03华杯复赛—计数及数论
第三届华杯赛全程详解
第三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛部分复赛部分决赛第一试决赛第二试团体决赛口试初赛试题与解答（1）光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米。
问：光从太阳到地球要用几分钟（得数保留一位小数）？[分析]知道距离和速度，求通过全程的时间，这是很容易做的一道题。
但是因为给出的数字很大，同学们在大数算术运算时一定要注意计量单位，不然便会出错。
[解法1] 将距离单位换为“万千米”，时间单位用“分”。
光速=30万千米／秒=1800万千米／分，距离=1亿5千万千米=15000万千米，时间=距离÷速度=15000÷1800[解法2]如果时间单位用“秒”，最后必须按题目要求换算为“分”．光速=30万千米／秒，距离=15000万千米，时间=15000÷30=500（秒），答：光从太阳到地球约需8.3分钟。
（2）计算[分析]这是一道很简单的分数四则运算题，但要在30秒钟内算出正确答案，需要平时养成简捷的思维习惯。
同学们可以比较一下后面的两种解法。
[解法1] 先求出30，35，63的最小公倍数。
30=2×3×5；35=5×7；63=3×3×7；所以公倍数是2×3×3×5×7=630。
原式通分，有〔解法2〕[注] 两种解法同样都用到通分和约分的技巧，只有一点小区别：解法2在通分时不急于把公分母算出来，而是边算边约分。
这一点小小的不同，却节省了求连乘积的运算，约分也简单些，使计算快了不少哩！（3）有3个箱子，如果两箱两箱地称它们的重量，分别是83公斤、85公斤和86公斤。
问：其中最轻的箱子重多少公斤？[分析]如果将3个箱子按重量区分为大、中、小，在草稿纸上可以这样写：83=中+小，85=大+小，86=大+中．这样分析后，便很容易想到简单的解法。
[解法1]（83＋85＋86）是3箱重量之和的2倍，所以小箱重量是[解法2] （83＋85）=中+大+2×小，所以小箱重量=（83+85-86）×答：最轻的箱子重41公斤。
华杯赛复赛中年级必考模块之数论,数字谜与数阵图
数论，高年级考察的比较多，中年级不是很多，
但基本的一些奇偶，整除特征等得会；2
数字谜是中年级的重点考察内容，尤其提醒大家关注弃9法关注末位定理数阵图也是中年级的重点考察内容基本的两种
关注弃9法，关注末位定理；3数阵图也是中年级的重点考察内容，基本的两种数阵图必会，数阵图模型要会用。
(2010年第十五届华杯赛决赛)在10个盒子中放乒乓球，每个盒子中的球22则()
已知A ＋B ＋C ＋D ＝22，则X ＋Y ＝( )A ．2B ．4C ．7D ．13年第十华杯赛中年组决赛3．(2012年第十七届华杯赛中年级组决赛)右图是两个两位数的减法竖式，其中A ，B ，C ，D 代表不同的数字当被减数取最大值时数字。
当被减数AB 取最大值时，A ×B ＋(C ＋
E )×(D ＋
F )＝_______。
4．(2009年第十四届华杯赛决赛)已知1＋2＋3＋⋯＋n (n >2)的和的个位数为3，十位数为0，则n 的最小值是_______。
(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数135⋯101中选取5．(2009年第十四届华杯赛决赛)在51个连续的奇数1，3，5，，101中选取个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？。
华杯赛讲义_小高组第3讲计数专题和数论专题
第三讲 计数专题和数论专题1、如果说小学奥数试题中"行程""几何""数论"三大专题成为各大杯赛和小升初考试中的常客，占据了试卷的绝大部分版面的话，那么第四大专题就非计数莫属了，而且更重要的是，计数中的技巧多达十几种，堪称五大专题中的最具技巧与灵活性的必考专题。
2、数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
1、一串有规律排列的数，从第二项起每一项都等于1加前一项的倒数之和．当第五项是0时，第一项是（ ）【解析】：根据规律，可表示出每一项，根据第五项是0，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 解：设第一项是a ，根据题意，得第二项是aa a 111+=+第三项是11211++=++a a a a 第四项是12231211++=+++a a a a 第五项是233523121++=+++a a a a 第五项是0，02335=++a a 解得：53-=a2、求使33+n 与n-4不互质的大于4的最小整数n 的值为（ )【解析】：令n-4=k ，k ≥1，得到n3+3=k3+12k2+48k+67，k ≥1，则k3+12k2+48k+67和k 的公约数就是67和k ，依此得到k 的值，进一步即可得到n 的值．