新课标2018届高考数学二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理

专题能力训练10 三角变换与解三角形
能力突破训练
1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()
A. B.
C. D.
2.已知=-,则sin α+cos α等于()
A.-
B.
C.
D.-
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()
A. B.
C. D.
4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()
A. B. C. D.
5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且
A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.
8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+cos C的最大值.
9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
11.设f(x)=sin x cos x-cos2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
思维提升训练
12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()
A. B.- C. D.-
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos
取最大值时,角A的大小为()
A. B. C. D.
14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.
15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.
16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.
17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若||=2,求的取值范围.
参考答案
专题能力训练10 三角变换与解三角形
能力突破训练
1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,
则cos A0<A<π,∴0<A
2.D解析=-=2cos cosα+sinα=-,
∴sinα+cosα=-,故选D.
3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=
∵0<B<π,∴角B为故选D.
4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠
ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=
由正弦定理,得sin∠BAC=
5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.
由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,
所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,
所以2sin A=cos A,故tan A=
6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以
sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=
又因为,所以b=
7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4, ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.
8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=
又因为0<B<π,所以B=
(2)由(1)知A+C=
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A=cos
因为0<A<,
所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.
9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C=
(2)因为a=7,所以c=7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=6
10.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,
所以sin B=cos A,即sin B=sin
又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=
(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2
因为0<A<,所以0<sin A<,
因此<-2
由此可知sin A+sin C的取值范围是
11.解(1)由题意知f(x)==sin2x-
由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间
是(k∈Z);
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f=sin A-=0,得sin A=,
由题意知A为锐角,所以cos A=
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,
得1+bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+,且当b=c时等号成立.
因此bc sin A
所以△ABC面积的最大值为
思维提升训练
12.C解析∵cos,0<α<,
∴sin
又cos,-<β<0,
∴sin,
∴cos=cos=cos cos+sin sin
=
13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.
因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.
又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,
所以B=-A.
于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin
因为0<A<,
所以<A+,从而当A+,
即A=时,2sin取最大值2.故选A.
14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.
在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,
即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.
当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin60°=20;
当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin60°=24
故△ABC的面积为20或24
15.-解析因为sin=cos=cos,
所以sin sin
=sin cos sin
=cos2α=,所以cos2α=
因为<α<π,所以π<2α<2π.
所以sin2α=-=-
所以sin4α=2sin2αcos2α=-=-
16.8解析sin A=sin(B+C)=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B tan C,
因为tan A=-tan(B+C)=-,
所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥2,当且仅当tan A=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥2,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.
17.解(1)由及正弦定理,得sin B=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,<C<,
<B<π,B+C>π(舍去).
若B+2C=π,又A+B+C=π,
∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵||=2,
∴a2+c2+2ac cos B=4.
又由(1)知a=c,
∴cos B=
而cos B=-cos2C,
<cos B<1,
∴1<a2<
=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。