利用导数求函数最值(精华)
如何用函数导数解决函数最值问题
如何用函数导数解决函数最值问题导数是微积分中的基本概念之一，是描述函数变化率的一个量。
在许多实际问题中，我们需要找到函数的最值，即函数取得最大或最小值的点。
函数的最值问题是微积分中的基础应用之一，而函数的导数在解决函数最值问题中发挥着重要的作用。
一、局部最值存在的条件函数在一个区间内有最大值或最小值，就称该函数在这个区间内有一个局部最值。
为了找到函数的最值，我们首先需要判断函数是否在特定的区间内有最值。
一般来说，函数在一个区间内有最值的条件有两个：1. 导数存在且为0当函数在一点导数存在且为0时，该点可能是函数的极值点。
但是，这里需要注意的是，导数为0并不一定意味着该点是极值点。
因此，我们需要结合二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
具体来说，若该点二阶导数存在且为正，则该点为函数局部最小值点；若二阶导数存在且为负，则该点为函数局部最大值点；若二阶导数不存在，则需要进一步对函数进行分析。
2. 导数不存在的间断点或者端点当函数在区间的端点或者间断点处时，可能存在局部最大值或最小值。
因此，我们需要将函数在这些点附近的值进行比较，在这些点的右侧和左侧都要进行比较。
其中，函数在这些点附近的值可以用左右极限来表示，从而更好地判断该点是否为最值点。
二、求解函数最值的步骤在确定了函数有局部最值的区间后，我们可以通过以下步骤来求解函数的最值：1. 求出函数的导数和二阶导数首先，我们需要求出函数的导数和二阶导数，以确定函数在导数为0的点周围的变化趋势。
2. 求出导数为0的点接着，我们需要使用一些方法求出函数导数为0的点，也就是可能的最值点。
这里我们介绍几种常用的方法：（1）解方程：将函数的导数设置为0，解出方程，求出相应的导数为0的点。
（2）图像法：通过绘制函数的图像，观察某些点的几何性质，然后判断是否为导数为0的点。
（3）牛顿法：用牛顿迭代法求出导数为0的点。
3. 判断极值点类型当我们求出了导数为0的点后，我们需要判断这些点是否为极值点。
【2021新高考数学】利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【举一反三】
1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________． x
1，＋∞ 【答案】 2
【解析】
由
y＝4x2＋1，得 x
y′＝8x－x12(x≠0)，令
y′>0，即
8x－x12>0，解得
x>1， 2
∴函数
y＝4x2＋1的单调增区间为
2
.
2
2
当 x (, 2 ) 时，函数为增函数；当 x ( 2 , ) 时，函数也为增函数.
2
2
令 f (x) 6x2 3 0 ，解得 2 x 2 .当 x ( 2 , 2 ) 时，函数为减函数.
2
2
22
故函数 f (x) 2x3 3x 的单调递增区间为 (, 2 ) 和 ( 2 , ) ，单调递减区间为 ( 2 , 2 ) .
当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接
【举一反三】 1．函数 y＝4x2＋1的单调增区间为________．
x 2．函数 f(x)＝x·ex－ex＋1 的单调增区间是________． 3．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)的单调减区间是________． 4．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调增区间是_______．
2x 2 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值．
第十四讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值
【套路秘籍】
一．函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x) 在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数 y＝f(x)的极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时：
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
(整理)利用导数求函数的极值和最值
利用导数求函数的极值和最值上课时间：上课教师上课重点：掌握导数与函数极值最值的的关系上课规划：解题方法和技巧 考点一 函数的单调性与极值1、函数2()(1)f x x x =-的极大值与极小值分别是___________．2、函数31()443f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．3、曲线3223y x x =-共有____个极值．4、函数3()3(0)f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2，则()f x 的单调递减区间是 ．5、求函数43()4f x x x =-的单调区间与极值点．6、求函数3()3f x x x =-的单调区间与极值．7、求函数32()32f x x x =-+的单调区间与极值．8、求函数42()23f x x x =-+的单调区间与极值．探究：用导数法求函数()(0)b f x x b x=+>的单调区间与极值6、有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ．考点二 利用函数的极值求参数或取值范围例题：已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数)(x f 的极小值，并求c b a ,,的值。