解答：解：令n-4=k ，k ≥1，则n3+3=（k+4）3+3=k3+12k2+48k+67，k ≥1，则k3+12k2+48k+67和k 的公约数就是67和k而67是质数，最小的只能是67，于是最小的k=67所以n=71．故答案为：71．.3、从 2000 年到 2099 年, 有没有哪些年份可以表示成n m 33-的形式, 其中 m , n 均为正整数？如果有, 请列举出来；如果没有, 请说明理由.【解析】：没有.设p 为2000到2099任意一数;假设有那样的表达式存在，一定满足n m p 33+=①，显然有得13+=-a n m ，所以13-=-n m a ④，根据2000≦p ≦2099及④式，a 只能取下列值:2、8、26、80、242、728;根据③式及2000≦p ≦2099，3^n 只能取下列值1、3、9、27、81、243、729;当a=2时，a 乘3^n 的最大值(729)＜2000，所以a ≠2;当a=8时，8×243=1944＜2000，8×729=5832＞2099，所以a ≠8;当a=26，26×81=2106＞2099，26×27=702＜2000，所以a ≠26;当a=80，80×27=2160＞2099，80×9=720＜2000，所以a ≠80;当a=242，242×9=2178＞2099，242×3=726＜2000，所以a ≠242;当a=728，728×3=2184＞2099，728×1=728＜2000;综上所述，不存在满足要求的a;所以从2000年到2099年的年份，不能表示为nm 33-的形式.4、如果正整数x 与y 使得yx xy +2的值为质数，那么x+y 共有（ ）种可能的值。
第五届“华杯赛”复赛试题
第五届“华杯赛”复赛试题 1. 19956.15.019954.0199322.550276951922.510939519+⨯⨯÷+--+2. 甲、乙两位学生原计划每天自学的时间相同。
若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间等于甲自学1天的时间。
问：甲乙原订每天自学的时间是多少？3. 图5－4是由圆周、半圆周、直线线段画成经过量度计算出图中阴影部分以外整个“猪”面积（准确到1平方毫米）。
4. 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊。
所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，狼与羊在一起便只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼。
所以我们规定另一种运算，用符☆表示：羊☆羊＝羊；羊☆狼＝羊；狼☆羊＝羊；狼☆狼＝狼。
这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。
对羊或狼可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算。
运算的结果或是羊，或是狼。
求下式的结果：羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）5. 人的血通常为A型，B型，O型。
子女的血型与其父母血型间的关系如下表所示：父母的血型子女可能的血型O，O OO，A A，OO，B B，OO，AB A，BA，A A，OA，B A，B，AB，OA，AB A，B，ABB，B B，OB，AB A，B，ABAB，AB A，B，AB现有三个分别身穿红、黄、蓝上衣的孩子，他们的血型依次为O，A，B。
每个孩子的父母都戴着同颜色的帽子，颜色也分红、黄、蓝三种，依次表示所具有的血型为AB、A、O。
问：穿红、黄、蓝上衣的孩子的父母各戴什么颜色的帽子？6. 一台天平，右盘上有若干重量相等的白球，左盘上有若干重量相等的黑球，这时两边平衡。
在右盘上取走一个白球置于左盘上，再把左盘的两个黑球置于右盘上，同时给左盘加20克进码，这时两边也平衡。
第三届华罗庚金杯赛复赛试题及解析
第三届华杯赛复赛试题第三届华杯赛复赛试题1计算：第三届华杯赛复赛试题2某年的10月里有5个星期六，4个星期日．问：这年的10月1日是星期几？第三届华杯赛复赛试题3、电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？第三届华杯赛复赛试题4．173□是个四位数字．数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？第三届华杯赛复赛试题5．我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16叫做“完全平方数”，在前300个自然数中，去掉所有的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？第三届华杯赛复赛试题6．如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米？第三届华杯赛复赛试题7．