2021版高考数学二模试卷(理科)
湖南省湘潭市2021年高考复习数学二模试卷(理科)
C．（2，2）
D．（2，﹣2）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】结合复数的运算法则以及复数的几何意义进行求解即可．
7
【解答】解：z =
‒
4 1
‒
푖
=‒
1
4 +
푖
=‒
(1
4(1 ‒ 푖) + 푖)(1 ‒
푖)
=‒
4
‒ 4푖 2
3
A．3x + 2，3s2+2 B．3x，3s2
C．3x + 2，9s2
D．3x + 2，9s2+2
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；5I：概率与统计；66：数据分析．
【分析】根据题意，由平均数公式可得x = 1010（x1+x2+…+x100），s2
（1）求 sinA； （2）若 3csinA = 2asinB，△ABC 的面积为 2，求△ABC 的周长
18．（12 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，△PAB 和△PBC 是两个边 长为 2 的正三角形，DC＝4，O 为 AC 的中点，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证：OE∥平面 PCD； 2 （Ⅱ）在线段 DP 上是否存在一点 Q，使直线 BQ 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 ？若存在，求出点 Q 的位置；若不存在，说明理由．
C．7
D．6
6．（5 分）已知数列{an}等比数列，首项 a1＝2，数列{bn}满足 bn＝log2a n，且 b 2+b 3+b 4＝9，则 a 5＝ （）
2021年高三二模数学(理)试题含解析
2021年高三二模数学（理）试题含解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）=（）A． B． C． D．【考点】：运用诱导公式化简求值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解析】：解：sin（﹣）=sin（﹣4π+）=sin=，故选：C．【点评】：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）设a=logπ，π，c=π4，则a，b，c的大小关系是（）4A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b【考点】：对数值大小的比较．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解析】：解：∵0＜a=log4π＜1，π＜0，c=π4，＞1，∴c＞a＞b，故选：D．【点评】：本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．3．（5分）已知{a n}为各项都是正数的等比数列，若a4•a8=4，则a5•a6•a7=（）A．4 B．8 C．16 D．64【考点】：等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由等比数列的性质可得a6=2，而a5•a6•a7=a63，代值计算可得．【解析】：解：∵{a n}为各项都是正数的等比数列且a4•a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4•a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5•a6•a7=a63=8，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的性质，属基础题．4．（5分）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，1，2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（）A．1＞2，s1＜s2 B．1=2，s1＜s2 C．1=2，s1=s2 D．1＜2，s1＞s2【考点】：众数、中位数、平均数；茎叶图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据茎叶图中的数据，计算出甲、乙同学测试成绩的平均数与方差、标准差，即可得出结论【解析】：解：由茎叶图可知，甲的成绩分别为：78，79，84，85，85，86，91，92，乙的成绩分别为：77，78，83，85，85，87，92，93，所以=（78+79+84+85+85+86+91+92）=85，s12=[（78﹣85）2+（79﹣85）2+0+0+（86﹣85）2+（91﹣85）2+（92﹣85）2]=，2=（77+78+83+85+85+87+92+93）=85，s22=[（77﹣85）2+（78﹣85）2+0+0+（87﹣85）2+（92﹣85）2+（93﹣85）2]=，∴1=2，s1＜s2故选：B【点评】：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了平均数、方差、标准差的计算问题，是基础题5．（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分不必要条件．【解析】：解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由¬p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“¬p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“¬p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．6．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3] B．[1，11] C．[1，3] D．[﹣1，11]【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，通过讨论x的范围，求出直线的表达式，结合图象从而求出z的范围．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y=2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值=﹣1，x≥0时，直线方程为：y=﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值=11，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．7．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=（）A．336 B．355 C．1676 D．xx【考点】：数列与函数的综合．【专题】：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】：直接利用函数的周期性，求出函数在一个周期内的和，然后求解即可．【解析】：解：定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．可得函数的周期为：6，当x∈[﹣3，﹣1）时，f（x）=﹣（x+2）2，当x∈[﹣1，3）时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，xx=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故选：A．【点评】：本题考查数列与函数相结合，函数的值的求法，函数的周期性的应用，考查计算能力．8．（5分）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】：抽象函数及其应用．【专题】：压轴题．【分析】：首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解析】：解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．【点评】：本题考查对新规则的阅读理解能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】：二项式系数的性质．【专题】：二项式定理．【分析】：首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x 得指数为0求得r值，则答案可求．【解析】：解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．10．（5分）已知正数x，y满足x+y=xy，则x+y的最小值是4．【考点】：基本不等式．【专题】：计算题．【分析】：依题意由基本不等式得x+y=xy≤，从而可求得x+y的最小值．【解析】：解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤，又x+y=xy，∴x+y≤，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4【点评】：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，属于基础题．11．（5分）若直线为参数）与曲线为参数，a＞0）有且只有一个公共点，则a=．【考点】：参数方程化成普通方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：将直线和曲线的参数方程转化为圆的普通方程即可．【解析】：解：直线的普通方程为x+y=2，曲线的普通的方程为（x﹣4）2+y2=a2（a＞0），表示为圆心坐标为（4，0），半径为a，若直线和圆只有一个公共点，则直线和圆相切，则圆心到直线的距离d===a，即a=，故答案为：．【点评】：本题主要考查参数方程和普通方程的转化，以及直线和圆的位置关系的应用，将参数方程转化为普通方程是解决参数方程的基本方法．12．（5分）若双曲线=1（a＞0，b＞0）截抛物线y2=4x的准线所得线段长为b，则a=．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线方程，求得弦长，解方程，即可得到a．【解析】：解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，代入双曲线=1，可得y=±b，由题意可得，b=2b，解得a=．故答案为：．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查抛物线的准线的运用，考查运算能力，属于基础题．13．（5分）已知非零向量，满足||=1，与﹣的夹角为120°，则||的取值范围是（0，]．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：设，，由已知与﹣的夹角为120°可得∠ABC=60°，由正弦定理=得||=sinC≤，从而可求||的取值范围【解析】：解：设，，如图所示：则由又∵与﹣的夹角为120°，∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sinC≤∴||∈（0，]故答案为：．【点评】：本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，属于中档题．14．（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．给出下列四个命题：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有2个．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个．④若p=q，则点M的轨迹是一条过O点的直线．其中所有正确命题的序号为①②③．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据点M的“距离坐标”的定义即可判断出正误．【解析】：解：①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，正确．②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（0，q）（q≠0）或（p，0）（p≠0），因此满足条件的点有且仅有2个，正确．③若pq≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且仅有4个，如图所示，正确．④若p=q，则点M的轨迹是两条过O点的直线，分别为交角的平分线所在直线，因此不正确．综上可得：只有①②③正确．故答案为：①②③．【点评】：本题考查了新定义“距离坐标”，考查了理解能力与推理能力、数形结合的思想方法，属于中档题．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的定义域及其最大值；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【考点】：三角函数的最值．【专题】：三角函数的求值．【分析】：（Ⅰ）解sinx≠0可得f（x）的定义域，化简可得f（x）=，可得f（x）的最大值；（Ⅱ）由和x∈（0，π）可得f（x）在（0，π）上的单调递增区间．【解析】：解：（Ⅰ）由sinx≠0，得x≠kπ（k∈Z）．∴f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}，∵=2cosx﹣2sinx=，∴f（x）的最大值为；（Ⅱ）∵函数y=cosx的单调递增区间为[2kπ+π，2kπ+2π]（k∈Z）由，x≠kπ（k∈Z），且x∈（0，π），∴f（x）在（0，π）上的单调递增区间为【点评】：本题考查三角函数的最值和单调性，属基础题．16．（13分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（Ⅱ）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．求出A，B的概率，然后求解甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率．（Ⅱ）X的可能取值为：0，1，2，3．求出概率，得到X为分布列，然后求解期望．【解析】：（共13分）解：（Ⅰ）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”．则，．因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为．…（4分）（Ⅱ）设事件C为“丙同学选中C课程”．则．X的可能取值为：0，1，2，3．．=．=．．X为分布列为：．…（13分）【点评】：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（14分）如图，三棱柱ABC﹣DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，侧面BEFC⊥侧面ADEB，AB=4，∠DEB=60°，G是DE的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AGF；（Ⅱ）求证：GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明CE∥平面AGF；（Ⅱ）根据线面垂直的判定定理即可证明GB⊥平面BEFC；（Ⅲ）在建立空间直角坐标系，利用向量法结合二面角的大小建立方程关系即可得到结论．【解析】：（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．因为G为DE的中点，所以HG∥CE．因为CE⊄平面AGF，HG⊂平面AGF，所以CE∥平面AGF．（Ⅱ）证明：BE=1，GE=2，在△GEB中，∠GEB=60°，BG=．因为BG2+BE2=GE2，所以GB⊥BE．因为侧面BEFC⊥侧面ADEB，侧面BEFC∩侧面ADEB=BE，GB⊂平面ADEB，所以GB⊥平面BEFC．（Ⅲ）解：BG，BE，BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B﹣xyz．假设在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°．平面BGE的法向量m=（0，0，1），设P（0，0，λ），λ∈[0，1]．，E（0，1，0）．所以=（﹣，0，λ），．设平面PGE的法向量为n=（x，y，z），则所以令z=1，得y=λ，，所以PGE的法向量为．因为m•n=1，所以，解得∈[0，1]，故．因此在线段BC上存在一点P，使二面角P﹣GE﹣B为45°，且．【点评】：本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判定，以及空间二面角的求解和应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．18．（13分）已知函数f（x）=x+a•e﹣x．（Ⅰ）当a=e2时，求f（x）在区间[1，3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；f′（x）=1﹣e2﹣x，从而由导数的正负确定函数的单调性及最值；（Ⅱ）“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a；且f′（x）=1﹣ae﹣x，从而分当a≤0时，当a＞0时两大类讨论，再在a＞0时分a≥e3时，e﹣3＜a＜e3时与0＜a≤e﹣3时讨论，从而证明．【解析】：解：（Ⅰ）当a=e2时，f（x）=x+e2﹣x，x∈[1，3]；∵f′（x）=1﹣e2﹣x，由f′（x）=0得x=2；则x，f′（x），f（x）关系如下：所以当x=2时，f（x）有最小值为3．（Ⅱ）证明：“存在实数x0∈[﹣3，3]，有f（x0）＞a”等价于f（x）的最大值大于a．因为f′（x）=1﹣ae﹣x，所以当a≤0时，x∈[﹣3，3]，f′（x）＞0，f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当a≤0时命题成立；当a＞0时，由f′（x）=0得x=lna．则x∈R时，x，f′（x），f（x）关系如下：（1）当a≥e3时，lna≥3，f（x）在（﹣3，3）上单调递减，所以f（x）的最大值f（﹣3）＞f（0）=a．所以当a≥e3时命题成立；（2）当e﹣3＜a＜e3时，﹣3＜lna＜3，所以f（x）在（﹣3，lna）上单调递减，在（lna，3）上单调递增．所以f（x）的最大值为f（﹣3）或f（3）；且f（﹣3）＞f（0）=a与f（3）＞f（0）=a必有一成立，所以当e﹣3＜a＜e3时命题成立；（3）当0＜a≤e﹣3时，lna≤﹣3，所以f（x）在（﹣3，3）上单调递增，所以f（x）的最大值为f（3）＞f（0）=a．所以当0＜a≤e﹣3时命题成立；综上所述，对任意实数a都存在x∈[﹣3，3]使f（x）＞a成立．【点评】：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于中档题．19．（13分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：|AM|•|AN|=2|OP|2．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由离心率公式和a，bc的关系和椭圆的定义，得到方程组，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AM的方程为：y=k（x+2），联立椭圆方程，运用韦达定理，设A（﹣2，0），M（x1，y1），可得M的坐标，运用两点的距离公式，计算|AM|，|AN|，再由直线y=kx代入椭圆方程，求得P的坐标，得到|OP|，计算即可得证结论．【解析】：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，由题意知解得a=2，b=1．所以椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设直线AM的方程为：y=k（x+2），则N（0，2k）．由得（1+4k2）x2+16k2x+16k2﹣4=0（*）．设A（﹣2，0），M（x1，y1），则﹣2，x1是方程（*）的两个根，所以．所以．=．．则．设直线OP的方程为：y=kx．由得（1+4k2）x2﹣4=0．设P（x0，y0），则，．所以，．所以|AM|•|AN|=2|OP|2．【点评】：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=a（a≠3），，设，n∈N*．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）若a n+1≥a n，n∈N*，求实数a的最小值；（3）当a=4时，给出一个新数列{e n}，其中，设这个新数列的前n项和为C n，若C n可以写成t p（t，p∈N*且t＞1，p＞1）的形式，则称C n为“指数型和”．问{C n}中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．【考点】：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】：综合题；新定义．【分析】：（1）依题意，可求得S n+1=2S n+3n，当a≠3时，=2，利用等比数列的定义即可证得数列{b n}是等比数列；（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，从而可求得a n=，由a n+1≥a n，可求得a≥﹣9，从而可求得实数a的最小值；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，可证得对正整数n都有C n=2n+1，依题意由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．分①当p为偶数时与②当p为奇数讨论即可得到答案．【解析】：解：（1）a n+1=S n+3n⇒S n+1=2S n+3n，b n=S n﹣3n，n∈N*，当a≠3时，===2，所以{b n}为等比数列．b1=S1﹣3=a﹣3，b n=（a﹣3）×2n﹣1．（2）由（1）可得S n﹣3n=（a﹣3）×2n﹣1，a n=S n﹣S n﹣1，n≥2，n∈N*，∴a n=，∵a n+1≥a n，∴a≥﹣9，又a≠3，所以a的最小值为﹣9；（3）由（1）当a=4时，b n=2n﹣1，当n≥2时，C n=3+2+4+…+2n=2n+1+1，C1=3，所以对正整数n都有C n=2n+1．由t p=2n+1，t p﹣1=2n，（t，p∈N*且t＞1，p＞1），t只能是不小于3的奇数．①当p为偶数时，t p﹣1=（+1）（﹣1）=2n，因为t p+1和t p﹣1都是大于1的正整数，所以存在正整数g，h，使得t p+1=2g，﹣1=2h，2g﹣2h=2，2h（2g﹣h﹣1）=2，所以2h=2且2g﹣h﹣1=1⇒h=1，g=2，相应的n=3，即有C3=32，C3为“指数型和”；②当p为奇数时，t p﹣1=（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1），由于1+t+t2+…+t p﹣1是p个奇数之和，仍为奇数，又t﹣1为正偶数，所以（t﹣1）（1+t+t2+…+t p﹣1）=2n不成立，此时没有“指数型和”．【点评】：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列求和，突出逻辑思维与创新思维、综合分析、运算能力的考查，属于难题．=24930 6162 慢D("K30566 7766 睦36539 8EBB 躻c34584 8718 蜘33691 839B 莛28418 6F02 漂33860 8444 葄21443 53C3 參。
