学而思分类讨论在数论计数问题中的应用

三年级学而思奥数讲义

三年级学而思奥数讲义学而思奥数作为一门培养孩子数学思维和解题能力的课程，为三年级的学生提供了更广阔的数学发展空间。

下面将对三年级学而思奥数课程的内容进行介绍，帮助孩子们更好地理解和应用数学。

一、思维培养学而思奥数注重培养孩子的数学思维能力，通过课程设计和题目训练，培养学生的逻辑思维、创造思维和问题解决能力。

在三年级的课程中，学生将接触到一些有趣的数学题目，例如数独、迷宫等，以此激发他们对数学问题的兴趣，同时提高他们的逻辑思维和推理能力。

二、数学知识点在三年级学而思奥数讲义中，包含了一系列的数学知识点。

例如，学生将学习整数的概念和运算规律，了解到整数的正负和绝对值。

同时，他们还会学习到分数的相关知识，包括分数的大小比较、分数的加减乘除等。

此外，几何图形的认识和计算也是三年级奥数的重点内容，学生将学习到平面几何和立体几何的基本概念，如长方形、正方形、圆等。

三、应用能力展示学而思奥数注重培养学生的应用能力，即将所学的数学知识应用到实际问题中。

三年级学而思奥数讲义会通过一些实际生活中的问题，如选购食材、算账等，让学生应用所学的数学知识和技巧解决问题。

这样的训练能够培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，提高他们的数学应用水平。

四、趣味性培养学而思奥数注重培养学生对数学的兴趣和热爱。

在三年级学而思奥数讲义中，通过一些趣味的数学游戏和趣味题目，激发学生的求知欲和好奇心。

例如，谜题、魔方等，这些富有趣味性的内容能够让学生更加主动地投入到数学学习中，提高学习的积极性和主动性。

五、知识拓展除了三年级学而思奥数讲义中的基础知识之外，还有一些拓展内容供学生学习。

这些拓展内容包括数学奥赛题、高年级数学的预习等，帮助学生扩展数学知识面，提高数学素养和综合应用能力。

对于有特长或对数学感兴趣的学生而言，这些拓展内容能够提供更多的挑战和学习机会。

总结起来，在三年级学而思奥数课程中，学生将通过对数学思维的培养、数学知识点的学习、应用能力的展示、趣味性的培养以及知识的拓展等方面来提高自己的数学素养和解题能力。