在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数．甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环．求甲、乙的总环数．第三届华杯赛复赛试题8．下图中有6个点，9条线段．一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点．行进中，同一个点或同一条线段只能经过1次．这只甲虫最多有多少种不同的走法？9．下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？第三届华杯赛复赛试题10．已知：，求：S的整数部分．第三届华杯赛复赛试题11．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍．几年后，祖父的年龄将是小明的年龄的5倍．又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍．求：祖父今年是多少岁？第三届华杯赛复赛试题12．某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生数．第三届华杯赛复赛试题13．恰好能被6、7、8、9整除的五位数有多少个？第三届华杯赛复赛试题14．计算：1－3＋5－7＋9－11＋…－1999＋2001第三届华杯赛复赛试题15．五环图由内圆直径为8，外圆直径为10的五个圆环组成，其中两两相交的小曲边四边形（阴影部分）的面积都相等．已知五个圆环盖住的总面积是112.5，求每个小曲边四边形的面积（圆周率π取3.14）．第三届华杯赛复赛试题16．下图中8个顶点处标注的数字：a、b、c、d、e、f、g、h，其中的每一个数都等于相邻三个顶点处数的和的1/3，求：（a＋b+c+d）-（e+f＋g＋h）的值．。
成都华杯赛课程讲义(B)
成都华杯赛课程讲义（B ）主要内容：计数、几何、数论【例1】(2009年第十四届“华罗庚金杯赛”初赛)按照中国篮球职业联赛组委会的规定，各队队员的号码可以选择的范围是0～55号，但选择两位数的号码时，每位数字均不能超过5，那么，可供每支球队选择的号码共( )个．【分析】 根据题意，可供选择的号码可以分为一位数和两位数两大类，其中一位数可以为0～9，有10种选择；两位数的十位可以为1～5，个位可以为0～5，根据乘法原理，两位数号码有5630⨯=种选择．所以可供选择的号码共有103040+=种．【巩固】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6：2430，那么从5时到7时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个？【分析】 设DE A:BC 是满足题意的时刻，有A 为6，B 、D 应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有26A 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27A 种选法，所以共有26A ×27A =1260种选法；A 为5，B 、D 应从0，1，2，3，4，这5个数字中选择两个不同的数字，所以有25A 种选法，而C 、E 应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有27A 种选法，所以共有25A ×27A =840种选法，因此一共有12608402100+=个【例2】(2008年第十三届“华罗庚金杯赛”初赛)已知图中是一个轴对称图形．若将图中某些黑色的图形去掉后，得到一些新的图形，则其中轴对称的新图形共有( )个．(A)9 (B)8 (C)7 (D)6【分析】 原图是一个轴对称图形，且对称轴只有1条，那么去掉图中的某些黑色图形后，剩下的轴对称图形的对称轴与原图的相同．阴影5部分中去掉1个，有1种情况；阴影5部分去掉2个，有2种情况；阴影5部分去掉3个，有2种情况；阴影5部分中去掉4个，有1种情况；阴影5部分中去掉5个，有1种情况；所以共7种情况，答案为C ．EDA BC 计数另解：如右图，将阴影5部分标上字母，则A 和B 关于对称轴对称，C 部分单独关于对称轴对称，D 和E 关于对称轴对称，所以，如果要去掉某些黑色部分图形，则A 和B 必须同时去掉或保留，C 既可去掉也可保留，D 和E 必须同时去掉或保留，对这3组每组都有去掉或保留2种选择，共有2228⨯⨯=种选择，但是其中有种情况5部分都没有去掉的情况，这样情况应予排除，所以符合条件的情况共有817-=种．【例3】在图中15⨯的格子中填入1，2，3，4，5，6，7，8中的5个数，要求填入的数各不相同，并且填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有 种不同的填法．【分析】 首先看填入1、2、3、4、5这五个数的情况．由于黑格里的数至少比两个数大，所以至少为3；而白格里的数不能是最大的，所以5必须在黑格里．那么这五个数填在黑格里的数是5和4时，不同的填法有2!3!12⨯=(种)；填在黑格里的数是5和3时，4只能在5的一侧，不同的填法有224⨯=(种)．所以，共有不同填法12416+=(种)．而要将填入的五个数选出来，一共有58C 56=种，然后按照分析1～5这5个数的方法对应着数的相对大小来分析选出来的五个数，也各有16种填法，所以一共有：5616896⨯=种填法．【巩固】在图23-5的空格内各填入一个一位数，使同一行内左边的数比右边的数大，同一列内下面的数比上面的数大，并且方格内的6个数字互不相同，例如图23-6就是一种填法。
