三3-1数理统计基础
1-数理统计基础
1、数理统计基础1.1 随机变量1.1.1随机事件和概率观测或试验的一种结果，称为一个事件。
在一定条件下进行大量重复试验时，每次都发生的事件，称为必然事件（Ω）；反之，每次都不发生的事件，称为不可能事件（Φ）；有时发生有时不发生的事件，称为随机事件或偶然事件（A ）。
随机事件的特点是在一次观测或试验中，它可能出现，也可能不出现，但在大量重复观测或试验中呈现统计规律性。
用来描述事件发生可能性大小的量就是概率。
概率的统计定义是：在相同条件下进行n 次重复试验，事件A 发生了m 次，称m 为事件的频数，称m /n 为事件的频率。
当n 足够大时，频率m /n 稳定地趋向于某一个常数p ，此常数p 称为事件A 的概率，记为)(A P ＝p ，即：)(A P ＝nm n ∞→lim ＝p （1.1） 即概率是频率的极限值。
由概率的定义可归纳出概率的三个基本性质：（1）必然事件Ω的概率等于1，即)(Ωp =1；（2）不可能事件Φ的概率等于0，即)(Φp =0；（3）任何事件的概率都介于0和1之间，即0≤)(A P ≤1。
小概率原理：当某一事件的概率非常接近于0时，说明这个事件在大量的试验中出现的概率非常小，这样的事件称为小概率事件。
小概率事件虽然不是不可能事件，但在一次连续试验中出现的可能性很小，一般可以认为不会发生，此即为小概率原理。
概率的三个定理：（1）互补定理：某事件发生的概率与不发生的概率之和为1。
当发生的概率为p ，则不发生的概率为1-p 。
全部基本事件之和为必然事件。
（2）加法定理：相互独立而又互不相容的各个事件，其概率等于它们分别出现之和。
例如，A 1，A 2，…A n 为相互独立而又互不相容的事件，其中任一事件出现的概率为各个事件概率的总和，即P （A ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）=∑=ni i A P 1)( （1.2）（3）乘法定理：相互独立的事件同时发生的概率是这些事件各自发生的概率的乘积，即P （A 1A 2…A n ）=P （A 1）P （A 2）…P （A n ）=∏=ni i A P 1)( （1.3）1.1.2 随机变量与分布函数每次试验的结果可以用一个变量X 的数值来表示，这个变量的取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量。
3-1概率论与数理统计PPT课件
3.1.2 离散随机变量及其概率分布
离散随机变量 如果一个随机变量只取有限多个或者可数无穷多个 (可列个) 可能值，这种随机变量就称为离散随机变量。
离散随机变量所有可能的取值以及相应的概率
称为它的概率分布（律），简称分布律。一般表示成：
X
x1 x2 x3 … xn …
pk
p1 p2 p3 … pn …
根据概率的定义，离散随机变量分布律
必须满足下面两个条件：
(1) pi ≥ 0 , i = 1, 2, 3, …
(2) ∑ pi = 1
看例题
3.2 重要的离散型随机变量
3.2.1 独立重复实验序列
1. 随机试验的独立性
对于一些随机试验来说，如果它们的结果互相 不影响，即每个随机试验的各种结果出现的概率不依 赖于其它随机试验出现的结果，就称这些随机试验是 相互独立的。
第3章 离散随机变量
3.1.1随机变量的概念 在涉及随机试验的实际问题中，经常遇到这样的
情况，很大一部分问题与数值发生联系，从而可以 将随机试验量化。
例1. 电话的次数 ，可能是0，1，2，… 例2 某射手对一活动靶进行射击，到击中目标为止， 所进行的射击次数，可能是1，2，…
例3 某一时间段内，车站到来的乘客数， 或在某一个区域里，野生动物的数量 ·····； 它所有可能的取值是一切非负整数。
看例9
例 (金融保险) 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。
解。 分析： 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~ B (104，0.005 ) ，需要计算P { X ≤ 60 } 。 P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ] ≈ 0.9222 。
数理统计的基本知识.ppt
设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn) 是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值．
二、样本矩
下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样
本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义:
频数
2 0 0 2 2 8 13 23 24 21 14 6 2 2 0 1
组中值
0.645 0.665 0.685 0.705 0.725 0.745 0.765 0.785 0.805 0.825 0.845 0.865 0.885 0.905 0.925 0.945
直方图中第 i 个小矩形面积 yiΔt=fi (i=1，2，…，k)，k 个小矩形的面积之 和为1．
由于样本观察值的 n 个数值 x1，x2，…，xn是从总体X 中独立抽取的，它 们落入区间 (ti-1,ti] 的频率 fi 近似等于随机变量 X 在该区间内取值的概率，即
fi≈P{ti-1<X≤ti}=pi，i=1，2，…，k，
一、样本分布函数
样本能够反映总体X的信息，总体X的分布函 数F(x)是否能由样本来“表示”？回答是肯定的， 我们用下面介绍的样本函数来近似表示总体X的 分布函数．
定义 设x(1)，x(2)，…，x(n)是总体X的顺序统计量的一组观察值，对于任 意的实数x，定义函数
0, x x(1) ;
Fn
(
x)
i n
,
x(i) x x(i1) ,
1, x x(n) .
