2017-2018学年度苏锡常镇四市高三数学三模(正卷)
【全国市级联考】江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研(二)数学试题
【全国市级联考】江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ．2．设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ．4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ．5．下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是 ．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ． 8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14ad= ． 9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则t a n t a n AB= ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ． 14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．ABCDP E16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且2224()S a c b =+-.（1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135． （1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，①当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；②若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式． 20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线l，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m n ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，．（1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；（2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=． 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1．1-2．2-3．44．20.85．[]01，6．14π7．π28．29．910．411．22⎡-⎢⎣⎦，12．11⎤⎦，13．22e 12-14． 二、解答题15．证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又PO CO O =，所以BD ⊥平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥， 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =，所以sin B B =．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． （2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)142A ⎛⎤-∈-⎥ ⎝⎦．所以( 63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈-记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18.解（11.得221c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得02x =或2，所以1()22D -或1()22D --， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =-，①直线AC方程为12y x =+，② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值.解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-，①由B,D,N2212y x=+代入可得2x=，②①和②相乘得，231231xx xy=-2333323333222)2x y xxx y x+-==-+-+.19.解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-.要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x===，3221111()10f x x ax a x=+-+=，①3222222()10f x x ax a x=+-+=，②3223333()10f x x ax a x=+-+=，③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x-+++-+--=，因为21x x->，所以222212121()0x x x x a x x a++++-=，④同理222332232()0x x x x a x x a++++-=，⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x-+-++-=，因为31x x->，所以231x x x a+++=，又1322x x x+=，所以23ax=-.所以()03af-=，即22239a aa+=-，即327111a=-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20.解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--，①111692(2)n n n S b a n ---=--≥，②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---，③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d-=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-． （3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=． 所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED . 因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-，因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M . 21.C 解消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=,由a =-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. 依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-.21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.22.解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又m n >，解得13m =，1.4n = （2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯= 23.解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=+-+=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C xC ++-++++++=+=++++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ，首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--+=++02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N*.2(0,1)-∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-+=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=+⋅-+=-=.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．414．215．98π16．()1(,]221e e - 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，2221n n n S a S =-，即21221n n n n S S S S --=-， 整理得112?n n n n S S S S ---=，所以1112n n S S --=………2分 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个公差为2的等差数列， 又111a S ==，所以121n n S =-，所以121n S n =-，………4分 此时10,2n n S S ≠≠符合题意 所以1121n n n a S S n -=-=-－321-n ＝2(2)2123n n n -≥--()()． 当1n =时，上式不成立， 所以1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112121n n S S n n +⋅=-+（）（）111()22121n n =--+，………8分 所以111111[(1)()()]23352121n T n n =-+-++-=-+12+n n ．………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设一位顾客进店购物结算时间为T ，根据统计图表可知，T 的可能值为10，20，40，60，……………2分所以(10)0.4,(20)0.2,(40)0.3,(60)0.1,P T P T P T P T ========4分所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为100.4200.2400.3600.12⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）．…………6分（Ⅱ）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况：①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个；③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒；④三40秒．………9分所以对应的概率为 3221133320.10.1(0.40.20.3)0.1(0.20.30.30.3)0.3P c c c =+⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯+⨯+0.118=．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为0.118．……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过点D 在平面ABCD 内作//DN BC ，交AB 于点N ，因为2AB CD =，ABC BCD ∠=∠，所以四边形DNBC 为一个底角是60°的等腰梯形，……………3分所以BN AN CD ==，所以N 为AB 中点，由题知90BAD ∠=︒，在Rt NAD ∆中，2DN AN =，又60ABC BCD ∠=∠=︒， 所以32BC ND =， 而23BF CE BC ==， 所以,E F 为BC 的三等分点， 连接EN ，所以////NE AF DC ， 又在DEC ∆中，2EC DC =，60BCD ∠=︒，所以30DEC ∠=︒，所以DE CD ⊥，所以DE AF ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为PAAF A =，所以DE ⊥平面PAF ．