因式分解的14 种方法
因式分解的方法及原理
因式分解的方法及原理因式分解是将一个多项式拆分成较为简单的乘积形式的过程。
它是代数中非常重要的一个概念，被广泛运用在数学、物理、工程等领域。
一、方法：1. 公因式提取法：当多项式的每一项都有相同的公因式时，可以将公因式提取出来形成一个因子。
例如：4x^2 + 8x = 4x(x + 2)。
2. 方程配方法：当多项式可以写成两个平方数之差时，可以利用平方差公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)。
3.求根配方法：对于二次多项式，可以使用求根法找到多项式的根，然后将根代入(x - 根)形式的线性因子中。
例如：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)。
4.完全平方法：当多项式是完全平方时，可以使用完全平方法进行因式分解，其中一种常见方法是利用平方根的性质将多项式分解。
例如：x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2。
5.特殊因式公式法：对于一些特殊形式的多项式，例如三次齐次多项式(ax +by)^n，可以利用特殊因式公式进行因式分解。
例如：x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)。
二、原理：因式分解的原理在于寻找多项式的因子，将多项式拆解成较为简单的乘积形式。
在因式分解的过程中，我们可以运用一些数学知识和技巧，以及运用多项式的性质和公式，将复杂的多项式分解成简单的因子乘积。
我们可以利用多项式的因子关系和常见的数学公式来拆分多项式。
例如，公因式提取法就是通过找到多项式各项的公因式来进行因式分解。
在方程配方法中，我们利用平方差公式将多项式拆解成两个平方差的乘积形式。
在求根配方法中，我们利用多项式的根来将多项式拆分成线性因子的乘积形式。
而完全平方法则是利用完全平方公式将多项式拆解成完全平方的乘积形式。
特殊因式公式法则是通过利用一些特殊因式公式来进行因式分解。
因式分解可以帮助我们更好地理解多项式的性质和特点，可以简化多项式的运算过程，提高问题求解的效率。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是代数中的一个非常重要的概念，它可以帮助我们将一个复杂的代数表达式简化为更简单的乘积形式。
在因式分解的过程中，有许多不同的方法可以使用。
下面将介绍因式分解的十二种常见方法。
一、公因式提取法（通用方法）：公因式提取法是因式分解中最基础也是最常见的一种方法。
它的基本思想是通过提取出一个或多个公因式，将原表达式分解为因子相乘的形式。
例如，对于表达式6x+9y，可以提取出3作为公因式，从而得到3(2x+3y)。
二、配方法（分组法）：配方法是一种将高次项与低次项相乘的方法。
通过将原表达式分组，然后将每组中的项相乘，最后将各组之间的结果相加。
例如，对于表达式x^2+5x+6，可以将其写成(x^2+2x)+(3x+6)，然后将每组中的项相乘，即得到x(x+2)+3(x+2)，再进行合并得到(x+2)(x+3)。
三、分解差平方：分解差平方是一种将平方差分解为两个因数相乘的方法。
它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的差分解为两个因数的乘积。
例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。
四、分解和差平方：分解和差平方是一种将平方和分解为两个因数相乘的方法。
它的基本思想是将一项的平方与另一项的平方的和分解为两个因数的乘积。
例如，对于表达式x^2+4，可以将其分解为(x+2i)(x-2i)，其中i是虚数单位。
五、完全平方差公式：完全平方差公式是一种将二次三项式分解为两个完全平方的差的方法。
它的基本形式可以表示为a^2-b^2，其中a和b可以是任意代数式。
根据完全平方差公式，可以将a^2-b^2分解为(a+b)(a-b)。
例如，对于表达式x^2-4，可以将其分解为(x+2)(x-2)。
六、分组分解法：分组分解法是一种将多项式分解为若干个二次三项式相加的方法。
它的基本思想是通过分组，将多项式分成多个二次三项式的和，然后对每个二次三项式进行因式分解。
例如，对于表达式x^3+x^2+x+1，可以将其分为(x^3+x^2)+(x+1)，然后对每个二次三项式进行因式分解，得到x^2(x+1)+1(x+1)，再进行合并得到(x^2+1)(x+1)。
因式分解的十二种方式
因式分解的十二种方式因式分解是数学中的重要概念，它可以帮助我们简化和解决各种数学问题。
本文将介绍因式分解的十二种常用方式。
1. 公因式提取法公因式提取法是用于将多项式中的公因式提取出来。
首先找到多项式中所有项的公因式，然后将公因式提取出来，剩下的部分则是提取后的因式。
例如，对于多项式2x + 6，可以提取公因式2，得到2(x + 3)。
2. 完全平方公式完全平方公式是用于将平方差式因式分解的方法。
根据完全平方公式，平方差可以写成两个平方数的差。
例如，对于平方差a^2 - b^2，可以因式分解为(a + b)(a - b)。
3. 一元二次方程一元二次方程可以通过将其因式分解为两个一元一次方程来求解。
首先将方程设置为等于零，然后根据因式分解的方式将其分解成两个一元一次方程。