i 1, 2,, n 1;
称 Fn(x) 为 总 体 X 的 样 本 分 布 函 数 (或 经 验 分 布 函 数)．
数理统计基础知识
多元线性回归分析
01
02
03
多元线性回归分析是研究多个自 变量与一个因变量之间线性关系 的回归分析方法。
多元线性回归模型可以表示为： y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+ε ，其中β0,β1,...,βk为模型参数， ε为随机误差项。
多元线性回归分析的步骤与一元 线性回归分析类似，但需要考虑 多个自变量的影响以及自变量之 间的相关性问题。
02 概率论基础知识
概率的定义与性质
概率的直观定义
01
描述某一事件发生的可能性大小的数值。
概率的性质
02
非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）、可加性（互
斥事件的概率之和等于它们并事件的概率）。
古典概型与几何概型
03
古典概型中每个样本点等可能出现，几何概型中样本点连续且
等可能分布。
条件概率与独立性
通过对样本进行重复抽样，生成大量自助样本，然后基于自助样本 得到参数的置信区间。
估计量的评价标准
无偏性
估计量的数学期望等于被估计的总体参数，即估计量在多次抽样下的平均 值等于总体参数真值。
有效性
对于同一总体参数的两个无偏估计量，方差更小的估计量更有效。
一致性
随着样本量的增加，估计量的值逐渐接近总体参数真值。
F检验
用于检验两个正态总体方差是否存在显著差异。
非参数假设检验
符号检验
用于检验两个相关样本的中位数是否存在显 著差异。
秩和检验
用于检验两个独立样本的中位数是否存在显 著差异。
游程检验
用于检验两个相关样本的分布是否存在显著 差异。
06 方差分析与回归分析
数理统计主要知识点
《数理统计》的主要知识点 一．统计量及其抽样分布 （一）统计量的概念1. 统计量的定义： 简单地说，统计量就是样本i x 的函数，它除i x 外不含其它未知参数。
2. 简单随机抽样：从总体中抽取样本n x x x 21，若它们相互独立同分布 ，且分布与总体 相同，则称其为简单随机抽样。
3. 常见的统计量：（1）样本均值： ∑==n i i x n x 11 （2）样本方差：()21211∑=--=n i i x x n s （3）样本k 阶原点距： ∑==n i k i k x n a 11 （4）样本k 阶中心距： ()∑=-=ni k i k x x n b 11（二）抽样分布的结构和性质 1.2χ分布： 若 n X X X ,,21 是来自总体X 的简单随机抽样，且X ~()1,0N ，则随机变量2χ=22221nX X X +++ ，此时称其分布为自由度为n 的2χ分布，记2χ~()n 2χ 性质： ①()n E=2χ ② ()n D 22=χ2.F 分布：若X ~()n 2χ，Y ~()m 2χ，且Y X 与相互独立，记随机变量F mY n X=，称其分布为自由度为n 与m 的F 分布，记 F ~F ()m n ,性质：()()nm F m n F ,1,1αα-= 3.t 分布：设随机变量Y X 与相互独立，且X ~()1,0N ，Y ~()n 2χ，则称 nY X t =的分布为自由度为n的t 分布，记t ~t ()n性质：①自由度为1的t 分布是标准柯西分布，它的均值不存在；②1>n 时，t 分布的数学期望存在且为0；③1>n 时，t 分布的方差存在且为2-n n ④当自由度较大时，t 分布可以用()1,0N 近似。
二．参数估计：（一）点估计：1. 矩估计：（替换原理）一般地：①用样本均值估计总体均值；即 ()x X E =②用样本二阶中心矩估计总体方差；()()2121∑=-==ni i nx x n s X D③用事件A 出现的频率估计事件A 发生的概率。
