2014河南专升本考试高数模拟试题二

合集下载

河南豫升专升本高等数学试题 (二)

考点19.利用拉格朗日中值定理证明连体不等式 102、试证：当0a b >>，1n >时，11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-.证明：构造函数()(1)nf x x n =>.，显然函数在[],b a 上连续且可导，满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在b a ξ<<使得1()()()n f a f b n a b ξ--=-即1()()nnn a b n a b b a ξξ--=-<<，又因为111()()()n n n nb a b n a b na a b ξ----<-<-，故11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-103. 当0x >时，证明：不等式1xxx e xe <-<证明：构造函数()xf x e =，则()xf x e '=，当0x >时，函数()f x 在区间[]0,x 上连续且可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，所以，()(0)(),(0)f x f f x x ξξ'-=<<，即1,(0)xe e x x ξξ-=<<. 而xx e x xe ξ<<，故当当0x >时，有1xxx e xe <-< 104. 证明：11111122(1,1)(1)ln n n n na a aa a n n an ++-<<>≥+证明:构造函数()ln x a f x a =，它在区间11,1n n ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦内连续且可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在11,1n n ξ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭，使得111()1(1)f f f n n n n ξ⎛⎫⎛⎫'-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即有 11111(1)1a f f n n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而有11122(1)(1)n na a an n n nξ+<<++，所以11111122(1,1)(1)ln n nn na a a aa n n a n ++-<<>≥+ 105. 证明：当0x >时，ln(1)1xx x x <+<+证明：构造函数()ln(1)f x x =+，它在区间[0,](0)x x >内连续且可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在(0,)x ξ∈，使得()(0)()f x f f x ξ'-=，即有ln(1),(0)1xx x ξξ+=<<+，而有11x x x x ξ<<++，所以ln(1)1xx x x<+<+ 106. 试证：当1,0>>>n b a 时，)()(11b a na b a b a nbn n n n -<-<---.证明：构造函数)1()(>=n x x f n,显然函数在],[a b 上连续且可导,满足拉格朗日定理的条件,从而存在a b <ξ<使得)()()(1b a n b f a f n -ξ=--即 )()(1a b b a n b a n nn<ξ<-ξ=--又因为)()()(111b a na b a n b a nb n n n -<-ξ<----,故 )()(11b a na b a b a nbn n n n -<-<---.考点20.求函数的单调增区间或减区间107. 函数y =的单调减区间为__________.解：13200(,0)3y x x -'=<⇒<⇒-∞.108. 函数2()1x f x x=+的单调递增区间为_________答案：(,2)(0,)-∞-+∞和解：函数的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，又222222(1)2(2)()(1)(1)(1)x x x x x x x f x x x x +-++'===+++，令()002f x x x '>⇒><-或.故单调增加区间为(,2)(0,)-∞-+∞和109.求曲线332y x x =-+单调区间和极值。

数学_2014年河南省豫南五市高考数学二模试卷(文科)(含答案)

