新课标2018届高考数学二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理
专题能力训练10 三角变换与解三角形
能力突破训练
1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()
A. B.
C. D.
2.已知=-,则sin α+cos α等于()
A.-
B.
C.
D.-
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()
A. B.
C. D.
4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()
A. B. C. D.
5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.
6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且
A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.
8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+cos C的最大值.
9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.
(1)求sin C的值;
(2)若a=7,求△ABC的面积.
10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.
(1)证明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范围.
11.设f(x)=sin x cos x-cos2.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.
思维提升训练
12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()
A. B.- C. D.-
13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos
取最大值时,角A的大小为()
A. B. C. D.
14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.
15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.
16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.
17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.
(1)判断△ABC的形状;
(2)若||=2,求的取值范围.
参考答案
专题能力训练10 三角变换与解三角形
能力突破训练
1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,
则cos A0<A<π,∴0<A
2.D解析=-=2cos cosα+sinα=-,
∴sinα+cosα=-,故选D.
3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=
∵0<B<π,∴角B为故选D.
4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠
ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=
由正弦定理,得sin∠BAC=
5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.
由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,
所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,
所以2sin A=cos A,故tan A=
6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以
sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=
又因为,所以b=
7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4, ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.
8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=
又因为0<B<π,所以B=
(2)由(1)知A+C=
cos A+cos C=cos A+cos
=cos A-cos A+sin A
=cos A+sin A=cos
因为0<A<,
所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.
9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,
所以由正弦定理得sin C=
(2)因为a=7,所以c=7=3.
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).
所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=6
10.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,
所以sin B=cos A,即sin B=sin
又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=
(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2
因为0<A<,所以0<sin A<,
因此<-2
由此可知sin A+sin C的取值范围是
11.解(1)由题意知f(x)==sin2x-
由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;
由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间
是(k∈Z);
单调递减区间是(k∈Z).
(2)由f=sin A-=0,得sin A=,
由题意知A为锐角,所以cos A=
由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,
得1+bc=b2+c2≥2bc,
即bc≤2+,且当b=c时等号成立.
因此bc sin A
所以△ABC面积的最大值为
思维提升训练
12.C解析∵cos,0<α<,
∴sin
又cos,-<β<0,
∴sin,
∴cos=cos=cos cos+sin sin
=
13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.
因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.
又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,
所以B=-A.
于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin
因为0<A<,
所以<A+,从而当A+,
即A=时,2sin取最大值2.故选A.
14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.
在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,
即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.
当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin60°=20;
当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin60°=24
故△ABC的面积为20或24
15.-解析因为sin=cos=cos,
所以sin sin
=sin cos sin
=cos2α=,所以cos2α=
因为<α<π,所以π<2α<2π.
所以sin2α=-=-
所以sin4α=2sin2αcos2α=-=-
16.8解析sin A=sin(B+C)=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B tan C,
因为tan A=-tan(B+C)=-,
所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥2,当且仅当tan A=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥2,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.
17.解(1)由及正弦定理,得sin B=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.
若B=2C,<C<,
<B<π,B+C>π(舍去).
若B+2C=π,又A+B+C=π,
∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵||=2,
∴a2+c2+2ac cos B=4.
又由(1)知a=c,
∴cos B=
而cos B=-cos2C,
<cos B<1,
∴1<a2<
=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。
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[推荐学习]2018年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题三平面向量三角函数三角形八三角变换与解三课时作业(八) 三角变换与解三角形( )A ．36B ．37C ．38D ．39 解析：由正弦定理，知a2sin 2A＋b2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ，∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.答案：A11．(2017·长沙市统一模拟考试)化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝2sin α＋2sin αcos α121＋cos α＝4sin α1＋cos α1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α12．(2017·新疆第二次适应性检测)cos10°1＋3tan10°cos50°的值是________．解析：依题意得cos10°1＋3tan10°cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin 10°＋30°cos50°＝2sin40°sin40°＝2. 答案：213．(2017·课标全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴ sin B ＝22.又∵c ＞b ，∴ B ＝45°，∴ A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°14．如图，一栋建筑物的高为(30－103) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m.解析：在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝30－103 sin15°＝30－103sin45°－30°＝30－1036－24＝20 6.易知∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.。
高考数学大二轮复习 微专题(三) 三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”
π
,
π
2
因此 sin
,所以
π
+4
所以 2sin
12
1
于是 t +t2
2
∈ -
π
+4
=
π
θ+4
∈
π
+
4
3π 5π
,
4 4
2 2
,
2 2
,
,
,
∈(-1,1),即 t∈(-1,1).
1
(t+1)2-1∈(-1,1).
2
故 sin θ+cos θ+sin θcos θ 的取值范围是(-1,1).
考查角度
角度一 变角
5π
12
[例 1—1](2021·山东淄博月考)已知 θ∈(0,π),cos 6 - =-13,则 tan +
π
=
6
.
5
答案
12
解析 由于
又因为 cos
π
θ∈(0,π),所以-6
5π
-
6
<
12
π
=- ,所以
13
2
因此 sin
5π
-
6
=
所以 tan
5π
-
6
5
=-12,
4
4
立联系.
,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建
[例2-4](2021·山东潍坊月考)已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值
范围是
.
