x =10 时，w 最大=560（元）；③ 10<x ≤20 时，w =(4−0.1x −1)×(20x +80)=−2x 2+52x +240， ∵a =−3<0，∴ 当 x =−b 2a =13 时，w 最大=578（元）．综上，当 x =13 时，w 有最大值，最大值为 578．7. 【答案】(1) 根据题意得，y =200+(80−x )×20=−20x +1800，∴ 销售量 y 件与销售单价 x 元之间的函数关系式为 y =−20x +1800(60≤x ≤80)．(2) W =(x −60)y=(x −60)(−20x +1800)=−20x 2+3000x −108000,∴ 销售该品牌童装获得的利润 W 元与销售单价 x 元之间的函数关系式 W =−20x 2+3000x −108000．(3) 根据题意得，−20x +1800≥240，解得 x ≤78，∴76≤x ≤78，W =−20x 2+3000x −108000， 对称轴为 x =−30002×(−20)=75， ∵a =−20<0，∴ 抛物线开口向下，∴ 当 76≤x ≤78 时，W 随 x 的增大而减小，∴x =76 时，W 有最大值，最大值 =(76−60)(−20×76+1800)=4480（元）．∴ 商场销售该品牌童装获得的最大利润是 4480 元．8. 【答案】(1) −12；25(2) 由（1）得第x天的销售量为20+4(x−1)=4x+16，当1≤x<20时，W=(4x+16)(−12x+38−18)=−2x2+72x+320=−2(x−18)2+968，∴当x=18时，W最大=968元，当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112，∵28>0，∴W随x的增大而增大，∴当x=30时，W最大=952元．∵968>952，∴当x=18时，W最大=968元．(3) 当1≤x<20时，令−2x2+72x+320=870，解得x1=25，x2=11，∵抛物线W=−2x2+72x+320的开口向下，∴11≤x≤25时，W≥870，∴11≤x<20．∵x为正整数，∴有9天利润不低于870元．当20≤x≤30时，令28x+112≥870，解得x≥27114．∴27114≤x≤30，∵x为正整数，∴有3天利润不低于870元．∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．9. 【答案】(1) S=y(x−40)=(x−40)(−10x+1200)=−10x2+1600x−48000；(2) S=−10x2+1600x−48000=−10(x−80)2+16000，则当销售单价定为80元时，工厂每天获得的利润最大，最大利润是16000元．10. 【答案】(1) 由题意得：w=(x−20)[250−10(x−25)]=−10(x−5)(x−20)，∵−10<0，故w有最大值，当x=35时，w最大值为2250．(2) 甲方案：x≤30，把x=30代入函数表达式得：w=2000，乙方案：250−10(x−25)≥10，且x−20≥25，解得：45≤x≤49，当x=45时，w有最大值为1250，∵2000>1250，故：甲方案最大利润最高．11. 【答案】(1) 根据题意可得：w=(x−20)⋅y=(x−20)(−2x+80)=−2x2+120x−1600.w与x之间的函数关系为：w=−2x2+120x−1600．(2) 根据题意可得：w=−2x2+120x−1600=−2(x−30)2+200.∵−2<0，∴当x=30时，w有最大值，w最大值为200．答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．(3) 当w=150时，可得方程−2(x−30)2+200=150．解得x1=25，x2=35，∵35>28，∴x2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．12. 【答案】(1) y=−10x+740(44≤x≤52)．(2) 根据题意得(x−40)(−10x+740)=2400，解得x1=50，x2=64（舍去），答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元．(3) w=(x−40)(−10x+740) =−10x2+1140x−29600=−10(x−57)2+2890.当x<57时，w随x的增大而增大，而44≤x≤52，∴当x=52时，w有最大值，最大值为−10(52−57)2+2890=2640，答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w 元最大，最大利润是2640元．13. 【答案】(1) 设每件童装降价x元时，每天可销售20+2x件，每件盈利40−x元，故答案为：(20+2x )；(40−x )；(2) 根据题意，得：(20+2x )(40−x )=1200，解得：x 1=20，x 2=10（舍去）答：每件童装降价 20 元，平均每天赢利 1200 元；(3) 不能，∵(20+2x )(40−x )=2000 此方程无解，故不可能做到平均每天盈利 2000 元．