第2章 可靠性基本概念与表示
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02第二章 结构可靠度的基本概念
f S ( s) f R (r )
r ≤s
∫∫
f RS ( r , s ) drds =
r ≤s
∫∫
f R ( r ) ⋅ f S ( s ) drds
干涉面积
s, r
结构的失效概率与随机变量R和S的概率密度干涉面积 密切相关，因此这种积分法又叫概率干涉法。 概率干涉法
2.2 结构的失效概率
–
首先对 r 积分, 在对 s 积分
Ps
Z
Z >0
3. 结构可靠指标
–结构可靠指标的定义：
φ Z ( z)
Ps
β = −Φ −1 ( Pf )
式中 Φ −1 为正态分布函数的反函数。 Pf
−β
0
Z
第 二 章 结构可靠度的基本概念
2. 2 结构失效概率
2.2 结构的失效概率 2.2.1 多总体基本变量的失效概率 1. 功能函数
Z = g ( X ) = g ( x1 , x2 ," , xn )
2.2 结构的失效概率
2.2.2 两综合变量的失效概率
1. 基本假定 (1) S 表示构件总的荷载效应，其PDF和CDF： f S ( s ) , FS ( s ) (2) R 表示构件的抗力，其PDF和CDF： f R ( r ) , FR ( r )
(3) R 和
f RS ( r , s ) = f R ( r ) ⋅ f S ( s ) S 是统计独立的，则有：
安全状态 极限状态 失效状态
0 Ø结构的极限状态方程
Z = g ( R, S ) = R − S = 0
S
2.1 结构可靠度的定义 Ø 极限状态方程的特点
–Z
为安全余量
r ≤s
∫∫
f RS ( r , s ) drds =
r ≤s
∫∫
f R ( r ) ⋅ f S ( s ) drds
干涉面积
s, r
结构的失效概率与随机变量R和S的概率密度干涉面积 密切相关，因此这种积分法又叫概率干涉法。 概率干涉法
2.2 结构的失效概率
–
首先对 r 积分, 在对 s 积分
Ps
Z
Z >0
3. 结构可靠指标
–结构可靠指标的定义：
φ Z ( z)
Ps
β = −Φ −1 ( Pf )
式中 Φ −1 为正态分布函数的反函数。 Pf
−β
0
Z
第 二 章 结构可靠度的基本概念
2. 2 结构失效概率
2.2 结构的失效概率 2.2.1 多总体基本变量的失效概率 1. 功能函数
Z = g ( X ) = g ( x1 , x2 ," , xn )
2.2 结构的失效概率
2.2.2 两综合变量的失效概率
1. 基本假定 (1) S 表示构件总的荷载效应，其PDF和CDF： f S ( s ) , FS ( s ) (2) R 表示构件的抗力，其PDF和CDF： f R ( r ) , FR ( r )
(3) R 和
f RS ( r , s ) = f R ( r ) ⋅ f S ( s ) S 是统计独立的，则有：
安全状态 极限状态 失效状态
0 Ø结构的极限状态方程
Z = g ( R, S ) = R − S = 0
S
2.1 结构可靠度的定义 Ø 极限状态方程的特点
–Z
为安全余量
数学建模-系统可靠性分析
2021/3/18
6
1.3 可靠性内涵
(1)可靠性按学科分类： 一般可分为：可靠性数学；可靠性工程；可靠性管理；可 靠性物理等。
(2)可靠性的技术基础： 概率论和数理统计；材料、结构、物理学；故障物理学； 基础试验技术；环境技术等。
(3)可靠性学科特点： 可靠性学科特点是：管理与技术高度结合；众多学科的综 合；反馈和循环(通过反馈与循环不断提高产品的可靠性)。
f(t)d F (t)F '(t)； 或 F (t)tf(x)d x
d t
0
2021/3/18
14
假设n(t)表示t时刻失效的产品数，△n(t)表示在(t, t+△t)时间内失效的产品数。
累 积 失 效 概 率 为 ： F ˆ(t)= 到 t时 试 刻 验 失 产 效 品 的 总 产 数 品 数 = n N (t)
R (t) 1 F (t) R (t) R (t)
t 0
t
lim P (t T t t) t 0 P (T t) t
lim F (t t) F (t)
t 0
R (t) t
F '(t) R (t)
f (t) R (t)
2021/3/18
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系列关系式：
R(t)1F(t)
失 效 率 : (t)F '(t)F '(t)f(t)R '(t)
100
99.90％ 漏导致爆炸，直到2000
1000
99.01％ 年12月完全关闭，14年
1万
90.48%
里乌克兰共有336万人遭
10万
36.79%
到核辐射侵害。
201210/30/1万8
<0.1%
可靠性的基本概念
由于环境介质、应力共同作用引 起的低应力破断
由于周期（交变）作用力引起的 低应力破坏
高温
由于两物体接触表面在接触应力 作用下有相对运动造成材料流失 所引起的一种失效方式
由于有害环境气氛的化学及物理 化学作用所引起
（2）按失效的时间特性，可分为突然失效和渐变失效。
（3）按失效原因，可分为早期失效、偶然失效和耗损失效。
Rˆ (t1
t2
|
t1 )
Ns (t1 t2 ) Ns (t1)
例：某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有 100个 损坏，工作至1000h共有500个损坏，求该批 电子器件工作到500h和1000h的可靠度。