答案 (-1,1)
2 -1
θ= ,于是
2
新课标2018届高考数学二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理
专题能力训练10 三角变换与解三角形能力突破训练1.在△ABC中,若sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是()A. B.C. D.2.已知=-,则sin α+cos α等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A. B.C. D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A. B. C. D.5.(2017湖北七市一调)已知△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°,a=2b,则tan A=.6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20a cos A,则sin A∶sin B∶sin C=.8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin x cos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A. B.- C. D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A. B. C. D.14.(2017湖北荆州一模)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.15.(2017河北石家庄二检)已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.(1)判断△ABC的形状;(2)若||=2,求的取值范围.参考答案专题能力训练10三角变换与解三角形能力突破训练1.C解析由正弦定理,得a2≤b2+c2-bc,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A,则cos A0<A<π,∴0<A2.D解析=-=2cos cosα+sinα=-,∴sinα+cosα=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=∵0<B<π,∴角B为故选D.4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sin∠BAC=5解析借助题设条件,先运用正弦定理将三角形中的边的关系转化化归为角的关系,再求解含角A的三角方程.由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=又因为,所以b=7.6∶5∶4解析∵A>B>C,∴a>b>c.设a=b+1,c=b-1(b>1,且b∈N*),由3b=20a cos A得3b=20(b+1),化简,得7b2-27b-40=0.解得b=5或b=-(舍去),∴a=6,c=4, ∴sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4.8.解(1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0<B<π,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos因为0<A<,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.9.解(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=610.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos2A=-2sin2A+sin A+1=-2因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2由此可知sin A+sin C的取值范围是11.解(1)由题意知f(x)==sin2x-由-+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bc sin A所以△ABC面积的最大值为思维提升训练12.C解析∵cos,0<α<,∴sin又cos,-<β<0,∴sin,∴cos=cos=cos cos+sin sin =13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cos A=2sin因为0<A<,所以<A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A.14.20或24解析本题易错点在利用正弦定理时,产生缺解.在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos60°,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin60°=20;当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin60°=24故△ABC的面积为20或2415.-解析因为sin=cos=cos,所以sin sin=sin cos sin=cos2α=,所以cos2α=因为<α<π,所以π<2α<2π.所以sin2α=-=-所以sin4α=2sin2αcos2α=-=-16.8解析sin A=sin(B+C)=2sin B sin C⇒tan B+tan C=2tan B tan C,因为tan A=-tan(B+C)=-,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥2,当且仅当tan A=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥2,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.17.解(1)由及正弦定理,得sin B=sin2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,<C<,<B<π,B+C>π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵||=2,∴a2+c2+2ac cos B=4.又由(1)知a=c,∴cos B=而cos B=-cos2C,<cos B<1,∴1<a2<=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。
2018届高考数学二轮复习 三角恒等变换专题
三角恒等变换专题[基础达标](30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共35分)1°sin 75°-sin 60°cos 105°=()A.-12B.12C.-22D.22D【解析】原式=sin 30°sin 75°+cos 30°cos 75°=cos(75°-30°)=cos 45°=22.2tan α-π4=12，则sinα+cosαsinα-cosα的值为()A.12B.2C.22D.-2B【解析】因为tan α-π4=tanα-11+tanα=12，所以sinα+cosαsinα-cosα=tanα+1tanα-1=2.3.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为(3，1)，则cos α+π3的值是() A.-0.5 B.0 C.0.5 D.1B【解析】∵角α终边上一点M的坐标为(3，1)，∴sin α=12，cos α=32，∴cos α+π3=12cos α-32sin α=12×32−32×12=0.4.在△ABC中，tan A+tan B+3=3tan A tan B，则C=()A.π3B.2π3C.π6D.π4A【解析】由已知得tan A+tan B=-3(1-tan A tan B)，则tan A+tan B1-tan A tan B=-3，即tan(A+B)=-3.又tan C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=3，0<C<π，故C=π3.53sin θ=cos θ，则cos 2θ+sin 2θ的值等于()A.-75B.75C.-35D.35B【解析】由3sin θ=cos θ得tan θ=13，cos 2θ+sin 2θ=cos2θ-sin2θ+2sin θcosθ=co s2θ-sin2θ+2sinθcosθco sθ+sinθ=1-tan2θ+2tanθ1+tanθ，将tan θ=13代入上式得cos 2θ+sin2θ=1-tan 2θ+2tanθ1+tanθ=1-19+231+1=75.6.设a=sin 14°+cos 14°，b=sin 16°+cos 16°，c=62，则a，b，c的大小关系是() A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<aB【解析】因为a=2sin(45°+14°)=2sin 59°，b=2sin(45°+16°)=2sin 61°，c=62=2sin 60°，所以a<c<b.7.已知cos x+π4=35，17π12<x<7π4，则sin2x+2sin2x1-tan x=()A.-2875B.2875C.-21100D.21100A【解析】由已知得5π3<x+π4<2π，则sin x+π4=-45，由cos x+π4=cos x cosπ4-sinx sinπ4=35，得cos x-sin x=325，2sin x cos x=725，故sin2x+2sin2x1-tan x=2sin x cos x+2sin2x1-sin x=2sin x cos x(cos x+sin x)cos x-sin x =2sin x cos x·2sin x+π4cos x-sin x=-2875.二、填空题(每小题5分，共15分)8tan α，tan β分别是lg(6x2-5x+2)=0的两个实根，则tan(α+β)=.1【解析】lg(6x2-5x+2)=0，即6x2-5x+2=1，6x2-5x+1=0，由题得tan α+tan β=56，tanα·tan β=16，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=561-1=1.9sin α+π4=23，则sin 2α=.-5 9【解析】由sin α+π4=22(sin α+cos α)=23得sin α+cos α=23，所以(sin α+cosα)2=1+sin 2α=49，则sin 2α=-59.10.若cos α+π6-sin α=335，则sin α+5π6=.3 5【解析】∵cos α+π6-sin α=335，∴32cos α-12sin α-sin α=335，即32cos α-32sinα=335，得cos α-3sin α=65，∴sin α+5π6=sin αcos5π6+cos αsin5π6=-32sin α+12cosα=12(cos α-3sin α)=12×65=35.三、解答题(共10分)11.(10分)已知函数f(x)=2cos x·cos3π2+x+3(2cos2x-1).(1)求f(x)的最大值；(2)若π12<x<π3，且f(x)=12，求cos 2x的值.【解析】(1)f(x)=2cos x cos3π2+x +3(2cos2x-1)=2cos x sin x+3cos 2x=sin2x+3cos 2x=2sin2x+π3，x∈R，则f(x)的最大值为2.