安徽省黄山市2021届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
2021年安徽省黄山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：复数的代数表示法及其几何意义；必要条件、充分条件与充要条件的推断．【专题】：计算题．【分析】：复数的在与分母同乘分母的共轭复数化简为a+bi的形式，通过对应的点位于其次象限在其次象限，求出a的范围，即可推断它与a＜﹣1的充要条件关系．【解析】：解：复数==，由于复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限，所以，解得a，所以“复数（a∈R，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于其次象限”是“a＜﹣1”的必要而不充分条件．故选B．【点评】：本题考查复数的代数形式的混合运算，考查充要条件的应用，考查计算力量．2．（5分）已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y2=4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的标准方程；抛物线的简洁性质；双曲线的简洁性质．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：先依据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，依据离心率进而求得长半轴，最终依据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．【解析】：解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），双曲线的方程为故选D 【点评】：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了对圆锥曲线基础学问的综合运用．3．（5分）已知是其次象限角，则=（）A．B．C．D．【考点】：两角和与差的正切函数．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由诱导公式化简可得，由平方关系和条件求出sinα，由商的关系求出tanα，利用两角和的正切函数求出的值．【解析】：解：由得，，由于α是其次象限角，所以sinα==，则=，所以====，故选：A．【点评】：本题考查两角和的正切函数，诱导公式，以及同角三角函数的基本关系的应用，留意三角函数值的符号，属于中档题．4．（5分）已知向量与的夹角为若，则实数m=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：平面对量数量积的运算．【专题】：平面对量及应用．【分析】：求出=3×=3，化简开放（3）•（m）=0，代入||=3，||=2，即可得出42m=87，求出m即可．【解析】：解：∵向量与的夹角为，||=3，||=2，∴=3×=3，∵=3，=m ，⊥，∴（3）•（m）=0即3m||2+（5m﹣9）﹣15||2=0，42m=87m=．故选：A【点评】：本题考查了平面对量的运算，娴熟运用公式，计算精确，难度不大，关键是依据数量积运算，结合运算法则，运用好向量运算的特殊性．5．（5分）已知Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，A是由直线y=0，x=a（0＜a≤1）和曲线y=x3围成的曲边三角形的平面区域，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则a的值为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【分析】：依据题意，易得区域Ω的面积，由定积分公式，计算可得区域A的面积，又由题意，结合几何概型公式，可得=，解可得答案．【解析】：解：依据题意，区域Ω即边长为1的正方形的面积为1×1=1，区域A即曲边三角形的面积为∫0a x3dx=x4|0a =a4，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A 内的概率是，则有=，解可得，a=，故选D．【点评】：本题考查几何概型的计算，涉及定积分的计算，关键是用a表示出区域A的面积．6．（5分）下列四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）=﹣p；④在回归直线方程y=0．lx+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，其中正确的命题个数是（）A．．1个B．2个C．．3个D．．4个【考点】：命题的真假推断与应用．【专题】：概率与统计；简易规律．【分析】：①这样的抽样是系统抽样，即可推断正误；②利用方差的计算公式及其性质，即可推断正误；③利用正态分布的对称性可得：P（﹣l＜ξ＜0）=，即可推断正误；④利用斜率的意义，即可推断正误．【解析】：解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每隔10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，因此不正确；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，正确；③设随机变量ξ听从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=p，则P（﹣l＜ξ＜0）==﹣p，正确；④在回归直线方程y=0.1x+10中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，正确．其中正确的命题个数是3．故选：C．【点评】：本题考查了概率统计的有关学问、简易规律的判定方法，考查了推理力量，属于中档题．7．（5分）在平面直角坐标系内，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，直线l 的参数方程是为参数）．若M，N分别为曲线C与直线l上的动点，则|MN|的最小值为（）A．+1 B．3﹣1 C．﹣1 D．3﹣2【考点】：参数方程化成一般方程．【专题】：直线与圆；坐标系和参数方程．【分析】：将ρ=2cosθ转化为一般方程，将直线l的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离，由直线与圆的位置关系求出|MN|的最小值．【解析】：解：由ρ=2cosθ得，ρ2=2ρcosθ，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2=2x，即x2+y2﹣2x=0，则曲线C是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，由得，x﹣y+5=0，所以直线l的直角坐标方程是x﹣y+5=0，则圆心（2，0）到直线l的距离d==＞1，由于M，N分别为曲线C与直线l上的动点，所以|MN|的最小值为﹣1，故选：B．【点评】：本题考查圆的极坐标方程，直线的参数方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，考查运算求解力量，化归与转化思想，属于中档题．8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四周体ABCD的顶点坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1）（0，0，0），则该四周体的正视图的面积不行能为（）A．B．C．D．【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中的点的坐标．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由题意画出几何体的直观图，可知直观图为连接棱长是1的正方体的四个顶点组成的正四周体，其最大正投影面为边长是1的正方形，由此断定其正视图的面积不会超过1，则答案可求．【解析】：解：一个四周体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是：（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是以正方体的顶点为顶点的一个正四周体，其正视图的最大投影面是在x﹣O﹣y或x﹣O﹣z或y﹣O﹣z面上，投影面是边长为1的正方形，∴正视图的最大面积为1，∴不行能为，故选：D．【点评】：本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图等学问，考查数形结合的数学思想方法，以及空间想象力量、推理论证力量和运算求解力量，是中档题．9．（5分）某人设计一项单人玩耍，规章如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，假如掷出的点数为i（i=1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，始终循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的全部不同走法共有（）A．22种B．24种C．25种D．36种【考点】：排列、组合的实际应用．【专题】：计算题；压轴题．【分析】：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，得到结果．【解析】：解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33=6种结果，3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．依据分类计数原理知共有24+1=25种结果，故选C．【点评】：排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的挨次则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有肯定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．10．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【考点】：根的存在性及根的个数推断．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】：由题意可推断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数，令g（x）=log a（x+1），画出f （x）与g（x）在时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点，g（x）在（0，+∞）上单调递减，则，解得：0＜a ＜，故选A．【点评】：本题考查了数形结合的思想，同时考查了同学的作图力量与转化力量，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上）11．（5分）已知（1﹣x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n（n∈N，n＞4）若2a2+a n一3=0，则n=8．【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：由二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，可得a n=（﹣1）r•，于是有2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，由此可解得自然数n的值．【解析】：解：由题意得，该二项开放式的通项公式T r+1=•（﹣1）r x r，∴其系数a n=（﹣1）r•，∵2a2+a n﹣3=0，∴2（﹣1）2+（﹣1）n﹣3=0，∴2×﹣=0，∴n﹣2=6．∴n=8．故答案为：8【点评】：本体考察二项式定理的应用，着重考察二项式系数的概念与应用，由二项开放式的通项公式得到系数a n=（﹣1）r•是关键，属于中档题．12．（5分）设x，y满足，则z=x+y的最小值为2．【考点】：简洁线性规划的应用．【专题】：计算题；数形结合．【分析】：本题考查的学问点是简洁线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+y中，求出z=x+y的最小值．【解析】：解：满足约束条件的平面区域如图示：由图得当过点B（2，0）时，z=x+y有最小值2．故答案为：2．【点评】：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．13．（5分）某调查机构对本市学校生课业负担状况进行了调查，设平均每人每天做作业的时间为x分钟．有1000名学校生参与了此项调查，调查所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率是0.32．【考点】：循环结构；分布的意义和作用．【专题】：图表型．【分析】：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数．【解析】：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是统计1000名中同学中，平均每天做作业的时间不在0～60分钟内的同学的人数．由输出结果为680则平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的人数为1000﹣680=320故平均每天做作业的时间在0～60分钟内的同学的频率P==0.32故答案为：0.32【点评】：本题考查的学问点是程序框图和分层抽样，依据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．14．（5分）已知函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，则的取值范围是．【考点】：数列的函数特性．【专题】：函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列．【分析】：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N *，若数列{a n}是单调递增数列，可得，解得2≤a ＜3．=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，利用导数争辩其单调性即可得出．【解析】：解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n ∈N*，若数列{a n}是单调递增数列，∴，解得2≤a ＜3．∴=a+1++1，令a+1=t∈[3，4），f（t）=t++1，f′（t）=1﹣=＞0，∴f（t）在t∈[3，4）单调递增；∴f（3）≤f（t）＜f（4），可得．∴的取值范围是．故答案为：．【点评】：本题考查了数列的函数性质、利用导数争辩函数的单调性、一次函数与指数函数的单调性，考查了推理力量与计算力量，属于中档题．15．（5分）已知集合A={a1，a2，…，a n}中的元素都是正整数，且a l＜a2＜…＜a n，集合A具有性质P：对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥．给出下列命题：①集合{1，2，3，4}不具有性质P；②；③不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立；④A中最多可以有10个元素．其中正确命题的序号是②③（将全部正确命题的序号都填上）【考点】：命题的真假推断与应用；元素与集合关系的推断．【专题】：压轴题．【分析】：①利用性质对任意的x，y∈A，且x≠y，有|x﹣y|≥，代入即可推断；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i≥（i=1，2，n﹣1）．由此能够证明；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，由a i≥i即可得推断；④由③，结合不等式可推导出n≤9．【解析】：解：①由于|1﹣2|，|1﹣3|，|1﹣4|，|2﹣3|，|2﹣4|，|3﹣4|，∴集合{1，2，3，4}具有性质P，故不正确；②依题意有|a i﹣a i+1|≥（i=1，2，n﹣1），又a1＜a2＜…＜a n，因此a i+1﹣a i ≥（i=1，2，n﹣1）．所以（i=1，2，n﹣1）；所以++…+，即，故正确；③由＞，a≥1可得1＞，因此n＜26．同理，可知，又a i≥i ，可得，所以不等式i（n﹣i）＜25对于i=1，2，…，n﹣1均成立，故正确；④由③，当n≥10时，取i=5，则i（n﹣i）=5（n﹣5）≥25，从而n＜10，而又当n≤9时，i（n﹣i）≤=＜25，所以n≤9，故不正确；故答案为：②③．【点评】：本题考查数列的性质的综合运用，解题时要认真审题，留意公式的合理运用，合理地进行等价转化．三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内．）16．（12分）已知锐角三角形ABC中内角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2+b2=6abcosC，且sin2C=2sinAsinB．（1）求角C的值；（2）设函数，且f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，求f（A）的取值范围．【考点】：余弦定理；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：计算题；解三角形．【分析】：（1）利用正弦定理与余弦定理可求得cosC的值，即可求得C的值；（2）化简函数，利用周期确定ω，进而可得函数的解析式，即可求f（A）的取值范围．【解析】：解：（1）∵sin2C=2sinAsinB，∴由正弦定理有：c2=2ab，由余弦定理有：a2+b2=c2+2abcosC=c2（1+cosC）①又a2+b2=6abcosC=3c2cosC②由①②得1+cosC=3cosC，∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（2）=sin（ωx ﹣）∵f（x）图象上相邻两最高点间的距离为π，∴T=π∴∴ω=2∴f（x）=sin（2x ﹣）∴f（A）=sin（2A ﹣）∵＜A ＜，∴0＜2A ﹣＜∴0＜sin（2A ﹣）≤1∴0＜f（A）≤．【点评】：本题考查正弦定理与余弦定理，考查三角函数的图象与性质，考查同学的计算力量，属于中档题．17．（12分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C l中，侧面A1ACC1⊥底面ABC，A1C=CA=AB=a，AA1=a，AB⊥AC，D为AA1的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A l（Ⅱ）在侧棱BB1上确定一点E，使得二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【考点】：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【专题】：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】：（Ⅰ）通过线面垂直的判定定理及等腰三角形的性质可得结论；（Ⅱ）以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则平面A1C1A的一个法向量与平面EA1C1的一个法向量的夹角的余弦值的确定值为，计算即可．【解析】：（Ⅰ）证明：侧面A1ACC1⊥底面ABC，AB⊥AC，平面A1ACC1∩底面ABC=AC，∴AB⊥平面A1ACC1，又CD⊂平面A1ACC1，∴CD⊥AB，又∵AC=A1C，D为AA1的中点，∴CD⊥AA1，∴CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：已知A1C⊥平面ABC，如图所示，以点C为原点，以CA、CA1分别为x、z轴建立坐标系，则有A（a，0，0），B（a，a，0），A1（0，0，a），B1（0，a，a），C1（﹣a，0，a），设=λ（0≤λ≤1），则点E的坐标为（（1﹣λ）a，a，λa）．由题意得平面A1C1A 的一个法向量为=（0，1，0），设平面EA1C1的一个法向量为=（x，y，z），=（﹣a，0，0），=（（1﹣λ）a，a，（λ﹣1）a），由，得，令y=1，则有=（0，1，），∴==，解得λ=1﹣，∴当=（1﹣）时，二面角E﹣A1C1一A 的大小为．【点评】：本题考查空间几何图形中线面关系的平行或垂直的证明及空间角的计算，考查空间想象力量，留意解题方法的积累，属于中档题．18．（12分）深圳市某校中同学篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）求其次次训练时恰好取到一个新球的概率．【考点】：离散型随机变量的期望与方差．【分析】：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2，设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2），求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望；（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B．而大事A0B、A1B、A2B互斥，由此可得结论．【解析】：解：（1）ξ的全部可能取值为0，1，2设“第一次训练时取到i个新球（即ξ=i）”为大事A i（i=0，1，2）．由于集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以P（A0）=P（ξ=0）==；P（A1）=P（ξ=1）==；P（A2）=P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=1（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为大事B，则“其次次训练时恰好取到一个新球”就是大事A0B+A1B+A2B，而大事A0B、A1B、A2B互斥，所以P（A0B+A1B+A2B）=P（A0B）+P（A1B）+P（A2B）=++==．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出概率是关键．19．（12分）己知椭圆的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=一1上，且椭圆的离心率．