……………6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)m =，……………7分又由（Ⅰ）知60,90ABC AND BAD ∠=∠=︒∠=︒，所以在AND ∆中，AD ==所以D ，150ADC ∠=︒，1(,22C ，(0,0,1)P ，所以1331(,,1),(,2222PC DC ==， 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，所以00PC n CDn ⎧=⎪⎨=⎪⎩即102102x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令x =(3,1,n =-，……………10分设二面角P CD A --的平面角为θ，且θ为锐角，所以21cos =7||||n m n m θ=12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得：1c =，221a b -=，2c = 所以22a =220a -=，解得a b ==椭圆的方程22132x y +=………4分 A N B E F D P（Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，………5分联立222361x y x my ⎧+=⎨=+⎩得22(23)440m y my ++-= 则12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++………6分 1ABF ∆中AB 边上的中线长为11112FA FB +=====8分 令223t m =+则223m t=- 得1112F A F B+===由22F A F B λ=，得1122,y y y y λλ=--=， 22121222112()142223y y y y m y y y y m λλ+---+=++==+………10分 12λ≤≤，22142(3)12[0,]232m t m t λλ-+-==∈+………11分 11134,43t t ∴≤≤≤≤，1112F A F B+2]∈ 1ABF ∆中AB 边上中线长的取值范围是2]………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，2()(1)(2)x g x x e a x =+-+， 得()(2)2(2)(2)2)x xg x x e a x x e a '=+-+=+-（ （i ）当0a ≤时，在(,2)-∞-上，()0g x '<，在(2,)-+∞上，()0g x '>2分 （ii ）当0a >时，令()0g x '=，解得2x =-或ln(2)x a =．①若212a e=，ln(2)2a =-，()0g x '≥恒成立； ②若212a e>，ln(2)2a >-， 在(2,ln(2))a -上，()0g x '<；在(,2)-∞-，(ln(2),)a +∞，()0g x '>………4分③若212a e<，ln(2)2a <-，在(ln(2),2)a -上，()0g x '<； 在（(,ln(2))a -∞,与(2,)-+∞上，()0g x '>． 综上，当0a ≤时，()g x 极小值点为2-，无极大值点；当2102a e<<时，()g x 极小值点为2-，极大值点为ln(2)a ；当212a e >时，()g x 极小值点为ln(2)a ，极 大值点为2-；当212a e=时，()g x 无极值点………6分 （Ⅱ）设22()(22)(22)42x h x x e a x a =--+++,因为2()(42)88x h x x e ax a '=---，得2()88x h x xe a ''=-(0)x ≥,且函数()h x ''在[0,)+∞上单调递增（i ）当80a -≥时，有()0h x ''≥，此时函数()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)28h x h a ''≥=--，①若280a --≥即14a ≤-时，有函数()h x 在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)0h x h ≥=，符合题意；…………8分②若280a --<即104a -<<时，存在00x >满足()h x '=０0，0(0,),'()0x x h x ∈<，此时函数()h x 在00,)x （上单调递减，()(0)0h x h <=不符合题意； （ii ）当80a -<时，有()80h a ''=-<0，存在10x >满足()h x ''=101(0,),x x ∈ 1h'(x )0<，此时()h x '在10,)x （上单调递减，()(0)820h x h a ''<=--<，此时函数()h x 在10,)x （上单调递减，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是14a ≤-．…………12分 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将222cos ,sin ,x y x yρθρθρ===+ 代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数） 代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由韦达定理知121214cos ,24t t t t α+=-=①………7分∴12,t t 同号又∵3||||4PA PB =，∴1234t t =②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=-解得cos 2α=±，∴tan 1k α==±，9分 ∴l 的普通方程为(1)y x =±-.……10分23．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()5f x ≥，即|1|2|2|5x x -++≥，…………1分∴当2x <-时，1245x x -+--≥，解得83x ≤-，∴83x ≤-………2分当21x -≤<时，1245x x -++≥， 解得0x ≥，∴01x ≤<………3分当1x ≥时，1245x x -++≥， 解得23x ≥，∴1x ≥.………4分 综上所述，不等式()5f x ≥的解集为8|03x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.……5分（Ⅱ）由题意知|1||2|x m x x -++>恒成立，………6分∴当2x <-时，12x mx m x -+-->， 变形得125222x m x x ->=-+++恒成立， ∴2m ≥-………7分当2x =-时，m 可以取任意实数；当21x -<<时，12x mx m x -++>， 变形得215222x m x x ->=-++恒成立， ∴512123m ≥-=+………8分 当1x ≥时，12x mx m x -++>，变形得12m x >+， ∴11123m >=+………9分 综上所述，实数m 的取值范围为1(,)3+∞.……10分。
2018年苏锡常镇四市一模试题和答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化学可能用到的相对原子质量：H-1 C一12 N-14 0—16 S-32Na-23 Mg-24 A1-27 Fe-56 Cu-64 2n-65选择题单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．每年3月22日为“世界水日”。
下列有关“废水”的处理正确的是A．工业废水无需处理，直接用于农业灌溉B．废水经氯气消毒后，即可安全再利用C．寻找方式来减少和再利用废水可节约水资源D．收集和处理废水，弊大于利2．下列有关化学用语的表示，正确的是A．氨基(-NH2)的电子式：B．钾离子的结构示意图:C．二氧化碳分子的比例模型：D．碳酸电离的方程式：3．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是A．晶体硅熔点高硬度大，可用于制造半导体材料B碳酸钠溶液显碱性，可用于除去金属器件表面的油脂C．碳酸氢钠能与碱反应，可用作焙制糕点的膨松剂D．明矾溶于水能形成胶体，可用于自来水的杀菌消毒4．实验室制各氨气、收集、验证其还原性并进行尾气处理的装置和原理能达到实验目的的是A．用装置甲制取氨气B．用装置乙收集氨气时气体应该从a口进b口出C．装置丙中黑色固体变成红色时还原产物一定为铜D．可以用装置丁吸收氨气，进行尾气处理5．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，其中X、Y处于同一周期且相邻，Z元素的原子在短周期中原子半径最大，W是地壳中含量最多的金属元素。
下列说法正确的是A．原子半径：r(X）<r(Y）<r(W）<r(Z)B．Z和X组成的化合物中一定不含共价键C．W的单质还原性比Z的强D．Y、Z、W三种元素组成的化合物可能是Z3WY66．下列指定反应的离子方程式正确的是A．石灰水中加入过量小苏打溶液：B．将铜丝插入足量浓硝酸中：C．将SO2通入少量氨水中：D．用双氧水从酸化的海带灰浸出液中提取碘：7．在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是8．电石(主要成分为CaC2)是重要的基本化工原料。
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年高三教学情况调研(二)数学试题Word版含答案
江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ． 4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是 ． 6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ．8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d =．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB = ．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0xx f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b +的最小值为 ． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且2224)S a c b +-. （1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（1）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（2）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135．（1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A ，ABCDP EB ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，1 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；2 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列；（2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)nn n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线la 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求mn ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，． （1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；（2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6． 14π 7．π2 8．2 9． 10．411．⎡⎢⎣⎦ 12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又POCO O =，所以BD ⊥平面PCO ．因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥， 又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =以sin B B ．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B 又0πB <<，所以π3B =．（2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)14A ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦．所以(63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t t αβ===，，由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--，化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去），所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x .