勾股定理第三课时
2024八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理第3课时应用勾股定理解数学问题课件新版新人教版
出它的面积；
【解】△ABC如图①，S△ABC＝ .
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为 a，2 a， a(a＞0)，请利
用图③中的正方形网格(每个小正方形的边长均为a)画出相
应的△ABC，并求出它的面积；
【解】△ABC如图②，可得
∵∠ABC＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°， ∵∠AOB＝90°，
∴OB＝ a，
∴OF＝OB＋BF＝ ，OA＝OC＝ .
∴AC＝CE＝ a.
易得∠PFO＝∠OEM＝90°.
∵点P的坐标为(－2 ，3)，
∴ ＝3，即a＝2.
∴OE＝OC＋CE＝
＝3
（ − ） + 的最小值.
【解】如图，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作
ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C.则AE的长
即为代数式 + ＋ （ − ） + 的最小值.
过点A作AF⊥DE交ED的延长线于点F，得到长方形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，∴EF＝ED＋DF＝3＋2＝5.
∴AE＝ ＋ ＝13，即 +
＋ （ − ） + 的最小值为13.
利用勾股定理探求格点三角形面积
11.[新考法 构图求面积法]问题背景：
在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ，
，求这个三角形的面积.
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个
∴∠CAD＝45°＝∠ACD.
∴AD＝CD＝2 cm.
勾股定理第三课时
BC = AB 2 -AC 2 ，
2 2 B′ C′ = A′ B′ -A′ C′ ．
A
A ′
C
B C′
B′
实数
一一对应
数轴上的点
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
A
-2 -1
B
0
C
1 2
D
点A表示 2 点C表示
A
2.假期中，王强和同学到某海岛上去玩探 宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东 走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又 往西走3千米，在折向北走到6千米处往东 一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？
1 6 3 2 A 8 B
当堂达标
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高 为 ． ， 的直角三角形的斜边. 2 ．长为 26 的线段是直角边长为正整数 角形ABC中,边长为无理数的边数为( A.0 B.1 C.2 D.3 )
3 ．如图所示，在正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则在网格上的三
当堂达标
5.已知如图所示，等边三角形ABC的边长为8：
（1）求高AD的长 （2）求这个三角形的面积 （答案可保留根号）
18
勾股定理
作
课本 27页
业
1 2
……
知识回忆 ： ☞
直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c的平方。
B
∵∠C=90°
a
c
b
2 2 2 ∴a +b =c
A
C
证明“HL”
问题1 在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结 论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等． 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
人教版第3课时 利用勾股定理作图
(1)请用含有 n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出 OA10 的长； (3)求出 S21＋S22＋S23＋…＋S120的值． 解：(1)OAn2＝( n－1)2＋1＝n， Sn＝ 2n(n 为正整数)． (2)OA120＝( 9)2＋1＝10， ∴OA10＝ 10．
(3)S12＋S22＋S32＋…＋S210 ＝(12)2＋( 22)2＋( 23)2＋…＋( 29)2＋( 210)2 ＝41＋24＋43＋…＋94＋140
A．2．2
B． 2
C． 3
D． 5
2．在数轴上作出表示 10的点(保留作图痕迹，不写作法)． 解：略．
知识点 2 网格中的无理数
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，1)，点 B(3，－1)，
则线段 AB 的长度为(C )
A． 2
B． 3
C． 5
D．3
4．如图，△ABC 的顶点 A，B，C 在边长为 1 的正方形网格的格
＝12(cm)， 即等腰三角形底边上的高为 12 cm． ∴S△ABC＝21BC·AD＝21×10×12＝60(cm2)．
02 中档题
9．(2019·驻马店汝南县期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°， 以点 A 为圆心，AC 长为半径作圆弧交边 AB 于点 D．若 AC＝3，BC ＝4，则 BD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
7．(2019·天水)如图，等边△OAB 的边长为 2，则点 B 的坐标为(B )
A．(1，1)
B．(1， 3)
C．( 3，1)
D．( 3， 3)
8．(教材 P27 练习 T2 变式)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13 cm， BC＝10 cm，求等腰三角形的底边上的高与面积．
八年级数学下册教学课件《勾股定理》(第3课时)
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C
点，则点C即为表示 13 的点.
l B 13 2
3
O 0
1
A•
2 3 C4
也可以使OA=2， AB=3，同样可
以求出C点.
