方程、计数、最值、行程等问题中的数论综合(下)
45.第四十五讲 方程、计数、最值、行程等问题中的数论综合
第四十五讲方程、计数、最值、行程等问题中的数
论综合
知识点汇总：
1．不定方程(组)
2．数论计数
3．数论最值
4．数论行程
例题练习：
1、解方程
96480
15
a b c
a b c
++=
⎧
⎨
++=
⎩
(其中a、b、c均为自然数 )
2、两个四位数ACCC和CCCB满足，
2
5
ACCC
CCCB
=请问A×B×C之值是什么？
3、如图，三条圆形跑道，每条跑道的长都是1千米，A、B、C三位运动员同时从交点O出
发，分别沿三条跑道跑步，他们的速度分别是每小时4
3
千米，每小时
6
5
千米，每小时
8
9
千米。
问：从出发到三人第一次相遇，他们共跑了多少千米？
4、2001个连续的自然数之和为a×b×c×d，若a、b、c、d都是质数，则a＋b＋c＋d的最小
值是多少？
【本讲重要内容回顾】。
第20讲 数论综合二完整版
第20讲数论综合二兴趣篇1．有4个不同的正整数，它们中任意2个数的和都是2的倍数，任意3个数的和都是3的倍数，要使这4个数的和尽可能小，请问：这4个数应该分别是多少？答案：1、7、13、19解析：“任意2个数的和都是2的倍数”说明四个数奇偶性相同，“任意3个数的和都是3的倍数”说明四个数除以3的余数相同．若这四个数为奇数，第一个数为1，依次加6可得四个数为1、7、13、19.若这四个数为偶数，第一个数为2，依次加6可得四个数为2、8、14、20.显然第一组更小．2．已知算式（1+2+3+…+n）+ 2007的结果可表示为n（n>l）个连续自然数的和．请问：共有多少个满足要求的自然数n？答案：5个解析：1+2+3+…+n是项数为n的等差数列之和，我们考虑将2007平均分成n份，加到每一项上即可．2007=32×223，有6个约数，分别为1、3、9、223、669、2007。
其中1舍去，有5个满足要求的自然数。
3．有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有4种，请问：所有满足上述条件的自然数中最小的一个是多少？答案：11解析：因为有四种表示方法，至少涉及四个质数，最小的四个质数是2、3、5、7，最小的四个合数是4、6、8、9，恰好有11=7+4=5+6=3+8= 2+9.因此满足条件最小的数是11.4．甲、乙两个自然数的乘积比甲数的平方小2008.请问：满足上述条件的自然数有几组？答案：4组解析：由题目条件得，甲×甲-甲×乙=甲×（甲-乙）2008，将2008写成两个数乘积的形式，有如下几种：2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8．因此满足条件的甲、乙数为(2008，2007)、(1004，1102)、(502，498)、(251，243)，共有4组．5．两个不同两位数的乘积为完全平方数，请问：它们的和最大可能是多少？答案：170解析(1)两个数均为平方数，则它们的乘积仍为平方数，这种情况和最大为81+64=145.(2)两个数均不是平方数，则这两个数为a×m2，a×n2(其中m不等于n).对可能的情况进行讨论：当a=2时，这两个数最大是2×72、2×62，和为98+72=170.当a=3时，这两个数最大是3×25、3×16，和为75+48=123.当a=5时，这两个数最大是5×16、5×9，和为80+45=125.当a=6时，这两个数最大是6×16、6×9，和为96+54=150．……经讨论，和最大为170．6．n个自然数，它们的和乘以它们的平均数后得到2008.请问：n最小是多少？答案：502解析：由于2008=2008×1=1004×2=502×4=251×8，如果这挖个数的和为2008，平均数为1，那么n为2008.如果这n个数的和为1004，平均数为2，那么n为502.知果这n个数的和为502，平均数为4，那么这不可能，如果这n 个数的和为251，平均数为8，那么这不可能，因此n最小是502.7．一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如16=52-32，16就是一个“智慧数”，请问：从1开始的自然数列中，第2008个“智慧数”是多少？答案：2680解析：通过尝试可以发现如下规律：相邻两个平方数的差为3，5，7，9，11…即除1外，所有的奇数均为“智慧数’’．相邻两个奇数的平方差与相邻两个偶数的平方差为8，12，16，20，24，28…即除4之外，所有4的倍数的数是“智慧数”，所以1～2000的“智慧数”有2000÷2 +2000÷4-2=1498个．1～2500的“智慧数”有2500÷2+2500÷4-2=1873个．1～2700的“智慧数”有2700÷2+2700÷4-2=2023个．因此第2008个“智慧数”为2680.8．将1001-5分别除以2，3，4，…，100，可以得到99个余数(余数有可能为0).请问：这99个余数的和是多少？答案：4565解析：100!能够被2，3，4，…，100整除，100!-5除以100的余数为100-5=95，100!-5除以99的余数为99 -5=94，100! -5除以98的余数为98- 5=93，…，100!-5除以6的余数为6-5 =1，除以5余0，除以4余3，除以3余1，除以2余1（判断除以2、3、4的余数，只需用2、3、4的倍数减5即可）．