线面平行的判定定理
线面平行面面平行的性质与判定定理
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
精选课件
17
二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
精选课件
20
证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
线面定理性质
线面、面面平行和垂直的定理性质
一、线面平行
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：
二、面面平行
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示：
变形：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示：
（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示：
（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
变形：垂直于同一条直线的两个平面平行
四、面面垂直
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
（如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直）
其他：两个平面相交,如果它们所成的二面角是直角，则这两个平面互相垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之邯郸勺丸创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
线面平行的判定定理的证明
线面平行的判定定理的证明今天咱们来聊聊一个有趣的数学话题，那就是线面平行的判定定理。
乍一听，这个名字是不是听起来有点高大上？其实嘛，咱们用简单的语言来拆开这个大馅饼，绝对让你听得懂，还能轻松记住！好，开门见山，咱们就直接上干货。
线面平行，这可是几何中一个很重要的概念。
就好比你在街上走，看到两条平行的马路，心里不禁感叹，哎呀，这路真宽敞，真是两条不打交道的平行线。
再回到数学上，线面平行的意思就是一条线和一个面永远不相交。
是不是很简单呢？咱们接下来就来说说，怎样判定它们到底平行不平行。
我们得明白，判定线面平行的基本方法就是看线的方向和面上法线的关系。
法线，听起来是不是像魔法师的法杖？其实它就是一个与面垂直的线。
你想象一下，如果这个法线和我们的线方向一致，那就说明这条线跟这个面是平行的。
如果法线和线的方向不一样，那就得好好琢磨琢磨了。
就像两个人站在一个舞台上，一个人往左走，另一个人往右走，永远都碰不到对方，哈哈，真有意思！线面平行的一个小秘密就是，它们的关系可以用角度来判断。
如果线和面之间的夹角是零度，嘿，那毫无疑问，它们就是平行的。
就像你和好朋友在同一条路上并肩而行，那种默契，真是太棒了！所以，当你看到一条线与一个面形成一个零度的角度时，就可以放心大胆地说，它们是平行的，嘿嘿。
还有一种情况，也很有趣。
假如线和面之间的夹角是90度，这说明这条线跟面是垂直的。
哎，真是个好消息，对吧？因为一条线如果和面垂直，那它就不会和面上的任何点相交，自然也就不可能是平行的。
就好比一棵树长得很高，树影洒在地上，树干和地面呈90度，那这树影就绝对不会跟树干相交，真是个绝妙的比喻。
我们还得聊聊另外一个有趣的方面。
假如有两条平行线，它们和同一个面平行，那可就不得了了。
这就像你和你的朋友一起跑步，结果你们的速度一样快，那你们就一直在同一个水平线上，永远不相交。
数学上也是如此，如果两条线都平行于同一个面，那么它们就是绝对平行的！这就像是数学里的铁打的友谊，不离不弃！说到这，可能有小伙伴会问，万一不巧，这条线和这个面有个交点怎么办？别着急，咱们还有办法。
线面平行的判定定理
相关术语解析
01
02
03
直线
在几何学中，直线是由无 数个点组成，每两点之间 都有且只有一条直线段相 连。
平面
平面是一个无限延展的二 维空间，可以看作是由无 数条直线组成。
平行
在几何学中，两条直线或 两个平面如果永不相交， 则称它们平行。
交。
若两个平面平行，则其中一个平 面内的任意一条直线都与另一个
平面平行。
对于三维空间中的两个平行平面， 它们之间的距离是恒定的，且任 意一条与这两个平面平行的直线
都与它们等距。
与其他几何性质的关联探讨
线面平行与面面平行的关系
01
若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意平面都与原
平面平行。
线面平行与线线平行的关系
若一直线在某一平面内，则该直线与 该平面不平行。
2023
PART 03
判定定理证明过程
REPORTING
已知条件分析
01
已知一条直线$l$和一个平面 $alpha$，且直线$l$不在平面 $alpha$内。
02
要证明直线$l$与平面$alpha$平行， 需要找到一个平面$beta$，使得 $beta$过直线$l$且与平面 $alpha$相交于一条直线$m$。
一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行
若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行。
特殊情况讨论
重合情况
若一直线与一平面重合，或两平面重 合，则它们不平行。
直线在平面内情况
特殊情况下的判定
在某些特殊情况下，如直线与平面的位置 关系不明确或难以判断时，可以通过构造 辅助线或使用其他几何性质进行判定。
线面平行的判定定理的题目
线面平行的判定定理的题目
《线面平行定理》：如果一条直线隔开两个平面，那么这两个平面一
定是相互平行的。
证明：
设有两个平面M和N，其间有一条直线mC，端点分别位于两个平面上，若两个平面不是相互平行，那么线mC一定是它们的一个公共边。
令mC上有一点P，P点一定在两个平面上，若两个平面不是相互平行，那么这两个平面一定有一个法向量，令它们的方向分别为a，b，由于点P
位于两个平面上，那么其到两平面的距离分别为d1、d2，由此可得出d1-
d2=0,即两个平面的法向量的积为0，即a×b=0。
综上所述，可以得出结论：如果一条直线隔开两个平面，那么这两个
平面一定是相互平行的。
线面平行的性质定理
a
b
β
α
小结 线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
随堂练习-判断
ห้องสมุดไป่ตู้
典例剖析
例2
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面，求证：另一条也平行于这个平面。
已知直线a和b, a∥b，a∥面α, b α
求证：b∥平面α
证明：过a 作平面β交平 面α于直线 c
∵ a∥ α ∴ a∥ c
又 ∵ a∥ b ∴ b∥ c ∵ b α, c a c
β
b
α
α
∴b∥α.