学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤．知识内容排列组合问题的常用方法总结1组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．直接法（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）【例1】从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有．【例2】北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A ．124414128C C C B ．124414128C A A C ．12441412833C C C AD ．12443141283C C C A【例3】在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有（）A ．30个B ．35个C ．20个D ．15个【例4】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？典例分析【例5】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？⑶从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？【例6】有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷．从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例7】若x A∈，则1Ax∈，就称A是伙伴关系集合，集合11{101234}32M=-，，，，，，，的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15B．16C．82D．52【例8】从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例9】某城市街道呈棋盘形，南北向大街3条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．【例11】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例12】设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则TS的值为（）A．20128B．15128C．16128D．21128【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，经过5次跳动质点落在点(10)，（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法种数为．【例14】从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种（用数字作答）【例15】在AOB 的边OA 上有1234A A A A ，，，四点，OB 边上有12345B B B B B ，，，，共9个点，连结线段(1415)i j A B i j ≤≤，≤≤，如果其中两条线段不相交，则称之为一对“和睦线”，和睦线的对数共有：（）A ．60B ．80C ．120D ．160【例16】从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？⑴ A 、B 必须当选； ⑵ A 、B 都不当选； ⑶ A 、B 不全当选； ⑷ 至少有2名女生当选；⑸ 选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任．【例17】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（） A ．150种 B ．180种 C ．300种 D ．345种【例18】从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A ．85B ．56C ．49D ．28【例19】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（） A ．14 B ．24 C ．28 D ．48【例20】要从10个人中选出4个人去参加某项活动，其中甲乙必须同时参加或者同时不参加，问共有多少种不同的选法？【例21】有四个停车位，停放四辆不同的车，有几种不同的停法？若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上，共有多少种不同的停法？【例22】某班5位同学参加周一到周五的值日，每天安排一名学生，其中学生甲只能安排到周一或周二，学生乙不能安排在周五，则他们不同的值日安排有（） A ．288种 B ．72种 C ．42种 D ．36种【例23】某班有30名男生，30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中男、女学生均不少于2人的选法为（）A ．221302046C C CB ．555503020C C C -- C ．514415*********C C C C C --D ．322330203020C C C C +【例24】用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个⑴数字1不排在个位和千位⑵数字1不在个位，数字6不在千位．【例25】甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，5人的名次排列共有_______（用数字作答）种不同情况．【例26】某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（）A．45种B．56种C．90种D．120种【例27】用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（）A．120B．72C．48D．36【例28】某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_____种（用数字作答）．【例30】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（）A．108种B．186种C．216种D．270种【例31】甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【例32】将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有_______种（用数字作答）．【例33】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）A．48个B．36个C．24个D．18个【例34】一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（） A ．24种 B ．36种 C ．48种 D ．72种【例35】 2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数为（）A ．36B ．42C ． 48D ．60【例36】从6名女生，4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为______．A ．3264C C ⋅B ．2364C C ⋅C ．510CD ．3264A A ⋅【例37】 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有种（用数字作答）．【例38】给定集合{1,2,3,,}n A n =L ，映射:n n f A A →满足：①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；②任取n m A ∈，若2m ≥，则有{(1),(2),,()}m f f f m ∈L ．则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”．表1 表2⑴已知表2表示的映射f ：44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；⑵若映射f ：1010A A →是“优映射”，且方程()f i i =的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．【例39】将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里，使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法共有__________种．【例40】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（） A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种【例41】一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，⑴从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？⑵若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？i 1 2 3 ()f i2 3 1 i1 2 3 4 ()f i 3i12 3 4 ()f i 23 1 4【例42】正整数122221(1)n n n a a a a a n n --∈>N L L ，称为凹数，如果12n a a a >>>L ，且2122n n n a a a -->>>L ，其中{0129}(12)i a i ∈=L L ，，，，，，，请回答三位凹数12313()a a a a a ≠共有个（用数字作答）．【例43】 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（） A ．36种 B ．12种 C ．18种 D ．48种【例44】某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．（用数字作答）【例45】某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A ，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？【例46】从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有（）A ．5557105C A A 种B ．5557105AC P 种 C ．55107C C 种D ．55710C A【例47】 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A ．4441284C C C 种 B ．34441284C C C 种 C ．4431283C C A 种D ．444128433C C C A 种【例48】袋中装有分别编号为1,2,3,4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有（）A．24种 B．28种 C．32种 D．36种．【例49】现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人．【例50】将4个小球任意放入3个不同的盒子中，⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例51】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例52】四个不同的小球，每球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中．⑴随便放（可以有空盒，但球必须都放入盒中）有多少种放法？⑵四个盒都不空的放法有多少种？⑶恰有一个空盒的放法有多少种？⑷恰有两个空盒的放法有多少种？⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，若经过5次跳动质点落在点()，处（允许重复过此点），则质点不同的运30动方法共___________种；若经过m次跳动质点落在点()0n，处（允许重复过此点），其中m n≥，且m n-为偶数，则质点不同的运动方法共有_______种．【例54】设集合{12345}I=，，，，，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【例55】f是集合{1234}N=，，的映射，g是集合N到集合M的映M=，，，到集合{123}射，则不同的映射f的个数是多少？g有多少？满足()()()()8+++=f a f b f c f d的映射f有多少？满足[()]f g，有多少？=的映射对()f g x x【例56】排球单循坏赛，胜者得1分，负者0分，南方球队比北方球队多9支，南方球队总得分是北方球队的9倍，设北方的球队数为x．⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分；⑵证明：6x=；x=或8⑶证明：冠军是一支南方球队．【例57】已知集合{}1,2,3,4A =，函数()f x 的定义域、值域都是A ，且对于任意,()i A f i i ∈≠．设1234,,,a a a a 是1,2,3,4的任意的一个排列，定义数表12341234()()()()a a a a f a f a f a f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（） A ．216 B ．108 C ．48 D ．24间接法（直接求解类别比较大时）【例58】有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例59】从0,2,4中取一个数字，从1,3,5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（）A ．36B ．48C ．52D ．54【例60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥．【例61】设集合{}1,2,3,,9S =L ，集合{}123,,A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为（）A ．78B ．76C ．84D ．83【例62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（） A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【例63】某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3 人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有（） A ．45种 B ．56种 C ．90种 D ．120种【例64】对于各数互不相等的正数数组()12,,,n i i i ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在p q <时有p q i i <，则称“p i 与q i ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组()2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组()12345,,,,a a a a a 的“顺序数”是4，则()54321,,,,a a a a a 的“顺序数”是_________．【例65】已知集合{5}C=，，，从这三个集合中各取一个元素构A=，{12}B=，，{134}成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．36【例66】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．【例67】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例68】在排成44⨯的方阵的16个点中，中心4个点在某一个圆内，其余12个点在圆外，在16个点中任选3个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（）A．312个B．328个C．340个D．264个【例69】从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（） A ．70种 B ．112种 C ．140种D ．168种【例70】若关于x y ，的方程组22117ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有解都是整数，则有序数对()a b ，的数目为（）A ．36B ．16C ．24D ．32【例71】从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（） A ．70种 B ．80种 C ．100种 D ．140种【例72】甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（） A ．6种 B ．12种 C ．30种 D ．36种【例73】 {}129，，，A =L ，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的A 的子集个数为_____．【例74】在由数字0，1，2，3，4所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_______个．【例75】在AOB ∠的OA 边上取4个点，在OB 边上取5个点（均除O 点外），连同O 点共10个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作出三角形的个数为多少？【例76】，，，，a b c d e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同的选法总数是（）A．20B．16C．10D．6【例77】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A．18B．24C．30D．36【例78】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成___ _个三角形．【例79】从5名奥运志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【例80】某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有种（）A．1320B．288C．1530D．670【例81】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的选法有_____种（用数字作答）。