所以余数和为1+1+3+0+1+2+…+94+95=5+(1+95)×95÷2 = 4565.9．卡莉娅、小高和墨莫三人经常去电影院，卡莉娅每隔2天去一次，小高每隔4天去一次，墨莫每隔6天去一次．今天他们三人都去电影院，将来会有连续三天都有人去电影院．如果今天是第1天，那么最早出现的具有上述性质的连续三天是哪三天？答案：第6天、第7天和第8天解析：由题意知，卡莉娅将在第4天、第7天、第10天……去电影院．小高将在第6天、第11天、第16天……去电影院．墨莫将在第8天、第15天、第22天……去电影院．则最早出现的连续三天是第6天、第7天和第8天．10.有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数．请问：这三个数中最小的一个是多少？答案：50解析：三个连续自然数的平方从小到大依次是10、9、8的倍数，则三个连续自然数从小到大依次是10、3、4的倍数．由龀可推断出三个数中最小的数是10的倍数，并且除以3余2，除以4余2.满足上述条件最小的数是50．拓展篇1．有一个正整数，它加上100后是一个完全平方数，加上168后也是一个完全平方数．请问：这个正整数是多少？答案：156解析：设这个正整数为n ，则n+100=b 2，n+168=a 2，两式相减得a 2-b 2=68，而a 2-b 2=(a+b)×（a-b ），68=1×68 =2×34=4×17，由此可得⎩⎨⎧==+，，2b -a 34b a 解得⎩⎨⎧==，16b ,18a 所以n 为156．2．如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2 +b 2=c 2，则称这三个数构成一个勾股数组(a ，b ，c)．与5有关的勾股数组有两组：(3，4，5)和(5，12，13)，请问：与13有关的勾股数组有哪些？答案：(5,12.13)、(13, 84, 85)解析：当c= 13时，则很显然(5，12，13)是一组勾股数．当a=13时，则132 +b 2=169+b 2=C 2，即c 2-b 2=(c+b)×(c-b)=169×1，由此可得⎩⎨⎧==+，1b -c ,169b c 解得⎩⎨⎧==84,b ,85c 因此(13, 84, 85)也是一组勾股数．3.小高往一个水池里扔石子．第一次扔1颗石子，第二次扔2颗石子，第三次扔3颗石子，第四次扔4颗石子……他准备扔到水池的石子总数是106的倍数，请问：小高最少需要扔多少次？答案：52次解析：小高扔的石子数为n ×(n+1)÷2，而106=2×53，因此，n 或n+1其中有一个应是53或53的倍数，当n=52时，满足石子数是106的倍数，因此小高最少需要扔52次．4．已知两个自然数的最大公约数是6，两数之和为1998.请问：满足上述条件的数一共有多少组？答案：108组解析：设甲、乙两数分别为6a、6b，其中a与b互质，且6a+6b=1998，即a+b=333=32×37，将333分成两数之和，共有166组分法，其中当两数是3或37的倍数时．两数不互质．同时166÷3=55……1，166÷37 =4……18，其中111被算了两次，因此满足条件的组数有166-55-4+1=108组．5．数学老师把一个两位数的约数个数告诉了墨莫，聪明的墨莫仔细思考了一下后算出了这个数，同学们，你们知道这个数可能是多少吗？答案：64或36解析：若约数个数为2个，是质数，这样的两位数有很多．若约数个数为3个，可以用a2来表示，也有很多．约数个数为4个的两位数也有很多．约数个数为5个的数可以表示为a4，有16和81，不唯一，约数个数为6个的两位数也不唯一，约数个数为7个的两位数表示为a6，只有26 =64，是唯一的，同样的，约数个数为9个的两位数也是唯一的，只有36.约数个数更多的两位数，或者不唯一，或者不存在，因此这个数可能为64或36.6．在一个正整数的所有约数中，个位数字为0，1，2，…，9的数都出现过，请问：这样的正整数最小是多少？答案：270解析：若约数的个位数字为0，则这个数应为10的倍数．若约数的个位数字为9，则这个数至少是9的倍数，这样个位数字为0、1、2、3、5、6、8、9都不用再考虑．再考虑个位数字为7，则至少是7的倍数，或者为27的倍数也可以，满足上述条件的数为630或270.两者都含有个位数字为4的约数．因此最小为270．7．甲、乙两个三位数的乘积是一个五位数，这个五位数的后四位数是3456.如果甲的数字和是8，乙的数字和是14，那么甲、乙两数之差是多少？答案：30解析：甲的数字和是8，乙的数字和是14，若没有进位，乘积的数字和应为112，除以9余4，若有进位，每进一位，数字和减少9，最终乘积酌数字和仍然除以9余4，因此这个五位数只能为43 456.分解质因数得43456=26×7×97，容易找到满足条件的数为224和194，差为30.8．A 求最小的正整数n ，使得2006+7n 是完全平方数，答案：29解析：452=2025，2025-2006=19不是7的倍数．462=2116，2116-2006=110不是7的倍数．472 =2209, 2209-2006=203是7的倍数，商为29.因此满足条件的最小的正整数n 为29.9．请写出由不同的两位数组成的最长的等比数列．答案：16、24、36、54、81解析：容易想到的结果为10、20、40、80，即公比为2．但实际上公比还可以更小，比如23，此时要求第一项应为24 =16的倍数，因此等比数列可以为16、24、36. 54.。
