1.4生活中的优化问题举例
3.4
生活中的优化问题举例
例2 海报版面设计
学校或班级举行 活动,通常需要张贴海 报进行宣传.现让你设 计一张如图所示 的竖 向张贴的海报，要求 2 dm ， 版心面积为128 上下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸， 才能使四周空白面积 最小？
解：设版心的高为x dm，则版心的 宽为 128 dm，此时四周空白面积为
x
例2：统计表明，某种型号的汽车在匀 速行驶中每小时耗油量y（升）关于行 驶速度x（千米/小时）的函数解析式可 1 3 y= x3 - x + 8 0 < x ≤ 120）， 以表示为： （ 128000 80 已知甲乙两地相距100千米，当汽车以 多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最 少？最少为多少升？
R 时，磁盘具有最大存 2 2
因此，当 r =
储量，最大存储量为 πR .
2mn
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示的数学问题
解决数学模型
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
我们不用导数 y 工具，直接从函数 的图象上观察，你 o 能发现什么？
r3 2 f r = 0.8π - r 3
2 3
x
从图象上容易看出，当r=3时,f(3)=0， 即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮 料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才 为正值.
当r∈(0,2)时，f(r)是减函数， 你能解释它的实际意义吗？ 并不是瓶子越小，利润越大.当 瓶子半径在（0,2）之间时，每瓶容 量受限，导致售出的饮料量减少，或 者人们不想买太小瓶的饮料，而影响 利润.
1 3 100 1 2 800 15 3 h(x) = ( x - x + 8) = x + 128000 80 x 1280 x 4 0 < x ≤ 120
求函数的导数得：
1 800 x 3 - 803 h(x) = x- 2 = 640 x 640x 2
令 h(x) = 0 解得：x = 80 当x∈(0,80)时， (x) < 0 ; h
例4 磁盘的最大存储量问题
知识点
计算机把信息存储到磁盘上，磁盘 是带有磁性介质的圆盘，并由操作系 统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指 不同半径所构成的同心圆轨道，扇区 是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道 上的定长的弧可作为基本存储单元， 根据其磁化与否可分别记录数据0或1， 几个基本单元通常称为比特(bit).
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
•实际问题转化数学模型；
•求解数学问题8cm，宽5cm的矩形薄铁板 的四角剪去相等的正方形，做一个无盖 的箱子，问剪去的正方形边长为多少时， 箱子容积最大？最大容积是多少？
8cm 5cm
当0<x<1时，V' < 0 ；
V' > 0 . 当1<x<2.5时，
V最大值 = 18(cm3 ) . 所以当x=1时，
即剪去的正方形边剪去1 cm时，箱 子的容积最大，其最大值是18cm 3 .
例2 解：当速度为x千米/小时，汽车从 100 甲地到乙地行驶了 x 小时，设耗油 量为h(x)升.
x
128 S x = x + 4 + 2 - 128 x 512 = 2x + + 8, x > 0 x
求导数，得
512 S x = 2 - 2 . x
'
令 S' x = 2 - 512 = 0 2
x
解得x=16(x=-16舍去)
128 128 于是宽为 x = 16 = 8
解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮 料的利润是
4 3 y = f r = 0.2 πr - 0.8πr 2 3 r3 2 = 0.8π - r , 0 < r ≤ 6. 3
令 f ' r = 0.8π r 2 - 2r = 0
f ' r > 0.
它是一个关于r的二次函数，从 函数的解析式上可以判断，不是r越 小，磁盘的存储量越大.
f ' r = 0 为求f(r)的最大值，计算
2π f r = R - 2r = 0, mn
'
R 解得： = r . 2
R 当r < 2 R 当r > 2
f ' r > 0 ； 时， f ' r < 0 . 时，
h 当x∈(80,120)时， (x) > 0 .
∴在x=80时，取得极小值，也是最 小值h(80)=11.25.
现有一张半径为R的磁盘，它的存 储区是半径介于r与R的环形区域.