例如，对于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x的解为2和3。
4. 分组法分组法是用于将多项式中的项进行分组然后进行因式分解的方法。
通过分组，可以在多项式中找到共同的因式，然后进行提取和化简。
例如，对于多项式3a + 6b + 9c + 18d，可以将其进行分组，得到(3a + 6b) + (9c + 18d)，然后提取公因式，得到3(a + 2b) + 9(c +2d)。
5. 十字相乘法十字相乘法是用于将二次三项式进行因式分解的方法。
通过十字相乘法，可以找到二次三项式的两个因式，从而进行因式分解。
例如，对于二次三项式x^2 + 5x + 6，可以使用十字相乘法得到(x + 2)(x + 3)。
6. 定积分法定积分法是用于计算定积分的方法，也可以用于对多项式进行因式分解。
通过计算定积分，可以得到多项式的因式分解形式。
例如，对于多项式x^3 - 1，可以通过计算定积分得到(x -1)(x^2 + x + 1)。
7. 化简法化简法是用于对复杂多项式进行因式分解的方法。
初中生因式分解
因式分解是将一个多项式表达为几个多项式的乘积的过程。
对于初中生来说，通常需要掌握以下几种基本的因式分解方法：
1. 提公因式法：如果多项式的各项中都有公共的因子，可以提取出来，使得原多项式变为公因子与剩余部分的乘积。
例如：ax + ay = a(x + y)
2. 分组分解法：将多项式的各项分成几组，每组提出公因子，再将提取公因子后的表达式进行合并。
例如：ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
3. 完全平方公式法：利用完全平方公式(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2和(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2进行因式分解。
例如：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2
4. 差平方公式法：利用差平方公式a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)进行因式分解。
例如：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)
5. 十字相乘法：适用于形如ax^2 + bx + c的三项式的因式分解，其中a、b、c是常数。
例如：x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
6. 配方法：通过添加和减去同一个数，将二次项和一次项的部分转换为完全平方的形式。
例如：x^2 + 4x = x^2 + 4x + 4 - 4 = (x + 2)^2 - 4
7. 其他特殊公式：如立方和公式、立方差公式等，用于特定形式的多项式因式分解。
因式分解是初中数学中的一个重要知识点，它不仅能够帮助简化多项式的表达，还是解决方程、不等式等问题的重要工具。
因式分解的十二种方法
因式分解的十二种方法因式分解是一种将一个数或代数式分解成更简单的乘积的方法。
在数学中，有很多种因式分解的方法可以使用，根据不同的情况可以采用不同的方法，下面将介绍十二种常见的因式分解方法。
1.提取公因子法：当一个式子存在公因子时，可以先将公因子提取出来，然后再进行进一步的因式分解。
2. 公式法：利用公式进行因式分解，例如(a+b)^2=a^2+2ab+b^23.分组法：将一个多项式按照不同的组合方式进行分组，然后再分别进行因式分解，最后将得到的结果合并。
4.平方差公式法：对于一个二次型式，可以利用平方差公式进行因式分解，例如a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式法：对于一个完全平方式，可以通过完全平方公式进行因式分解，例如a^2+2ab+b^2=(a+b)^26. 二次因式法：对于一个二次多项式，可以通过二次因式法进行因式分解，例如ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2为方程ax^2+bx+c=0的根。
7.和差立方公式法：对于一个和差立方的多项式，可以通过和差立方公式进行因式分解。
8. 因式分解的配方法：通过配方法进行因式分解，例如ab+ac=a(b+c)。
9.分解因式法：将一个多项式根据不同的性质进行因式分解，例如差平方分解、和的平方分解等。
10.二次根与一次根相结合法：对于一个多项式，通过将二次根与一次根相结合，得到更简单的因式分解结果。
11. 分组求积法：对于一个多项式，可以通过分组求积法进行因式分解，例如(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。
12.全等公式法：利用全等公式进行因式分解。
以上是常见的十二种因式分解方法。
不同的方法适用于不同的情况，需要根据具体的问题选择合适的方法进行因式分解。
因式分解是数学中的一个重要概念，通过因式分解可以简化计算过程，提高解题效率。
因此，掌握不同的因式分解方法对于提高数学能力和解决实际问题都有很大的帮助。
因式分解的14种方法讲解
因式分解的14种方法讲解因式分解是数学中常用的重要方法，它可以将一个多项式表达式分解为一个或多个乘积的形式。
在因式分解过程中，有多种方法可以使用。
下面我将为您介绍14种常见的因式分解方法。