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)本文介绍了小学奥数的七大模块，包括计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题。
模块一：计算模块这个模块包括速算与巧算、分数小数四则混合运算及繁分数运算、循环小数化分数与混合运算、等差及等比数列、计算公式综合、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳、比较与估算、定义新运算和解方程。
模块二：数论模块这个模块包括质数与合数、因数与倍数、数的整除特征及整除性质、位值原理、余数的性质、同余问题、中国剩余定理（逐级满足法）、完全平方数、奇偶分析、不定方程、进制问题和最值问题。
模块三：几何模块这个模块包括直线型和曲线型两部分。
直线型包括长度与角度、格点与割补、三角形等积变换与一半模型、勾股定理与弦图和五大模型。
曲线型包括圆与扇形的周长与面积和图形旋转扫过的面积问题。
此外，还包括立体几何，包括立体图形的面积与体积、平面图形旋转成的立体图形问题、平面展开图和液体浸物问题。
模块四：行程模块这个模块包括简单相遇与追及问题、环形跑道问题、流水行船问题、火车过桥问题、电梯问题、发车间隔问题、接送问题、时钟问题、多人相遇与追及问题、多次相遇追及问题和方程与比例法解行程问题。
模块五：应用题模块这个模块包括列方程解应用题、分数、百分数应用题、比例应用题、工程问题、浓度问题、经济问题和牛吃草问题。
模块六：计数模块这个模块包括枚举法之分类枚举、标数法、树形图法、分类枚举之整体法、对应法、排除法、加乘原理、排列组合和容斥原理。
小学奥数七大模块详解模块一：从简单情况入手在解决问题时，我们可以从简单情况入手，逐步深入，找到规律，从而解决更复杂的问题。
模块二：对应与转化思想对应与转化思想是一种常用的解决问题的方法，通过将问题转化为另一种形式，或者与另一个问题进行对应，从而得出答案。
模块三：从反面与从特殊情况入手思想有时候，我们可以通过考虑问题的反面或特殊情况来解决问题。
这种思想可以帮助我们发现问题的本质，从而找到解决问题的方法。
小六数学第21讲：数论综合(学生版)
第二十一讲数论综合数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。
由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。
数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。
作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
基本公式1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n= p11a× p22a×...×p k k a（#)其中p1<p2<...<p k为质数，a1,a2,....a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
4.约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(a k+1)所有约数和：（1+P1+P12+…p11a）（1+P2+P22+…p22a）…（1+P k+P k2+…p k k a）5.用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,b)。
6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
7.平方数的总结：①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。
②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。
④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。
8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9.周期性数字：abab=ab×1011.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。
高思数学_6年级下第四讲数论与方程.pdf
