三年级奥数等差数列求和习题及标准答案
(完整版)等差数列求和及练习题(整理)
等差数列求和引例：计算1+2+3+4+••…+97+98+99+100一、有关概念：像1、2、3、4、5、6、7、8、9、……这样连起来的一串数称为数列；数列中每一个数叫这个数列的一项，排在第一个位置的叫首项，第二个叫第二项，第三个叫第三项，……，最后一项又叫末项；共有多少个数又叫项数；如果一个数列，从第二项开始，每一项与前一项之差都等于一个固定的数，我们就叫做等差数列。
这个固定的数就叫做公差”。
二、有关公式：和=（首项+末项）x项数* 2末项二首项+公差x（项数-1）公差=（末项-首项）—（项数-1）项数=（末项-首项）—公差+1三、典型例题：例1、聪明脑筋转转转：判断下列数列是否是等差数列？是的请打“"”,并把等差数列的首项，末项、公差及项数写出来，如果不是请打“X”。
判断首项末项公差项数(1) 1、2、4、&16、32.( ) ( ) ( )( ) ( )(2) 42、49、56、63、70、77.( ) ( ) ( ) ( ) ( )(3) 5、1、4、1、3、1、2、1.( ) ( ) ( ) ( ) ( )(4) 44、55、66、77、88、99、110 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )练习1、填空:数列首项末项公差项数2、5、8、11、140、4、8、12、163、15、27、39、511、2、3、4、5、……、48、49、50例2、已知等差数列1,8,15,…，78.共12项，和是多少？（博易P 27例2）（看 ppt, 推出公式）例 3、计算 1+3+5+7+ +35+37+39练习 2：计算下列各题（ 1 ） 6+10+14+18+22+26+30(4) 2+4+6+8+••…+96+98+1003）已知一列数 4,6,8,10 ，… ， 64，共有 31 个数，这个数列的和是多少？例 5、有一堆圆木堆成一堆，从上到下，上面一层有 10 根，每向下一层增加一根， 共堆了 10层。
(完整)三年级奥数简单的等差数列
1.3 简单的等差数列新知导航在加减法的混合计算中,存在一种情况:多个加数(或减数)按照固定的规律依次排列,并且这些数中任意两个相邻的数的差相同,这就是数学王国中最著名的故事“高斯求和”——等差数列求和。
一、等差数列的认识【基础过关】热身题:智慧老人觉得龟兔都是可造之才,所以邀请它们来到家里继续学习新的知识。
智慧老人给它们讲了数学王子高斯小时候的故事,随后在黑板上写下了这样的一个题:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的结果是多少?分析:观察发现:本题中的数按从小到大的顺序依次排列,可以使用首尾对应求和的方式变加法为乘法计算。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11+11+11+11+11=11×5=55老师点睛当一组数字按照从小到大(或者从大到小)顺次排列且任意两个相邻的数的差相同,这组数被称之为“等差数列”。
若求这组等差数列的和,可以按照首尾对应相加的方式使用乘法计算。
二、等差数列的求和计算【综合提升】例题1:10+11+12+13+…+19分析:通过观察可得这是一组等差数列的求和计算,可以采用前面的首尾对应求和的方法。
10+11+12+13+…+19=(10+19)+(11+18)+…+(14+15)=29+29+29+…+29=29×(10÷2)=29×10÷2=290÷2=145老师点睛在连续自然数组成的等差数列求和计算中,可以将加法改为乘法计算:和=(第一个数+最后一个数)×数的个数÷2。
但首先要找到这组等差数列中数的个数,才能完成计算。
【巩固训练】(1)1+2+3+…+20(2)3+4+5+…+12(3)1+2+3+…+40(4)5+6+7+…+24例题2:3+6+9+…+60分析:通过观察可得:这组等差数列的数都是第一个数的倍数,因此在找数的个数时,可以借用倍数的特殊性。
等差数列求和练习题以及答案解析
等差数列求和练习题以及答案解析练题1已知等差数列的首项为5，公差为3，请求前10项的和。
解析根据等差数列求和公式：其中：a 是首项，d 是公差，n 是项数。
代入已知条件，得到：所以，前10项的和为245。
练题2一等差数列的首项为7，公差为2，已知前6项的和为90，请求这个等差数列的第7项。
解析可利用等差数列求和公式和已知条件来解答该问题。
根据等差数列求和公式：已知前6项的和为90，代入公式得到：90 = (6/2)(2a + (6-1)d)其中，a 是首项，d 是公差。
将已知条件代入方程中，得到：90 = 3(2a + 5d)进一步整理得到：2a + 5d = 30由已知条件可得到方程组：{a = 72a + 5d = 30}解方程组可得到 a = 7，d = 4。
根据等差数列的通项公式：其中，a 是首项，d 是公差，n 是项数。
代入已知条件，得到：an = a + (n-1)da7 = 7 + (7-1)4a7 = 7 + 6*4a7 = 7 + 24a7 = 31所以，该等差数列的第7项为31。
练题3已知等差数列的前15项的和为135，公差为1，请求该等差数列的首项。
解析可利用等差数列求和公式和已知条件来解答该问题。
根据等差数列求和公式：已知前15项的和为135，代入公式得到：135 = (15/2)(2a + (15-1)1)整理得到：270 = 15(2a + 14)进一步整理得到：2a + 14 = 18解方程可得到 a = 2。
所以，该等差数列的首项为2。
练题4一等差数列的首项为3，公差为4，已知该等差数列的前n项和为49n，请问 n 的值是多少？解析可利用等差数列的前n项和公式来解答该问题。
根据等差数列的前n项和公式：已知该等差数列的前n项和为49n，代入公式得到：49n = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，a 是首项，d 是公差。