(一）定值1、设函数32()1f x x ax bx =++-，若当1x =时，有极值为1，则函数32()g x x ax bx =++的单调递减区间为 ．2、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、函数3()4f x ax bx =++在12x =-有极大值283，在22x =有极小值是43-，则a = ；b = ．4、若函数322y x x mx =-+，当13x =时，函数取得极大值，则m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．23（二）取值范围1、设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，有大于零的极值点，则（ ） A ．1a <- B ．10a -<< C ．10a e -<< D ．ea 1-< 2、若函数3()63f x x bxb =-+在(01)，内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(01)， B ．(1)-∞，C ．(0)+∞，D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， 3、函数31()43f x x a x =++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是 ．4、若函数[]32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值又有极小值，则a 的取值范围是______．考点三 导数的综合运用数学思想方法（一) 函数与方程（不等式)的思想例题:设函数56)(3+-=x x x f ，R x ∈（1）求函数)(x f 的单调区间和极值（2）若关于x 的方程a x f =)(有三个不同实根，求实数a 的取值范围1、方程0ln 2)1)(2(=---x x a ，在)21,0(无解，求实数a 的范围。
利用函数的导数求解极值问题
利用函数的导数求解极值问题在数学中，极值是指函数在一定范围内取得的最大值或最小值。
求解极值问题是数学中的重要内容之一，而函数的导数在求解极值问题中起到了关键作用。
下面将介绍如何利用函数的导数来求解极值问题。
一、极值问题的定义和求解方法极值问题是在给定的函数定义域内，寻找函数取得的最大值或最小值的问题。
比如，我们可以将一个函数表示为f(x)，其中x是自变量。
则对于函数f(x)，其极大值表示在定义域内存在一个或多个点，使得函数在这些点上取得最大值；而极小值表示在定义域内存在一个或多个点，使得函数在这些点上取得最小值。
求解极值问题可以通过以下方式进行：1. 首先，根据题目或条件确定函数f(x)的表达式。
2. 然后，计算函数f(x)的导数f'(x)。
3. 接着，求得导数f'(x)的零点，即使f'(x)=0或f'(x)不存在的点。
4. 最后，在求得的导数零点中，通过判断函数的凹凸性、拐点等方法，确定极值点。
二、函数导数的基本概念在求解极值问题中，函数的导数是至关重要的概念。
下面回顾一下函数导数的基本概念：1. 函数导数表示函数在某一点的变化率，记为f'(x)。
2. 导数可以用极限来定义，即f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
3. 导数可以表示函数f(x)的斜率，即函数曲线在某一点上的切线斜率。
4. 函数导数的符号可以表示函数的增减性。
当f'(x)>0时，函数在该点上递增；当f'(x)<0时，函数在该点上递减。
三、利用导数求解极值问题的步骤下面介绍如何利用函数的导数来求解极值问题的步骤：1. 根据题目或条件确定函数f(x)的表达式。
这一步是求解极值问题的起点，需要根据实际问题确定函数的表达式。
2. 计算函数f(x)的导数f'(x)。
根据函数导数的计算方法，可以得到函数f(x)的导数表达式。
利用导数求函数最值的三种方法
２０２３年６月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀利用导数求函数最值的三种方法◉甘肃省高台县第一中学㊀郭惠英㊀㊀摘要:新课标要求学生学会并运用转化与分类讨论等思想解决实际问题,能够利用导数求某些函数的极值㊁最值．在教学中,教师既要让学生熟练掌握实用的解题方法,更要注重开拓他们的解题思路,不断提高解题效率和准确率．关键词:分类讨论法;消元转化法;判断单调性法;构建新函数㊀㊀关于求函数最值与极值的问题,近年来在高考全国卷以及各地的自主命题卷中多次出现,多以选择题㊁填空题的形式出现,也与其他知识交汇在解答题中呈现, 最值与极值 问题逐渐成为高考的高频考点与热点[１],在备考中应予以高度重视．利用导数求函数的最值是一种十分简捷有效的好方法,具体解题思路是:先构造函数,明确定义域,求导;再求变号零点;最后求原函数的最值(极值)．求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的基本步骤是:先求函数f(x)在(a,b)上的极值;再求函数f(x)在区间端点的函数值f(a),f(b);最后将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．下面结合典型例题,探讨运用导数求解函数最值问题的思路与方法．１分类讨论法运用分类讨论法求函数最值的基本思路是,把整体问题化为部分问题来解决,化成部分问题后,增加了题设条件．解答这类题型的步骤是:①确定分类讨论的对象,即对哪个参数进行讨论;②对所讨论的对象进行合理分类(要求分类不重复㊁不遗漏㊁不越级㊁标准要统一);③逐类讨论;④归纳总结．