(2)由π12<x<π3，得2x+π3∈π2，π ，由f(x)=12，得sin2x+π3=14，cos2x+π3=-1-sin22x+π3=-154，故cos 2x=cos2x+π3-π3=cos2x+π3cosπ3+sin2x+π3sinπ3=-154×12+14×32=3-158.[高考冲关](20分钟30分)1.(5分tan α=2，α为第一象限角，则sin 2α+cos α的值为()A.B.4+255C.4+55D.5-25C【解析】由tan α=2，α为第一象限角，得sin α=5，cos α=5，所以sin 2α+cosα=2sin αcos α+cos α=4+55.2.(5分f(x)=sin x+3cos x，x∈-π2，π2的单调递减区间与最小值分别是()A.递减区间是π6，π2，最小值是-2B.递减区间是-π2，-π6，最小值是-2C.递减区间是π6，π2，最小值是-1D.递减区间是-π2，-π6，最小值是-1C【解析】f(x)=sin x+3cos x=2sin x+π3，x∈-π2，π2，当x∈-π2，π2时，x+π3∈-π6，5π6.当x+π3∈π2，5π6，即x∈π6，π2时，f(x)=2sin x+π3单调递减，2sin x+π3∈[-1，2]，即f(x)的最小值是-1.3.(10分f(x)=2cos2π4-x +sin2x+π3-1.(1)求f-π12的值；(2)求f(x)在区间-π2，0上的最大值和最小值.【解析】(1)因为f(x)=cos2π4-x +sin 2x cosπ3+cos 2x sinπ3=32sin 2x+32cos2x=sin2x+π6，所以f-π12=3sin-π12×2+π6=0.(2)由(1)知f(x)=3sin2x+π6，因为x∈-π2，0，所以2x+π6∈-5π6，π6，因此当2x+π6=π6，即x=0时，f(x)取最大值32；当2x+π6=-π2，即x=-π3时，f(x)取最小值-3.4.(10分f(x)=sin2x+2sinx·sinπ2-x +3sin23π2-x .(1)若tan x=12，求f(x)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.【解析】(1)f(x)=sin2x+2sin x·cos x+3cos2x=sin 2x+2sin x cos x+3co s2x sin2x+co s2x=tan 2x+2tan x+3 tan x+1=175.(2)因为f(x)=sin2x+2sin x·cos x+3cos2x=2sin2x+π4+2，所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.由π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ，k∈Z，解得π8+kπ≤x≤5π8+kπ，k∈Z，则函数f(x)的单调递减区间为π8+kπ，5π8+kπ ，k∈Z.。
2018届高中数学高考二轮复习三角函数及解三角形教案含答案(全国通用)
教学过程 一、考纲解读在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.三角函数模块在高考试卷中通常有1大1小两个问题，总分值在25分左右，小题难度中等，大题属简单题，无论是全国卷还是省市卷大都放在第一个解答题位置，是考生得分的关键点之一.（1）任意角的概念、弧度制 （2）三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出απ±2，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（3）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（4）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（5）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (6) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、复习预习复习相关概念:三角函数基本概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数图像和性质、两角和与差的计算及二倍角公式以及三角函数的实际应用,正余弦定理等.在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等. 三、知识讲解考点1 三角函数的定义及性质（1）任意角的概念、弧度制.扇形相关内容,如弧长,面积,圆锥侧面等 （2）三角函数①任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②正弦、余弦、正切的诱导公式， x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，三角函数的周期性. ③正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性.④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点2 三角恒等变形（1）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考点3 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷]设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 ( )A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【规范解答】解法1.选B （演绎推理） ∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=解法2.选B （特殊角） 取6πβ=代入1sin tan cos βαβ+=，可得3tan =α，所以3πα=，通过四个选项验证，只有选项B 符合。
【高三数学试题精选】2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答案)
2018高考数学三角函数与解三角形二轮专题复习题(含答
案)
5 c 专题升级训练三角函数的图象与性质
(时间60分钟满分100分)
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)
1已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是( )
A函数f(x)的最小正周期为2π
B函数f(x)在区间上是增函数
c函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D函数f(x)是奇函数
2(B
c-或-1D-
4要得到函数=sin 2x的图象,只需将函数=sin的图象( )
A向右平移个单位长度
B向左平移个单位长度
c向右平移个单位长度
D向左平移个单位长度
5函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别为( )
A2,0B2,
c2,-D2,
6已知函数f(x)=cs x+x,x∈,sin x0=,x0∈,那么下面命题中真命题的序号是( )
①f(x)的最大值为f(x0)
②f(x)的最小值为f(x0)
③f(x)在上是增函数
④f(x)在上是增函数
A①③B①④。
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案三角函数、解三角形与平面向量 第2讲三角变换与解三角形(含答案解析)
第2讲 三角变换与解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查： 1．边和角的计算． 2．三角形形状的判断． 3．面积的计算．4．有关参数的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．热点一 三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．例1 (1)(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知sin α－2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B ．－34C.34 D ．－43答案 C解析 ∵sin α－2cos α＝102， ∴sin 2α－4sin α·cos α＋4cos 2α＝52，即1－cos 2α2－2sin 2α＋4×1＋cos 2α2＝52，化简得4sin 2α＝3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝34，故选C.(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 C解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况． (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解． 跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.1718答案 C解析 由3cos 2α＝sin(π4－α)，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)， 于是3(cos α＋sin α)＝22， 所以1＋2sin αcos α＝118，所以sin 2α＝－1718，故选C.(2)(2017届山东省师大附中模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝_______. 答案 79解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－cos α＝12cos α－32sin α－cos α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－13.则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝79. 热点二 正弦定理、余弦定理1．正弦定理：在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sinB ，c ＝2R sinC ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例2 (2017·全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2. (1)求c ；(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得tan A ＝－3，所以A ＝2π3.在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3，即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4. 所以c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6.故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为 3.思维升华 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．