2.失效率 (t)
失效率（Failure Rate）又称为故障率，其定义为“工作到某
理解这一定义应注意以下几个要点：
（1）产品：即可靠性的对象，包括系统、机器、零部件等。 （2）规定的条件：一般是指产品使用时的环境条件，如载荷、
温度、压力、湿度、辐射、振动、冲击、噪声、磨损、 腐蚀等等。 （3）规定的时间：机械产品可靠性明显的与时间有关，产品 的可靠性应对使用期限有明确的规定。 （4）规定的功能：在设计或制造任何一种产品时，都赋予它 一定的功能。例如机床的功能是进行机械加工。 （5）概率：概率是故障和失效可能性的定量度量，其值在0～ 1之间，如可靠度为99.9%或99.99%等。
不可修复产品：失效=报废
失效分类
（1）机械零部件的失效按失效形式划分为：变形失效、断 裂失效和表面损伤失效三大类型。
序号
1 2
3
失效类型 变形失效
断裂失效
表面损伤 失效
表2-1 失效形式分类
具体失效形式 过量弹性变形
由于周期（交变）作用力引起的 低应力破坏
高温
由于两物体接触表面在接触应力 作用下有相对运动造成材料流失 所引起的一种失效方式
由于有害环境气氛的化学及物理 化学作用所引起
（2）按失效的时间特性，可分为突然失效和渐变失效。
（3）按失效原因，可分为早期失效、偶然失效和耗损失效。
Rˆ (t1
t2
|
t1 )
Ns (t1 t2 ) Ns (t1)
例：某批电子器件有1000个，开始工作至500h内有 100个 损坏，工作至1000h共有500个损坏，求该批 电子器件工作到500h和1000h的可靠度。
2.失效率 (t)
失效率（Failure Rate）又称为故障率，其定义为“工作到某
理解这一定义应注意以下几个要点：
（1）产品：即可靠性的对象，包括系统、机器、零部件等。 （2）规定的条件：一般是指产品使用时的环境条件，如载荷、
温度、压力、湿度、辐射、振动、冲击、噪声、磨损、 腐蚀等等。 （3）规定的时间：机械产品可靠性明显的与时间有关，产品 的可靠性应对使用期限有明确的规定。 （4）规定的功能：在设计或制造任何一种产品时，都赋予它 一定的功能。例如机床的功能是进行机械加工。 （5）概率：概率是故障和失效可能性的定量度量，其值在0～ 1之间，如可靠度为99.9%或99.99%等。
不可修复产品：失效=报废
失效分类
（1）机械零部件的失效按失效形式划分为：变形失效、断 裂失效和表面损伤失效三大类型。
序号
1 2
3
失效类型 变形失效
断裂失效
表面损伤 失效
表2-1 失效形式分类
具体失效形式 过量弹性变形
第二章__可靠性的基本概念
2.3 可靠性尺度
表示产品总体可靠性水平高低的各种可靠性指
标称为可靠性尺度。
2.3.1 可靠性概率指标及其函数 1. 可靠度与失效概率
可靠度可定义：产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率，通常以“R”表示。考虑到它是时间的函数，又 可表示为R（t） ，称为可靠度函数。 如果用随机变量T表示产品从开始工作到发生失效或故障的 时间，则该产品在某一指定时刻t的可靠度为：
tr
r
失效率是产品可靠性常用的数量特征之一，失效率愈高，则 可靠性愈低。失效率的单位用单位时间的百分数表示。例如：
1 -1。比如，某型号滚动轴承的失 效率为 % 10 3 h 1 , km，次 λ(t)=5*10-5/h，表示105个轴承中每小时有5个失 效，它反映 了轴承失效的速度。
f (t ) F (t ) R(t ) f (t ) d ln Rt (t ) R(t ) R(t ) R(t ) 1 F (t ) dt
0 R(t ) e
( t ) dt
t
——可靠度函数R(t)的一般方程
说明：
(1)R(t)，F(t)，f (t)，λ(t)可由1个推算出其余3个。 (2)R(t)，F(t)是无量纲量，以小数或百分数表示。 f(t)， λ(t)是 有量纲量。 当λ(t)为恒 定值时：
① 早期失效
一般为产品试车跑合
λ(t )
早期失效期
偶然失效期
阶段。由于材料缺陷、制造工艺缺 陷、检验差错等引起。出厂前应进 行 严格的测试，查找失效原因，并 采取 各种措施，发现隐患，纠正缺 ② 正常运行期
损耗失效期
机械产品
λ=常数
电子产品
tm t
第二章 可靠性基本概念
n(t) (Nn(t))t
式中 (t) ——故障率； n(t)——t 时刻后，t 时间内故障的产品数；
Nn(t)—残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
失Hale Waihona Puke 率问题• 失效率是概率值么？ • 失效率有量纲么？ • 失效率和失效密度之间有什么关系？
失效率的单位
对于低故障率的元部件常以 109 /h 为故障率的单位，称之为菲 特（Fit）。
命。
• 解：由题意知：N＝100，n(1000)=5,
t 2 h , 0 n ( 1 0 ) 0 1 , T 0 1 6 h 0 0
根据前面公式： R(100)0950.95 F(100)0 5 0.05
100
100
f(10) 001 515 0/h (10 )01 0 5.2 6 1 50 /h
– 为了保持产品的可靠性而采取的措施 – 实际的维修工作，包括检查、修理、调整和更
换零部件等
可靠性与经济性的关系
• 经济性
– 主要指研制产品的投资费用 – 可靠性越高，投资费用越高 – 可靠性越高，维修费用和停工损
失越少 – 考虑成本的极小值
可靠性指标
