河北省石家庄市高考数学二模试卷(理科)

2016年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣x＜6}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=∅C．M⊆N D．M∩N=R2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=lgx C．y=|x|﹣1 D．4．已知数列{an }满足an+2=an+1﹣an，且a1=2，a2=3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2016的值为（）A．0 B．2 C．5 D．65．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为（）A．9 B．10 C．11 D．127．已知x，y满足约束条件，若2≤m≤4，则目标函数z=y+mx的最大值的变化范围是（）A．[1，3] B．[4，6] C．[4，9] D．[5，9]8．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B．C． D．9．已知直线1与双曲线C：x2﹣y2=2的两条渐近线分别交于A、B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．1 C．2 D．410．设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A ．6038B ．6587C ．7028D ．753911．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β﹣cos αsin β=1，则sin （2α﹣β）+sin （α﹣2β）的取值范围为（ ）A ．[﹣，1]B ．[﹣1，]C ．[﹣1，1]D ．[1，]12．已知函数f （x ）=x+e x ﹣a ，g （x ）=ln （x+2）﹣4e a ﹣x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使f （x 0）﹣g （x 0）=3成立，则实数a 的值为（ ）A ．﹣ln2﹣1B ．﹣1+ln2C ．﹣ln2D ．ln2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x 2+）dx ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n ﹣4，n ∈N *，则a n = ．15．已知向量，，，满足||=，||==3，若（）•（2）=0，则||的最大值是 ．16．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB=2，则|AB|= ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2bcosC+c=2a ．（1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC 的面积．18．为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2（Ⅰ）求y 关于x 的线性回归方程=x+；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）参考公式：==，=﹣．19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．21．已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣，g（x）=e x﹣e（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值．（Ⅱ）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数．[选修4－1，几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，求⊙O的半径；（Ⅱ）若E为⊙O上的一点，，DE交AB于点F，求证：PF•PO=PA•PB．[选修4－4，坐标系与参数方程]23．在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．[选修4－5，不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m 的取值范围．2016年河北省石家庄市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的两个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣x＜6}，则下列结论正确的是（）A．N⊆M B．N∩M=∅C．M⊆N D．M∩N=R【考点】子集与真子集．【分析】求出集合N，从而判断出M，N的关系即可．【解答】解：集合M={﹣1，1}，N={x|x2﹣x＜6}={x|﹣2＜x＜3}，则M⊆N，故选：C．2．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=lgx C．y=|x|﹣1 D．【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A.是奇函数，不满足条件．B．y=lgx的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C．y=|x|﹣1是偶函数，当x＞0时，y=x﹣1为增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．4．已知数列{an }满足an+2=an+1﹣an，且a1=2，a2=3，Sn为数列{an}的前n项和，则S2016的值为（）A．0 B．2 C．5 D．6【考点】数列的求和．【分析】通过计算出数列的前几项确定周期，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，a1=2，a2=3，a 3=a2﹣a1=3﹣2=1，a 4=a3﹣a2=1﹣3=﹣2，a 5=a4﹣a3=﹣2﹣1=﹣3，a 6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣2）=﹣1，a 7=a6﹣a5=﹣1﹣（﹣3）=2，a 8=a7﹣a6=2﹣（﹣1）=3，…∴数列{an}是周期为6的周期数列，又∵2016=6×336，∴S2016=（2+3+1﹣2﹣3﹣1）×336=0，故选：A．5．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系判断．【解答】解；①若n∥α，则α内的直线m可能与n平行，也可能与n异面，故①错误；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，若m⊥α，则m⊥γ，故②正确；③若m⊂α，显然结论错误；④以直三棱柱为例，棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但侧面不平行，故④错误．