2014年河南省豫南五市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项，是符合题目要求的．1. 已知集合 A ={x|x 2−2x <0}，B ={1, a}，且A ∩B 有4个子集，则a 的取值范围是（）A (0, 1)B (0, 2)C (0, 1)∪(1, 2)D (−∞, 1)∪(2, +∞)2. 已知i 是虚数单位，且z =(1−i1+i )2014+i 的共轭复数为z ¯，则z ⋅z ¯等于（） A 2 B 1 C 0 D −13. 已知向量a →=(2, 1)，a →+b →=(1, k 2−1)，则k =2是a →⊥b →的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知双曲线x 29−y 2m =1的一个焦点在圆x 2+y 2−4x −5＝0上，则双曲线的渐近线方程为（）A y =±34x B y =±43x C y =±2√23x D y =±3√24x5. 设z =x +y ，其中实数x ，y 满足{x +2y ≥0x −y ≤00≤y ≤k ，若z 的最大值为12，则z 的最小值为（）A −3B −6C 3D 66. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 4−2π3B 4−4π3C 6−4π3D 8−2π37. 已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N ∗)，且a 2+a 4+a 6=9，则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是（） A −5 B −15 C 5 D 15 8. 已知点P(sin3π4, cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0, 2π)，则tan(θ+π3)的值为（）A √3+3B √3−3C 2+√3D 2−√39. 如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH // A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB =2AA 1=2a ，EF =a ，B 1E =B 1F ．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE −D 1DCGH 内的概率为（） A 1116B 34C 1316D 7810. 已知函数f(x)={(3−a)x −3,x ≤7,a x−6，x >7,若数列{a n }满足a n =f(n)(n ∈N ∗)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是（） A [94, 3) B (94, 3) C (2, 3) D (1, 3) 11. 已知双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的焦距为2√5，抛物线y =116x 2+1与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（） A x 28−y 22=1 B x 22−y 28=1 C x 2−y 24=1 D x 24−y 2=112. 若定义在R 上的函数y =f(x)满足f(x +1)=1f(x)，且当x ∈(0, 1]时，f(x)=x ，函数g(x)={log 3x(x >0)2x+1(x ≤0)，则函数ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间[−4, 4]内的零点个数为（）A 9B 7C 5D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.）13. 若2x +y =2，则32x +3y 的最小值为________．14. 若曲线y ＝ax 2−lnx 在点(1, a)处的切线平行于x 轴，则a ＝________．15. 在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i (1≤i ≤4)，在如图所示的程序框图中，x 是这4个数据的平均数，则输出的v 的值为________．16. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 给出下列结论： ①若A >B >C ，则sinA >sinB >sinC ； ②若sinA a=cosB b=cosC c，则△ABC 为等边三角形；③若a =40，b =20，B =25∘，则△ABC 必有两解．其中，结论正确的编号为________（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 将函数y =sinπx 在区间(0, +∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n =2n a n ，其中n ∈N ∗，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，k 2.706 3.841 6.635 10.828（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：x 2=n(n 11n 22−n 12n 21)n 1∗n 2∗n ∗1n ∗2（注：此公式也可以写成k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)）19. 如图，在四棱锥E −ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，DC ⊥平面BCE ，AB =BC =CE =2CD =2，∠BCE =2π3．( I)求证：平面ADE ⊥平面ABE ； (II)求二面角A −EB −D 的大小．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，若△OAB 的面积为√3（其中点O 是椭圆的中心），椭圆的离心率为12． (I)求椭圆的标准方程；(II)请问：是否存在过点P(0,2√3)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，使得点N 恰好是线段PM 的中点，若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=ax −e x (a >0)．（1）若a =1，求函数f(x)在[m, m +l]上的最大值；（2）当1≤a ≤e +1时，求证：f(x)≤x ．选考题：从下列三道题中任选一道作答，若多做，则按22题计入总分，满分10分.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA=10，PB=5．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAP的值．【选修4-4：参数方程选讲】23. 已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2√3,π6)，曲线C的极坐标方程为ρ2+2√3ρsinθ=1．(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；(Ⅱ)若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l:{x=3+2ty=−2+t（t为参数）距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. （选做题）设函数f(x)＝|x+1|+|x−a|．(Ⅰ)若a＝2，解不等式f(x)≥5；(Ⅱ)如果∀x∈R，f(x)≥3，求a的取值范围．2014年河南省豫南五市高考数学二模试卷（文科）答案1. C2. A3. A4. B5. B6. A7. A8. D9. D10. C11. D12. C13. 614. 1215. 516. ①③17. 解：（1）由y=sinπx=0得，πx=nπ，即x=n，n∈N⋅，它在(0, +∞)内的全部零点构成以1为首项，1为公差的等差数列，则数列{a n}的通项公式a n=n．（2）∵ b n=2n a n=n⋅2n，则数列{b n}的前n项和T n=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，①则2T n=1⋅22+2⋅23+...+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，②①-②得，−T n=2+22+23+...+⋅2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=(1−n)⋅2n+1−2，则T n=2+(n−1)⋅2n+1．18. 解：（1）由已知可得，样本中有25周岁以上组工人100×300300+200=60名，25周岁以下组工人100×200300+200=40名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05=3（人），25周岁以下组工人有40×0.05=2（人），故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共C52=10种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共C31⋅C21+C22=7种，故所求的概率为：710；（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25=15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375=15（人），据此可得2×2列联表如下：所以可得k2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(15×25−15×45)260×40×30×70=2514≈1.79，因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．19. (I)证明：取BE的中点O，连OC，OF，DF，则2OF与BA平行且相等．∵ AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴ 2CD与BA平行且相等，∴ OF与CD平行且相等，∴ OC // FD；∵ BC=CE，∴ OC⊥BE，又AB⊥平面BCE．∴ OC⊥平面ABE．∴ FD⊥平面ABE．从而平面ADE⊥平面ABE；(II)解：二面角A−EB−D与二面角F−EB−D相等，由(I)知二面角F−EB−D的平面角为∠FOD．BC=CE=2，∠BCE=120∘，OC⊥BE得BO=OE=√3，OC=1，∴ OFDC 为正方形， ∴ ∠FOD =45∘．20. 解：(1)由题S △OAB =12ab =√3，ca=12又a 2=b 2+c 2… 解得a =2,b =√3， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．…(II)∵ 点N 恰好是线段PM 的中点，∴ PM →=2PN →，椭圆的标准方程为x 24+y 23=1，①(I)若直线l 的斜率存在，则可设直线l 的方程为：y =kx +2√3② 联立①②消y 得(3+4k 2)x 2+16√3kx +36=0， △=(16√3k)2−4(3+4k 2)×36>0⇒k 2>94，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−16√3k3+4k 2，③ x 1x 2=363+4k 2④…又由题可知PM →=2PN →，得x 1=2x 2⑤ ③④⑤联立消x 1，x 2得(3x 2)22x 22=643⋅k 23+4k 2…解得k 2=8120，此时直线l 的方程为y =±9√510x +2√3…(II)若直线l 的斜率不存在，M ，N 的坐标为(0,±√3)，明显不合题意．… 故所求直线l 存在，方程为y =±9√510x +2√3…21. 解：（1）a =1时，f(x)=x −e x ，∴ f′(x)=1−e x ，令f′(x)>0，解得：x <0，令f′(x)<0，解得：x >0，∴ f(x)在(−∞, 0)递增，在(0, +∞)递减，m ≥0时，f(x)在[m, m +1]递减，f(x)m ax =f(m)=m −e m ，m ≤−1时，f(x)在[m, m +1]递增，f(x)max =f(m +1)=m +1−e m+1， −1<m <0时，f(x)在[m, 0]递增，在[0, m +1]递减，f(x)max =f(0)=−1，综上f(x)max ={m +1−e m+1，m ≤−1−1,−1<m <0m −e m ，m ≥0，（2）令g(a)=x −f(x)=−ax +x +e x ，只需证明g(a)≥0在1≤a ≤e +1时恒成立，g(1)=−x+x+e x=e x>0①，g(1+e)=−x(1+e)+x+e x=e x−ex，设ℎ(x)=e x−ex，则ℎ′(x)=e x−e，x<1时，ℎ′(x)<0，x>1时，ℎ′(x)>0，∴ ℎ(x)在(−∞, 1)递减，在(1, +∞)递增，∴ ℎ(x)≥ℎ(1)=e−e=0，即g(1+e)≥0②，由①②得，g(a)≥0在a∈[1, e+1]时恒成立，故当1≤a≤e+1时，f(x)≤x．22. 解：（1）因为PA为⊙O的切线，所以PA2=PB⋅PC，又由PA=10，PB=5，所以PC=20，BC=20−5=15…．因为BC为⊙O的直径，所以⊙O的半径为7.5．…（2）∵ PA为⊙O的切线，∴ ∠ACB=∠PAB，…又由∠P=∠P，∴ △PAB∽△PCA，∴ ABAC =PBPA=510=12…设AB=k，AC=2k，∵ BC为⊙O的直径，∴ AB⊥AC，∴ BC=√k2+(2k)2=√5k…∴ sin∠BAP=sin∠ACB=ABBC =k√5k=√55…23. 解（1）∵ P点的极坐标为(2√3,π6)，∴ x P=2√3cosπ6=2√3×√32=3，y P=2√3sinπ6=2√3×12=√3．∴ 点P的直角坐标(3,√3)把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入ρ2+2√3ρsinθ=1可得x2+y2+2√3y=1，即x2+(y+√3)2=4∴ 曲线C的直角坐标方程为x2+(y+√3)2=4．（2）曲线C的参数方程为{x=2cosθy=−√3+2sinθ（θ为参数），直线l的普通方程为x−2y−7＝0设Q(2cosθ,−√3+2sinθ)，则线段PQ的中点M(32+cosθ,sinθ)．那么点M到直线l的距离d=|32+cosθ−2sinθ−7|√12+22=|cosθ−2sinθ−112|√5=√5sin(θ−φ)+112√5≥−√5+112√5=11√510−1，∴ 点M到直线l的最小距离为11√510−1．24. （I）当a＝2，f(x)＝|x+1|+|x−2|，不等式f(x)≥5即|x+1|+|x−2|≥5．而|x+1|+|x−2|表示数轴上的x对应点到−1、2对应点的距离之和，且−2和3对应点到−1、2对应点的距离之和正好等于5，故当x≤−2或x≥3时，|x+1|+|x−2|≥5成立．综上，不等式的解集为{x|x≤−2或x≥3}．(II)若a＝−1，f(x)＝2|x+1|，不满足题设条件．若a<−1，f(x)={−2x+a−1,x≤a−1−a,a<x<−12x+1−a,x≥a，f(x)的最小值等于−1−a．若a>−1，{−2x+a−1,x≤−11+a,a<x<−12x+1−a,x≥a，f(x)的最小值等于1+a．所以∀x∈R，f(x)≥3的充要条件是|a+1|≥3，故有a≤−4，或a≥2，从而a的取值范围是(−∞, −4]∪[2, +∞)．。

2014专升本高等数学真题及答案

河南省2014年普通高校等学校选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试高等数学一．选择题（每小题2分，共60分）1.函数2()sin 9ln(1)f x x x =-+-的定义域是（）A.(1,3] B.(1,)+∞ C.()3,+∞ D.[3,1)-2.已知2(2)2f x x x =-,则()f x =（）A.2114x + B.2114x - C.214x x - D.114x +3.设()f x 的定义域为R ,则()()()g x f x f x =--.()A.是偶函数 B.是奇函数C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数4.已知224lim 42x ax x →+=--,则（）A.1a =- B.0a = C.1a = D.2a =5.1x =-是函数2212x y x x -=--的（）A.跳跃间断点B.可去间断点C.连续点D.第二类间断点6.当x→0时，比1cos x -高阶的无穷小是（）A.211x +- B.2ln(1)x +C.sin xD.3arctan x7.已知()ln f x x =,则220()()lim 2h f x h f x h→+-=（）A.2ln xx -Bln x x C.-21xD.1x8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩(t 为参数）。

在2t=对应点处切线的方程为（）A.1x =B.1y =C.1y x =+ D.1y x =-9.函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程'()0f x =实根的个数为（）A.2B.3C.4D.510.设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数。