可靠性指标：衡量可靠性的定量化尺度，也是描绘产品可 靠性特性的参数
能的事件或状态，称之为故障。
故障的表现形式，叫做故障模式。 引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
• 不可修产品（如电子元器件）：失效
• 产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
–偶然故障 –渐变故障
可靠度及可靠度函数
• 可靠度R(t)及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度 函数R(t)为：R(t)到t时试 刻验 仍的 在产 正品 品 常总 工 数 N数 作 Nn(的 t)
式中 (t) ——故障率； n(t)——t 时刻后，t 时间内故障的产品数；
Nn(t)—残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
失Hale Waihona Puke 率问题• 失效率是概率值么？ • 失效率有量纲么？ • 失效率和失效密度之间有什么关系？
失效率的单位
对于低故障率的元部件常以 109 /h 为故障率的单位，称之为菲 特（Fit）。
命。
• 解：由题意知：N＝100，n(1000)=5,
t 2 h , 0 n ( 1 0 ) 0 1 , T 0 1 6 h 0 0
根据前面公式： R(100)0950.95 F(100)0 5 0.05
100
100
f(10) 001 515 0/h (10 )01 0 5.2 6 1 50 /h
– 为了保持产品的可靠性而采取的措施 – 实际的维修工作，包括检查、修理、调整和更
换零部件等
可靠性与经济性的关系
• 经济性
– 主要指研制产品的投资费用 – 可靠性越高，投资费用越高 – 可靠性越高，维修费用和停工损
失越少 – 考虑成本的极小值
可靠性指标
可靠性指标：衡量可靠性的定量化尺度，也是描绘产品可 靠性特性的参数
能的事件或状态，称之为故障。
故障的表现形式，叫做故障模式。 引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
• 不可修产品（如电子元器件）：失效
• 产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
–偶然故障 –渐变故障
可靠度及可靠度函数
• 可靠度R(t)及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规 定功能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度 函数R(t)为：R(t)到t时试 刻验 仍的 在产 正品 品 常总 工 数 N数 作 Nn(的 t)
第二章 产品可靠性及其度量指标
昆明理工大学机电工程学院
2012年4月25日星期三8时37分45秒 4
第3部分：可靠性设计
第二章 产品可靠性及其度量指标
二、产品质量与可靠性 产品质量是产品满足使用要求所具备的固有属性， 产品质量是产品满足使用要求所具备的固有属性，其中 是产品满足使用要求所具备的固有属性 既包括功能指标 也包括可靠性指标 功能指标， 可靠性指标。 既包括功能指标，也包括可靠性指标。 产品的可靠性指产品在规定的条件下、规定的时间 产品的可靠性指产品在规定的条件下、 指产品在规定的条件下 内完成规定功能的能力。 内完成规定功能的能力。 “规定功能 ” 是要明确具体产品的功能是什么 ， “规定的时间 ” 是可靠性区别于产品其他质量属 规定功能” 规定的时间” 规定功能 不同 规定的时间 是要明确具体产品的功能是什么， 在讨论产品的可靠性时，还应该注意产品的可靠性 在讨论产品的可靠性时， 规定的条件不同，产品的可靠性将不同。如，同 规定的条件不同， 产品的可靠性将不同。 条件 与成本和利润三者之间的关系。 以及怎样才算是完成规定功能。 性的重要特征， 一台设备在室内、野外（寒带或热带、 与成本和利润三者之间的关系。 以及怎样才算是完成规定功能。 性的重要特征，产品的可靠性水平会随着使用或贮 一台设备在室内、野外（寒带或热带、干燥地区或 潮湿地区） 海上、空中等不同的环境条件下工作， 存时间的增加而降低。因此，以数学形式表示的可 产品丧失规定功能称为失效 失效， 潮湿地区）、海上、空中等不同的环境条件下工作， 存时间的增加而降低。因此，，对可修复产品通常 、 产品丧失规定功能称为失效 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷、 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷 在满足使用要求的前提下，尽可能保持质量、 在满足使用要求的前提下，尽可能保持质量、效 也称为故障 靠性特征量是时间的函数。 其可靠性是不同的。 故障。 也称为故障。 靠性特征量是时间的函数。 其可靠性是不同的。 强度等有关设计量及其影响因素作为随机变量对待， 随机变量对待 强度等有关设计量及其影响因素作为。 率与费用这三个基本目标间的平衡。 率与费用这三个基本目标间的平衡 随机变量对待， 这里的时间概念不限于一般的时间概念， 这里的时间概念不限于一般的时间概念，也可以 应用可靠性数学理论与方法 可靠性数学理论与方法， 应用可靠性数学理论与方法，使所设计的产品满足预 是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。 是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。 期的可靠性要求。还包括预测设计对象的可靠度、 期的可靠性要求。还包括预测设计对象的可靠度、找 出并消除薄弱环节、不同设计方案间靠性指标比较等。 出并消除薄弱环节、不同设计方案间靠性指标比较等。