公路工程质量控制与安全课件第三章质量控制技术及应用3-1工程质量管理数理统计
3-1
第三章 质量控制技术及应用
三、随机事件及其频率与概率
5.频率与概率的关系
频率是一个试验值，具有随机性，可能取多个数值
概率是一个理论值，它由事件的本质所决定的，只能是唯一值， 能精确地反映事件出现可能的大小
3-1
四、质量管理常用的统计量
第三章 质量控制技术及应用
x1，x2，，xn，那么样 本的平均值 u为：
n
u
x1 x2
... xn
xi
i 1
n
n
3-1
四、质量管理常用的统计量
第三章 质量控制技术及应用
2.极差值d
极差值是指几个样本数据（x1，x2，，xn）中最大值Xmax 与最小值Xmin之差，其计算公式为：
合后任意抽取。该方法简单易行，但它只适用总体个数N较小时 的情况。 （2）查随机数表法。现代计算机技术都有随机数表，根据此表确定 样本。此法理论比较密，但使用时比较麻烦。 （3）系统抽样法。它是在施工过程中取样，可每隔一定时间和空间 抽样一次，例如在沥青混凝土拌和厂每天定时取样。 （4）分层抽样法。用于松散的堆放物质，如碎石、砂砾、石灰等。
•而每根钢筋的强度则是一个个体。
•从这批钢筋总体中随机抽出10根做试验，则10根钢筋就是样本，又 称子样。
3-1
二、质量管理中的数据
第三章 质量控制技术及应用
2.全数检查和抽样检查及随机取样
判断工程质量一般采用全数检查与抽样检查两种方法。
全数检查就是对总体中每个组成部分逐个进行检查，例如，对预构件的 尺寸、钢筋根数等每个都要检查。
3-1
第三章 质量控制技术及应用
三、随机事件及其频率与概率
2．事件的频数
数理统计复习资料
数理统计复习资料数理统计复习资料数理统计是一门应用数学的学科，主要研究数据的收集、整理、分析和解释。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、医学、社会科学等。
在学习数理统计时，我们需要掌握一些基本的概念和方法，以及一些常用的统计分布和假设检验。
下面是一些数理统计复习资料的内容。
1. 概率论基础概率论是数理统计的基础，它研究随机事件的发生概率。
在学习概率论时，我们需要了解一些基本的概念，如样本空间、事件、概率等。
同时，还需要掌握概率的计算方法，包括加法法则、乘法法则、条件概率等。
此外，还需要了解一些常用的概率分布，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
2. 统计推断统计推断是数理统计的核心内容，它研究如何通过样本对总体进行推断。
在学习统计推断时，我们需要了解抽样分布和估计量的性质。
同时，还需要学习点估计和区间估计的方法，包括最大似然估计、矩估计、置信区间等。
此外，还需要掌握假设检验的基本原理和方法，包括单样本均值检验、两样本均值检验、方差分析等。
3. 回归分析回归分析是数理统计的重要应用，它研究自变量与因变量之间的关系。
在学习回归分析时，我们需要了解线性回归模型和非线性回归模型的基本原理。
同时，还需要学习回归系数的估计方法，包括最小二乘估计、岭回归、lasso回归等。
此外，还需要掌握回归模型的诊断方法，包括残差分析、模型选择等。
4. 方差分析方差分析是数理统计的一种重要方法，它研究不同因素对观测值的影响。
在学习方差分析时，我们需要了解单因素方差分析和多因素方差分析的基本原理。
同时，还需要学习方差分析的假设检验方法，包括F检验、多重比较等。
此外，还需要掌握方差分析的扩展方法，如混合设计、重复测量设计等。
5. 非参数统计非参数统计是数理统计的一种重要分支，它不依赖于总体分布的假设。
在学习非参数统计时，我们需要了解秩和检验、符号检验、Wilcoxon秩和检验等基本方法。