①是不是r越小，磁盘的存储量越大？
②R为多少时，磁盘具有最大存储量 （最外面的磁道不存在任何信息） 为保障磁盘分辨率，磁道之间的宽度 必须大于m，每比特所占用的磁道长度不 得小于n.磁盘格式化时要求所有磁道具有 相同的比特数.
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f ' r = 0. ；当r∈(2,6)时， 当r=2时，
f 因此，当半径r>2时，' r > 0 ，它表示 f(r)单调递增，即半径越大，利润越 f 高；半径r<2时，' r < 0 ，它表示f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低.
1. 半径为2 cm时，利润最小，这时 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶 子的成本，此时利润为负. 2. 半径为6 cm时，利润最大.
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 称为优化问题，优化问题有时也称为 最值问题．解决这些问题具有非常重 要的现实意义．
新课导入
在过去的学习中，我们一般把优 化问题转化为数学中的函数问题，进 而转化为求函数的最值问题．
导数是求函数最大（小）值的强 有力的工具.如何学以致用，利用导数 求解优化问题呢？
当x∈(0,16)时， ' x > 0; 当x∈(16,+∞) S 时， ' x < 0; .因此，x=16是函数S(x)的 S 极小值点，也是最小值点.所以，当版心 高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白 面积最小.
例3 饮料瓶大小对饮料公司 利润的影响
某制造商制造并出售球形瓶装的 2 某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8πr 分， 其中r（单位：cm）是瓶子的半径.已 知每售出1 mL的饮料，制造商可获利 0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大 半径为6 cm. 那么瓶子半径多大时，能使每瓶 饮料的利润最大和最小？
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁 道之间的宽度必须大于m，且最外面的 磁道不存储任何信息，所以磁道数最多 R -r 可达到 .又由于每条磁道上的比特数 m 相同，为获得最大的存储量，最内一条 磁道必须装满，即每条磁道上的比特数 2πr 可达到 .所以，磁盘总存储 量：
n
R - r 2πr 2π f r = = r R - r m n mn
例1
课堂答案
V = x 8 - 2x 5 - 2x = 4x 3 - 26x 2 + 40x
解：设剪去的正方形的边长为x cm,则箱 子容积为：
0 < x < 2.5
令 V ' = 12x 2 - 52x + 40 = 0
4 x - 1 3x - 10 = 0 10 得：1 = 1, x 2 = （舍去） x 3
1[1].4_生活中的优化问题举例.ppt2
![1[1].4_生活中的优化问题举例.ppt2](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/371e3b1090c69ec3d5bb75bc.webp)
问题2:饮料瓶大小对饮料公司利润 有影响吗?
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子制造成本是0.8πr2分.其中r是瓶子的半 径,单位是厘米.已知每出售1ml的饮料,制 造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子 的最大半径为6cm.
练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如 何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?
解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2.
V 则h . 2 R R V S ( R ) 2R 2 2R 2 2V 2R 2 . R R 2V 由S ( R ) 2 4R 0. 解得R 3 V . R 2
(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
练习2:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切 去边长相等的正方形,再把它的边沿虚线折 起，做成一个无盖的方底铁皮箱.箱底边长 为多少时,箱子容积最大?最大容积是多少?
解 设箱底边长为 x,
60 x 则箱高为 h 2
练习1：一条长为l的铁丝截成两段，分别 弯成两个正方形，要使两个正方形的面 积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 则两个正方形面积和为 其中0<x<l， x 2 lx 2 1 2 2 S s1 s2 ( ) ( ) (2 x 2lx l ) 16 4 4 1 1 l S (4 x 2l ) (2 x l ) 令S 0, 得x 2 16 8 由问题的实际意义可知：
60 40 V (40) 40 ( ) 2 3 16000(cm)
1.4生活中的优化问题举例
又V=πR2h(定值),
则h
V
R 2
.
P37A6
S
(R)
2R
V
R
2
2R2
2V R
2R2.
由S ( R)
2V R2
4R 0.
解得R 3
V.