2012年4月25日星期三8时37分45秒 4
第3部分：可靠性设计
第二章 产品可靠性及其度量指标
二、产品质量与可靠性 产品质量是产品满足使用要求所具备的固有属性， 产品质量是产品满足使用要求所具备的固有属性，其中 是产品满足使用要求所具备的固有属性 既包括功能指标 也包括可靠性指标 功能指标， 可靠性指标。 既包括功能指标，也包括可靠性指标。 产品的可靠性指产品在规定的条件下、规定的时间 产品的可靠性指产品在规定的条件下、 指产品在规定的条件下 内完成规定功能的能力。 内完成规定功能的能力。 “规定功能 ” 是要明确具体产品的功能是什么 ， “规定的时间 ” 是可靠性区别于产品其他质量属 规定功能” 规定的时间” 规定功能 不同 规定的时间 是要明确具体产品的功能是什么， 在讨论产品的可靠性时，还应该注意产品的可靠性 在讨论产品的可靠性时， 规定的条件不同，产品的可靠性将不同。如，同 规定的条件不同， 产品的可靠性将不同。 条件 与成本和利润三者之间的关系。 以及怎样才算是完成规定功能。 性的重要特征， 一台设备在室内、野外（寒带或热带、 与成本和利润三者之间的关系。 以及怎样才算是完成规定功能。 性的重要特征，产品的可靠性水平会随着使用或贮 一台设备在室内、野外（寒带或热带、干燥地区或 潮湿地区） 海上、空中等不同的环境条件下工作， 存时间的增加而降低。因此，以数学形式表示的可 产品丧失规定功能称为失效 失效， 潮湿地区）、海上、空中等不同的环境条件下工作， 存时间的增加而降低。因此，，对可修复产品通常 、 产品丧失规定功能称为失效 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷、 产品可靠性设计是指在产品的开发设计阶段将载荷 在满足使用要求的前提下，尽可能保持质量、 在满足使用要求的前提下，尽可能保持质量、效 也称为故障 靠性特征量是时间的函数。 其可靠性是不同的。 故障。 也称为故障。 靠性特征量是时间的函数。 其可靠性是不同的。 强度等有关设计量及其影响因素作为随机变量对待， 随机变量对待 强度等有关设计量及其影响因素作为。 率与费用这三个基本目标间的平衡。 率与费用这三个基本目标间的平衡 随机变量对待， 这里的时间概念不限于一般的时间概念， 这里的时间概念不限于一般的时间概念，也可以 应用可靠性数学理论与方法 可靠性数学理论与方法， 应用可靠性数学理论与方法，使所设计的产品满足预 是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。 是产品操作次数、载荷作用次数、运行距离等。 期的可靠性要求。还包括预测设计对象的可靠度、 期的可靠性要求。还包括预测设计对象的可靠度、找 出并消除薄弱环节、不同设计方案间靠性指标比较等。 出并消除薄弱环节、不同设计方案间靠性指标比较等。
可靠性基本概念
可靠性设计主要符号表可靠性的概念可靠性的经典定义：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力产品：指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统，可以是零件、部件，也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。
在具体使用“产品”这一词时，其确切含义应加以说明。
例如汽车板簧、汽车发动机、汽车整车等。
规定条件：一般指的是使用条件,环境条件。
包括应力温度、湿度、尘砂、腐蚀等，也包括操作技术、维修方法等条件。
规定时间：是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，一般也可认为可靠性是产品功能在时间上的稳定程度。
因此以数学形式表示的可靠性各特征量都是时间的函数。
这里的时间概念不限于一般的年、月、日、分、秒，也可以是与时间成比例的次数、距离。
例如应力循环次数、汽车行驶里程。
规定功能：道德要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。
产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。
怎样才算是失效或故障，有时很容易判定，但更多情况则很难判定。
当产品指的是某个螺丛，显然螺栓断裂就是失效；当产品指的是某个设备，对某个零件损坏而该设备仍能完成规定功能就不能算失效或故障，有时虽有某些零件损坏或松脱，但在规定的短时间内可容易地修复也可不算是失效或故障。
若产品指的是某个具有性能指标要求的机器，当性能下降到规定的指标后，虽然仍能继续运转，但已应算是失效或故障。
究竟怎样算是失效或故障，有时要涉及厂商与用户不同看法的协商，有时要涉及当时的技术水平和经济政策等而作出合理的规定。
能力：只是定性的理解是比较抽象的，为了衡量检验，后面将加以定量描述。
产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不很好地反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。