2011学而思第七讲数的整除的综合运用

第七讲数的整除的综合运用一、数的整除的特征：1、看末位2、5 只需看末一位能否被2或5整除 2510×= 4、25 只需看末两位能否被4或25整除 425100×= 8、125 只需看末三位能否被8或125整除 81251000×=以四位数abcd 为例，四位数abcd =1000×a +100×b +10c +d 。

10、100、1000都是2或5的倍数，只需d 也是2或5的倍数即可。

2、看各位数字和3、9 只需看各位数字的加和是否为3或9的倍数3、分段系列7、11、13 从右往左三位一格、三位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被7、11或13整除。

11 从右往左一位一格、一位一格，奇位和与偶位和以大减小，差能被11整除 11、33、99 从右往左两位一格、两位一格，求加和，和能被11、33或99整除4、合数判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断。

二、数的整除的性质：（1）传递性：若，，则；|c b |b a |c a （2）可加性：若，，则|c a |c b |c a b ±（）。

三、试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，另被除数为最大或者最小。

当被除数最大时，除以除数会得到一个余数，把余数减去，即为所求数。

当被除数最小时，除以除数会得到一个余数，让除数把余数减去即为所缺少的数，再用被除数把这些数加上即为所求的数。

四、经典例题例1、在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数．（1）请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；（2）一共有多少种满足条件的填法？【分析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+是9的倍数，而4+3+2=9, 所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．□（1）依次填入3、6，因为433+++2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数；（2）经过分析容易得到两个方框内的数的和是9的倍数，如果和是9,那么可以是（9,0）；（8,1）；（7,2）；（6,3）；（5,4）；（4,5）；（3,6）；（2,7）；（1,8）；（0,9），共10种情况，还有（0,0）和（9,9），所以一共有12种不同的填法。