届华杯赛复赛试题及答案
第二届华杯赛复赛试题(0.5 + 0.25 + 0.125) - (0.5 X 0.25 X 0.125) X 2 •有三张卡片，在它们上面各写有一个数字（下图）次序排起来，可以得到不同地一位数、二位数、三位数档，请勿用做商业用途3•有大、中、小三个正方形水池，它们地内边长分别是沉没在中、小水池地水里，两个水池地水面分别升高了都沉没在大水池地水里，大水池地水面升高了多少厘米?4. 在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图.小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔•他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔•你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？版权文档，请勿用做商业用途使得这三个数中任意两个都互质•其中一个三位数已填好，它是714.到B,最快需要几分钟? 版权文档，请勿用做商业用途三角形ABG地面积是梯形ABC画积地1/5，那么EG地长是几厘米?1.计算:IxM18 2 66.下图是一 -张道路图,每段路上地数字是小王走这段路所需地分钟数.请问小王从A出发走7.梯形ABCD&中位线EF长15厘米（见图），Z AB（=Z AEF=90°，G是EF上地一点.如果.从中抽出一张、二张、三张，按任意.请你将其中地素数都写出来•版权文6米、3米、2米.把两堆碎石分别6厘米和4厘米.如果将这两堆碎石版权文档，请勿用做商业用途5 .试将1，2，3，4, 5，6，7分别填入下图地方框中，每个数字只用一次:□□□□□□□＜这是一亍三位数）（这是一什位数）版权文档，请勿用做商业用途&有三堆砝码，第一堆中每个法码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克.请你取最少个数地砝码，使它们地总重量为130克写出地取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克地砝码各有几个？版权文档，请勿用做商业用途9. 有5块圆形地花圃，它们地直径分别是3米、4米、5米、8米、9米；请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班管理，使两班所管理地面积尽可能接近•版权文档，请勿用做商业用途10. 一串数排成一行，它们地规律是这样地：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数地和，也就是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，问：这串数地前100个数中（包括第100个数）有多少个偶数？版权文档，请勿用做商业用途11. 王师傅驾车从甲地开乙地交货•如果他往返都以每小时60公里地速度行驶，正好可以按时返回甲地•可是，当到达乙地时、他发现他从甲地到乙地地速度只有每小时55公里，如果他想按时返回甲地，他应以多大地速度往回开？版权文档，请勿用做商业用途12. 如图，大圈是400米跑道，由A到B地跑道长是200米，直线距离是50米•父子俩同时从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，父亲每跑到B点便沿各直线跑• 父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒.如果他们按这样地速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲再相遇？版权文档，请勿用做商业用途□□参考答案版权文档，请勿用做商业用途8011. 一2.共有五个质数：2，3，13, 23, 316. 48分钟7. 6厘米&（见下）9. 千米/小时12.儿子在跑第3圈时,第一次与父亲再相遇£3.出4. 91个5.（见下）（见下）10.（见下）11. 667 1,14呂丿（2 4 8丿13--3x4 1.【解】原式= 37 , 1一+ —4 6I + 1 + IV3--U=（二：l：）X 2X 4X 8X 二21+212 12=（4+2+ 1 ）X 2X4X 匚=7X 2X 4X'I "-. '1 = 7X]= j2. 