则dy dx=A.11x y x +-- B.21y xy x --C.11y x+- D.12x x xy---11.已知函数()f x 在区间[]0,a （a>0)上连实，(0)f >0且在（0，a)上恒有'()f x >0,设10()aS f x dx =⎰,2(0)S af =,1S 与2S 的关系是（）A.1S <2SB.1S =2SC.1S >2S D.不确定12.曲线31y x =+()A.无拐点B 有一个拐点C.有两个拐点D.有三个拐点13.曲线y=12x -的渐近线的方程为（）A.0,1x y ==B1,0x y ==C.2,1x y == D.2,0x y ==14.设()F x 是()f x 的一个原函数则()xx e f e dx --⎰=()A.()xF e c -+ B.()xF e c --+C.()x F e c+ D.()xF e c-+15.设()f x 在[],a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线x=a,x=b,y=0所围成平面图形的面积为（）A ()baf x dx⎰B.()baf x dx⎰C.()b af x dx ⎰D.()()()f b f a b a --16.设()f x 是连实函数，满足()f x =21sin 1x x ++_11(),f x dx -⎰则lim ()x f x →∞=（）A.B.-6πC.3πD6π17.设()f x =(1)sin ,xt tdt -⎰则'()f x =()A.sin cos x x x +B.(1)cos x x- C.sin cos x x x- D.(1)sin x x-18.下列广义积分收敛的是（）A.2ln xdx x+∞⎰B.11dx x+∞⎰C.2111dx x -⎰D.1cos xdx+∞⎰19.微方程0dx dy y x+=的通解是（）A.2225x y += B.34x y c+= C.22x y c+= D.227y x -=20解常微方程''2'xy y y xe -+=的过程中，特解一般应设为（）A.2=)xy Ax Bx e+半（ B.=xy Axe半 C.=xy Ae半 D.2=()xy x e Ax B +半21.已知a,b,c 为非零向量，且0a b ⋅=，0b c ⨯=则（）A.a b ⊥ 且b cB.a b b c⊥ 且 C.a c b c⊥ 且 D.a c b c⊥ 且22、直线L:==3-25x y z与平面π：641010x y z -+-=的位置关系是（）A、L 在π上B、L 与π平行但无公共点C、L 与π相交但不垂直D、L 与π垂直23、在空间直角坐标系内，方程222-y =1x 表示的二次曲面是（）A、球面B、双曲抛物面C、圆锥面D、双曲柱面24、极限0y 02lim+1-1x xyxy →→=（）A、0B、4C、14D、-1425、点（0,0）是函数z xy =的（）A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点26、设{}(,)21D x y x y =≤≤，则()+Dxy y dxdy ⎰⎰=（）A、0B、-1C、2D、127、设(),f x y 为连续函数，()()122-01,+,x xdx f x y dy dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到（）A、()212,yy dy f x y dx⎰⎰B、()2,ydy f x y dx⎰⎰C、()12-0,y ydy f x y dx⎰⎰D、()2022,yy dy f x y dx⎰⎰28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则2+Lx dy ydx ⎰=（）A、1B、2C、0D、-113.下列级数条件中收敛的是（）A、2n=12n-1n +1∞∑B、n nn=11-3∞∑（1）C、22n=1n +n+1n -n+1∞∑D、nn=11-n∞∑（1）30、级数2n=114n -1∞∑的和是（）A、1B、2C、12D、14二、填空题（每题2分，共20分）31、设-1=-1x x f x x x ⎛⎫≠⎪⎝⎭（0,1），则()f x =______.32、设连续函数()f x 满足22()()f x x f x dx =-⎰,则2()f x dx ⎰=______.33、已知(){,1ln 1x a x x x f x -<≥=，，若函数()f x 在1x =连续，则a=______.34、设33'(1)12f x x +=+是()01f =-，则()f x =______.35、不定积分cos 2xdx ⎰=______.36、若向量{}{}{}0,1,1;1,0,1;1,1,0a b c ===则()a b c ⨯ =______.37、微分方程"4'40y y y -+=的通解()y x =______.38、设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则'(1,0)x f =______.39、函数()222,,f x y z x y z =++在点（1，1,1）处方向导数的最大值为______.40、函数()112f x x=-的幂级数展开式是______.三、计算题（每题5分，共50分）41、求极限20(1)lim1tan -1x x x e x x→-++42、设n a 为曲线ny x =与1(1,2,3,4...)n y xn +==所围的面积，判定级数1n n na ∞-∑的敛散性43.求不定积分21xdx x -⎰.44.计算定积分402x dx -⎰.45.解方程3xy y x '-=.46.已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求dz .47.已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --求ΔABC 的面积.48.计算二重积分22lnDx y dxdy +⎰⎰,其中22{(,)14}D x y x y =≤+≤.49.计算曲线积分22(1)(1)y x dx x y dy <++-⎰其中L 是圆221x y +=（逆时针方向）.50.试确定幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数.四．应用题（每小题7分，共14分）51.欲围一个面积150平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米6元，其余三面是每平方3元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？52.已知D 是抛物线L:22y x =和直线12x =所围成的平面区域，试求：（1）区域D 的面积（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积.五．证明题（6分）53.设2e a b e <<<证明2224ln ln ()b a b a e ->-2014专升本真题答案一．选择题1-10A C B A B D B B C B 11-20C B D B C B D C C D 21-30B D D B A A C A D C 二．填空题31.1x 32.8933.134.21x x --35.1sin 22x c=36.237.2212xx x c ec e+38.239.2340.2n nn x ∞=∑,11(,)22x ∈-41.2030303030320220220(1)1tan 11tan 1(1tan 1)1tan (1)(1tan 1)tan 2tan 6sec 16tan 66lim limlimlimlimlim lim lim x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-+-+=+-++++=+-++++=-=-=-===42.解：由题意知112110111(1212(1)(2)n n n n n x x a x x dx n n n n n n +++⎡⎤=-=-=-=⎢⎥++++++⎣⎦⎰）1131123231112(1)(2)(1)(2)1(1)(2)lim 101(1)(2)1(1)(2)n n n n n n n n n n n n nna n n n n nn n n n n n n n a n n n∞∞==∞∞→∞==∞∞∞=====++++++=>++++∑∑∑∑∑∑∑故此级数为正项级数且u 由正项级数比较判别法的极限形式知故与级数的敛散性相同且为收敛级数，故为收敛级数即级数收敛43.22212221122211(1)2111(1)(1)21(1)11212xdx d x x x x d x x c x c--+=---=---=+=-+-+⎰⎰⎰44.42x dx-⎰4422422022(2)2222224x dx x dxx x x x =-+-⎡⎤⎡⎤=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+=⎰⎰45.原方程可化为21'y y x x-=为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为112ln 2ln 2231(+c)2=2x xx xdx x e dx c e x e dx c x x dx c x x xdx c x x x cx ----⎡⎤⎰⎰⋅+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=+⎰⎰⎰⎰y=e 46..'''''''2,,22222xy z xy xy z x y Z xy x zz xy y zz xy xyz z z e F ye F xe F e F zye x F e F z xe y F e z zdz dx dy x yye xe dx dy e e --------+=-=-=-∂=-=∂-∂=-=∂-∂∂=+∂∂=+--解：令F(x,y,z)=e 则故所以47.解：{}AB=3,34-- ，，{}AC=2,11-- ，{}AB*AC=3341,5,3211i j k--=--AB ×AC=22215335++=ABC 的面积等于12AB ×AC =35248.在极坐标下22221221222211222122122212lnln .2ln 22.ln ln 22122ln .224ln 224ln 2434ln 2x r rr r x y dxdy d rdrr dr r l d r dr rdrr l θπππππππππ+==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰49.由格林公式知2222222222212013410(1)(1)(1)(1)1(1)(1)()(2242x oy x dx x y dy x y y x dxdy y x y y x dxdy x y dxdyd r rdr r drr l θπππ++-⎧⎫⎡⎤⎡⎤∂-∂+⎪⎪⎣⎦⎣⎦=-+=⎨⎬∂∂⎪⎪⎩⎭⎡⎤=--+⎣⎦=-+=--=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中D：x 用极坐标计算）50.解：幂级数01n n x n ∞=+∑中11n a n =+有公式知112limlim 111n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+故收敛半径11R ρ==，收敛区间为(1,1)-1x =-时，幂级数为0(1)1nn n ∞=-+∑收敛；1x =时，幂级数为011n n ∞=+∑发散；故幂级数01nn x n ∞=+∑的收敛域为[1,1)-设幂级数01n n x n ∞=+∑的和函数为()s x ，即0()1nn x s x n ∞==+∑则10()1n n x xs x n +∞==+∑由100111n n n n x x n x +∞∞=='⎛⎫== ⎪+-⎝⎭∑∑则1(1)00011(1)ln 111n x x x n x dx d x n x x +∞-===--=-+--∑⎰⎰故(1)()ln x xs x -=-即(1)1()ln x s x x-=-51.解：设场地的长为x ，宽为y ，高为h 。