学而思小学奥数知识点梳理解读

学而思小学奥数知识点梳理概述一、计算1．四则混合运算繁分数⑴运算顺序⑵分数、小数混合运算技巧一般而言：①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；②乘除运算中，统一以分数形式。

⑶带分数与假分数的互化⑷繁分数的化简 2．简便计算⑴凑整思想⑵基准数思想⑶裂项与拆分⑷提取公因数⑸商不变性质⑹改变运算顺序①运算定律的综合运用②连减的性质③连除的性质④同级运算移项的性质⑤增减括号的性质⑥变式提取公因数形如：1212...... (...... n n a b a b a b a a a b ÷±÷±±÷=±±±÷3．估算求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小①通分a. 通分母b. 通分子②跟“中介”比③利用倒数性质若111a b c >>，则c>b>a.。

形如：312123m m m n n n >>，则312123n n nm m m <<。

5．定义新运算6．特殊数列求和运用相关公式：①(21321+=++n n n ②((612121222++=+++n n n n③(21n a n n n n =+=+ ④((412121222333+=++=+++n n n n ⑤131171001⨯⨯⨯=⨯=abc abc abcabc ⑥((b a b a b a -+=-22 ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n2二、数论1．奇偶性问题奇±奇=偶奇×奇=奇奇±偶=奇奇×偶=偶偶±偶=偶偶×偶=偶2．位值原则形如：abc =100a+10b+c4．整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(a±b 。

②如果bc|a，那么b|a，c|a。

③如果b|a，c|a，且（b,c ）=1,那么bc|a。

学而思高中题库完整版排列与组合[1].版块八.排列组合问题的常用方法总结2.学生版

1．基本计数原理 ⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2．排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!m nn n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）知识内容排列组合问题的常用方法总结2⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； ④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面． ⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有种．【例2】某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种．【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【例4】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例5】不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有组，非负整数解有组．【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【例7】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【例9】有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【例10】某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【例11】10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】从1231000L，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．12B．16 C．24 D．32【例14】三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例16】马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【例19】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．720【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例26】四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中，校必选，且B在C前，问此考生共有种不同的填表方法（用数B C字作答）．递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【例35】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．.板块八.排列组合问题的常用方法总结2.题库 11【例39】求()10a b c ++的展开式的项数．【例40】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例41】圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？。

学而思优秀勤思体系

学而思优秀勤思体系
以下是对学而思优秀勤思体系的简要概述，仅供参考：
学而思的勤思体系在学而思创立之初就已存在，经过多年的沉淀和积累，已经发展成为一个相当成熟的体系。

这个体系以计算、几何、数论、计数、应用题、行程、组合七大模块为基础，涵盖了小学阶段所有重难点内容。

它的学习方式是螺旋式上升，循序渐进，由易到难，循环进行每一模块的学习。

在六年级阶段，会以2.5轮复习的形式对这七大模块的内容进行学习和巩固。

这个体系的课程难度对于大多数勤思班的普通孩子来说比较合适，因为学而思有一个三讲一测体系：即讲三次课，测一次。

但这个测试内容并不是三次课的全部题型，仅仅是三次课中的基础内容。

这意味着，对于难度较高的题型，孩子可能无法在密集的上课中完全吸收。

然而，家长们通常认为孩子掌握得不错，因为他们在三讲一测中的测试成绩还不错，但这主要是因为测试内容主要集中在1-5的基础题型上。

这就是学而思优秀勤思体系的概况。

然而，对于孩子的学习情况，每个孩子的情况都是不同的，家长和教师都需要根据孩子的实际情况进行评估。

学而思奥数5年级(数论相关)笔记

学而思奥数5年级（数论相关）笔记数论模块是小学学习的痛点，思维强度大，体系性强，而在各大杯赛和小升初考试中，又频繁考到，比例高，低分率低，可谓“得数论者得杯赛”。

