Minitab两因素方差分析续
Minitab的实验设计方法
Minitab的实验设计方法1. 简介Minitab是一种常用的统计软件，可以用于数据分析、实验设计以及同等分析等任务。
实验设计是一种研究方法，用于确定影响实验结果的因素以及确定这些因素之间的关系。
Minitab提供了丰富的实验设计方法和工具，帮助用户有效地设计和分析实验。
本文将介绍Minitab 中常用的实验设计方法。
2. 单因素实验设计单因素实验设计是最基本的实验设计方法之一，用于研究单个因素对实验结果的影响。
在Minitab中，可以使用两种方法进行单因素实验设计：方差分析和t检验。
2.1 方差分析方差分析是一种用于比较三个或三个以上样本均值是否相等的统计方法，通过计算均值差异的方差来判断是否存在显著性差异。
在Minitab中，可以通过以下步骤进行方差分析的实验设计：步骤1：打开Minitab软件，并导入数据集。
步骤2：选择“Stat”菜单下的“ANOVA”选项。
步骤3：在“ANOVA”对话框中，选择因素变量和响应变量。
步骤4：点击“OK”按钮运行方差分析。
步骤5：分析结果将在输出窗口中显示，包括方差分析表和显著性检验结果。
2.2 t检验t检验是一种用于比较两个样本均值是否相等的统计方法，通过计算均值差异的标准错误来判断是否存在显著性差异。
在Minitab中，可以通过以下步骤进行t检验的实验设计：步骤1：打开Minitab软件，并导入数据集。
步骤2：选择“Stat”菜单下的“Basic Statistics”选项。
步骤3：在“Basic Statistics”对话框中，选择两个样本的变量。
步骤4：点击“OK”按钮运行t检验。
步骤5：分析结果将在输出窗口中显示，包括均值差异、标准误差和显著性检验结果。
3. 多因素实验设计多因素实验设计用于研究多个因素对实验结果的影响，可以帮助确定因素之间的交互作用。
在Minitab中，可以使用多种方法进行多因素实验设计，例如方差分析、回归分析以及方差齐性检验等。
Minitab两因素方差分析
v b 2 ij
f e (v 1)(b 1) MSe S e / f e
f T vb 1
Minitab
例 化学制剂对布料有侵蚀作用，会降低布料的抗拉强 度．某工程师研究出一种能抗化学制剂的新型布料，为考察其 抗侵蚀作用，特选定 4 种化学制剂和 5 匹布．考虑到布匹间的 差异，特在每匹布的中部切取４段布料组成一个区组，用随机 化完全区组设计安排试验．试验数据如下： 表 区组 处理 1 2 3 4 Bj Bj 1 3 3 5 5 16 4 试验数据（原始数据-70） 2 -1 -2 2 2 1 0.25 3 3 4 4 7 18 4.5 4 1 2 3 5 11 2.75 5 -3 -1 -2 2 -4 -1
据仍然可按单因子方差分析处理，所得方差分析表如下： 表 来源 处理 误差 总和 把区组从设计中剔除后的不正确分析 平方和 37.8 102.0 139.8 自由度 3 16 19 均方和 12.6 6.38 F比 1.97
对给定 =0.05，4 种处理间没有显著差异． 这一错误结论是没有重视区组作用而导致的． 所以在试验中，凡是试验单元间有较大差异时，应运用 区组概念去减少数据中的误差．
A2 A4 A1 A3
A4 A1 A2 A3
A2 A3 A4 A1
A3 A2 A1 A4
特点：每个处理（一种杀虫剂）在每个区组内仅出现一次；每 个区组内各种处理也仅出现一次，且其次序是随机的．
Minitab