方法一：公因式提取法1.公因式提取法是最基本的一种因式分解方法，适用于多项式中存在公共的因式。
例如，对于多项式2x+6，可以提取出公因式2，得到2(x+3)。
方法二：配方法2. 配方法适用于二次型多项式的因式分解。
对于ax² + bx + c形式的多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次因式相乘的形式。
例如，对于多项式x² + 3x + 2，可以找到两个因数(x + 1)(x + 2)。
方法三：x平方差3.x平方差适用于形如x²-a²的多项式，其中a是一个常数。
这种情况下，可以将其分解为两个因子(x+a)(x-a)。
方法四：因式分解公式4.因式分解公式适用于一些特殊的多项式形式。
例如，x²-y²可以通过公式(x-y)(x+y)分解。
方法五：完全平方公式5. 完全平方公式适用于形如a² ± 2ab + b²的多项式。
这种情况下，可以将其分解为平方项的和或差。
(a ± b)²。
方法六：两个平方差的乘积6.两个平方差的乘积适用于形如(a+b)(a-b)(c+d)(c-d)的多项式。
这种情况下，可以分解为两个平方差相乘。
方法七：立方公式7. 立方公式适用于形如a³ ± b³的多项式。
这种情况下，可以将其分解为立方项的和或差。
(a ± b)(a² ∓ ab + b²)。
方法八：差的立方8. 差的立方适用于形如a³ - b³的多项式。
这种情况下，可以分解为差的立方公式(a - b)(a² + ab + b²)。
方法九：高次幂差的因式分解9.高次幂差的因式分解适用于形如aⁿ-bⁿ的多项式，其中n为正整数。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解是将一个多项式进行拆解，使其表示为更简洁的乘积形式。
因式分解可以帮助我们简化复杂的计算或者解决一些与多项式相关的问题。
在本文中，将会介绍14种常见的因式分解方法。
1.公因式提取法：当多项式中的每一项都有相同的因子时，可以将这个公因式提取出来。
例如，将多项式2x+4y表示为2(x+2y)。
2.平方差公式：当一个多项式可以写成两个平方项之差时，可以通过平方差公式进行因式分解。
例如，将多项式x^2-4表示为(x-2)(x+2)。
3.完全平方公式：当一个多项式可以写成一个平方项加上一个常数项时，可以通过完全平方公式进行因式分解。
例如，将多项式x^2+6x+9表示为(x+3)(x+3)。
4.平方和公式：当一个多项式可以写成两个平方项之和时，可以通过平方和公式进行因式分解。
例如，将多项式x^2+6x+9表示为(x+3)(x+3)。
5.差平方公式：当一个多项式可以写成两个项的平方差时，可以通过差平方公式进行因式分解。
例如，将多项式x^4-16表示为(x^2+4)(x^2-4)。
6.二次差公式：当一个多项式可以写成两个项的二次差时，可以通过二次差公式进行因式分解。
例如，将多项式x^4-16表示为(x^2+4)(x^2-4)。
7.和积公式：当一个多项式可以写成两个项的和乘以另外一个因子时，可以通过和积公式进行因式分解。
例如，将多项式x^2+3x+2表示为(x+1)(x+2)。
8.差积公式：当一个多项式可以写成两个项的差乘以另外一个因子时，可以通过差积公式进行因式分解。
例如，将多项式x^2-3x+2表示为(x-1)(x-2)。
9.二次和公式：当一个多项式可以写成两个平方项之和以及另外一个项的平方时，可以通过二次和公式进行因式分解。
例如，将多项式x^4+4x^2+4表示为(x^2+2)^210.幂次差公式：当一个多项式可以写成一个项的两个幂次差的形式时，可以通过幂次差公式进行因式分解。
例如，将多项式x^6-y^6表示为(x^3+y^3)(x^3-y^3)。
因式分解的14种方法
因式分解的14种方法因式分解是数学中的一种重要运算方法。
它可以将一个数或一个多项式分解成若干个乘积的形式，从而可以更好地理解和研究数与代数表达式的性质。
根据因式分解的对象和方法的不同，可以总结出以下14种因式分解的方法。
1.因数法：当一个数或一个多项式可以被一个常数因式整除时，可以使用因数法进行分解。
例如，对于多项式3x^2+6x，可以因式分解为3x（x+2）。
2.公因式法：当一个多项式中的每一项都有一个共同的因式时，可以使用公因式法进行分解。
例如，对于多项式6x^3+9x^2+15x，可以因式分解为3x（2x^2+3x+5）。
3.完全平方式：对于一个完全平方数，可以使用完全平方式进行分解。
例如，对于数16，可以因式分解为4^24.平方差公式：根据平方差公式，可以将两个平方差形式分解为两个因式的乘积。
例如，a^2-b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
5. 二次三项式因式分解：对于一个二次三项式（ax^2 + bx + c），可以使用二次三项式因式分解法进行分解。
例如，对于多项式 x^2 + 4x+ 4，可以因式分解为（x + 2）^26.分组因式法：当多项式中存在多个项，但无法直接应用其他因式分解法时，可以使用分组因式法进行分解。
例如，对于多项式x^3+x^2+2x+2，可以因式分解为（x^3+x^2）+（2x+2），然后再进行进一步的分解。
7.因式分解与除法结合：当一个多项式无法直接因式分解时，可以先进行除法运算，将其分解为两个因式相乘的形式。
例如，对于多项式x^4-1，可以使用除法运算将其分解为（x^2+1）（x^2-1）。
8.差两个平方公式：根据差两个平方公式，可以将两个平方和形式分解为两个因式相乘的形式。