【解】因为三张卡片上地数字和为 6,能被3整除，所以用这三个数字任意排成地三位数 都能被3整除，因此不可能是质数 版权文档，请勿用做商业用途再看二张卡片地情形•因为1 + 2 = 3，根据同样地道理，用 1. 2，组成地二位数也能被 3整 除，因此也不是质数•这样剩下要讨论地二位数只有 13、31、23、32这四个了，其中13,31和23都是质数，而32不是质数最后，一位数有三个： 1, 2，3.1不是质数，2和3都是 质数所以，本题中地质数共有五个：2，3，13，23，31版权文档，请勿用做商业用途答：共有五个质数：2，3，13, 23，31.3. ［解】把碎石沉没在水中，水面升高所增加地体积•就等于所沉入地碎石地体积 •因此，沉入在水池中地碎石地体积是:3 X 3X 0.06 = 0.54（米），版权文档，请勿用做商业用途 而沉入小水池中地碎石地体积是:2 X 2X 0.04 =0.16（米），这两堆碎石地体积一共是 :0.54 + 0.16 = 0.7（米3） 把它们都沉入大水池里，大水池地水面升高所增加地体积也就是 0.7米3，而大水池地底面积是:6 X 6= 36（米），22 TO所以大水池地水面升高了 :0.7十36= 二（米）=二（厘米）=（厘米）112答：大水池地水面升高了「厘米.4. ［解】设想圆圈上地孔已按下面方式编了号： A 孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号 为2，3，4,…B 孔地编号就是圆圈上地孔数 ，每隔2孔跳一步，跳在1，4, 7，10,…上. 最后跳到B 孔，因此总孔数是 3地倍数加1,同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到 B 孔，就 意味着总孔数是5地倍数加1 ;而每隔6孔跳一步最后跳回到 A ,就意味着总孔数是 7地倍 数.版权文档，请勿用做商业用途 如果将孔数减1，那么得数既是3地倍数也是5地倍数，因而是15地倍数.这个15地倍数 加上1就等于孔数，而且能被7整除.注意：15被7除余1，所以15X6被7除余6, 15地6倍加1正好被7整除.我们还可以看出，15地其他（小于7地）倍数加1都不能被7整除， 而15X 7= 105已经大于100. 7以上地倍数都不必考虑，因此，圆圈上总孔数是 15X6十1=91版权文档，请勿用做商业用途 答：圆圈上共有91个孔. 5. ［解】714= 2X 3X 7X 17.由此可以看出，要使最下面方框中地数与 选5,也就是说，第三行地一位数只能填 现在来讨论第二行地三个方框中应该怎样填 因为任意两个偶数都有公约数2,而714是偶数，所以第二行地三位数不能是偶数，因此个 位数字只能是3 .这样一来，第二行地三位数只能是 263或623 .但是623能被7整除，所以623与714不互质.版权文档，请勿用做商业用途 最后来看263这个数通过检验可知： 714地质因数2, 3, 7和17都不是263地因数，所以714与263这两个数互质，显然，263与5也互质.因此714, 263和5这三个数两两互质.于 是填法是：版权文档，请勿用做商业用途Em E E E3EI6. ［解】为叙述方便，我们把每个路口都标上字母，如图714互质，在剩下未填地数字 2，3，5，6中只能5.版权文档，请勿用做商业用途2，3，6这三个数字.a 、图b 所示b首先我们将道路图逐步简化•从A出发经过C到B地路线都要经过DC和GC面从A到C有两条路线可走：ADC需时间14 + 13 = 27 （分钟）；AGC需时间15+ 11 = 26 （分钟）.我们不会走前一条路线，所以可将DC 这段路抹去•但要注意，AD不能抹去，因为从A到B还有别地路线（例如AHB经过AD需要进一步分析.版权文档，请勿用做商业用途由G到E也有两条路线可走：CCE需16分钟，GIE也是16分钟.我们可以选择其中地任一条路线，例如选择前一条，抹掉GIE （也可以选择后一条而抹掉CE但不能抹掉GC因为还有别地路线经过它•）这样，道路图被简化成图49地形状.版权文档，请勿用做商业用途在图b中，从A到F有两条路线，经过H地一条需14 + 6 + 17= 37 （分钟），经过G地一条需15+ 11+ 10= 36 （分钟），我们又可以将前一条路线抹掉（图C）•版权文档，请勿用做商业用途2 7 7图c中，从C到B也有两条路线，比较它们需要地时间，又可将经过E地一条路线抹掉•最后，剩下一条最省时间地路线（图d），它需要15+ 11 + 10+ 12= 48 （分钟）•版权文档，请勿用做商业用途【又解】要抓住关键点C.从A到B地道路如果经过C点，那么，从A到C地道路中选一条最省时间地，即AGC从C到B地道路中也选一条最省时间地，即CFB因而从A到B经过C地所有道路中最省时间地就是这两条道路接起来地，即AGCF.B它地总时间是48分钟.