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ的中点直线AM交直线，于点C，N为线段BC 的中点，求的值．【考点】：椭圆的简洁性质；平面对量数量积的运算．【专题】：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）通过点B在直线l：y=一1上，得b=1，再依据=及a、c与b之间的关系，易得a2=4，从而可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则点P满足椭圆方程，依据题意，易得M （，y0）、N （，﹣1），计算即可•【解析】：解：（Ⅰ）∵且点B在直线l：y=一1上，∴b=1，又∵=，a2﹣c2=b2=1∴a2=4，∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0），x0≠0，则Q（0，y0），且，∵M为线段PQ的中点，∴M （，y0），∵A（0，1），∴直线AM 的方程为：，令y=﹣1，得C （，﹣1），∵B（0，﹣1），N为线段BC的中点，∴N （，﹣1），∵=（﹣，y0+1），=（，y0），∴=（﹣）+y0（y0+1）==﹣+y0=1﹣（1+y0）+y0=0•【点评】：本题考查椭圆方程，中点坐标公式，向量数量积的运算，留意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）设函数f（x）=lnx﹣p（x﹣1），p∈R．（1）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（2）设函数g（x）=xf（x）+P（2x2﹣x﹣1），对任意x≥1都有g（x）≤0成立，求P的取值范围．【考点】：利用导数争辩函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（1）求导函数，利用导数大于0，求函数的单调增区间，导数小于0，求函数的单调减区间；（2）对于任意实数x≥1，g（x）≤0恒成立，等价于xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g （1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数，再分别参数p，问题转化为求函数的最小值．【解析】：解：（1）当p=1时，f（x）=ln x﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1，令f′（x）＞0，∴x∈（0，1），故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；令f′（x）＜0，得x∈（1，+∞），故函数f（x）的单调减区间为（1，+∞）；（2）由题意函数g（x）=xf（x）+p（2x2﹣x﹣1）=xlnx+p（x2﹣1），则xlnx+p（x2﹣1）≤0，设g（x）=xlnx+p（x2﹣1），由于g（1）=0，故只须g（x）=xlnx+p（x2﹣1）在x≥1时是减函数即可，又由于g′（x）=lnx+2px+1，故lnx+2px+1≤0在x≥1时恒成立，即p在x≥1时恒成立，由于时，x=1，得当x=1时，取最小值﹣，∴p≤﹣．【点评】：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查利用导数求函数的单调区间，同时考查了函数最值的运用，有肯定的综合性．21．（14分）己知各项均为正数的数列{a n}满足a n+12=2a n2+a n a n+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n =是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列？若存在，求出全部的m，n的值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）令c n =，记数列{c n}的前n项和为S n，其中n∈N*，求S n的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，由于各项均为正数的数列{a n}，可得a n+1=2a n，再利用a2+a4=2a3+4，及等比数列的通项公式即可得出．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n 成等比数列，则，化为=，由＞0，解出m的范围，再依据正整数m，n（1＜m＜n）即可得出．（III）c n ==，利用等比数列的前n项和公式、“裂项求和”方法可得S n，再利用数列的单调性即可得出．【解析】：解：（I）由a n+12=2a n2+a n a n+1，可得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）=0，∵各项均为正数的数列{a n}，∴a n+1=2a n，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列．∵a2+a4=2a3+4，∴=+4，解得a1=2．∴．（II）b n ==，假设存在正整数m，n（1＜m＜n），使得b1，b m，b n成等比数列，则，化为=，由＞0，解得，又正整数m，n（1＜m＜n），∴m=2，此时n=12．因此当且仅当m=2，n=12时，使得b1，b m，b n成等比数列．（III）c n ====，∴S n =++…+=+=，∵数列即单调递减，∴0＜≤=．∴≤＜．∴S n 的取值范围是．【点评】：本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了变形力量，考查了推理力量与计算力量，属于难题．。
2021年高三下学期二模考试数学(理)试题 含解析
2021年高三下学期二模考试数学（理）试题含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21{|log,1},{|,2}U y y x x P y y xx==>==>，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】试题分析：由题意，，则，选C.考点：集合的运算.2.下列四个函数中，既是奇函数又是定义域上的单调递增的是（）A． B． C． D．【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性.3.已知复数满足 (其中i为虚数单位)，则的虚部为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：由题意，，虚部为.考点：复数的概念与运算.4.等比数列的前n项和为，已知，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：，所以，即，所以.考点：等比数列的性质.5.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23【答案】B【解析】试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当过点时，取得最小值7.考点：线性规划.6.投掷两枚骰子，则点数之和是8的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】试题分析：投掷两枚骰子，点数形成的事件空间有种，其中点数和为8的事件有共5种，因此所求概率为.考点：古典概型.7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．4【答案】A【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱柱截去了一块，如图，它可以看作是一个三棱柱与四棱锥组合而成，.NM FEDA考点：三视图，几何体的体积.8.执行下方的程序框图，如果输入的，那么输出的的值为（）A． B．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由程序框图，每次循环中，参数的值依次为，，，，这里结束循环，输出结果为B. 考点：程序框图.9.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点，则 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得，，所以，所以323sin(2)sin[2(2)]sin 1281232k ππππαπ-=+-==. 考点：三角函数的定义与求值.10.在四面体S-ABC 中，平面,120,2,1ABC BAC SA AC AB ∠====，则该四面体的外接球的表面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设的外心为，222222cos 12212cos120BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯︒，，则，该四面体外接球半径为，由于平面，则有2222212740(2)(2)2()33R SA O A =+=+=，所以.考点：球与多面体，球的表面积.11.已知F 是抛物线的焦点，直线与该抛物线交于第一象限内的点，若，则的值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】试题分析：设，由消去得，则①，②，又，，由已知③，由②③得，代入①得（在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系. 12.设函数()()2212,2(),,0,1,2,,9999i if x x f x x x a i ==-==，记 ，则下列结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B考点：函数的单调性，比较大小．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量，且与共线，则x 的值为 【答案】 【解析】试题分析：，由与共线得，解得．考点：向量的共线．14.已知8280128(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-，则【答案】8 【解析】 试题分析：，. 考点：二项式定理.15.设点P 、Q 分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P 、Q 两点间距离的最小值为 【答案】 【解析】试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.16.在平面直角坐标系中有一点列对，点在函数的图象上，又点构成等腰三角形，且 若对，以为边长能构成一个三角形，则的取值范围是 【答案】 【解析】试题分析：由题意点构成以为顶点的等腰三角形，则，，以为边长能构成一个三角形，因为，则有，，所以.考点：等腰三角形的性质，解一元二次不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别为，且满足 （1）求角B 的大小； （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）题设已知条件是边角的关系，要求的是角，因此利用正弦定理把边化为角，得（同时用诱导公式化简），整理得，在三角形中有，因此得，；（2）由面积公式有，从而得，再结合余弦定理可得.试题解析：（1）…………………………1分…………………………3分∴…………………………5分∴…………………………6分(2) 由得a c＝4…………………………8分.由余弦定理得b2＝a2＋c2+ac…………………10分∴ a＋c …………………………12分考点：正弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积公式，余弦定理.18.（本小题满分12分）4月23人是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？（2）将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）【答案】（1）见解析，与性别有关；（2）分布列为X 0 1 2 3P期望为，方差为【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图,读书迷占比为40%，非读书迷占比为60%，再由表格中的两个数字可填全表格，根据计算公式得，因此有99%的把握认为“读书迷”与性别有关；（2）题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3），可得X的分布列，由公式可得期望与方差. 试题解析：（1）完成下面的列联表如下非读书迷读书迷合计男40 15 55女20 25 45合计60 40 100……………… 3分≈8.2498.249 > 6.635，故有99%的把握认为“读书迷”与性别有关.……………..6分（2）视频率为概率.则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为. 由题意可知X～B（3，），P(x=i)= （i=0，1，2，3）………………8分从而分布列为X 0 1 2 3P.……………… 10分E(x)=np= (或0.6)，D(x)=np(1-p）= (或0.72) ……………… 12分考点：（1）频率分布直方图，独立性检验，随机变量的分布列，数学期望与方差.19.（本小题满分12分）已知平面,,,4,1ABCD CD AD BA AD CD AD AP AB ⊥⊥====. （1）求证：平面；（2）M 为线段CP 上的点，当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】试题分析：（1）证线面垂直，就是要证线线垂直，已有，寻找题设条件还有平面，从而有，因此可以证得线面垂直；（2）要求二面角的大小，由于图形中有三直线两两垂直，因此可以以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角，建立如图所示的坐标系后，关键是要求出点的坐标（因为其它点的坐标都易得），设，利用与共线，及就能求出点的坐标，然后求出平面平面的法向量，由法向量夹角求得相应的二面角. 试题解析：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，PA 平面ADP ，所以平面ADP ⊥平面ABCD. …………………………………………2分 又因为平面ADP ∩平面ABCD=AD ，CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ADP. ……………………………………………………4分（2）AD ，AP ，AB 两两垂直，建立如图所示空间坐标系，则A （0，0，0），B （0，0，1），C （4，0，4），P （0，4，0），则，，，.………………………………6分zxy设M（x, y , z), ，则.所以，，，.因为BM⊥AC，所以，，解得，法2：在平面ABCD内过点B作BH⊥AC于H，在平面ACP内过点H作HM∥AP交PC于点M，连接MB ………6分，因为AP⊥平面ABCD，所以HM⊥平面ABCD.又因为AC平面ABCD，所以HM⊥AC.又BH∩HM=H, BH平面BHM，HM平面BHM，所以AC⊥平面BHM.所以AC⊥BM，点M即为所求点. …………………………………………8分在直角中，AH=，又AC=，所以.又HM∥AP，所以在中，.在平面PCD内过点M作MN∥CD交DP于点N，则在中， .因为AB∥CD，所以MN∥BA.连接AN，由（1）知CD⊥平面ADP，所以AB⊥平面ADP.所以AB⊥AD，AB⊥AN.所以∠DAN为二面角C—AB—M的平面角.………………………10分在中，过点N 作NS ∥PA 交DA 于S ，则，所以AS=，，所以NA=.所以.所以二面角C —AB —M 的余弦值为. …………………………………………12分考点：线面垂直，二面角.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）不垂直与坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交y 轴于点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）本题求椭圆的标准方程比较简单，只要把坐标代入椭圆方程，再由离心率及联立方程组可解得；（2）本题属于直线与椭圆相交问题，主要考查学生的运算能力，及分析问题解决问题的能力，这类问题的一般方法都是设直线方程为为，设交点为，把直线方程与椭圆方程联立消去得则有，，同时有；从而有12121222()214t y y kx t kx t k x x t k +=+++=++=+ ，目的是为了表示出中点坐标，设的中点为，则，，因为直线于直线垂直，所以得 ，结合，由条件可得，，其中，为点到直线的距离，由引可求得，.试题解析：（1）由1题意得，解得，．所以椭圆的方程是． ……………………… 4分（2）设直线的方程设为，设，联立消去得则有，，由；12121222()214t y y kx t kx t k x x t k+=+++=++=+ …………… 6分 设的中点为，则， 因为直线于直线垂直，所以得 ………… 8分因为所以,所以，由点到直线距离公式和弦长公式可得，AB == ………10分由2ABPD == ，直线的方程为或. ………… 12分解法二（2）设直线的斜率为，设，的中点为，所以 ，，由题意，式式得()()()()1212121204x x x x y y y y -++-+=⇒又因为直线与直线垂直，所以由14131ykxykx⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得…………… 6分因为所以,所以，………8分PD===设直线的方程设为，联立消去得()2222284141(14)44099k k kk x x+⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭，，由AB==………10分，解得，满足.由得直线的方程为或. ……… 12分考点：椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系.21.（本小题满分12分）已知函数是自然对数的底数，.（1）求函数的单调递增区间；（2）若为整数，，且当时，恒成立，其中为的导函数，求的最大值.故在上存在唯一的零点. .............................8分设此零点为，则.当时，；当时，；所以，在上的最小值为.由可得 ........10分所以，由于①式等价于.故整数的最大值为2. ....................................12分考点：导数与单调性，不等式恒成立，函数的零点.请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图：的直径的延长线于弦CD的延长线相交于点P，E为上一点，交于点F.（1）求证：四点共圆；（2）求证：.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：（1）证四点共圆，可证明四边形的对角互补或外角等于内对角等，本题中，由于，因此有，从而得证四点共圆；（2）有了（1）中的四点共圆，由割线定理得，又在圆中有，故结论成立.试题解析：（1）连接，，因为，所以，.................2分又因为，则，所以四点共圆.………………5分（2）因为和是的两条割线，所以，……………7分因为四点共圆,所以，又因为，则∽，所以，即则.………………10分考点：四点共圆，切割线定理.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：.（1）直线的参数方程化为极坐标方程；（2）求直线的曲线交点的极坐标（）【答案】（1）；（2） ，【解析】试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标.试题解析：（1）将直线（为参数）消去参数，化为普通方程，……………………2分 将代入得.…………4分（2）方法一：的普通方程为.………………6分由解得：或………………8分所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分方法二：由，……………6分得：，又因为………………8分所以或所以与交点的极坐标分别为： ，.………………10分考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()()221(0),2f x x a x a g x x =-++>=+.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）不等式为，用分类讨论的思想可求得解集，分类讨论的标准由绝对值的定义确定；（2）不等式恒成立，同样不等式为，转化为，令，因为,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩，只要求出最小值，然后解不等式得所求范围. 试题解析：（1）当时，，无解，，………………………3分综上，不等式的解集为.………………5分（2），转化为，令，因为a>0,所以153,21()1,2231,2x a x a h x x a x a x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=-+--<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩， ………………8分在a>0下易得,令得………………10分考点：解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值.40115 9CB3 鲳23063 5A17 娗24402 5F52 归36458 8E6A 蹪30653 77BD 瞽0tY36543 8EBF 躿> 40561 9E71 鹱27081 69C9 槉bX。
2021年河北省高考数学二模试卷(理科)含答案解析