则22()60[](500)ab abL x x x =+-，且(0,500)x ∈，即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈-记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-，令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增；所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18. 解（1）由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1.得21c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ， 因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：1y =+或1y =+.（3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+，联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =， ①直线AC方程为1y x =+， ②联立①②得212xx=，从而12x x=2为定值. 解法2：设D坐标为(x3，y3），由C,M,D三点共线得31311yx x x=--，所以3131xxy=-，①由B,D,N，将2212y x=+代入可得2x，②①和②相乘得，231231xx xy=-33332)2x y x==-+-+.19. 解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-. 要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-.所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322， 又bn m a n mn m n m n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数，所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， 所以11111111133()11322332311112222n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数， 所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d -=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时， 在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分 所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-．综上，3d =或6d =-．（3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n nn b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -．当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥． 设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=，如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED .因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA .又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ，所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解 由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-， 因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M .21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, 由a=-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=.依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-.21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－≤c ≤1.所以－≤c ≤1. 22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又m n >，解得13m =，1.4n =（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---=()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-=+=2(5104⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++==+++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ， 则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--=+02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++， 显然(2)(2)f f --∈N *.2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=.。
2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题与答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A BC -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,)2，点A 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n . 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值. C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 258 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=（2）因为//a b ，sin()14a πα+=，α(s i nc o s c o s s i n )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263jkiλμ+=⋅⋅， 所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈， 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n n n nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=； 综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQn CQ n CQ⋅<>===， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =.23. 解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。
江苏省南通市、扬州市、泰州市2017-2018学年高三第三次调研考试数学试题 Word版含答案
2017-2018学年数学Ⅰ一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,0,1,2,1,1,2=-=-U A ，则U C A = .2.已知复数()22z i =-（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 .3.如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 .4.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值为 .5.已知正三棱柱的各条棱长均为a ，圆柱的底面直径和高均为b ，若它们的体积相等，则33:a b 的值为 .6.将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为,m n ，则点(),P m n 在直线12y x =下方的概率为 .7.函数()f x =的定义域为 . 8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y a-=与抛物线212y x =-有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为 . 9.已知两曲线)2,0(,sin 3)(,cos )(π∈==x x x g x x f 相交于点A.若两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相 交于B ，C 两点，则线段BC 的长为_____.10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC == ，则()()AP AQ AB AC +⋅-的值为.11.设数列{}n a 满足()()()111,111*+=-+=∈n n a a a n N ，则()10011k k k a a +=∑的值为 .12.已知函数()()()()()2',0,,0f x x f x x ax a Rg x f x x ≥⎧⎪=+∈=⎨<⎪⎩（()'f x 为()f x 的导函数）.若方程()()0g f x =有四个不等的实根，则a 的取值范围是 . 13.如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点,C D 在函数()10y x x x=+>的图像上.记,AB m BC n ==，则2mn 的最大值为.14.在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2221:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线,,PA PB 切点为,A B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知ABC ∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，且m n ⊥.（1）求A B -的值； （2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面PAD ，,22,,AB CD CD AB BC M N == 分别是棱,PA CD 的中点. （1）求证：PC 平面BMN ； （2）求证：平面BMN ⊥平面PAC.17.（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>长为4，过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆222x y a +=于相异两点,P Q . （1）若直线l 的斜率为12，求AP AQ 的值；（2）若PQ AP λ=，求实数λ的取值范围.18.（本小题满分14分）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.（1）若窗口ABCD 为正方形，且面积大于214m （木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；（2）若四根木条总长为6m ，求窗口ABCD 面积的最大值.19.（本小题满分16分）已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()11*+=+∈n n n a b S n N .（1）若11,2n na b ==，求4a 的值；（2）若{}n a 是公比为q 的等比数列，求证：存在实数λ，使得{}n b λ+为等比数列； （3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =. 20.（本小题满分16分）设函数()sin cos xf x xe a x x =-（a R ∈，其中e 是自然对数的底数）.（1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）若对于任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.南通市2016届高三第三次调研测试数学II （附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. A.