例如，a^2+b^2可以分解为(a+b)(a-b)。
9. 三次和三项式因式分解：对于一个三次和三项式（ax^3 + bx^2 + cx + d），可以使用三次和三项式因式分解法进行分解。
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因式分解的14 种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
注意三原则：1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：3 .3 1. 2 . x . x . .x x . ）分解因式技巧：1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。
2.分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。
基本方法：⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2 2 a +21 变成2(2 a +41)不叫提公因式⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
平方差公式：2 a 2 . b =(a+b)(a-b)；完全平方公式：2 a ±2ab＋2 b ＝. .2 a . b2注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2 倍。
立方和公式： 3 3 a . b =(a+b)( 2 a -ab+ 2 b )；立方差公式： 3 3 a . b =(a--b)( 2 a +ab+ 2 b )；完全立方公式： 3 a ±3 2 a b＋3a 2 b ± 3 b =(a±b) 2 ．公式：3 a + 3 b + 3 c -3abc=(a+b+c)( 2 a + 2 b + 2 c -ab-bc-ca)例如：2 a +4ab+4 2 b =(a+2b) 2 。
⑶分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。
能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。
比如：ax+ay+bx+by =a(x+y)+b(x+y) =(a+b)(x+y)我们把ax 和ay 分一组，bx 和by 分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。
同样，这道题也可以这样做。
ax+ay+bx+by =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax 和5bx 看成整体，把3ay和3by 看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。
2. x 3 - 2 x +x-1解法：=( x 3 - 2 x )+(x-1) = 2 x (x-1)+ (x-1) =(x-1)( 2 x +1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。
3. 2 x -x-y 2 -y解法：=( 2 x -y 2 )-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)，然后相合解决。
⑷十字相乘法这种方法有两种情况。
①2 x +(p+q)x+pq 型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解：32 x +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．②k 2 x +mx+n 型的式子的因式分解如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么kx 2 +mx+n=(ax+b)(cx+d)．图示如下：a d 例如：因为1 -3××c d 7 2 -3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，所以7 2 x -19x-6=(7x+2)(x-3)．十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中⑸裂项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。
这钟方法的实质是分组分解法。
要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)．⑹配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。
属于拆项、补项法的一种特殊情况。
也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。
例如：2 x +3x-40 = 2 x +3x+2.25-42.25 =. .2 . .2 x .1.5 . 6.5 =(x+8)(x-5)．⑺应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)= 2 x +5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2 是2 x +5x+6 的一个因式。