跟踪演练2 (2017·广西陆川县中学知识竞赛)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a cosC ＝(2b －c )cos A .(1)求角A ；(2)若a ＝7，△ABC 的面积S △ABC ＝103，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos C ＝(2b －c )cos A ， 得sin A cos C ＝(2sin B －sin C )cos A ， 即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A ，即sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即sin B ＝2sin B cos A . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12，而0<A <π2，∴A ＝π3.(2)由S △ABC ＝103，得12bc sin π3 ＝103，∴bc ＝40.∵a ＝7，∴b 2＋c 2－2bc cos π3＝49，即b 2＋c 2＝89，于是(b ＋c )2＝89＋2×40＝169，∴b ＋c ＝13(舍负). 热点三 解三角形与三角函数的综合问题解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状． 例3 (2017届湖北省稳派教育质量检测)已知函数f (x )＝cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＋3cos 2ωx －34(ω>0，x ∈R )，且函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω 的值及f (x )的对称轴方程；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c .若f (A )＝34，sin C ＝13，a ＝3，求b 的值. 解 (1)f (x )＝cos ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＋3cos 2ωx －34＝12sin ωx cos ωx ＋32cos 2ωx －34 ＝14sin 2ωx ＋34(1＋cos 2ωx )－34 ＝14sin 2ωx ＋34cos 2ωx ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由函数y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，得14T ＝π4，2π2ω＝π，求得ω＝1.当ω＝1时，f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，求得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．即f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由(1)知f (A )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝34，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝32.所以2A ＋π3＝2k π＋π3或2A ＋π3＝2k π＋2π3，k ∈Z ，解得A ＝k π或A ＝π6＋k π，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，所以A ＝π6.由sin C ＝13，C ∈(0，π)，sin A ＝12知，C <π6，求得cos C ＝223.所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝3＋226， 又a ＝3，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝3×3＋22612＝3＋263.思维升华 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求．跟踪演练 3 (2017届青岛市统一质量检测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m sin 2x (m ∈R )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2.(1)求m 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝3，△ABC 的面积是3，求△ABC 的周长． 解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π6＋m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝sin π2＋cos π3＋m 2＝2， 解得m ＝1. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝ 3.∵0<B <π，π3<B ＋π3<4π3，∴B ＋π3＝2π3，则B ＝π3.又∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，∴ac ＝4.∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ＝4， ∴(a ＋c )2＝4＋12＝16，∴a ＋c ＝4， ∴△ABC 的周长为a ＋b＋c ＝6.真题体验1．(2017·山东改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 为锐角三角形，且满足sin B (1＋2cosC )＝2sin A cos C ＋cos A sin C ，则下列等式成立的是______．(填序号)①a ＝2b; ②b ＝2a; ③A ＝2B; ④B ＝2A . 答案 ①解析 ∵等式右边＝sin A cos C ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B ， 等式左边＝sin B ＋2sin B cos C ，∴sin B ＋2sin B cos C ＝sin A cos C ＋sin B . 由cos C ＞0，得sin A ＝2sin B . 根据正弦定理，得a ＝2b .2．(2017·北京)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，cos(α－β)＝________. 答案 －79解析 由题意知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴β＝π＋2k π－α(k ∈Z )，又sin α＝13，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝－cos 2α＋sin 2α＝2sin 2α－1 ＝2×19－1＝－79.3．(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16.∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.4．(2017·浙江)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos∠BDC ＝________. 答案152104解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC ＝sin∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则sin∠ABC ＝154，cos∠ABC ＝14， 所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin∠DBC＝12×2×2×154＝152. 因为cos∠DBC ＝－cos∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC ＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 押题预测1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C ，并且a ＝2，则△ABC 的面积为________．押题依据 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点． 答案52解析 因为0<A <π，cos A ＝23，所以sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ， 结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝52.2．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，sin B ，sin A ，sin C 成等比数列，求此时f (A )的值域．押题依据 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高． 解 (1)f (x )＝32sin 2ωx －12(cos 2ωx ＋1)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－12， 因为函数f (x )的周期为T ＝2π2ω＝2π3，所以ω＝32.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6－12， 易得f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6－12. 因为sin B ，sin A ，sin C 成等比数列， 所以sin 2A ＝sinB sinC ， 所以a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时取等号)．因为0<A <π，所以0<A ≤π3，所以－π6<3A －π6≤5π6，所以－12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫3A －π6≤1，所以－1<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3A －π6－12≤12， 所以函数f (A )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－1，12.A 组 专题通关1．(2017·贵阳市第一中学适应性考试)已知在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝10，c ＝3，cos A ＝14，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3答案 C解析 由余弦定理知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得10＝b 2＋9－2·b ·3·14 , b 2－32b －1＝0，所以(b －2)(b ＋12)＝0，解得b ＝2(舍负)，故选C.2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于( ) A. 3B.33 C ．