【选修4-1】几何证明选讲（本小题满分10分）在ABC ∆中，2,A B C ∠=∠∠的平分线交AB 于点D ，A ∠的平分线交CD 于点E . 求证：AD BC BD AC ⋅=⋅.B.【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵112a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +的值.C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩α为参数）以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为6πθ=.若直线l 与曲线C交于,A B ，求线段AB 的长.D.【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知0,0,0x y z >>>，且1xyz =，求证：333x y z xy yz xz ++≥++.【必做题】第22,23题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>上一点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离与到原点O 的距离相等，抛物线的焦点为F . （1）求抛物线的方程；（2）若A 为抛物线上一点（异于原点O ），点A 处的切线交x 轴于点B ，过A 作准线的垂线，垂足为点E .试判断四边形AEBF 的形状，并证明你的结论. 23.（本小题满分10分）甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛()2*∈n n N 局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为12.如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为()P n .（1）求()2P 与()3P 的值；（2）试比较()P n 与()1P n +的大小，并证明你的结论.南通市2016届高三第三次调研测试数学学科参考答案一、填空题1.{}02.34i +3. 24. 35.π6. 167.(8.y x =10. -16 11.100101 12.0a <或2a > 13.1414.1,3⎡+⎣ 二、解答题15.（1）因为m n ⊥，所以cos cos sin sin cos 0333m n A B A B A B πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭431552=+⋅=.由正弦定理，得sin 10834sin 5ABC AC B=⋅=⨯=.16.（1）设A C B N O ⋂=，连结,MO AN ，因为1,2AB CD AB CD =，N 为CD 的中点， 所以,AB CN AB CN = ，所以四边形ABCN 为平行四边形，所以O 为AC 的中点，所以MO PC .又因为MO ⊂平面BMN ，PC ⊄平面BMN ，所以PC 平面BMN . （2）（方法一）因为PC ⊥平面PDA ，AD ⊂平面PDA .所以PC AD ⊥，由（1）同理可得，四边形ABND 为平行四边形，所以AD BN ，所以BN PC ⊥.因为BC AB =，所以平行四边形ABCN 为菱形，所以BN AC ⊥，因为PC AC C ⋂=,AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以BN ⊥平面PAC .因为BN ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面PAC .（方法二）连结PN ，因为PC ⊥平面PDA ，PA ⊂平面PDA ，所以PC PA ⊥. 因为PC MO ，所以PA MO ⊥，因为PC ⊥平面PDA ，PD ⊂平面PDA ，所以PC PD ⊥.因为N 为CD 的中点，所以12PN CD =，由（1）12AN BC CD ==，所以AN PN =. 又因为M 为PA 的中点，所以PA MN ⊥.因为MN MO M ⋂=，MN ⊂平面BMN ，MO ⊂平面BMN ,所以PA ⊥平面BMN ，因为PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面BMN.17.（1）由条件，222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为22142x y +=，圆的方程为224x y +=.（方法一）直线l 的方程为()122y x =+，由()2212224y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得：23440x x +-=. 解得22,3A p x x =-=，所以24,33P ⎛⎫⎪⎝⎭.所以AP ==O 到直线l的距离d =,所以5AQ ==56AP AQ ==. （方法二）由222224x y x y =-⎧⎨+=⎩得2340y y -=，所以85P y =. 所以455386AP AQ =⨯=; （2）（方法一）若PQ AP λ= ，则1AQAPλ=-. 设直线():2l y k x =+，由()22242x y y k x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得，()22221840k x k ++-=.即()()()22221420x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以22242,21A P k x x k -=-=+，得222244,2121k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 所以()22222222224416162212121k k k AP k k k ⎛⎫-+⎛⎫=++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+，即AP =，同理AQ =所以，由题意：02>k ，所以10<<λ.（方法二）由方法一知，，由题意：20k >，所以01λ<<.18.（1）设一根木条长为xcm ，则正方形的边长为=.因为14ABCD S >四边形，所以2144x ->，即2x <.又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x >所以x <<;（2）（方法一）设AB 所在木条长为am ，则BC 所在木条长为()3a m -. 因为()()0,2,30,2a a ∈-∈，所以()1,2a ∈.ABCDS ===矩形.设()43262420f a a a a a =-++-，()()()()'3241822421234f a a a a a a a =-++=+--.令()'0fa =，得32a =，或1a =-（舍去），或4a =（舍去）. 列表如下：所以当32a =时，()max 349216f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即max 74S = （方法二）设AB 所在木条长为am ，CD 所在木条长为bm . 由条件，2+26a b =，即3a b +=.因为(),0,2a b ∈，所以()30,2b a =-∈，从而(),1,2a b ∈.由于AB BD ==，ABCD S ==矩形()()2228872224a b a b +--+≤=，当且仅当()31,22a b ==∈时，74ABCD S =矩形. 答：窗口ABCD 面积的最大值为274m .19.（1）由11,2n na b ==，知2344,6,8a a a ===.（2）（方法一）因为11n n n a b S +=+，所以()11111n n n a q a q b q-=+-.所以11111n nn q q b q a q =+---，即1111111nn b q a q q⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 所以存在实数11q λ=-，使得11111nn b q a q λ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 又因为0n b λ+≠（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以当2n ≥，11n n b b qλλ-+=+，此时{}n b λ+为等比数列，所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （方法二）因为11n n n a b S +=+①， 所以当2n ≥时，111n n n a b S --=+②，①-②得，当2n ≥时，11n n n n n a b a b a +--=③，由③得，当2n ≥时，111111n n n n n n n a a b b b a a q q--++=+=+， 所以111111n n b b q q q -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，又因为101n b q +≠-（否则{}n b 为常数数列与题意不符），所以存在实数11qλ=-，使{}n b λ+为等比数列. （3）因为{}n b 为公差为d 的等差数列，所以由③得，当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=, 即()()11n n n n a a b d a +-=-，因为{}n a ，{}n b 各项均不相等，所以10,10n n a a d +-≠-≠, 所以当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--④, 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--⑤, 由④-⑤，得当3n ≥时111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----⑥, 先证充分性：即由12d =证明23,,,,n a a a 成等差数列, 因为12d =，由⑥得1111n n n n n n a a a a a a -+--=--, 所以当3n ≥时，1111n n n n n n a a a a a a -+-+=--,又0n a ≠，所以11n n n n a a a a +--=- 即23,,,,n a a a 成等差数列.再证必要性：即由23,,,,n a a a 成等差数列证明12d =. 因为23,,,,n a a a 成等差数列，所以当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-,所以由⑥得，11111111n n n n n n n n n n n n a a a a da a a a a a a a d--+----=-==----- 所以12d =，所以23,,,,n a a a 成等差数列的充要条件是12d =.20.（1）当0a =时，()()(),1'==+x x f x xe f x e x ,令()'0fx =，得1x =-.列表如下：所以函数()f x 的极小值为()1f e-=-，无极大值. （2）①当0a ≤时，由于对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有sin cos 0x x ≥, 所以()0f x ≥恒成立，当0a ≤时，符合题意； ②当01a <≤时，因为()()()'01cos201cos010x f x e x a x e a a ≥+-≥+-=-≥,所以函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以()()00f x f ≥=，即当01a <≤，符合题意； ③当1a >时，()'010f a =-<，'41044f e πππ⎛⎫⎛⎫=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以存在0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'0f α=，且在()0,α内，()'0f x <, 所以()f x 在()0,α上为减函数，所以()()00f x f <=, 即当1a >时，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是(],1-∞.（3）不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点，由（2）知，当1a ≤时，()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()00f =，故函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上无零点.