(事实上，2 x +5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p（p,q 为互质整数时）该多项式值为零，则q 为常数项约数，p 最高次项系数约数；2、对于多项式f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有a 为c/b 约数⑻换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。
注意:换元后勿忘还元.例如在分解( 2 x +x+1)( 2 x +x+2)-12 时，可以令y= 2 x +x,则原式=(y+1)(y+2)-12 =y 2 +3y+2-12=y 2 +3y-10 =(y+5)(y-2)4=( 2 x +x+5)( 2 x +x-2) =( 2 x +x+5)(x+2)(x-1)．⑼求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x，x3，..xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)..(x-xn) ．例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6 时，令2x^4 +7x^3-2x 2 -13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1．所以2x^4+7x^3-2 2 x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．⑽图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,..xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)..(x-xn)．与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。
例如在分解x^3 +2 2 x -5x-6 时，可以令y=x^3; +2 2 x -5x-6.作出其图像，与x 轴交点为-3，-1，2则x^3+2 2 x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．⑾主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
⑿特殊值法将2 或10 代入x，求出数p，将数p 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2 或10 的和与差的形式，将2 或10 还原成x，即得因式分解式。
例如在分解x^3+9 2 x +23x+15 时，令x=2，则x^3 +9 2 x +23x+15=8+36+46+15=105，将105 分解成3 个质因数的积，即105=3×5×7 ．注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7 分别为x+1，x+3，x+5，在x=2 时的值，则x^3+9 2 x +23x+15 可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。
⒀待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5 2 x -6x-4 时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
于是设x^4-x^3-5 2 x -6x-4=( 2 x +ax+b)( 2 x +cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d) 2 x +(ad+bc)x+bd5由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4．解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．则x^4-x^3-5x 2 -6x-4=(x 2 +x+1)(x 2 -2x-4)．⒁双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。
双十字相乘法就是二元二次六项式，启始的式子如下:ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+fx、y 为未知数，其余都是常数用一道例题来说明如何使用。
例：分解因式：x 2 +5xy+6y 2 +8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。
解：原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．双十字相乘法其步骤为：①先用十字相乘法分解2 次项，如十字相乘图①中x 2 +5xy+6y 2 =(x+2y)(x+3y)；②先依一个字母（如y ）的一次系数分数常数项。
如十字相乘图②中6y 2 +18y+12=(2y+2)(3y+6)；③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。