例１㊀(２０２２年全国乙卷理科数学第１６题)已知x＝x１和x＝x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２(a＞０且aʂ１)的极小值点和极大值点．若x１＜x２,则a的取值范围是．解析:fᶄ(x)＝２a x l n a－２e x．因为x１,x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２的极小值点和极大值点,所以函数f(x)在(－ɕ,x１)和(x２,＋ɕ)上单调递减,在(x１,x２)上单调递增．故当xɪ(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)时,fᶄ(x)＜０;当xɪ(x１,x２)时,fᶄ(x)＞０．若a＞１,当x＜０时,２a x l n a＞０,２e x＜０,则此时fᶄ(x)＞０,与上述矛盾,故a＞１不符合题意．若０＜a＜１,则方程２a x l n a－２e x＝０的两个根为x１,x２,即方程a x l n a＝e x的两个根为x１,x２,即函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点．令g(x)＝a x l n a,则gᶄ(x)＝a x l n２a,０＜a＜１．设过原点的直线与函数y＝g(x)图象相切于点(x０,a x l n a),又切线的斜率为gᶄ(x０)＝a x l n２a,故过原点的切线方程为y－a x l n a＝a x l n２a(x－x０),则有－a x l n a＝－x０a x l n２a,解得x０＝１l n a,所以切线的斜率为l n２a a１l n a＝e l n２a．图１因为函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点(如图１),所以e l n２a＜e,解得１e＜a＜e．又０＜a＜１,故１e＜a＜１．综上所述,a的取值范围为(１e,１)．思路与方法:本题主要采用了分类讨论的方法．由x１,x２分别是函数f(x)＝２a x－e x２的极小值点和极大值点,可得当xɪ(－ɕ,x１)ɣ(x２,＋ɕ)时,fᶄ(x)＜０,当xɪ(x１,x２)时,fᶄ(x)＞０;再分a＞１和０＜a＜１两种情况讨论,方程２a x l n a－２e x＝０的两个根为x１,x２,即函数y＝a x l n a与函数y＝e x的图象有两个不同的交点,构造函数g(x)＝a x l n a;最后根据导数的意义并结合图象即可获解．２消元转化法消元转化法求最值是换元法与转化思想的综合运用．其解题思路是,通过设元消参与转化的方法,将不熟悉和难解的求最值问题转化为熟知的㊁易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的㊁直观５７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年６月上半月㊀㊀㊀的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的㊁特殊的问题,将实际问题转化为数学问题来解决．例２㊀已知函数f (x )＝e x,g (x )＝２x ,若f (m )＝g (n )成立,则n －m 的最小值为(㊀㊀)．A．１２㊀㊀㊀B ．１㊀㊀㊀C ．２－l n ２㊀㊀㊀D．２＋l n ２解法１:由f (m )＝g (n ),得e m＝２n ,解得n ＝１２e ２m(m ɪR )．设h (m )＝n －m ＝１２e ２m －m ,则h ᶄ(m )＝e ２m－１．由h ᶄ(m )＞０,得m ＞０;由h ᶄ(m )＜０,得m ＜０．所以h (m )在(－ɕ,０)上单调递减,在(０,＋ɕ)上单调递增,从而得到(n －m )m i n ＝h (０)＝１２．故正确答案为:A ．解法２:令f (m )＝g (n )＝t ,即e m＝２n ＝t ,则m ＝l n t ,n ＝１２t ２．设h (t )＝n －m ＝１２t ２－l n t ,t ＞０,则h ᶄ(t )＝t －１t ＝t ２－１t．由h ᶄ(t )＞０,得t ＞１,由h ᶄ(t )＜０,得０＜t ＜１,则h (t )在(０,１)上单调递减,在(１,＋ɕ)上单调递增,所以(n －m )m i n ＝h (１)＝１２．故正确答案为:A ．思路与方法:本题利用f (m )＝g (n ),对n －m 消元,将问题转化为单变量函数,再应用导数求函数的最小值．在解题过程中,根据需要可采用多种变形,如①m ＝l n ２n (n ＞０);②n ＝１２e ２m ;③令e m＝２n ＝t ,则m ＝l n t ,n ＝１２t ２;等等．３判断单调性法通过判断函数在某个区间上的单调性或者通过单调性得出函数的图象来求函数的最值,是最常用最简捷的一种方法．利用导数研究函数的单调性,关键在于准确判定导数的符号,当f (x )含参数时,需要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．例３㊀已知函数f (x )＝a x ３＋x ２＋b x (其中常数a ,b ɪR ),g (x )＝f (x )＋f ᶄ(x )是奇函数．(１)求f (x )的表达式;(２)讨论g (x )的单调性,并求g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值．解析:(１)由题意得f ᶄ(x )＝３a x ２＋２x ＋b ,因此g (x )＝f (x )＋f ᶄ(x )＝a x ３＋(３a ＋１)x ２＋(b ＋２)x ＋b ．因为函数g (x )是奇函数,所以g (－x )＝－g (x ),即对任意实数x ,都有a (－x )３＋(３a ＋１)(－x )２＋(b ＋２)(－x )＋b ＝－[a x ３＋(３a ＋１)x ２＋(b ＋２)x ＋b ],于是３a ＋１＝０,b ＝０,解得a ＝－１３,b ＝０．