当1a >时，()()'1cos2x fx e x a x ≥+-,令()()1cos2xg x e x a x =+-，()()'22sin2x g x e x a x =++,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，恒有()'0g x >，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数, 由()2010,1022g a g e a πππ⎛⎫⎛⎫=-<=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即方程()'0fx =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一解0x ,且当()00,x x ∈时，()'0fx <，当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()'0f x >, 即函数()f x 在()00,x 上单调递减，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当()00,x x ∈时，()()00f x f <=，即()f x 在()00,x 无零点；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()200,022f x f f e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭, 所以()f x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点， 所以，当1a >时，()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点. 综上所述，不存在实数a ，使得函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有两个零点. 数学II （附加题）21.A.因为2,CAB B AE ∠=∠为CAB ∠的平分线，所以CAE B ∠=∠. 又因为CD 是C ∠的平分线，所以ECA DCB ∠=∠. 所以ACD BCD ∆∆ ，所以AE ACBD BC=，即AE BC BD AC ⋅=⋅. 又因为,AED CAE ECA ADE B DCB ∠=∠+∠∠=∠+∠, 所以AED ADE ∠=∠，所以AD AE =. 所以AD BC BD AC ⋅=⋅.B.设(),P x y 是直线20x +-=上一点，由1 122a x x ay y x y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()20x ay x y b +++-=.即2022a b x y ++-=，由条件得，21,222a b+=-=-. 解得04a b =⎧⎨=⎩，所以4a b +=.C.曲线C的普通方程为(224x y +=，表示以)为圆心，2为半径的圆.直线l的直角坐标方程为y =所以线段AB的长为=. D.因为0,0,0x y z >>>, 所以3333x y z xyz ++≥,3313x y xy ++≥，3313y z yz ++≥，3313x z xz ++≥,将以上各式相加，得33333333333x y z xyz xy yz xz +++≥+++, 又因为1xyz =，从而333x y z xy yz xz ++≥++. 22.（1）由题意点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭到准线的距离为PO , 由抛物线的定义，点P 到准线的距离为PF ,所以PO PF =，即点3,4P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段OF 的中垂线上，所以3,344p p ==，所以抛物线的方程为26y x =.（2）由抛物线的对称性，设点2001,6A y y ⎛⎫⎪⎝⎭在x 轴的上方，所以点A 处切线的斜率为03y ，所以点A 处切线的方程为2000316y y x y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令上式中0y =，得2016x y =-， 所以点B 的坐标为201,06y ⎛⎫-⎪⎝⎭，又033,,,022E y F ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2200001313,,,6262FA y y BE y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以FA BE = ，所以FA BE ，又AE F B ， 故四边形AEBF 为平行四边形，再由抛物线的定义，得AF AE =，所以四边形AEBF 为菱形. 23.（1）若甲、乙比赛4局甲获胜，则甲在4局比赛中至少胜3局，所以()44344411522216P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 同理()6664566661115322216P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）在2n 局比赛中甲获胜，则甲胜的局数至少为1n +局，故()222122222111222nnnn n n n n n P n C C C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22122222222211112122222n nnn n nn n nnnnn nC CCC C ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅=-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()1222211122n n n C P n +++⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.又因为()()()()()()()()222112222222!441214!!2122!22212121!1!nn n n n n n n n n C n n C n n n C C n n n n n +++++++====>++++++， 所以122222222n n n n n n C C +++>，所以()()1P n P n <+.。
2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷
2017年江苏省苏锡常镇四市高三一模数学试卷一、填空题（共14小题；共70分） 1. 已知集合 U ={1,2,3,4,5,6,7}，M ={x∣ x 2−6x +5≤0,x ∈Z }，则 ∁U M = ______． 2. 若复数 z 满足 z +i =2+i i，其中 i 为虚数单位，则 ∣z∣= ______．3. 函数 f (x )=1ln (4x−3) 的定义域为______．4. 下面是给出的一种算法，则该算法输出的结果是______． t←1 i←2While i≤4 t←t×i i←i+1 End WhilePrint t5. 某高级中学共有 900 名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取 1 个容量为 45 的样本，其中高一年级抽 20 人，高三年级抽 10 人，则该校高二年级学生人数为______． 6. 已知正四棱锥的底面边长是 2，侧棱长是 √3，则该正四棱锥的体积为______． 7. 从集合 {1,2,3,4} 中任取两个不同的数，则这两个数的和为 3 的倍数的概率为______．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y 2=8x 的焦点恰好是双曲线 x 2a 2−y 23=1 的右焦点，则双曲线的离心率为______．9. 设等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3，S 9，S 6 成等差数列．且 a 2+a 5=4，则 a 8 的值为 ______．10. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 M (1,0) 的直线 l 与圆 x 2+y 2=5 交于 A ，B 两点，其中 A 点在第一象限，且 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线 l 的方程为______． 11. 在 △ABC 中，已知 AB =1，AC =2，∠A =60∘，若点 P 满足 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则实数 λ 的值为______．12. 已知 sinα=3sin (α+π6)，则 tan (α+π12)= ______．13. 若函数 f (x )={12x−1,x <1lnxx 2,x ≥1，则函数 y =∣f (x )∣−18的零点个数为______．14. 若正数 x ，y 满足 15x −y =22，则 x 3+y 3−x 2−y 2 的最小值为______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边．若 acosB =3，bcosA =1，且 A −B =π6．（1）求边 c 的长； （2）求角 B 的大小．16. 如图，在斜三梭柱 ABC −A 1B 1C 1 中，侧面 AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ，E 是棱 AB上一点，且 OE ∥平面BCC 1B 1．（1）求证：E 是 AB 中点；（2）若 AC 1⊥A 1B ，求证：AC 1⊥BC ．17. 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC （如图），设计要求彩门的面积为 S （单位：m 2），高为 ℎ（单位：m ）（S ，ℎ 为常数），彩门的下底 BC 固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 α，不锈钢支架的长度和记为 l ．（1）请将 l 表示成关于 α 的函数 l =f (α)； （2）问当 α 为何值时 l 最小?并求最小值．18. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的焦距为 2，离心率为 √22，椭圆的右顶点为 A ．（1）求该椭圆的方程：（2）过点 D(√2,−√2) 直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P ，Q ，求证：直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值．19. 已知函数 f (x )=(x +1)lnx −ax +a （a 为正实数，且为常数）．（1）若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，求 a 的取值范围； （2）若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，求 a 的取值范围．20. 已知 n 为正整数，数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2−na n+12=0，设数列 {b n } 满足 b n =a n2t n．（1）求证：数列 {n√n } 为等比数列；（2）若数列 {b n } 是等差数列，求实数 t 的值；（3）若数列 {b n } 是等差数列，前 n 项和为 S n ，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2=16b m 成立，求满足条件的所有整数 a 1 的值．21. 如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l，圆交于点D，E．求∠DAC的度数与线段AE的长．22. 已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1⃗⃗⃗ =[11]，并且矩阵M对应的变换将点(−1,2)变换成(−2,4)．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．23. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2−2√2ρcos(θ−π4)=2．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．24. 已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求√3a+1+√3b+1+√3c+1的最大值．25. 如图，已知正四棱锥P−ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且PMPA =BNBD=13．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N−PC−B的余弦值．26. 设∣θ∣<π2，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin nπ2tan nθ，其前n项和为S n．（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=(−1)n−12tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=12sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．