例：金属的硬度是用硬度计测定的，硬度计上的杆尖是关键 部件． 如今要比较四种不同质料的杆尖的差异， 如何安排试验？ •若每种杆尖要取 4 个硬度值， 按随机化设计需要有 16 块同 类金属．这时存在一个潜在问题，金属试件间在硬度上稍有不 同，就会对比较杆尖产生影响．而不同炉钢在硬度上总是有差 异的． •只取 4 块金属试件，在每块试件上每个杆尖各测一次（见 图） ，而测试点可以随机选择．这时一块试件就是一个区组，４ 个杆尖就是４个处理．这样就完成一个随机化完全区组设计． 区组 1 ① ④ ② ③ 区组 2 ② ① ③ ④ 区组 3 ③ ② ④ ① 区组 4 ④ ③ ① ②
Minitab两因素方差分析
Minitab
4
区组设计的例子
Minitab
例 有４种杀虫剂 A1, A2 , A3 , A4 ，它们被称为４种处理．
为了比较４种杀虫剂对棉田中害虫的杀虫效果高低，特选了 20 块田，每块 1 亩．如何安排试验呢？
•随机化设计：将 20 块田随机的均分为４组，分别实施４种 处理．其数据分析用单因子方差分析．
评论：20 块棉田试验单元间总有差异，如害虫多少，植物长 势，土地肥沃程度等．这些差别对杀虫效果会带来影响，从而对 比较产生干扰．
假如此种差异很微小，实施随机化设计是妥当的． 假如此种差异不可忽略，就要采取随机化区组设计．
5
•随机化区组设计：分二步进行．
Minitab
第一步， 将 20 块棉田按差异大小排序，将害虫最多的４
块棉田分为第１个区组，将害虫最少的４块棉田分为第５个区
组，其它按序入组．
第二步，在１个区组内随机的实施一种杀虫剂．
Minitab
在随机化完全区组设计中一般假定有 v 个处理和 b 个区组，
共需进行 n= v×b 次试验，记 yij 表示第 i 个处理在第 j 个区组内
进行试验所得到的观察值．
区组
处理
1
1
y11
2
y 21
2…
y12
…
y 22
…
b (处理)和 均值
y1b
T1
T1
y2b
T2
T2
v
y v1
yv2
…
变异源分析：双因子嵌套型方差分量计算(分析影响螺栓强度的因素)Minitab实现6σ分析
大家好！今天我们谈谈：如何利用Minitab进行双因子嵌套型方差分量计算方差分析的基本问题：我们关心一个数量指标，称为响应影响这个响应变量的因素，我们称为因子不同生产线是因子；产品的强度是响应，分析不同生产线的产品的强度是否有差异当因子有两个以上时，成为多因子，例如：不同工人、不同材料两个因子同时影响产品强度同一个因子，取值不同，称为因子的水平不同例如：温度因子中，各种不同的温度称为水平不同了解一下交叉和嵌套的概念当一个因子的每个水平与另一个因子的每个水平组合发生时，这两个因子就是交叉的这里机器因子的两个水平都和人因子的三个水平都进行了组合，机器和人就是交叉的当一个因子的各个水平彼此类似但并不相同，并且每个都与另一个因子的不同水平组合发生时，这两个因子就是嵌套的这里机器因子的两个水平都有人因子的三个不同水平，人的水平被机器所影响为了研究螺栓硬度值波动过大问题抽取4批螺栓，每批各抽取4个，每个螺栓测试3个点的硬度值，结果如下分析目的：获得影响螺栓硬度值波动过大的影响因素这一行中，材料相似，但不一样，螺栓编号被螺栓批次嵌套这里开始用minitab进行分析在Minitab工作表上，整理好数据如下Minitab选项表中，选择：统计>，选择方差分析，选择完全嵌套方差分析在弹出的选项中，按如下方式进行选择响应：测试值因子：螺栓批次、螺栓编号因子的顺序从树状的上到下填写分析定位被螺栓编号嵌套，螺栓编号被螺栓批次嵌套树状的因子从上到下分别是：螺栓批次、螺栓编号对获得的分析结果进行解释从P值可以看出，螺栓批次对螺栓的强度的影响不是显著的误差的方差分量占总的80.29%，因此还有其他因素影响了螺栓的强度，需要进一步进行分析就谈到这，欢迎大家交流！。
minitab方差分析