2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．27．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．31010．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．411．椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，那么的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕 B．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕D．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=．cos〔n+1〕π，数列{b n}的前16．数列{a n}的前n项和为S n，S n=n2+2n，b n=a n a n+1n项和为T n，假设T n≥tn2对n∈N*恒成立，那么实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC ﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．18．〔12分〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．〔12分〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．20．〔12分〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．21．〔12分〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．2021年河北省“五个一名校联盟〞高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1．i是虚数单位，假设z〔1+i〕=1+3i，那么z=〔〕A．2+i B．2﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z〔1+i〕=1+3i，得，应选：A．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题．2．全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，B={x|x=log2〔a+1〕，a∈A}，那么〔∁U A〕∩〔〔∁U B〕=〔〕A．{1，3}B．{5，6}C．{4，5，6}D．{4，5，6，7}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求解集合B，∁U A，∁U B．根据集合的根本运算即可求〔∁U A〕∩〔∁U B〕．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，7}，∴∁U A={2，4，5，6}集合B={|x=log2〔a+1〕，a∈A}，当a=1时，B={x|x=log2〔2+1〕=1，当a=3时，B={x|x=log2〔3+1〕=2，当a=7时，B={x|x=log2〔7+1〕=3，∴集合B={1，2，3}，∴∁U B={4，5，6，7}，故得〔∁U A〕∩〔∁U B〕={4，5，6}应选C．【点评】此题主要考查集合的根本运算，比拟根底．3．命题p，q是简单命题，那么“￢p是假命题〞是“p∨q是真命题〞的〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复合命题的真假结合充分必要条件，判断即可．【解答】解：￢p是假命题，那么p是真命题，推出p∨q是真命题，是充分条件，反之，不成立，应选：A．【点评】此题考查了复合命题的真假，考查充分必要条件的定义，是一道根底题．4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为〔〕A．B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，由此利用条件概率计算公式求得P〔B/A〕的值．【解答】解：设“开关第一次闭合后出现红灯〞为事件A，“第二次闭合出现红灯〞为事件B，那么由题意可得P〔A〕=，P〔AB〕=，那么在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次出现红灯的概率是：P〔B/A〕===．应选：C．【点评】此题考查概率的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意条件概率计算公式的灵活运用．5．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，那么sin〔2θ+〕=〔〕A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据定义求解sinθ和cosθ的值，利用两角和与差的公式以及二倍角公式即可化简并求解出答案．【解答】解：由题意，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，可知θ在第一或第三象限．根据正余弦函数的定义：可得sinθ=，cosθ=±，那么sin〔2θ+〕=sin2θcos+cos2θsin=sinθcosθ+==应选：A．【点评】此题主要考查了正余弦函数的定义的运用和两角和与差的公式以及二倍角公式的化简和计算能力，属于中档题．6．设函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，那么g[f〔﹣8〕]=〔〕A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，从而得到g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f〔x〕是定义在R上的奇函数，且f〔x〕=，∴f〔﹣8〕=﹣f〔8〕=﹣log39=﹣2，∴g[f〔﹣8〕]=g〔﹣2〕=f〔﹣2〕=﹣f〔2〕=﹣log33=﹣1．应选：A．【点评】此题考查函数值的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到函数y=g〔x〕的图象，并且函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，那么实数ω的值为〔〕A．B．C．2 D．【考点】函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．【分析】根据平移变换的规律求解出g〔x〕，根据函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减可得x=时，g〔x〕取得最大值，求解可得实数ω的值．【解答】解：由函数f〔x〕=sinωx〔ϖ＞0〕的图象向右平移个单位得到g〔x〕=sin[ω〔x〕]=sin〔ωx﹣〕，函数g〔x〕在区间[，]上单调递增，在区间[]上单调递减，可得x=时，g〔x〕取得最大值，即〔ω×﹣〕=，k∈Z，ϖ＞0．当k=0时，解得：ω=2．应选：C．【点评】此题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用．属于根底题．8．设变量x，y满足约束条件，那么z=x﹣2y的最大值为〔〕A．﹣12 B．﹣1 C．0 D．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下列图所示：由图可知，由可得C〔，﹣〕，由：，可得A〔﹣4，4〕，由可得B〔2，1〕，当x=，y=﹣时，z=x﹣2y取最大值：．应选：D．【点评】此题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法〞解题是解答此题的关键．9．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州〔现四川省安岳县〕人，他在所著的?数书九章?中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比拟先进的算法，如下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，假设输入x的值为2，那么输出v的值为〔〕A．210﹣1 B．210C．310﹣1 D．310【考点】程序框图．【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的x=2，v=1，k=1，满足进行循环的条件，v=2+C101，k=2，满足进行循环的条件，v=22+2C101+C102，…∴v=210+29C101+…+C1010=310，故输出的v值为：310，应选D．【点评】此题考查程序框图，考查二项式定理的运用，属于中档题．10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A．B．C．D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 【解答】解：如下图，由三视图可知该几何体为：四棱锥P ﹣ABCD ． 连接BD ．其体积V=V B ﹣PAD +V B ﹣PCD ==． 应选：B ．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．椭圆C ：=1的左、右顶点分别为A ，B ，F 为椭圆C 的右焦点，圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，那么的取值范围是〔 〕A ．〔﹣∞，﹣〕∪〔0，〕B ．〔﹣∞，0〕∪〔0，〕C ．〔﹣∞，﹣1〕∪〔0，1〕 D ．〔﹣∞，0〕∪〔0，1〕 【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】取特殊点P 〔0，2〕，P 〔0，﹣2〕，求出，利用排除法，可得结论．【解答】解：取特殊点P〔0，2〕，那么PA方程为y=x+2与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=﹣2或﹣，所以Q〔﹣，〕，∴k PB=﹣1，k QF==﹣，∴=．同理取P〔0，﹣2〕，=﹣．根据选项，排除A，B，C，应选D．【点评】此题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．12．假设关于x的不等式xe x﹣2ax+a＜0的非空解集中无整数解，那么实数a的取值范围是〔〕A．[，〕B．[，〕C．[，e]D．[，e]【考点】函数恒成立问题．【分析】设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，求出g〔x〕的导数，判断直线恒过定点，设直线与曲线相切于〔m，n〕，求得切线的斜率和切点在直线上和曲线上，解方程可得a，再由题意可得当x=﹣1时，求得a，通过图象观察，即可得到a 的范围．【解答】解：设g〔x〕=xe x，f〔x〕=2ax﹣a，由题意可得g〔x〕=xe x在直线f〔x〕=2ax﹣a下方，g′〔x〕=〔x+1〕e x，f〔x〕=2ax﹣a恒过定点〔，0〕，设直线与曲线相切于〔m，n〕，可得2a=〔m+1〕e m，me m=2am﹣a，消去a，可得2m2﹣m﹣1=0，解得m=1〔舍去〕或﹣，那么切线的斜率为2a=〔﹣+1〕e，解得a=，又由题设原不等式无整数解，由图象可得当x=﹣1时，g〔﹣1〕=﹣e﹣1，f〔﹣1〕=﹣3a，由f〔﹣1〕=g〔﹣1〕，可得a=，由直线绕着点〔，0〕旋转，可得≤a＜，应选：B．【点评】此题考查不等式解法问题，注意运用数形结合的方法，结合导数的运用：求切线的斜率，以及直线恒过定点，考查运算能力和观察能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．正实数x，y满足2x+y=2，那么+的最小值为．【考点】根本不等式．【分析】利用“乘1法〞与根本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足2x+y=2，那么+==≥=，当且仅当x=y=时取等号．∴+的最小值为．故答案为：．【点评】此题考查了“乘1法〞与根本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．14．点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，且∠AOC=150°，=﹣4+λ，那么λ=1．【考点】平面向量的根本定理及其意义．【分析】根据向量的根本运算表示出C的坐标，利用三角函数的定义进行求解即可．【解答】解：∵点A〔1，0〕，B〔1，〕，点C在第二象限，=﹣4+λ，∴C〔λ﹣4，〕，∵∠AOC=150°，∴tan150°==﹣，解得λ=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查向量坐标的应用以及三角函数的定义，根据向量的根本运算求出C的坐标是解决此题的关键．15．在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1及x轴所围成的图形绕xπx2dx=x3|=．据此类比：轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V圆锥=将曲线y=2lnx与直线y=1及x轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= π〔e ﹣1〕 ．【考点】旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【分析】根据类比推理，结合定积分的应用，即可求出旋转体的体积． 【解答】解：由曲线y=2lnx ，可得x=，根据类比推理得体积V=dy==π〔e ﹣1〕，故答案为：π〔e ﹣1〕．【点评】此题主要考查旋转体的体积的计算，根据类比推理是解决此题的关键．16．数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π，数列{b n } 的前n 项和为T n ，假设T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，那么实数t 的取值范围是 〔﹣∞，﹣5] ．【考点】数列递推式．【分析】n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，可得a n =2n +1．b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π，n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．对n 分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出． 【解答】解：n=1时，a 1=3．n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+2n ﹣[〔n ﹣1〕2+2〔n ﹣1〕]=2n +1．n=1时也成立，∴a n =2n +1．∴b n =a n a n +1cos 〔n +1〕π=〔2n +1〕〔2n +3〕cos 〔n +1〕π， n 为奇数时，cos 〔n +1〕π=1；n 为偶数时，cos 〔n +1〕π=﹣1．因此n 为奇数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+〔2n +1〕〔2n +3〕=3×5+4×〔7+11+…+2n +1〕=15+4×=2n 2+6n +7．T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立， ∴2n 2+6n +7≥tn 2，t ≤++2=，∴t ＜2．n 为偶数时，T n =3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣〔2n +1〕〔2n +3〕=﹣4×〔5+9+11+…+2n +1〕=﹣2n 2﹣6n ．∴T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，∴﹣2n 2﹣6n ≥tn 2，t ≤﹣2﹣，∴t ≤﹣5． 综上可得：t ≤﹣5． 故答案为：〔﹣∞，﹣5]．【点评】此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的求值、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共70分，其中〔17〕-〔21〕题为必考题，〔22〕，〔23〕题为选考题．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．〔12分〕〔2021•宁城县一模〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．〔Ⅰ〕求角A的大小；〔Ⅱ〕假设c=，角B的平分线BD=，求a．【考点】正弦定理．【分析】〔Ⅰ〕由正弦定理、两角和的正弦公式化简的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；〔Ⅱ〕由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解：〔Ⅰ〕由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB，…〔2分〕2sinAcosC﹣sinC=2sin〔A+C〕=2sinAcosC+2cosAsinC，∴﹣sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，又A∈〔0，π〕，∴A=；…〔6分〕〔Ⅱ〕在△ABD中，c=，角B的平分线BD=，由正弦定理得，∴sin∠ADB===，…〔8分〕由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2〔〕=，∴∠ACB==，AC=AB=由余弦定理得，a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=2+2﹣2×=6，∴a=…〔12分〕【点评】此题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．〔12分〕〔2021•河北二模〕空气质量指数〔Air Quality Index，简称AQI〕是定量描述空气质量状况的质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良101﹣150为轻度污染；151﹣200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．〔Ⅰ〕利用该样本估计该地本月空气质量优良〔AQI≤100〕的天数；〔按这个月总共30天〕〔Ⅱ〕将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能求出该样本中空气质量优良的频率，从而能估计该月空气质量优良的天数．〔2〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：〔1〕从茎叶图中可以发现这样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，∴该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18．〔2〕由〔1〕估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B〔3，〕，P〔ξ=0〕=〔〕3=，P〔ξ=1〕==，P〔ξ=2〕==，P〔ξ=3〕=〔〕3=，∴ξ的分布列为：ξ01 2 3P∴Eξ=3×=1.8．【点评】此题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．〔12分〕〔2021•河北二模〕如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED是以BD为直角腰的直角梯形，DE=2BF=2，平面BFED⊥平面ABCD．〔Ⅰ〕求证：AD⊥平面BFED；〔Ⅱ〕在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．假设存在，求出点P的位置；假设不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】〔Ⅰ〕推出AB=2，求解AB2=AD2+BD2，证明BD⊥AD，然后证明AD ⊥平面BFED．〔Ⅱ〕以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面EAD的一个法向量，平面PAB的一个法向量，利用向量的数量积，转化求解即可．【解答】解：〔Ⅰ〕在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，∴故AB=2，∴BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos60°=3，∴AB2=AD2+BD2∴BD⊥AD，∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD=BD，∴AD⊥平面BFED．…〔Ⅱ〕∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，分别以DA，DE，DE为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，B〔0，，0〕，P〔0，λ，〕，=〔﹣1，，0〕，=．取平面EAD的一个法向量为=〔0，1，0〕，设平面PAB的一个法向量为=〔x，y，z〕，由=0，•=0得：，取y=1，可得=〔〕．∵二面角A﹣PD﹣C为锐二面角，平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为．∴cos＜===，解得λ=，即P为线段EF的3等分点靠近点E的位置．…〔12分〕【点评】此题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．〔12分〕〔2021•河北二模〕椭圆C1： +=1〔a＞b＞0〕的离心率为，P〔﹣2，1〕是C1上一点．〔1〕求椭圆C1的方程；〔2〕设A，B，Q是P分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l交C1于异于P、Q的两点C，D，点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【考点】椭圆的简单性质．【分析】〔1〕运用椭圆的离心率公式和P满足椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程；〔2〕设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆方程，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，运用韦达定理，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，化简整理，代入韦达定理，即可得证．【解答】解：〔1〕由题意可得e==，且a2﹣b2=c2，将P〔﹣2，1〕代入椭圆方程可得+=1，解得a=2，b=，c=，即有椭圆方程为+=1；〔2〕证明：A，B，Q是P〔﹣2，1〕分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，可设A〔﹣2，﹣1〕，B〔2，1〕，Q〔2，﹣1〕，直线l的斜率为k=，设直线l的方程为y=x+t，代入椭圆x2+4y2=8，可得x2+2tx+2t2﹣4=0，设C〔x1，y1〕，D〔x2，y2〕，E〔﹣x1，﹣y1〕，即有△=4t2﹣4〔2t2﹣4〕＞0，解得﹣2＜t＜2，x1+x2=﹣2t，x1x2=2t2﹣4，设直线PD，PE的斜率为k1，k2，那么k1+k2=+=，要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1+k2=0，即〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=0，由y1=x1+t，y2=x2+t，可得〔2﹣x1〕〔y2﹣1〕﹣〔2+x2〕〔y1+1〕=2〔y2﹣y1〕﹣〔x1y2+x2y1〕+x1﹣x2﹣4=x2﹣x1﹣〔x1x2+tx1+tx2〕+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t〔x1+x2〕﹣4=﹣〔2t2﹣4〕+2t2﹣4=0，那么直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．