2
当R (0, 3 V )时，S '(R) 0; 当R (3 V ,)时，S'(R) 0;
2
用导数解决 数学问题
注：所得结果符合问题的实际意义
解：设两段铁丝的长度分别为x, l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2
1 16
(2x2
2lx
l2)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l
n
f (r) R r 2r
2
r(R r)
m n mn
(1) 它是一个关于r的二次函数，从函数的解 析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量 越大。
解：存储量=磁道数×每磁道的比特数
f (r) R r 2r 2 r(R r)
m n mn
(2) 为求f(r)的最大值，先计算 f (r) 0
因此，r 2是f (r)取惟一的极小值点，
也是最小值点，f (6)为最大值。
（1）半径为2时，利润最小。这时 f(2)<0,表示此种瓶内饮料的利润还不 够瓶子的成本，此时利润是负值； （2）半径为6时，利润最大。
1.4生活中的优化问题举例
令S ( x ) 0, 得x 50.
'
练习: 把长为L的铁丝分成两段，一段做 成圆形, 一段围成正方形，怎样分 法，能使圆和正方形面积之和最小.
L 解: 取 4 的一段做圆
4 L 的一段做正方形 4
例1. 某产品生产x件时的总成本函 数为
1 3 2 C ( x ) 300 x 5 x 170 x 12
每件产品的价格是134元, 求产量为 多少时利润最大.
解: 由题意, 生产x件时, 总收益 R(x)=134x ,设利润为L(x)
L( x ) R( x ) C ( x ) 1 3 2 134 x ( 300 x 5 x 170 x ) 12 1 3 2 x 5 x 36 x 300 12
f ( r ) 0.8 ( r 2r )
2
当r 2时，f ( r ) 0
当r (0,2)时，f ( r ) 0 当r ( 2,6)时，f ( r ) 0
当r=2cm时, 利润最小 当r=6cm时, 利润最大 书本P36 例1
例4. 要设计一个容积为V的圆柱形 水池(无盖), 已知底的单位面积造价 是侧面的单位面积造价的2倍, 问: 如何设计水池的底半径和高, 才 能使总造价最省? R
h
解:设高为h,底半径R, 侧面单位造价为a
则表面积S=2Rh+ R2 所以, 总造价P=2aRh+ 2aR2
由V R h, 则 2aRV 2 P (r ) 2aR 2 R
2
令P ( R ) 2aV / R 4aR 0,
2
得R V / 2 , 从而
问题: 1.瓶子多大时, 能使每瓶饮料的利 润最大? 2. 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利 润最小?
1.4生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例一、几何中的最值问题【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？1-1、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做成一个无盖的方底容器，先在四角分别截去一个小正方形,再然后把四边翻转角再焊接而成，则该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?1-2、要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图，问斜角 为多大时，水槽的流量最大？二、利润最大问题【例2】 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm .(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2-2、某分公司经销某种品牌产品，每件成品的成本为3元，且每件成品需向总公司交元a 元(35)a ≤≤的管理费，预计当每件成品的售价为x 元(911)a ≤≤时，一年销售量为2(12)x -万件.（1）求分公司一年的利润L 与每件成品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件成品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大()Q a .2-1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加0元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？三、费用最省问题【例3】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平分米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(10)x≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）3-1、已知某厂每天生产x件产品的成本为22500020040xc x=++元，若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？[注] 对于型如)0(>+=ab xb ax y 的函数最值问题，要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些方法的要点。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
1.4生活中的优化问题举例
如何解决优化问题?
优化问题
用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
作业： p371 ,5
选做：p37B1,2 Nhomakorabea例3: 如图,在二次函数f(x)= y 2的图象与x轴所 4x-x 围成的图形中有一个 内接矩形ABCD,求这 个矩形的最大面积. x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 2 . S( x) 6 x 24x 16. 令 S ( x ) 0 ,得x1 2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值. 答:当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省.
课堂小结
应用问题要引起重视. (1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、 不等式的证明及解法中有广泛的作用。 (2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函 数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很 有用.