数论是研究自然数规律的学科，至今我们已经学过了整除、同余、约数、倍数等许许多多的数论知识，了解了很多与自然数有关的现象与规律．这些规律都颇为优美而实用，帮我们解决了很多问题．为了进一步挖掘这些规律的本质，我们需要引进用字母表示数的想法，将数论与代数，尤其是方程结合起来．2的个位数字是多少，考虑数列2，22，32，42，…，用余数可替代性比如，求100结合找规律的想法，发现该数列每一项的个位数字组成的数列是以4为周期的：2，4，8，6，2，4，8，6，…，因而1002的个位数字与42的个位数字相同，故个位数字为6．那么为什么会有“4”这一个周期呢？用代数方法很容易说明：对任意正整数n ，由于()4422221215n n n n +−=−=×（其中15是5的倍数，2n 是2的倍数），故422n n +−一定是10的倍数，所以42n +与2n 个位数字相同．引入代数思想，能帮助我们很好地解释数论中存在的各种规律．当然，要熟练地应用代数思想来解释数论规律并不是一件容易的事情．在这一讲，我们只学习几个典型问题，目的在于实现小学数论到初中数论知识的过渡．分析 2n 可以用来表示所有偶数，21n −可以表示所有奇数，如n 取2时，22×是第2个正偶数，221×−是第二个正奇数．那么能否用一个类似的式子来表示出所给数列的每一项呢？练习1. 在数列5，10，15，20，25，…中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前2n +个数的乘积的末尾0的个数少5个，那么n 最小是多少？分析 要了解什么样的数是智慧数，不妨先计算一些智慧数，看看其中藏着什么玄机，有什么规律？的乘积的末尾最小是多少？练习2. 一只乌龟，它10年前的年龄是完全平方数，10年后的年龄也是完全平方数，这只乌龟今年几岁？分析 小高扔的石子总数与扔石子次数之间是什么关系呢？练习3. 卡莉娅天天吃零食，第一天吃了100颗巧克力豆，第二天吃了99颗，第三天吃了98颗，……，不到60天，所有巧克力豆都被吃光了．已知开始时，这些巧克力豆都是装在袋子里的，每个袋子30颗，那么卡莉娅共吃了多少袋巧克力豆？分析 设与4相邻的数为a ，则4a 要是4a +的倍数．这里的自然数a 有哪些可能取值？2颗石子，第三次扔子总数是练习4. 有甲、乙两个自然数，甲是乙的10倍，甲与乙的乘积能被甲与乙的和整除，那么甲数最小是多少？分析 不妨设小高、小娅分别胜了m 局和n 局，那么最后的得分之差怎么表示？它要是110的倍数，意味着什么？练习5. 墨莫和萱萱玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变．最后墨莫获胜，他比萱萱多的分数是39的倍数，那么他们最少玩了多少局？每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以最后小高获胜，连续自然数．现在设置指针第一秒转动的角度为的整数）如果指针在第一圈内恰好能指回出发位置，那么置方法？最小可以被设成多少？本讲知识点汇总一、复习所学过的各种数论知识，初步学会用代数思想来解释余数的周期性．二、学习用代数方法来表示数列的通项．三、用代数思想来处理一些特殊的不定方程问题：1. 平方差问题：两个正整数的平方差要么是奇数，要么是4的倍数； 2.二次不定方程及指数不定方程问题．这类问题常结合整除、余数知识来进行处理．作业1. 在数列2，5，8，11，14，17，20，…中，如果前n 个数的乘积的末尾0的个数比前1n +个数的乘积的末尾0的个数少2个，那么n 最小是多少？2.“勾三、股四、弦五”是一组勾股数，满足：222345+=且3、4、5都是正整数．当“勾七”时，股和弦各是多少？3. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹， ，颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少仙丹？4. 请你在5与6之间插入两个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的乘积．5. 一只怪兽的现在的攻击力是1点．该怪兽带着一枚硬币，硬币有正反两面．每次投掷硬币，如果投到正面，则现有攻击力翻倍；如果投到反面，则现有攻击力减11，如果不够减，则怪兽死亡．已知这只怪兽投掷了若干次（至少一次）硬币之后，依然活着，而且攻击力依然为1点，那么它最少掷了多少次硬币？。
小学数学六年级下册数论之数论综合六年级小升初讲课上课PPT教学课件
练习1：有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如 果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（ ）块 。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正 方形，至少需要瓷砖的块数为（ ）。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加 上5后被5除余1，这个两位数是______.
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
4、位值原理 技巧：
数论基础
例题1：如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所 得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的 和是多少？
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题2：某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低 于90分的人数占1/7,得80～89分的人数占1/2，得70～79分得 人数占1/3.那么得70分以下的有________人。
