利用导数求函数最值(精华)
高中数学教案：利用导数求函数的最值
利用导数求函数的最值课程目标知识提要利用导数求函数的最值一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数在内的极值；（2）将函数在各极值与端点处的函数值，比较，其中最大一个是最大值，最小的一个是最小值．精选例题利用导数求函数的最值1. 函数，的最大值是．【答案】【解】令，得，当时，，当时，．又，，故在上的最大值为．2. 若不等式对任意都成立，则实数的取值范围是【答案】【分析】显然时，有，，or，．令，①，对任意，，在上递减，，此时的最小值为，不合适题意．当时，对任意，，的最小值为，解得：．故所求．3. 函数在区间上的最大值为．【答案】4. 在区间上上的最大值是．【答案】5. 已知函数，，若成立，则的最小值为．【答案】【分析】设，则，，所以．设，则，所以，解出，此时，取得最小值．6. 函数在上取得最大值时，的值是．【答案】【分析】令，得．因为，所以唯一极值点，且为极大值点．7. 函数在区间上的最小值为．【答案】8. 某商场从生产厂家以每件元购进一批商品，若该商品每件的零售价为元，销量（单位：件）与每件的零售价（单位：元）有如下关系：，则该商品每件的零售价定为元时，总利润最大．【答案】9. 设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为．【答案】【分析】因为函数与函数互为反函数，图象关于对称．函数上的点到直线的距离为，设，则由可得，由可得．所以函数在单调递减，在单调递增．所以当时，函数，．由图象关于对称得：最小值为．10. 在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是．【答案】【分析】设，则．所以．过点作的垂线则．则有．所以，在上单调增，在单调减，11. 设函数，记在上的最大值为，则函数的最小值为．【答案】【分析】利用导数易求出在和上为增函数，在上为减函数．其中，在时，取得极大值，为，对应的另一根为．当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时．所以求出的最小值为．12. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围是．【答案】【分析】实数需要满足13. 在平面直角坐标系中，点是曲线在第一象限内的一个动点，且该曲线在点处的切线与两坐标轴分别交于，两点，则的面积的最小值为．【答案】【分析】解法1：依题意设切点P为，易知，从而该切线的斜率为，切线的方程为，即．从而可得，，所以，．记，，则．又，令，得，所以．易知在时取得极值且此极值也为最小值．所以时，的最小值为．解法2：同解法1得到三角形的面积后利用基本不等式．当且仅当时取14. 函数在区间，上的最大值是．【答案】15. 函数 ( )的最大值为．【答案】16. 设函数，则的最大值为．【答案】【分析】．∵，令，解得；令，解得从而在上单调递增，在上单调递减，故在时取极大值，也即最大值，因此，．17. 关于函数，有下列结论：①的定义域为；②是偶函数；③的最大值为；④当时，是增函数；当时，是减函数．其中正确结论的序号为 (把你认为正确结论的序号都填上)【答案】②③④【分析】①的定义域为，所以①错误；②因为满足，所以②正确；③当时，令，则当时，，则为增函数；当时，，则为减函数．由此，在上有最大值从而在上有最大值根据偶函数的性质，在上有最大值．所以③正确；④据③，得④正确．18. 函数在上的最大值为．【答案】19. 若，且，则当取到最大值时，．【答案】【分析】因为，所以．由，得或．而，，故当时，取最大值．20. 函数，的最小值为．【答案】【分析】对恒成立，所以在上为增函数，故最小值为．21. 已知函数，．若，使，则实数的取值范围是．【答案】【分析】由，使，只需要．因为，，，在上为增函数，；又在上，所以，得．22. 函数在区间上的最大值为；在区间上最大值为．【答案】，【分析】，时，，单调递增；当时，，单调递减．因此在上的最大值为在与上单调递增，在上单调递减，又，，故在区间上最大值为．23. 函数的最小值为．【答案】【分析】由，得．又，所以．因为时，，时，，所以当时，取极小值（极小值唯一）也即最小值．24. 函数在区间上的最小值是．【答案】【分析】由，得，且在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，，所以．25. 函数在上的最大值为，则．【答案】26. 已知函数，对于区间上的任意，，的最大值是．【答案】27. 已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么；函数，的值域为．【答案】；28. 已知函数（为常数）在上有最小值，那么在上的最大值是．【答案】29. 设函数有极值，则实数的取值范围是．【答案】30. 正三棱柱的体积是，当其表面积最小时，底面边长．【答案】31. 已知函数在时有极大值．(1)求，的值；【解】，由题意可知．(2)求函数在上的最值．【解】由（1）知，所以．令得或．当时，．当或时，．所以函数在和上单调递减，在上单调递增．因为，，，．所以函数在上的最大值为，最小值为．32. 求函数在上的最大值和最小值．【解】先将函数整理，，再求导得．令，解得或．可列表：极大值极小值由上表可知，函数在上的最大值为，最小值为．33. 已知函数，．(1)当时，求在区间上的最大值和最小值；【解】函数的定义域为．当时，，；当，有；当，有，所以在区间上是增函数，在上为减函数，又，，，所以，．(2)若对，恒成立，求的取值范围．【解】，则的定义域为．．①若，令，得极值点，，当，即时，在上有，在上有，在上有，此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；当，即时，同理可知，在区间上，有，也不合题意；②若，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是．综合①②可知，当时，对，恒成立．34. 已知函数．(1)若，求函数的单调递减区间；【解】当时，．，．令，因为，所以，解得或（舍去）．所以函数的单调递减区间是．(2)若，求函数在区间上的最大值；【解】， s．令，解得，（舍去）．①当，即时，在区间上，，所以函数是减函数．所以函数在区间上的最大值为．②当，即时，在区间上变化时，，的变化情况如下表：所以函数在区间上的最大值为．综上所述，当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为．(3)若在区间上恒成立，求的最大值．【解】由（2）可知，当时，在区间上恒成立；当时，由于在区间上是增函数，所以，即在区间上存在使得．综上所述，的最大值为．35. 已知函数．(1)当时，求在上的最大值和最小值；【解】当时，，，令，得，所以当时，，故在上单调递减；当时，，故在上单调递增，故．又，．所以在区间上的最大值．综上可知，函数在上的最大值是，最小值是．(2)若函数在上为增函数，求正实数的取值范围．【解】因为，所以，设，由题意知，只需在上恒成立即可满足题意．因为，函数的图象的对称轴为，所以只需，即即可．故正实数的取值范围为．36. 求函数在区间上的最小值和最大值．【解】对原函数求导，可得．令，得或．当时，，随的变化情况如下表：减函数增函数从上表可知：当时，取最小值为；当时，取最大值是．37. 已知函数的最小值为，其中．(1)求的值；【解】的定义域为．由，得当变化时，的变化情况如下表：极小值因此，在处取得最小值，故由题意所以．(2)若对任意的，有成立，求实数的最小值；【解】当时，取，有，故不合题意；当时，令，即令，得（i）当时，，在上恒成立，因此在上单调递减．从而对于任意的，总有，即在上恒成立．故符合题意．（ii）当时，，对于，，故在内单调递增．因此当取时，，即不成立．故不合题意．综上，的最小值为．(3)证明：．【解】当时，不等式左边右边，所以不等式成立．当时，在（2）中取，得，从而所以有综上38. 已知函数的最大值为，最小值为，求、的值．【解】，显然，否则为常数，矛盾，所以为在上唯一可能的极值点．（1）若，列表如下：极大值由表可知，当时，取得最大值，所以，又，，有，从而有，解得；（2）若，同理有在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，所以．综上知：或．39. 已知，证明不等式．【解】设，则．当时，，在上是增函数．当时，，在上是减函数．时，取得最小值．又．，．即．40. 设函数，．(1)判断函数在上的单调性；【解】，令，则，当时，，所以是上的增函数，从而，于是，即在上的增函数．(2)证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立．【解】，当时，令，则，从而，所以，原不等式化为，即．令，则，由，得，解得，当时，；当时，．则当时，取最小值，令，则．从而，即．因此，存在正数，使原不等式成立．41. 已知，求证：．【解】设，则．因为，所以，故在上单调递减，所以时，，即成立．42. 已知函数．(1)求的单调区间；【解】，令，得．当时，与的情况如下：所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是．当时，与的情况如下：所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是．(2)若对于任意的，都有，求的取值范围．【解】当时，因为，所以不会有，．当时，由（1）知在上的最大值是．所以，等价于，解得．故当，时，的取值范围是．43. 若，使关于的不等式在上的解集不是空集，设的取值集合是；若不等式的解集为，设实数的取值集合是，试求当时，的值域．【解】的几何意义是数轴上的点到和的距离之和，当在，之间时，这个距离和是，其它情况都大于，所以．如果使关于的不等式在上的解集不是空集，所以，；不等式的解集为，当时，，即，所以，所以；当时，，即，所以，所以，因为不等式的解集为，说明时无解，得，综上：；，所以；因为，当时，，为单调增函数，；当时，，令，得，当时，，故在区间减函数；当时，，故在区间上为增函数，所以；综上：的值域为．44. 已知函数，．(1)求该函数的极大值和最小值；【解】因为令，即．又因为，所以或．所以当时，原函数有极大值为，经比较，当时，原函数有最小值为． (2)求该函数的单调区间．【解】由上表可知，原函数的单调增区间为，单调减区间为，．45. 设函数，(1)讨论的单调性；【解】当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少． (2)求在区间上的最大值和最小值．【解】由（1）知在区间的最小值为．又所以在区间的最大值为．46. 定义在定义域内的函数，若对任意的都有，则称函数为“妈祖函数”，否则称为“非妈祖函数”．函数是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．【解】因为，函数的导数，当时，，当时，；当或时，．故在内的极大值是．因为，所以函数的最大值是，最小值是．故．所以函数．所以函数是“妈祖函数”．47. 已知函数．(1)求的极值；【解】，由，得，．①若，则，故无极值．②若，增区间为和，减区间为．故极大，极小．③若，增区间为和，减区间为．故极大，极小．(2)若，且，证明：对于任意，不等式成立．【解】由题意得：时，为减函数；时，为增函数．所以，又因为，得，所以．又因为在上为增函数，所以最大值为，最小值为，所以对于任意，成立．48. 设定义在上的函数．当时，取得极大值，且函数的图象关于点对称．(1)求的表达式；【解】将的图象向右平移个单位，得到的图象，所以的图象关于点对称，即是奇函数，从而则由题意，得解得所以(2)在函数的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．【解】由 (1) 得假设存在两切点为，使得因为、，所以或即或从而所求两点的坐标分别为或(3)设，求证：【解】因为当时，，所以在递减．由已知得，所以即注意到时，；时，．从而在上是增函数，在上是减函数．因为所以即因此故成立．49. 已知函数．(1)求函数的极值；【解】．令，所以或，令，所以．所以在，上单调递增，在上单调递减．所以极大值，极小值．(2)求正数，使得在上的值域为．【解】若，则由（1）知在上为减函数．所以，，解得或均不合题意．