按产品可靠性的形成，可靠性可分为固有可靠性和使用可靠性。
可靠性基本概念、参数体系及模型建立
可靠性基本概念
寿命剖面与任务剖面
寿命剖面：产品从制造到寿命终结或退出使用这段时间内所经历 的全部事件和环境的时序描述
关键因素：事件、事件顺序、持续时间、环境和工作方式 包含一个或多个任务剖面，分为后勤和使用两个阶段 产品指标论证时就应提出
任务剖面：产品在规定任务这段时间内所经历的事件和环境的 时序描述
20
可靠性模型建立
基本可靠性模型和任务可靠性模型
正确区分系统原理图、功能框图、功能流程图和可靠性框图 正确建立系统基本可靠性模型和任务可靠性模型
基本可靠性模型：估计产品及其组成单元可能发生的故障引起的维修及保障 要求，全串联模型 任务可靠性模型：估计产品在执行任务过程中完成规定功能的概率，描述完 成任务过程中产品各单元的预定作用并度量工作有效性
可靠性建模方法
可靠性框图、网络可靠性模型 故障树模型、事件树模型 马尔科夫模型、Petri网模型、GO图模型 19
可靠性模型建立
可靠性框图模型
定义：为预计或估算产品的可靠性而建立的可靠性方框图和数学 模型 组成：代表产品或功能的方框、逻辑关系和连线、节点组成
节点：分为输入节点、输出节点和中间节点 输入节点：系统功能流程的起点 输出节点：系统功能流程的终点 连线：有向、无向，反映系统功能流程的方向，无向意即双向
n
RS = e
−λt
(1 +
RD λ t )
28
可靠性模型建立
典型可靠性模型
桥联系统：可靠性模型逻辑描述中出现了电路中桥式结构逻辑关 系，其数学模型较为复杂，不能建立通用的表达式 网络模型：从抽象的角度看，网络就是一个图，由一些节点及连 接节点的弧组成，应用图论理论进行分析
29
可靠性模型建立
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f (t ) f (t ) (t ) R(t ) 1 F (t )
F (t ) f (t )dt
0
t
(t )
f (t ) 1 f (t )dt
0 t
问题
故障率是概率值么？ 故障率有量纲么？ 故障率和累计故障以及概率密度函数之间 有什么关系？
2014-6-18
0
障前时间（用符号 TTF 表示）为：
TTF
1 N0
t
i 1
N0
i
当 N 0 趋向无穷时， TTF 为产品故障时间这一随机变 量的数学期望，因此，
TTF tf (t )dt
从成/败的角度来看，可靠度与系统寿命相关，且是一个 以时间为坐标的质量特征。用来度量可靠度的随机变量为 故障时间T(R.V.)。如果假设T是连续的，那么故障时间 随机变量就有概率密度函数f(t)
F (t ) f (t )dt
0
t
f (t ) dF (t )
F (t t ) F (t ) f (t ) dt
R(t ) e o
2014-6-18
( t ) dt
t
R( t ) e
t
26
(2)失效率与不可靠度（故障概率）的关系
R(t ) e 0
( t ) dt
t
R(t ) 1 F (t )
F (t ) 1 e 0
( t ) dt
t
（3）失效率与故障概率密度的关系
产品数。因此，它是故障的一个相对比率，与样本量无关。
2014-6-18
18
例2-1 有100件电子产品进行寿命试验，在时间为100h前
没有失效，在100~105h时间内失效1件，到1000h前共 失效51件。而在1000~1005h之间只失效1件。请分别求
出100h与1000h的故障概率密度与失效率。
2014-6-18 5
2.1可靠性基本概念
可靠性 产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。 产品可靠性定义的要素是三个“规定”: “规定条件”、“规定时间”、“规定功能”
2014-6-18
Introduction to Reliability Engineering_Conception
2014-6-18
17
故障率的工程计算
可按下式进行工程计算：
r(t ) (t ) N s (t )t
故障率
间隔时间内的故障数 间隔起点的存活数 时间间隔
式中r (t ) —— t 时刻后， t 时间内故障的产品数；
t ——所取时间间隔；
N s (t ) ——残存产品数。
故障率是指故障数除以单位时间再除以t时刻未发生故障的
Ns——剩余产品数
2014-6-18 7
2.2.2累积故障概率（不可靠度）
产品在规定的条件下和规定的时间内，丧失规定
功能的概率称为累积故障概率（又叫不可靠度）。
依定义可知，产品的累积故障概率是时间的函数，
即
F (t ) P(T t )
显然，以下关系成立：
r (t ) ˆ F (t ) N0
产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
偶然故障 渐变故障
2014-6-18
14
2.2.4 故障率及故障(失效）率函数 故障率
工作到某时刻尚未发生故障的产品，在该时刻后单 位时间内发生故障的概率，称之为产品的故障率。 用数学符号表示为：
dr(t ) (t ) N s (t )dt
―失效前平均工作时间”，指该产品从开始使用到失效前
的工作时间（或工作次数）的平均值 MTBF（Mean Time Between Failures 到下一次故障发生前无故障工作时间的平均值。
―平均无故障工作时间”，平均故障间隔指一次故障发生后
2014-6-18
37
平均故障前时间(MTTF)
设 N 0 个不可修复的产品在同样条件下进行试 验，测得其全部故障时间为 t1 , t2 ,, tN 。其平均故
