最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案

研究生 习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。

2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此 当 31=c 时，)2(~2χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。

（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξΛ=， 所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。

（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ， 所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。

2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(!!1!)(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----=ξ所以 当 10<<x 时，x tdt tdtx p x x 2212!1!2!4)(020)3(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ξ()()()25222124124x x x x x -=-= 即 统计量)3(ξ的密度函数)()3(x p ξ为：⎩⎨⎧<<-=其它10)1(24)(253x x x x p（2） 由于 当10<<x 时，86025334)]1(24[)(x x dt t t x F x -=-=⎰所以 )3(ξ的分布函数 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤=11103400)(863x x xx x x F （3）)21(121121)3()3(F P P -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ξξ256243213214186=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=习题3：3-3. 已知总体ξ的分布密度为：)0(00);(>⎩⎨⎧≤>=-λλλλx x e x p x设),,,(21n ξξξΛ是容量为n 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与MIE . 3-3解：矩法 由于 x xde x dx ex dx x xp E λλλλξ-+∞+∞-+∞∞-⎰⎰⎰-===);([]λλλλλ110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-=+∞-∞+-∞+-⎰x xx e dx exe令 ξξ=E 所以 ξλ1ˆ= MIE 当0>x 时，构造似然函数∑===-=-∏ni iix n ni x ee L 11)(λλλλλ所以 ∑=-=ni i x n L 1ln )(ln λλλ 令0)(ln 1=-=∑=ni i x n d L d λλλ 得 ∑∑====ni i ni ix n xn1111ˆλ即λ的极大似然估计量为ξλ1ˆ=3-5. 为检验某种自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50L 化验，每升水中大肠杆菌的个数（ 1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布），化验结果如下：试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时才能使上述情况的概率为最大？3-5解：由于 1L 水中大肠杆菌个数服从Poisson 分布所以 )0(!)(>=-λλλe x x p x所以λ的估计量为 ξλ=ˆ 即有 1)0014231022010(501ˆ=++⋅+⋅+⋅+⋅+=λ所以 平均每升水中大肠杆菌个数为1的概率为最大。

3-26. 随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s m S 11*=。

设炮口速度是正态分布的，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的95%置信区间。

（参考数据：） 3-26解：设 ),,(~2σμξN 则 )1(~)1(222*--n S n χσ由αχσχαα-=-<-<--1)}1()1()1({22122*22n S n n P得 2σ的α-1的置信区间为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----)1()1(,)1()1(222*2212*n S n n Sn ααχχ将数据 81=-n ，535.17)8()1(2975.0221==--χχαn ，180.2)8()1(2025.022==-χχαn ， 11*=S 代入，得 2σ的95%置信区间为（55.2，444.0）， 即 σ的95%置信区间为（7.4，21.1）.习题4：4-1. 已知某炼铁厂的铁水含碳量ξ在正常下服从)108.0,55.4(2N ，现在测了5炉铁水，其含碳量分别为： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37如果方差没有改变，问总体均值有无变化？（显著性水平05.0=α）（参考数据：） 4-1. 解：检验问题 010055.4μμμμ≠==：；：H H由 ),(~2σμξN 且2σ为已知，所以 ασμαμ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥--2100u nx P 即 检验问题的拒绝域为210ασμ-≥-u n x 计算得：364.45151==∑=i i x x 有 85.35108.055.4364.40=-=-n x σμ 而 96.1975.0205.0121===--u u u α，即有210ασμ->-u n x 成立， 故 拒绝0H ，即 认为总体均值有变化。

4-2. 设某厂一台机器生产的纽扣，据经验其直径服从),(2σμN ，2.5=σ。

为检验这台机器生产是否正常，抽取容量n =100的样本，并由此算得样本均值56.26=x ，问该机器生产的纽扣的平均直径为26=μ，这个结论是否成立？（显著性水平1.0=α） （参考数据：）4-2. 解：检验问题 010026μμμμ≠==：；：H H由 ),(~2σμξN 且2σ为已知，所以 ασμαμ=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≥--2100u nx P即 检验问题的拒绝域为210ασμ-≥-u n x 由 56.26=x ， 2.5=σ， n =100 得08.11002.52656.260=-=-n x σμ 而 645.195.021.0121===--u u u α，即有n x σμ0-≯21α-u ， 故 接受0H ，即 认为这个结论是成立的。

4-11. 已知用某种钢生产的钢筋强度服从正态分布，长期以来，其抗拉强度平均为52.002mm kg 。

现改变炼钢的配方，利用新法炼了7炉钢，从这7炉钢生产的钢筋中每炉抽一根，测得其强度分别为： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04 问用新法炼钢生产的钢筋，其强度的均值是否有明显提高？（显著性水平05.0=α）（参考数据：）4-11. 解：检验问题 010052μμμμ>==：；：H H由 ),(~2σμξN 且2σ为未知，所以 αμαμ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥--)17(1*00t n S x P 即 检验问题的拒绝域为 )6(1*0αμ-≥-t nS x 计算得 136.527171∑===i i x x ， 71.2)(171712*∑==--=i i x x S ， n =7 得 133.0771.252136.52*0=-=-n S x μ而 9432.1)6()6()6(95.005.011===--t t t α，即有 nS x *0μ-≯)6(1α-t ， 故 接受0H ，即 认为强度均值无明显偏高。

4-37. 在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射到达计数器上的α粒子数ξ，共观察了100次，得结果如下表所示：其中i ν是观察到有i 个α粒子的次数。

从理论上来考虑知ξ服从Possion 分布 {}),2,1,0(!Λ===-i e i i P iλλξ问：这理论考虑是否符合实际？（显著性水平05.0=α） （参考数据：）4-37. 解：检验问题 ξ：0H 服从Possion 分布 （在显著性水平05.0=α下） 100=n 2.41001ˆ=⋅==∑ii x νλ由公式，得 {}7,,2,1,0!2.4ˆ2.4Λ====-i e i i P pi i ξ{}∑===711,10,9,8ˆi i P pξ 并计算2χ的观测值，见下表：即 检验统计量2χ的观测值为：2994.6ˆ)ˆ(22=-=∑i i i pn p n νχ 而 067.14)7()119()1(295.0205.0121==--=----χχχαr k 亦即 )7(205.012-<χχ 故 接受0H ，即 认为理论考虑符合实际。

4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α）（参考数据：）4-45. 解：数据的顺序统计量为：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82所以 6131.0][)()1(51)(=-=-+=∑k k n k k x x aL ，又 5264.10=x ， 得38197.0)(1112=-∑=i ix x故 984.0)(11122=-=∑=i ix x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W即有 105.0<<W W ， 从而 接受正态假设，亦即 零件直径服从正态分布。