当时，，，在上变化如下表极大值极小值所以当时，值域为，此时题设成立．当时，值域为，所以所以，均不合题意．综上，所求正数的值为．50. 设函数．(1)求在内的最小值；【解】对求导得当，即时，在上单调递增；当，即时，在上单调递减．①当时，，因此在上单调递减，在上单调递增，从而在上的最小值为②当时，，在上单调递增，从而在上的最小值为(2)设曲线在点处的切线方程为，求，的值．【解】依题意解得或舍去所以，代入原函数可得即故51. 已知函数，．(1)当时，求的最小值；【解】当时，．当时，；当时，．所以的极小值为，又因为的定义域为，所以的最小值为．(2)若，求的取值范围．【解】，即．因为，所以等价于．令，则．当时，；当时，．所以有极小值，且为最小值，为．故，所以的取值范围是．52. 已知为的导函数，且定义在上，对任意的都有，试证明．【解】设，则令得．当，，函数单调递减；当，，函数单调递增．．，即，为的导函数，对任意的都有，不成立．．53. 求函数在上的最大值和最小值．【解】首先可得令化简为，解得舍去当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以为函数的极大值．又因为，，，综上可得：为函数在上的最小值，为函数在上的最大值．54. 设是函数的两个极值点，且． (1)证明：；【解】对求导，可得．因为是的两个极值点，所以是方程的两个实根．于是，．故即．由得，解得．又，所以得证．(2)证明：．【解】由(1)知，设，则．由得，由得．故在时，取得最大值，即，所以．55. 求函数在上的最大值．【解】，由，得．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；所以，当时，取得最大值，最大值为．56. 已知函数，，其中．(1)求函数的单调区间；【解】对求导可得由，得当变化时，，的变化情况如下表：极大值极小值故函数的单调递增区间是，；单调递减区间是． (2)若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围；【解】由 (1) 知在区间内单调递增，在区间内单调递减，从而函数在区间内恰有两个零点，当且仅当解得所以的取值范围是．(3)当时，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记，求函数在区间上的最小值．【解】当时，由 (1) 知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．①当时，，，在上单调递增，在上单调递减．因此，在上的最大值而最小值为与中的较小者．由知，当时，，故所以而在上单调递增，因此所以在上的最小值为②当时，，且．下面比较，，，的大小．由在，上单调递增，有又由从而所以综上，函数在区间上的最小值为．57. 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同．(1)若，求的值；【解】设与在公共点处的切线相同，，．由题意知，，，．由，得或（舍去），即有．(2)用表示，并求的最大值．【解】设与在公共点处的切线相同，，，由题意知，，即，，由，得或（舍去），即有．令，则，于是当，即时，；当，即时，．故在上为增函数，在上为减函数，故在的最大值为，故的最大值为．58. 设函数．(1)证明：在单调递减，在单调递增；【答案】略【分析】本小题主要考查利用导数讨论含参函数的单调性．【解】根据题意注意到，于是再求导得由于，于是为单调递增函数，结合，有在上恒小于，在上恒大于．因此原命题得证．(2)若对于任意，都有，求的取值范围．【答案】【分析】本小题用全称命题描述了函数在区间上的“极差”（区间上的连续函数图象在轴上的投影长度）问题，实际上就是需要分析最大值与最小值，使得它们的差不超过．【解】对于任意，都有，则根据第（1）小题，函数在区间上的最大值为和中较大者，因此变形得记函数，则于是在时单调递减,在时单调递增，如图．因此不难解得的取值范围为．59. 已知函数，其中是常数．(1)当时，求在点处的切线方程；【答案】【解】由可得．当时，，．所以曲线在点处的切线方程为，即． (2)求在区间上的最小值．【答案】【解】令，解得或．当，即时，在区间上，，所以是上的增函数．所以的最小值为；当，即时，，随的变化情况如下表由上表可知函数的最小值为．60. 已知函数在处有极值，在处的切线不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线的距离为．(1)求，，的值；【解】由已知，得由题意，得解得设切线的方程为，则由到切线的距离为，解得因为切线不过第四象限，所以，从而切线方程为，切点坐标为，于是解得综上，，，．(2)求函数在区间上的最大值和最小值．【解】由（1），得由及，解得．从而的变化规律如下：递增极大值递减由表格，得函数的极大值是因此，在区间上的最大值为，最小值为．课后练习1. 函数，当时的最大值为．2. 函数在上的最小值为．3. 函数的值域是．4. 函数在上的最小值是．5. 设函数，，若函数的最大值是，最小值是，则．6. 已知函数在上的最大值是，最小值是，那么．7. 已知函数在内有最小值，则的取值范围是．8. 函数在区间上的值域是．9. 若，则的值为．10. 函数，当时，函数的最大值是．11. 给出下面个命题：①函数的最大值为，最小值为；②函数的最大值为，最小值为；③函数的最大值为，最小值为；④函数无最大值，也无最小值．其中正确的命题为．12. 设函数在上的最大，最小值分别是，，则．13. 设函数在上满足，则函数在上的最小值为，最大值为（用，表示）．14. 函数在区间上的最大值是．15. 函数在的最小值为．16. 若函数在上的最小值为，则实数的值为．17. 已知函数．若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．18. 函数的最大值为．19. 对定义在区间上的函数和，如果对任意，都有成立，那么称函数在区间上可被替代，称为“替代区间”．给出以下命题：①在区间上可被替代；②可被替代的一个“替代区间”为；③若在区间可被替代，则．其中真命题的有．20. 将的矩形的四个角各截去一个大小相同的小正方形，再将四边折起制成一个无盖的长方体盒，则该盒的最大体积是．21. 已知函数，，那么下面命题中真命题的序号是．①的最大值为；②的最小值为；③在上是减函数；④在上是减函数22. 设函数的图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为，则函数在上的最小值为．23. 函数在上的最大值是，最小值是．24. 函数在的最小值是．25. 设函数在区间上满足，则函数在上的最小值为，最大值为．26. 已知函数，对任意的，，不等式恒成立，则的取值范围为．27. 已知函数，则函数的值域为．28. 函数在区间上的最大值是．29. 当时，恒成立，则实数的取值范围是．30. 对于函数，在使恒成立的所有常数中，我们把中的最大值称为函数的＂下确界＂，则函数的下确界为．31. 设函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若在上的最大值为，求的值．32. 已知函数，．(1)当时，求函数的极值；(2)若，证明：．33. 设函数，其中．(1)当时，讨论函数的单调性；(2)若函数仅在处有极值，求的取值范围；(3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．34. 已知．(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大、最小值．35. 已知为实数，．(1)求导数；(2)若，求在上的最大值和最小值；36. 在平面直角坐标系中，已知向量，．设向量，，其中．(1)若，，求的值；(2)若，求实数的最大值，并求取最大值时的值．37. 在区间内给定曲线，试在此区间内确定的值，使图中所给阴影部分的面积与之和最小．38. 已知，函数．设，记曲线在点处的切线为，与轴的交点是，为坐标原点．(1)证明：；(2)若对于任意的，都有成立，求的取值范围．39. 已知函数．(1)求的单调递减区间；(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值．40. 求在上的最大值和最小值．41. 已知：在函数的图象上，以为切点的切线的倾斜角为．(1)求的值；(2)是否存在最小的正整数，使得不等式对于恒成立？如果存在，请求出最小的正整数；如果不存在，请说明理由；(3)求证：（）．42. 已知函数的图像在点处的切线方程为．(1)求实数，的值；(2)设是上的增函数．(i)求实数的最大值；(ii)当取最大值时，是否存在点，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．43. 已知函数．(1)求函数的值域；(2)设函数的定义域为，若对任意，都有成立，则称函数为“标准函数”，否则称为“非标准函数”．试判断函数是否为“标准函数”．如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．44. 已知函数，．(1)试判断在上的单调性；(2)当时，求证函数的值域的长度大于（闭区间的长度定义为）．45. 求函数，的最值．46. 已知函数在上单调递减且满足．(1)求的取值范围；(2)设，求在上的最大值和最小值．47. 已知函数，其中．若在区间上的最小值为，求的值．48. 设函数．(1)证明：当时，；(2)设当时，，求的取值范围．49. 已知函数，其中，．(1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；(2)讨论函数的单调性；(3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．(1)讨论函数的单调性，并证明当时，；(2)证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．51. 求函数，的最大值和最小值．52. 设函数的图象关于原点对称，且时，取得极小值．(1)求的值；(2)若，求证：．53. 已知函数，其中，且．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数其中是自然数的底数．是否存在，使在上为减函数？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．54. 设函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)在（1）的条件下，求证：；(3)当时，求在上的最大值．55. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数在上的最大值和最小值．56. 已知是函数的一个极值点，其中，．(1)求与的关系表达式；(2)求的单调区间；(3)当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于，求的取值范围．57. 设函数 ( 为实数)．(1)设，当时，求过点且与曲线相切的直线方程；(2)设，当且时，有，求的最大值．58. 设函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，，求的取值范围．59. 已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若当时，，求的取值范围．60. 已知函数，问是否存在实数，使在上取得最大值，最小值？若存在，求出，的值，并指出函数的单调区间；若不存在，请说明理由．利用导数求函数的最值-出门考姓名成绩1. 在半径为的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为时它的面积最大．2. 已知函数有零点，则的取值范围是．3. 函数，的最大、最小值分别为．4. 已知函数是奇函数，当时，，当时，的最小值是，则．5. 函数（）在定义域内值恒大于零，则的取值范围是．6. 函数在上的最大值为．7. 设，当时，恒成立，则实数的取值范围为．8. 设函数，下列命题：①的解集是，的解集是或；②是极小值，是极大值；③没有最小值，也没有最大值；④有最大值，没有最小值．其中正确的命题序号为．（写出所有正确命题的序号）9. 函数，的最大值为，最小值为．