垂直于弦的直径--课件
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人教版初中数学《垂直于弦的直径》免费课件
人教版初中数学《垂直于弦的直径》p pt精美 （PPT 优秀课 件）
小结：
解题方法： 在利用垂径定理解题时，通常需要作_弦__心__距_， 构造直__角__三__角__形__，把_垂__径_定理和勾__股__定理结合 起来，容易得到圆的半径r，弦心距d，和弦长 a之间的关系式_r_2___d_2___a___2 .
ห้องสมุดไป่ตู้
C
设 所在圆的圆心为O，
A
18.5 D
半径为R．
B
经过圆心O 作弦AB
R
R-7.23
的垂线OC，D为垂足. 由垂径定理可得，D 是
AB 的中点，C是 的中
O
在Rt△AOD中，
点，CD 就是拱高．
1
AD= 2
AB=18.5，OD=OC-CD=R-7.23
∵ OA2=AD2+OD2 ∴R2=18.52+(R-7.23)2
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练习4、如图是一个隧道横截面，它的形状是 以点O为圆心的圆的一部分.如果M是⊙O中弦 CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且 CD=4m，EM=6m. 求⊙O的半径.
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练习1、如图，在⊙O中，弦AB的长为8㎝，
圆心O到AB的距离为3㎝.
求⊙O的半径.
A
B
O.
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练习2、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直 且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足 分别为D，E. 求证：四边形ADOE是正方形.
人教版数学九年级上册24.垂直于弦的直径课件(共26张)
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
⌒
⌒
⌒
⌒
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）
⌒
⌒
⌒
⌒
AM－CM＝BM－DM
⌒ ⌒
∴AC＝BD
C
A
D
B
.O
N
M
A
C
A
B
.O
.O
O
E
.
A
C
D
B
D
B
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直
径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
即 AC＝BD.
O
.
A
C
E
D
B
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种
常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),
其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这
段弯路的半径.
解:连接OC.
人教版 数学 九年级 上册
进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解
决一些简单的计算、证明和作图问题.
灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
说一说
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对
称轴？
（2）你是怎么得出结论的？ 用折叠的方法
●O
圆的对称性：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
⌒ ⌒
⌒⌒
④ AC=BC
⑤ AD=BD
③ AE=BE
垂直于弦的直径课件
。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
04
垂直于弦的直径与勾股定理 的关系
勾股定理的表述
勾股定理
在一个直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理的证明方法
利用相似三角形的性质、四边形面积 的计算、代数方法等。
垂直于弦的直径与勾股定理的联系
垂直于弦的直径是直角三角形斜 边的中线。
根据勾股定理，直角三角形斜边 的中线长度等于斜边的一半。
在航海学中，勾股定理用于确定 船只的位置和航向，例如确定船
只与陆地之间的距离和角度。
05
垂直于弦的直径在现实生活 中的应用
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，垂直于弦的直径 可以用于确定桥梁的承重能力和 稳定性，确保桥梁的安全性和可
靠性。
建筑设计
在建筑设计中，垂直于弦的直径可 以用于确定建筑物的结构强度和稳 定性，保证建筑物的安全和耐久性 。
答案
$( - frac{sqrt{3}}{3},frac{sqrt{3}}{3})$
题目
已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$，直线l过 点$(a,b)$且与圆C交于A，B两点，$angle AOB = 120^{circ}$（O为坐标原点），则实数r的取值范围是 ____．
感谢您的观看
THANKS
弦
连接圆上任意两点的线段 。
直径
经过圆心，并且两端点都 在圆上的线段。
性质
弦的中垂线经过圆心
垂直于弦并且经过圆心的线段称为弦 的中垂线，它也经过圆心。
弦被直径平分
垂直于弦的直径将弦分为两段相等的 部分。
弦与直径形成的角为直角
垂直于弦的直径与弦形成的角为直角 ，即弦与直径垂直。
课件《垂直于弦的直径》优质PPT课件_人教版2
B
O·
1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.
2m,求桥拱的半径(精确到0. 做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况. 2m,求桥拱的半径(精确到0.
A
C
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
方法归纳:
解决有关弦的问题时，经常连接半径； 过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为 应用垂径定理创造条件。
垂径定理经常和勾股定理结合使用。
课堂讨论
①
根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为B M, M
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
5．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且 相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证四边形ADOE是正方形．
8cm
小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧；
做这类问题是，思考问题一定要全面，考虑到多种情况.
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
O
E
AB
O
E
A
B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm 。 A E
第课时 垂直于弦的直径(共26张PPT)
24.1 圆
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
第2课时 垂直于弦的直径
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥
主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，
拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
1.探索并了解圆的对称性和垂径定理.