【点评】此题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式和运用，化简整理的运算能力，属于中档题．21．〔12分〕〔2021•河北二模〕函数f〔x〕=alnx+x2﹣ax〔a为常数〕有两个极值点．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕设f〔x〕的两个极值点分别为x1，x2，假设不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，求λ的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】〔1〕f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；〔2〕利用韦达定理，可得=lna﹣a﹣1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求λ的最小值．【解答】解：〔1〕由题设知，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，f′〔x〕=且f′〔x〕=0有两个不同的正根，即x2﹣ax+a=0两个不同的正根x1，x2，〔x1＜x2〕那么，∴a＞4，〔0，x1〕，f′〔x〕＞0，〔x1，x2〕，f′〔x〕＜0，〔x2，+∞〕，f′〔x〕＞0，∴x1，x2是f〔x〕的两个极值点，符合题意，∴a＞4；〔2〕f〔x1〕+f〔x2〕=alnx1+x12﹣ax1+alnx2+x22﹣ax2=a〔lna﹣a﹣1〕，∴=lna﹣a﹣1，令y=lna﹣a﹣1，那么y′=﹣，∵a＞4，∴y′＜0，∴y=lna﹣a﹣1在〔4，+∞〕上单调递减，∴y＜ln4﹣3，∵不等式f〔x1〕+f〔x2〕＜λ〔x1+x2〕恒成立，x1+x2＞0，∴是λ的最小值ln4﹣3．【点评】此题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕〔2021•河北二模〕在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔α为参数〕．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=．l与C交于A、B两点．〔Ⅰ〕求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕设点P〔0，﹣2〕，求|PA|+|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】〔Ⅰ〕利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为为〔t为参数〕，代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：〔Ⅰ〕曲线C的参数方程为〔α为参数〕，普通方程为C：x2+y2=1；直线l的极坐标方程为ρcos〔θ+〕=，即ρcosθ﹣ρsinθ=2，l：y=x﹣2．…〔4分〕〔Ⅱ〕点P〔0，﹣2〕在l上，l的参数方程为〔t为参数〕代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，由题意可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=…〔10分〕【点评】此题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．〔2021•河北二模〕关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣m|≥2m的解集为R．〔Ⅰ〕求m的最大值；〔Ⅱ〕a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c 的值．【考点】绝对值不等式的解法；函数的最值及其几何意义．【分析】〔Ⅰ〕利用|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|，对x与m的范围讨论即可．〔Ⅱ〕构造柯西不等式即可得到结论．【解答】解：〔Ⅰ〕∵|x﹣3|+|x﹣m|≥|〔x﹣3〕﹣〔x﹣m〕|=|m﹣3|当3≤x≤m，或m≤x≤3时取等号，令|m﹣3|≥2m，∴m﹣3≥2m，或m﹣3≤﹣2m．解得：m≤﹣3，或m≤1∴m的最大值为1；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕a+b+c=1．由柯西不等式：〔 ++1〕〔4a2+9b2+c2〕≥〔a+b+c〕2=1，∴4a2+9b2+c2≥，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立．即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为．【点评】此题主要考查了绝对值不等式的几何意义和解法以及柯西不等式的构造思想．属于中档题．。
2021年江西省高考数学二模试卷(理科)(附答案详解)
2021年江西省高考数学二模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|y=log2(x−1)}，B={x|x−a>0}，且(∁R A)∩B=(0,1]，则a=()A. −1B. 0C. 1D. 22.已知m，n∈R，且mi(1+2i)=n+4i(其中i为虚数单位)，则m+n=()A. −2B. −4C. 2D. 43.某几何体的三视图如图所示，已知图中圆的半径都为1，则此几何体的体积为()A. π4B. π2C. 3π4D. π4.已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，若点A(x0,2√3)在抛物线上，则|AF|=()A. 3B. 2√3C. 4D. 2√3+15.根据下面给出的某地区2014年至2020年环境基础设施投资额(单位：亿元)的表格，以下结论中错误的是()年份2014201520162017201820192020投资额/47535662122140156亿元A. 该地区环境基础设施投资额逐年增加B. 2018年该地区环境基础设施投资增加额最大C. 2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额比2014年至2017年的投资总额小D. 2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少6.函数f(x)=5x−1cos2x的图象为()5x+1A.B.C.D.7. 已知定义在R 上的函数f(x)，则“f(x)的周期为2”是“f(x)=1f(x+1)”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. (x +2y +3z)5的展开式中xy 2z 2的系数为( )A. 5B. 30C. 1080D. 21609. 如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数√2，√3，√5，…的图形之一，此图形中∠BAD 的余弦值是( )A. 4−√36B. 4+√36C. 2√3−√66D. 2√3+√6610. 已知动直线l ：xcosα+ysinα=1与圆C 1：x 2+y 2=2相交于A ，B 两点，圆C 2：x 2+y 2=1.下列说法： ①l 与C 2有且只有一个公共点； ②线段AB 的长度为定值； ③线段AB 的中点轨迹为C 2． 其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 311. 定义：若存在n 个正数x 1，x 2…，x n ，使得f(−x i )=−f(x i )(i =1,2，…，n)，则称函数y =f(x)为“n 阶奇性函数”.若函数g(x)={mx +m,x ≤0xlnx,x >0是“2阶奇性函数”，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,π2<φ<π)的一个周期的图象如图所示，其中f(0)=1，f(1)=0.f(x1)=f(x2)=−12，则f(x2−x1−2)=()A. −74B. −√154C. 74D. √154二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设a⃗，b⃗ 为非零向量，且|2a⃗+3b⃗ |=|2a⃗−3b⃗ |，则a⃗，b⃗ 的夹角为______ ．14.若x，y满足约束条件{x+y−5≤0x−y+1≥0x−1≥0，则z=yx的最大值是______ ．15.已知F是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，过点F作渐近线的垂线FH(点H为垂足)，并交双曲线的右支于点A，若A为线段FH的中点，则双曲线的离心率为______ ．16.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，所有棱长均为a，且∠A1AB=∠A1AD=∠DAB=60°，点E在棱A1D1上，且A1E=2ED1，平面α过点E且平行于平面A1DB，则平面α与平行六面体ABCD−A1B1C1D1各表面交线围成的多边形的面积是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n+1=S n+a n+2，a32=S1S5，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=a2n，求数列{b n}的前n项和T n．18.如图，已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，四边形BDEF是平行四边形，∠DBF=45°，BF=2√2，FA=FC．(1)求证：FD⊥平面ABCD；(2)求二面角A−DE−B的余弦值．19.在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩(单位：环)，并把所得数据制成了如下所示的频数分布表：成绩分组[4,5)[5,6)[6,7)[7,8)[8,9)[9,10]频数5182826176(1)求抽取的样本平均数x−(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z服从正态分布N(μ,σ2)(其中μ近似为样本平均数x−，σ2近似为样本方差s2=1.61)，且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人？(3)已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望Eξ．[附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)=0.9545，√1.61≈1.27，结果取整数部分]20. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，A ，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆E 上异于A ，B 的一个动点，直线l 过点B 且垂直于x 轴，直线AP 与l 交于点Q ，圆C 以BQ 为直径.当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π． (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设圆C 与PB 的另一交点为点R ，记△AQR 的面积为S 1，△BQR 的面积为S 2，试判断S 1S 2是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求S 1S 2的取值范围．21. 已知函数f(x)=xe x +ax +bcosx ．(1)当b =0时，讨论函数f(x)极值点的个数；(2)当b =−2，x ≥0时，都有f(x)≥2e x −4，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ． (1)求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P(1,√3)，曲线C 1与C 2相交于A ，B 两点，求||PA|⋅|PB||PA|−|PB||.23. 已知函数f(x)=|x +a|+|x −1a |(a >0)．(1)求证：f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立，求m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x>1}，B={x|x>a}，∴∁R A={x|x≤1}，且(∁R A)∩B=(0,1]，∴a=0．故选：B．可求出集合A，然后得出∁R A={x|x≤1}，并求出B={x|x>a}，然后根据(∁R A)∩B= (0,1]即可求出a的值．本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数的定义域，交集和补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由mi(1+2i)=n+4i，得−2m+mi=n+4i，∴{−2m=nm=4，即m+n=−m=−4．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左侧，再由复数相等的条件列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据几何体三视图转换为几何体的直观图，该几何体为34个球体；故V=34×43⋅π⋅13=π．故选：D．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用球的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：点A(x 0,2√3)在抛物线上，可得12=4x 0，解得x 0=3， 所以|AF|=x 0+p2=3+1=4． 故选：C ．点的坐标代入抛物线方程，求出x 0，利用抛物线的定义转化求解即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由表格中的数据信息可知，该地区环境基础设施投资额逐年增加，故选项A 正确；2015～2020年的投资增额分别为：6，3，6，60，18，16，所以2018年该地区环境基础设施投资增加额最大，故选项B 正确；2018年和2019年该地区环境基础设施投资总额为262亿元，2014年至2017年的总额为218亿元，故选项C 错误；2019年的投资增额为18，2019年的投资增额为16，所以2020年该地区环境基础设施投资增加额相比2019年有所减少，故选项D 正确． 故选：C ．由题中给出的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了图表的应用，解题的关键是正确的从数表中读取信息，考查了逻辑分析能力．6.【答案】D【解析】解：∵f(−x)=5−x −15−x +1⋅cos(−2x)=1−5x 1+5x⋅cos2x =−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除选项A 和C ， 又f(π)=5π−15π+1⋅cos2π>0，排除选项B ，故选：D ．先判断函数的奇偶性，再计算f(π)的值，并与0比较大小，即可得解．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数对称性的性质是解决本题的关键． 根据函数对称性的定义，举实例，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【解答】解：①当f(x)=1f(x+1)时，有f(x)=1f(x+1)=11f(x+2)=f(x +2)，则f(x)的周期为2，②当f(x)的周期为2，例如f(x)=sinπx ，当x 为整数时，f(x)=f(x +1)=0，则f(x)=1f(x+1)无意义，综上所述：f(x)的周期为2是f(x)=1f(x+1)的必要不充分条件． 故选：B ．8.【答案】C【解析】解：(x +2y +3z)5表示5个因式x +2y +3z 的乘积，故它的展开式中， 含xy 2z 2的项是由其中一个因式取x ，其中两个因式取2y ，剩下的两个因式取3z 得到的，故xy 2z 2的系数为C 51⋅C 42⋅22⋅C 22⋅32=5×6×4×9=1080．故选：C ．根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得xy 2z 2的系数． 本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意，在△BCD 中，∠DCB =135°，由余弦定理可得BD 2=CD 2+BC 2−2CD ⋅BC ⋅cos∠DCB =1+1+2×1×1×√22=2+√2，所以在△BAD 中，cos∠BAD =AB 2+AD 2−BD 22AB⋅AD=√22√3=2√3−√66． 故选：C ．由题意在△BCD 中可求∠DCB =135°，由余弦定理可得BD ，进而根据余弦定理可求cos∠BAD的值．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和数形结合思想的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意，C2的圆心到直线l的距离d=1√cos2α+sin2α=1，∴直线1与圆C2相切，故①正确；因为|AB|=2√R2−r2=2√2−1=2，∴线段AB的长度为定值，故②正确；由①知l为C2的切线，而C1与C2为同心圆，则根据对称性，l与C2的切点即为线段AB的中点，故线段AB的中点轨迹为C2，故③正确．故选：D．利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系判断选项①②，由圆的对称性判断选项③．本题考查了直线与圆位置关系的应用，点到直线距离公式的应用，圆的几何性质的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：由题意可得，方程g(−x)=−g(x)有且只有两个正根，即m(−x)+m=−xlnx有且只有两个正根，方程可化为：xlnx=m(x−1)，因此转化为函数y=xlnx与y=m(x−1)在y轴右侧的图象有两个交点，先研究函数y=xlnx的图象，因为y′=lnx+1，当0<x<1e 时，y′<0，当x>1e时，y′<0，且当x=1时，y=0，y′=1，在x=1处切线的斜率为1，如图所示：而y=m(x−1)过点(1,0)斜率为m，由图象有两个交点，则只需m>0且m≠1，故m 的实数取值范围为(0,1)∪(1,+∞)， 故选：D ．由题意将已知问题转化为函数y =xlnx 与y =m(x −1)在y 轴右侧的图象有两个交点，然后分析出函数y =xlnx 的性质，画出图象，利用数形结合即可求解．本题考查了分段函数的性质，涉及到数形结合以及导数的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由f(0)=1，可得sinφ=12，又π2<φ<π，所以φ=5π6，由f(1)=0，可得ω+φ=2kπ+π，可得ω=2kπ+π6，k ∈Z ， 又因为周期T >4(1−0)，所以2πω>4，可得0<ω<π2， 所以ω=π6，所以T =2πω=12， 所以f(x)=2sin(π6x +5π6)，因为f(x 1)=2sin(π6x 1+5π6)=−12，所以sin(π6x 1+5π6)=−14，因为f(4)=2sin 3π2=−2，所以点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，所以设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，则sin(3π2−α)=sin(π6x 1+5π6)=−14，可得cosα=14， 又(π6x 2+5π6)−(π6x 1+5π6)=2α，可得π6(x 2−x 1)=2α，所以f(x 2−x 1−2)=2sin[π6(x 2−x 1)−π3+5π6]=2sin(π2+2α)=2cos2α=2(2×116−1)=−74． 故选：A ．由题意求得φ、ω的值，写出函数f(x)的解析式，求图象的对称轴，可得点(x 1,−12)，(x 2,−12)关于直线x =4对称，设(π6×4+5π6)−(π6x 1+5π6)=α，可得cosα=14，计算可得π6(x 2−x 1)=2α，从而可求得f(x 2−x 1−2)的值．本题主要考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，函数值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：根据题意，a ⃗ ，b ⃗ 为非零向量，若|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b⃗ |2， 变形可得：4a ⃗ 2+12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2=4a ⃗ 2−12a ⃗ ⋅b ⃗ +9b ⃗ 2，即a⃗ ⋅b ⃗ =0， 则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π2． 故答案为：π2．根据题意，|2a ⃗ +3b ⃗ |=|2a ⃗ −3b ⃗ |，则有|2a ⃗ +3b ⃗ |2=|2a ⃗ −3b ⃗ |2，变形可得a ⃗ ⋅b ⃗ =0，由向量垂直的性质分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：由约束条件{x +y −5≤0x −y +1≥0x −1≥0作出可行域如图，联立{x =1x −y +1=0，解得A(1,2)，z =yx 的几何意义为可行域内的点与定点O(0,0)连线的斜率． ∵k OA =2−01−0=2， ∴z =y x 的最大值等于2．故答案为：2．画出满足条件的平面区域，结合图象求出z 的最大值即可．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】√2【解析】解：由题意可知，FH 的方程为y =−a b (x −c)，与渐近线方程为y =ba x ，可得 H 的坐标为(a 2c ,abc)，A 是线段AF 2的中点(a 2+c 22c,ab 2c )，根据中点A 在双曲线C 上，∴(a 2c +c)24a 2−a 2b 24b 2c 2=1，∴c 2a 2=2， 故e =ca =√2， 故答案为：√2．设一渐近线方程为y =ba x ，则FH 的方程为y =−ab (x −c)，代入渐近线方程求得A 的坐标，再把点A 的坐标代入双曲线求得离心率．本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出FA 的中点B 的坐标是解题的关键，是基础题．16.【答案】13√3 36a 2【解析】解：如图，符合条件的截面是六边形EFGHMN ，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，连接EG ，GM ，ME ，可知三角形EGM 为等边三角形， 所以面积为13√3a 236， 故答案为：13√3a 236． 