10. 已知（为常数），在上有最大值，那么此函数在上的最小值为．11. 设函数在内有定义，对于给定的正数，定义函数，取函数，若对任意的，恒有，则的取值范围为．12. 如果对于函数定义域内任意的，都有（为常数），称为的下界，下界中的最大值叫做的下确界．定义在上的函数的下确界．13. 设，函数，．若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为．14. 关于函数有以下命题：①的解集是；②是极小值，是极大值；③没有最小值，没有最大值；④没有最小值，有最大值；⑤有最小值，没有最大值；⑥方程的解有个．其中正确的命题为．15. 函数在定义域内的值恒大于零，则的取值范围是．16. 函数在上的最大值、最小值分别为和，则．17. 若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是．18. 已知，，且，则的最小值为．19. 若函数满足对于任意的都有恒成立，则的取值范围是．20. 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的"隔离直线"．已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为．21. 设直线分别与曲线和交于点，，则当线段的长取得最小值时，的值为．22. 若函数的最小值为，则实数的取值范围是．23. 设函数，，则的最大值为，最小值为．24. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：①对于任意，函数是上的减函数；②对于任意，函数存在最小值；③存在，使得对于任意的，都有成立；④存在，使得函数有两个零点．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）．。
【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
高考数学：用导数研究函数的最值(解析版)
专题2 用导数研究函数的最值一、考情分析函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现. 二、解题秘籍(一) 求函数()y f x =在区间[],a b 上的最值一般地,如果在区间[],a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值． 求函数f (x )在[a ,b ]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a ,b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a ),f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a ),f (b )比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值． 【例1】（2022届重庆市南开中学高三7月考试）已知函数()()2ln =+-∈f x ax x x a R ． （1）当1a =时,求()f x 在区间1[,1]3上的最值；（2）若()()g x f x x =-在定义域内有两个零点,求a 的取值范围． 【分析】（1）当1a =时, (21)(1)()x x f x x-+'=,14ln 339f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,()414112ln 993f e f ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭,13()()ln 224min f x f ==+,()(1)2max f x f ==.（2）()()0g x f x x =-=2ln ()x a h x x ⇔==,则312ln ()xh x x -'=,∴()h x 在(0,)e 单调递增,在(,)e +∞单调递减,作出函数2ln ()x h x x =和y a=得图像, ∴由图象可得1(0,)2a e∈. (二) 求函数在非闭区间上的最值求函数在非闭区间上的最值,一般通过函数的研究函数的单调性与极值来确定,若函数在某一区间上有唯一极值点,则该点处的极值一定是函数的最值. 【例2】已知f (x )＝(1－x )e x －1. (1)求函数f (x )的最大值；(2)设g (x )＝f （x ）x,x ＞－1,且x ≠0,证明：g (x )＜1.【分析】(1)f ′(x )＝－x e x .当x ∈(－∞,0)时,f ′(x )＞0,f (x )单调递增；当x ∈(0,＋∞)时,f ′(x )＜0,f (x )单调递减．所以f (x )的最大值为f (0)＝0.(2)当x ＞0时,f (x )＜0,g (x )＜0＜1.当－1＜x ＜0时,g (x )＜1等价于f (x )＞x .设h (x )＝f (x )－x ,则h ′(x )＝－x e x －1.当x ∈(－1,0)时,0＜－x ＜1,0＜e x ＜1,则0＜－x e x ＜1, 从而当x ∈(－1,0)时,h ′(x )＜0,h (x )在(－1,0)上单调递减． 所以当－1＜x ＜0时,h (x )＞h (0)＝0,即g (x )＜1.综上,总有g (x )＜1. (三) 含参数的函数的最值含参数的函数的最值一般不通过比值求解,而是先讨论函数的单调性,再根据单调性求出最值．含参函数在区间上的最值通常有两类：一是动极值点定区间,二是定极值点动区间,这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论．【例3】已知a ∈R ,函数f (x )＝ax＋ln x －1.(1)当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程； (2)求f (x )在区间(0,e]上的最小值．【分析】(1)f (x )＝1x ＋ln x －1,x ∈(0,＋∞),f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x 2,x ∈(0,＋∞)．确定曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为x －4y ＋4ln 2－4＝0. (2)f ′(x )＝－a x 2＋1x ＝x －ax 2,x ∈(0,e]．令f ′(x )＝0,得x ＝a .根据a 与(0,e]位置关系分类讨论①若a ≤0,则f ′(x )>0,f (x )在区间(0,e]上单调递增,此时函数f (x )无最小值．②若0<a <e,则当x ∈(0,a )时,f ′(x )<0,函数f (x )在区间(0,a )上单调递减；当x ∈(a ,e]时,f ′(x )>0,函数f (x )在区间(a ,e]上单调递增,所以当x ＝a 时,函数f (x )取得最小值ln a .③若a ≥e,则当x ∈(0,e]时,f ′(x )≤0,函数f (x )在区间(0,e]上单调递减, 所以当x ＝e 时,函数f (x )取得最小值ae.综上可知,当a ≤0时,函数f (x )在区间(0,e]上无最小值； 当0<a <e 时,函数f (x )在区间(0,e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时,函数f (x )在区间(0,e]上的最小值为ae.(四) 把不等式恒成立或有解问题转化为函数的最值问题有些不等式恒成立或有解问题,常通过分类参数,转化为求函数的最值问题,常用结论是：若()f x 的值域为[],m M ,则()f x a ≥恒成立a m ⇔≤,()f x a ≥有解a M ⇔≤.【例4】（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）已知函数(),()ln ,x f x e g x x a x a R ==+∈ （1）讨论g (x )的单调性；（2）若()()2a f x x g x x ++,对任意(1,)x ∈+∞恒成立,求a 的最大值； 【分析】对()g x 求导,然后分0a 及0a <讨论得出单调性情况； 当0a 时,()g x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时,()g x 在(0,)a -上单调递减,在(,)a -+∞上单调递增；（2）原不等式可转化为ln ln x x a a e e x x ++,设()ln (0)h x x x x =+>,求出()h x 的单调性,可知当1x >时,ln xax,设()(1)ln x x x x ϕ=>,则2ln 1()ln x x xϕ-'=, 易知函数()ϕx 在(0,)e 上单调递减,在(,)e +∞上单调递增,()x ϕϕ∴（e ）e =,a e ∴,即a 的最大值为e ．(五) 根据()f x a ≥恒成立,求整数a 的最大值根据()f x a ≥恒成立,求整数a 的最大值,通常情况是()f x 有最小值,但无法求出,这种情况下一般设出函数的极值点,把最小值转化为关于极值点的式子,根据极值所在范围,确定最小值的大致范围,由此确定整数a 的最大值.【例5】已知()ln f x x x =. （1）求()f x 的最小值；（2）若()2(1)()f x kx k k -+∈Z 对任意2x >都成立,求整数k 的最大值.【分析】（1）根据()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1x e =处取唯一的极小值,也是最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()()21f x kx k ≥-+ ln 22x x k x +⇔≤- （注意2x >）,记()ln 22x x g x x +=-,则()()22ln 42x x g x x ---'= 考查函数()2ln 4h x x x =--,()210h x x=->' ()2x >,()h x 在定义域上单调递增. 显然有()842ln80h =-<,()1062ln100h =->,所以存在唯一的()08,10x ∈使得()0002ln 40h x x x =-+=. 在()02,x 上()0h x <,()0g x '<,()g x 单调递减；在()0,x +∞上()0h x >,()0g x '>,()g x 单调递增. 所以()g x 在0x 取唯一的极小值也是最小值()0000ln 22x x g x x +=-,注意此时()00h x =⇒ 004ln 2x x -=,所以()00004222x x g x x -⨯+=- ()()0123,42x =-∈,所以整数k 的最大值可以取3 三、典例展示【例1】（2022届重庆市清华中学高三上学期7月月考）已知函数321()23f x ax x x =+-+,其中a R ∈.（1）若函数()f x 恰好有三个单调区间,求实数a 的取值范围； （2）已知函数()f x 的图象经过点()1,3,且[2,2]x ∈-,求()f x 的最大值. 【解析】（1）由321()23f x ax x x =+-+,得2()21f x ax x '=+-.∵()f x 存在三个单调区间∴()0f x '=有两个不相等的实数根,即2210ax x . ∴00a ≠⎧⎨∆>⎩,即0440a a ≠⎧⎨+>⎩,故()()1,00,a ∈-+∞.（2）∵()f x 图象经过点()1,3,∴1(1)233f a =+=,得3a =∴32()2f x x x x =+-+,2()321(31)(1)f x x x x x '=+-=-+,2,2x.()f x 的单调性和极值情况列表如下：故()f x 的最大值为12.【例2】已知函数()ln f x x x x =-． （1）求f （x ）的极值；（2）设()()||,.g x f x x a a R e =+-∈为自然对数的底数． ①若函数g （x ）恰有两个零点,求实数a 的取值范围；②当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求函数g （x ）的最小值．