方差分析(2)
第十讲 第五章 方差分析2
B与C比：23-18=5<5.07，不显著
D与C比：24-18=6>5.23，显著
结论：只有处理D和C的差异在a=0.05水平显著， 其余皆不显著。
2.q检验：
q检验与SSR检验相似，其区别仅在a，而是查qa。
查qa值后，即有:
LSR= s x ×qa
3.各方法的异同
课堂练习：完全随机试验设计试验结果的统计分析
.
[例4] 研究6种氮肥施用方法(K=6)对小麦的效应,每种施 肥方法种5盆小麦(n=5),完全随机设计,最后测定它们的含 氮量,其结果如下表.试作方差分析
表 6种施肥法小麦植株含氮量
处理
施 12
氮法 34 5
6 总和
2.9 4 2.6 0.5 4.6 4
第五章 方差分析2 三、多重比较
F检验是一个整体的概念。仅能测出不同处理效应的平均 数的显著差异性。但是，是否各个平均数间都有显著差异性？ 还是仅有部分平均数间有显著差异而另一部分平均数间没有 显著差异？它不曾提供任何信息。
要明确各个平均数间的差异显著性，还必须对各平均数 进行多重比较。
多重比较的方法主要有两大类： （一）LSD法：t检验法 （二）LSR法：分为SSR法、q检验法
表8 新复极差检验的LSR值
p
2
3
4
5
SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2.92 3.96 0.304 0.412
3.07 4.14 0.319 0.431
3.15 4.24 0.328 0.441
3.22 4.33 0.335 0.450
6 3.28 4.39 0.341 0.457
(二)平方和分解
方差分析(2)
ST = S1 + S2
上式表明， 上式表明，总的偏差平方和可以分解为组间偏差平方和 与组内偏差平方和之和。 与组内偏差平方和之和。前者表征了由于因素水平的改变而 引起的数据波动， 引起的数据波动，后者则表征了由于试验存在随机误差而引 起的数据波动。 起的数据波动。
列数据计算表
水 平 重 复 数 1 2… x12… x22… j… x1j… x2j… k 合 计 平均值
f2 = fT − f 1
（5）显著性 ） 为分析条件误差的显著性，常使用 检验 试验的F值 检验。 为分析条件误差的显著性，常使用F检验。 试验的 值 因素方差（组间） 因素方差（组间） 误差方差（组内） 误差方差（组内）
V S1 / f1 F= 1 = V2 S2 / f2
根据F值的大小及给定的显著度 α ，就可判断因素对 根据 值的大小及给定的显著度 值的大小及给定的 试验指标的影响相对于试验误差对试验指标的影响是否显 值越大， 著。F值越大，因素的影响越显著。 值越大 因素的影响越显著。 可从F分布表中查得 根据自由度 f 1 、 f 2 及显著水平α ，可从 分布表中查得 在这些条件下的临界F值 若实际的F值大于此临 在这些条件下的临界 值—— F 。若实际的 值大于此临 α 界值 Fα ，则可认为有 (1 − α ) 的把握说因素对试验指标有显 著影响。 著影响。
计算表中的数据按以下公式计算： 计算表中的数据按以下公式计算：
Ti = ∑xij
j=1
k
1 1 k xi = T = ∑xij i k k j=1 T = ∑Ti = ∑∑xij
i=1 i=1 j=1 m m k
1 1 m 1 m k 1m k x= T = ∑xi = ∑∑xij = n∑∑xij m k m i=1 m i=1 j=1 k i=1 j=1
第六章方差分析(二)
1.46
1.03
1.62
1.27
31.50
28.97
合计
2.08 2.97
2.08 2.49
2.06 2.91
2.30 3.08
2.24 2.58
SST SSA SSB
2.自由度的分解
总自由度：dfT ab 1
A的自由度：dfA a 1 B的自由度：dfB b 1
组内自由度：dfe (a 1)(b 1)
3. 方差计算：
s
2 A
SS A df A
sB2
SSB df B
se2
SSe dfe
方差分析表
变异来源 df A因素 a－1 B因素 b－1
SSR值与LSR值（dfe = 27）
M SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01
2 2.905 3.925 9.267 12.521
3 3.055 4.095 9.745 13.063
光照（A）
5h/d 10h/d 15h/d
平均数
Tij
90 -9 -17
差异显著性
α=0.05 α=0.01
