一元二次方程根与系数的关系(11.3)
一元二次方程根与系数的关系
一、验根
1．判断下列各方程后面括号内的两个数是不是前面方程的根。
（1）x2+5x+4=0 (1,4)；（2）2x2-3x+1=0 (1
2
,1)；
（3）x2+5x=6 (2,3)；（4）x2-(3+2)x+6=0 (3,2)。
二、不解方程，直接找出方程的两根之和与积
1．3x2-2x-1=0的两根之积为，两根之和为。
2．3x2-x=0的两根之积为。
3．2x2-1=0的两根之积为。
4．2x2+(3-4)x-23=0的两根之和为。
5．3x2-2(x+1)=2的两根之和为，两根之积为。
6．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为相反数，则b= 。
7．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互为负倒数，则b= 。
8．若ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为零，则c= 。
9．若ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根都为零，则b= ，c= 。
10．已知关于x的一元二次方程x2-px+6=0的两根恰是一矩形的长和宽，则这个矩形的面积= 。
三、求有关根的式子的值
1．已知方程x2+4x-6=0的两个根是α和β，求下列代数式的值。
(1)（α+2）（β+2）；(2)α2β+β2α； (3)1
α+1
β
； (4)α2+β2；
(5)（α-β）2；（6）β
α+α
β
； (7)α3+β3； (8)|α-β|； (9)α-β。
2．已知x2+11x+16=0的两根为x1,x2；求x2
x1+x1
x2
的值。
3．已知实数a，b满足a2-a-11=0，b2-b-11=0，且a≠b，求a2+b2的值。
4．已知a4+2a2-5=0,1
b +2
b
-5=0，且a2≠1
b
，求ba
4+a2
b
的值。
5．若ab≠1且实数a，b满足5a2+2001a+2000=0和2000b2+2001b+5=0，则a
b
= 。
6．设实数a，b分别满足19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，且ab≠1，求ab+4a+1
b
的值。
7．已知s2+2s-1=0，t4-2t2-1=0，且1-st2≠0，求（st 2+t2+1
s
）2005的值。
8．方程(2000x)2-1999×2001x-1=0和方程x2+1999x-2000=0的较小根分别为a，b，则ab= 。
9．设x1，x2是方程x2+x-3=0的两个根，求x13-4x22+19的值。
10．已知m，n是x2-3x+1=0的两个根，求2m2+4n2-6n+1999的值。
11．已知α，β是方程x2+2x-7=0的两个实数根，不解方程，求α2+3β2+4β的值。
12．已知x
1，x
2
是一元二次方程x2-x-9=0的两个实数根，求代数式x
1
3+7x
2
2+3x
2
-66
的值。
13．已知方程(1995x)2-1994×1995x-1=0的较大根是r，x2+1994x-1995=0的较小根是s，求r-s的值。
14．已知x1，x2是方程x2-3x-4=0的两个根，不解方程求x2
x1
的值。
15．已知α，β是方程x2-7x+8=0的两个根，且α＞β，不解方程，求2
α
+3β2的值。
16．当n=1，2，…，1995时，关于x的一元二次方程n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0的根是a n，b n，试求|a1-b1|+|a2-b2|+…+|a1995-b1995|的值。
四、求方程中参数的取值或取值范围
1．若方程2x2-10x+k-2=0的一个根1，求它的另一个根与k的值。
2．当k为何值时，方程3x2-2(3k+1)x+3k2-1=0，（1）有一根为零；（2）两根互为相反数；（3）两实根互为倒数。
3．当k为何值时，方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0的两实数根。
（1）都为正数；（2）都为负数；（3）两根异号，且负数的绝对值较大；（4）一个根小于1，一个根大于1；（5）两根都大于1。
4．若方程x2+ax+2a=0的两实数根为x1，x2，且满足x12+x22=12，求a的值。
5．设方程2x2-(a+1)x+a+3=0两实根之差为1，求a的值。