to
图 R(t)、F(t)与f(t)关系
t
2014-6-18
13
2.2.4 故障率及故障率函数
故障及其分类 产品或产品的一部分不能或将不能完成预定功能的 事件或状态，称之为故障。 故障的表现形式，叫做故障模式。
引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
不可修产品（如电子元器件）：失效
式中 (t ) ——故障率； dr(t ) ——t 时刻后，dt 时间内故障的产品数； N s (t ) —残存产品数，即到t 时刻尚未故障的产品数。
2014-6-18
15
故障率公式的推导——用条件概率的概念
t时刻尚未失效的产品在t~t+Δt单位时间内发生失效的条件概
率
1 (t ) lim P(t T t t T t ) t 0 t
29
可靠性主要特征量之间的函数关系
2014-6-18
30
课堂练习题
写出故障率、可靠度及故障密度函数的定义，推导 出三者的关系式，并最终推导出可靠度与故障率函 数的关系式。
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31
dr (t ) (t ) N s (t )dt
式中：λ(t）——故障率； dr(t) ——t时刻后，dt时间内故障的产品数； Ns(t) ——残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
dF (t ) 1 dr (t ) f (t ) dt N 0 dt
dr (t ) dr (t ) N0 (t ) f (t ) (t ) N s (t )dt N0 (t )dt N s (t ) R(t )
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dF (t ) dR(t ) f (t ) dt dt dR(t ) (t )dt R(t )
已知
n f (t ) ˆ f (t ) n t n f (100) 1 ˆ f (100) 0.2% / h n t 100 5
ns (1000 ) 1 1000 5h
n f (t ) ˆ (t ) ns (t ) t n f (1000 ) 1 ˆ (1000 ) 0.4% / h ns (1000 ) t 49 5
Introduction to Reliability_Conception & Parameter
2
2.1可靠性基本概念
产品可靠性的研究，首先是对产品对象有深入 的了解，即产品的组成、各环节及其相互影响， 掌握产品可能的失效原因、失效过程、产品的 薄弱环节与潜在因素。 产品的结构与系统分析是产品可靠性分析的基 础，是研究可靠性的必要条件，是取得可靠性 分析的关键。 在分析产品特性结构的基础上，如何用可靠性 的观点分析、表示以及如何计算可靠性给出结 果是可靠性分析的重要步骤
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12
由密度函数的性质
0
f (t )dt 1 可知：
t 0 t
R(t ) 1 F (t ) 1 f (t )dt f (t )dt
因此， R(t ) 、 F (t ) 与 f (t ) 之间的关系如图所示。
f(t)
f(t) R(to) F(to)
上式反映t时刻失效（故障）的速率，称为瞬时失效（故障）率。 由条件概率
P(t T t t ) P(t T t t T t ) P(T t )
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故障率公式推导
P(t T t t ) (t ) lim t 0 P(T t )t F (t t ) F (t ) lim R(t ) t dF (t ) 1 f (t ) R(t ) dt R(t ) R(t ) R(t )
t ( t ) dt ln R ( t ) | 0 0 ( t ) dt
0
t
R(t ) e
t
此即可靠度与故障率函数的关系式。
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2.2.5 可靠性的寿命特征 产品的寿命是反映产品可靠性的时间指标，衡量
产品可靠性的一种尺度。
平均寿命θ ，可靠寿命Tr,特征寿命 Te 和中位寿命
6
2.2 可靠性特征量
2.2.1可靠度及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功
能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度函数 R(t)
为：
R(t ) P(T t )
N 0 r (t ) N s ˆ R(t ) N0 N0
式中 N0 — t = 0时，在规定条件下进行工作的产品数； r(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。
R(t ) F (t ) 1
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8
可靠度函数与累积故障分布函数的性质
R(t ) 与 F (t )
的性质如下表 所示：
R(t )
F (t )
取值范围 单调性 对偶性
[0，1] 非增函数
1 F (t )
[0，1] 非减函数
1 R(t )
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2.2.3 故障（失效）概率密度函数f(t)