版权文档，请勿用做商业用途剩下地只要比较从A到B而不经过C点地道路与道路AGCF B看那个更省时间• 不经过C点地道路只有两条：①ADHFB它需要49分钟；②AGIEB它也需要49分钟• 所以，从A到B最快需要48分钟•答：最快需要48分钟.17. 【解】梯形ABCD地面积等于EF X AB而三角彤ABG地面积等于［EG<AB因此三角形1ABG和梯形ABCD地面积比等于1 EG与EF地比.由题目地条件，三角形ABG地面积是梯形1 2 2ABCD地面积地-，即EG是EF地］.因为EF长15厘米，EG地长就是：15X_「= 6（厘米）•版权文档，请勿用做商业用途答：EG长6厘米8・【解】为了使问题简化，我们首先分析一下这三堆砝码之间地关系•很明显，一个3克地砝码加上一个7克地砝码正好等于两个5克地砝码（都是10克），因此，如果用一个3克地砝码和一个7克地砝码去替换两个5克地砝码，砝码地个数及总重量都保持不变. 这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉，直到只剩下一个5克地砝码或者没有5克砝码为止. 版权文档，请勿用做商业用途问题归结为下面两种情形：（1）所取地砝码中没有5克砝码.很明显，为了使所取地砝码个数尽量少，应该尽可能少取3克砝码.而130克减去3克砝码地总重量应该是7克地倍数.计算一下就可以知道，取0个、1个、2个、3个、4个、5个3克砝码，所余下地重量都不是7克地倍数.如果取6个3克砝码，那么130克—3克X 6= 112克=7克X 16.于是可以取16个7克砝码和6个3克砝码，总共22个砝码版权文档，请勿用做商业用途（2）所取地砝码中有一个5克地.那么3克和7克砝码地总重量是130克—5克=125克.和第一种情形类似，可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码，这样总共有17+ 2 + 1= 20 个砝码版权文档，请勿用做商业用途比较上面两种情形，我们得知最少要取20个砝码.取法可以就像后一种情形那样：2个3克地，1个5克地，17个7克地，当然也可以用两个5克砝码换掉一个3克和1个7克地砝码，例如可以取5个5克地和15个7克地.版权文档，请勿用做商业用途9. 【解】我们知道，每个圆地面积等于直径地平方乘以（n /4 ）.现在要把5个圆分组，两组地总面积要尽可能接近，或者说；两组总面积地比尽可能接近 1.由于每个圆面积都有因子（n / 4）.而我们关心地只是面积地比，所以可把这个共同地因子都去掉，使问题简化为：将5个圆公成两组，使两组圆地直径地平方和尽可能接近•版权文档，请勿用做商业用途5个圆地直径地平方分别是9，16，25,64，81.这5个数地和是195.由于195是奇数，所以不可能把这5个数分成两组，使它们地和相等.另一方面，81十16= 97，9+ 25+ 64= 98,二者仅相差 1.版权文档，请勿用做商业用途因此，应该把直径4米和9米地两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理. 答：应该把直径4米和9米地两个花圃交给一个班管理，其余三个花圃交给另一个班管理. 10. 【解】观察一下已经写出地数就会发现，每隔两个奇数就有一个偶数.这个规律是不难解释地：因为两个奇数地和是偶数，所以两个奇数后面一定是偶数.另一方面，一个奇数和一个偶数地和是奇数，所以偶数后面一个是奇数，再后面一个还是奇数.这样，一个偶数后面一定有连续两个奇数，而这两个奇数后面一定又是偶数，等等•版权文档，请勿用做商业用途因此，偶数出现在第三、第六、第九…第九十九个位子上.所以偶数地个数等于100以内3地倍数地个数，即等于99-3= 33,于是，这串数地前100个数中共有33个偶数.版权文档，请勿用做商业用途本题给出地这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”.答：这串数地前100个数中共有33个偶数.丄丄11. 【解】王师傅每两千米应行X 2（小时），现来时每1千米行丁.小时，] 丄丄所以返回时每1千米应行：「I X 2—二；=T （小时）即应以每小时66千米地速度往回开.【又解】根据题意，如果王师傅往返都以每小时60公里地速度行驶，正好按时返回甲地.丄也就是说，按计划行驶1公里地时间是」小时.而王师傅从甲地到乙地地实际行驶速度只有55公里/小时，这样一来、实际行驶1公里所花费地时间是 工小时，比计划多用 时，为了能按时返回甲地， 王师傅从乙地返回甲地时， 行驶1公里所花地时间必须比原计划小时.也就是说,只能花二二J （小时）.因此王师傅往回开 地速度应是 66公/小时.版权文档，请勿用做商业用途 答：王师傅应以66公里/小时地速度往回开•12.【解】首先我们要注意到： 父亲和儿子只能在由 A 沿逆时针方向到 B 这一段跑道上相遇， 而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲•版权文档，请勿用做商业用途儿子跑一圈所用地时间是 19X （400十100） = 76（秒），也就是说，儿子每过 76秒到达A 点一 次.