答案第一部分1. {6,7}2. √103. {x∣∣ x>34且x≠1}4. 245. 3006. 437. 138. 29. 210. x−y−1=011. −14或112. 2√3−413. 414. 1第二部分15. （1）因为acosB=3，bcosA=1，所以a×a 2+c2−b22ac=3，b×b2+c2−a22bc=1，化为：a2+c2−b2=6c，b2+c2−a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2−b2=8．由正弦定理可得：asinA =bsinB=4sinC，又A−B=π6，所以A=B+π6，C=π−(A+B)=π−(2B+π6)，可得sinC=sin(2B+π6)．所以a=4sin(B+π6)sin(2B+π6)，b=4sinBsin(2B+π6)．所以16sin2(B+π6)−16sin2B=8sin2(2B+π6)，所以1−cos(2B+π3)−(1−cos2B)=sin2(2B+π6)，即cos2B−cos(2B+π3)=sin2(2B+π6)，所以−2sin(2B+π6)sin(−π6)=sin2(2B+π6)，所以sin(2B+π6)=0或sin(2B+π6)=1，B∈(0,5π12)．解得：B=π6．16. （1） 连接 BC 1，取 AB 中点 Eʹ， AA 1C 1C 是菱形，AC 1 与 A 1C 交于点 O ， 所以 O 为 AC 1 的中点， 因为 Eʹ 是 AB 的中点， 所以 OEʹ∥BC 1；因为 OEʹ⊄平面BCC 1B 1，BC 1⊂平面BCC 1B 1， 所以 OEʹ∥平面BCC 1B 1， 因为 OE ∥平面BCC 1B 1， 所以 E ，Eʹ 重合， 所以 E 是 AB 中点．（2） 因为侧面 AA 1C 1C 是菱形， 所以 AC 1⊥A 1C ，因为 AC 1⊥A 1B ，A 1C ∩A 1B =A 1，A 1C ⊂平面A 1BC ，A 1B ⊂平面A 1BC ， 所以 AC 1⊥平面A 1BC ， 因为 BC ⊂平面A 1BC ， 所以 AC 1⊥BC ．17. （1） 设上底长为 a ，则 S =(a+a+2ℎtanα)ℎ2，所以 a =Sℎ−ℎtanα， 所以 l =Sℎ−ℎtanα+2ℎsinα(0<α<π2)． （2） lʹ=ℎ⋅1−2cosαsin 2α，所以 0<α<π3，lʹ<0，π3<α<π2，lʹ>0， 所以 α=π3 时，l 取得最小值 Sℎ+√3ℎ m ．18. （1） 由题意可知：椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点在 x 轴上，2c =1，c =1， 椭圆的离心率 e =c a=√22，则 a =√2，b 2=a 2−c 2=1，则椭圆的标准方程：x 22+y 2=1．（2） 设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，A(√2,0)， 由题意 PQ 的方程：y =k(x −√2)−√2， 则 {y =k(x −√2)−√2,x 22+y 2=1,整理得：(2k 2+1)x 2−(4√2k 2+4√2k)x +4k 2+8k +2=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=4√2k 2+4√2k2k 2+1，x 1x 2=4k 2+8k+22k 2+1，则 y 1+y 2=k (x 1+x 2)−2√2k −2√2=−2√2−2√2k2k 2+1，则 k AP +k AQ =1x−√2+2x −√2=1221√2(12x x −√2(x +x )+2，由y 1x 2+y 2x 1=[k(x 1−√2)−√2]x 2+[k(x 2−√2)−√2]x 1=2kx 1x 2−(√2k +√2)(x 1+x 2)=−4k2k 2+1,k AP +k AQ =1221√2(12x x −√2(x +x )+2=−4k 2k 2+1−√2×−2√2−2√2k2k 2+14k 2+8k+22k 2+1−√2×4√2k 2+4√2k2k 2+1+2=1，所以直线 AP ，AQ 的斜率之和为定值 1．19. （1） f (x )=(x +1)lnx −ax +a ，fʹ(x )=lnx +1x +1−a ，若 f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递增，则 a ≤lnx +1x +1 在 (0,+∞) 恒成立，(a >0)， 令 g (x )=lnx +1x +1，(x >0)，gʹ(x )=x−1x 2，令 gʹ(x )>0，解得：x >1，令 gʹ(x )<0，解得：0<x <1，故 g (x ) 在 (0,1) 递减，在 (1,+∞) 递增，故 g (x )min =g (1)=2，故 0<a ≤2． （2） 若不等式 (x −1)f (x )≥0 恒成立，即 (x −1)[(x +1)lnx −a ]≥0 恒成立，① x ≥1 时，只需 a ≤(x +1)lnx 恒成立，令 m (x )=(x +1)lnx ，(x ≥1)，则 mʹ(x )=lnx +1x +1， 由（1）得：mʹ(x )≥2，故 m (x ) 在 [1,+∞) 递增，m (x )≥m (1)=0， 故 a ≤0，而 a 为正实数，故 a ≤0 不合题意； ② 0<x <1 时，只需 a ≥(x +1)lnx ，令 n (x )=(x +1)lnx ，(0<x <1)，则 nʹ(x )=lnx +1x +1，由（1）nʹ(x ) 在 (0,1) 递减，故 nʹ(x )>n (1)=2，故 n (x ) 在 (0,1) 递增，故 n (x )<n (1)=0，故 a ≥0， 而 a 为正实数，故 a >0．20. （1） 数列 {a n } 满足 a n >0，4(n +1)a n 2−na n+12=0，所以 2√n +1a n =√na n+1n+1√n+1=n √n，所以数列 {n √n} 是以 a 1 为首项，以 2 为公比的等比数列． （2） 由（1）可得：n√n=a 1×2n−1， 所以 a n 2=na 12⋅4n−1．因为 b n =a n2t n，所以 b 1=a 12t，b 2=a 22t 2，b 3=a 32t 3，因为数列 {b n } 是等差数列， 所以 2×a 22t 2=a 12t+a 32t 3， 所以2×2a 12×4t=a 12+3a 12×42t 2，化为：16t =t 2+48，解得 t =12或4．（3） 数列 {b n } 是等差数列，由（2）可得：t =12或4． ① t =12 时，b n =na 12⋅4n−112n=na 124×3n，S n =n(a 1212+na 124×3n)2，因为对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n −a 14n 2=16b m 成立，所以 8a 12×n(a 1212+na 124×3n)2−a 14n 2=16×ma 124×3m，所以 a 12(n 3+n 23n −n 2)=4m3m ，n =1 时，化为：−13a 12=4m 3m>0，无解，舍去．② t =4 时，b n =na 12⋅4n−14n=na 124，S n =n(a 124+na 124)2，对任意的 n ∈N ∗，均存在 m ∈N ∗，使得 8a 12S n−a 14n 2=16bm 成立，所以 8a 12×n(a 124+na 124)2−a 14n2=16×ma 124，所以 na 12=4m ，所以 a 1=2√mn ． 因为 a 1 为正整数， 所以 √mn=12k ，k ∈N ∗．所以满足条件的所有整数 a 1 的值为 {a 1∣ a 1=2√m n ,n ∈N ∗,m ∈N ∗,且√m n =12k,k ∈N ∗}．21. 如图，连接 OC ， BC =OB =OC =3， 因此 ∠CBO =60∘． 由于 ∠DCA =∠CBO ，所以 ∠DCA =60∘，又 AD ⊥DC 得 ∠DAC =30∘． 又因为 ∠ACB =90∘，得 ∠CAB =30∘，那么 ∠EAB =60∘，从而 ∠ABE =30∘， 于是 AE =12AB =3．22. （1） 设矩阵 A =[a bc d ]，这里 a,b,c,d ∈R ，则 [a b c d ][11]=8[11]=[88]，故 {a +b =8,c +d =8,由于矩阵 M 对应的变换将点 (−1,2) 换成 (−2,4)． 则 [a b c d ][−12]=[−24]，故 {−a +2b =−2,−c +2d =4,联立以上两方程组解得 a =6，b =2，c =4，d =4，故 M =[6244]．（2） 由（1）知，矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)=(λ−6)(λ−4)−8=λ2−10λ+16，故矩阵 M 的另一个特征值为 2． 23. （1） 由 ρ=2 知 ρ2=4，故圆 O 1 的直角坐标方程为 x 2+y 2=4． 因为 ρ2−2√2ρcos (θ−π4)=2，所以 ρ2−2√2ρ(cosθcos π4+sinθsin π4)=2，故圆 O 2 的直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −2y −2=0． （2） 将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为 x +y =1． 化为极坐标方程为 ρcosθ−ρsinθ=1， 即 ρsin (θ+π4)=√22． 24. 由柯西不等式可得(√3a +1+√3b +1+√3c +1)2≤[12+12+12][(√3a +1)2+(√3b +1)2+(√(3c +1))2]=3×12,所以 √3a +1+√3b +1+√3c +1≤6，当且仅当 √3a +1=√3b +1=√3c +1 时取等号． 所以 √3a +1+√3b +1+√3c +1 的最大值为 6． 25. （1） 设 AC 与 BD 的交点为 O ，AB =PA =2．以点 O 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别是 x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系 O −xyz ．A (1,−1,0)，B (1,1,0)，C (−1,1,0)，D (−1,−1,0)， 设 P (0,0,p )，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,p )， 又 AP =2，所以 1+1+p 2=4，所以 p =√2，因为 OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,−13,2√23)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13,0)，所以 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,−2√23)， 设异面直线 MN 与 PC 所成角为 θ， 则 cosθ=∣MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣⋅∣PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=23+432√49+89=√32． θ=30∘，所以异面直线 MN 与 PC 所成角为 30∘．（2） PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−√2)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√2)，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,13,−√2)， 设平面 PBC 的法向量 n ⃗ =(x,y,z )， 则 {n ⃗ ⋅PB⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√2z =0,n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −√2z =0,取 z =1，得 n ⃗ =(0,√2,1)， 设平面 PNC 的法向量 m ⃗⃗ =(a,b,c )， 则 {m ⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13a +13b −√2c =0,m ⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −√2c =0, 取 c =1，得 m ⃗⃗ =(√2,2√2,1)， 设二面角 N −PC −B 的平面角为 θ，则cosθ=∣m⃗⃗⃗ ⋅n⃗ ∣∣m⃗⃗⃗ ∣⋅∣n⃗ ∣=√3⋅√11=5√3333．所以二面角N−PC−B的余弦值为5√3333．26. （1）a n=sin nπ2tan nθ，当n=2k(k∈N∗)为偶数时，a n=sinkπ⋅tan nθ=0；当n=2k−1为奇函数时，a n=sin2k−12πtan nθ=(−1)k−1tan nθ=(−1)n−12tan nθ．（2）a2k−1+a2k=(−1)n−12tan nθ．所以奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为−tan2θ．所以S2n=tanθ[1−(−1)n tan2nθ]1−(−tan2θ)=12sin2θ⋅[1+(−1)n+1tan2nθ]．。