五年级是数论模块学习的关键时期整除模块的学习终于五年级寒假，春季也将利用五讲的时间学习余数问题等。

五年级将学习完所有数论模块的知识点，五年级数论模块是否掌握扎实，直接影响到小升初的成绩。

尤其就是对于五年级的杯赛，杯赛中数论就是必考点，但五年级的孩子在寒假准备工作杯赛时，数论模块还未自学完，可以给杯赛集训增添很大的障碍，因此，寒假前提前剖析数论模块，能使杯赛集训事半功倍。

本次短期班如何保证学习效果？梳理体系，查漏补缺：本次短期班通过剖析数论模块，构筑数论科学知识体系，总结数论易错点、难点，使孩子熟识考试中的“陷阱“，加强数论思维能力。

【课程大纲】【班次设置】【课次精心安排】每周1次，共3次课08-09.数的整除特征综合应用01：承揽：4年级下数论数的相乘特征1.末尾系则：2.和系：3，93.差系：11，7，134.女团系则：试除法（应用条件)整除特征练习：09.数的相乘特征综合应用领域02：相乘特征+边线原理（本节难度很大）26.因数和倍数01：（数论版块的重点）1.因数和倍数概念；2.用短乘法：水解质因数；长乘法的应用领域3.用短乘法：谋最小公因数（重点）；4.用短除法：求最小公倍数（重点）；注意：两两分解到最后24-36-905.因数个数公式：本节重点：最小公因数/最轻公倍数43.因数和倍数02：本节重点：长除模型因数个数公式应用领域15.质数与合数：试除法31-32.完全平方数：本节重点：偶指奇因性典型例题：基本思路典型例题余数性质41.拎余乘法：基本公式的应用领域（代数思想）典型例题：化有余为无余42.余数定理：余数简便计算方法：可+可－可x性典型例题典型例题52.十进制问题：59－60.同余问题：其它：游戏策略与数论相关。

小学数学思维训练解决数论问题

小学数学思维训练解决数论问题数论作为数学的一个重要分支，是研究整数性质和整数关系的学科。

在小学数学中，数论问题常常需要运用一定的数学思维来解决。

本文将探讨小学数学思维训练解决数论问题的方法和技巧，并提供一些实用的例题和解答。

一、数论问题的特点数论问题在小学数学中常常涉及到自然数、整数等基本概念，其特点如下：1. 数论问题常常涉及到整除关系，即整数a能被整数b整除，记作b|a。

例如，5能被3整除，记作3|5。

2. 数论问题常常涉及到质数与合数的概念。

质数是只能被1和自身整除的数，合数是有除了1和自身之外的其他因数的数。

3. 数论问题常常涉及到最大公约数和最小公倍数。

最大公约数是能同时整除两个数的最大的正整数，最小公倍数是能被两个数同时整除的最小的正整数。

二、数论问题的解决方法1. 列举法列举法是数论问题中常用的一种解决方法，通过列举所有可能的情况来确定结果。

例题1：小明手中有若干张纸牌，他将这些纸牌分成了5组，每组牌数相同且大于1。

已知纸牌的总数恰好是200，问小明手中纸牌的数量各是多少张。

解答：设每组牌数为x张，则有5x = 200，解得x = 40。

因此，小明手中纸牌的数量各是40张。

2. 逆向思维逆向思维是解决数论问题中的常用方法之一，通过逆向推理，从结果出发寻找问题的解。

例题2：将一个自然数的末尾两位数删除后，得到一个比原数少3倍的自然数，求原数。

解答：设原数为a，根据题意可得 a - 100 = 3 * a，解得 a = 50。

因此，原数为50。

3. 假设法假设法是解决数论问题常用的方法之一，通过假设某个条件成立，并推导出与已知条件矛盾的结论来解决问题。

例题3：有一个3位数N，当它除以9的余数为7，除以5的余数为3。

求N。

解答：假设N满足题意，设N = 9a + 7，由于N除以5的余数为3，可以得到9a + 7 ≡ 3 (mod 5)，推导后可得a ≡ 1 (mod 5)。

然而，当a = 1时，N = 16，但16不满足N除以9的余数为7，因此假设不成立。