14年专升本高数真题

2014年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．本卷的试题答案必须答在答题卡上，答在卷上无效．一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．函数ln(1)y x =-的定义域是A ．(1,3]B ．()1, +∞C ．(3,)+∞D ．[3,1)- 2．已知2(2)2f x x x =-，则()f x =A ．2114x + B ．2114x -C ．214x x - D ．114x + 3．设()f x 的定义域为R ，则()()()g x f x f x =--A ．是偶函数B ．是奇函数C ．不是奇函数也不是偶函数D ．是奇函数也是偶函数4．已知224lim42x ax x →+=--，则 A ．1a =-B ．0a =C ．1a =D ．2a =5．1x =-是函数2212x y x x -=--的A ．跳跃间断点B ．可去间断点C ．连续点D ．第二类间断点6．当0x →时，比与1cos x -高阶的无穷小是A 1B ．2ln(1)x + C ．sin xD ．3arctan x7．已知()ln f x x =，则220()()lim2h f x h f x h→+-=A ．2ln xx - B ．ln xxC ．21x -D ．1x8．曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则π2t =对应点处切线的方程为A ．1x =B ．1y =C ．1y x =+D ．1y x =-9．函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则方程()0f x '=实根的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 10．设()y y x =是由方程xy xy e =+确定的隐函数,则d d yx= A ．11x yx +--B ．21y xyx --C ．11yx+- D ．12xx xy---11．已知函数()f x 在区间[0,](0)a a >上连续，(0)0f >且在(0,)a 上恒有()0f x '>.设120()d ,(0)as f x x s af ==⎰，1s 与2s 的关系是A ．12s s <B ．12s s =C ．12s s >D ．不确定12．曲线31y x =+的拐点，则 A ．无拐点 B ．有一个拐点 C ．有两个拐点 D ．有三个拐点13. 曲线12y x =-的渐近线的方程为 A ．0,1x y == B ．1,0x y ==C ．2,1x y ==D ．2,0x y ==14. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则()d xx ef e x --=⎰A. C e F x+-)( B. C eF x+--)(C. C e F x+)( D. C eF x+-)(15. 设)(x f 在],[b a 上连续，则由曲线)(x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成平面图形的面积为 A.()d b af x x ⎰B.()d b af x x ⎰C.|()|d b af x x ⎰D.|()()|()f b f a b a -- 16．设()f x 是连续函数，满足1211sin ()()d 1xf x f x x x-+=-+⎰，则lim ()x f x →∞= A ．0 B ．π6- C ．π3 D ．π617．设0()(1)sin d xf x t t t =-⎰，则()f x '=A. sin cos x x x +B. (1)cos x x -C. sin cos x x x -D. (1)sin x x -18．下列广义积分收敛的是 A ．2lnxd xx +∞⎰ B．1+∞⎰C．21⎰D ．1cos d x x +∞⎰19．微分方程d d 0x y y x+=的通解是 A ．2225x y += B ．34x y C += C ．22x y C += D ．227y x -= 20．解常微分方程2xy y y xe '''-+=的过程中，特解一般应设为 A ．xe Bx Ax y )(2+=* B ．xAxe y =*C ．xAe y =* D ．)(2B Ax e x y x+=*21．已知c b a,,为非零向量，且0a b ⋅=，0b c ⨯=，则A. //a b 且b c ⊥B. a b ⊥且//b cC. //a c 且b c ⊥D. a c ⊥且//b c 22．直线:325x y z L ==-与平面π:641010x y z -+-=的位置关系是 A ．L 在π上 B ．L 与π平行但无公共点C ．L 与π相交但不垂直D ．L 与π垂直23．在空间直角坐标系内，方程2221x y -=表示的二次曲面是 A. 球面 B.双曲抛物面 C.圆锥面 D.双曲柱面 24．极限0x y →→=A ．0B ．4C ．14D ．14-25．点（0,0）函数z xy =的A.驻点B.极值点C.最大值点D.最小值点 26．设{(,)|||2,||1)D x y x y =≤≤，则()d d Dxy y x y +=⎰⎰A.0B.-1C.2D. 1 27. 设),(y x f 为连续函数，12201d (,)d d (,)d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰交换积分次序后得到A ．2102d (,)d yy y f x y x ⎰⎰ B ．20d (,)d yy f x y x ⎰⎰C ．120d (,)d yyy f x y x -⎰⎰D ．2022d (,)d yy y f x y x ⎰⎰28. L 为从点(0,0)经点(1,0)到点(1,1)的折线,则2d d Lx y y x +=⎰A. 1B. 2C. 0D. -1 29. 下列级数条件收敛的是A. 21211n n n ∞=-+∑ B. 11(1)3n n n ∞=-∑C. 22111n n n n n ∞=++-+∑ D. ∑∞=-11)1(n n n30．级数21141n n∞=-∑的和是A ．1B ．2C ．12 D ．14二、填空题（每小题2分，共20分）31．设1(0,1)1x x f x x x -⎛⎫=≠⎪-⎝⎭，则()____f x =. 32．设连续函数()f x 满足22()()d f x x f x x =-⎰，则2()d ____f x x =⎰.33．已知,1()ln ,1x a x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，若函数()f x 在1x =处连续，则_____a =.34．设()33112f x x '+=+，且(0)1f =-，则()____f x =．35．不定积分cos 2d x x =⎰．36．若向量{0,1,1}a =，{1,0,1}b =，{1,1,0}c =，则()____a b c ⨯⋅=.37．微分方程440y y y '''-+=的通解()y x = ． 38．设arctan222(,)ln()cos y xf x y ex y xy =+，则(1,0)______x f '=.39．函数222(,,)f x y z x y z =++在点(1,1,1)处方向导数的最大值为 ______. 40．函数1()12f x x=-的幂级数展开是______________.三、计算题（每小题5分，共50分）41．求极限2x x →.42．设n a 为曲线ny x =与1n y x +=(1,2,3,4,)n =所围成的面积，判定级数1n n ∞=的敛散性.43．求不定积分x ．. 44．计算定积分40|2|d x x -⎰.45．解方程3xy y x '-=的通解． 46．已知函数(,)z f x y =由方程20xyz ez e --+=所确定，求d z ．47．已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --，求ABC ∆的面积. 48．计算二重积分d Dx y ⎰⎰，其中22{(,)|14}D x y x y =≤+≤.49．计算曲线积分22(1)d (1)d Ly x x x y y ++-⎰，其中L 是圆周221x y +=（逆时针方向）.50．试确定级数01nn x n ∞=+∑的收敛域并求出和函数．四、应用题（每小题7分，共14分）51．欲围一个面积为150平方米的矩形场地.所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.问场地的长、宽各为多少时，才能使造价最低？52．已知D 是抛物线2:2L y x =和直线12x =所围成平面区域.试求: (1) 区域D 的面积；（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体的体积. 五、证明题（6分）53．设2e a b e <<<，证明 2224ln ln ()b a b a e ->-.。