1
T0.5
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1、平均寿命θ （Mean Life) 定义：产品寿命的平均值
设产品寿命T的故障概率密度函数为f(t)
则均值为：
E (T ) tf (t )dt
0
R(t )dt
0
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MTTF（Mean Time To Failure
F (t ) f (t )dt
0
t
(t )
f (t ) 1 f (t )dt
0 t
问题
故障率是概率值么？ 故障率有量纲么？ 故障率和累计故障以及概率密度函数之间 有什么关系？
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0
障前时间（用符号 TTF 表示）为：
TTF
1 N0
t
i 1
N0
i
当 N 0 趋向无穷时， TTF 为产品故障时间这一随机变 量的数学期望，因此，
TTF tf (t )dt
从成/败的角度来看，可靠度与系统寿命相关，且是一个 以时间为坐标的质量特征。用来度量可靠度的随机变量为 故障时间T(R.V.)。如果假设T是连续的，那么故障时间 随机变量就有概率密度函数f(t)
F (t ) f (t )dt
0
t
f (t ) dF (t )
F (t t ) F (t ) f (t ) dt
R(t ) e o
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( t ) dt
t
R( t ) e
t
26
(2)失效率与不可靠度（故障概率）的关系
R(t ) e 0
( t ) dt
t
R(t ) 1 F (t )
F (t ) 1 e 0
( t ) dt
t
（3）失效率与故障概率密度的关系
产品数。因此，它是故障的一个相对比率，与样本量无关。
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例2-1 有100件电子产品进行寿命试验，在时间为100h前
没有失效，在100~105h时间内失效1件，到1000h前共 失效51件。而在1000~1005h之间只失效1件。请分别求
出100h与1000h的故障概率密度与失效率。
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2.1可靠性基本概念
可靠性 产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力。 产品可靠性定义的要素是三个“规定”: “规定条件”、“规定时间”、“规定功能”
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Introduction to Reliability Engineering_Conception
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17
故障率的工程计算
可按下式进行工程计算：
r(t ) (t ) N s (t )t
故障率
间隔时间内的故障数 间隔起点的存活数 时间间隔
式中r (t ) —— t 时刻后， t 时间内故障的产品数；
t ——所取时间间隔；
N s (t ) ——残存产品数。
故障率是指故障数除以单位时间再除以t时刻未发生故障的
Ns——剩余产品数
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2.2.2累积故障概率（不可靠度）
产品在规定的条件下和规定的时间内，丧失规定
功能的概率称为累积故障概率（又叫不可靠度）。
依定义可知，产品的累积故障概率是时间的函数，
即
F (t ) P(T t )
显然，以下关系成立：
r (t ) ˆ F (t ) N0
产品的故障按其故障的规律可以分为两大类：
偶然故障 渐变故障
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14
2.2.4 故障率及故障(失效）率函数 故障率
工作到某时刻尚未发生故障的产品，在该时刻后单 位时间内发生故障的概率，称之为产品的故障率。 用数学符号表示为：
dr(t ) (t ) N s (t )dt
―失效前平均工作时间”，指该产品从开始使用到失效前
的工作时间（或工作次数）的平均值 MTBF（Mean Time Between Failures 到下一次故障发生前无故障工作时间的平均值。
―平均无故障工作时间”，平均故障间隔指一次故障发生后
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平均故障前时间(MTTF)
设 N 0 个不可修复的产品在同样条件下进行试 验，测得其全部故障时间为 t1 , t2 ,, tN 。其平均故
to
图 R(t)、F(t)与f(t)关系
t
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2.2.4 故障率及故障率函数
故障及其分类 产品或产品的一部分不能或将不能完成预定功能的 事件或状态，称之为故障。 故障的表现形式，叫做故障模式。
引起故障的物理化学变化等内在原因，叫做故障机理。
不可修产品（如电子元器件）：失效