6．若x1，x2是方程x2-p x+q=0的两个根，且x12+x1·x2+x22=3
2，1
x1
+1
x2
=5
2
求p，
q的值。
7．已知方程2x+a
x+b
=x（其中a，b为实数）有个绝对值相等而符号相反的实根，求a，b的取值范围。
8．已知关于x的一元二次方程ax2+x-a=0（a≠0），设x1，x2是该方程的两个实数根，若| x1|+|x2|=4，求a的值。
9．试确定，是否存在实数k，使关于x的一元二次方程9x2-(4k-7)x-6k2=0有两
个实数根x1，x2，且满足|x1
x2|=3 2
。
10.设x1，x2是方程x2-(m-2)x-m 2
4
=0的两个实数根，且x1，x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值。
11．若x1，x2是方程x2+x+k=0的两个实根，若恰有=x12?2x1x2+x22=k，求k的值。
12．设k为实数，关于x的方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，若x1+x22=k，求k的值。
13．若x1，x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值？并求出这个最小值。
五、证明有关的等式或不等式
1．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，求证：（1）x12+x22=b 2?2ac
a
；（2）
1 x1+1
x2
+b
c
=0
2．已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有二实根α，β。求证α2+β2
≥2（α+β）。
3．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=x有两个实根x1，x2，且x1＞0，x2?x1＞1，求证：c＞0，b2＞2(b+2c)。
4．已知abcd≠0，且c和d是方程x2+ax+b=0的解，a和b是方程x2+cx+d=0的解，求证：(a+b+c+d)2=abcd。
5．方程x2+px+q=0的一根为另一根的2倍，求证：2p2=9q。
6．若a，b为实数，求证关于x的一元二次方程(x-a)(x-a-b)=1的一根大于a,另一根小于。
六、求作新方程
1．求作一元二次方程，使它的两个根是： （1）-2
3，11
2；（2）
1+ 32
；1? 3
2。 2．求作一元二次方程，使它的两根分别是3x 2-5x-1=0的两实根的：（1）相反数；（2）2倍；（3）倒数；（4）平方；（5）立方。
3．已知α，β是方程x 2-11x+22=0的二根，求作以α+β, β
α
+α
β为根的一元二次
方程。
4．设α，β是一个二元二次方程的两个根，且1+β2+β
=-1α
，
αβ2
+1211?α2
β
=1，求这个一
元二次方程。
5．设n 为自然数，α，β是一个一元二次方程x 2+2(n+1)x+6n-5=0的两个实数根，求作主、新方程，使新方程的两根分别是α，β的整数部分。
七、构造一元二次方程，解决相关问题
1．解方程组 2．解方程组
3．已知两数的和为2，两数的积为-3，求这两个数。
4．求证：对任何矩形A ，总存在矩形B ，使矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于常数k(k ≥1)。
5．设实数x ，y 满足x 2+xy+y 2=2，求x 2-xy+y 2的最大、最小值。
6．已知x,y,z 为实数，且x+y+z=5，xy+yz+xz=3，求z 的最大值和最小值。 7．已知实数x,y,z 满足x=6-y ，z 2=xy-9，求证：x=y 。 8．若正数x,y 满足x+y=xy ，求x+y 的最小值。
9．若a,b,c 都是实数，且a+b+c=0,abc=1，证明：a,b,c 中必有一个大于3
2。 10．已知x,y,z 为实数，且x+y+z=0，xyz=2，求|x|+|y|+|z|的最小值。 11．已知：1
4(b-c)2=(a-b)(c-a)，且a ≠0，求
b+c a
的值。
12．已知△ABC 的三边长a,b,c 满足：（1）a ＞b ＞c ；（2）2b=a+c ；(3)b 是正整数；（4）a 2+b 2+c 2=84，求b 的值。
13．已知实数a,b,c 满足：a+b+c=2，abc=4。 （1）求a,b,c 中最大者的最小值。 （2）求|a|+|b|+|c|的最小值。
xy=6
x+y=5 x+y-z=1 x 3+y 3-z 3=1 x 4+y 4-2z 4=0