14年专升本高数真题答案

2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学解析及解析一、选择题（每小题2分,共60分）1．解析:A【解析】:2901310x x x ⎧-≥⇒<≤⎨->⎩,应选A.2．解析:C 【解析】:2211(2)(2)2()44f x x x f x x x =-⇒=-,应选C.3．解析:B【解析】:()()()()g x f x f x g x -=--=-,所以()g x 是奇函数,应选B.4．解析:A【解析】:222lim(2)0lim(4)04401x x x ax a a →→-=⇒+=⇒+=⇒=-,应选A.5．解析:B【解析】:因221(1)(1)2(1)(2)x x x y x x x x --+==--+-,所以1x =-是函数2212x y x x -=--地可去间断点,应选B.6．解析:D【解析】:211cos 2x x - ,33arctan x x ,所以比与1cos x -高价地无穷小是3arctan x ,应选D.7．解析:B【解析】:222200()()1()()limlim 22h h f x h f x f x h f x h h→→+-+-=()()2211()ln 22f x x ''==ln x x =,应选B.8．解析:B 【解析】:πππ222d cos =0d 2sin t t t t t y y t k x x t==='==='-切,π2t =对应点为（0,1）,所以切线方程为1y =,应选B.9．解析:C【解析】:函数()f x 在[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]四个区间上均满足罗尔中值定理,至少存在4个实数使得()0f x '=成立,而方程()0f x '=是4次多项式方程,最多有4个实根.故方程()0f x '=实根地个数为4,应选C.10．解析:B【解析】:d d d d (1)d ()d xxy x y y x e x x y y e x =++⇒-=+,所以d 2d 11x y y e y xy x x x+-==--,应选B.11．解析:C【解析】:()f x 在区间[0,](0)a a >上是增函数,有()(0)0f x f >>,从而120()d (0)d (0)a as f x x f x af s =>==⎰⎰,应选C.12．解析:B【解析】:60y x ''==,只有一个拐点（0,1）,应选B.13. 解析:D【解析】:因为1lim lim02x x y x →±∞→±∞==-;221lim lim 2x x y x →→==∞-所以渐近线方程为2,0x y ==,应选D.14. 解析:B 【解析】:()d ()d ()xx x x x e f e x f e e F e C -----=-=-+⎰⎰,应选B.15. 解析:C【解析】:根据定积分几何意义可知,围成平面图形面积为|()|d b af x x ⎰,应选C.16．解析:B 【解析】:令11()d f x x a -=⎰,则21sin ()1xf x a x +=-+,所以11112211111sin ()d d d d 11x f x x x x a x x x ----=+-++⎰⎰⎰⎰,即有π22a a =-,故π6a =,从而1211sin πlim ()lim lim ()d 16x x x x f x f x x a x -→∞→∞→∞+=-=-=-+⎰,应选B.17．解析:D【解析】:()(1)sin f x x x '=-,应选D.18．解析:C 【解析】:21d 1x x -⎰是12q =地q 广义积分,是收敛地,应选C.19．解析:C【解析】:方程化为2222d d 0d()0x x y y x y x y C +=⇒+=⇒+=,应选C.20．解析:D【解析】:xxe 中多项式函数是一次函数,指数函数中x 系数1是二重特征根,特解应设)(2B Ax e x y x+=*,应选D.21．解析:B【解析】:0a b a b ⋅=⇒⊥, 0//b c b c ⨯=⇒,应选B.22．解析:D【解析】:因{3,2,5}//{6,4,10}--,所以直线与平面垂直,应选D.23．解析:D【解析】:2221x y -=在平面内表示双曲线,从而在空间直角坐标内表示双曲柱面,应选D.24．解析:B【解析】:0000002(11)2limlim 2lim(11)411x x x y y y xy xy xyxy xy xy →→→→→→++==++=+-,应选B.25．解析:A 【解析】:因0,0z zy x x y∂∂====∂∂,所以点（0,0）函数z xy =地驻点,应选A.26．解析:A【解析】:根据二重积分地对称性有()d d 0Dxy y x y +=⎰⎰,应选A.27. 解析:C【解析】:积分区域为{(,)|01,0}{(,)|12,02}x y x y x x y x y x ≤≤≤≤⋃≤≤≤≤-,画出图形,也可表示为{(,)|01,2}x y y y x y ≤≤≤≤-,应选C.28. 解析:A【解析】:从(0,0)到(1,0)曲线可表示为0x xy =⎧⎨=⎩x 从0 变到1,有12d d 0L x y y x +=⎰,从(1,0)到(1,1)曲线可表示为1x y y=⎧⎨=⎩y 从0 变到1,2120d d d 1L x y y x y +==⎰⎰,故有2d d 1Lx y y x +=⎰,应选A.29. 解析:D 【解析】:显然级数∑∞=-11)1(n nn是收敛地,而级数11n n∞=∑是发散地,应选D.30．解析:C【解析】:21111114122121n n n n n ∞∞==⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭∑∑,所以111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,111lim lim 12212n n n S S n →∞→∞⎛⎫==-= ⎪+⎝⎭,应选C.二、填空题（每小题2分,共20分）31．解析:x1.【解析】:因为111x f x x x-⎛⎫=⎪-⎝⎭,所以1()f x x =.32．解析:98.【解析】:设20()d f x x a =⎰,则2()f x x a =-,所以222008()d ()d 23a f x x x a x a ==-=-⎰⎰,从而有89a =,即208()d 9f x x =⎰.33．解析:1=a .【解析】:因11lim ()lim ln 0x x f x x ++→→==,11lim ()lim()1x x f x x a a --→→=-=-,所以10a -=,即1a =.34．解析:12--x x .【解析】:因()3312(1)1f x x '+=+-,所以()21f x x '=-,即有()2f x x x C =-+,把(0)1f =-代入得1C =-,故()21f x x x =--.35．解析:C x +2sin 21.【解析】:11cos 2d cos 2d(2)sin 222x x x x x C ==+⎰⎰.36．解析:2.【解析】:因011{1,1,1}101i j k a b ⨯==-,所以()1111102a b c ⨯⋅=⨯+⨯-⨯= .37．解析:()xex C C 221+.【解析】:微分方程地特征方程为2440r r -+=,特征根为122r r ==,故微分方程地通解为212()()xy x C C x e =+.38．解析:0.【解析】:因2(,0)ln f x x =,所以2ln (,0)x xf x x'=,故(1,0)0x f '=.39．解析:32.【解析】:方向导数地最大值就是梯度地模,梯度为{}(1,1,1)grad (1,1,1)2,2,2{2,2,2}f x y z ==,|grad (1,1,1)|23f =,故方向导数地最大值为23.40．解析:⎪⎭⎫⎝⎛<<-∑∞=2121,20x x n n n .【解析】:00111()(2)2,1222nn n n n f x x x x x ∞∞==⎛⎫===-<< ⎪-⎝⎭∑∑.三、计算题（每小题5分,共50分）41．求极限20(1)lim 1tan 1x x x e x x→-+-+.【解析】:2300(1)(1tan 1)lim limtan 1tan 1x x x x e x x x x xx x →→-+++=-+-+300lim(1tan 1)lim tan x x x x x x x →→=+++⨯-22220032lim 6lim 6sec 1tan x x x x x x→→===-.42．设n a 为曲线ny x =与1n y x+=(1,2,3,4,)n =所围成地面积,判定级数1n n na ∞=∑地敛散性.【解析】:因两曲线n y x =、1n y x+=交点为（0,0）,（1,1）,所以110111()d 12(1)(2)n n n a x x x n n n n +=-=-=++++⎰.级数11(1)(2)n n n nna n n ∞∞===++∑∑,又因为232(1)(2)limlim 1(1)(2)n n n n n n n n n→∞→∞++==++,而级数3121n n∞=∑是收敛地,根据比较判别法地极限形式知,级数1(1)(2)n nn n ∞=++∑收敛.所以级数1n n na ∞=∑收敛.43．求不定积分2d 1x x x -⎰．【解析】:22211d d(1)211x x x x x =---⎰⎰122221(1)d(1)12x x x C -=--=-+⎰.44．计算定积分4|2|d x x -⎰.【解析】:4242422|2|d |2|d |2|d (2)d (2)d x x x x x x x x x x-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰ 242202112222422x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.45．解方程3xy y x '-=地通解．【解析】:方程化为21y y x x'-=,这是一阶线性非齐次微分方程,它对应地齐次方程10y y x'-=地通解为y Cx =.设()y C x x =是原方程地解,代入方程得2()C x x x '=所以()C x x '=,即21()2C x x C =+,故原方程通解为312y Cx x =+.46．已知函数(,)z f x y =由方程20xyz e z e --+=所确定,求d z ．【解析】:方程两边微分得 [d d ]2d d 0xy z ey x x y z e z --+-+=,即 (2)d [d d ]zxye z ey x x y --=+,所以 d d d 22xy xy zz e y e xz x y e e --=+--.47．已知点(4,1,2),(1,2,2),(2,0,1)A B C --,求ABC ∆地面积.【解析】:因{3,3,4},{2,1,1}AB AC =--=--,所以334{1,5,3}211i j kAB AC ⨯=--=--,故ABC ∆地面积为11351259222S AB AC =⨯=++= .48．计算二重积分22ln d d Dx y x y +⎰⎰,其中22{(,)|14}D x y x y =≤+≤.【解析】:积分区域在极坐标下表示为(){},02π,12D r r θθ=≤≤≤≤,所以2π2221ln d d d ln d Dx y x y r r r θ+=⎰⎰⎰⎰221πln d r r =⎰()222113πln d π4ln22r r r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰.49．计算曲线积分22(1)d (1)d Ly x x x y y ++-⎰,其中L 是圆周221x y +=（逆时针方向）.【解析】:令2(,)(1)P x y y x =+,2(,)(1)Q x y x y =-,则有21P x y ∂=+∂,21Qy x∂=-∂.又L 为封闭曲线且取正方向,故由格林公式可得:2222(1)d (1)d d d ()d d L D DQ P y x x x y y x y x y x y x y ⎛⎫∂∂++-=-=-+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 2π13001d d π2r r θ=-=-⎰⎰.50．试确定级数01nn x n ∞=+∑地收敛域并求出和函数．【解析】:级数01nn x n ∞=+∑是标准不缺项地幂级数,收敛半径为112limlim 111n n n n a n R a n →∞→∞++==⨯=+,当1x =时,级数化为011n n ∞=+∑,是调和级数,发散地；当1x =-时,级数化为0(1)1nn n ∞=-+∑,是交错级数,收敛地；故所求级数地收敛域为[1,1)-.设和函数为()S x ,即0()1nn x S x n ∞==+∑,当(1,1)x ∈-且0x ≠时,10000001()d d d 11n x x x nn n n n x xS x t t t t t n t +∞∞∞=======+-∑∑∑⎰⎰⎰ln(1)x =--,所以ln(1)()x S x x-=-；当0x =时,00ln(1)1(0)lim lim 11x x x S x x →→-=-==-,当1x =-时,ln(1)()x S x x-=-有意义,故所求和函数为ln(1),[1,0)(0,1)()1,0x x S x xx -⎧-∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩.四、应用题（每小题7分,共14分）51．欲围一个面积为150平方米地矩形场地.所用材料地造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元.问场地地长、宽各为多少时,才能使造价最低？【解析】:设场地地长、宽各为,x y ,高为h ,造价为z ,则有63(2)z xh x y h =++,且150xy =,即9009(0)z xh h x x=+>,h 为常数,令290090x z h h x'=-=得定义域内唯一驻点10x =,此时15y =；在10x =时,有318000x z h x''=>,所以10x =是极小值点即最小值点,故场地地长、宽各为10米、15米时,才能使造价最低.52．已知D 是抛物线2:2L y x =和直线12x =所围成平面区域.试求:(1) 区域D 地面积；（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体地体积.【解析】:平面图形如下图所示取x 为积分变量,10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,(1)根据抛物线地对称性,区域D 地面积是x 轴上方图形面积地2倍. 112202()d 22d s D f x x x x==⎰⎰1222y x=xyo13220222233x ==；（2）区域D 绕Ox 轴旋转所形成空间旋转体地体积为 1122220π()d πd D V f x x y x ==⎰⎰112220ππ2d π4x x x===⎰.五、证明题（6分）53．设2e a b e <<<,证明 2224ln ln ()b a b a e ->-.【证明】:设2()ln f x x =,显然它在(0,)+∞内可导,从而()f x 在区间[,]a b 上满足拉格朗日中值定理,即存在(,)a b ξ∈,使得2ln ()()()f b f a b a ξξ-=-成立,所以有()2222ln ln ln (),b a b a e a b e ξξξ-=-<<<<,又因为函数ln ()x g x x=在区间2[,]e e 上是减函数,所以有2()()g g e ξ>,即2ln 2eξξ>,故 22ln 4()()b a b a eξξ->-所以 2224ln ln ()b a b a e->-.。