…
Xabn
T•b
T
x•b
x
线性数学模型：
A、B的交互作用
随机误差，独立，正态分布
xijk i i ( )ij＋ ijk
A因素的效应
B因素的效应
1. 总变异
自由度 平方和
2. A因素引起的变异
自由度 平方和
3. B因素引起的变异
自由度 平方和
4. A、B因素的交互作用引起的变异
自由度 平方和
1. 平方和的分解
矫正数：C T 2 ab
方差分析2（双因素方差分析、多元方差分析、可视化）
⽅差分析2（双因素⽅差分析、多元⽅差分析、可视化）1 双因素⽅差分析1.1 双因素⽅差分析的实战dat<-ToothGrowthdatattach(dat)table(dat$supp,dat$dose)aggregate(len,by=list(dat$supp,dat$dose),FUN=mean)解释：根据投⽅式（橙汁OJ，维C素VC）supp和剂量dose来对⽛齿的长度len进⾏求均值dose<-factor(dose)解释：为了避免把dose变量认为是数值变量，⽽是把dose认为成分组变量，所以设置成因⼦类型factorfit<-aov(dat$len~dat$supp*dat$dose)解释：aov()做⽅差分析，把 + 换成了 * ，这两项dat$supp和dat$dosee就变成了交互项summary(fit)结果分析：可以看出P值很⼩，三个P值都⼩于0.05，说明不同的投喂⽅式supp对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明不同的剂量dose对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的；说明在两种投喂⽅式下，不同的投喂⽅式supp和剂量dose的交互效应对⽛齿的⽣长长度len是有显著影响的1.2 可视化⽅法1interaction.plot(dat$dose,dat$supp,dat$len,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18),main="XX")1.3 可视化⽅法2library(gplots)plotmeans(dat$len~interaction(dat$supp,dat$dose,sep=" "),connect=list(c(1,3,5),c(2,4,6)),col=c("red","blue"),main="XX",xlab="xlab")1.4 可视化⽅法3library(HH)interaction2wt(dat$len~dat$supp*dat$dose)2 重复测量⽅差分析dat<-CO2CO2$conc<-factor(CO2$conc)w1b1<-subset(CO2,Treatment=="chilled")uptake是植物光合作⽤对⼆氧化碳的吸收量，是因变量y，type是组间因⼦，是互斥的，表⽰的是两个不同地区的植物类型，要么是加拿⼤的植物，要么是美国的植物，不可能两个地⽅都是，conc是不同的⼆氧化碳的浓度，每⼀种植物都在所有的⼆氧化碳浓度下，所以conc是组内因⼦研究不同地区的植物作⽤，在某种⼆氧化碳的浓度作⽤下，对植物的光合作⽤效果有没有影响2.1 含有单个组内因⼦w和单个组间因⼦B的重复测量ANOVAfit<-aov(uptake~conc*Type+Error(Plant/(conc)),w1b1)summary(fit)结果分析：⼆氧化碳浓度和类型对植物光合作⽤都有显著影响2.2 可视化图形呈现（1）⽅式⼀par(las=2)par(mar=c(10,4,4,2))with(w1b1,interaction.plot(conc,Type,uptake,type = "b",col=c("red","blue"),pch=c(16,18)))（2）⽅式⼆boxplot(uptake~Type*conc,data=w1b1,col=c("red","blue"))3 多元⽅差分析library(MASS)attach(UScereal)dat<-UScerealshelf<-factor(shelf)y<-cbind(calories,fat,sugars)fit<-manova(y~shelf)summary(fit)结果分析：不同的货架shelf上，⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的3.1 