【解析】（1）f （x ）的定义域为(0,)+∞,()ln 11ln f x x x '=+-=, 当(0,1)x ∈时,()0f x '<,f （x ）单调递减； 当(1,)x ∈+∞时,()0f x '>,f （x ）单调递增． 所以f （x ）的极小值为(1)1f =-,f （x ）无极大值；（2）函数()()||g x f x x a =+-有两个零点,等价于ln ||x x x x a -=--有两个不同的根, 等价于()ln f x x x x =-的图象与()||h x x a =--的图象有两个不同的交点.令()ln 0f x x x x =-=,则x e =,又()ln ,()1f x x f e '==',结合（1）单调性和极值情况,作函数()ln f x x x x =-图象如下：由图象得x e =时,f （x ）与h （x ）的图象相切,此时只有一个交点．令()ln 1f x x ==-',则1=x e ,当h （x ）的右半边图象与f （x ）相切时,切点为1112,,T f T ee e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则切线为21y x e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭,即1y x e =--,与x 轴的交点为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,f （x ）与h （x ）的图象相切,此时只有一个交点． 结合图象得,a 的取值范围为1,0(0,)e e ⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭；②（i ）当1a e≤时,()ln ln g x x x x x a x x a =-+-=-, 因为1,,()1ln 0x e g x x e ⎡⎤∈='+≥⎢⎥⎣⎦恒成立,所以g （x ）在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以此时g （x ）的最小值为11g a e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（ii ）当a e ≥时,()ln ln 2,()ln 10g x x x x a x x x x a g x x =-+-=-+=-≤在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立,所以g （x ）在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以此时g （x ）的最小值为()g e a e =-； （iii ）当1a e e <<时,若1x a e≤≤,则()ln ln 2g x x x x a x x x x a =-+-=-+,若a x e ≤≤,则()ln ln g x x x x x a x x a =-+-=-,由（i ）,（ii ）知g （x ）在1,a e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[,]a e 上单调递増,所以此时g （x ）的最小值为()ln g a a a a =-．综上有：当1a e ≤时,g （x ）的最小值为1a e --；当1a e e<<时,g （x ）的最小值为ln a a a -；当a e ≥时,g（x ）的最小值为a e -．【例3】已知函数2()(),()ln x f x x e a g x bx x =-=+. （1）若2y x =是曲线()y f x =的切线,求a 的值； （2）若()g x 有两不同的零点,求b 的取值范围； （3）若1b =,且()()1f x g x -≥恒成立,求a 的取值范围. 【解析】(1)依题意,设切点为00(,2)x x ,则02002()x x x e a =-,22()2x x f x e a x e '=-+⋅,于是得020(21)2x ex a +-=,则有00x =且1a =-,00x ≠时,022x e a =+,0(2)(21)2a x a ++=+无解, 所以1a =-； (2)由()0g x =得ln x b x -=,令ln (),0xh x x x=>, 则有21ln (),0xh x x e x-'=<<时()0,h x x e '>>时()0h x '<,()h x 在(0,)e 上递增,在(,)e +∞上递减, max 1()()h x h e e==,又x e >时,()0h x >恒成立, 于是得()g x 有两个不同的零点,等价于直线y b =-与函数ln (),0xh x x x=>图象有两个不同的公共点, 即10b e <-<,10b e-<<,所以()g x 有两不同的零点,b 的取值范围是10b e -<<；(3)1,()ln ,0b g x x x x ==+>,221ln 0,()()1()1ln 1x x x x f x g x x e a x x a e x+∀>-≥⇔-≥++⇔+≤-, 令21ln ()(0)xx x e x x ϕ+=->,22222ln 2ln ()2x xx x e x x e x x ϕ+'=+=, 令22()2ln x F x x e x =+,221()(44)0x F x x x e x'=++>,即()F x 在(0,)+∞上递增, 而21()ln 40,(1)2048e F F e =-<=>,即(0,1)t ∃∈,使得()0F t =,0x t <<时()0,()0F x x ϕ'<<,x t >时,()0,()0F x x ϕ'>>,()ϕx 在(0,)t 上递减,在(,)t +∞上递增,从而有2min 1ln ()t tx e tϕ+=-, 而()0F t =,即222ln 0t t e t +=,令22t t e p =,两边取对数得22ln ln t t p +=,则2ln 022ln ln p t t t p +==+-,即有2ln 2ln p p t t +=+,显然函数2ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增,从而得p t =,于是得2221ln 2ln 2t t tt e t e t t t t=⇔=⇔=-⇔=-,2min 1ln 11ln ()2t t t x e t t t tϕ+=-=--=, 所以12a +≤,1a ≤. 四、跟踪检测1.（2021届辽宁省大连高三上学期期中）设函数()2ln f x a x x=+,（,0a R a ∈≠）． （1）若1a =,求函数()f x 在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）若[]1,2x ∈时,函数()f x 的最小值为2,求实数a 的取值范围； （3）试判断()()2g x f x a =--的零点个数,并证明你的结论． 【解析】函数()2ln f x a x x=+的定义域是(0,)+∞, （1）1a =时,2()ln f x x x=+,212()f x x x '=-,(1)121f '=-=-,又(1)2f =,所以切线方程为2(1)y x -=--,即30x y +-=； （2）2222()a ax f x x x x -'=-=,令22()0ax f x x -'==,2x a=,0a <时,20a<,()0f x '<在(0,)+∞上恒成立,()f x 在(0,)+∞上是减函数； 此时()f x 在[1,2]上是减函数,min ()(2)ln 212f x f a ==+=,10ln 2a =>与0a <矛盾,故舍去； 0a >时,20a>,20,a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减,2,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 递增．当21a≤即2a ≥时,()f x 在[1,2]上是增函数,min ()(1)ln122f x f a ==+=,所以2a ≥满足题意； 当22a ≥即01a <≤时,()f x 在[1,2]上是减函数,则min ()(2)ln 212f x f a ==+=,1(0,1]ln 2a =∉,故舍去； 当212a <<,即12a <<时,()f x 在间2[1,)a 递减,在2(,2]a 上递增,则min 22()ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭,而(1)2f =,且2(1)f f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭,故22f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭不可能成立,故舍去； 综上,实数a 的取值范围是[2,)+∞．（3）函数()()2g x f x a =--的零点个数,即方程()20f x a --=,即()2f x a =+根的个数,也即函数()y f x =的图象与直线2y a =+的交点个数．由（2）知0a <时,()f x 在(0,)+∞上是减函数,0x →时,()f x →+∞,x →+∞时,()f x →-∞,因此函数()y f x =的图象与直线2y a =+有且只有1个交点；0a >时,()f x 在2(0,)a 上递减,在2(,)a +∞上递增,min 22()()ln f x f a a a a==+,下面比较2f a ⎛⎫⎪⎝⎭与2a +的大小,222()(2)ln (2)ln 2ln 2ln 2f a a a a a a a a a a a-+=+-+=-=--, 记()ln 2ln 2g a a a a =-+,则()ln 2ln 1g a a '=--,令()0g a '=得2ea =,当20ea <<时,()0g a '>,2ea >时,()0g a '<,()g a 在2(0,)e 是递增,在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减,2e a =时,max 22222()()ln 2ln 220e e e eg a g e ==--=-<, 所以min ()2f x a <+,而0x →和x →+∞进都有()f x →+∞, 直线2y a =+与函数()f x 的图象有两个交点． 综上所述．0a <时,函数()()2g x f x a =--有一个零点,0a >时,函数()()2g x f x a =--有2个零点．2.（2021届安徽省合肥高三6月模拟）已知函数()1xf x e ax =--.（1）当1a =时,求证：()0f x ≥；（2）当0x ≥时,()2f x x ≥,求实数a 的取值范围.【解析】（1）证明：当1a =时,()1x f x e x =--,定义域为R ,则'()1x f x e =-, 由'()0f x >,得0x >,由'()0f x <,得0x <,所以()f x 在(,0)-∞上单调递减,在(0,)+∞上单调递增,所以0x =是 ()f x 的极小值点,也是()f x 的最小值点,且min ()(0)0f x f ==, 所以()0f x ≥,（2）解：由()2f x x ≥（0x ≥）,得21x ax e x ≤--（0x ≥）, 当0x =时,上述不等式恒成立,当0x >时,21x e x a x--≤,令21()x e x g x x--= （0x >）,则2'22(2)(1)(1)(1)()x x x e x x e x x e x g x x x -------==, 由（1）可知,当0x >时,10x e x -->,所以由'()0g x <,得01x <<,由'()0g x >,得1x >, 所以()g x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,所以1x =是()g x 的极小值点,也是()g x 的最小值点,且min ()(1)2g x g e ==-, 所以2a e ≤-,所以实数a 的取值范围为(,2]e -∞-3.