河南省郑州市2014届高三第二次模拟考试数学文试题含答案

河南省郑州市2014年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷一、选择题:本大題共12小題，每小題5分，在每小題给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1. 已知命题p: ∀32,80,x x >-> 那么⌝p 是A. ∀32,80x x ≤-≤ B. ∃32,80x x ≤-≤ C. ∀32,80x x >-≤ D. ∃32,80x x >-≤2. 设向量→a =(,1)x , →b =(4,)x ,则“→a ∥→b ”是“2x =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件A. 55B. 55i C. 1 D. i4. 阅读右边的程序框图，若输出的y =1, 则输入的x 的值可能是 A. ±2和2 B. -2和2 C. ± 2 D. 25. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 112B. 80C. 72D. 646.等差数列{}n a 中的14027,a a 是函数321()41213f x x x x =-++的极值点，则22014log a = A. 2 B. 3 C.4 D. 5 7. 设α、β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题：①若l ⊥α, α⊥β, 则l ∥β; ②若l ∥α, α∥β, 则l ∥β; ③若l ⊥α, α∥β, 则l ⊥β; ④若l ∥α, α⊥β, 则l ⊥β. 其中正确命题的个数A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 已知∆ABC 中，平面内一点P 满足→CP =23→CA +13→CB ，若|→PB |=t |→PA |, 则t 的值为A. 3B. 13C. 2D. 12 9. 已知直线512x π=和点(,0)6π恰好是函数())f x x ωϕ=+图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是A. ())6f x x π=-B. ())3f x x π=-C. ())3f x x π=+D. ())6f x x π=+ 10.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点分别为F 1，F 2 ，以线段F 1F 2 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点位（4,3），则双曲线的方程为11.若曲线2(0)y ax a =>与曲线ln y x =在它们的公共点P （s,t ）处具有公共切线，则a =12. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为S n , 若21()n n nS a a n N *+∈=, 则S 2014= A. 2014+20142014 B. 2014- 20142014C. 2014D. 2014二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若253652,62a a a S ==-，则1a 的值是15.设实数,x y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1, 则22x y +的取值范围是_______.16.已知,x y ∈(-12 ,12 ), m ∈R 且m ≠0, 若222sin 201,2sin cos 041xx m x y y y m y ⎧++=⎪+⎪⎨⎪+-=+⎪⎩ 则y x =_______.三、解答题:解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）已知向量→m =（cosA, -sinA ）,→n = （cosB, sinB ）, →m ·→n =cos2C,A,B,C 为∆ABC 的内角.(Ⅰ)求角C 的大小；（Ⅱ）若AB=6，且→CA ·→CB =18, 求AC, BC 的长.18.(本小题满分12分）正∆ABC 的边长为2， CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将∆ABC 沿CD 翻成直二面角A -DC -B （如图（2））.在图（2）中：（Ⅰ）求证：AB ∥平面DEF ；（Ⅱ）求多面体D -ABFE 的体积.抽取了45人，求n 的值；（Ⅱ）接受调查的的人同时对这项活动进行打分，其中6人打出的分数如下： 9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这6个人打出的分数看作一个总体，从中任取2个数，求这两个数与总体平均数之差的绝对值都不超过0.5的概率．B20. (本小题满分12分）已知平面上的动点(,)R x y 及两定点A(-2,0)，B(2,0)，直线RA 、RB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1·k 2=- 34, 设动点R 的轨迹为曲线C.(I)求曲线C 的方程；(II)过点S(4,0)的直线与曲线C 交于M 、N 两点，过点M 作MQ ⊥x 轴，交曲线C 于点Q.求证：直线NQ 过定点，并求出定点坐标.21.(本小题满分12分）已知函数()xx f x e =. (I)求函数()f x 的单调区间和极值；(II)过点P(0，4e2 ) 作直线l 与曲线y =()f x 相切，求证: 这样的直线l 至少有两条，且这些直线的斜率之和2322121(,)e e m e e--∈.请考生从22、23、24三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并用铅笔在对应方框中涂黑.22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，AB 为圆O 的直径， CD 为垂直于AB 的一条弦，垂直为E ，弦BM 与CD 交于点F. (I ）证明: A E F M 、、、四点共圆； (II)若MF=4BF=4，求线段BC 的长.23. (本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程在极坐标系下，已知圆O:cos sin ρθθ=+和直线l :sin()42πρθ-=. (I)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(II)求直线l 与圆O 的公共点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤< .24. (本小题满分10分) 选修4―5:不等式选讲已知函数()|2|5f x x a x =-+. （Ⅰ）求不等式()51f x x >+的解集；（Ⅱ）若不等式()f x ≤0的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值.2014年高中毕业年级第二次质量预测文科数学参考答案一、选择题DBAC BAAC BADD 二、填空题13．1(0,);2 14．2;- 15．[1,4]; 16．1.2- 三、解答题17．解（Ⅰ）cos cos sin sin cos()A B A B A B ⋅=-=+m n ，因为A B C π++=,所以cos()cos cos 2A B C C +=-=,---------2分即22cos cos 10C C +-=，故1cos 2C =或cos 1C =-，---------4分又0C π<<，所以3C π=． ---------6分（Ⅱ）因为18CA CB ⋅=，所以36CA CB ⋅=， ① 由余弦定理2222cos 60AB AC BC AC BC ︒=+-⋅⋅，---------8分及6AB =得，12AC BC +=， ②---------10分由①、②解得6,6AC BC ==． ---------12分18．解（Ⅰ）如图(2):在ABC ∆中，由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，所以EF //AB ，又⊄AB 平面DEF ,⊂EF 平面DEF ， ∴//AB 平面DEF ． ---------6分（Ⅱ）由直二面角A DC B --知平面ADC ⊥平面BCD ，又在正ABC ∆中，D 为边AB 中点，AD CD ⊥ 所以AD ⊥平面BCD ，---------9分136BCD A BCD V S AD ∆-=⋅⋅=三棱锥， 11132224BCD FCD V S AD ∆-=⋅⋅=三棱锥E ，所以，多面体D-ABFE 的体积V =A BCD V --三棱锥FCD V -=三棱锥E -----12分 19．解（Ⅰ）所有参与调查的人数为8001004501502003002000+++++=，由分层抽样知：452000100900n =⨯=． ---------5分（Ⅱ）总体平均数9.29.68.79.39.08.29.06x +++++==，---------7分从这6个分数中任取2个的所有可能取法为：(9.2,9.6)、(9.2,8.7)、(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(9.2,8.2)、(9.6,8.7)、(9.6,9.3)、(9.6,9.0)、(9.6,8.2)、(8.7,9.3)、(8.7,9.0)、(8.7,8.2)、(9.3,9.0)、(9.3,8.2)、(9.0,8.2)，共计15种.--------10分由|9.0|0.5x -≤知，当所取的两个分数都在[8.5,9.5]内时符合题意，即(9.2,8.7)、(9.2,9.3)、(9.2,9.0)、(8.7,9.3)、(8.7,9.0)、(9.3,9.0)符合，共计6种，所以，所求概率615P =． ---------12分 20．解（Ⅰ）由题知2x ≠±，且12y k x =+，22y k x =-，则3224y y x x ⋅=-+-，---2分整理得,曲线C 的方程为221(0)43x y y +=≠．-----------5分（Ⅱ）设NQ 与x 轴交于(,0)D t ，则直线NQ 的方程为(0)x m y t m =+≠，记1122(,),(,)N x y Q x y ，由对称性知22(,)M x y -，由223412,x y x my t⎧+=⎨=+⎩消x 得：222(34)63120m y mty t +++-=，-----7分所以2248(34)0m t ∆=+->，且1,2262(34)mt y m -=+，故12221226,34312,34mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩------------9分由M N S 、、三点共线知NS MS k k =，即121244y y x x -=--，所以1221(4)(4)0y my t y my t +-++-=,整理得12122(4)()0my y t y y +-+=，-----------10分所以222(312)6(4)034m t mt t m ---=+，即24(1)0m t -=，1t =，所以直线NQ 过定点(1,0)D ．--------12分 21．解（Ⅰ）由题知1()()R xxf x x e -'=∈，当()0f x '>时，1x <，当()0f x '<时，1x >，-----------2分所以函数()f x 的增区间为(,1)-∞，减区间为(1,)+∞，其极大值为1(1)f e=，无极小值．-----------5分（Ⅱ）设切点为00(,())x f x ，则所作切线的斜率001()x x k f x e-'==，所以直线l 的方程为：000001()x x x x y x x e e--=-，注意到点24(0,)P e在l 上，所以00000214()x x x x x e e e --=-，-----7分整理得：020240x x e e-=，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，令224()x x g x e e =-，则(2)()xx x g x e -'=-，当()0g x '>时，02x <<，当()0g x '<时，0x <或2x >，所以，函数()g x 在(,0),(2,)-∞+∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，---9分注意到2244(0)0,(2)0,(1)0g g g e e e=-<=-=->，所以方程()0g x =的解为2x =，或(10)x t t =-<<，即过点24(0,)P e恰好可以作两条与曲线()y f x =相切的直线．----10分当2x =时，对应的切线斜率121(2)k f e'==-，当x t =时，对应的切线斜率21ttk e -=，令1()(10)t t h t t e -=-<<，则2()0t t h t e-'=<，所以()h t 在(1,0)-上为减函数，即1(0)()(1)2h h t h e =<<-=，212k e <<，所以231222121(,)e e m k k e e--=+∈．------------12分22．解（Ⅰ）如图，连结AM ，由AB 为直径可知90AMB ︒∠= ，又CD AB ⊥ ，所以90AEF AMB ︒∠=∠=，因此A E F M 、、、四点共圆． ------4分（Ⅱ）连结AC ，由A E F M 、、、四点共圆，所以BF BM BE BA ⋅=⋅ ，---6分在RT ABC ∆中，2BC BE BA =⋅ ，------8分又由44MF BF ==知1,5BF BM == ，所以25BC = ，BC =．---10分23．解（Ⅰ）圆:cos sin O ρθθ=+，即2c o s s i n ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，------2分直线:sin 42l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即si n cos 1ρθρθ-=，则直线l 的直角坐标方程为：10x y -+=．------4分（Ⅱ）由⑴知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得220,10x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得0,1,x y =⎧⎨=⎩------6分即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为（0,1），------8分将（0,1）转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭，即为所求．------10分24．解（Ⅰ）由()51f x x >+化简可得|2|1x a ->，即21x a ->或21x a -<-，--2分解得：12a x -<或12a x +>，所以，不等式()51f x x >+的解集为11{|}22a a x x x -+<>或．------4分（Ⅱ）不等式|2|50x a x -+≤等价于525x x a x ≤-≤-，即52,25,x x a x a x ≤-⎧⎨-≤-⎩化简得,3,7a x a x ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩------6分若0a < ，则原不等式的解集为{|}7ax x ≤={|1}x x ≤-，此时，7a =- ；------8分若0a ≥ ，则原不等式的解集为{|}3a x x ≤-={|1}x x ≤-，此时，3a = ．综上所述，7a =- 或3a =．------10分。