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
3.4 生活中的优化问题举例
学习目标：
1.会利用导数求：
（1）利润最大；
（2）用料最省； （3）效率最高等优化问题 2.体会导数在实际问题中的作用，提高将实际 问题转化为数学问题的能力。
课件14：1.4 生活中的优化问题举例
2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积 最小时，底面边长为 ( C )
A．3 V
B．3 2V
C．3 4V
D．23 V
【解析】 如图，设底面边长为 x(x>0)，
则底面积
S＝
43x2，∴h＝VS＝
4V 3x2.
S 表＝x·43Vx2×3＋ 43x2×2＝4 x3V＋ 23x2，
S′表＝ 3x－4 x32 V，令 S′表＝0 得 x＝3 4V，
1.4 生活中的优化问题举例
情景导入 低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化
碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的 生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实 生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望 汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油 消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
广告的面积 S＝xy＝x1x－802000＋25＝1x8－00200x＋25x 整理得 S＝3x6－002000＋25(x－20)＋18500. 因为 x－20>0
所以 S≥2 3x6－002000＋25(x－20)＋18500＝24500. 当且仅当3x6－002000＝25(x－20)时等号成立，
又 l＝36r42－43r>0⇒r<234，所以定义域为(0,243)． (2)因为 y′＝－12r82 π＋16πr＝16π(rr23－8)， 所以令 y′>0 得 2<r<234；令 y′<0 得 0<r<2， 所以当 r＝2 时，该容器的建造费用最小为 96π 千元， 此时 l＝83.
学科核心素养 利用基本不等式处理优化问题 在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解
位：万件)的函数关系式为 y＝－31x3＋81x－234，则使该
教学设计4：1.4 生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例教学目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．教学知识梳理知识点生活中的优化问题(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．(2)利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．(3)解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．教学探究类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x )＝102(cm)， 即高与底面边长的比值为12.反思与感悟 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S ，当圆柱的容积V 最大时，圆柱的高h 的值为 ________．(2)将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面 积之和最小时，圆的周长为________ cm. 【答案】(1)6πS 3π (2)100π4＋π【解析】(1)设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr ，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r 2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32， V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. (2)设弯成圆的一段铁丝长为x (0<x <100)，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝⎛⎭⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S ′＝0，则x ＝100π4＋π.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，则问题中面积之和的最小值显然存在， 故当x ＝100π4＋π cm 时，面积之和最小．类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x )＝0，得x ＝4或x ＝6. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，由W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x ∈(9,10)时，W ′<0， 所以当x ＝9时，W 取得最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6，当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x ≤98－21 0003x×2.7x ＝38， 当且仅当1 0003x ＝2.7 x ，即x ＝1009时，W max ＝38，综上可得，当x ＝9时，W 取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m2x2(32x －512)． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元. 当堂检测1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A.1033 cmB.2033 cmC.1633 cmD.33 cm 【答案】B【解析】设圆锥的高为h cm,0<h <20， ∴V 圆锥＝13π(202－h 2)×h ＝13π(400－h 2)h∴V ′＝13π(400－3h 2)，令V ′(h )＝0得h ＝2033，当h ∈⎝⎛⎭⎫0，2033时，V ′>0，当h ∈⎝⎛⎭⎫2033，20时，V ′<0，故当h ＝2033时，体积最大．3．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P 元，销售量为Q 件，且销量Q 与零售价P 有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元【答案】D【解析】毛利润为(P －20)Q ， 即f (P )＝(P －20)(8 300－170P －P 2)， f ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700 ＝－3(P ＋130)(P －30)． 令f ′(P )＝0，得P ＝30或P ＝－130(舍去)． 又P ∈[20，＋∞)， 故f (P )max ＝f (P )极大值，故当P ＝30时，毛利润最大， 所以f (P )max ＝f (30)＝23 000(元)．4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 【答案】160【解析】设底面长为x ，由题意得底面宽为4x .设总造价为y ，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160(元)．5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x (单位：元，0≤x ≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．(2)由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故当因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．。