多元正态性center<-colMeans(y)n<-nrow(y) #⾏数p<-ncol(y) #列数cov<-cov(y) #计算⽅差d<-mahalanobis(y,center,cov)coord<-qqplot(qchisq(ppoints(n),df=p),d) #画图abline(a=0,b=1) #画参考线identify(coord$x,coord$y,labels = s(UScereal)) #给出交互式标出离群点3.2 稳健多元⽅差分析install.packages("rrcov")library(rrcov)wilks.test(y,shelf,method="mcd")结果分析：P值⼩于0.05，说明结果是显著性的，即不同货架上⾷物的热量calories，脂肪含量fat和含糖量sugars是⾮常显著不同的4 ⽤回归来做ANOVAlibrary(multcomp)dat<-cholesterollevels(dat$trt)fit.aov<-aov(response~trt,data=dat)summary(fit.aov)结果分析：aov⽅差分析，trt对response的影响⾮常显著fit.lm<-lm(response~trt,data=dat)summary(fit.lm)结果分析：lm回归分析，trt对response的影响⾮常显著，并且trt的每⼀项都显⽰出来了。
方差分析第2部分单因素试验资料的方差分
(一)两因素单独观测值试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水 平组合，每个水平组合只有一个观测值， 全
试验共有ab个观测值，其数据模式如表620所示。
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表6-20 两因素单独观测值试验数据模式
表6-20中
x i.
x
j 1
bБайду номын сангаас
ij
, x. j x..
Cx /N
2 ..
SST x C
2 ij
dfT N 1
df t k 1 df e dfT df t
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SSt xi2 . / ni C
SSe SST SSt
【例6.4】 5个不同品种猪的育肥试验，后期30天增 重(kg)如下表所示。试比较品种间增重有无差异。
这是一个单因素试验，k=5，n=5。
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1、计算各项平方和与自由度
C
2 SST xij C (82 132 142 132 ) 2809.00
2 x..
/ kn 265 /(5 5) 2809 .00
2
2945.00 2809.00 136.00 1 1 2 2 SSt xi. C (51 412 60 2 482 652 ) 2809.00 n 5 2882.20 2809.00 73.20
系统分组方差分析两种,现分别介绍如下。
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一、交叉分组资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水
平，B因素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因
第5章_方差分析(第2节)
1、三角形法 此法是将多重比较结果直接标记在平均数 多重比较表上，如表5-4、表5-5所示。由于 在多重比较表中各个平均数差数构成一个三角 形阵列，故称为三角形法。此法的优点是简便 直观，缺点是占的篇幅较大。
2、标记字母法
先将各处理平均数由大到小自上而下 排列；然后在最大平均数后标记字母a，并 将该平均数与以下各平均数依次相比 ，凡 差异不显著标记同一 字母a，直到某一与 其差异显著的平均数标记字母 b 为止；
在利用字母标记法表示多重比较结果时， 常在三角形法的基础上进行。此法的优点是占 篇幅小，在科技文献中常见。 对于【例5·1】，根据表5-4所表示的用
SSR法进行的多重比较结果，用字母标记如表
5-8所示。
表5-8 表5-4多重比较结果的字母标记 (SSR测验)
处 理 平均产量 (克/盆) 31.5 28.5
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退 出