通过改进发动机冷却性能的试验，引进了协方差分析方法，消除了协变量对响应的影响，提示了显著因子的效应被掩盖的状况，从而根本性地提高了实验的精确度：同时从残差中消除了协变量的误差，也大大提高了试验的功效。
通过协方差分析方法指导的试验设计，在实际工程试验中得到成功的应用，开创了解决复杂试验设计的新局面问题的由来：在产品设计完成之前，一个汽车制造商对模型车进行验证试验，要证实一个引擎的发动机的冷却系统可以在现实运行中的极端情况下，能够有可接受的性能水平。
燃烧释放出来的热量从发动机被转移到冷却剂中，再通过散热管和散热片传导到周围空气中。
冷却系统的关键是散热器出口处冷却剂的温度。
数据收集：工程师给出了车辆结构的好几种方案。
确切的时间预先不能指导，需要完成试验后才能指导。
因为道路测试比较困难，通常需要2-3天。
事实上花了好几天进行了全因子实验来引入潜在的每一天的变化。
试验记录了每回试验的空气温度，因为空气温度对冷却剂温度是有影响的分析步骤阶段1：制定完全模型（Full Model）的ANOVA表，1）打开文件COVARIATE.MPJ2）选择统计>DOE>因子>分析因子设计3）在响应栏选择Coolant Temp4）点击项5）完成如图对话框6）点击确定分析结果如下：拟合因子: Coolant Temp 与 Density, Design, Surface, Sryling Coolant Temp 的效应和系数的估计（已编码单位）项效应系数系数标准误 T P常量 220.787 0.6163 358.24 0.000Density 0.800 0.400 0.6163 0.65 0.545Design -0.725 -0.363 0.6163 -0.59 0.582Surface -1.600 -0.800 0.6163 -1.30 0.251Sryling 0.125 0.062 0.6163 0.10 0.923Density*Design 2.000 1.000 0.6163 1.62 0.166Density*Surface -1.375 -0.688 0.6163 -1.12 0.315Density*Sryling -1.200 -0.600 0.6163 -0.97 0.375Design*Surface -0.500 -0.250 0.6163 -0.41 0.702Design*Sryling -2.875 -1.438 0.6163 -2.33 0.067Surface*Sryling -0.500 -0.250 0.6163 -0.41 0.702S = 2.46526 PRESS = 311.168R-Sq = 72.31% R-Sq（预测） = 0.00% R-Sq（调整） = 16.93%来源自由度 Seq SS Adj SS Adj MS F P主效应 4 14.96 14.96 3.741 0.62 0.6712因子交互作用 6 64.39 64.39 10.731 1.77 0.275残差误差 5 30.39 30.39 6.077合计 15 109.74对于Coolant Temp方差分析（已编码单位）我们利用显著水平α=0.05来判断显著的因子，发现没有一项是显著的。
Minitab两因素方差分析续
Balanced ANOVA（平衡设计方差分析）
Minitab
➢ 所有单元的观察个数相同时使用
EXH_AOV.MTW
▪Response:反应变量数据 ▪Model:指定需分析的因子 ▪Random factors:指定变量因子 ▪Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用
效果的计算实施.