故f (x )的表达式为f (x )＝－１３x ３＋x ２．(２)由(１)知g (x )＝－１３x ３＋２x ,所以g ᶄ(x )＝－x ２＋２．令g ᶄ(x )＝０,解得x ＝－２,或x ＝２．当x ＜－２,或x ＞２时,g ᶄ(x )＜０,从而g (x )在区间(－ɕ,－２],[２,＋ɕ)上是减函数．当－２＜x ＜２时,g ᶄ(x )＞０,从而g (x )在区间[－２,２]上是增函数．综上可知,g (x )在区间[１,２]上的最大值与最小值只可能在x ＝１,２,２时取得．而g (１)＝５３,g (２)＝４２３,g (２)＝４３,因此g (x )在区间[１,２]上的最大值为g (２)＝４２３,最小值为g (２)＝４３．思路与方法:本题的第(２)问是函数在闭区间上的最值问题,关键是判断函数在该区间上的单调性,因为通过单调性即可得出函数的大致图象,进而求出最值,所以就可以避免比较端点值与极值的大小[２]．由此可见,利用函数的单调性是解决函数极值问题的一个重要方法．综上所述,利用导数求函数的最值时,首先要确定和判别函数的极大值和极小值,判断函数是否有极大值,就是判断f ᶄ(x )是否有左正右负的零点,判断是否有极小值,就是判断f ᶄ(x )是否有左负右正的零点;其次是要掌握求函数最值的常用方法与步骤．在具体解题过程中,有时需要对问题进行转化,构建新的函数,再用导数解决问题．参考文献:[１]吴永娇．聚焦函数与导数中的最值问题[J ]．中学生数理化(高考数学),２０２１(５):１８Ｇ２０．[２]李红磊．突破函数与导数问题的几种策略[J ]．高中数理化,２０２２(１５):６０Ｇ６１．Z ６７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高中数学利用导数求函数的最值
函数的最值一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值（3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。
例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。
()f x 没有最大值。
（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。
2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x （1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点（2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点8、最值点的作用（1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =-+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤-二、典型例题：例1：求函数()xf x xe-=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值解：()()'1x fx x e -=-，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：x (),1-∞()1,+∞'()f x +-()f x()()max 11f x f e∴==，无最小值小炼有话说：函数()xf x xe-=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。
利用导数解决最值问题
利用导数解决最值问题导数是微积分中一个非常重要的概念，它不仅可以用来求函数的斜率，还可以用来解决最值问题。
利用导数求函数的最大值和最小值是微积分中一个常见的应用。
本文将介绍如何利用导数来解决最值问题，包括求函数的极值点和边界点，以及判断最值是否存在的条件。
在解决最值问题前，我们首先需要了解什么是导数。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，表示函数在该点的斜率。
通过求导数，我们可以知道函数的变化趋势，从而得出函数的最值。
首先，我们来看一下求函数的极值点的方法。
极值点包括最大值和最小值。
为了求函数的极值点，我们需要先求出函数的导数，然后再求得导数为零的点，即导数的零点。
这些点就是原函数的极值点。
设函数为f(x)，则其导数为f'(x)。
假设我们要求函数f(x) = x^2的极值点。
我们首先计算出它的导数f'(x) = 2x。
然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 0。
因此，函数f(x)的极值点为x = 0。
接下来，让我们来看一下如何求函数的边界点。
边界点是函数定义域的端点。
对于一个闭区间[a, b]上的函数，其边界点就是a和b。
我们需要将这些边界点与函数的极值点进行比较，找出最大值和最小值。
举一个例子，假设我们要求函数f(x) = x^2在闭区间[-1, 1]上的最值。
我们首先计算出函数的导数f'(x) = 2x。
然后，我们将闭区间的边界点a = -1和b = 1代入导数，得到f'(-1) = -2和f'(1) = 2。
因此，函数的最小值为f(-1) = (-1)^2 = 1，最大值为f(1) = 1^2 = 1。
所以在闭区间[-1, 1]上，函数f(x)的最值都是1。
除了求得导数为零的点和边界点之外，我们还需要考虑最值是否存在的条件。
最值存在的条件有两个：一是函数在这些点上有定义，二是函数在这些点的左侧和右侧的导数符号相反。
举一个例子来说明这个条件。