例题3： a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余 数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数 是_______
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个 自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.
数学六年级 第22讲 数论综合三(教师版+学生版,含详细解析)
第22讲 数论综合三典型问题◇ ◇ 兴趣篇 ◇ ◇1.（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数。
（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数。
【分析】 （1）设这个三位数为abc 根据题意有240abc n =，即240000abc n +=，22200(200)(200)abc n n n =-=+-当201n =时，401abc =，五位数是220140401=当202n =时，804abc =，五位数是220240804=当203n =时，abc 不是三位数（舍去）所以满足条件的三位数是401，804（2）当这个自然数是一位数时，有280a n =，229841=，228784=，因此一位数不存在，同理两位数不存在 当这个自然数是三位数时，有280abc n =，280000abc n =-，228480656=，所以最小自然数是6562. 已知!n 3是一个完全平方数，试确定自然数n 的值。
（n n !123） 【分析】 当6n ≥时，!()n m 3331，不可能是完全平方数，因此n 只能取1到5间的数，经试验1n =或33. 一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7。
如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数。
求原来的四位数。
【分析】 根据题意有2abcd m =，2(3)(3)(3)(3)a b c d n ++++=，因此223333n m -=，即()()311101n m n m +-=⨯⨯，且,n m 都是两位数，因此()()33101n m n m +-=⨯，所以67,34n m ==，原来的四位数是2341156=4. 请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除。
【分析】 根据题意是三位奇数，因此各位数字不能取偶数，当有一个数字是9时，必然另外两个数字有一个是偶数，因此三个数字只能是1,3,5,7，所以满足条件的三位奇数为135，315，175，7355. 在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除。
10_数论综合(一)
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．1．如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能，那么n是多少?【分析与解】我们知道如果有5个连续的自然数，因为其内必有2的倍数，也有5的倍数，则它们乘积的个位数字只能是0。
所以n小于5．:当n为4时，如果其内含有5的倍数(个位数字为O或5)，显然其内含有2的倍数，那么它们乘积的个位数字为0；如果不含有5的倍数，则这4个连续的个位数字只能是1，2，3，4或6，7，8，9；它们的积的个位数字都是4；所以，当n为4时，任意4个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两科可能．：当n为3时，有1×2×3的个位数字为6，2×3×4的个位数字为4，3×4×5的个位数字为0，……，不满足．：当n为2时，有1×2，2×3，3×4，4×5的个位数字分别为2，6，4，0，显然不满足．至于n取1显然不满足了．所以满足条件的n是4．2．如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足，等式a+b=c+d．那么，(1)a+b的最小可能值是多少?(2)a+b的最大可能值是多少?【分析与解】两位的质数有11，13，17，19，23，29，3l，37，41，43，47，53，59，6l，67，71，73，79，83，89，97．可得出，最小为11+19=13+17=30，最大为97+71=89+79=168．所以满足条件的a+b最小可能值为30，最大可能值为168．3．如果某整数同时具备如下3条性质：①这个数与1的差是质数；②这个数除以2所得的商也是质数；③这个数除以9所得的余数是5．那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．【分析与解】条件①也就是这个数与1的差是2或奇数，这个数只能是3或者偶数，再根据条件③，除以9余5，在两位的偶数中只有14，32，50，68，86这5个数满足条件．其中86与50不符合①，32与68不符合②，三个条件都符合的只有14．所以两位幸运数只有14．4．在555555的约数中，最大的三位数是多少?【分析与解】555555=5×111×1001=3×5×7×11×13×37显然其最大的三位数约数为777．