式中 μ为总平均数； αi，βj分别为Ai、Bj的效应: αi=μi-μ，βj=μj-μ μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数， 且Σαi=0,Σβj=0; εij为随机误差 ，相互独立 ， 且服从N (0，σ2)。
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交叉分组两因素单个观测值的试验，A因
4
5
3.18
3.25
4.33
4.40
1.988
2.031
2.706
2.750
表5-19 5个玉米品种平均穗长多重比较表(SSR法)
品种 平均数
B1
B4
20.2
19.6
3.6**
3.0**
3.0**
2.4*
1.9
1.3
单因素方差分析 (2)
单因素方差分析1. 引言•单因素方差分析（One-way ANOVA）是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组之间的均值是否存在显著差异。
•在实际研究中，我们经常需要比较不同组之间某个变量的均值差异，例如不同教育水平对收入的影响，不同药物对疾病的治疗效果等。
•单因素方差分析提供了一种统计方法，可以判断不同组之间均值差异是否由随机因素引起，还是由于真正的因素差异引起。
2. 基本概念•因素（Factor）：需要比较不同组之间的变量，也称为自变量或分类因素。
•水平（Level）：每个因素具有的不同取值或组别，也称为处理或条件。
•观测值（Observation）：每个组内的单个实验结果或数据点。
•总平均（Grand Mean）：所有组的观测值的平均值。
•组内平均（Group Mean）：每个组的观测值的平均值。
•组间平均（Between-group Mean）：所有组的观测值的平均值。
3. 假设检验•零假设（H0）：不同组的均值之间没有显著差异。
•备择假设（H1）：不同组的均值之间存在显著差异。
4. 单因素方差分析的步骤1.收集数据：按照分类因素进行分组，获得每个组的观测值。
2.计算总平均：计算所有观测值的平均值。
3.计算组内平均：计算每个组的观测值的平均值。
4.计算组间平均：计算所有组的观测值的平均值。
5.构造统计模型：建立协方差矩阵和方差矩阵之间的关系。
6.计算平方和：计算组内平方和和组间平方和。
7.计算均方差：计算组内均方差和组间均方差。
8.计算F值：计算F统计量，用于检验组间均值差异是否显著。
9.假设检验：比较F值与临界值，确定是否拒绝零假设。
5. F分布与p值•在单因素方差分析中，我们使用F分布来进行假设检验。
•F分布是一种连续概率分布，取值范围大于等于0，且分布形状根据自由度的不同而变化。
•在单因素方差分析中，我们计算出的F值可以与F分布表中的临界值进行比较，以确定是否拒绝零假设。
•p值是统计假设检验中的一个重要指标，表示在零假设成立的情况下，观察到的样本数据或更极端结果出现的概率。
方差分析(2次)
它除了推断k个样本所代表的总体均数µ1 ，µ2 ， µ3 ，…是否相等外，还要推断b个区组所代表 的总体均数是否相等。由于从总变异中分离出 配伍组变异，考虑了个体变异对处理的影响， 使误差更能反映随机误差的大小，因而提高了 研究效率。
SS总 = SS处理 + SS配伍 + SS误差 df总 = df处理 + df配伍 + df误差
第一节
完全随机设计的方差分析
试验设计时，将受试对象随机分配到两组或 多组中进行实验观察，这里只涉及一个因素， 该因素的各个水平就是各个处理组。
单因素方差分析
或称单向方差分析（one way analysis of variance）或 成组设计（完全随机设计）方差分析，是指试验研究 的处理因素，或调查研究资料的分类方式只有一种。 这个处理因素（或分类方式）包含有多个离散的水平， 分析在不同水平上应变量的平均值是否来自相同总体
Xi = ∑ Xij ni
j =1
ni
X = ∑∑ Xij N = ∑ni Xi N
i =1 j =1 i =1
k
ni
k
SS总 = ∑∑ Xij − X
i=1 j =1
k
ni
(
)
2
ν总 = N −1
2、组间变异 、
SS组间 = ∑ni Xi − X
k
ν组间 = k −1
3、组内变异
i =1
(
)
2
MS组间 = SS组间 ν组间
一、基本思想
*
Xij表示第i个处理组的第j个观察值，i=1,2,…k, j=1,2,…ni
方差分析基本思想示意图
变异原因
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区组间变异：不同窝别的小白鼠增重不同 误差：各组内小白鼠增重不同
