2020新教材高中数学第九章解三角形章末整合课件新人教B版必修第四册
第九章《解三角形》本章小结——高一下学期数学人教B版必修第四册
（法二）： sinA=2sinBcosC
a2 b 2 c2
a 2b
2ab
a2 a2 b 2 c2
b=c,ABC是等腰三角形
随堂练习
例4. 已知，则下列命题中，是真命题的有哪些？
必修四教材20页B组1题
（1）若2 = 2, 则是等腰三角形；
(3)已知两角与任意一边，求其他两边和一角．
知识结构--方法点睛
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形
问题；
(3)选择正弦定理或余弦定理求解；
知识结构--方法点睛
(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中对单位、精确度的要求.
这一思路可描述如下：
课题作业
1.每小组同学分工合作，利用网络或书籍查找已有的测角仪，并
常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问
题、计算面积问题等．
随堂练习
题型三 解三角形的应用题
例 5.如图测量人员沿直线 MNP 的方向测量，测得塔顶 A 的仰别是
∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，且 MN＝PN＝500m，求塔
高 AB.
随堂练习
设 AB＝x，
∵AB 垂直于地面，
人教版普通高中数学B版必修第四册 第一章
《解三角形》
本章小结
知识结构
三角形面积
1
= sin
2
正弦定理
=
=
sin sin sin
解三角形
余弦定理
向量的数量积
2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cosB
2020_2021学年新教材高中数学第九章解三角形阶段提升课第一课解三角形学案新人教B版必修第四册2
阶段提升课第一课解三角形思维导图·构建网络考点整合·素养提升题组训练一利用正、余弦定理解三角形1.(2020·某某高一检测)在△bsinA-acosB=2b-c,则A=( )A. B. C. D.【解析】sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin C,即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-sin(A+B),即sin Bsin A-sin Acos B=2sin B-,所以sin Bsin A=2sin B-cos Asin B,因为sin B≠0,所以sin A+cos A=2,即sin=1,所以A+=+2kπ,即A=+2kπ,又A∈(0,π),所以A=.2.(2020·某某高一检测)在△ABC中,AB=5,AC=,AD为边BC的中线,且AD=4,则BC边的长为( )【解析】选D.设BC=2x,在△ABC中cos B===,在△ABD中cos B===,所以=,解得x=2(负值舍去),则BC=4.3.(2020·某某高一检测)如图,点A在△BCD的外接圆上,且sin A=,A为锐角,AD=CD=5,BD=3.(1)求AB的长;(2)求四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为sin A=,A为锐角,所以cos A=,在△ABD中,由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos A,AB2-8AB-20=0得AB=10或AB=-2(舍去),所以AB=10.(2)由(1)可知S△ABD=AB·ADsin A=×10×5×=15,因为ABCD四点共圆,所以∠A+∠C=π,所以sin C=,cos C=-,在△BCD中,由正弦定理得=,即=,得sin∠DBC=,cos∠DBC=,所以sin∠BDC=sin[π-(∠DBC+∠BCD)]=sin(∠DBC+∠BCD)=×+×=, 所以S△BCD=×BD×CD×sin∠BDC=×3×5×=3,所以四边形ABCD的面积S=15+3=18.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边,如已知A,B和c,由A+B+C=π求C,由正弦定理求a,b.(2)已知两边和这两边的夹角,如已知a,b和C,应先用余弦定理求c,再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角,如已知a,b和A,应先用正弦定理求B,由A+B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a,b,c可应用余弦定理求A,B,C.题组训练二判断三角形的形状1.(2020·仁寿高一检测)在△ABC中,cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状是( )【解析】2=,则=,即sin C+cos Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C,即sin Acos C=0,sin A≠0,故cos C=0,C=.△ABC中,若=,试判断△ABC的形状.【解析】由已知===,得=.可有以下两种解法.方法一:(利用正弦定理,将边化角)由正弦定理得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B.因为B,C均为△ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180°.即B=C或B+C=90°.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二:(利用余弦定理,将角化边)因为=,所以由余弦定理得=,即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).所以a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b42(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c22=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.三角形形状的判断方法判断三角形的形状,一般有以下两种方法:(1)将已知条件统一化成边的关系,用代数方法求解;(2)将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解.题组训练三正、余弦定理的实际应用1.(2020·仁寿高一检测)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )【解析】△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,所以BC=15.在Rt△ABC中,AB=BCtan ∠ACB=15×=15.2.如图,为了测量A、C两点间的距离,选取同一平面上B、D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为_______km.( )【解析】选A.cos B=,cos D=,因为∠B与∠D互补,所以cos B+cos D=0,所以+=0,解得AC=7(负值舍去).3.(2020·某某高一检测)为改善居民的生活环境,政府拟将一公园进行改造扩建,已知原公园是直径为200 m的半圆形,出入口在圆心O处,A为居民小区,OA的距离为200 m,按照设计要求,以居民小区A和圆弧上点B为线段向半圆外作等腰直角三角形ABC(C为直角顶点),使改造后的公园成四边形OACB的形状,如图所示.(1)若OB⊥OA时,C与出入口O的距离为多少米;(2)B设计在什么位置时,公园OACB的面积最大.【解析】(1)设∠OAB=θ,∠BAC=,则在Rt△OAB中AB2=50 000,AC2==25 000,sin θ=,cos θ=,在△OAC中,cos∠OAC=cos=cos θcos-sin θsin=,OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos=45 000,则OC=150m.