同时，还需要学习非参数回归、非参数方差分析等扩展方法。
3.数理统计基础知识
假设从总体 X 中抽取了 n 个个体 X1 ，X2 ，…，X n 来对 总体 X 进行抽样观察，由于在观察测试结束之前，这 n 个个 体的观测值是不确定的，而且反复抽样所得到 n 个个体的观 测结果也是不相同的。 因此，所抽取的 n 个个体 X1 ，X2 ，…，X n 实际上就是 一个随机向量（X1 ，X2 ，…，X n ），称之为一个“ 样本” ， 每一个个体 X i 称之为一个样品； 对样本（X1 , X2 , … , X n ）的一次观测值（x1 ，x2 ，…， x n ），就是样本的一个“ 实现值（样本值）” 。 统计学的主要任务，就是提供科学的方法，借助样本值 （x1 ，x2 ，…，x n ），对未知的总体进行合理的推断。
2.3 顺序统计量
设（X1 ，X2 ，…，Xn ）为总体 X 的一个
样本，将样本中的各分量按由小到大的顺序排
列成 X (1) X (2) … X ( n ) 。
则称（X (1) ，X (2) ，… ，X ( n ) ）为样本的一组 顺序统计量，称X (i) 为样本的第 i 个顺序统计量。 特别地，称 X (1) 与 X ( n ) 分别为样本的极 小值与极极差。
3 常用的统计分布 统计推断的基本做法是：在取得总体 X 的样本（X1 ，X2 ，…，Xn ）之后，借助样本 统计量来对未知的总体分布进行推断。
1.3 统计推断问题简述
统计学要解决的主要问题，就是借助总体 X 的一个样本 （X1 ，X2 ，…，Xn ），利用其样本值（x1 ，x2 ，…，xn ）, 对总体 X 的未知分布或参数进行科学地、合理地推断。人们 将这类问题统称为统计推断问题。 在进行统计推断的过程中，为了保证推断的科学性与合 理性，需要借助样本构造一些合适的统计量（即样本的函数， 它是一个随机变量），然后再利用所构造的统计量的 “良好” 性质，对总体分布所属的类型以及总体分布中所含的未知参数 进行统计推断。
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中位数的优点：
1 .比较严密确定； 2 .简明易懂； 3 .计算简便； 4 .受抽样变动小； 5 .不受两极端数值的影响。 缺点反应不灵敏，主要适用在数据有特
大或特小极端数值或个别数据不确切时 ，属于等级性质时。
众数的优缺点：
众数虽然简明易懂，较少受两极端数值 的影响，但它不是一个良好的集中量。
1.2 样本函数与统计量
1.统计量定义 定义 设 ( X1 , X 2 , , X n )是从总体X中抽出的
一个样本，若 g( x1 , x2 , , xn )是定义在
样本空间上不含任何未知参数的一个单 值函数，则称 g( X1 , X 2 , , X n ) 为统计 量。
§2 样本均值与样本方差
则
n
pi xi x1 p1 x2 p2 xn pn
i 1
为 x1 , x2 , , xn 的加权平均数，p1 , p2 ,, pn 为 x1 , x2 , , xn 相应的权。
例3 （补）
48名学生数学分数的情况如下表：
分数- 人数 分数- 人数 分数- 人数
第三章 数理统计基础
§1 总体与样本
1.1 总体与个体 在数理统计学中，我们把由全部研究对
象所组成的集合称为总体，而把组成总 体的每一个对象称为个体。
总体是某一个具有确定概率分布的随机 变量。一般也用大写字母X，Y，Z等表示。
我们把由从总体X中随机抽取出的n个个 体 X1, X 2 ,, X n 所组成的集合称为样本， 记作（ X1, X 2 ,, X n ）。样本中所含的个 体数目称为样本容量。
2.1 样本均 1.样本均值
设( X1 , X 2 , , X n ) 为总体X的样本，测得 样本值为 ( x1 , x2 , , xn ) ，称统计量