江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(二)数学试题(考试版)
绝密★启用前江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高考数学内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.一、填空题1．若复数满足是虚数单位，则的虚部为____．2．设集合，其中，若，则实数____．3．在平面直角坐标系中，点到抛物线的准线的距离为____．4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为____．5．下图是一个算法流程图，若输入值，则输出值的取值范围是____．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是____．7．已知函数在时取得最大值，则____．8．已知公差为的等差数列的前项和为，若，则____．9．在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____． 10．设△的内角，，的对边分别是，且满足，则____．11．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是____．12．如图，扇形的圆心角为90°，半径为1，点是圆弧上的动点，作点关于弦的对称点，则的取值范围为____．13．已知函数若存在实数，满足，则的最大值是____．14．已知为正实数，且，则的最小值为____．得分 二、解答题15．如图，在四棱锥中，，，点为棱的中点．（1）若，求证：；（2）求证：//平面．16．在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且. （1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．17．（本小题满分14分）下图（I）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II）所示的数学模型．索塔，与桥面均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面上一点到索塔，距离之比为，且对两塔顶的视角为．（1）求两索塔之间桥面的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点，，分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点的直线交椭圆于点，交轴于点，直线与直线交于点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）求证：为定值．19．已知函数R．（1）若，① 当时，求函数的极值（用表示）；② 若有三个相异零点，问是否存在实数使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由；（2）函数图象上点处的切线与的图象相交于另一点，在点处的切线为，直线的斜率分别为，且，求满足的关系式．20．已知等差数列的首项为1，公差为，数列的前项和为，且对任意的，恒成立．（1）如果数列是等差数列，证明数列也是等差数列；（2）如果数列为等比数列，求的值；（3）如果，数列的首项为1，，证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．21．【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 如图所示，为⊙的直径，平分交⊙于点，过作⊙的切线交于点，求证．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值为3，求．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数．以原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，已知圆心到直线的距离等于，求的值．D ．选修4—5：不等式选讲 已知实数满足，，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求的值；（2）求的数学期望． 23．已知函数．（1）当时，若，求实数的值； （2）若，求证：．1．. 【解析】分析：先求出复数z ，再求复数z 的虚部.详解：由题得所以复数z 的虚部为-1.故答案为：-1点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌握能力.(2)复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.2．.【解析】分析：根据集合相等的概念得到a 的方程，解方程即得解.详解：因为A=B,所以故答案为：点睛：本题主要考查集合相等的概念，集合中求出参数的值之后，一定要代入原题检验，保证参数的值满足已知的每一个条件和集合元素的互异性.点睛：（1）本题主要考查抛物线的基本几何性质，意在考查学生抛物线的基础知识的掌握能力.（2）注意不要把抛物线的方程写成x=2了，最好先画图再写准线方程. 4．.【解析】分析:先计算出数据的平均数,再求数据的方差得解.详解：由题得所以成绩的方差为故答案为：20.8点睛：本题主要考查茎叶图和数据方差的计算，意在考查统计的基础知识的掌握能力. 5．.【解析】分析：先根据程序框图写出函数的解析式，再根据解析式求函数的值域即得输出值的取值范围.详解：由题得所以当x∈[0,1]时，S=1； 当x∈[1,2]时，综上所述输出值的取值范围是.故答案为：点睛：(1)本题主要考查程序框图功能的阅读和分段函数的值域.(2)对于分段函数的问题，一般是先分段处理再综合.所以本题先分别求每一段的范围，再求整个函数的值域. 6．.【解析】分析：根据几何概型的概率公式解答即可.详解：由几何概型的概率公式得所以油恰好落入孔中的概率是.故答案为：.点睛：本题主要考查几何概型的概率公式，意在考查概率的基础知识的掌握能力及基本的运算能力. 7．.【解析】分析：解方程即得解.详解：由题得故答案为：点睛：本题主要考查三角函数的最值，意在考查三角函数图像性质等基础知识的掌握能力.点睛：本题主要考查等差数列的性质，意在考查等差数列基础知识的掌握能力和基本运算.9．.【解析】分析：先把体积转化，再求三棱锥M-BD C的高和底面积，最后代三棱锥的体积公式即得解.详解：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC 的高为.因为所以故答案为：点睛：（1）解答本题的关键是体积转化.如果直接求三棱锥的体积，点D到底面的高不是很好计算，所以考虑利用体积变换求体积，由于变到点M时，点M到底面的高计算比较方便，所以转化成求三棱锥M-BDC 的体积.（2）求几何体的体积常用的方法有直接法和体积变换，要根据具体情况，灵活选择.点睛：该题考查正弦定理、同角三角函数的关系以及两角和的正弦，考查学生灵活运用公式的能力．11．.【解析】分析:先设，化简得到再利用函数求点的纵坐标的取值范围.详解：设点，因为，所以即，因为，所以，所以，化简得因为，所以故答案为：点睛:本题主要考查圆的基础知识，考查函数的思想,意在考查学生圆的基础知识的掌握能力和基本运算能力.12．.【解析】分析:先建立直角坐标系，再设出点P,Q的坐标，利用已知条件求出P,Q的坐标，再求出的函数表达式，求其最值，即得其取值范围.学科#网详解:以点O为坐标原点,以OA所在直线作x轴，以OB所在直线作y轴，建立直角坐标系.则A(1，0),B(0，1),直线AB的方程为x+y-1=0,设P，，所以PQ 的中点，所以=，所以当t=1时函数取最大值1，当t=时函数取最小值.故答案为：点睛：(1)本题的难点有三，其一是要联想到建立直角坐标系；其二是要能利用已知求出点P,Q的坐标，其三是能够利用三角函数的知识求出函数的值域. （2）本题主要考查利用坐标法解答数学问题，考查直线、圆的方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生基础知识的掌握能力及推理分析转化能力，考查学生的基本运算能力.13．.【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：∵存在实数a＜b＜c，满足f（a）=f（b）=f（c），∴a+b=﹣6，∴af（a）+bf（b）+cf（c）=（a+b+c）f（c）=（c﹣6）lnc，在g（c ）在（，c0）上单调递减，在（c0，e2]上单调递增，又g （）=（﹣6）＜0，g（e2）=2（e2﹣6）＞0，∴g（c）的最大值为g（e2）=2e2﹣12．故答案为：2e2﹣12点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6,＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.14．.【解析】分析：先通过结合基本不等式求出，再开方得到的最小值.详解：由题得，代入已知得，两边除以得当且仅当ab=1时取等.所以即的最小值为.故答案为：点睛：本题的难点在要考虑到通过变形转化得到，再想到两边除以得，重点考查学生的逻辑分析推理转化的能力.15．(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）取的中点，连结，先证明平面，再证明．(2)先证明平面平面，再证明平面．（2）由为中点，连，则，又平面，所以平面．由，以及，所以，又平面，所以平面．又，所以平面平面，而平面，所以平面．点睛：本题主要考查空间位置关系的证明，空间位置关系的证明有两种方法，方法一是利用线面的转化的思想证明，方法二是利用向量的方法证明.两种方法各有特点，要灵活使用.16．(1) .(2) .【解析】分析：(1)即得．(2)先求出，再利用三角函数的图像和性质求其取值范围.详解：（1）由题意，有，则，所以．因为，所以，所以．又，所以．（2）由向量，，得．由（1）知，所以，所以．所以．所以．所以．即取值范围是．点睛：本题在求的值域时，容易漏掉导致出错.始终要牢记一个原则，函数的问题，定义域优先.只要是处理函数的问题，必须注意定义域优先的原则.17．(1)500米.(2) 两索塔对桥面AC中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.【解析】分析: (1) 设，，记，利用和角的正切得到t 的方程，解方程即得两索塔之间的距离AC=500米．(2) 设AP=x，点P 处的承重强度之和为.先求出，且，再利用导数求最小值.（2）设AP=x，点P 处的承重强度之和为.则，且，即记，则，令，解得，当，，单调递减；当，，单调递增；所以时，取到最小值，也取到最小值.答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为.点睛：本题主要考查和角的正切和导数的应用，意在考查学生的转化能力和运用数学知识解决实际问题的能力.18．(1) .(2) 或.(3)见解析.【解析】分析: (1) 由椭圆的离心率为，焦点到对应准线的距离为1,列方程组解方程组即得椭圆的标准方程.(2)先求出点D的坐标，再根据点C，D的坐标求直线l的斜率，即得直线l的方程. (3) 设D坐标为(x3，y3）,先求出直线BD和AC 的方程，再联立两个方程化简即得=2为定值. 学科#网（2）由（1）知，设，因为，得，所以，代入椭圆方程得或，所以或，所以或.所以的方程为：或.直线AC 方程为，因为点在直线AC 上，所以，②联立①②得，从而=2为定值.点睛：本题主要考查直线和椭圆方程的求法，考查解析几何中的定值问题，意在考查解析几何的基础知识的掌握能力、基本的运算能力和推理能力.对于解析几何中的定值问题，一般是先求出其表达式，再利用已知条件化简得到一个常数即可.19．(1) ①的极大值为，的极小值为.②存在这样实数满足条件.(2) .【解析】分析：（1）①先求导，再求函数的极大值和极小值. ②先，再化简式子得到a的值. （2）先求出，再根据，求满足的关系式.详解：（1）①由及，得，令，解得或.由知，，单调递增，，单调递减，，单调递增，因此，的极大值为，的极小值为.② 当时，，此时不存在三个相异零点；当时，与①同理可得的极小值为，的极大值为.要使有三个不同零点，则必须有，即.②-①得，因为，所以，④同理，⑤⑤-④得，因为，所以，又，所以.所以，即，即，因此，存在这样实数满足条件.（2）设A（m，f(m)）,B(n，f(n))，则，，又，由此可得，化简得，因此，，所以，，所以.点睛：(1)本题有两个难点，一个是得到，要通过计算化简得到，这个计算化简比较复杂，一个是求出，这个计算也比较复杂.(2)本题主要考查利用导数求极值、导数的几何意义及利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生的导数基础知识的掌握能力及分析推理转化的能力，同时考查计算能力.20．(1)见解析.(2) 或．(3)见解析.【解析】分析：（1）直接利用定义证明为等差数列．(2)由数列为等比数列得到是与n无关的常数，分析得到d的值.(3)先求出，，再假设，分析证明数列中存在无穷多项可表示为数列中的两项之和．（2）由③得，即，所以是与n无关的常数，所以或为常数．①当时，，符合题意；②当为常数时，在中令，则，又，解得，所以，此时，解得．综上，或．（3）当时，，由（2）得数列是以为首项，公比为3的等比数列，所以，即．当时，，当时，也满足上式，所以．点睛：本题的难点在第3问，由于直接证明比较困难，所以它用到的是假设分析法，先假设存在，再分析能否找到这样的，最终完成解题目标.这种处理问题的策略，在高中数学中有时用到，大家要理解掌握并灵活运用.21．A.见解析.B. .C. .D.见解析.【解析】分析：直接利用平面几何、矩阵、极坐标和参数方程、柯西不等式解答.详解：A．连接OE，因为ED是⊙O切线，所以OE⊥ED.因为OA＝OE，所以∠1＝∠OEA.又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA，所以OE∥AC，∴AC⊥DE．B 解由，得的一个解为3，代入得，因为，所以.C解消去参数t ，得到圆的普通方程为,由，得,所以直线的直角坐标方程为.依题意，圆心C到直线的距离等于，即解得.点睛：本题主要考查平面几何选讲、矩阵、极坐标系参数方程和柯西不等式等基础知识，意在考查学生平面几何选讲、矩阵、极坐标系参数方程和柯西不等式等基础知识的掌握能力和基本的运算能力. 22．(1) ,(2)【解析】分析：（1）根据已知列方程组解之即得m,n的值. （2）先计算出a,b 的值再求的数学期望．详解：（1）由题意，得又，解得，（2）由题意，所以点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明三个都没有做对的概率是，所以.表中说明三个都做对的概率是，所以.23．（1）。