• 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于 偏离正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大 。
• 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。
注解5：主效应图
• 将主效应图与方差分析一起关联使用。当 平均响应值跨因子水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图
判断为正确。
•存在各范围间的重叠区间
•各点呈现直线状态时，意味着正态性
One Way ANOVA(Unstacked))
➢当数据按水准类别指定在 Col 时使用(Unstack 形态) ➢剩余事项与 Stack 情况相同
Minitab
•Responses:指定按各水准别 有反应值的Col
Two-way ANOVA（两因素方差分析）
示例注解：
• 标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容：
• 公路类型：第一个因子。
• 经验：第二个因子。
• N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平 组合的每一单元中有四个观测值。
• 下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区 间时的下端点值和上端点值。每个区间提供对应 单元的总体标准差的一个估计值。例如，区间 (2.80384, 40.4990) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。
JMP与Minitab比较之方差分析
JMP与Minitab比较之方差分析关键字：JMP Minitab 方差分析Minitab和JMP是目前使用最广的两款质量管理统计软件，我两个都使用过，想从方差分析的角度比较一下两款软件，供大家参照。
Minitab和JMP是目前使用最广的两款质量管理统计软件，我两个都使用过，想从方差分析的角度比较一下两款软件，供大家参照。
假设我们要研究A、B、C三种不同药物对人体引起的疼痛效果是否存在显著差异，在最新版的Minitab15和JMP7中输入“疼痛”和“药物”两列数据，想得到方差分析的结果。
对比项目一：操作的便捷性JMP的操作路径为：主菜单Analyze > Fit Y By X，确定“Y”为“疼痛”、“X”为“药物”后，从红三角的下拉菜单中选择“Means/Anova”，即可得到如图一所示的报表；Minitab的操作路径为：主菜单Stat > ANOVA > One-Way，确定“Response”为“疼痛”、“Factor”为“药物”后，即可得到如图二所示的报表。
如果需要输出统计图形，还要点击“Graph”按钮，在选项内做一些设定。
从操作层面上来看，两者的便捷性差不多。
对比项目二：统计分析的具体内容方差分析的最重要输出结果就是那张“ANOVA Table方差分析表”，JMP和Minitab都做到了。
其他内容，诸如判定系数R-square、子组均值的置信区间等等，两者也都有涉及，只是形式略有不同，看不出孰高孰低。
不过JMP自由灵活的“输出报表定制化”这一特点，我觉得是很值得称道的，使用起来非常灵活。
对比项目三：统计图形对分析结果的展现图三是用JMP软件制作而成的统计图形，A、B、C三种不同药物之间的差异程度可以分别通过单值图Individual Value Plot、箱线图Boxplot、置信菱形图Mean Confidence Diamond Plot和直方图Histogram四种不同形式的统计图形表达方式在一个画面上同时展现出来，感觉非常强大，而且还可以自由控制输出的类型和数量，感觉很友好。
Minitab两因素方差分析
若区组大小＝处理个数 v，这样的设计称为随机化完全 区组设计．
若区组大小＜处理个数 v，这样的设计称为随机化不完 全区组设计．
以上各种设计都是平衡的，若各区组大小不尽相同，称 为不平衡区组设计．
整理课件
8
随机化完全区组设计的数据
i 1 b
区组平方和： S B v (B j y)2，f B b 1
j 1
vb
误差平方和： Se
( yij Ti B j y)2
i1 j1
即有 ST S A S B Se , fT f A f B f e ．
注意：设立区组的目的，就是把区组平方和从总平方和分解出来，
免其对处理平方和与误差平方和的干扰，从而加强以后判断
•我们的注意力总是放在 v 个处理间是否有显著差异 上．区组就象一个垃圾桶，把区组平方和分解出来就可以了．
•若还要关注区组平方和的大小，即考察区组间是否存在 显著差异，可把区组也看作一个因子．要检验如下一对假设：
H 0：b1 b2 bb 0
H1：诸bi中至少有一个不为零
在此假设下，检验统计量为 F MS B MS e
j
1,...,b ．
其中 和诸 ai 的最小二乘估计是
ˆ y ， aˆi Ti y，i 1,2,, v
方差分量
2 b
与
2
的无偏估计为