14. 【答案】(1) 设 y 与 x 的函数关系式为 y =kx +b ，将 (10,200)，(15,150) 代入，得：{10k +b =20015k +b =150,解得：{k =−10b =300,∴ y 与 x 的函数关系式为 y =−10x +300(8≤x ≤30)；(2) 设每天销售获得的利润为 W ，则W =(x −8)y=(x −8)(−10x +300)=−10(x −19)2+1210,∵ 8≤x ≤30，∴ 当 x =19 时，w 取得最大值，最大值为 1210；(3) 由（2）知，当获得最大利润时，定价为 19 元/千克，则每天的销售量为 y =−10×19+300=110 千克，∵ 保质期为 40 天，∴ 总销售量为 40×110=4400，又 ∵ 4400<4800，∴ 不能销售完这批蜜柚．15. 【答案】(1) 因为 AB 段为反比例函数图象的一部分，A (2,40)，所以当 2≤x ≤4 时，y =80x ，因为 BC 段为一次函数图象的一部分，且 B (4,20)，C (14,0)，所以设 BC 段的解析式为 y =kx +b ，有 {4k +b =20,14k +b =0, 解得 {k =−2,b =28,所以当 4<x ≤14 时，y =−2x +28，所以 y 与 x 之间的函数解析式为y ={80x , 2≤x ≤4−2x +28, 4<x ≤14．(2) 当 2≤x ≤4 时，w=(x −2)y =(x −2)⋅80x =80−160x , 因为随着 x 的增大，−160x 增大，w =80+−160x 也增大，所以当 x =4 时，w 取得最大值，为 40；当 4<x ≤14 时，w =(x −2)y=(x −2)(−2x +28)=−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72,因为 −2<0，4<8<14，所以当 x =8 时，w 取得最大值，为 72．综上所述，每天利润的最大值为 72 元．(3) 由题意可知 w =−2x 2+32x −56=−2(x −8)2+72，令 w =54，即 w =−2x 2+32x −56=54，解得 x 1=5，x 2=11，由函数解析式及函数图象可知，要使 w ≥54，5≤x ≤11，所以当 5≤x ≤11 时，小米的销售利润不低于 54 元．16. 【答案】(1) 由题意得w =(x −200)y=(x −200)(−2x +1000)=−2x 2+1400x −200000.(2) 令 w =−2x 2+1400x −200000=40000，解得：x =300 或 x =400，故要使每月的利润为 40000 元，销售单价应定为 300 或 400 元．(3) y =−2x 2+1400x −200000=−2(x −350)，当 x =250 时，y =−2×2502+1400×250−200000=2500．故最高利润为 45000 元，最低利润为 25000 元．17. 【答案】(1) 将 (3,25) 和 (4,24) 分别代入 y 2=18x 2+bx +c ，得 {98+3b +c =25,2+4b +c =24,解得 {b =−158,c =592.(2) 由题意得y=y1−y2，∴y=(−38x+36)−(18x2−158x+592)=−18x2+32x+132．(3) 将y=−18x2+32x+132化为顶点式，得y=−18(x−6)2+11，∵a=−18<0，∴抛物线开口向下，∴当x=6时，二次函数取得最大值，此时y=11，∴6月份出售这种水产品可使每千克利润最大，每千克的最大利润是11元．18. 【答案】(1) 48000；37(2) 设两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，则y甲=[(50−x)×50+3000]x−200x，y乙=3500x−1850，当甲公司的利润大于乙公司时，0<x<37，y=y甲−y乙=[(50−x)×50+3000]x−200x−(3500x−1850)=−50x2+1800x−1850，当x=−1800−50×2=18时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，37<x≤50，y=y乙−y甲=3500x−1850−[(50−x)×50+3000]x+200x=50x2−1800x−1850，∵对称轴为直线x=−−180050×2=18，当x=50时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元．(3) ∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为y=−50x2+1800x+1850−ax=−50x2+(1800−a)x+1850，对称轴为直线x=1800−a100，∵x只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，所以16.5≤1800−a100≤17.5，解得：50≤a≤150．。