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，则输出的实数m的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】程序框图．【分析】先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．【解答】解：模拟执行程序，可得m=1，T=1满足条件T＜99，T=1，m=2满足条件T＜99，T=4，m=3满足条件T＜99，T=9，m=4满足条件T＜99，T=16，m=5满足条件T＜99，T=25，m=6满足条件T＜99，T=36，m=7满足条件T＜99，T=49，m=8满足条件T＜99，T=64，m=9满足条件T＜99，T=81，m=10满足条件T＜99，T=100，m=11不满足条件T＜99，退出循环，输出m的值为11．故选：C．7．已知x，y满足约束条件，若2≤m≤4，则目标函数z=y+mx的最大值的变化范围是（）A．[1，3] B．[4，6] C．[4，9] D．[5，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化目标函数z=y+mx为y=﹣mx+z，从而结合图象可得目标函数z=y+mx的最大值始终可在一个点上取得，从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下，，化目标函数z=y+mx为y=﹣mx+z，结合图象可知，当2≤m≤4时，目标函数z=y+mx的最大值始终可在点A上取得，由解得，x=2，y=1；即A（2，1）；故z=2m+1，∵2≤m≤4，∴5≤2m+1≤9，故选：D．8．一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为（）A．B．C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】利用三视图的正视图与俯视图，判断几何体的形状，然后推出结果．【解答】解：由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：侧视图为：D．故选：D．9．已知直线1与双曲线C：x2﹣y2=2的两条渐近线分别交于A、B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入渐近线的方程，求得A，B的坐标，可得中点坐标，代入双曲线的方程，运用直角三角形的面积公式计算即可得到．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2即为﹣=1，可得a=b=，渐近线方程为y=±x，若直线l的斜率不存在，可设x=t，即有A（t，t），B（t，﹣t），中点为（t，0），代入双曲线的方程可得t=±，直角三角形AOB的面积为••2=2；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+m，代入渐近线方程，可得A（，），B（，），求得AB的中点为（，），代入双曲线的方程可得m2=2（1﹣k2），①由题意可得A，B在y轴的同侧，可得＞0，①显然不成立．综上可得，△AOB的面积为2．故选：C．10．设X～N（1，δ2），其正态分布密度曲线如图所示，且P（X≥3）=0.0228，那么向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：（随机变量ξ服从正态分布N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜ξ＜μ+δ）=68.26%，P（μ﹣2δ＜ξ＜μ+2δ）=95.44%A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6857，故选：B．11．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ﹣cosαsinβ=1，则sin（2α﹣β）+sin（α﹣2β）的取值范围为（）A．[﹣，1] B．[﹣1，] C．[﹣1，1] D．[1，]【考点】三角函数的化简求值．【分析】先利用正弦的两角和公式化简已知等式求得α=+β，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简，根据β的范围求得cos（β+）的范围，即可得解．【解答】解：∵sinαcosβ﹣sinβcosα=sin（α﹣β）=1，α、β∈[0，π]，∴α﹣β=，可得：α=+β∈[0，π]，∴+β∈[0，π]，∴β+∈[﹣，]，又∵β+∈[，]，∴β+∈[，]，∴cos （β+）∈[﹣，]，∴sin （2α﹣β）+sin （α﹣2β）=sin （β+π）+sin （﹣β）=cos β﹣sin β=cos（β+）∈[﹣1，1]，故选：C ．12．已知函数f （x ）=x+e x ﹣a ，g （x ）=ln （x+2）﹣4e a ﹣x ，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使f （x 0）﹣g （x 0）=3成立，则实数a 的值为（ ） A ．﹣ln2﹣1 B ．﹣1+ln2 C ．﹣ln2 D ．ln2 【考点】函数与方程的综合运用．【分析】令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+2）+4e a ﹣x ，运用导数求出y=x ﹣ln （x+2）的最小值；运用基本不等式可得e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，从而可证明f （x ）﹣g （x ）≥3，由等号成立的条件，从而解得a ．【解答】解：令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+2）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+2），y ′=1﹣=，故y=x ﹣ln （x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln2时，等号成立）；故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln2=﹣1， 即a=﹣1﹣ln2． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（x 2+）dx ．【考点】定积分．【分析】首先利用定积分的运算法则将所求转化为和的积分，结合几何意义，然后分别求原函数代入求值． 【解答】解：（x 2+）dx=2x 2dx+2dx=2×|+2××π×12=．故答案为：．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =2a n ﹣4，n ∈N *，则a n = ． 【考点】数列递推式．