（2021届黑龙江省哈尔滨市高三下学期第五次模拟）已知函数()ln f x x x =,()212g x x =. （1）求函数()f x 在21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）若对0b a >>,总有()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦成立,求实数m 的取值范围.【解析】（1）因为()ln 1f x x '=+单调递增；令()ln 10f x x '=+=得,1=x e.当211,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增.又因为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2212f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()10f =,所以min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,()max ()10f x f ==.（2）因为()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦, 等价于()()()()mg b f b mg a f a ->-, 令()()()2ln 2m h x mg x f x x x x =-=-, 因为0b a >>,总有()()()()m g b g a f b f a ->-⎡⎤⎣⎦成立, 所以,()h x 在()0,∞+上单调递增.问题化为()ln 10h x mx x '=--≥对()0,x ∈+∞恒成立. 即ln 1+≥x m x对()0,x ∈+∞恒成立.令()ln 1x x x ϕ+=,则()2ln x x x ϕ-'=.由()2ln 0xx xϕ-'==得,1x =. 当()0,1x ∈时,()0x ϕ'>,()x ϕ递增,当()1,x ∈+∞时,()0x ϕ'<,()x ϕ递减,()()max 11x ϕϕ==, 故m 的取值范围是：[)1,+∞.4.（2021届贵州省瓮安中学高三6月关门考试）已知()ln f x x ax =+（a R ∈） （1）讨论()f x 的单调性；（2）当1a =时,若()()1f x k x b ≤++在()0,∞+上恒成立,证明：221k b k +--的最小值为1e -+. 【解析】（1）因为()()10f x a x x'=+>, 当0a ≥时,()0f x '>,所以()f x 在()0,∞+上单调递增, 当0a <时,若10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 单调递增；若1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减,综上：0a ≥时,()f x 在()0,∞+上单调递增；0a <时,()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）因为()ln 1x x k x b +≤++在()0,∞+上恒成立,所以()ln 1b x x k x ≥+-+在()0,∞+上恒成立, 设()()ln 1g x x x k x =+-+,所以()()110g x k x x'=+->, 当1k ≤时,()0g x '>,所以()g x 在()0,∞+上单调递增,此时()b g x ≥显然不恒成立；当1k >时,若10,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增；若1,1x k ⎛⎫∈+∞⎪-⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以()()max 1111ln 1ln 111111g x g k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫==+-+=---- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭, 所以()ln 11b k k ≥----, 又因为()()ln 11ln 12222211111k k k k b bk k k k -----++-=+≥+=-----, 令10t k =->,()ln 21t h t t +=-,所以()2ln 1t h t t+'=, 当10,e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '<,()h t 单调递减；当1,t e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0h t '>,()h t 单调递增；所以()min 11h t h e e ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭,所以221k b k +--的最小值为1e -+. 5.（2021届广东省佛山市五校联盟高三5月模拟）已知函数2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()x f x e ≤恒成立,求a 的最大值.【解析】（1）2121()2,(0,)x ax f x x a x x x∞'++=++=∈+ 当2222a -≤≤时,()0f x '≥恒成立,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当22a <-时,在22880,,,,()0,()44a a a a f x f x ∞⎛⎫⎛⎫----+-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎭单调递增；在2288,,()0,()44a a a a f x f x ⎛⎫----+-< ⎪ ⎝⎭'⎪单调递减 当22a >时,在(0,),()0,()f x f x ∞+'>单调递增综上所述：当22a ≥-时,()f x 在(0,)+∞上单调递增；当22a <-时,()f x 在 22880,,,44a a a a ∞⎛⎫⎛⎫----+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增, 在2288,44a a a a ⎛⎫----+- ⎪ ⎪⎝⎭单调递减 （2）2()2ln xf x x ax x e =+++≤ 在(0,)+∞恒成立,可得2ln 2x e x x a x ---≤恒成立； 设2ln 2()x e x xg x x ---=,则22(1)ln 1()x e x x x g x x'-+-+= 令2()(1)ln 1x h x e x x x =-+-+,则1()2x h x xe x x=+-' 令()1x x e x μ=--,则()1x x e μ=-',因为0x >,所以()0x μ>()x μ∴在(0,)+∞上单调递增,2211122x xe x x x x x x x x x∴+->++-=+- 211()2x h x xe x x x x x=+->-+'∴ 令21()j x x x x =-+,则3222121()21x x j x x x x --=--=' 易知在(0,1),()0,()j x j x <'单调递减；在(1,),()0,()j x j x ∞+'>单调递增； ()(1)0j x j ∴≥= ,可得()0,h x '> 所以()h x 在(0,)+∞上单调递增,又因为(1)0h =所以在(0,1)上()0h x <,在(1,)+∞上()0h x >所以在(0,1)上()0,()g x g x '<单调递减；在(1,)+∞上()0,()g x g x '>单调递增 所以在(0,)+∞上,()(1)3g x g e ≥=-,所以3a e ≤-6.（2021届广东江门市高三模拟）设函数()2x f x e ax =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =,k 为整数,且当0x >时,()()'10x k f x x -++>,求k 的最大值．【解析】(1)f(x)的定义域为(－∞,＋∞),f′(x)＝e x －a. 若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(－∞,＋∞)上单调递增． 若a>0,则当x∈(－∞,ln a)时,f′(x)<0；当x∈(ln a,＋∞)时,f′(x)>0.所以,f(x)在(－∞,ln a)上单调递减,在(ln a,＋∞)上单调递增．(2)由于a ＝1时,(x －k)f′(x)＋x ＋1＝(x －k)(e x －1)＋x ＋1. 故当x>0时,(x －k)f′(x)＋x ＋1>0等价于 k<11x x e +-＋x(x>0) ∈ 令g(x)＝11x x e +-＋x,则g′(x)＝()()211x x x e e ---＋1＝()()221x x x e e x e ---. 由(1)知,函数h(x)＝e x －x －2在(0,＋∞)上单调递增, 又h(1)＝e －3<0,h(2)＝e 2－4>0.所以h(x)在(0,＋∞)上存在唯一零点．故g′(x)在(0,＋∞)上存在唯一零点．设此零点为α,则α∈(1,2)．当x∈(0,α)时,g′(x)<0；当x∈(α,＋∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g(α)．又由g′(α)＝0,得e α＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)． 由于∈式等价于k<g(α),故整数k 的最大值为2.。
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
(整理)利用导数求函数的极值和最值
利用导数求函数的极值和最值上课时间：上课教师上课重点：掌握导数与函数极值最值的的关系上课规划：解题方法和技巧 考点一 函数的单调性与极值1、函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________．2、函数31()443f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．3、曲线3223y x x =-共有____个极值．4、函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ．5、求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．6、求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值．7、求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值．8、求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值．探究：用导数法求函数()(0)b f x x b x=+>的单调区间与极值6、有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．考点二 利用函数的极值求参数或取值范围例题：已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数)(x f 的极小值，并求c b a ,,的值。
(一）定值1、设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．4、若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23（二）取值范围1、设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-< 2、若函数3()63f x x bxb =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3、函数31()43f x x a x =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ．4、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______．考点三 导数的综合运用数学思想方法（一) 函数与方程（不等式)的思想例题:设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈（1）求函数)(x f 的单调区间和极值（2）若关于x 的方程a x f =)(有三个不同实根，求实数a 的取值范围1、方程0ln 2)1)(2(=---x x a ，在)21,0(无解，求实数a 的范围。