探究新知
17.1 勾股定理
方法点拨
利用勾股定理表示无理数的方法: （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正 数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴 存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边 的点表示是正无理数.
解：如图所示，有8条.
一个点一个点地 找，不要漏解.
巩固练习
17.1 勾股定理
如图，在5×5正方形网格中，每个小正方形的边 长均为1，画出一个三角形的长分别为 2 、2、10 .
解：如图所示. A C
B
探究新知
17.1 勾股定理
知识点 4 利用勾股定理在折叠问题中求线段的长度
如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折 叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3， 求AM的长.
能力提升题
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、10、13,求这个三
角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格
（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即 △ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需 求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
探究新知
17.1 勾股定理
问题2 长为 13 的线段是直角边的长都为正整数的直角三角 形的斜边吗？
13 ?
13 ?
13 ?
1
2023年人教版八年级下册数学第十七章勾股定理第3课时勾股定理(3)
·数学
10.(人教8下P29)已知一个三角形工件尺寸(单位：mm)如图， 求高l的长(结果保留根号).
解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝l， ∵AB＝AC＝88 mm，BC＝64 mm， ∴AD是BC的垂直平分线，
∴BD＝12BC＝32 mm. 在Rt△ABD中，AD＝ AB2－BD2＝ 882－322＝ 8 105(mm)， 即高l的长为8 105 mm.
AC＝4，则AB＝ BC2＋AC2＝ 32＋42 ＝5， ∴S阴影部分＝AB2－12BC·AC＝52－12×3×4＝19.
·数学 5.【例1】(人教8下P27)如图，在数轴上作出表示 13的点. 解：如图，点A即为表示 13的点.
答案图 小结:利用勾股定理画出数轴上的无理数点.
·数学 9.(人教8下P27、北师8上P39)如图，在数轴上作出表示 17 的点. 解
解：过A点作AD⊥BC于点D， 由题意知∠ABD＝90°－60°＝30°，∠ACD＝45°， ∴AB＝2AD，CD＝AD，由勾股定理得BD＝ 3AD， ∵BC＝2.4 km＝2 400 m，∴ 3AD＋AD＝2 400， 解得AD＝1 200( 3－1)≈876＞800， 故该公路不会穿过纪念园.
·数学
2.(跨学科融合)如图，为防控新冠疫情，学校大门入口的正 上方A处装有测温仪，测温仪离地面的距离AB＝2.3米，当 人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温.当身高为1.7 米的学生CD正对门缓慢走到离门0.8米处时(即BC＝DE＝0.8 米)，测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离AD 为 1 米.
答案图
·数学 6.【例2】(人教8下P28)已知带孔的长方形零件尺寸(单位： mm)如图，求两孔中心的距离.
解：根据题意得AC＝51－21＝30(mm)， BC＝61－21＝40(mm)， 所以AB＝ AC2＋BC2＝ 302＋402＝ 50(mm)， 即两孔中心的距离是50 mm.
八年级数学下册17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算导学
第十七章勾股定理17.1勾股定理教课备注第 3 课时利用勾股定理作图或计算学习目标： 1. 会运用勾股定理确立数轴上表示实数的点及解决网格问题；2. 灵巧运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.重点：会运用勾股定理确立数轴上表示实数的点及解决网格问题.难点：灵巧运用勾股定理进行计算，并会运用勾股定理解决相应的折叠问题.自主学习学生在课前达成自主学一、知识回首习部分 1. 我们知道数轴上的点与实数一一对应，有的表示有理数，有的表示无理数. 你能在数轴上分别画出表示 3,-2.5的点吗？配套 PPT 讲授 2. 求以下三角形的各边长 .1.情形引入（见幻灯片3-4）讲堂研究2.研究点 1 新知讲解一、重点研究（见幻灯片研究点1：勾股定理与数轴5-12）1. 你能在数轴上表示出2的点吗？2呢？ ( 提示：能够结构直角三角形作出想想边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.)2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗, 即是直角边的长都为正整数？