专升本高等数学真题及答案

2014年成考高等数学(二)应试模及解析拟第2套

高等数学(二)应试模拟第2套一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．1．A．x3+3x-4B．x3+3x-3C．x3+3x-2D．x3+3x-12．A．2hB．α·2α-1C．2αln 2D．03．已知y=2x+x2+e2，则 yˊ等于( )．A．B．C．D．4．A．B．C．D．5．A．B．1/4C．1/2D．6．设F(x)的一个原函数为xln(x+1)，则下列等式成立的是（）．A．B．C．D．7．A．B．C．D．8．A．B．C．D．9．A．B．C．D．10．若事件A与B为互斥事件，且P(A)=0．3，P(A+B)=0．8，则P(B)等于（）．A．0．3B．0．4C．0．5D．0．6二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．21．22．23．24．(本题满分8分)甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为0．6和0．8，求此密码被破译的概率．25．26．(本题满分10分)设函数y=αx3+bx+c在点x=1处取得极小值一1，且点(0，1)为该函数曲线的拐点，试求常数a，b，c．27．(本题满分10分)设函数y=y(x)是由方程cos(xy)=x+y所确定的隐函数，求函数曲线y=y(x)过点(0，1)的切线方程．28．商等数学(二)应试模拟第2套参考答案及解析一、选择题1．【答案】应选C．2．【答案】应选D．【提示】利用函数在一点可导的定义的结构式可知3．【答案】应选C．【提示】用基本初等函数的导数公式．4.【答案】应选B．【解析】本题考查的知识点是复合函数的概念及其求导计算．5．【答案】应选A．6．【答案】应选A．【解析】本题考查的知识点是原函数的概念．7．【答案】应选B．【解析】本题考查考生对微分、积分的基础知识和换元积分法的掌握情况．请考生注意：由于这种题考查的都是基本概念和基本方法，所以是历年“专升本”考试中常见的典型试题，熟练地掌握这类题的解法是十分重要的．8．【答案】应选B．【提示】本题考查的知识点是反常积分的求解．9．【答案】应选A．10．【答案】应选C．【解析】本题考查的知识点是互斥事件的概念和加法公式．二、填空题11．【答案】应填一2．【提示】利用重要极限Ⅱ的结构式：12．【答案】应填0．13．【答案】【提示】先求复合函数的导数，再求dy．14．【答案】应填0．【解析】本题考查的知识点是驻点的概念及求法．15．【答案】应填2．【解析】本题考查的知识点是二阶导数值的计算．16．【答案】应填XCOS x-sin x+C．17．【答案】应填π/4．18．【答案】应填1．【提示】被积函数的前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，因此有解得α=1．19．【答案】应填0．20．【解析】本题考查的知识点是复合函数求偏导和全微分的计算公式．三、解答题21．方法计算．22．本题主要考查商的导数计算．23．本题考查的知识点是不定积分的积分公式及凑微分(即第一换元积分法)的积分方法．【解析】当被积函数的分母为一项而分子为两项或两项以上的和时，通常分为几个不定积分之和分别计算.如果被积函数的分子中有sin戈或COSx的奇次方项时，常用凑微分法将sin xdx写成一d(COS x)，而cos xdx=d(sinx)，换成对cosx或sinx的积分．24．本题考查的知识点是事件相互独立的概念和概率的加法公式．【解析】本题的关键是密码被破译这一事件是指密码被甲破译或被乙破译，如果理解成甲破译密码且乙破译密码就错了!另外要注意：甲、乙二人破译密码是相互独立的．解设A=“甲破译密码”，B=“乙破译密码”，C=“密码被破译”，则C=A+B，所以P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0 6+0.8-0. 6×0．8=0. 9225．本题考查的知识点是定积分的分部积分法．【解析】将被积函数分成两项，分别用公式法和分部积分法计算．26．本题考查的知识点是可导函数在某一点取得极小值的必要条件以及拐点的概念．联立①②③，可解得α=1，b=-3，c=1．27．本题是一道典型的综合题，考查的知识点是隐函数的求导计算和切线方程的求法．【解析】本题的关键是由已知方程求出yˊ，此时的yˊ中通常含有戈和y，因此需由原方程求出当x=0时的y值，继而得到yˊ的值，再写出过点(0，1)的切线方程．计算由方程所确定的隐函数y(x)的导数，通常有三种方法：直接求导法(此时方程中的y是x的函数)、公式法(隐函数的求导公式)和微分法(等式两边求微分)．解法l直接求导法．等式两边对x求导，得解法2解法3微分法．等式两边求微分，得28．本题考查的知识点是条件极值的计算．【解析】计算条件极值的关键是构造拉格朗日函数．在求驻点的过程中通常都将参数消去．文章来源：/p/ck.html 更多成考资源资料下载完全免费。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