专题13 利用导数解决函数的极值、最值
专题13利用导数解决函数的极值、最值【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大.类型一利用导数研究函数的极值万能模板内容使用场景一般函数类型解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值.例1已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值.【答案】极小值为1，无极大值.试题解析：第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：因为x xx f ln 1)(+=，所以()f x 的定义域为()0+∞，，所以()22111'x f x x x x -=-+=；第二步，求方程'()0f x =的根：令()'0f x =得，1x =；第三步，判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号：当01x <<时()'0f x <，当1x >时，()'0f x >；第四步，利用结论写出极值：所以1x =时，()f x 有极小值为1，无极大值.【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】（极值概念）下列说法正确的是（）A ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值B ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值C ．当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值D ．当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =【答案】D 【解析】【分析】由导函数及极值定义得解.【详解】不妨设函数3()f x x =则可排除ABC由导数求极值的方法知当0()f x 为()f x 的极值且0'()f x 存在时，则有0'()0f x =故选：D【变式演练2】（图像与极值）已知函数()3()ln (,,)f x ax bx c a b c =++∈R 的定义域为(3,)-+∞，其图象大致如图所示，则（）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】A 【分析】设3()g x ax bx c =++，利用导数求得函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性，即可求得,,a b c 的大小关系，得到答案.【详解】设3()g x ax bx c =++，可得2()3g x ax b '=+，由图象可知，函数()f x 先递增，再递减，最后递增，且当1x =时，()g x 取得极小值，所以函数()g x 既有极大值，也有极小值，所以2()30g x ax b '=+=有两个根，即3a x b=-31ab=-，可得0,0a b ><且3a b =-，又由()0ln 0f c =>，可得1c >，由()1ln()0ln1f a b c =++>=，可得1a b c ++>，所以11312c a b a a a a >--=-+=+>，所以c a b >>.故选：A.【变式演练3】（解析式中不含参的极值）已知函数()ln xf x x x=-，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．()f x 的极小值点为1C ．()f x 的极大值为1-D ．()f x 的最小值为1-【答案】C【分析】先对函数求导()221ln x x f x x --'=，令()21ln x x x ϕ=--，再利用导数判断其单调性，而()1=0ϕ，从而可求出()f x 的单调区间和极值【详解】()2221ln 1ln 1x f x x x x x ---=='-.令()21ln x x x ϕ=--，则()120x x x ϕ'=--<，所以()21ln x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减.因为()1=0ϕ，所以当01x <<时，()0x ϕ>；当1x >时，()0x ϕ<.所以()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞，故()f x 的极大值点为1，()f x 的极大值为()11f =-故选：C【变式演练4】（解析式中含参数的极值）已知函数()2ln 2f x ax x =--，()4xg x axe x =-．（1）求函数()f x 的极值；（2）当0a >时，证明：()()()2ln 12ln ln 2g x x x a --+≥-．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数进行求导，分为0a ≤和0a >两种情形讨论单调性即可得极值；（2）令()()()2ln 1h x g x x x =--+，根据导数判断函数的单调性证明即可.【详解】（1）∵()2ln 2f x ax x =--，()0x >，∴()22ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 单调递减，函数()f x 无极值；当0a >时，20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；故函数()f x 的极小值为2222=2ln 22ln f a a a a a ⎛⎫⨯--=-⎪⎝⎭，无极大值.（2）证明：令()()42ln 2222ln 20,0xxh x axe x x x axe x x a x =--+-=--->>，()()()211=22x x x x h x a e xe ae x x x +'+--=+-，故()()=21xh x x ae x '+-⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()0h x '=的根为0x ，即02=x ae x ，两边求对数得：00ln ln 2ln a x x +=-，即00ln ln 2ln x x a +=-，∴当()0x x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；∴()()()0000000min 22ln 222ln 2ln 2ln xh x h x ax e x x x x a =---=-=--=-，∴()2ln 2ln 2h x a ≥-，即原不等式成立.【变式演练5】（由极值求参数范围）若函数()221e e 22x x f m x x m=--有两个极值点，则实数m 的取值范围是（）A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,+∞C ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()e,+∞【答案】B 【分析】依题意，()2e e xxm f m x x =--'有两个变号零点，由()0f x '=，可得21e e xx x m +=，设()2e ex x g x x +=，求出函数()g x 的单调性及取值情况即可得解．【详解】解：依题意，()2e e x xm f m x x =--'有两个变号零点，令()0f x '=，即2e e 0x x m mx --=，则()2e e x xm x =+，显然0m ≠，则21e ex x xm +=，设()2e e x x g x x+=，则()()22421212()x x x x x x x e e e x e e x g x e e+⋅-+⋅--='=，设()1e 2x x h x =--，则()e 20xh x -'=-<，∴()h x 在R 上单调递减，又()00h =，∴当(),0x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，当()0,x ∈+∞时，()0h x <，()0g x '<，()g x 单调递减，∴()()max 01g x g ==，且x →-∞时，()g x →-∞，x →+∞时，()0g x →，∴101m<<，解得1m >．故选：B ．【点睛】方法点睛：函数零点问题的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程求解）；（2）图象法（画出函数()f x 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令()=0f x 得()()g x h x =，分析函数(),()g x h x 的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.【变式演练6】（由极值求其他）已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =++∈在3x =-处取得极大值为9.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[4,4]-上的最大值与最小值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=-⎩；（2）最大值为763，最小值为53-.【解析】【分析】（1）先对函数求导()22f x x ax b '=++，根据题意，列出方程组求解，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定函数极大值与极小值，再计算出端点值，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）由题意得：()22f x x ax b '=++，()()396039939f a b f a b ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+='-⎪⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩.当13a b =⎧⎨=-⎩时，()32133f x x x x =+-，()()()22331f x x x x x '=+-=+-，∴当(),3x ∈-∞-和()1,+∞时，()0f x '>；当()3,1x ∈-时，()0f x '<，()f x ∴在(),3-∞-，()1,+∞上单调递增，在()3,1-上单调递减，()f x ∴的极大值为()39f -=，满足题意.（2）由（1）得：()f x 的极大值为()39f -=，极小值为()1511333f =+-=-，又()2043f -=，()7643f =，()f x ∴在区间[]4,4-上的最大值为763，最小值为53-.类型二求函数在闭区间上的最值例2已知函数()ln f x x x =-，()22g x ax x =+()0a <.（1）求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值；（2）求函数()()()h x f x g x =+的极值点.【答案】（1）最大值为1-，最小值为1e -；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）对函数()f x 进行求导可得()11f x x'=-，求出极值，比较端点值和极值即可得函数的最大值和最小值；（2）对()h x 进行求导可得()h x '=221ax x x++，利用求根公式求出导函数的零点，得到导数与0的关系，判断单调性得其极值.