ˆ
2 b
MSB
MSe v
，ˆ
2
MS e
这是因为各平方和的期望值如下v ：
E(SA ) (v 1) 2 b ai2
i 1
E(SB
)
(b
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EXH_AOV.MTW
▪Response:指定反应变量 ▪Factor:指定说明变量(要因) ▪Comparisons:检定多重比较 ▪Store residuals:保存残差 ▪Store fits:保存水准平均值
▪DF:自由图(Degree of Freedom) ▪SS:乘方的和(Sum of Square) ▪MS:不偏分散(Mean of Square) ▪F:F-概率值 ▪P:P-value(留意概率) ▪留意水准比 p-value 大则有影响。 即水准间有差。
• 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于 偏离正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大。
• 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。
注解5：主效应图
• 将主效应图与方差分析一起关联使用。当 平均响应值跨因子水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图
• 当线不水平时（与 x 轴不平行），则存在 主效应。不同因子水平对响应的影响不同。 标绘点之间垂直位置的差异越大（线与 X 轴不平行的程度越大），主效应的量值就 越大。
方差分析基础
➢寻找因素与反应变量关系式的方法论
Minitab
•一元配置分散分析(DATA形态为 Stack 的时候) •一元配置分散分析(DATA形态为 Unstack 的时候) •二元配置分散分析 •平均分析 •平衡方差分析(在各水准反复相同的时候) •一般线型模型 •支份分散分析
• 中心线（绿色）－ 总体平均值。 • 决策的上限和下限（红色）－ 用来检验此假设。
Minitab 查找位于决策限之外的样本平均值，并用 红色符号对其进行标记。
• 如果样本平均值超出决策限，那么可以否 定“平均值等于总体平均值”这一假设。
• 如果样本平均值未超出决策限，那么不能 否定“平均值等于总体平均值”这一假设。
(级区间有变动)
-> 上面的 p值大于 0.05，故没有影响。
One Way ANOVA(单因素方差分析)
Graphs...
Minitab
•Dotplots / Boxplots 图象输出 option •Residual Plots:对残差提供多样的 plot -> 残差只有随正态性时，它的结果值才能
•检定方差的同一性 •区间 Plot •主效果 Plot •交互效果 Plot
One Way ANOVA(单因素方差分析)
➢因子为一个, 反复数为对所有水准不相同也可, Radom实验。 ➢在数据为一个 Col中以 Stack 形态保存时使用。
Minitab
(先需要检定 RESPONSE值的 正态性)
Minitab
EXH_AOV.MTW
•正态分布数据时:Bartlett’s Test •包括正态分布的连续性数据时:Levene’s Test •因 p-value 比留意水准(0.05)大，故选择归属假设，即所有水平的方差一致。
Main Effects Plot（主效应图）
➢对主效应的水平间差异比较
Balanced ANOVA（平衡设计方差分析）
Minitab
➢ 所有单元的观察个数相同时使用
EXH_AOV.MTW
▪Response:反应变量数据 ▪Model:指定需分析的因子 ▪Random factors:指定变量因子 ▪Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用
效果的计算实施.
Minitab
➢ 因子为 2个，把因子各水准的组合全部Radom实施的实验。 ➢ 数据应为 Stack 形态。
EXH_AOV.MTW
▪Response:实验结果数据 ▪Row factor:B因子 ▪Column factor:A因子 ▪Store residuals:保存残差 ▪Fit additive model:选择交互作用的有无
示例注解：
• 标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容：
• 公路类型：第一个因子。
• 经验：第二个因子。
• N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平 组合的每一单元中有四个观测值。
• 下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区 间时的下端点值和上端点值。每个区间提供对应 单元的总体标准差的一个估计值。例如，区间 (2.80384, 40.4990) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。
Minitab