(2)如图,设∠AOB=α(0<α<π),则AB2=OB2+OA2-2OB×OA×cos α=50 000-40 000cos α,又S△ABC=AC2=×AB2=12 500-10 000cos α,又S△AOB=OA×OBsin α=×200×100sin α=10 000sin α,所以S四边形OACB=S△ABC+S△AOB=12 500-10 000cos α+10 000sin α=10 000(sinα-cosα)+12 500=10 000sin+12 500,所以当sin=1,即α=时,四边形OACB面积最大为(10 000+12 500) m2.解三角形在实际生活中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常用的有测量距离问题,测量高度问题,测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.题组训练四与三角形有关的综合问题1.(2020·某某高一检测)在△ABC中,已知向量m=,且m2=,记角A,B,C的对边依次为a,b,c.若c=2,且△ABC是锐角三角形,则a2+b2的取值X围为_______.【解析】由题意得向量m=,且m2=,则m2=cos2+1=+1=,即cos=-,因为0<A+B<π,所以A+B=,即C=,因为c=2,由正弦定理得===,即a=sin A,b=sin B=sin,则a2+b2==-=-=+sin,因为△ABC是锐角三角形,即0<A<且0<B=-A<,所以<A<,即有<2A-<,所以有<sin≤1,所以<a2+b2≤8.答案:△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.【解析】(1)由·=2得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13.解得或因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.三角形综合问题的求解策略正、余弦定理将三角形中的边和角的关系进行了量化,为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据,而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合,通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题.(1)解三角形与向量的交汇问题,可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解.(2)解三角形与其他知识的交汇问题,可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换,通过等价转化或构造方程及函数求解.。
新教材人教B版高中数学必修第四册第九章解三角形
章解三角形目录•解三角形的基本概念与性质•正弦定理及其应用•余弦定理及其应用•三角形的面积公式及其应用•解三角形的实际应用举例解三角形的基本概念与性质三角形的分类根据三角形的边长和角度特征，三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等。
三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
三角形的定义与分类三角形的边与角的关系01三角形边长关系任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
02三角形内角和三角形的内角和等于180°。
03三角形外角和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
特殊三角形的性质等腰三角形的性质01两腰相等，两底角相等；三线合一（即顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合）。
等边三角形的性质02三边相等，三个内角都等于60°；三线合一（即任意一边上的中线、高及这边所对角的平分线重合）。
直角三角形的性质03有一个角为90°的三角形是直角三角形；在直角三角形中，两个锐角互余；勾股定理（即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）。
正弦定理及其应用正弦定理的推导与证明直角三角形中的正弦定理在直角三角形中，正弦定理可以通过相似三角形的性质推导出来，即任意两边之比等于它们对角的正弦值之比。
任意三角形中的正弦定理通过作高将任意三角形转化为两个直角三角形，再利用直角三角形的正弦定理进行推导和证明。
正弦定理在解三角形中的应用已知两边和夹角求第三边利用正弦定理可以求出已知两边和夹角时的第三边长度。
已知两角和夹边求第三角通过正弦定理可以求出已知两角和夹边时的第三角大小。
判断三角形的形状结合正弦定理和其他条件，可以判断三角形的形状，如等边三角形、等腰三角形等。
1 2 3利用正弦定理可以求解三角形中的最值问题，如最大角、最小角、最长边、最短边等。
在三角形中的最值问题正弦定理不仅适用于三角形，还可以应用于其他几何图形，如平行四边形、梯形等，用于求解相关边长和角度。
新教材 人教B版高中数学必修第四册 第九章 解三角形 精品教学课件(共225页)
[解]
法一：在△ABC中，根据正弦定理：
a sin
A
＝
b sin
B
＝
c sin
C
＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴2aR2＝2bR2＋2cR2， 即a2＝b2＋c2，
∴A＝90°，∴B＋C＝90°，
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)， ∴sin2B＝21. ∵B是锐角，∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)根据正弦定理，sin A＝asibn B＝sin 1320°＝12. 因为 B＝120°，所以 A＝30°，则 C＝30°，c＝a＝1
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)根据正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是 直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求的这个角是 锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为 锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两 解，分别求解即可．
a (3) sin
A
＝ sinb
B
＝ sinc
C
＝ sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C
＝2R；(证明见类型
4[探究问题])
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转
化)
(5)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.(可以实现角到边的转化)
2＋5
6.
已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对 边，再由三角形内角和定理求出第三个角． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出 第三个角，再由正弦定理求另外两边．
人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 本章总结提升
sin sin45°
,所以
=
16
14
sin B= 4 2 ,因为a<b,A=45°,所以角B有两解;选项D中,A是最大角,但a<c,所
以无解.