g ( x) 为偶函数,
a
且 f ( x) 满足条件
f ( x) f ( x) A( A 为常数). 证明:

a
a
f ( x) g ( x)dx A g ( x)dx .
0
6
2 3 2 3
（
）
A.

0
(2 x)dx ( x 2)dx
2
B.

3 0
0
( x 2)dx (2 x)dx
2
C.
3
0
(2 x)dx
D.
( x 2)dx
21．平面：x 2 y z 3 0 与直线 L : A.互相垂直 C.既不平行也不垂直 22．方程 x y z 0 表示曲面是
f ( x, y )dx
D.
2 2
0
dy
1 y 2
0
f ( x, y )dx
xy , ( x, y ) (0, 0) 2 2 25.设二元函数 f ( x, y ) x y 在点 (0, 0) 处 0, ( x, y ) (0, 0)
A.连续, 偏导数存在 C.不连续, 偏导数存在 B.连续, 偏导数不存在 D.不连续, 偏导数不存在
x 1
B．是无穷大量 D．无界，但不是无穷大量（ D. 0 （ D .e 1
x
f ( x) f ( x) 存在, 则 lim x 1 x 1 x 1
B. f (1) C. f (1) ）
）
A. f ( x) 4．设 ( x)

x
0
(et t )dt ，则 ' ( x ) 等于
A.
24．设 f ( x, y ) 为连续函数, 则
2 2 1 x 2

4 0
d f (r cos , r sin )rdr
0
1
（
1 x 2
）
A.

0
dx
x
f ( x, y )dy
B.

2 2
0
dx
0
f ( x, y )dy
C.

2 2
0
dy
1 y 2 y
A.
1 2
B. 1 ln 2
C. 1
D. ln 2
1
上二本到耶鲁老牌子更专业
9. 数列｛y n｝有界是数列收敛的 A.必要条件 B.充分条件
（） C .充要条件 D.无关条件（）
sin 3 ax (a 为常数)= 10． lim x 0 x2
A.0 B.1 C. a
arctan x sin x . x3
f ( x)
42．设 y f (ln x)e 43.求 x cos x dx
, 其中 f ( x) 可微, 求 dy .

2
44．求
(2 x
1
2
1) 1 x 2
2
dx .
45. 把 f x
1 展开为 x 的幂级数. x 3x 2
B. F (sin x) c C. F (cos x) c
A. F (sin x) c 7．
d 1 sin tdt dx x2A. sinx2B. sinx2
C. 2 x sin x
D. 2 x sin （
x2
）
8．若 f ( )
1 x
1 x , 则 0 f ( x)dx 1 x
13. 下列函数在 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的是 A. y | x | B. y x(1 x) C. y cos x
1 x f (b) f (a ) ba
）
14．设 f ( x) 在 [ a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导, 则在 ( a, b) 内满足 f ( ) 的点 A.必存在且只有一个 C.必存在且至少一个 15．下列求极限问题中能用洛比达法则的是 A. lim B.不一定存在 D.以上结论都不对（ C. lim （
A.没有根 B.至少存在一个根 C.有唯一根（ D. 2
（ D.不能确定有根）
）
17. 设 f ( x ) cos 2 x ，则 f ' ( 0) 等于 A. －2 B. －1
3 2
C. 0
18．函数 f ( x) ( x 1) x 的单减区间为 A. ( , 0) B. （， 0 )
x 0 0 x
1 sin x
38． lim
x 0
t 2 dt
t (t sin t )dt

39．交换

2
0
dy
2y y2
f ( x, y )dx 的积分次序为
40．微分方程 y 2 y 2 y 0 的通解为三、计算题(每小题5分,共50分) 41．求 lim
x 0
上二本到耶鲁老牌子更专业
2014年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试预测试卷高等数学预测题（二）一、单项选择题（每小题2分，共60分。在每个小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后的括号内。） 1．下列各对函数中相同的是：（ B． y ）
ex 1 ,x 0 35．设 f ( x) x 在点 x 0 处有极限, 则 a x a, x 0
4
上二本到耶鲁老牌子更专业
36．设 z xy , 则 dz |(1,1)
x
37．
x cos xdx

（
）
26.二元函数 f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处 f x( x0 , y0 ), f y( x0 , y0 ) 存在是 f ( x, y ) 在该点连续的（ A.充分而非必要条件 B.必要而非充分条件
3
）
上二本到耶鲁老牌子更专业
C.充要条件 27.已知曲线积分 A. x
x 2 16 A． y , x4
C． y lg x ,
4
y x4
x2 ,
yx
1
y 4 lg x
D． y
3
x4 x3 ,
y x( x 1) 3
（）
2．当 x 时， f ( x)
1 1 sin x x
A．是无穷小量 C．有界，但不是无穷小量 3. 设 f (1) 0, 且 lim
n 1 n 1 n 1 n 1
u n 与 u n2 都发散
n 1 n 1 n 1 n 1

C.
u n 收敛， u n2 发散 D. u n 发散， u n2 收敛
2x
29．微分方程 y 5 y 6 y xe 的特解形式为 A. y Axe
2
D.既非充分又非必要条件
[e
L
x
cos y yf ( x)]dx [ x 3 e x sin y ]dy 与路径无关, 则 f ( x) （
）
B.
1 2 x 3
1 n ) ，则级数
C. 3 x
2
D. 0
28. 设 u n ( 1) ln(1
n

（

）
A.
u n 与 u n2 都收敛 B.
二、填空(每小题2分,共20分) 31． lim( x e ) x
x x 0 1
32． x 0 是 f ( x)
1 1 2
1 x
的第
类间断点.
33．设 f (
x 1 x ) ( x 1) , 则 f ( x) x x 1
34．

1 dx 1 x2
2
D.
1 a2
（）
11．曲线 y A. ( 1,3)
3 3 9 2 x x 的拐点是 2 2
B. (1,3) C. ( 1, 3)
D. (1, 3) （ D. f ( x) g ( x) （ D. y ））
12．设 f ( a ) g ( a ) 且 x a 时, f ( x) g ( x) ，则当 x a 时有 A. f ( x) g ( x) B. f ( x) g ( x) C. f ( x) g ( x)
y x
x y 46．设 z f ( xy, ) g ( ) , 其中 f , g 均可微, 求 dz.
1 x x 2 sin 47．设函数 f ( x) x ax 2 bx c
x0 x0
在处可导，求常数的值 x0 a , b, c
.
48．求
2
n 1
x
A.0
B .e
x2 2
C. e x
x
4
5．直线 4 x y 6 0 与曲线 y x 3 相切, 则切点坐标是 A. ( 1, 2) 6．若 B. ( 2, 1) C. (1, 2)
（
）
D. ( 2,1) （ D. F (cos x) c （））
f ( x)dx F ( x) c ,则 sin xf (cos x)dx
2x 2x
（
2x 2x
）
B. y ( Ax B )e
2

C. y x( Ax B )e
3
D. y x ( Ax B )e （
30. xy 2 y x x 的通解为 A. y
）
1 4 1 2 1 3 1 1 1 x x x c B. y x 4 x 2 x 3 4 2 3 4 2 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 C. y x x c1 x c 2 D. y x x c1 x 4 2 3 4 2 3