3.以下是在数轴上表示出13的点的作图过程，请你把它增补完好.(1)在数轴上找到点 A, 使 OA=______;(2)作直线 l ____OA,在 l 上取一点B，使AB=_____;(3)以原点 O为圆心，以 ______为半径作弧，弧与数轴交于 C 点，则点 C 即为表示 ______的点 .重点概括：利用勾股定理表示无理数的方法:（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边 . （ 2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左侧的点表示是负无理数，在原点右侧的点表示是正无理数.近似地，利用勾股定理能够作出长2, 3,5L为线段 , 形成如图所示的数学海螺 .典例精析例 1 如图，数轴上点 A 所表示的数为a，求 a 的值 .易错点拨 : 求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，因此所表示的数不是斜边长.针对训练1. 如图，点 A 表示的实数是（）A. 3B.5C.3D.5第1题图第2题图2. 如图，矩形ABCD中， AB=3， AD=1，AB 在数轴上，若以点 A 为圆心，对角线AC 的长为半径作弧交数轴于点M，则点 M表示的数为（）A.2B. 5 1C.101D.53. 你能在数轴上画出表示17的点吗？研究点 2：勾股定理与网格综合求线段长典例精析例 2 在如下图的 6× 8 的网格中，每个小正方形的边长都为 1，写出格点△ ABC各极点的坐标，并求出此三角形的周长．教课备注配套 PPT 讲解3.研究点 2 新知讲解（见幻灯片13-17）方法总结 : 勾股定理与网格的综合求线段长时，往常是把线段放在与网格构成的直角三角形中，利用勾股定理求其长度 .例 3如图，在2× 2 的方格中，小正方形的边长是1，点 A、 B、 C 都在格点上，求AB 边上的高 .教课备注教课备注配套 PPT 讲解配套 PPT 讲解方法总结 : 此类网格中求格点三角形的高的题，常用方法是利用网格求面积，再用面积法求高 .针对训练1.如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的田字格，只用没有刻度的直尺在这个田字格中最多能够作出多少条长度为5 的线段？2. 如图，在 5× 5 正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形5.讲堂小结（见幻灯片 29）的长分别为 2, 2, 10 .4.研究点研究点 3：勾股定理与图形的计算3 新知讲解典例精析6.当堂检测（见例 4 如图，折叠长方形ABCD的一边 AD，使点 D 落在 BC边的 F 点处，若 AB=8cm，幻灯片 22-28）（见幻灯片18-21）BC=10cm，求 EC的长 .方法总结 : 折叠问题中联合勾股定理求线段长的方法:(1)设一条未知线段的长为x( 一般设所求线段的长为x) ；(2) 用已知线数或含x 的代数式表示出其余线段长；(3) 在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个对于x 的方程； (4) 解这个方程，进而求出所求线段长.变式题如图，四边形 ABCD是边长为 9 的正方形纸片，将其沿 MN折叠，使点 B 落在 CD 边上的B′处，点 A 的对应点为 A′，且 B′ C＝ 3，求 AM的长 .教课备注6.当堂检测（见针对训练幻灯片 22-28）如图，四边形ABCD中∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， AB=2， CD=1，求四边形 ABCD的面积．1.二、讲堂小结利用勾股在数轴上表示出无理数的点往常与网格求线段长或面定理作图利用勾股定理解决网格中的问题积联合起来或计算利用勾股定理解决折叠问题及其往常用到方程思想他图形的计算当堂检测1. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形构成的网格中，点A、B 都是格点，则线段 AB 的长度为（）A.5B.6C.7D.25AB第1题图第2题图第3题图2. 小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的 2 个单位长度的地点找一个点D，而后点D做一条垂直于数轴的线段CD， CD为 3 个单位长度，以原点为圆心，以到点 C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点地点大概在数轴上（）A.2 和 3之间B.3和4之间C.4 和 5之间D.5和6之间3.如图，网格中的小正方形边长均为1，△ ABC的三个极点均在格点上，则 AB边上的高为 _ ______.4.如图，在四边形 ABCD中， AB=AD=8cm，∠ A=60°，∠ ADC=150°，已知四边形 ABCD的周长为 32cm，求△ BCD的面积．八年级数学下册17.1勾股定理第3课时利用勾股定理作图或计算导学5.如图，在矩形 ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，求重叠部分△ AFC的面积 .能力提高6.