概率论第三章习题课(1)

p
(z) p(x,
z) x
1 x
dx
p(
z y
,
y)
1 y
dy
（8）
4. 商的分布 /
设 ( , ) 密度函数为 p(x, y) ，求 / 的分布。
F (z)
P(
z) P(
z)
p(x1, x2)dx1dx2
x1 / x2 z
令 ux2x1x2/ x2
则 xx12
ux2 x2
1,2,,
n)
相互独立，则
n
i
i1
~
N
(
n
i
,
n
2 i
)
i1 i1
这个事实有时也称为正态分布具有可加性。
在前面已经证明了普阿松分布、二项分布具有可加性，这里也说明了
正态分布具有可加性，其实还有其他一些分布也具有可加性，如 分布。
例 6（教材 135 页）
。
解：当 z 0 时，显然 p (z) 0
y)]
h' 1
( y)
p[h2( y)]h2' ( y)
(2)
例1． 设 ~ N (, 2)，则 μ ~ N (0,1) σ
证： f (x) x μ 为单调函数，则反函数 h( y) y σ
h'(y) σ 所以由定理 1，得的分布密度为
例 2.若 ~ N (, 2)，则 a b ~ N(a b,a2 2) 。
随机变量的密度函数为：
称服从自由度为 n 的 2 —分布，记作 ~ 2(n)。
这是数理统计中的一个重要分布。 特别地，当 时，(1,)就为参数为的指数分布。 由此又可以得到另两个结论： (1)m 个独立同分布的指数变量之和为-分布变量，即
E() E() E() (m,) (2) m 个独立同分布的 2 变量之和为 2 变量( 2 分布具有可加性) 2(n1) 2(n2) 2(nm) 2(n1 n2 nm)
z
z 1 2
1
01
(1
t)2
1
t
11dx
12 (1 )(
2
)
e
z
z
1
2
1(1
,
2
)
12
ez z12 1
(1 2 )
所以， ~ (1 2 , )
由此可知， 分布对它的第一个参数 具有可加性。由于 (n , 1) 为参数 22
为 n 的 2 分布，因此 2 分布也具有可加性。
特别的当 n , 1 时， 22
设 ( , ) 密度函数为 p(x, y) ，求 的分布。
F ( y) P( y) P( y) x1x2 y p(x1, x2)dx1dx2
(6)
令
u x1 x2 x2
x2
则
x1 x2
u x2
x2
，
J
(x1, x2) (u, x2)
1 0
1 1
1
(6)
y
[
p(u
x2 ,
上式关于 z 求导得
p (z) p(x, z x) dx
(3)
如果与相互独立时，有 p(x, y) p (x) p ( y)，从而
p (z) p (x) p (z x)dx
(4)
由于对称性，还可得
p ( y) p ( y x) p (x)dx
(5)
(4)和(5)是著名的卷积公式（褶积公式），简单地记作
1
y2
e 4
1
y2
e 2( 2)2
2
2 2
故 ~ N (0,2)
注：1°若1, 2 i.i.d 于 N (, 2 ) ，则1 2 ~ N (2,2 2 ) 。
2°若i (i
1,2,,n) 独立同分布于 N (,
2
)
，则
n
i
~
N (n, n 2 )
i1
3°若 i
~
N
(i
,
2 i
)
(i
（9）
例 9 设与相互独立，分别服从自由度为 n 及 m 的 2 -分布,证明
/ n ~ F(n,m) /m
上式的密度函数的分布称为参数为 m,n 的 F --分布，记作 F(m, n)
它是数理统计中最常用的分布之一。 （教材 137 页）
例 10 设 ~ N(0, 1) ， ~ 2 (n) ，且 , 相互独立，证明
x yz
x yz
0x, y1
Y
z z
2X
1）当 z 0, 时， F (z) 0
2）当 0 z 1时
F (z)
z2 2
3）当1
z
2时，
F
(z)
1
1 2
(2
z)2