5．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?【分析与解】从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商．而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847=2……308，847÷308=2……231，308÷231=1……77．231÷77=3．不难得知，最后剪去的正方形边长为77毫米．6．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答案．【分析与解】设这三个数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两不互质，所以它们均是合数．小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．其中只含1种因数的合数不满足，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14=2×7，其中质因数7只有14含有，无法找到两个不与14互质的数．所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列．所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)．7．把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数是1．那么最少要分成多少组?【分析与解】26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=23×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于质因数13出现在26、91、143三个数中，故至少要分成三组，可以分成如下3组：将26、33、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．所以，至少要分成3组．8．图10-1中两个圆只有一个公共点A，大圆直径48厘米，小圆直径30厘米．两只甲虫同时从A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?【分析与解】圆内的任意两点，以直径两端点得距离最远．如果沿小圆爬行的甲虫爬到A点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，两甲虫的距离便最远．小圆周长为π×30=307r，大圆周长为48π，一半便是24π，30与24的最小公倍数时120．120÷30=4．120÷24=5．所以小圆上甲虫爬了4圈时，大圆上甲虫爬了5个12圆周长，即爬到了过A的直径另一点B．这时两只甲虫相距最远．9．设a与b是两个不相等的非零自然数．(1)如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数的和有多少种可能的数值?(2)如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数的差有多少种可能的数值?【分析与解】 (1)a与b的最小公倍数72=2×2×2×3×3，有12个约数：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72．不妨设a＞b．:当a=72时，b可取小于72的11种约数，a+b≥72+1=73；:当a=36时，b必须取8或24，a+b的值为44或60，均不同第一种情况中的值；：当a=24时，b必须取9或18，a+b的值为33或42，均不同第一、二种情况中的值；当a=18时，b必须取8，a+b=26，不同于第一、二、三种情况的值；：当a=12时，b无解；:当a=9时，b必须取8，a+b=17，不同于第一、二、三、四情况中的值．总之，a+b可以有ll+2+2+1+1=17种不同的值．(2)60=2×2×3×5，有12个约数：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60．a、b为60的约数，不妨设a＞b．：当a=60时，b可取60外的任何一个数，即可取11个值，于是a－b可取11种不同的值：59，58，57，56，55，54，50，48，45，40，30；．当a=30时，b可取4，12，20，于是a－b可取26，18，10；：当a=20时，b可取3，6，12，15，所以a－b可取17，14，8，5；当a=15时，b可取4，12，所以a－b可取11，3；: 当a=12时，b可取5，10，所以a－b可取7，2．总之，a－b可以有11+3+4+2+2=22种不同的值．10．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳142米，黄鼠狼每次跳324米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔3128米设有一个陷阱，当它们之中有一个掉进陷阱时，另一个跳了多少米?【分析与解】由于3128÷142=114，3128÷324=92．