2.能运用垂径定理解决几何证明、计算问 题，并会解决一些实际问题.
探究点一 圆的轴对称性
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
【针对训练】
A
探究点二 垂径定理及其推论的推导
垂径定理： 教科书第89页习题24.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
探平（究分点 弦由一（不圆）是的直垂轴径对径）称并性定且平理分弦—所构对的造两条直孤.角三角形—结合）勾股定理—建立方程．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 教科书第89页习题24. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 （2）垂径定理的推论： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 如图，连接 OA，OB，设 AO=BO， （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
重要思路： 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
能运用垂径定理解决几何证明、计算问题，并会解决一些实际问题. 探究点二 垂径定理及其推论的推导 平分弦（不是直径）并且平分弦所对的两条孤.
《垂直于弦的直径》圆PPT课件
·O
或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股
定理求解.
A
C
B
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质
垂直于弦的直径
1
理解圆的轴对称性及垂径定理的推 导.(难点)
学
习 目
2
能初步应用垂径定理进行计算和证明. （重点）
标
3
通过圆的对称性，培养学生对数学的 审美观，并激发学生对数学的热爱.
观察思考 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
你发现了什么？由此你能得到什么结论？
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
.
O
4
A1E B
2.⊙O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的距离OE=4cm，
则弦AB 的长是 6cm .
O
54
A EB
达标练习
3.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
(0, 若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
a 2
2
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
方法总结
《垂直于弦的直径》ppt
①④
①⑤ ②③ ②④ ②⑤
②③⑤
②③④ ①④⑤ ①③⑤ ①③④
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
①②④ ①②③
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
AD=BD
O · A
E D
垂直于弦的直径-PPT课件
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
Ｃ
Ｏ
垂径定理：
Ａ
ＥＢ
Ｄ
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
推论：
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
几何语言：已知：CD是直径, CD⊥AB
求证：AE=BE
A⌒D=B⌒D. A⌒C =B⌒C
·O
E
A
B
D
证明：连接OA,OB
在Rt△OAE和Rt△OBE中，
OA=OB，OE=OE ∴Rt△OAE≌Rt△OBE.（HL)
∴AE=BE. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴点A和点B关于CD对称.
⌒⌒
⌒⌒
∴ AC和BC重合, AD和BD重合.
答：⊙O的半径为5cm.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
37.4m
C
7.2m
A
D
B
R
O 问题 ：1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的 中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到
0.1m).
解决求赵州桥拱半径的问题
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴．
活动二
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
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C
·O
E
A
B
D
归纳总结
AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC
即直径CD平分弦AB，并且平分弧AB及弧ACB
由此，我们得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧．
A
C
·O
E B
两个 ① CD是直径 条件 ② CD⊥AB
可推得
几何语言表达：
③AE=BE, 三D
④A⌒C=B⌒C, 个
实践探究
把手中的圆对折，重复做几次，你发现 了什么?
可以发现：圆是轴对称图形，
任何一条直径所在直线都是它
●O
的对称轴．
实践探究(小组合作讨论）
利用手中的圆，动手折出与已知直径垂直的一条弦，并说 明你折纸的理由。在折好的圆上标出如图所示的字母，讨 论图中有哪些相等的量。
在△OAB中， ∵OA=OB ∴ △OAB是等腰三角形 又∵ AB⊥CD ∴AE=BE
⑤A⌒D=B⌒D.
结 论
∵ CD是⊙O的直径且 CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
如图，在⊙O中，弦AB的长为8 cm，圆心O 到弦AB的距离为3 cm，求⊙O的半径．
解： 如图，连接OA,过点O作OE⊥AB于点E
A
OE AB
AE 1 AB 1 8 4
2
2
在Rt△AOE中，
AO 2 OE2 AE2
E
B
O·
AO O E 2 AE 2 = 32+42 =5cm
答：⊙O的半径为5 cm.
总结：常构造以弦、半径、弦心距为边的直角三角形，利用 垂径定理和直角三角形的相关知识来解决问题。
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
O AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
O
AE
B
求证:AC=BD
变式：若隐去原图中的大圆，连接OA，OB， 设OA=OB，
求证：AC＝BD。
O
AC
E
DB
说出你这节课的收获和体会，让大家 与你一起分享！！！
分析下列图形是否具备垂径定理的条件？
CcCC NhomakorabeaA
O
A
E
B
D
D
B
O A
O
E
BA
O EB D
是 不是 是
不是
O
C
AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。