同样道理，父亲每过 50秒到达A 点一次.在从A 到B 逆时针方向地一段跑道上，儿子要 跑19X （200十100） = 38（秒），父亲要跑20X （200 + 100） = 40（秒）.因此，只要在父亲到达 点后地2秒之内，儿子也到达A 点，儿子就能从后面追上父亲 整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完地圈数 ），它比50地一个整数倍大，但至多大要找76地一个倍数，它除以 50地余数在0到2之间，这试一下就可以了：76-50 余26,76X 2十50余2 •正合我们地要求.（在一般情况下，应该先看看76地倍数除以50地余数有 什么规律） 版权文档，请勿用做商业用途因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第 3圈答：儿子在跑第3圈时，第一次再与父亲相遇•A已我们需要找76地一个 2.即疋，小时间少版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This article in eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. 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It shall notmisinterpret or modify the original intention of the contentof this article, and shall bear legal liability such ascopyright. 版权文档，请勿用做商业用途版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理版权为个人所有This article in eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. Copyright is pers onal own ership. 版权文档，请勿用做商业用途用户可将本文地内容或服务用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律地规定，不得侵犯本网站及相关权利人地合法权利.除此以外，将本文任何内容或服务用于其他用途时，须征得本人及相关权利人地书面许可，并支付报酬.版权文档，请勿用做商业用途Users may use the contents or services of this articlefor pers onal study, research or appreciati on, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shallabide by the provisi ons of copyright law and other releva nt laws, andshall n ot infringe upon the legitimate rights of this website and itsreleva nt obligees. 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华杯赛试题中的四种常见题型
（1）3◇＋○＝36；
（2）2△＋2○＝50；
（3）3○＋☆＝41；
（4）3◇＋△＝37.
解得△＝13,○＝12,◇＝8,☆＝5
则第三行的四个数的和为 2◇＋○＋☆＝33.
2. D；
提示：16×2×4－2×2×4＝112 平方厘米
3. 至少需要投入 41 枚硬币，这时所有的盒
子里的硬币的总钱数至少是 194 分；
以及小数化分数的问题， 同学们要熟练掌握以
下 几 点 ：（1）小 数 、循 环 小 数 化 分 数 的 基 本 法
则 ；（2）分 数 的 化 简 、约 分 ；（3）分 数 的 加 、减 法 法
则和乘、除法 法 则 ；（4）假 分 数 和 带 分 数 的 相 互
转换.
2.速算、巧算和估算
速算、巧算和估算的内容往往很多、分类较
学 的面积等于 12 平方厘米，则图中阴影部分的面 篇 积是（ ）平方厘米.
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新 思路
图1
解析：延 长 MH 必 然 交 AB 于 点 O ， 连 接
CO ， 因 为 M 是 弧 CD 的中点，H 是弦 CD 的中
点，所以 S 阴影＝ S 扇形 OMC . 根 据 题 意 可 得 CD∥AB ， 即 S ＝ △CHO S△CNH，
过运算结果的特征和性质对答案进行合理的
猜想、假设、计算检验和排除.
3.质数、分解质因数
有关质数、 分解质因数这一类知识点对同
学们的计算能力和分析能力也有很高的要求.同学们要熟练掌握判断质数、 分解质因数的
方法，通过数的两两互质将数分类等.