【分析】根据已知等式确定出S n ﹣1=2a n ﹣1﹣4（n ＞1），已知等式与所得等式相减，利用数列的递推式得到数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列，利用等比数列性质确定出通项公式即可【解答】解：∵S n =2a n ﹣4①， ∴S n ﹣1=2a n ﹣1﹣4②（n ＞1），①﹣②得：S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1，即a n =2a n ﹣2a n ﹣1， 整理得：a n =2a n ﹣1，即=2，∵S 1=a 1=2a 1﹣4，即a 1=4，∴数列{a n }为首项是4，公比是2的等比数列， 则a n =4×2n ﹣1=2n+1， 故答案为：2n+1．15．已知向量，，，满足||=，||==3，若（）•（2）=0，则||的最大值是 ．【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】求出的夹角，求出的终点坐标，设的终点坐标为（x ，y ），利用向量垂直得出C 的轨迹方程，转化为平面几何中的距离问题． 【解答】解：∵||=，||==3，∴cos ＜＞==．∴的夹角为45°． 设，，，O 为坐标原点．则||=|BC|．设A （，0），B （，），设C （x ，y ），则=（x ﹣2，y ），2=（3﹣3x ，3﹣3y ），∵（）•（2）=0，∴（x ﹣2）（3﹣3x ）+y （3﹣3y ）=0，整理得：x 2+y 2﹣3x ﹣y+4=0，即（x ﹣）2+（y ﹣）2=1．∴点C 的轨迹为以M （，）为圆心，以r=1为半径的圆．∴点B 到圆心M 的距离d=， ∴BC 的最大距离为d+r=．即||的最大值为．故答案为．16．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，M 为抛物线C 的准线与x 轴的交点，若tan ∠AMB=2，则|AB|= ． 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】设AB 方程y=k （x ﹣1），与抛物线方程y 2=4x 联立，利用tan ∠AMB=2，建立k 的方程，即可得出结论．． 【解答】解：焦点F （1，0），M （﹣1，0），设AB 方程y=k （x ﹣1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） ∵tan ∠AMB=2，∴=2，整理可得2k （x 1﹣x 2）=2（x 1+1）（x 2+1）+2y 1y 2…（*） y=k （x ﹣1），与y 2=4x 联立可得k 2x 2﹣（2k 2+4）x+k 2=0 可得x 1x 2=p 2=1，x 1+x 2=+2，y 1y 2=﹣p 2=﹣4代入（*）可得2k （x 1﹣x 2）=2（），∴x 1﹣x 2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±1， ∴x 1+x 2=+2=6，∴|AB|==8 故答案为：8．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2bcosC+c=2a ． （1）求角B 的大小；（2）若BD 为AC 边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC 的面积．【考点】余弦定理；正弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B 的值即可．（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC ，再根据正弦定理得到b ，c 的关系，再利用余弦定理可求b ，c 的值，再由三角形面积公式可求结果； 【解答】解：（1）∵2bcosC+c=2a ．由正弦定理可知：2sinBcosC+sinC=2sinA=2sin （B+C ）=2sinBcosC+2cosBsinC ， ∴sinC=2cosBsinC ， ∴cosB=∵B为三角形内角，∴B=，（2）在△ABC值，cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴==，设b=7x，c=5x，∵BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，∴=25x2+×49x2﹣2×5x××7x×解得x=1，∴b=7，c=5，=bcsinA=×=10．∴S△ABC18．为了解某地区某种农产品的年产量x（单位：吨）对价格y（单位：千元/吨）和利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：x 1 2 3 4 5y 7.0 6.5 5.5 3.8 2.2（Ⅰ）求y关于x的线性回归方程=x+；（Ⅱ）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？（保留两位小数）参考公式：==，=﹣．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数；（II）求出利润z的解析式，根据二次函数的性质而出最大值．【解答】解：（Ⅰ），，，，，，∴，．∴y关于x的线性回归方程为．（Ⅱ）z=x（8.69﹣1.23x）﹣2x=﹣1.23x2+6.69x．所以x=2.72时，年利润z最大．19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论；（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小．【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OD．又PA⊥BD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO．又OB=OD，∴PB=PD．（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==，∴EQ∥AF，EQ=AF，∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，∴AP=AD=．∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．又BD⊥PA，BD∩CD=D，∴PA⊥平面ABCD．以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），P（0，0，），A（0，0，0），Q（0，，）．∴=（0，，），=（，0，﹣）．∵AQ⊥平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量．∴cos＜＞==﹣．设直线PB与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线PB与平面PCD所成角为．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=．