－33D ．－ 3答案 D解析 因为tan 120°＝tan 70°＋tan 50°1－tan 70°tan 50°＝－3，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.3．(2017·荆、荆、襄、宜四地七校联考)已知α为第四象限角，sin α＋cos α＝15，则tan α2的值为( )A ．－12 B.12 C ．－13 D.13答案 C解析 由sin α＋cos α＝15平方，得1＋2sin αcos α＝125⇒2sin αcos α＝－2425⇒(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925.因为α为第四象限角，所以sin α<0，cos α>0，sin α－cos α＝－75，因此sin α＝－35，cos α＝45，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2cos α2cos 2α2＝sin α1＋cos α＝－351＋45＝－13，故选C.4．(2017·合肥一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆的面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π答案 C解析 ∵b cos A ＋a cos B ＝2，∴b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac＝2，∴c ＝2，由cos C ＝223，得sin C ＝13，∴2R ＝c sin C ＝213＝6，R ＝3，S ＝π×32＝9π，故选C.5．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案 A解析 ∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， 又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，∴sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α] ＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22， 又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4，故选A. 6．(2017·全国Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 31010解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22(cos α＋sin α)． 又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2知，sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫55＋255＝31010. 7．(2017届湖南省百所重点中学阶段性诊断)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为____平方千米.答案 21解析 设△ABC 的对应边边长分别为a ＝13里，b ＝14里，c ＝15里，cos C ＝132＋142－1522×13×14＝513⇒sin C ＝1213⇒S ＝12×13×14×1213×250 000＝21×106(平方米) ＝21(平方千米)．8. (2017·河南省息县第一高级中学阶段测试)如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7，cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA ＝216，则BC 的长为________．答案 3解析 因为cos∠BAD ＝－714， 故sin∠BAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－7142＝32114， 在△ADC 中运用余弦定理，可得cos∠CAD ＝1＋7－427＝277， 则sin∠CAD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217， 所以sin∠BAC ＝sin(∠BAD －∠CAD )＝32114×277＋714×217＝63＋314＝32， 在△ABC 中运用正弦定理，可得BC sin∠BAC ＝7sin∠CBA ⇒BC ＝32×7×621＝3. 9．(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2， 故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517. 故cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac . 又S △ABC ＝2，则ac ＝172. 由余弦定理及a ＋c ＝6，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4， 所以b ＝2.10．(2017·浙江省“超级全能生”联考)已知f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )，若其图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为奇函数． (1)求f (x )的解析式；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2c －a )cos B ＝b cos A ，求f (A )的取值范围．解 (1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－f (x )， ∴f (x ＋π)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )， ∴T ＝π，∴ω＝2，则f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的函数为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，而g (x )为奇函数，则有π3＋φ＝k π，k ∈Z ，而|φ|<π2，则有φ＝－π3，从而f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. (2)∵(2c －a )cos B ＝b cos A ，由正弦定理得2sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ， 又C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin C ≠0， ∴cos B ＝12，∴B ＝π3. ∵△ABC 是锐角三角形，C ＝2π3－A <π2， ∴π6<A <π2，∴0<2A －π3<2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π3∈(0,1]． B 组 能力提高11．(2017届合肥教学质量检测)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A.(]3，6B.()3，5C.(]5，6D.[]5，6答案 C解析 ∵(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，由正弦定理得(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形， ∴⎩⎨⎧ 0<B <π2，A ＋B ＝π3＋B >π2，∴π6<B <π2， 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2， 得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝4－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π3，又π6<B <π2， 可得b 2＋c 2∈(5,6]．故选C.12．(2017·湖北省黄冈市质量检测)已知2sin θ＝1－cos θ，则tan θ等于( )A ．－43或0 B.43或0 C ．－43D.43 答案 A解析 因为2sin θ＝1－cos θ，所以4sin θ2cos θ2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2θ2＝2sin 2θ2， 解得sin θ2＝0或2cos θ2＝sin θ2，tan θ2＝0或2， 又tan θ＝2tan θ21－tan 2θ2，当tan θ2＝0时，tan θ＝0；当tan θ2＝2时，tan θ＝－43， 故选A.13．(2017届河南省新乡市模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，cos C ＝19，且a cos B ＋b cos A ＝2，则△ABC 面积的最大值为________．答案 52解析 由题设及余弦定理，可得a a 2＋c 2－b 22ac ＋b b 2＋c 2－a 22bc＝2⇒c ＝2， 又由余弦定理可得22＝a 2＋b 2－2ab ×19，即a 2＋b 2＝29ab ＋4，又因为a 2＋b 2≥2ab ，所以29ab ＋4≥2ab ⇒ab ≤94，当且仅当a ＝b 时取等号，由cos C ＝19，可得sin C ＝1－192＝1980＝495，所以三角形的面积S △ABC ＝12ab sin C＝12×495ab ＝259ab ≤259×94＝52.14．(2017届南京市、盐城市模拟)如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD＝3，DC ＝2.(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； (2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．解 (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β.因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，所以tan∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4.(2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3. 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α，解得sin α＝24.因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144.因此sin∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74.△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)．。
2018届人教版高三二轮复习理科数学(三角函数及解三角形)提升训练及解析
sin
≤1，于是 1≤2sin
ππ
π
2x+ = ，即 x= 时， f(x) 在
≤2，所以 0≤f(x) ≤1. 所以当且仅当
π
上取最大值，最大值为 f
=1.