1 n
x n i1 xi
为样本均值 。
例1 某省在全国数学高考中，随机地抽 取11份卷子，他们的成绩分别为：
79，62，84，90，91，71，76，83， 98，77，78，
试求样本均值 x 。
例2 从一批电子元件中随机抽取6个,测得 其长度,得到数据(单位:cm）：
144.2，144.5，144.1，143.1，143.5， 143.8
求样本均值 x 。
在计算 x1 , x2 , , xn 的样本均值时，若 xi 中有相同的值，就可以合并计算，假设
他的缺点有：由于数据的编制不同，可 能会得到不同的众数，所以它极不准确 、极不稳定，不适合代数运算，受抽样 变动较大。
众数常用在数据的粗略估计上。
其他的计算方法还有：
1 .加权平均数
x w n xi f i ， n f i 1
i 1Βιβλιοθήκη i 1 2 .几何平均数
x g n x1 x2 xn
例3（补）
求上面补充题的样本方差和样本标准差 。
§3 众数与中位数
3.1 众数 在一组数据中，出现次数最多的一个数
叫做这组数据的众数。 众数描述了一组数据的集中趋势。
例3（补） 求上面补充题的众数。
3.2 中位数
把一组数据按大小次序排列，处在最中 间的位置的一个数据（或两个数据的平 均数）叫做这组数据的中位数。
阅读理解成绩 34.00 52.00 60.67 69.33 77.33
求其平均进步率。
例6（补） 5个学生每分钟写钢笔字分别为6个，9
个，12个，12个，15个，这5个学生平均 写字的速度是多少？
全距、四分位距
样本具有以下两个特征：
X1, X 2 ,, X n 和总体X具有相同的分布， X1, X 2,, X n 是一组相互独立的随机变量。 统计学上,往往把具有以上特征的样本称
为简单随机样本
当一次抽样完以后，样本（ X1, X 2 ,, X n） 得到相应的一组观察值( x1, x2 ,, xn )， 我们把它称为样本值。
如一组数据19，21，24，25，27 ，其中 为数是 24；
又如一族数据：23，24，25，26，28， 30，31，32，其中位数是25.5
例3（补） 求上面补充题的中位数。
算数平均数、中位数、众数之 间的关系
算数平均数的优点： 1 .反应灵敏； 2 .严密确定； 3 .简明易懂； 4 .适合代数运算； 5 .受抽样变动的影响较小。 它主要缺点是易受两极端数值的影响。
S 2
1 n1
n i 1
(
xi
x
)2
及
s
1 n1
n i 1
(
xi
x
)2
为样本方差及样本标准差
例3 设用测温仪对某物体的温度测温了5 次，其样本值为： （单位：C）
1250，1265，1245，1260，1275， 求：1）样本方差； 2）样本标准差。
3 .调和平均数
x H
n n1
x i 1 i
例4 （补）
某年初中入学考试的语文、数学、英文 成绩按比例4：3：3计入总分，如有一学 生的语文为72分，数学为94分，英语为 分，求该学生的总分。
例5（补） 某学生语文阅读理解能力测试分数如下
表：
测试次序 1 2 3 4 5
45 - 1
65 - 3 85 - 7
50 - 2
70 - 8 90 - 5
55 - 0
75 - 7 95 - 6
60 - 2
80 - 7
求其平均数。
2.2 样本方差
设( X1 , X 2 , , X n ) 为总体X的样本，测得
样本值为 ( x1 , x2 , , xn )，则称
不同的只有k各值，即 a1 ,a2 , ,ak ，并 且 ai 出现了mi 次，则
1 n
x n i1 xi
1k
n
miai
i 1
k
ai
i 1
mi n
加权平均数
给出一组数据 x1 , x2 ,, xn ，再给出一组
正数 p1 , p2 ,, pn ，这里 n pi 1 ， i 1