例 3 （第 13 届“华罗庚金杯”少年数学邀
请 赛 决 赛 ） 将 六 个 自 然 数 14，20，33，117，143，
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03华杯复赛—计数及数论
第三讲计数、数论综合
2021．2
知识概述
1．计数
计数题量约为2道，难度中等偏上．涉及的知识点包括枚举法、加乘原理、排列组合等，需要将问题考虑全面，个别题需要递推计数的思想．
2．数论
数论一般为1道题，难度中等偏上．涉及的知识点包括整数、质数合数、约数倍数以及余数、位值原理．需要对数论基础知识全面了解．
真题精讲
计数部分：
【例1】从1~8这八个自然数中取三个数，其中有连续自然数的取法有________种．（19届复赛）
【例2】如图所示，一只蚂蚁从正方体的顶点A出发，沿正方体的棱爬到顶点B，要求行走的路线最短，那么蚂蚁有_______种不同的走法．（17届复赛A卷）
【例3】将1、2、3、4、5分别填入图2的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有________种不同的填法．（19年南宁营）
【例4】将1和2填入的网格中，要求每个格只填一个数，每行每列至少一个1和至少一个2，则有________种不同的填法．（19年南宁营）
【例5】黑板上顺次写下连续自然数1，2，3，4，5，6， (99)
得到一串数1234567891011…，则相邻数字构成的两位数有________个被3整数（重复的计算多次）．（19年太原营）
【例6】亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰
好，2名朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如右图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有________种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻．（旋转以后相同的，算同一种方法）．（22届复赛）
【例7】将下图左边的大三角形纸板剪3刀，得到4个大小相同的小三角形纸板（第一次操作），见下图中间．再将每个小三角形纸板剪3刀，得到16个大小相同的更小的三角形纸板（第二次操作），见下图右边．这样继续操作下去，完成前六次操作共剪了________刀．（21届复赛A卷）
【例8】某班同学做游戏，把3个相同的白球与2个相同的黑球放入3个不同的篮子中（每个篮子中至少放一个球），结果发现任两个同学的放的方法都不一样．全班最多有________名同学．（19年太原营）
【例9】用五种不同的颜色涂正方体的六个面．如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然不同的涂色方法才被认为是不同的）（20届复赛卷）【例10】右图中的网格是由6个相同的小正方形构成．将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形．经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有________种不同的涂
色方法．（21届复赛A卷）
数论部分：
【例11】在除法算式中，被除数为2016，余数为7，则满足算式的除数共有_______个．（21届初赛）
【例12】一个两位数与109的乘积为四位数，它能被23整除且商是一位数，这个两位数最大等于________．（21届复赛A卷）【例13】某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加3是5的倍数，那么这个两位数是________．（20届复赛A 卷）
【例14】3个连续的自然数介于100到200之间，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，这3个自然数的和是________．（19年南宁营）
【例15】一个三位数交换个位和百位后的新的三位数称为原三位数的逆序数，某个三位数和它的逆序数的和是928，差是198（大减小），则这个三位数是_______．（18年深圳营）
【例16】从连续自然数1至9中取出7个，其和是7的倍数，共有________种不同的取法．（19年太原营）
【例17】从1到200这200个自然数中任意选数，至少要选出多少个才能确保其中必有2个数的和是5的倍数？（21届复赛B 卷）【例18】三位数中，有些数本身是该数的数字和的19倍，如()19019190=?++，请写出所有这样的三位数．（19届复赛）课后巩固
1．一个自然数的各位数字没有重复的数字，并且数字和等于19，那么这类自然数中最小是________．（19年南宁营）
2．小明行李箱锁的密码是由两个数字与构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试________次，才能确保打开箱子．（22
届初赛）
3．编号从1到10的10个白球排成一行，现按照如下方法涂红色：
（1）涂2个球；
（2）被涂色的2个球的编号之差大于2．不同的涂色方法有多少种？（18届复赛A 卷）
4．从1，2，3，4，5这5个数中选出4个不同的数填入下面4个方格中
+>+
有________种不同的填法使式子成立．（提示：1523+>+和5123+>+是不同的填法）（21届复赛A 卷）
5．能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有________个．（22届复赛）
6．在除以7余1、除以11也余1的自然数中，大于1的最小自然数是________．（18届初赛）。