由题意可得符合条件的截面是六边形EFGHMN ，然后画出图形，且EF =GH =MN =13a ，FG =HM =NE =23a ，六边形内角均为120°，进而可以求解．本题考查了平面的基本性质与应用，考查了学生的数形结合能力与分析问题的能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n+1=S n +a n +2，整理得a n+1−a n =2(常数)，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，因为a 32=S 1S 5，所以(a 1+4)2=a 1(5a 1+20)，解得a 1=1或−4(负值舍去)， 故a n =2n −1．(2)因为a n =2n −1，所以b n =2n+1−1，所以T n =(22−1)+(23−1)+(24−1)+⋯+(2n+1−1) =(22+23+⋯+2n+1)−(1+1+⋯+1)=2n+2−n +4．【解析】(1)根据条件可得数列{a n }是以a 1为首项，2为公差的等差数列，再求出通项公式；(2)利用分组法求出数列{b n }的前n 项和T n ．本题考查的知识要点：数列的通过项公式的求法，分组法在数列的求和中的应用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：连接AC 交BD 于O ，连接OF ， 因为四边形ABCD 是菱形，所以O 点是AC 中点，AC ⊥BD ， 又因为FA =FC ，所以OF ⊥AC ，又因为BD ∩AC =O ，所以AC ⊥平面FBD ， 因为FD ⊂平面FBD ，所以AC ⊥FD ，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°，AB =2，所以BD =2， 又因为∠DBF =45°，BF =2√2，所以FD =√BF 2+BD 2−2⋅BF ⋅BD ⋅cos45°=2， 于是BF 2=BD 2+DF 2，所以FD ⊥BD ， 因为AC ∩BD =O ，所以FD ⊥平面ABCD ． (2)建立如图所示的空间直角坐标系， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，0)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)， 设平面ADE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =√3x +y =0DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +2z =0，令y =√3，m ⃗⃗⃗ =(−1,√3,√3)， 平面BED 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 因为二面角A −DE −B 为锐角， 所以二面角A −DE −B 的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√7⋅1=√77．【解析】(1)证明FD 垂直于平面ABCD 内相交直线AC 和BD 即可； (2)求出平面BED 的法向量为n ⃗ ，用向量法计算二面角A −DE −B 的余弦值． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数x −=4.5×0.05+5.5×0.18+6.5×0.28+7.5×0.26+8.5×0.17+9.5×0.06=7．(2)由(1)知Z ～N(7,1.61)，所以P(Z ≥8.27)=1−0.68272=0.15865，所以在这2000名学员中，合格的有2000×0.15865≈317人． (3)由已知得ξ的可能取值为1，2，3， P(ξ=1)=C 41C 22C 63=15，P(ξ=2)=C 42C 21C 63=35， P(ξ=3)=C 43C 20C 63=15，所以ξ的分布列为：所以E(ξ)=1×15+2×35+3×15=2(人)．【解析】(1)由所得数据列成的频数分布表，利用平均数公式即可求出抽取的样本平均数；(2)根据正态分布的性质即可合格的人数；(3)ξ的可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可求解分布列和期望． 本题考查平均数的求法、正态分布的性质、离散型随机变量的分布列与期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由已知，c a =√32⇒b a =12，当点P 在短轴端点时，由△AOP 相似于△ABQ ⇒BQ =2b ， 所以圆C 的面积为πb 2， 所以b =1，a =2， 所以椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02=1⇒y 02x 02−4=−14①，A ，B 的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，所以k AP =y 0x 0+2，⇒直线AP 的方程为y =yx 0+2(x +2)，令x =2时，Q(2,4y 0x0+2)，又k BP =yx 0−2，点R 在圆上，所以QR ⊥BR ，因此k QR =2−x 0y 0，所以直线RQ 的方程为y −4y 0x 0+2=2−x 0y 0(x −2)，即y 0(x 0+2)y −4y 02=(4−x 02)(x −2)， 由①是得到4−x 02=4y 02， 代入直线RQ 的方程，化简为4y 0x −(x 0+2)y −4y 0=0， 设A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，则S 1S 2=d1d 2=|−8y 0−4y 0||8y 0−4y 0|=3，为定值．【解析】(1)由离心率为√32，及当点P 在椭圆短轴端点时，圆C 的面积为π，列方程组解得a ，b ，即可得出答案． (2)设P(x 0,y 0)，则x 024+y 02①，写出直线AP 的方程，令x =2时，得Q 得坐标，由QR ⊥BR ，推出k QR ，写出直线RQ 的方程，进而得A ，B 两点到直线RQ 的距离分别为d 1，d 2，推出S 1S 2，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)b=0，f(x)=xe x+ax⇒f′(x)=(x+1)e x+a，记g(x)=f′(x)，g′(x)=(x+2)e x，令g′(x)=0，得x=−2，f′(−2)=a−1e2，当x<−2时，g′(x)<0，g(x)单调递减，a−1e2<f′(x)<a，当x>−2时，g′(x)>0，g(x)单调递增，f′(x)>a−1e2，①当a−1e2≥0，即a≥1e2，f′(x)≥0，f(x)单调递增，无极值点；②当a−1e2<0且a>0，即0<a<1e2时，f′(x)=0有两个不同的根，f(x)有两个极值点，③当a≤0时，f′(x)=0有一个根，f(x)有一个极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，记ℎ(x)=(x−2)e x+axx−2cosx+4，ℎ(0)=0，ℎ′(x)=(x−1)e x+a+2sinx，ℎ′(0)=a−1，ℎ″(x)=xe x+2cosx，所以x∈[0,π2]时，xe x≥0，2cosx>0⇒ℎ″(x)>0，x∈[π2,+∞)时，xe x≥π2eπ2>π>2，ℎ″(x)>2+2cosx≥0，所以ℎ′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a−1≥0即a≥1时，ℎ′(x)≥ℎ′(0)=a−1≥0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0恒成立，②a−1<0即a<1时，ℎ′(0)<0，ℎ′(4−a)=(3−a)e4−a+a+2sin(4−a)≥3−a+a+2sin(4−a)>0，所以存在x0∈(0,4−a)，使得ℎ′(x0)=0，当0<x<x0时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在[0,x0]上的单调递减，当0<x<x0时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是[1,+∞)．【解析】(1)f(x)=xe x+ax，求导得f′(x)=(x+1)e x+a，分析f′(x)的正负，f(x)的单调性，进而可得f(x)的极值点．(2)依题意(x−2)e x+axx−2cosx+4≥0对任意的x≥0恒成立，ℎ(x)=(x−2)e x+axx −2cosx +4，只需ℎ(x)min ≥0，即可解得答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，消去参数t 得：√3x +y −2√3=0．曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为y 2=4x ．(2)曲线C 1的参数方程为{x =1+ty =√3−√3t (t 为参数)，转换为标准式为{x =1+12t y =√3−√32t (t 为参数)， 代入y 2=4x ，得到：34t 2+5t −1=0， 所以t 1+t 2=−203，t 1t 2=−43． 故|PA|⋅|PB||PA|−|PB|=|t 1t 2||t 1+t 2|=15．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)证明：f(x)=|x +a|+|x −1a |≥|(x +a)−(x −1a )|=|a +1a |=a +1a ≥2， 当且仅当a =1且−1≤x ≤1时，等号成立． 所以f(x)≥2；(2)当a =12时，f(x)≥−x 2+4x +m 恒成立， 即为|x +12|+|x −2|≥−x 2+4x +m 恒成立， 即有m ≤x 2−4x +|x −2|+|x +12|，设g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|，由y=x2−4x=(x−2)2−4≥−4，当x=2时，取得等号；又y=|x−2|+|x+12|≥|x−2−x−12|=52，当x=2时，取得等号，所以g(x)=x2−4x+|x−2|+|x+12|的最小值为g(2)=−4+52=−32，则m≤−32，即m的取值范围是(−∞,−32].【解析】(1)由绝对值不等式的性质和基本不等式，注意等号成立的条件，即可得证；(2)由参数分离和二次函数的最值求法，结合绝对值不等式的性质，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的性质和不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年高三二模数学理试题
2021年高三二模数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（xx•海淀区二模）集合A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[1，+∞）考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：求解二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算求解．解答：解：由A={x|（x﹣1）（x+2）≤0}={x|﹣2≤x≤1}，B={x|x＜0}，所以A∪B={x|﹣2≤x≤1}∪{x|x＜0}=（﹣∞，1]．故选B．点评：本题考查了并集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础的运算题．2．（5分）（xx•海淀区二模）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，且a1•a3=4，a4=8，则a1+q的值为（）A．3B．2C．3或﹣2 D．3或﹣3考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用题目给出的已知条件列关于首项和公比的方程组，求解后即可得到a1+q的值．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1•a3=4，a4=8，得，②2÷①得：q4=16，所以q=±2．当q=2时，代入②得，a1=1．当q=﹣2时，代入②得，a1=﹣1．所以a1+q的值为3或﹣3．故选D．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了方程组的解法，是基础题．3．（5分）（xx•海淀区二模）如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．解答：解：∵由题意知在正方形中随机投掷n个点，若n个点中有m点落入X中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积=m：n∴不规则图形Ω的面积=×正方形的面积=×a2=．故选C．点评：本题考查几何概型，古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．4．（5分）（xx•海淀区二模）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．180 B．240 C．276 D．300考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可．解答：解：由题意可知几何体复原后，上部是四棱锥，下部是正方体，四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面斜高为5；下部是棱长为6的正方体，所以几何体的表面积为：5个正方形的面积加上棱锥的侧面积，即：5×6×6+4××4=240．故选B．点评：本题考查几何体与三视图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力．5．（5分）（xx•海淀区二模）在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：证明题．分析：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形和必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．解答：解：由在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”，不能得出AB∥DC，AD∥BC，如图，AB=2DC，AD=2BC，不得到四边形ABCD为平行四边形．也就不得到四边形ABCD为平行四边形，反之，由四边形ABCD为平行四边形，得到AB=DC，AD=BC，从而有：∃λ=1∈R，使得AB=λDC，AD=λBC，故在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的必要而不充分条件．故选B．点本题主要考查对平行四边形的判定定理，必要条件、充分条件与充要条件的判断，评：能灵活运用平行四边形的判定进行证明是解此题的关键，此题是一个比较综合的题目．6．（5分）（xx•海淀区二模）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（）A．32 B．36 C．42 D．48考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：2和4需要排在十位、百位和千位，分2排在百位，4排在百位，2和4分别排在十位和千位来考虑，综合可得答案．解答：解：由题意可知：2和4需要排在十位、百位和千位．若2排在百位，则4可以排在十位或千位，剩余的1、3、5可以随意排，因此有2=12种情况，同理当4排在百位时，2可以排在十位或千位，同样有2=12种情况．再考虑2和4分别排在十位和千位的情况，不同的排列有两种情况，而此时由于5不能排在百位，因此只能从个位和万位中选一个，有两种情况，最后剩余的1和3可以随意排列，因此共有2×2×=8种情况．因此所有的排法总数为12+12+8=32种．故选A点评：本题考查排列组合及简单的计数原理，分类考虑是解决问题的额关键，属中档题．7．（5分）（xx•海淀区二模）双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，且F2恰为抛物线y2=4x 的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．1C．1D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．解答：解：抛物线的焦点坐标（1，0），所以双曲线中，c=1，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以，c2=a2+b2=1，解得a=，双曲线的离心率e===1+．故选B．点本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．评：8．（5分）（xx•海淀区二模）若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n 成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是（）A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列考点：命题的真假判断与应用．专题：等差数列与等比数列．分析：利用周期数列的定义，分别进行推理证明．解答：解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．点评：本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（xx•海淀区二模）在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为2．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先求出直线的直角坐标方程，求出极点的直角坐标，即可求得极点到直线ρcosθ=2的距离．解答：解：直线ρcosθ=2 即x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，故答案为2．点评：本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标，点到直线的距离的定义，属于基础题．10．（5分）（xx•海淀区二模）已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为c＞b＞a．考点：有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．专题：计算题．分析：利用对数函数与指数函数及正弦函数的性质可对a，b，c的大小作出判断．解答：解：∵a=ln＜ln1=0，0＜b=sin≈sin＜sin30°=，c===＞，∴c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，着重考查对数函数与指数函数及正弦函数的性质，属于基础题．11．（5分）（xx•海淀区二模）直线l1过点（﹣2，0）且倾斜角为30°，直线l2过点（2，0）且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：用点斜式求出两条直线的方程，再联立方程组，解方程组求得直线l1与直线l2的交点坐标．解答：解：由题意可得直线l1的斜率等于tan30°=，由点斜式求得它的方程为y﹣0=（x+2），即x﹣3y+2=0．直线l2过的斜率等于=﹣，由点斜式求得它的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），即x+y﹣2=0．由，解得，故直线l1与直线l2的交点坐标为，故答案为．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题．12．（5分）（xx•海淀区二模）在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b=2；S△ABC=．考点：正弦定理；三角形的面积公式．专题：计算题；解三角形．分析：根据正弦定理的式子，即可解出b==2；由三角形内角和定理，算出∠C=75°，再由正弦定理的面积公式，可以算出S△ABC的大小．解答：解：∵△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，∴由正弦定理，得b===2∵∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°∴S△ABC=absinC==故答案为：2，点评：本题给出三角形两个角和其中一角的对边，求另一边的大小并求三角形的面积．着重考查了用正弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，属于基础题．13．（5分）（xx•海淀区二模）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由=1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．解答：解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴=（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴=λ•=（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴=+=+=（﹣λ，1﹣λ，λ），∴=1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．14．（5分）（xx•海淀区二模）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．（Ⅰ）给出下列三个结论：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于直线y=x对称；③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；其中，所有正确结论的序号是②③；（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为．考点：轨迹方程；命题的真假判断与应用．分析：根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．解答：解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，∴|x|+|y|=∴|xy|+x+y﹣1=0∴xy＞0，（x+1）（y+1）=2或xy＜0，（y﹣1）（1﹣x）=0函数的图象如图所示∴曲线W关于直线y=x对称；曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；由y=x与（x+1）（y+1）=2联立可得x=﹣1，∴曲线W上的点到原点距离的最小值为=故答案为：②③；点评：本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想，求出轨迹方程，正确作出曲线的图象是关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（xx•海淀区二模）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．