2020/4/27
7
变异间的关系
SS总 总
SS误差 误差 MS误差
SS处理 处理 MS处理
SS区组 区组 MS区组
变异之间的关系： • SS总= SS处理+ SS区组+ SS误差
总= 处理+ 区组+误差
1.建立假设： H0 ：3种营养素喂养的小白鼠体重增量相等 1 = 2 = 3 H1 ： 3种营养素喂养的小白鼠体重增量不全相等
2.确定显著性水平，用 表示，常取0.05。 3.计算统计量F： F=MS处理/MS误差 4.求概率值P： 5.做出推论：
完整书写方差分析的过程
1.建立假设： H0 ：8窝小白鼠体重增量相等 1 = 2 = 3。。。 H1 ： 8窝小白鼠体重增量不全相等
2.确定显著性水平，常取0.05。 3.计算统计量F： F2=MS区组/MS误差 4.求概率值P： 5.做出推论：
存在问题
方差分析结果提供了各组均数间差别的总的信 息，但尚未提供各组间差别的具体信息，即尚 未指出哪几个组均数间的差别具有或不具有统 计学意义。
了得到这方面的信息，可进行多个样本间的 两两比较。
(Randomized block design Two-way ANOVA）
将全部受试对象按某种或某些特性分为若干个区 组，使每个区组内的观察对象与研究对象的水平 尽可能相近，减少了个体间差异对研究结果的影 响，比成组设计更容易检验出处理因素间的差别， 提高了研究效率。 （复习配对资料）是配对资料的扩充。
2020/4/27
方差分析（二）
Prepared by: Wollong
1
给小白鼠喂A、B、C三种不同的营养 素，了解不同营养素的增重效果。现将体 重基本相同的24只小白鼠随机分为3组，每 组8只。3周后测量增重结果，结果如下表，
问3种不同营养素喂养后，体重增加有无 差别？
2020/4/27
2
第三节 随机区组设计的两因素方差分析
例题
给小白鼠分别喂A、B、C三种不同的营养素， 了解不同营养素的增重效果。以窝别作为 区组特征，以消除遗传因素对体重增长的 影响。现将同系同体重的24只小白鼠分为8 个区组，每组3只。3周后测量增重结果， 结果如下表，
问3种不同营养素喂养后所增体重有无差别？
2020/4/27
5
分析变异
总变异：24只小白鼠的增重不等，与均数 之间存在差别。
2020/4/27
17
二、 SNK-q检验
也叫Student-Newman-Keuls（SNK-q）检验
用于多个样本均数间每两个均数的比较。
计算统计量q的公式：
q ( xa xb) sd
sd
M S误差 （ 1 1 )
2
nA nB
2020/4/27
18
计算q值
1.将各组样本均数从大到小排列
统计量F 的计算
F1=MS处理/MS误差 F2=MS区组/MS误差
自由度： 处理=组数-1=3-1=2 区组=区数-1=8-1=7 误差=（组数-1）（区数-1）=14
2020/4/27
9
方差分析结果
变异来源
SS
MS
F
P
总
2861.84 23
处理间 144.92
2
区组间 2376.38
误差
14
完整书写方差分析的过程
第四节 多个样本均数间的多重比较
（Multiple comparison)
能否用t检验或µ检验？
每次犯第一类错误的概率0.05，10次都犯的概 率不是0.05，而是：?? 远大于0.05，不是小概率事件，会把本来无差
别的两个总体均数判断为有差别。
一、最小有意义t（LSD- t）检验
意义：检验K组中某一对或几对在专业上有特 殊意义的均数（dAB =XA-XB）的总体水平是否 为0。
公式： t ( xa xb) s dAB
s dAB MS误差（ 1 1 ) nA nB
自由度：用误差的自由度
2020/4/27
16
对前面例题中，用糖尿病患者、正常
例题： 人的载蛋白与IGT异常者进行比较。
1.建立假设： H0 ：糖尿病患者与IGT的载脂蛋白相等1 = 2 H1 ：糖尿病患者与IGT的载脂蛋白不等1 2 2.确定显著性水平，用 表示，取0.05。 3.计算统计量t:105.45，102.39，203.62 ，11，9 4.求概率值P： 5.做出推论：
组次 1
2
3
均数 122.8 105.45 102.39
组别 正常人 糖尿病 IGT异常
2.根据公式计算q值，查q界值表（a, ）
3.计算组间跨度a：中间涵盖的均数个数
4.误差自由度
2020/4/27
19
变量变换
目的：将原始资料变换成适用于检验方 法的资料
方法：对数变换、平方根变换、倒数变 换等。
2020/4/27
20
小结
2020/4/27
21