第四章不确定情况下的选择理论

Utility lndex 30 10 (1500) (3000) (1000) (10) (30) (50) (70) (90) (110) (130) Figure 4.5 Cardinal utility function. (From Dividend Policy and Enterprise Valuation. by James E. Walter. Copyright C 1967 by Wadsworth Publishing Companyt, Inc., Belmont, Calif. Reprinted by permission of the pubisher.) 1000 3000 5000 Monetary gains and 7000 losses

1 U 1 0 0 0 1 0 . 6 1 0 U 1 0 0 0 6 . 7
设为了 0 与该博弈之间无差异，赢 1000 元概率必定 为 0.6 。 假 设 0 的 效 用 为 0 ， 将 U(-1000)=-10 ， =0.6到上式，解得：
如果效用函数是严格向上凸的，则 是风险厌恶者。 U[E(W)]>E[U(W)]
U (a ) w
Figure 2.6 Three utility functions with positive marginal utility: (a)risk lover; (b)risk neutral; (c) risk averter.
例2：一风险厌恶者有效用函数： U(W)=lnW ，初始财富 W0=10 元，现提供 一个博奕：10%的机会赢10元，90%赢100 元。从而,博弈活动的精算价值为： E（W）=0.10（20）+0.9（110）=101 ①求W*： 由E[U(W)]=0.1U(20)+0.9U(110) =0.1ln(20)+0.9ln(110)=ln(w*) 解得：w*=92.76 ②风险酬金： =E(W)-W*=101-92.76=8.24元>0 ③博奕成本： C=10-92.76= -82.76元
A．在不确定性下选择的5条公理
ห้องสมุดไป่ตู้ 公理1.
可比性（完全性） 设X、Y 则个人必须具有以下三个判断之 一： x y（x优于y）, x y， x~y ,x与y无差异 公理2 传递性（一致性） 如果x y，及y z，则x z 公理3 强独立性，如果x~y ，则

如果一博奕，以概率 得到x，以概率1- 得到 z，则记为G(x,z; ) x ( 1 ) z （或一张彩票： ）
U (b )
U (a ) a (b ) w
Figure 2.6 Three utility functions with positive marginal utility: (a)risk lover; (b)risk neutral; (c) risk averter.
U (w ) U (b )
G ( x , z , ) ~ G ( y , z , )


公理4
如果
可测性（连续性） y z xy z or x
则存在唯一的 ， 使得 y~ G ( x ,z: )
y zx 如果 x u z ；那么当
如果
公理5
排序性

y u 1 2 or y~ u 1 2
~ 风险酬金是W和 Z的函数，满足如下方程：
~ ~ ~ E [ U ( W Z )] U [ W E ( Z ) ( W , Z )]

2
两边用Taylor‘s展开： W U W U W 右边= U 高阶项
1 ~ ~ ~ U W Z E [ U ( W ) Z U ( W ) Z U ( W ) 高阶 ] 左边= E 2
结论：
由（ 4.1 ）可知，该博弈活动的效用等于由博
弈活动本身提供的财富效用的期望，即财富
效用的期望值：
E[U(W)]=.8U($5)+.2U($30)
=.8(1.61)+.2(3.40)=1.97 显然： U[E(W)]> E[U(W)],风险回避者。
等额财富数额
* * * 如果令：U W 1 . 97 ln W W 7 . 17
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 2000 3000 4000 5000
.60 .55 .50 .45 .40 .35 .30 .75 .80 .85 .90
6.7 8.2 10.0 12.2 15.0 18.6 23.3 8.2 10.0 12.2 15.0
-10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -10.0 -24.6 -40.0 -69.2 -135.0
博奕的精算价值（actuarial value of the gamble）：1000.1＋0 0.9＝10
定义：
如果U[E(W)]>E[U(W)]，风险回避者 如果U[E(W)]=E[U(W)]，风险中性 如果U[E(W)]<E[U(W)]，喜爱风险
U (w )
如果效用函数是严格向下凸，则是风 险喜好者。 U[E(W)]<E[U(W)]
期望效用性
U G ( x , y : ) u ( x ) ( 1 ) u ( y )

一般，财富的期望效用可表示为：
E U w P U W i i
i
效用函数的具体构造
问题：面对一博弈：以概率 赢1000元，以概率1 损失1000元,假设损失1000元的效用为-10，那 么我们可以得到怎样的一个概率 , 使该博弈与 确定性的0之间无差异? 即 0~G(1000,-1000: ) 或 U(0)= U(1000)+(1- )U(-1000)

E[U(10)]= U(7.17)=1.97， 7.17 称 为 G 的 确 定 等 量 财 富 数 额 （ certainty equivalent wealth）。 另一方面，如果他愿意参加博奕，得期望收 入为： E(W)=.8($5)+.2($30)=$10 。因此， 对于给定的对数效用函数，为了避免一个 博奕，愿意支付： E(W)-W*=10-7.17元；将此称为Makowitz risk premium（风险酬金）。
C．Establishing a Definition of Risk Aversion 风险厌恶（ Risk Aversion ）的定 义
G（100元，0：10%） 10元
喜欢风险者（risk lover） G（100元，0：10%）~10元 风险中性（risk neutral） G（100元，0：10%） 10元 风险回避者（risk averter）
y ~ G ( x ,z : )和 1
时，则 u ~ G ( x ,z : ) 2
B. Developing Utility functions
效用函数的发展
利用五条公理建立效用函数有效性（期
望效用函数用以表示在不确定的情况下 的偏好关系）
效用函数的性质：
保序性
u ( x ) u ( y ) x y
5 7.17 10 a E (w ) Figure 4.7 Logarithmic utility function.
20
30 b
w
步骤：
确
定 等 量 财 富 数 额 （ certainty equivalent wealth） W*，由 E[U(W)]=U(W*)解出 风险酬金 (risk premium ): =E(W)W* 博奕的成本: C=W0-W*, W0为初始财富
思考
如果通过保险避免博奕，在什么
情况下愿意购买保险？
U ( W )=ln W 3.4 =U ($ 3 0 )
3.0 2.30= U [ E ( w )] 1.97= E [ U ( w )] 1.61 =U (S5 ) 1.0
w 1 5 10 20 30
U(w) 0 1.61 2.30 3.00 3.40
a
(c)
b
为了避免一个博奕，此人愿
意放弃的财富的最大数值，
被 称 为 风 险 酬 金 （ risk premium ） 或 者 称 为 风 险 溢
价．
例：对数效用函数
效用函数：U（W）=Ln(W)，博弈 G(5,30:0.8) 博奕的精算价值（ actuarial value of the gamble ）就是其期望值，换言之，期望 的财富是： E(W)=.8($5)+.2($30)=$10 直接从效用函数中读出期望财富的效用值： U[E(W)]=ln10=2.3

0 . 6
Table 4.1 Payoffs. Probabilities,and Utilities Loss Gain Probability Utility of of Gain Gain Utility of Loss
-1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 -2000 -3000 -4000 -5000
注意
对于一风险厌恶者的风险酬金 总是正的，而博奕成本可能是 正、负、零。
考虑一个博奕
~ 它以概率p有一正的回报h1 ,以概率1-p Z 有一负回报h2 公平博奕：一个被赋予精算价值为 美元的博奕 称为公平的，如果它的期 望收益为0:
~ E [Z] 0
问题：我们应当在博弈活动中加入多大数 额的风险溢酬才能令他认为该博弈活动与 博弈活动的精算价值是无差异的？
(a)
oranges
End of period. C