随堂练习
3. 直线 a∥平面α，平面α内有 n 条互相平行的直线， 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) （A）全平行 （C）全平行或全异面 （B）全异面 （D）不全平行也不全异面
4. 直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那 么这无数条直线中与直线 a 平行的（ B ） （A）至少有一条 （C）有且只有一条 （B）至多有一条 （D）不可能有
(3).平行于同一平面的两条直线是否平行？
(4).过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？
练习
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ）
A 只和这个平面内一条直线平行；
B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
典例剖析
有一块木料，棱BC平行于面A1C1 要经过面A1C1 例1 内一点P和棱BC锯开木料，应该怎样画线？ 这 线与平面AC有怎样的关系？
线面平行的判定定理
证明：连接BD.
. .A
EF D
B
C
因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.
例2、已知：四棱锥A—DBCE中，底面DBCE是正方形，
F为AE的中点.
猜想一：平面外一条直线与此平面的任何直线都不相 交，则该直线与此平面平行。
猜想二：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行。
哪个好？
线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。
a
a
b
Hale Waihona Puke a//a // b
b
说明:(1)证明直线与平面平行，三个条件必须 具备，才能得到线面平行的结论．
我们知道线动成面，既然直接研究线和面并不方便，我们 们不妨研究面外这条直线与面内的直线有什么样的特征？
分析：（1）若直线a与α相交，则面α内存在直线与a相交，也 存在直线与a异面，但不存在与a平行。
（2）若直线a与α平行，则面α内存在直线与a平行，也 存在直线与a异面，但不存在直线与a相交。
区别在于：面α内是存在直线与a平行还是与a相交？
a
A α
α
在直线与平面的位置关系中，平行是一种非常重要的关 系，它是空间线面位置关系的基本形态，那么怎样判定 直线与平面平行呢？
a
可不可以仿照定位的方法来确定线和平面平行？
直线在平面外
直线与平面相交
直线与平面平行
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C N
F
B
A F D B
E
C
反思1：要证明直线与平面平行可以运用判定定理； 线线平行 线面平行
（平面化）
（空间问题）
a 反思2：能够运用定理的条 b 件是 a//b
a //
反思3:运用定理的关键是找平行线。找平行线又 经常会用到三角形中位线定理。
练习：如图：在空间四边形ABCD中，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证（1）EH//平面BCD （2）BD//平面EFGH
（1）一条直线平行于一个平面， 这条直线就 () 与这个平面内的任意直线平行。 （2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个 公共点. () （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平 面平行。 () （4）若直线 l 平行于平面 内的无数条直线， 则l // () （5）如果a、b是两条直线，且a // b ，那么a平 行于经过b的任何平面. ()
十、总结提炼
1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义； 直线与平面没有公共点
（2）利用判定定理．
线线平行
线面平行
关键：在平面内找(作)一条直线与平面外的直 线平行,在寻找平行直线时可以通过三角形的中 位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。 （3）答题规范性
交待“线在面外、线在面内”！
作业：书31页 练习-3
怎样判定直线与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判 定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？ l
实例感受
在生活中，注意到门扇的两边是平行的．当门扇 绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有 公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人 以平行的印象．
A
E B
H D
Hale Waihona Puke FCG如图，点P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PD 边中点，求证: PB//平面MAC.
P
M
D C O A B
如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1的中点,试判断
BD1与平面AEC的位置关系,
并说明理由.
A1
D1 B1
C1
E
D
C
O A
B
九、演练反馈
判断下列命题是否正确：
直线和平面的三种位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
a A
直线与平面平行
a //
(1) 通过 “同位角、内错角、同旁内角”
(2) 通过 “三角形中位线”、平行四边形判 定 D C (3) 通过 “比例线段”
A E B F C A B
AE AF EF // BC EB FC
二、引入新课
如图,底面为正方形的棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=
PD=AB,若M、N分别在PA、 BD上,
并且PM:PA=BN:BD=1:3.
P M D C N B
(Ⅰ) 求证:MN//平面PBC；
(Ⅱ) 求MN与AD所成的角.
A
P M D
E 构建平行四边形！
C N B M D A
P
E
A
充分利用PA与MN确 定的平面！
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面， 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系？
A A
B
B
直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平 面平行。 a 用符号表示： b a//b
a
a //
b
线线平行
线面平行
解：EF∥平面BCD。 证明：如图，连接BD。在△ABD中， E， F分别为AB，AD的中点，
∴EF ∥BD,
BD
又EF
平面BCD，
平面BCD,
∴EF ∥平面BCD。
解后反思：通过本题的解答，你可以总结出什么解题 思想和方法？
如图,在空间四边形ABCD中,E、F分别为AB、AD上的点,
AE AF 若 ,则EF与平面BCD的位置关系是 ____ EB FD
一起来认识一下判定定理的威力
如图，长方体的六个面都是矩形，则 (1) 与直线AB平行的平面是: (2) 与直线AD平行的平面是: (3) 与直线AA1平行的平面是:
D1 A1
D B1 C C1
A
B
应用巩固：
例1.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，试判断EF与平面BCD的位置关系，并予 以证明. A E D B F C