答案： 1
10. 函数 f(x)=2sin( ω x+φ) ω
的部分图象如图所示，则
f(0) 的值是 ____________.
4
2018 届人教版高三二轮复习理科数学 ( 三角函数及解三角形） 提升训练及解析
= sinθ
=2sin θcos θ- sin 2θ
=sin2 θ+ cos2 θ- = sin
-，
π
π
π
π
令 2θ+ =2k π+ ， k∈Z， 即θ=k π+ ，k∈Z，因为 0< θ< ，
π 所以当θ= 时， S(θ)取得最大值为 .
16. 设函数 f(x)=sin2x+a(1+cosx) - 2x在x= 处取得极值． 17. (1) 若f(x) 的导函数为 f ′(x) ，求 f ′(x) 的最值． (2) 当x∈[0 ， π ] 时，求 f(x) 的最值． 【解题导引】 (1)求出 f′(x) ，结合二次函数知识和 sinx 本身范围可求解 . (2)根据导数求出单调区间，注意三角不 等式的求解 . 【解析】 (1)f ′(x)=2cos2x-asinx-2 ，因为 f(x) 在 x= 处取得极值，所以 f′ =1- a-2=0 ，所以 a=-2 ，所以 f′(x)=2(1-2sin 2x)+2sinx-2
8. 已知函数 f(x)=2sin(
ω x- φ)-1(
ω>0，
备战2019高考数学大二轮复习专题三三角函数专题能力训练10三角变换与解三角形理
专题能力训练10 三角变换与解三角形一、能力突破训练1.(2018全国Ⅲ,理4)若sin α=,则cos 2α=()A.B.C.-D.-2.已知=-,则sin α+cos α等于()A.-B.C.D.-3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若(a2+c2-b2)tan B=ac,则角B的值为()A. B.C. D.4.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC等于()A. B. C. D.5.已知在△ABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,C=120°，a=2b,则tan A= .6.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .7.(2018全国Ⅱ,理15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .8.在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.9.在△ABC中,∠A=60°，c= a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.11.设f(x)=sin x cos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.二、思维提升训练12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于()A. B.- C. D.-13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A=a cos C.当sin A-cos取最大值时,角A的大小为()A. B. C. D.14.在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于点D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.15.已知sin sin,α∈,则sin 4α的值为.16.在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin B sin C,则tan A tan B tan C的最小值是.17.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,<C<,且.(1)判断△ABC的形状;(2)若||=2,求的取值范围.专题能力训练10三角变换与解三角形一、能力突破训练1.B解析 cos 2α=1-2sin2α=1-22.D解析=-=2cos cos α+sin α=-,∴sin α+cos α=-,故选D.3.D解析由(a2+c2-b2)tan B=ac,得,即cos B=,则sin B=∵0<B<π,∴角B为故选D.4.C解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=BA2+BC2-2BA·BC cos∠ABC=()2+32-23cos=5.解得AC=由正弦定理,得sin∠BAC=5解析由正弦定理可得sin A=2sin B,因为B=180°-A-120°=60°-A,所以sin A=2sin(60°-A),即sin A=cos A-sin A,所以2sin A=cos A,故tan A=6解析因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin (A+C)=sin A cos C+cos A sin C=又因为,所以b=7.- 解析∵(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=1,∴sin2α+cos2β+cos2α+sin2β+2sin αcos β+2sin βcos α=1+1+2sin(α+β)=1.∴sin(α+β)=-8.解 (1)由余弦定理及题设得cos B=又因为0<B<π,所以B=(2)由(1)知A+C=cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos因为0<A<,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.9.解 (1)在△ABC中,因为∠A=60°，c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A得72=b2+32-2b×3,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bc sin A=8×3=610.(1)证明由a=b tan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin又B为钝角,因此+A,故B=+A,即B-A=(2)解由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A,于是sin A+sin C=sinA+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2由此可知sin A+sin C的取值范围是11.解 (1)由题意知f(x)==sin 2x-由-+2kπ≤２x+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x+kπ,k∈Z;由+2kπ≤２x+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得1+bc=b2+c2≥２bc,即bc≤２+,且当b=c时等号成立.因此bc sin A所以△ABC面积的最大值为二、思维提升训练12.C解析∵cos,0<α<,∴sin又cos,-<β<0,∴sin,∴cos=cos=cos cos+sin sin=13.A解析由正弦定理,得sin C sin A=sin A cos C.因为0<A<π,所以sin A>0,从而sin C=cos C.又cos C≠0,所以tan C=1,则C=,所以B=-A.于是sin A-cos sin A-cos(π-A)=sin A+cosA=2sin因为0<A<,所以<A+,从而当A+,即A=时,2sin取最大值2.故选A.14.20或24解析在△CDB中,设CD=t,由余弦定理得49=64+t2-2×8t×cos,即t2-8t+15=0,解得t=3或t=5.当t=3时,CA=10,△ABC的面积S=10×8×sin=20;当t=5时,CA=12,△ABC的面积S=12×8×sin=24故△ABC的面积为20或2415.-解析因为sin=sin=cos,所以sin sin=sin cos sin=cos 2α=,所以cos 2α=因为<α<π,所以π<2α<2π.所以sin 2α=-=-所以sin 4α=2sin 2αcos 2α=-=-16.8解析 sin A=sin(B+C)=2sin B sin C?tan B+tan C=2tan B tan C,因为tan A=-tan(B+C)=-,所以tan A tan B tan C=tan A+tan B+tan C=tan A+2tan B tan C.因为△ABC为锐角三角形,所以tan A>0,tan B tan C>0,所以tan A+2tan B tan C≥２,当且仅当tanA=2tan B tan C时,等号成立,即tan A tan B tan C≥２,解得tan A tan B tan C≥8,即最小值为8.17.解 (1)由及正弦定理,得sin B=sin 2C,∴B=2C或B+2C=π.若B=2C,<C<,<B<π,B+C>π(舍去).若B+2C=π,又A+B+C=π,∴A=C,∴△ABC为等腰三角形.(2)∵||=2,∴a2+c2+2ac cos B=4.又由(1)知a=c,∴cos B=而cos B=-cos 2C,<cos B<1,∴1<a2<=ac cos B=a2cos B,且cos B=, ∴a2cos B=2-a2。
高考数学(理)二轮专题练习【专题3】(2)三角变换与解三角形(含答案)