式中 (t ) ——故障率； dr(t ) ——t 时刻后，dt 时间内故障的产品数； N s (t ) —残存产品数，即到t 时刻尚未故障的产品数。
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故障率公式的推导——用条件概率的概念
t时刻尚未失效的产品在t~t+Δt单位时间内发生失效的条件概
率
1 (t ) lim P(t T t t T t ) t 0 t
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可靠性主要特征量之间的函数关系
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课堂练习题
写出故障率、可靠度及故障密度函数的定义，推导 出三者的关系式，并最终推导出可靠度与故障率函 数的关系式。
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dr (t ) (t ) N s (t )dt
式中：λ(t）——故障率； dr(t) ——t时刻后，dt时间内故障的产品数； Ns(t) ——残存产品数，即到t时刻尚未故障的产品数。
dF (t ) 1 dr (t ) f (t ) dt N 0 dt
dr (t ) dr (t ) N0 (t ) f (t ) (t ) N s (t )dt N0 (t )dt N s (t ) R(t )
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dF (t ) dR(t ) f (t ) dt dt dR(t ) (t )dt R(t )
已知
n f (t ) ˆ f (t ) n t n f (100) 1 ˆ f (100) 0.2% / h n t 100 5
ns (1000 ) 1 1000 5h
n f (t ) ˆ (t ) ns (t ) t n f (1000 ) 1 ˆ (1000 ) 0.4% / h ns (1000 ) t 49 5
Introduction to Reliability_Conception & Parameter
2
2.1可靠性基本概念
产品可靠性的研究，首先是对产品对象有深入 的了解，即产品的组成、各环节及其相互影响， 掌握产品可能的失效原因、失效过程、产品的 薄弱环节与潜在因素。 产品的结构与系统分析是产品可靠性分析的基 础，是研究可靠性的必要条件，是取得可靠性 分析的关键。 在分析产品特性结构的基础上，如何用可靠性 的观点分析、表示以及如何计算可靠性给出结 果是可靠性分析的重要步骤
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由密度函数的性质
0
f (t )dt 1 可知：
t 0 t
R(t ) 1 F (t ) 1 f (t )dt f (t )dt
因此， R(t ) 、 F (t ) 与 f (t ) 之间的关系如图所示。
f(t)
f(t) R(to) F(to)
上式反映t时刻失效（故障）的速率，称为瞬时失效（故障）率。 由条件概率
P(t T t t ) P(t T t t T t ) P(T t )
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故障率公式推导
P(t T t t ) (t ) lim t 0 P(T t )t F (t t ) F (t ) lim R(t ) t dF (t ) 1 f (t ) R(t ) dt R(t ) R(t ) R(t )
t ( t ) dt ln R ( t ) | 0 0 ( t ) dt
0
t
R(t ) e
t
此即可靠度与故障率函数的关系式。
2014-6-18 34
2.2.5 可靠性的寿命特征 产品的寿命是反映产品可靠性的时间指标，衡量
产品可靠性的一种尺度。
平均寿命θ ，可靠寿命Tr,特征寿命 Te 和中位寿命
6
2.2 可靠性特征量
2.2.1可靠度及可靠度函数
产品在规定的条件下和规定的时间内，完成规定功
能的概率称为可靠度。依定义可知，可靠度函数 R(t)
为：
R(t ) P(T t )
N 0 r (t ) N s ˆ R(t ) N0 N0
式中 N0 — t = 0时，在规定条件下进行工作的产品数； r(t) — 在0到t时刻的工作时间内，产品的累计故障数。
R(t ) F (t ) 1
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可靠度函数与累积故障分布函数的性质
R(t ) 与 F (t )
的性质如下表 所示：
R(t )
F (t )
取值范围 单调性 对偶性
[0，1] 非增函数
1 F (t )
[0，1] 非减函数
1 R(t )
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2.2.3 故障（失效）概率密度函数f(t)
1
T0.5
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1、平均寿命θ （Mean Life) 定义：产品寿命的平均值
设产品寿命T的故障概率密度函数为f(t)
则均值为：
E (T ) tf (t )dt
0
R(t )dt
0
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MTTF（Mean Time To Failure