考点：二倍角的余弦；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由分母不为0，得到sin（x﹣）≠0，利用正弦函数的性质即可求出函数f（x）的定义域；（Ⅱ）函数解析式第二项分子利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，约分后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可求出函数的单调递增区间．解答：解：（I）∵sin（x﹣）≠0，∴x﹣≠kπ，k∈Z，则函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}；（II）∵f（x）=1﹣=1+（cosx+sinx）=1+sinx+cosx=1+sin（x+），又∵y=sinx的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z，令2kπ﹣＜x+＜2kπ+，解得：2kπ﹣＜x＜2kπ+，又注意到x≠kπ+，则f（x）的单调递增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，正弦函数的定义域和值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（13分）（xx•海淀区二模）福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件与对立事件；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（I）利用对立事件概率求解公式，可求至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）确定福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金的取值，求出相应的概率，可得其分布列与期望，利用期望大于0，即可求得结论．解答：解：（I）设至少一张中奖为事件A，则P（A）=1﹣0.52=0.75…（4分）（II）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5，0，﹣45，﹣145…（6分）故ξ的分布列为ξ 5 0 ﹣45 ﹣145P 50% 50%﹣2%﹣p 2% p…（8分）所以ξ的期望为Eξ=5×50%+0×（50%﹣2%﹣p）+（﹣45）×2%+（﹣145）×p=2.5﹣90%﹣145p…（11分）所以当1.6﹣145p＞0时，即…（12分）所以当时，福彩中心可以获取资金资助福利事业…（13分）点评：本题考查对立事件的概率公式，考查随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．17．（14分）（xx•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．考用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角；点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量=（x，y，z），由可求得，通过对x赋值，可求得=（，﹣3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜，＞，即HE 与平面PHB所成角的正弦值；（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，从而可知E为M即可．解答：解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，∴AC=4，∠CAB=60°，∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分∴HE∥PC…3分同理可证EF∥PB，又HE∩EF=E，CP∩PB=P，∴平面EFH∥平面PBC；…5分（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），P（0，0，2），B（，1，0）…6分因为E（0，﹣1，），=（0，﹣1，），设平面PHB的法向量=（x，y，z），∵=（，1，0），=（0，0，2），∴，即，令x=，则y=﹣3，∴=（，﹣3，0）…8分cos＜，＞===…10分∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为…11分（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=PA=2…13分在直角三角形PHB中，PB=4，EF=PB=2，所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．18．（13分）（xx•海淀区二模）已知函数f（x）=e x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，求a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先根据题意得到函数S（t）的解析式，再由导数与函数单调性的关系解不等式即可求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，转化为S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求，令S'（t）=0，得t=a﹣1．下面对字母a进行分类讨论：a ﹣1≥2；a﹣1＜2．可得出关于a的不等关系，从而可求出a的范围；解答：解：（I）因为，其中t≠a…（2分）当a=0，，其中t≠0当t＞0时，，，所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）当t＜0时，，，令，解得t＜﹣1，所以S（t）在（﹣∞，﹣1）上递增令，解得t＞﹣1，所以S（t）在（﹣1，0）上递减…（7分）综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（﹣∞，﹣1），S（t）的单调递增区间为（﹣1，0）（II）因为，其中t≠a当a＞2，t∈[0，2]时，因为∃t0∈[0，2]，使得S（t0）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，，令S'（t）=0，得t=a﹣1…（8分）当a﹣1≥2时，即a≥3时对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，所以当t=2时，S（t）取得最大值令，解得，所以a≥3…（10分）当a﹣1＜2时，即a＜3时对t∈（0，a﹣1）成立，S（t）单调递增，对t∈（a﹣1，2）成立，S（t）单调递减，所以当t=a﹣1时，S（t）取得最大值，令，解得a≥ln2+2，所以ln2+2≤a＜3…（12分）综上所述，ln2+2≤a…（13分）点评：本题考查了应用导数研究函数的单调性，以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．19．（14分）（xx•海淀区二模）已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O 为原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=，b=1，从而可得椭圆M的方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），依题意，直线AB有斜率，可分直线AB的斜率k=0与直线AB的斜率k≠0讨论，利用弦长公式，再结合基本不等式即可求得各自情况下S△AOB的最大值．解答：解：（Ⅰ）因为椭圆+=1（a＞b＞0）的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点，∴a=，b=1，椭圆M的方程为：+y2=1…4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为AB的垂直平分线经过点（0，﹣），显然直线AB有斜率，当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线为y轴，则x1=﹣x2，y1=y2，所以S△AOB=|2x1||y1|=|x1||y1|=|x1|•==，∵≤=，∴S△AOB≤，当且仅不当|x1|=时，S△AOB取得最大值为…7分当直线AB的斜率不为0时，则设AB的方程为y=kx+t，所以，代入得到（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣3=0，当△=4（9k2+3﹣3t2）＞0，即3k2+1＞t2①，方程有两个不同的实数解；又x1+x2=，=…8分所以=，又=﹣，化简得到3k2+1=4t②代入①，得到0＜t＜4，…10分又原点到直线的距离为d=，|AB|=|x1﹣x2|=•，所以S△AOB=|AB||d|=••，化简得：S△AOB=…12分∵0＜t＜4，所以当t=2时，即k=±时，S△AOB取得最大值为．综上，S△AOB取得最大值为…14分点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查椭圆的标准方程，着重考查方程思想分类讨论思想与弦长公式，基本不等式的综合运用，考查求解与运算能力，属于难题．20．（13分）（xx•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．（Ⅰ）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1表1（Ⅱ）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；a a2﹣1 ﹣a ﹣a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2表2（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．考点：切变变换．专题：计算题；图表型．分析：解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；（III）按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．解答：解：（I）法1：1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第4列得：1 2 3 7 ﹣2 1 0 ﹣1 改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 1 法2：1 2 3 ﹣7 ﹣2 1 0 1 改变第2行得：1 2 3 72 ﹣1 0 ﹣1 改变第4列得：1 2 3 72 ﹣1 0 1 法3：1 2 3 ﹣7﹣2 1 0 1改变第1列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1改变第4列得：﹣1 2 3 72 1 0 ﹣1（写出一种即可）…（3分）（II）每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，则a a2﹣1 a ﹣a22﹣a 1﹣a2﹣a+2 a2则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，，解得a=1，a=2．…（6分）②如果操作第一行﹣a ﹣a2+1a a22﹣a 1﹣a2a﹣2 a2则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2解得a=1 …（9分）综上a=1 …（10分）（III）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立…（13分）点评：本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．x 29131 71CB 燋•29300 7274 牴{20732 50FC 僼29747 7433 琳34127 854F 蕏35998 8C9E 貞? 38954 982A 頪8。
天津市高考数学二模试卷(理科)(解析)
天津市2021-2021年高考数学二模试卷〔理科〕一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．设集合A={x|﹣1≤x＜4}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，那么A∩〔∁R B〕可表示为〔〕A．[﹣1，1〕∪〔3，4〕B．[﹣1，1]∪[3，4〕C．2．设变量x，y满足约束条件其中k＞，假设目标函数z=x﹣y的最小值大于﹣3，那么k的取值范围是〔〕A．〔，3〕B．〔3，+∞〕C．〔，5〕D．〔5，+∞〕3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是〔〕A．12 B．16 C．24 D．324．设x∈R，那么“a=b〞是“f〔x〕=〔x+a〕|x+b|为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线l的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，那么直线l被圆C截得的弦长为〔〕A．B． C．2 D．26．如图，圆O的两条弦AB与CD相交于点E，圆O的切线CF交AB的延长线于F点，且AE：EB=3：2，EF=CF，CE=，ED=3，那么CF的长为〔〕A．6 B．5 C．2 D．27．双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线为x+y=0，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，假设F2同时为抛物线y2=12x的焦点，那么F1到直线F2M的距离为〔〕A．B．C．D．8．g〔x〕=|log2x|﹣|x﹣2|的三个零点为a，b，c且a＜b＜c，假设f〔x〕=|log2x|，那么f〔a〕，f〔b〕，f〔c〕的大小关系为〔〕A．f〔b〕＜f〔a〕＜f〔c〕B．f〔b〕＜f〔c〕＜f〔a〕C．f〔a〕＜f〔b〕＜f〔c〕D．f〔c〕＜f〔a〕＜f〔b〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．假设a是复数z1=〔1﹣i〕〔3+i〕的虚部，b是复数z2=的实部，那么ab等于．10．一个几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积为cm3．11．曲线y=与直线x=、直线x=e及x轴所围成的封闭图形的面积等于．12．假设的展开式中只有第六项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．2c=3b，sinA=2sinB，那么的值为．14．菱形ABCD的边长为1，∠BAD=120°，假设=λ，=，其中0＜λ＜1，的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．函数f〔x〕=x﹣sinxcos〔π﹣x〕，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期及单调区间；〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣，]上的最大值和最小值．16．一个袋子中有k个红球，4个绿球，2个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从中一次随机取出2个球，每取得1个红球记1分、取得1个绿球记2分、取得1个黄球记5分，用随机变量X表示取到2个球的总得分，总得分是2分的概率为．〔Ⅰ〕求袋子中红球的个数；〔Ⅱ〕求X的分布列和数学期望．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，E为SC的中点，F为AC上一点，且AB=2，SA=2．〔Ⅰ〕求证：EF⊥BD；〔Ⅱ〕假设EF∥平面SBD，试确定F点的位置；〔Ⅲ〕求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．18．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且a n+1=1﹣．〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设{S n+λ〔n+〕}为等差数列，求λ的值．19．设椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，且A〔a，0〕、B 〔0，b〕满足条件|AB|=|F1F2|．〔Ⅰ〕求椭圆C的离心率；〔Ⅱ〕假设坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，过点P〔﹣2，1〕的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P 恰为线段MN的中点，求直线l的方程．20．函数f〔x〕=4ax﹣﹣2lnx．〔Ⅰ〕当a=1时，求曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕设函数g〔x〕=，假设在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f〔x0〕＞g〔x0〕成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1．设集合A={x|﹣1≤x＜4}，B={x|x2﹣4x+3＜0}，那么A∩〔∁R B〕可表示为〔〕A．[﹣1，1〕∪〔3，4〕B．[﹣1，1]∪[3，4〕C．【分析】化简集合B，求出∁R B，再计算A∩〔∁R B〕．【解答】解：集合A={x|﹣1≤x＜4}=[﹣1，4〕，B={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}=〔1，3〕，∴∁R B=〔﹣∞，1]∪[3，+∞〕；∴A∩〔∁R B〕=[﹣1，1]∪[3，4〕．应选：B．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算问题，熟练掌握各自的定义是解题的关键．2．设变量x，y满足约束条件其中k＞，假设目标函数z=x﹣y的最小值大于﹣3，那么k的取值范围是〔〕A．〔，3〕B．〔3，+∞〕C．〔，5〕D．〔5，+∞〕【分析】先作出不等式组对应的平面区域，利用z=x﹣y的最小值大于﹣3，先求出z=x﹣y 最小值为﹣3时k的值，建立条件关系即可求实数k的值．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，∵目标函数z=x﹣y的最小值大于﹣3，∴当目标函数z=x﹣y的最小值等于﹣3时，由图象可知要使z=x﹣y的最小值为﹣3，即y=x+3，此时直线y=x+3对应区域的截距最大，由，解得，即C〔，〕，同时A也在直线kx﹣y+1=0上，那么k﹣+1=0，得k=﹣1=，即k=5，∴要使目标函数z=x﹣y的最小值大于﹣3，那么＜k＜5，应选：C．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数先求出z取得最小值为﹣3时，对应的k的值，然后得到平面区域的对应关系是解决此题的关键．3．阅读如图的程序框图，当该程序运行后输出的S值是〔〕A．12 B．16 C．24 D．32【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i，k的值，当i=12时，不满足条件i＜12，退出循环，输出S的值为32．【解答】解：模拟执行程序，可得i=2，k=1，S=1满足条件i＜12，执行循环体，S=2，i=4，k=2满足条件i＜12，执行循环体，S=4，i=6，k=3满足条件i＜12，执行循环体，S=8，i=8，k=4满足条件i＜12，执行循环体，S=16，i=10，k=5满足条件i＜12，执行循环体，S=32，i=12，k=6不满足条件i＜12，退出循环，输出S的值为32．应选：D．【点评】此题考查了循环框图中的当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件算法结束，此题在运算过程中极易出错，是易错题．4．设x∈R，那么“a=b〞是“f〔x〕=〔x+a〕|x+b|为奇函数〞的〔〕A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：假设f〔x〕=〔x+a〕|x+b|为奇函数，那么f〔0〕=0，即a|b|=0，那么a=0或b=0，假设a=0，f〔x〕=x|x+b|，那么f〔﹣x〕=﹣x|﹣x+b|=﹣x|x+b|，即|x﹣b|=|x+b|，那么b=0，此时a=b，假设b=0，f〔x〕=〔x+a〕|x|，那么f〔﹣x〕=〔﹣x+a〕|﹣x|=﹣〔x+a〕|x|，即﹣x+a=﹣x﹣a，那么a=﹣a，那么a=0，此时a=b，即必要性成立，假设a=b=1，那么f〔x〕=〔x+1〕|x+1|，那么f〔0〕=1≠0，那么函数f〔x〕不是奇函数，即充分性不成立，故“a=b〞是“f〔x〕=〔x+a〕|x+b|为奇函数〞的必要不充分条件，应选：B【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的定义建立方程关系是解决此题的关键．5．直线l的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，那么直线l被圆C截得的弦长为〔〕A．B． C．2 D．2【分析】直线l的参数方程为〔t为参数〕，消去t化为：3x﹣4y+3=0．圆C 的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．求出圆心C到直线l的距离d．利用直线l被圆C截得的弦长=2即可得出．【解答】解：直线l的参数方程为〔t为参数〕，消去t化为：3x﹣4y+3=0．圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2=4y，配方为：x2+〔y﹣2〕2=4．可得圆心C〔0，2〕，半径r=2．圆心C到直线l的距离d==1．那么直线l被圆C截得的弦长=2=2．应选：C．【点评】此题考查了直角坐标与极坐标的互化、点到直线的距离公式、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．如图，圆O的两条弦AB与CD相交于点E，圆O的切线CF交AB的延长线于F点，且AE：EB=3：2，EF=CF，CE=，ED=3，那么CF的长为〔〕A．6 B．5 C．2 D．2【分析】利用相交弦定理可得：AE，EB，再利用切割线定理即可得出．【解答】解：设AE=3x，那么EB=2x，∵AEEB=CEED．∴3x2x=，解得x=1．∴AE=3，BE=2．设FB=y，那么FE=y+2=CF，由切割线定理可得：CF2=FBFA，∴〔y+2〕2=y〔y+5〕，解得y=4，∴CF=6．