第2讲 三角变换与解三角形考情解读 1.高考中常考查三角恒等变换有关公式的变形使用，常和同角三角函数的关系、诱导公式结合.2.利用正弦定理或余弦定理解三角形或判断三角形的形状、求值等，经常和三角恒等变换结合进行综合考查．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明．4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R . a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab. 变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a2＋b2－c2＝2ab cos C.6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解． (2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解．热点一 三角变换例1 (1)已知sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos(α＋2π3)等于( ) A ．－45B ．－35 C.45 D.35(2)(2014·课标全国Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2思维启迪 (1)利用和角公式化简已知式子，和cos(α＋23π)进行比较． (2)先对已知式子进行变形，得三角函数值的式子，再利用范围探求角的关系．答案 (1)C (2)B解析 (1)∵sin(α＋π3)＋sin α＝－435，－π2<α<0， ∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos(α＋2π3)＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π31 2cos α－32sin α＝45.＝－(2)由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin(π2－α)． ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)， ∴α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)， ∴由sin(α－β)＝sin(π2－α)，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2. 思维升华 (1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)若θ是第二象限角，且f (θ2)＝0，求cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ的值． 解 (1)f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＋1－cos 2x 2＝12－32sin 2x .所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，最大值为1＋32. (2)因为f (θ2)＝0， 所以12－32sin θ＝0，即sin θ＝33， 又θ是第二象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－63. 所以cos 2θ1＋cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ2cos 2θ－2sin θcos θ＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ2cos θcos θ－sin θ＝cos θ＋sin θ2cos θ＝－63＋332×－63＝6－326＝2－24. 热点二 解三角形例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a ＝2sin A ，cos B cos C ＋2a c ＋b c＝0. (1)求边c 的大小；(2)求△ABC 面积的最大值．思维启迪 (1)将cos B cos C ＋2a c ＋b c＝0中的边化成角，然后利用和差公式求cos C ，进而求c .(2)只需求ab 的最大值，可利用cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab和基本不等式求解． 解 (1)∵cos B cos C ＋2a c ＋b c＝0， ∴c cos B ＋2a cos C ＋b cos C ＝0，∴sin C cos B ＋sin B cos C ＋2sin A cos C ＝0，∴sin A ＋2sin A cos C ＝0，∵sin A ≠0，∴cos C ＝－12，∵C ∈(0，π) ∴C ＝2π3，∴c ＝a sin A·sin C ＝ 3. (2)∵cos C ＝－12＝a 2＋b 2－32ab， ∴a 2＋b 2＋ab ＝3，∴3ab ≤3，即ab ≤1.∴S △ABC ＝12ab sin C ≤34. ∴△ABC 的面积最大值为34. 思维升华 三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径；(3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .(1)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝2a ，则b a 等于( ) A. 2 B ．22 C. 3 D ．23(2)(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B.932C.332D ．33答案 (1)A (2)C解析 (1)因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，即sin B sin A ＝2，b a ＝sin B sin A＝ 2. (2)∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .② 由①②得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332. 热点三 正、余弦定理的实际应用例3 (2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213， cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 思维启迪 (1)直接求sin B ，利用正弦定理求AB .(2)利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t的函数．解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得 AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．思维升华 求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？(2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)解 过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D . 因为∠CAD ＝45°，AC ＝10海里， 所以△ACD 是等腰直角三角形． 所以AD ＝CD ＝22AC ＝22×10＝52(海里)． 在Rt△ABD 中，因为∠DAB ＝60°，所以BD ＝AD ×tan 60°＝52×3＝56(海里)． 所以BC ＝BD －CD ＝(56－52)(海里)．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C 点所用的时间t 1＝AC 30＝1030＝13(小时)，某国军舰到达C 点所用的时间t 2＝BC 13＝5×6－213≈5× 2.45－1.4113＝0.4(小时)．因为13<0.4，所以中国海监船能及时赶到．1．求解恒等变换问题的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R (其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．3．利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题，抽象出三角形模型．真题感悟1．(2013·浙江)已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.2．(2014·江苏)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 答案6－24解析 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理得a ＋2b ＝2c .由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a ＋2b242ab＝34a 2＋12b 2－2ab 22ab≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2－2ab 22ab＝6－24， 故6－24≤cos C <1，且3a 2＝2b 2时取“＝”． 故cos C 的最小值为6－24. 押题精练1．