2017-2018届江苏省苏锡常镇四市高三教学情况调查(二)化学试题及答案
2017-2018～2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）化学 5注意事项：1．本试卷分为选择题和非选择题两部分，共120分。
考试时间100分钟。
2．请把选择题的答案涂在答题卡的相应位置上，非选择题的答案填写在答题卡的指定栏目内。
可能用到的相对原子质量：H-1 B-11 C-12 O-16 S-32 K-39 Cr-52 Fe-56 Ba-137选择题（共40分）单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只．有一个选项．．．．．符合题意。
1．化学与生活、社会密切相关。
下列说法不正确．．．的是A．少开汽车可一定程度地减缓雾霾现象B．为提高作物产量大量使用农药和化肥C．使用无磷洗衣粉能缓解水体富营养化D．合理利用可燃冰有利于弥补能源短缺2．下列有关化学用语正确的是 A ．甲基的电子式： B ．硫离子的结构意示图：C ．中子数为50，质子数为39的钇（Y ）的核素：D ．间-硝基甲苯的结构简式： 3．下列离子方程式表达不正确．．．的是 A ．用食醋消除松花蛋中的氨味：CH 3COOH + NH 3 ＝ CH 3COO －+ NH 4＋B ．用烧碱溶液除去铝片表面的氧化膜：Al 2O 3 + 2OH － ＝ 2AlO 2－+H 2OC ．用亚硫酸钠溶液处理纸浆中残氯：SO 32－+ 2OH －+ Cl 2 ＝ 2Cl －+ SO 42－+ H 2OD ．用氨水吸收废气中的氮氧化物：NO + NO 2 + 2OH － ＝ 2NO 2－+ H 2O 4．下列有关物质应用的说法正确的是A ．碳酸钠溶液呈碱性，可用热的纯碱溶液除去矿物油污渍B ．钠和钾的合金在常温下是液体，可用于快中子反应堆作热交换剂C ．常温下，浓硝酸不跟铁发生化学反应，可用铁制容器盛装浓硝酸D ．铝表面易形成致密的氧化膜，铝制器皿可长时间盛放咸菜等腌18288NO 2CH 3H C HH ........Y 3989制食品5．设N A 为阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是 A ．1.2g 金刚石中含有的碳碳单键数为0.4N A B ．4.4g 二氧化碳中含有的共用电子对数为0.4N AC ．常温时11.2L 乙烯在氧气中完全燃烧转移的电子数为6.0N AD ．常温时0.1 mol ·L －1 硝酸铵溶液中，NH 4＋和H ＋总数一定大于0.1N A6．常温下，下列各组离子在指定溶液中一定不能．．大量共存的是 A ．使淀粉碘化钾试纸变蓝的溶液中：K ＋、SO 42－、Na ＋、ClO － B ．使石蕊试液变红的溶液中：Al 3＋、Cl －、NH 4＋、NO 3－C ．c (Fe 3＋) = 0.1 mol ·L －1的溶液中：AlO 2－、Na ＋、Cl －、K ＋D ． = 1×10－13 的溶液中：CH 3COO －、CO 32－、K ＋、SO 32－7A ．用图1装置作为制取少量二氧化硫的尾气吸收装置图1 图2 图3 图4c (H +) c (OH －)B ．用图2装置进行二氧化碳喷泉实验C ．用图3装置进行二氧化锰和浓盐酸制取氯气的实验D ．用图4装置进行石油的分馏实验8．下表所列各组物质中，物质之间通过一步反应不能．．实现图5所示9. 某种熔融碳酸盐燃料电池以Li 2CO 3、K 2CO 3时，该电池工作原理见图6 A ．a 为CH 4，b 为CO 2 B ．CO 32－向正极移动 C ．此电池在常温时也能工作D ．正极电极反应式为：O 2 + 2CO 2 + 4e －＝2CO 32－10．X 、Y 、Z 、W 是原子序数依次增大的短周期元素。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
下图（Ⅰ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将 其 抽 象 成 图 （ Ⅱ ） 所 示 的 数 学 模 型 ．索塔 AB ， CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔 的高度均为 60m，桥 面 AC 上 一 点 P 到索塔 AB , CD 距离之比为 21∶4，且 P 对两 塔顶的视角为135 ． （1）求两索塔之间桥面 AC 的长度； （2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为： 某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数 a），且 与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数 b）．问两索塔对桥面何处的 “承重强度”之和最小？并求出最小值．
tan A ▲ ． tan B
11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : (x 1)2 y2 2 ，点 A(2, 0) ，若圆 C 上存在点
M , 满足 MA2 MO2≤10, 则点 M 的纵坐标的取值范围是 ▲ ．
12．如图，扇形 AOB 的圆心角为 90°，半径为 1，点 P 是圆弧 AB 上的动点，作点 P 关于
B
D
A
P
C
（第 17 题图（Ⅰ））
（第 17 题图（Ⅱ））
▲▲▲
18．（本小题满分 16 分）
如图，椭圆 x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
2 ，焦点到相应准线的距离为 1，点 A， 2
B，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点 C 的直线 l 交椭圆于点 D，交 x 轴
指定位置．
3．答题时，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答
一律无效．
4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆
珠笔．
方差公式： s2
1 n [(x1
x)2
y
于点 M(x1，0)，直线 AC 与直线 BD 交于点 N(x2，y2).
C
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 CM 2MD ，求直线 l 的方程；
A
（3）求证： x1 x2 为定值.
MO
N
D
B x
▲▲▲
高三数学（第Ⅰ卷） 第 3 页（共 4 页）
（第 18 题图）
19．（本小题满分 16 分） 已知函数 f (x) x3 ax2 bx 1 ， a，b R . （1）若 a 2 b 0 ， ① 当 a 0 时，求函数 f (x) 的极值（用 a 表示）； ② 若 f (x) 有三个相异零点，问是否存在实数 a 使得这三个零点成等差数列？若存 在，试求出 a 的值；若不存在，请说明理由； （2）函数 f (x) 图象上点 A 处的切线 l1 与 f (x) 的图象相交于另一点 B，在点 B 处的切 线为 l2 ，直线 l1 ， l2 的斜率分别为 k1 ， k2 ，且 k2 4k1 ，求 a，b 满足的关系式.
是▲．
P
O
QA
（第 12 题图）
14．已知 a,b 为正实数，且 (a b)2 4(ab)3 ，则 1 1 的最小值为 ▲ ． ab
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出必
要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P−ABCD 中， ADB 90 ， CB CD ，点 E 为棱 PB 的中点． （1）若 PB PD ，求证：PCBD； （2）求证：CE∥平面 PAD．
▲▲▲
20．（本小题满分 16 分）
已知等差数列{an} 的首项为 1，公差为 d，数列{bn} 的前 n 项和为 Sn ，且对任意的 n N * ， 6 S n 9bn an 2 恒成立．
（1）如果数列{Sn} 是等差数列，证明数列{bn} 也是等差数列；
（2）如果数列{bn
1 }
图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ．
8 244 92
（第 4 题图）
5．右图是一个算法流程图，若输入值 x∈[0, 2] ，则输出值 S 的 取值范围是 ▲ ．
6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以
开始 输入 x
钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径 4 厘米，中间有边长为 1 厘米的
弦 AB 的对称点 Q，则 OP OQ 的取值范围为 ▲ ．
B
13．已知函数
f
(x)
1 2
(|
x
3
|
1)，x
≤0， 若存在实数
a
b
c
，
ln x，
x 0，
满足 f (a) f (b) f (c) ，则 af (a) bf (b) cf (c) 的最大值
( x2
x)2
( xn
x)2 ] ,其中
x
1 n
( x1
x2
xn )
.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案
直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 1．若复数 z 满足 (1 i)z 2 （i 是虚数单位），则 z 的虚部为 ▲ ．
2．设集合 A {2, 4} ， B {a2, 2} （其中 a < 0），若 A B ，则实数 a ▲ ．
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(2, 4) 到抛物线 y2 8x 的准线的 7 8
距离为 ▲ ． 4．一次考试后，从高三（1）班抽取 5 人进行成绩统计，其茎叶
P
E
D
C
A
B
（第 15 题图）
▲▲▲
高三数学（第Ⅰ卷） 第 2 页（共 4 页）
16．（本小题满分 14 分） 在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，设△ABC 的面积为 S，
且 4S 3(a2 c2 b2 ) ．
（1）求∠B 的大小； （2）设向量 m (sin2A,3cosA) ， n (3, 2cosA) ，求 m·n 的取值范围．
2
为等比数列，求
d
的值；
（3）如果 d 3 ，数列{cn} 的首项为 1， cn bn bn1(n ≥ 2) ，证明数列{an} 中存在
无穷多项可表示为数列{cn} 中的两项之和．
▲▲▲
高三数学（第Ⅰ卷） 第 4 页（共 4 页）
2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）
数学Ⅰ试题
2018.5
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 20 题）两部
分．本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的
8．已知公差为 d 的等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn
，若 S10 S5
4 ，则 4a1 d
▲．
9．在棱长为 2 的正四面体 P ABC 中，M，N 分别为 PA，BC 的中点，点 D 是线段 PN 上
一点，且 PD 2DN ，则三棱锥 D MBC 的体积为 ▲ ．
10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 a cos B b cos A 3 c ，则 5
Y S1
x＜1
N
S2x−x2
正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的
输出 S
概率是 ▲ ．
（第 6 题图）
结束
（第 5 题图）
高三数学（第Ⅰ卷） 第 1 页（共 4 页）
7．已知函数 f (x) sin(x ) (0 2) 在 x 2 时取得最大值，则 ▲ ．