3）当 z 2时， F (z) 1
z 0 z 1 所以， p (z) 2 z 1 z 2
0 else
2．差的分布
同理，可证当 f (x) 是严格单调下降函数时，有
(y)
p[h( y)]h'( y)
,
0
f () y f () 其它
所以
(
y)
p[h(
y)]
h'
(
y)
,
y
0
其它
定理 1 在使用时的确很方便，但它要求的条件“函数 f (x) 严格单调且
反函数连续可微”很强，在很多场合下往往不能满足。事实上这个条件可以
x2 )dx2 ]du
上式关于 y 求导，得的密度函数为
p (z) p(z y, y)dy p(x, x z)dx
(7)
3．积的分布
设 ( , ) 密度函数为 p(x, y) ，求 的分布。
F (z) P( z) P( z) p(x1, x2)dx1dx2
x1x2 z
例 7 如果i (i 1,2,,n) 是 n 个相互独立的随机变量，且都服从 N（0，1），
并且 2(i 1,2,,n) 都服从 2 (1) 分布，且 2(i 1,2,,n) 仍然相互独立，
i
i
其平方和 n 2 服从自由度为 n 的 2 -分布。 i i 1
即 n 个相互独立的 N（0，1）的平方和是一个参数为 n 的 2 -分布，习惯
§3.4 随机变量函数的分布
一、一维随机变量函数的分布
定理 1.设为连续型随机变量，p(x) 为其密度函数。又设 y f (x) 严格
单调，其反函数 h( y) 具有连续导数。则 f ( ) 也是一个连续型随机变量，
且其密度函数为
(
y)
p[h(
y)]
h'
(
y)
,
y
(1)
0
其它
其中 min{ f (), f ()}， max{ f (), f ()}
求随机变量 f ( ,) 的分布
则同上面一样讨论可得到
方法： F (z) P(
z) f (x, y)z
p(x, y)dxdy
1.和的分布
F (z) P( z) P( z) xyz p(x, y)dxdy
[zx p(x, y)dy]dx
令y u x
[z p(x, u x)du]dx z[ p(x, u x)dx]du
当 z 0 时，
p
(z)
p
(x) p
(z
x)dx
0z
1 (1
)
x1 1e x
2 (2 )
(z
x)2 1 e (zx) dx
12 (1)(2 )
e z
0z x11(z
x)21 dx
12 (1)(2 )
ez z2 1 0z(1
x )2 1 x 11 dx z
x t z
12 (1 )(
2
)
e
r2
e2
rdr
0z
re
r2 2
dr
所以
pz
(z)
F (z)
ze
z2 2
0
z 0， z0
Relly 分布
~ t(n) /n
（教材 139 页）
例 11 设 , 独立同分布于 N (0, 1) ，试求 / 的概率密度。
解：由于 P( 0) 0 ，所以 / 中分母为 0 的情况可以不以考虑。
p (z) p (zy) p ( y) y dy
1 2
p
(zy)
y2
ye 2
dy
1
0
(1z2 ) y2
x
n 1
2e
x 2
,
x0
0
x0
在 n=1 时的特例，也就是说 N(0，1)变量的平方是自由度为 1 的 2 变量。
例 4 设随机变量 的分布函数为严格单增的连续函数，证明
F ( ) ~ U[0, 1] 证明： F (x) 取值于[0，1]， 取值于[0，1]
当 y 0 时， F ( y) P( y) 0
( y)
p[h1(
y)]
h' 1
( y)
p[h2( y)]h2' ( y)
p( y) 1 p( y) 1
2y
2y
1
y
e2
1
1
y
e2
1
2 2 y 2 2 y
1
y
e2
1
1
y 1
e 2y 2
2
y 2
所以
(
y)
1
y 1
e 2y 2 ,
2
y0
0
y0
上述密度函数为
分布的密度函数
p(x)
n
2
2
1 (n)