（1）求椭圆C的方程；（2）若λ∈[，2]，求弦长|AB|的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；（2）设AB的方程y=k（x﹣1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，，即，∴，则a2=2b2，①把x=1代入，得y=，则，②联立①②得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），联立，得（1+2k2）y2+2ky﹣k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，③由|MA|=λ|MB|，得，∴（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），则﹣y1=λy2，④把④代入③消去y2得：，当λ∈[，2]时，∈[0，]．解得：．|AB|====．∴弦长|AB|的取值范围为．21．已知函数f（x）=﹣x3+ax﹣，g（x）=e x﹣e（其中e为自然对数的底数）（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值．（Ⅱ）设函数h（x）=，讨论函数h（x）零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求出两个函数的导函数，求得它们在x=0处的导数值，由导数值乘积等于﹣1求得a值；（Ⅱ）函数g（x）=e x﹣e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，求出f（x）的导函数，当a≤0时，由导数f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；然后分类讨论判断当a＞0时f（x）的极值点的情况得答案．【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=﹣3x2+a，g′（x）=e x，则f′（0）=a，g′（0）=1，则a=﹣1；（Ⅱ）函数g（x）=e x﹣e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，又f′（x）=﹣3x2+a，①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在实数集上单调递减，且过点（0，﹣），f（﹣1）=，即f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；②当a＞0时，令f′（x）=0，得两根，，则是函数f（x）的一个极小值点，是f（x）的一个极大值点．而f（﹣）=﹣，现在讨论极大值的情况：当＜0，即a＜时，函数f（x）在（0，+∞）恒小于0，此时y=h（x）有两个零点；当=0，即a=时，函数f（x）在（0，+∞）上有一解，此时y=h（x）有三个零点；当＞0，即a＞时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个解，一个小于，一个大于．若f（1）=﹣1+a﹣＜0，即a＜时，＜1，此时y=h（x）有四个零点；若f（1）=﹣1+a﹣=0，即a=时，=1，此时y=h（x）有三个零点；若f（1）=﹣1+a﹣＞0，即a＞时，＞1，此时y=h（x）有四个零点．综上所述，①或a时，y=h（x）有两个零点；②a=或a=时，y=h（x）有三个零点；③时，y=h（x）有四个零点．[选修4－1，几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，求⊙O的半径；（Ⅱ）若E为⊙O上的一点，，DE交AB于点F，求证：PF•PO=PA•PB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）若PD=8，CD=1，PO=9，利用割线定理求⊙O的半径；（Ⅱ）连接OC、OE，先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论．【解答】（Ⅰ）解：∵PA交圆O于B，A，PC交圆O于C，D，∴PD•PC=PB•PA…∴PD•PC=（PO﹣r）（PO﹣r）…∴8×9=92﹣r2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）证明：连接EOCO∵=，∴∠EOA=∠COA∵∠EOC=2∠EDC，∠EOA=∠COA∴∠EDC=∠AOC，∴∠COP=∠FDP…∵∠P=∠P，∴△PDF～△POC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴PF•PO=PD•PC，∵PD•PC=PB•PA，∴PF•PO=PA•PB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4－4，坐标系与参数方程]23．在直角坐标xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数）在以O为极点．x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ﹣2cosθ．（I）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程：（Ⅱ）若直线l与y轴的交点为P，直线l与曲线C的交点为A，B，求|PA||PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中，即可得出直线l的直角坐标方程．由ρ=2cosθ+4sinθ，得ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ，把代入即可得出曲线C的直角坐标方程．（2）分别求出P、A、B的坐标，根据两点之间的距离公式计算即可．【解答】解：（1）由x=t，得t=x，将其代入y=3+t中得：y=x+3，∴直线l的直角坐标方程为x﹣y+3=0．由ρ=4sinθ﹣2cosθ，得ρ2=4ρsinθ﹣2ρcosθ，∴x2+y2=4y﹣2x，即x2+y2+2x﹣4y=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x﹣4y=0；（2）由l：y=x+3，得P（0，3），由，解得或，∴|PA||PB|=•=3．[选修4－5，不等式选讲]24．设f（x）=|ax﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≤2的解集为[﹣6，2]，求实数a的值；（Ⅱ）当a=2时，若存在x∈R，使得不等式f（2x+1）﹣f（x﹣1）≤7﹣3m成立，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论a的符号，求出a的值即可；（Ⅱ）令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1），通过讨论x的范围，得到函数的单调性，求出h （x）的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）显然a≠0，…当a＞0时，解集为，，无解；…当a＜0时，解集为，令，，综上所述，．…（Ⅱ）当a=2时，令h（x）=f（2x+1）﹣f（x﹣1）=|4x+1|﹣|2x﹣3|=…由此可知，h（x）在单调减，在单调增，在单调增，则当时，h（x）取到最小值，…由题意知，，则实数m的取值范围是…2016年10月13日。