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan A tan B＝1；②1<sin A ＋sin B ≤2；③sin 2A ＋cos 2B ＝1；④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中一定正确的是( )A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析 依题意，tan A ＋B2＝sin A ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin A ＋B 2cosA ＋B 22cos2A ＋B 2＝sin A ＋B 1＋cos A ＋B ＝sin C1＋cos A ＋B ＝sin C . ∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0.∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )，且q ∥p .(1)求sin A 的值；(2)求三角函数式－2cos 2C 1＋tan C＋1的取值范围．解 (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C ， 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C . ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12，又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝32.(2)原式＝－2cos 2C 1＋tan C ＋1＝1－2cos 2C －sin 2C1＋sin C cos C＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin 2C －cos2C＝2sin(2C －π4)，∵0<C <23π，∴－π4<2C －π4<1312π，∴－22<sin(2C －π4)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2，即三角函数式－2cos 2C1＋tan C＋1的取值范围为(－1，2]．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin(3x ＋π4)＝2sin[3(x ＋π12)]，又y ＝2cos 3x ＝2sin(3x ＋π2)＝2sin[3(x ＋π6)]，所以应由y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位得到．2．已知α∈(π2，π)，sin(α＋π4)＝35，则cos α等于( )A ．－210B.7210 C ．－210或7210D ．－7210答案 A解析 ∵α∈(π2，α)．∴α＋π4∈(34π，54π)．∵sin(α＋π4)＝35，∴cos(α＋π4)＝－45，∴cos α＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin(π4)＝－45×22＋35×22＝－210.3．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13 B.12 C.15 D.14答案 D解析 由正弦定理：c a ＝sin Csin A＝3，由余弦定理：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝c 2－52ac2ac ＝12×c a －54＝32－54＝14. 4．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．5．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.3365 C.1365 D.6365或3365答案 A解析 依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sin β＝6365. 6．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( )A.32B.3－1C ．2D ．2－3 答案 D解析 由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac， 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1， 所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D. 二、填空题7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 答案 －255解析 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α ＝22sin α＝－255. 8．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，则b ＝________.答案 4 解析 由sin A cos C ＝3cos A sin C 得：a 2R ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ·c 2R，b2 2，∴a2＋b2－c2＝3(b2＋c2－a2)，a2－c2＝解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－c 2＝2b a 2－c 2＝b 22，∴b ＝4. 9．已知0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，则cos(α＋π4)＝________. 答案 82－315解析 因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2. 所以sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0. 因为cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)] ＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4) ＝－35×13＋45×223＝82－315. 10．如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．答案 40013解析 如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin∠DAB ＝ADsin∠ABD. 所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)． 在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理，可得 AC 2＝AD 2＋CD 2－2×AD ×CD ×cos∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC的长为40013米．三、解答题11．(2014·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A ＝2B.(1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac. 因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3. (2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13. 由于0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 12．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1， 从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]，π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22.所以f(x)在[13．已知角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若向量m ＝(1－cos(A ＋B )，cos A －B 2)，n ＝(58，cos A －B 2)，且m ·n ＝98. (1)求tan A tan B 的值；(2)求ab sin C a 2＋b 2－c 2的最大值． 解 (1)m ·n ＝58－58cos(A ＋B )＋cos 2A －B 2＝98－18cos A cos B ＋98sin A sin B ＝98， ∴cos A cos B ＝9sin A sin B 得tan A tan B ＝19. (2)tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝98(tan A ＋tan B )≥98·2tan A tan B ＝34. (∵tan A tan B ＝19>0， ∴A ，B 均是锐角，即其正切值均为正)ab sin C a 2＋b 2－c 2＝sin C 2cos C ＝12tan C ＝－12tan(A ＋B )≤－38， 所求最大值为－38.希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！。