试题解析：第一步，求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点：依题意，()11f x x '=-,令110x-=，解得1x =；第二步，计算函数()f x 在极值点和端点的函数值：()11f =-，111e e f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()e 1ef =-；第三步，比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值：因为11e 11e -<--<-，故函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1-，最小值为1e -.（2）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：依题意，()()()h x f x g x =+=2ln x ax x ++，()121h x ax x =++'=221ax x x++，第二步，求方程'()0f x =的根：当0a <时，令()0h x '=，则2210ax x ++=.因为180a ∆=->，所以()221ax x h x x'++==()()122a x x x x x--，其中11184x a =-，21184x a+=-第三步，判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号：.因为0a <，所以10x <，20x >，所以当20x x <<时，()0h x '>，当2x x >时，()0h x '<，所以函数()h x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数，第四步，利用结论写出极值：故214x a+=-为函数()h x 的极大值点，函数()h x 无极小值点.【变式演练7】（极值与最值关系）已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b 为开区间∴最小值点一定是极小值点∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【变式演练8】（由最值求参数范围）若函数()()()2ln 2010a x x x f x x a x x ⎧-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为()1f -，则实数a 的取值范围为（）A ．20,2e ⎡⎤⎣⎦B ．30,2e ⎡⎤⎣⎦C ．(20,2e ⎤⎦D ．(30,2e ⎤⎦【答案】B 【解析】由12f a -=-+（），可得222alnx x a --≤-+在0x ＞恒成立，即为a （1-lnx ）≥-x 2，当x e =时，0e-＞2显然成立；当0x e ＜＜时，有10lnx -＞，可得21x a lnx ≥-，设201x g x x e lnx =-（），＜＜，222(1)(23)(1)(1)x lnx x x lnx g x lnx lnx （），---'==--由0x e ＜＜时，223lnx ＜＜，则0g x g x （）＜，（）'在0e （，）递减，且0g x （）＜，可得0a ≥；当x e ＞时，有10lnx -＜，可得21x a lnx ≤-，设22(23)1(1)x x lnx g x x e g x lnx lnx -='=--（），＞，（），由32e x e ＜＜时，0gx g x （）＜，（）'在32e e （，）递减，由32x e >时，0g x g x '（）＞，（）在32 ,x e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，即有)g x （在32x e =处取得极小值，且为最小值32e ，可得32a e ≤，综上可得302a e ≤≤．故选B ．【变式演练9】（不含参数最值）已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立.则M 的最小值为（）A ．338B ．32C ．334D ．233【答案】C 【解析】【分析】令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()f x h t =，利用导数可求()max 27256h t =，从而得到()f x 的最值，故可得M 的取值范围，从而得到正确的选项.【详解】3()2cos sin f x x x =，故622()4cos sin f x x x =，令2sin t x =，则[]0,1t ∈，设()()31h t t t =-，则()2()4f x h t =，又()()()()()322131114h t t t t t t '=---=--，若10,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '>，故()h t '在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数；若1,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0h t '<，故()h t '在1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦为减函数；故()max 27256h t =，故2max 27()64f x =，所以max ()8f x =，min ()8f x =-，当且仅当1sin 415cos 4x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取最大值，当且仅当1sin 415cos 4x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时取最小值，故4M ≥即M的最小值4.故选：C.【变式演练10】（含参最值）已知函数121()(1),02x f x x a ex ax x -=---+>（1）若()f x 为单调增函数，求实数a 的值；（2）若函数()f x 无最小值，求整数a 的最小值与最大值之和.【答案】（1）1a =.（2）3【解析】【分析】（1）求出()f x '，再令()0f x '=，求出两个根，函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，得到1a =，再进行检验即可；（2）由()0f x '=得11x =，或2x a =和a Z ∈，分别当0a ≤、1a =和1a >三种情况进行讨论；0a ≤时不成立，1a =时成立，1a >时，利用函数单调性，当()f x 无最小值时，(0)()f f a <，构造关于a 的函数，求出a 的范围，即可得到答案.【详解】（1）由题意，11()()()(1)x x f x x a e x a x a e --'=--+=--，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，因为函数()f x 为单调函数，所以()f x 有两个相同的根，即1a =，1a =时，()0f x '≥，()f x 为增函数，故1a =适合题意；（2）由（1）知，()0f x '=，解得11x =，或2x a =，①当0a ≤时，则(0,1)()0x f x '∈⇒<⇒()f x 在(0,1]上为减函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，当1x =时，()f x 有最小值1(1)2f =-，故0a ≤不适合题意；②当1a =时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[1,)+∞上为增函数，∴()f x 在(0,)+∞上为增函数，()f x 无最小值，故1a =适合题意；③当1a >时，则(0,1)()0x f x '∈⇒>⇒()f x 在(0,1]上为增函数，(1,)()0x a f x '∈⇒<⇒()f x 在[1,]a 上为减函数，(,)()0x a f x '∈+∞⇒>⇒()f x 在[,)a +∞上为增函数，因为()f x 无最小值，所以(0)()f f a <21121111(1)022a a a a e e a e a e -----⇒<-⇒--+<，()()()121111112a a g a e a a e a g a e a e ----'=--+>⇒=--，，由()110a g a e -''=->在()1+∞，上恒成立，()11a g a e a e --'=--在()1+∞，上单调递增，且110g e -'=-<（），()()12200g e e g a ->''=--⇒=存在唯一的实根()112a ∈，() g a ⇒在()11a ，上单调递减；() g a 在()1a +∞，上单调递增增，且()()()2e 439410220302e 2g g e g e e e-=<=--<=-->，，()0g a ⇒=存在唯一的实根()223a ∈，，由()12121102a e a a e a a ----+<⇒<，()f x 无最小值，则21a a <<，()223a ∈，，综上，21a a ≤<，()223a ∈，，a Z ∈ ，123min max a a +=+=.【变式演练11】（恒成立转求最值）已知函数32()ln x f x e x x x ax -=+--满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,e]-∞B ．(,2]-∞-C ．[2,e]D ．[2,2]-【答案】B【分析】由()0f x ≥转化为3ln x e a x x x -≤+-，设33ln ()ln ln x x x e g x x x e x x x---=+-=+-，利用3ln ln (3ln 1)ln x x e x x x x x x --+-≥--++-，即可求解.【详解】由题意，函数32()ln x f x e x x x ax -=+--满足()0f x ≥恒成立，可得32ln x ax e x x x -≤+-恒成立，即3ln x e a x x x -≤+-，设33ln ()ln ln x x x e g x x x e x x x---=+-=+-，又由函数()(1)1x x h x e x e x =-+=--，可得()1x h x e '=-，当0x >时，可得()10x h x e '=->，所以()h x 为单调递增函数，且(0)0h =，所以0x >时，可得()(0)0h x h >=，即1x e x >+，则3ln ()ln (3ln 1)ln 2x x g x e x x x x x x --=+-≥--++-=-，当且仅当3ln 0x x --=，即3ln x x =+时取“=”号，所以2a ≤-，即实数a 的取值范围是(,2]-∞-.故选：B.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．【变式演练12】（构造函数求最值）函数()22(0)f x x x =-+<，()ln x g x x x =+.若()()12f x g x =，则212x x -的最小值为（）A ．1-B ．24e -C ．2D ．1【答案】C【分析】让()()12f x g x =，得到212222ln x x x x -+=+，再构造22122222ln x x x x x -=+-，然后令()22ln x u x x x =+-，研究()u x 的最小值即可.【详解】由题120x x <<，且()()12f x g x =，2120x x ->.有212222ln x x x x -+=+，则22122222ln x x x x x -=+-，令()22ln x u x x x=+-（0x >且1x ≠，()0u x >）.（1）当01x <<时，易知()0u x <，不满足条件.（2）当1x >时，知()0u x >，由222ln ln 1(2ln 1)(ln 1)()ln ln 2x x x x u x x +--+'==，令()0u x '=，则1 x =，212x =（舍去），若1x <<()0u x '<；若x >()0u x '>，则 x =时取得极小值2u=-，也为最小值，则()u x u ≥，即21242x x -≥-，所以212x x -的最小值为2.故选：C.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是构造出212x x 的表达式并要统一变量，二是对构造的函数求最小值.。