所以狐狸跳4个3128米的距离时将掉进陷阱，黄鼠狼跳2个3128米的距离时，将掉进陷阱．又由于它们都是一秒钟跳一次，因此当狐狸掉进陷阱时跳了11秒，黄鼠狼掉进陷阱时跳了9秒，因此黄鼠狼先掉进陷阱，此时狐狸跳了9秒.距离为9×142=40.5(米)．11.在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【分析与解】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．12．甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍．求A等于多少?【分析与解】由题意知4倍393除以A的余数，等于2倍939除以A的余数，等于甲603除以A的余数．即603÷A=a……k；(2×939)÷A=b……k；(4×393)÷A=c……k．于是有(1878－603)÷A=b－a；(1878－1572)÷A=b－c；(1572－603)÷A=c－a．所以A为1275，306，969的约数，(1275，306，969)=17×3=51．于是，A可能是51，17(不可能是3，因为不满足余数是另一余数的4倍)．当A为51时，有603÷51=11……42；939÷51=18……21；393÷51=7……36．不满足；当A为17时，有603÷17=35……8；939÷17=55……4；393÷17=23……2；满足．所以，除数4为17．13．证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．【分析与解】我们知道奇数的完全平方数是奇数，偶数的完全平方数为偶数，而奇数的完全平方数除以4余1，偶数的完全平方数能被4整除．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．4n+4n+1，显然除以4余1．评注：设奇数为2n+1，则它的平方为214．有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9，17，24，28，30，31，33，44块．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁3人所取走．已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍．问：甲取走的一盒中有多少块奶糖?【分析与解】我们知道乙、丙、丁三人取走的七盒中，糖的块数是丁所取糖块数的5倍．八盒糖总块数为9+17+24+28+30+31+33+44=216．从216减去5的倍数，所得差的个位数字只能是1或6．观察各盒糖的块数发现，没有个位数字是6的，只有一个个位数字是1的数31．因此甲取走的一盒中有3l块奶糖．15．在一根长木棍上，有三种刻度线．第一种刻度线将木棍分成10等份；第二种将木棍分成12等份；第三种将木棍分成15等份．如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段?【分析与解】 10，12，15的最小公倍数[10，12，15]=60，把这根木棍的160作为一个长度单位，这样，木棍10等份的每一等份长6个单位；12等份的每等份长5个单位；15等份的每等份长4单位．不计木棍的两个端点，木棍的内部等分点数分别是9，11，14(相应于10，12，15等份)，共计34个．由于5，6的最小公倍数为30，所以10与12等份的等分点在30单位处相重，必须从34中减1．又由于4，5的最小公倍数为20，所以12与15等份的等分点在20单位和40单位两处相重，必须再减去2．同样，6，4的最小公倍数为12，所以15与10等份的等分点在12，24，36，48单位处相重，必须再减去4．由于这些相重点各不相同，所以从34个内分点中减去1，再减去2，再减去4，得27个刻度点．沿这些刻度点把木棍锯成28段．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
200以内除以3余1，除以4余2，除以5余3的自然数有多少个？分别是多少？
一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是______。
101个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是______。
小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法，但粗心的他在计算时遗留掉了乘号，从而将两位数直接放在三位数的左边，形成了一个五位数，该五位数恰好为应得的乘积的9倍，问：原来的两个数的乘积是多少？
方程、计数、最值、行程等
问题中的数论综合（下）
(★★)
(★★) (★★★)(小学数学奥林匹克预赛)
(★★★) (★★★★)
某单位的职工到郊外植树，其中有男职工也有女职工，并且有13
的职工各带一个孩子参加。
男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？
A 、
B 两地相距20.3千米，甲、乙、丙的速度分别是4米/秒，6米/秒，5米/秒。
如果甲、乙从A ，丙从B 地同时出发相向而行，那么，在多长时间之后，丙与乙的距离是丙与甲距离的2倍？
(★★★★) (★★★★★)。