7
【例2】 [2023浙江温州期中]如图,在四边形ABCD中,已知A=120°,
AB⊥BC,AD=3,AB=5,C=45°.
(1)求cos∠ABD;
(2)求CD的长.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定
航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明
理由.
解(方法一)(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里,则
S= 900 2 + 400-2·30·20·cos(90°-30°)
且acos C+ 3 asin C-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,则△ABC的面积为 3 ,求b,c.
解(1)因为 acos C+ 3asin C-b-c=0,
所以 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin B-sin C=0.
所以 sin Acos C+ 3sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0,
(v2-900)t2+600t-400=0.
①若 0<v<30,则由 Δ=360 000+1 600(v2-900)=1 600(v2-675)≥0,得 v≥15 3.
-300±20 2 0
-300-20 2 -675
当 t=
2 -900
时,
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用
(2)仰角与俯角是指在同一铅垂平面内,视线与水平线的夹角,当视线在水
平线之 上 时,称为仰角,当视线在水平线之 下 时,称为俯角(如图①所示).
图①
(3)方位角:从某点的指 北 方向线起依 顺时针 方向到目标方向线间的水平
角,如:图②表示的方位角是60°,或称北偏东60°.
∴D位于A的正北方向,又∠ADC=45°,
∴台风移动的方向为向量 的方向,即北偏西 45°方向.
【易错辨析】
因忽视题设条件或定理应用不当致误
【典例】 已知A船在灯塔C北偏东80°方向,距离灯塔C 2 km处,B船在灯塔
C北偏西40°方向,A,B两船的距离为3 km,求B船到灯塔C的距离.
错解:如图所示,由题意知AB=3 km,AC=2 km,∠ACB=120°.
解:在△ABC中,AC=400 m,BC=600 m,∠ACB=60°.
由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos 60°,
则 AB=
4002
+
6002 -2
1
× 400 × 600 × ≈529.2(m),
2
所以DE=AB-AD-BE≈409.2(m).
即隧道DE长约为409.2 m.
延伸探究
在本例中,若已知角B,角C,BC,AD,BE的值,能否求DE的长?
提示:能.∵A=π-B-C,
由
=
,求出 AB,
sin sin
所以DE=AB-AD-BE.
反思感悟
在解决实际问题时,先将实际问题转化为平面几何问题,再将已知条件转化
为三角形中的边角问题,最后利用正弦定理或余弦定理解三角形.
人教B版高中同步学案数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理
cos C=
, cos B=
2 + 2 - 2
2
,
减去这
名师点睛
1.余弦定理多应用于已知两边及一角的条件下解三角形,其变式多应用于
已知三边的条件下求三角形的内角.
2.余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
3.在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,都可以知三求
边长所满足的条件.
6.在已知三角形内角的余弦值求角时,由于余弦函数y=cos x在区间(0,π)内
单调递减,所以角的余弦值与角一一对应,故不存在多解的情况.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)余弦定理只适用于锐角三角形.( × )
(2)余弦定理不适用于钝角三角形.( × )
(3)已知三角形的两边和这两边的夹角,则这个三角形是确定的.( √ )
A= 2
=
=
6 2 +(√3+1)2 2 -4 2
2× √6×(√3+1)
4 2 +(√3+1)2 2 -6 2
2×2×(√3+1)
=
1
,
2
所以A=45°,B=60°.
所以C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°.
=
√2
,
2
(方法二)由方法一可得A=45°.
2
2
2
1
=19,所以
2
c=√19.
(2)在△ABC 中,已知 a=√3,b=√2,B=45°,解三角形.
解 由余弦定理,得 b =a +c -2accos B,则 2=3+c -2√3 ×
2
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第九章 解三角形 9.1.2 余弦定理
2
2
2
+(2-1) -(2+1)
则 cos θ=
2(2-1)
(-8)
=
<0,
2(2-1)
1
解得 <a<8.故 a 的取值范围是(2,8).
2
防范措施
三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边是三条线段能
构成三角形的充要条件.
若是在锐角或钝角三角形中,则三边的制约条件还要更强.若△ABC为锐角
围.
2 + 1 > 0,
1
>
0,
错解:由题意,得
∴a>2,∴2a+1 最大.
2-1 > 0,
设长为 2a+1 的边所对的角为 θ,
2
2
2 +(2-1) -(2+1)
(-8)
1
则 cos θ=
=
<0.∴ 2<a<8.
2(2-1)
2(2-1)
1
即 a 的取值范围是 2 ,8 .
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防
π
又 cos C=
= ,∴C= .
2
2
6
π
C. 4
π
D. 12
)
3.在△ABC中,若a=2bcos C,则△ABC的形状为
答案:等腰三角形
2
2
2 + -2 2 + -2
解析:∵a=2bcos C=2b·
=
,
2
∴a2=a2+b2-c2,即b2=c2,b=c,