应选：A．【点评】此题考查了相交弦定理、切线长定理、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线为x+y=0，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，假设F2同时为抛物线y2=12x的焦点，那么F1到直线F2M的距离为〔〕A．B．C．D．【分析】求出双曲线的渐近线的方程，可得a=b，由抛物线的焦点坐标，可得c=3，即a2+b2=9，解得a，b，可得双曲线的方程，求得M的坐标和直线MF2的方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，又抛物线y2=12x的焦点为〔3，0〕，即有c=3，即a2+b2=9，解得b=，a=，可得双曲线的方程为﹣=1，令x=﹣3，可得y=±3=±，可设M〔﹣3，〕，直线MF2的方程为y=﹣x+，可得F1到直线F2M的距离为=．应选：D．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离的求法，注意运用抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，以及运算能力，属于中档题．8．g〔x〕=|log2x|﹣|x﹣2|的三个零点为a，b，c且a＜b＜c，假设f〔x〕=|log2x|，那么f〔a〕，f〔b〕，f〔c〕的大小关系为〔〕A．f〔b〕＜f〔a〕＜f〔c〕B．f〔b〕＜f〔c〕＜f〔a〕C．f〔a〕＜f〔b〕＜f〔c〕D．f〔c〕＜f〔a〕＜f〔b〕【分析】问题转化为f〔x〕=|log2x|和h〔x〕=|x﹣2|的交点，结合函数图象求出其大小即可．【解答】解：g〔x〕=|log2x|﹣|x﹣2|的三个零点为a，b，c，即f〔x〕=|log2x|和h〔x〕=|x﹣2|的三个交点的横坐标为a，b，c，如图示：，结合图象：f〔b〕＜f〔a〕＜f〔c〕，应选：A．【点评】此题考查了对数函数的性质，考查绝对值问题以及数形结合思想，是一道中档题．二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在答题卷上.9．假设a是复数z1=〔1﹣i〕〔3+i〕的虚部，b是复数z2=的实部，那么ab等于．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z1，根据条件即可求出a的值，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z2，即可得到b的值，那么ab的值可求．【解答】解：z1=〔1﹣i〕〔3+i〕=4﹣2i，由a是复数z1=〔1﹣i〕〔3+i〕的虚部，得a=﹣2．z2==，由b是复数z2=的实部，得b=．那么ab=．故答案为：．【点评】此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的根本概念，是根底题．10．一个几何体的三视图如下图〔单位：cm〕，那么该几何体的体积为πcm3．【分析】由三视图可知：该几何体为上下局部组成，上面为一个球，下面为一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下局部组成，上面为一个球，下面为一个圆锥．∴该几何体的体积=×+=．故答案为：．【点评】此题考查了三视图的有关计算、圆锥与球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．11．曲线y=与直线x=、直线x=e及x轴所围成的封闭图形的面积等于 2 ．【分析】由题意，利用定积分表示所围成的封闭图形的面积，利用定积分计算．【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=、直线x=e及x轴所围成的封闭图形的面积为=lnx|=lne﹣ln=2；故答案为：2．【点评】此题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．12．假设的展开式中只有第六项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是180 ．【分析】如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间那项的二次项系数最大，由此可确定n的值，进而利用展开式，即可求得常数项．【解答】解：如果n是奇数，那么是中间两项的二次项系数最大，如果n是偶数，那么是最中间项的二次项系数最大．∵假设的展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴n=10∴的展开式的通项为×〔﹣1〕r×2r×x﹣2r=×〔﹣2〕r×令=0，可得r=2∴展开式中的常数项等于=180．故答案是180．【点评】此题考查二项展开式，考查二项式系数，正确利用二项展开式是关键．13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．2c=3b，sinA=2sinB，那么的值为﹣．【分析】利用正弦定理得出三角形三边的比例关系，利用余弦定理求出cosA，cosB得出比值．【解答】解：∵2c=3b，∴b：C=2：3．∵sinA=2sinB，∴a=2b，∴a：b；c=4：2：3．设a=4，b=2，c=3，那么cosA==﹣，cosB==．∴=﹣=﹣．故答案为：．【点评】此题考查了正弦定理，余弦定理，属于根底题．14．菱形ABCD的边长为1，∠BAD=120°，假设=λ，=，其中0＜λ＜1，的最小值为．【分析】根据向量加法的几何意义及相等向量的概念便可得出，由进行数量积的运算便可以得到，而由根本不等式便可求出的最小值，从而便可得出的最小值．【解答】解：如图，根据条件：======，当且仅当，即时取“=〞；∴的最小值为．故答案为：．【点评】考查向量加法的几何意义，相等向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，别离常数法的运用，根本不等式用于求最值，运用根本不等式时需判断等号能否取到．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．函数f〔x〕=x﹣sinxcos〔π﹣x〕，x∈R．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期及单调区间；〔Ⅱ〕求f〔x〕在区间[﹣，]上的最大值和最小值．【分析】〔Ⅰ〕由诱导公式、二倍角公式及辅助角公式化简f〔x〕，由此得到周期与单调区间．〔Ⅱ〕由f〔x〕的单调性得到在区间[﹣，]上的单调性，由此得到最值．【解答】解：〔Ⅰ〕∵==sin〔2x+〕+．∴f〔x〕的最小正周期．由≤2x+≤，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，故f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．由≤2x+≤，k∈Z，可得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，故f〔x〕的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕可知，f〔x〕在区间上单调递增，在区间上单调递减，，，．所以f〔x〕在区间上的最大值为，最小值为0．【点评】此题考查三角函数的化简，以及求周期与单调性，由单调性得最值．16．一个袋子中有k个红球，4个绿球，2个黄球，这些球除颜色外其他完全相同．从中一次随机取出2个球，每取得1个红球记1分、取得1个绿球记2分、取得1个黄球记5分，用随机变量X表示取到2个球的总得分，总得分是2分的概率为．〔Ⅰ〕求袋子中红球的个数；〔Ⅱ〕求X的分布列和数学期望．【分析】〔Ⅰ〕当取到的2个球都是红球时，总得分是2分，从而，由此能求出袋子中有3个红球．〔Ⅱ〕依题意，X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】〔此题13分〕解：〔Ⅰ〕当取到的2个球都是红球时，总得分是2分，即，…〔2 分〕化简得11k2﹣23k﹣30=0，即〔k﹣3〕〔11k+10〕=0，…〔3 分〕解得k=3或〔舍去〕．故袋子中有3个红球．…〔4 分〕〔Ⅱ〕依题意，X的所有可能取值为2，3，4，6，7，10．…〔5 分〕，，，，，．…〔10分〕∴X的分布列为：X 2 3 4 6 7 10P…〔11分〕．…〔13分〕【点评】此题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．17．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，E为SC的中点，F为AC上一点，且AB=2，SA=2．〔Ⅰ〕求证：EF⊥BD；〔Ⅱ〕假设EF∥平面SBD，试确定F点的位置；〔Ⅲ〕求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．【分析】〔Ⅰ〕以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥BD．〔Ⅱ〕设AC与BD的交点为G，那么G〔1，1，0〕，连接SG，求出，，假设使EF∥平面SBD，只需EF∥SG，由此能求出当F点坐标为时，EF∥平面SBD．〔Ⅲ〕求出平面SBC的一个法向量和平面SCD的一个法向量，得用向量法能求出二面角B ﹣SC﹣D的余弦值．【解答】证明：〔Ⅰ〕以A为原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系．那么A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕，，，F〔a，a，0〕，其中．…〔2 分〕∵，，∴．∴EF⊥BD．…〔5 分〕解：〔Ⅱ〕设AC与BD的交点为G，那么G〔1，1，0〕，连接SG，，，假设使EF∥平面SBD，只需EF∥SG，只需，即．…〔7 分〕故当F点坐标为时，EF∥平面SBD．…〔8 分〕〔Ⅲ〕设平面SBC的一个法向量为=〔x，y，z〕，而，，那么，即，取z=1，得=．…〔10分〕设平面SCD的一个法向量为=〔x1，y1，z1〕．而=〔0，2，﹣2〕，=〔﹣2，0，0〕，那么，取z1=1，得=．…〔11分〕cos＜＞==，由图形知所求二面角是锐角，故二面角B﹣SC﹣D的余弦值为．…〔13分〕【点评】此题考查异面直线垂直的证明，考查使线面平行的点的位置确实定，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且a n+1=1﹣．〔Ⅰ〕求{a n}的通项公式；〔Ⅱ〕假设{S n+λ〔n+〕}为等差数列，求λ的值．【分析】〔I〕利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．〔II〕利用等比数列的前n项和公式、等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：〔Ⅰ〕依题意，可得S n=2﹣2a n+1，①当n≥2时，S n﹣1=2﹣2a n，②…〔1 分〕①﹣②，得a n=2a n﹣2a n+1，…〔3 分〕故〔n≥2〕．…〔4 分〕因为a1=1，，…〔5 分〕所以{a n}是首项为1，公比为的等比数列，故．…〔6 分〕〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕可得．…〔8 分〕由为等差数列，那么，，成等差数列．…〔10分〕即，故，…〔12分〕解得λ=2．…〔13分〕【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设椭圆C：=1〔a＞b＞0〕的左、右焦点分别为F1、F2，且A〔a，0〕、B 〔0，b〕满足条件|AB|=|F1F2|．〔Ⅰ〕求椭圆C的离心率；〔Ⅱ〕假设坐标原点O到直线AB的距离为，求椭圆C的方程；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，过点P〔﹣2，1〕的直线l与椭圆C交于M、N两点，且点P 恰为线段MN的中点，求直线l的方程．【分析】〔Ⅰ〕由A，B的坐标求得|AB|2=a2+b2，结合，可得2c2=a2+b2，再结合隐含条件求得离心率；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得b=，写出直线AB的方程，由O到直线AB的距离为，得，联立b=，求得a，b的值得答案；〔Ⅲ〕设M、N两点的坐标分别为〔x1，y1〕和〔x2，y2〕，把M，N的坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，再由直线方程的点斜式得直线l的方程．【解答】解：〔Ⅰ〕依题意，得|AB|2=a2+b2，而，…〔2 分〕那么有2c2=a2+b2=a2+〔a2﹣c2〕，即2a2=3c2，故，…〔3 分〕∴离心率；…〔4 分〕〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得，…〔5 分〕直线AB的截距式方程为，即bx+ay﹣ab=0，…〔6 分〕依题意，得，…〔7 分〕由，解得．∴椭圆C的方程的方程为；…〔10分〕〔Ⅲ〕设M、N两点的坐标分别为〔x1，y1〕和〔x2，y2〕，依题意，可知x1≠x2，且，，…〔11分〕两式相减，得．…〔12分〕∵P〔﹣2，1〕是线段MN的中点，∴x1+x2=﹣4，y1+y2=2，那么有，即直线l的斜率为，且直线l过点P〔﹣2，1〕，…〔13分〕故直线l的方程为，即2x﹣3y+7=0．…〔14分〕【点评】此题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法〞求解中点弦问题，属中档题．20．函数f〔x〕=4ax﹣﹣2lnx．〔Ⅰ〕当a=1时，求曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数f〔x〕在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕设函数g〔x〕=，假设在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f〔x0〕＞g〔x0〕成立，求实数a的取值范围．【分析】〔Ⅰ〕求出f〔x〕的导数，求出f′〔1〕，f〔1〕，代入切线方程即可；〔Ⅱ〕求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；〔Ⅲ〕构造函数ϕ〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕，x∈[1，e]，只需ϕ〔x〕max＞0，根据函数的单调性求出ϕ〔x〕max，从而求出a的范围．【解答】解：〔Ⅰ〕当a=1时，，f〔1〕=4﹣1﹣2ln1=3，…〔1 分〕，…〔2 分〕曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的斜率为f′〔1〕=3，…〔3 分〕故曲线f〔x〕在点〔1，f〔1〕〕处的切线方程为y﹣3=3〔x﹣1〕，即y=3x．…〔4 分〕〔Ⅱ〕．…〔5 分〕令h〔x〕=4ax2﹣2x+a，要使f〔x〕在定义域〔0，+∞〕内是增函数，只需h〔x〕≥0在区间〔0，+∞〕内恒成立．…〔6 分〕依题意a＞0，此时h〔x〕=4ax2﹣2x+a的图象为开口向上的抛物线，，其对称轴方程为，，那么只需≥0，即a≥时，h〔x〕≥0，f'〔x〕≥0，…〔8 分〕所以f〔x〕定义域内为增函数，实数a的取值范围是．…〔9 分〕〔Ⅲ〕解：构造函数ϕ〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕，x∈[1，e]，依题意ϕ〔x〕max＞0，…〔10分〕由〔Ⅱ〕可知a≥时，ϕ〔x〕=f〔x〕﹣g〔x〕为单调递增函数，即在[1，e]上单调递增，…〔12分〕，那么，此时，ϕ〔e〕=f〔e〕﹣g〔e〕＞0，即f〔e〕＞g〔e〕成立．当a≤时，因为x∈[1，e]，，故当x值取定后，ϕ〔x〕可视为以a为变量的单调递增函数，那么ϕ〔x〕≤，x∈[1，e]，故ϕ〔x〕≤，即f〔x〕≤g〔x〕，不满足条件．所以实数a的取值范围是．…〔14分〕【点评】此题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．。
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2021版高考数学二模试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一上·惠来月考) 设集合，，则（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）(2019·武威模拟) 已知（）且，则（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高二上·宁城期末) 双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为（）
A .
B .
C . 2
D .
4. （2分）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（）
A . 4+ π
B . 6+ π
C . 6+3π
D . 12+ π
5. （2分） (2017高一下·黄山期末) 某人从甲地去乙地共走了500m，途经一条宽为xm的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为（）
A . 80m
B . 100m
C . 40m
D . 50m
6. （2分）下列函数中，图像的一部分如右图所示的是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）(2020·梧州模拟) 若x ， y满足约束条件，则z＝2x﹣3y的最小值为（）
A . ﹣2
B . ﹣1
C . 1
D . 2
8. （2分）如果执行右边的框图，输入N=5，则输出的数等于（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） (2016高二下·红河开学考) 若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是（）
A . 0＜b＜1
B . 1＜b＜2
C . 1＜b≤2
D . 0＜b＜2
10. （2分） (2016高一下·枣阳期中) 式子σ（a，b，c）满足σ（a，b，c）=σ（b，c，a）=σ（c，a，b），则称σ（a，b，c）为轮换对称式．给出如下三个式子：①σ（a，b，c）=abc；②σ（a，b，c）=a2﹣b2+c2；
③σ（A，B，C）=cosC•cos（A﹣B）﹣cos2C（A，B，C是△ABC的内角）．其中，为轮换对称式的个数是（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
11. （2分）已知三个向量=，=，=共线，其中a、b、c、A、B、C 分别是△ABC的三条边及相对三个角，则△ABC的形状是（）
A . 等腰三角形
B . 等边三角形
C . 直角三角形
D . 等腰直角三角形
12. （2分）下列命题中，真命题是（）
A .
B .
C . a+b=0的充要条件是
D . a>1,b>1是ab>1的充分条件
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高三上·安徽期中) （x2+ ﹣2）3展开式中的常数项为________．
14. （1分） (2017高三下·武邑期中) 已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，AA1=a．棱BB1的中点为E，棱B1C1的中点为F，平面AEF与平面AA1C1C的交线与AA1所成角的正切值为，则三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为________．
15. （1分） (2019高一下·哈尔滨月考) 在数列{an}中，a1 ，an+1＝an2+an ，n∈N* ， bn ，Pn＝b1b2b3…bn ， Sn＝b1+b2+b3+…+bn ，则5Pn+2Sn＝________
16. （1分）包括甲、乙、丙三人在内的4个人任意站成一排，则甲与乙、丙都相邻的概率为________
三、解答题 (共7题；共65分)
17. （10分） (2017高一下·晋中期末) 已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =（a，b+c），．
（1）求角A；
（2）若a=3，求△ABC面积的取值范围．
18. （10分）(2014·辽宁理) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
19. （10分） (2019高三上·双流期中) 如图，在四棱锥中，平面，，
，，，是的中点．
（1）求和平面所成的角的大小．
（2）求二面角的正弦值．
20. （5分）(2017·成都模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：（a＞b＞0），圆O：x2+y2=r2（0＜r＜b），若圆O的一条切线l：y=kx+m与椭圆E相交于A，B两点．
（Ⅰ）当k=﹣，r=1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r之间的等量关系，并说明理由．
21. （10分） (2016高一上·上海期中) 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，
则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；
（1） f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；
（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．
22. （10分）(2017·湖北模拟) 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两
种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C1的参数方程为，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．
（1）
求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程；
（2）
若P是C1上任意一点，过点P的直线l交C2于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．
23. （10分） (2016高一上·淮阴期中) 某超市五一假期举行促销活动，规定一次购物不超过100元的不给优惠；超过100元而不超过300元时，按该次购物全额9折优惠；超过300元的其中300 元仍按9折优惠，超过部分按8折优惠．
（1）写出顾客购物全额与应付金额之间的函数关系，并画出流程图，要求输入购物全额，能输出应付金额．（2）若某顾客的应付金额为282.8元，请求出他的购物全额．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、
17-2、
18-1、
18-2、19-1、
19-2、
20-1、21-1、
21-2、22-1、22-2、
23-1、23-2、。