中学数学 利用导数研究函数的极值和最值(含答案)
专题4 利用导数研究函数的极值和最值专题知识梳理1.函数的极值（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y极大值=,是极大值点。
如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值=，是极小值点。
极大值与极小值统称为极值.(2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法:若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根；①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。
①根据表格下结论并求出需要的极值。
2. 函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值；①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。
考点探究)(x f x 0x 0f (x )<f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 0x 0f (x )>f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '¢f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ÎI f (x )£f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ÎI f (x )³f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,考向1 利用导数研究函数的极值 【例】已知函数x xx f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值. 【解析】因为1()ln f x x x =+，所以2111'()x f x x x x-=-+=,令，得x =1，列表:所以是f x 的极小值1，无极大值。
利用导数求函数最值的三种方法
２０２３年６月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀利用导数求函数最值的三种方法◉甘肃省高台县第一中学㊀郭惠英㊀㊀摘要:新课标要求学生学会并运用转化与分类讨论等思想解决实际问题,能够利用导数求某些函数的极值㊁最值．在教学中,教师既要让学生熟练掌握实用的解题方法,更要注重开拓他们的解题思路,不断提高解题效率和准确率．关键词:分类讨论法;消元转化法;判断单调性法;构建新函数㊀㊀关于求函数最值与极值的问题,近年来在高考全国卷以及各地的自主命题卷中多次出现,多以选择题㊁填空题的形式出现,也与其他知识交汇在解答题中呈现, 最值与极值 问题逐渐成为高考的高频考点与热点[１],在备考中应予以高度重视．利用导数求函数的最值是一种十分简捷有效的好方法,具体解题思路是:先构造函数,明确定义域,求导;再求变号零点;最后求原函数的最值(极值)．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的基本步骤是:先求函数f(x)在(a,b)上的极值;再求函数f(x)在区间端点的函数值f(a),f(b);最后将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．下面结合典型例题,探讨运用导数求解函数最值问题的思路与方法．１分类讨论法运用分类讨论法求函数最值的基本思路是,把整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,增加了题设条件．解答这类题型的步骤是:①确定分类讨论的对象,即对哪个参数进行讨论;②对所讨论的对象进行合理分类(要求分类不重复㊁不遗漏㊁不越级㊁标准要统一);③逐类讨论;④归纳总结．例１㊀(２０２２年全国乙卷理科数学第１６题)已知x＝x１和x＝x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２(a＞０且aʂ１)的极小值点和极大值点．若x１＜x２,则a的取值范围是．解析:fᶄ(x)＝２a x l n a－２e x．因为x１,x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(－ɕ,x１)和(x２,＋ɕ)上单调递减,在(x１,x２)上单调递增．故当xɪ(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)时,fᶄ(x)＜０;当xɪ(x１,x２)时,fᶄ(x)＞０．若a＞１,当x＜０时,２a x l n a＞０,２e x＜０,则此时fᶄ(x)＞０,与上述矛盾,故a＞１不符合题意．若０＜a＜１,则方程２a x l n a－２e x＝０的两个根为x１,x２,即方程a x l n a＝e x的两个根为x１,x２,即函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点．令g(x)＝a x l n a,则gᶄ(x)＝a x l n２a,０＜a＜１．设过原点的直线与函数y＝g(x)图象相切于点(x０,a x l n a),又切线的斜率为gᶄ(x０)＝a x l n２a,故过原点的切线方程为y－a x l n a＝a x l n２a(x－x０),则有－a x l n a＝－x０a x l n２a,解得x０＝１l n a,所以切线的斜率为l n２a a１l n a＝e l n２a．图１因为函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点(如图１),所以e l n２a＜e,解得１e＜a＜e．又０＜a＜１,故１e＜a＜１．综上所述,a的取值范围为(１e,１)．思路与方法:本题主要采用了分类讨论的方法．由x１,x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２的极小值点和极大值点,可得当xɪ(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)时,fᶄ(x)＜０,当xɪ(x１,x２)时,fᶄ(x)＞０;再分a＞１和０＜a＜１两种情况讨论,方程２a x l n a－２e x＝０的两个根为x１,x２,即函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点,构造函数g(x)＝a x l n a;最后根据导数的意义并结合图象即可获解．２消元转化法消元转化法求最值是换元法与转化思想的综合运用．其解题思路是,通过设元消参与转化的方法,将不熟悉和难解的求最值问题转化为熟知的㊁易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的㊁直观５７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年６月上半月㊀㊀㊀的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的㊁特殊的问题,将实际问题转化为数学问题来解决．例２㊀已知函数f (x )＝e x,g (x )＝２x ,若f (m )＝g (n )成立,则n －m 的最小值为(㊀㊀)．A．１２㊀㊀㊀B ．１㊀㊀㊀C ．２－l n ２㊀㊀㊀D．２＋l n ２解法１:由f (m )＝g (n ),得e m＝２n ,解得n ＝１２e ２m(m ɪR )．设h (m )＝n －m ＝１２e ２m －m ,则h ᶄ(m )＝e ２m－１．由h ᶄ(m )＞０,得m ＞０;由h ᶄ(m )＜０,得m ＜０．所以h (m )在(－ɕ,０)上单调递减,在(０,＋ɕ)上单调递增,从而得到(n －m )m i n ＝h (０)＝１２．故正确答案为:A ．解法２:令f (m )＝g (n )＝t ,即e m＝２n ＝t ,则m ＝l n t ,n ＝１２t ２．设h (t )＝n －m ＝１２t ２－l n t ,t ＞０,则h ᶄ(t )＝t －１t ＝t ２－１t．由h ᶄ(t )＞０,得t ＞１,由h ᶄ(t )＜０,得０＜t ＜１,则h (t )在(０,１)上单调递减,在(１,＋ɕ)上单调递增,所以(n －m )m i n ＝h (１)＝１２．故正确答案为:A ．思路与方法:本题利用f (m )＝g (n ),对n －m 消元,将问题转化为单变量函数,再应用导数求函数的最小值．在解题过程中,根据需要可采用多种变形,如①m ＝l n ２n (n ＞０);②n ＝１２e ２m ;③令e m＝２n ＝t ,则m ＝l n t ,n ＝１２t ２;等等．３判断单调性法通过判断函数在某个区间上的单调性或者通过单调性得出函数的图象来求函数的最值,是最常用最简捷的一种方法．利用导数研究函数的单调性,关键在于准确判定导数的符号,当f (x )含参数时,需要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．例３㊀已知函数f (x )＝a x ３＋x ２＋b x (其中常数a ,b ɪR ),g (x )＝f (x )＋f ᶄ(x )是奇函数．(１)求f (x )的表达式;(２)讨论g (x )的单调性,并求g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值．解析:(１)由题意得f ᶄ(x )＝３a x ２＋２x ＋b ,因此g (x )＝f (x )＋f ᶄ(x )＝a x ３＋(３a ＋１)x ２＋(b ＋２)x ＋b ．因为函数g (x )是奇函数,所以g (－x )＝－g (x ),即对任意实数x ,都有a (－x )３＋(３a ＋１)(－x )２＋(b ＋２)(－x )＋b ＝－[a x ３＋(３a ＋１)x ２＋(b ＋２)x ＋b ],于是３a ＋１＝０,b ＝０,解得a ＝－１３,b ＝０．故f (x )的表达式为f (x )＝－１３x ３＋x ２．(２)由(１)知g (x )＝－１３x ３＋２x ,所以g ᶄ(x )＝－x ２＋２．令g ᶄ(x )＝０,解得x ＝－２,或x ＝２．当x ＜－２,或x ＞２时,g ᶄ(x )＜０,从而g (x )在区间(－ɕ,－２],[２,＋ɕ)上是减函数．当－２＜x ＜２时,g ᶄ(x )＞０,从而g (x )在区间[－２,２]上是增函数．综上可知,g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值只可能在x ＝１,２,２时取得．而g (１)＝５３,g (２)＝４２３,g (２)＝４３,因此g (x )在区间[１,２]上的最大值为g (２)＝４２３,最小值为g (２)＝４３．思路与方法:本题的第(２)问是函数在闭区间上的最值问题,关键是判断函数在该区间上的单调性,因为通过单调性即可得出函数的大致图象,进而求出最值,所以就可以避免比较端点值与极值的大小[２]．由此可见,利用函数的单调性是解决函数极值问题的一个重要方法．综上所述,利用导数求函数的最值时,首先要确定和判别函数的极大值和极小值,判断函数是否有极大值,就是判断f ᶄ(x )是否有左正右负的零点,判断是否有极小值,就是判断f ᶄ(x )是否有左负右正的零点;其次是要掌握求函数最值的常用方法与步骤．在具体解题过程中,有时需要对问题进行转化,构建新的函数,再用导数解决问题．参考文献:[１]吴永娇．聚焦函数与导数中的最值问题[J ]．中学生数理化(高考数学),２０２１(５):１８Ｇ２０．[２]李红磊．突破函数与导数问题的几种策略[J ]．高中数理化,２０２２(１５):６０Ｇ６１．Z ６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。