▪Display full interaction plot matrix: 作成为 matrix
▪可知道按 Field 水准变更的 Variety 各水准的 变动及平均值。
-平均是 Variety 4,6水准比别的水准小。 -变动是 Variety 2 水准比别的水准大。 -水准间 Cross 角度越大，交互作用效果就
注解4：minitab方差齐性检验
• Minitab 显示了用于判断方差是否相等的两种检验 的结果：Bartlett 检验和 Levene 检验。在两种检 验中，原假设 (Ho) 是考虑的总体方差（或等效的 总体标准差）相等，备择假设 (H1) 指并非所有的 方差都相等。
• 检验的选项取决于分布属性：
双因子方差分析过程不支持多重比较。
注：如果数据平衡，且您需要检查涉及随机因子 的交互作用，那么可以使用统计 > 方差分析 > 平 衡方差分析。如果需要使用多重比较对平均值进 行比较，或者如果数据不平衡，那么可以使用统 计 > 方差分析 > 一般线性模型。
注解2：关于平均值分析
• 平均值分析的英文缩写 ANOM 是看上去像方差分 析的英文缩写 ANOVA，平均值分析可检验总体平 均值的相等性。
▪Probtype, Calculat, Probtype*Calculat 等比留意水准(0.05) 小，故判断为 各因子的水准间存在散布的差。
Engineer 为变量因子故无统计意义。
Test for Equal Variances（等方差检验）
➢ 检定2总体以上的方差是否一致 - 原假设 : 所有水平的方差一致 - 对立假设 : 至少一个以上的方差不一样
EXH_AOV.MTW
Minitab
▪Responses:指定反应值 ▪Factors:指定因子 ▪Base plots on:指定plot基准
▪Supplement 在2水平时值特大。 ▪Lake在各水准间无太大的变动。
Interactions Plot（交互效应图）
➢交互作用的水平间差异比较
ALFALFA.MTW
• Minitab 显示的图形类似于控制图，该图显示因子 的每个水平的平均值如何与总体平均值（也称为 总均值）进行比较。Minitab 对与总体平均值显著 不同的平均值进行标记。因此，平均值分析可以 说明水平平均值何时不同以及差异是什么。
• 通过方差分析，如果可以假定响应大致按正态分 布，那么可以使用平均值分析。另外，当响应由 比率（二项数据）和计数（Poisson 数据）组成 时，可以使用特殊的平均值分析版本。使用二项 数据时，样本数量 (n) 必须为常数。
判断为正确。
•存在各范围间的重叠区间
•各点呈现直线状态时，意味着正态性
One Way ANOVA(Unstacked))
➢当数据按水准类别指定在 Col 时使用(Unstack 形态) ➢剩余事项与 Stack 情况相同
Minitab
•Responses:指定按各水准别 有反应值的Col
Two-way ANOVA（两因素方差分析）
8
6 4
2 1
2 Strength
7.145 6.222 5.300
3
平均值
• 图例分析
• 使用平均值分析的主效应图可检验“每个因子的 水平平均值等于指定 a 水平时的总体平均值”这 一假设。Minitab 为双因子设计中的每个因子显示 一个主效应图。主效应图显示：
• 标绘点 － 每个因子水平中的样本平均值。
•Lake与 Interaction 的 p值 大于 0.05，故不会 引起效果。
•Suppleme的 p值 小于 0.05，故 Suppleme 的 水准间有差。
•看左图可知道 Suppleme 的平均间有差。
•看左图可知道 Lake 的平均间没有差。
Analysis of Means（均数分析）
注解1：关于平衡两因素和平衡设计方差分析的区别
使用双因子方差分析 (ANOVA) 过程可在存在两 个固定因子时检验总体平均值的相等性。此过程 要求因子水平每一组合的观测值数必须相同（平 衡）。
仅当需要拟合可加性模型（Fit additive model） （无交互作用项的模型）时，其中一个或这两个 因子才可以为随机值。
注解3：等方差检验
• Bonferroni 置信区间
• Bonferroni 置信区间使用全族误差率。假设 该过程的全族置信水平为 95%。全族误差 率等于 1 - 置信水平 = 1 - 0.95 = 0.05。
• Bonferroni 法通过将全族误差率分割在各个 区间之中。假设有六个区间。将每个区间 的单个误差给定为 0.05 / 6 = 0.00833，计 算单个置信水平 1 - 0.0083 = 0.9917。由 于置信水平较大 (0.9917)，因此单个区间 通常相当宽。这种方法使得一个或多个置 信区间不能覆盖其相关总体标准差的概率 最多为 0.05。
• Minitab 通过绘制每个因子水平的平均响应值创建 主效应图。以线连接每个因子水平的各个点。
• Minitab 还在总体平均值处绘制了一条参考线。查 看此线可以确定对某个因子是否存在主效应。
• 当线为水平时（与 x 轴平行），则不存在 主效应。因子的每个水平以相同的方式影 响响应，响应平均值在所有因子水平中相 同。