问题背景：在△ ABC中， AB、 BC、 AC 三边的长分别为5a、10、3 , 求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先成立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ ABC（即△ ABC三个极点都在小正方形的极点处），如下图．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（ 1）求△ ABC的面积；（ 2）若△ ABC三边的长分别为5a,2 2a, 17a (a ＞ 0) ，请利用图②的正方形网格（每个小正方a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．图①图②。
八年级-人教版-数学-下册-第3课时-勾股定理及其逆定理的综合应用
再根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD 的形状，从而可以求得
四边形 ABCD 的面积；
A
D
解：（1）连接 AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，
B
C
∴ AC AB2 BC2 62 82 10．
∵CD＝10，AD＝10 2 ，
∴CD2＋AC2＝102＋102＝200，AD2＝ 10 2 2＝200，
（1）学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
分析：（1）利用勾股定理的逆定理得出 C
△ABC 是直角三角形，然后利用三角形面积得出
B D
CD 的长，进而得出学校 C 是否会受噪声影响；
A
解：（1）学校 C 会受噪声影响． 理由：如图，过点 C 作 CD⊥AB 于 D， ∵AC＝150 m，BC＝200 m，AB＝250 m，
岛，再从 B 岛沿 BM 方向航行 125 km 到达 C 岛，A 港到航线 BM
的最短距离是 60 km．
（1）若轮船速度为 25 km/h，求轮船从 C 岛沿 CA 方向返回
A 港所需的时间；
M
分析：（1）在 Rt△ABD 中，利用勾股定理
C
可求得 BD 的长度，则 CD＝BC－BD；然后在
D
Rt△ACD 中，利用勾股定理可求得 AC 的长度，
∵拖拉机的行驶速度为 50 m/min，
∴100÷50＝2（min）， C
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有 2 min．
B
F D E A
例3 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝6， BC＝8，CD＝10，AD＝10 2．
（1）求四边形 ABCD 的面积．
分析：（1）连接 AC，然后根据勾股定理可以求得 AC 的长，
1.1探索勾股定理(第三课时)教学设计
1.1探索勾股定理（第三课时）教学设计第一章勾股定理1.探索毕达哥拉斯定理（III）一、学生起点分析学生的基本知识和技能：本课程内容选自《北京师范大学义务教育课程标准实验教材》第八版数学教材年级上册的第一章第一节，本节课为第三课时，课题为《拼图与勾股定理》。
在本章的前面几节课中，学生已经学习了勾股定理，了解了勾股定理的广泛使用，学习了利用割补法计算图形的面积来验证勾股定理。
学生活动经验的基础：学生在一年级学习了一些计算基本几何图形面积的方法，如切割法和补偿法，但运用面积法和割补思想解决问题意识和能力还不够，因此，可能还需要教师有意识的引导；在先前的学习过程中，学生已经经历了一些拼图、图案设计的实践活动，如制作七巧板，这些都为本节课的活动（拼图对勾股定理进行无字的证明）奠定了一定的基础。
二、学习任务分析本课题是学生初步认识了“勾股定理”后，对勾股定理探究的加深与提高，具有一定的挑战性。
课本上设计了丰富的拼图活动，让学生经过自己的操作和思考，既经历验证勾股定理的过程，获得相应的数学活动经验，又能了解中外多种方法，开阔视野，感受古代人民的聪明才智。
为此确定如下教学习目标：知识与技能目标：1.通过对几种常见毕达哥拉斯定理验证方法的分析和欣赏，了解数学知识之间的内在联系；2.体验综合运用已有知识解决问题的过程，加深对勾股定理、整数运算、面积等的理解。
过程与方法目标：1.体验用不同的益智方法验证毕达哥拉斯定理的过程，体验解决同一问题的方法的多样性，进一步理解毕达哥拉斯定理的文化价值；2．通过验证过程中数与形的结合，体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系。
3.通过丰富有趣的拼图活动，体验观察、比较、拼图、计算、推理和交流的过程，培养空间概念和有序思考、表达的能力，获得一些研究方法和经验。
情感与态度目标：1.通过丰富有趣的益智活动提高数学学习兴趣；通过探究和总结活动，学生可以获得成功的经验，克服困难，增强数学学习的信心；在合作学习活动中培养学生的合作意识和沟通能力。
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课题： 18.1勾股定理（3）
教学目标:
教学重点：勾股定理的应用。
教学难点：实际问题向数学问题的转化。
难点的突破方法：
数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性。
教学课时：1课时教学课件：白板，ppt。