代入已知条件，得到：49n = (n/2)(2*3 + (n-1)*4)整理得到：49n = n(6 + 4n - 4)进一步整理得到：49n = n(4n + 2)解方程可得到 n = 7。
小学奥数：等差数列计算题.专项练习及答案解析
等差数列的相关公式(1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；知识点拨等差数列计算题②65636153116533233331089（），++++++=+⨯÷=⨯=题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．例题精讲【例 1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778+++++++=⑵13578799++++++=⑶471013404346+++++++=【考点】等差数列计算题【难度】2星【题型】计算【解析】⑴根据例1的结果知：算式中的等差数列一共有76项，所以：34567677783787623078（）+++++++=+⨯÷=⑵算式中的等差数列一共有50项，所以：13578799(199)5022500++++++=+⨯÷=⑶算式中的等差数列一共有15项，所以：（）471013404346446152375+++++++=+⨯÷=【答案】⑴3078⑵2500⑶375【巩固】1+2+……+8+9+10+9+8+……+2+1=_____。
小学奥数等差数列练习及答案
小学奥数等差数列练习及答案【三篇】【篇一】知识点：1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。
数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1）首项=末项-公差（项数-1）公差=（末项- 首项）（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数【篇二】典例剖析：例（1在数列3、6、9……,201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？分析：（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：项数=（末项-首项）公差+ 1,便可求出（2）根据公式：末项=首项+公差（项数-1 ）解：项数=（201-3）3+1=67末项=3+3（201-1）=603答：共有67 个数，第201 个数是603练一练：在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？答案:第48项是286，508是第85项例（2）全部三位数的和是多少？分析：：所有的三位数就是从1 00~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现这是一个公差为1的等差数列。
要求和可以利用等差数列求和公式来解答。
解：（100+999）9002=10999002=494550答：全部三位数的和是494550。
练一练：求从1 到2000 的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
答案:1000例（3）求自然数中被10除余1 的所有两位数的和。
分析一：在两位数中，被1 0除余1最小的是1 1 ，的是91 。
从题意可知，本题是求等差数列11、21、31、……、91的和。
它的项数是9,我们可以根据求和公式来计算。
(完整)三年级奥数等差数列求和习题及答案
计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 。
三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。
四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。
例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
小学生奥数等差数列练习题及答案
小学生奥数等差数列练习题及答案1. 对于下列等差数列，求出其公差并继续列出下一个项：a) 3, 5, 7, 9, ...解答：a) 公差为2。
下一个项为11。
2. 给定等差数列的首项和公差，求出前n项的和。
a) 首项为2，公差为3，求前5项的和。
解答：a) 首项为2，公差为3。
前5项的和为2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40。
3. 给定等差数列的前n项和以及首项，求公差。
a) 前6项的和为42，首项为3，求公差。
解答：a) 前6项的和为42，首项为3。
根据等差数列求和公式，可得到以下方程：(6/2) * (2 * 3 + (6 - 1) * d) = 4218 + 15d = 4215d = 24d = 24/15公差为8/5。
4. 在下列等差数列中，求第n项：a) 1, 4, 7, 10, ...解答：a) 第n项可表示为1 + (n - 1) * 3。
例如，第5项为1 + (5 - 1) * 3 = 13。
5. 已知等差数列的首项和第n项，求公差。
a) 首项为5，第6项为20，求公差。
解答：a) 第n项可表示为首项加上公差乘以(n - 1)。
根据已知条件，可得到以下方程：5 + 5(n - 1) = 205n - 5 = 205n = 25n = 5公差为5。
6. 在下列等差数列中，求第n项的值：a) -2, -5, -8, -11, ...解答：a) 第n项可表示为-2 - (n - 1) * 3。
例如，第6项为-2 - (6 - 1) * 3 = -17。
7. 对于下列等差数列，求出给定的项：a) 2, 5, 8, 11, ...求第10项。
求第20项。
解答：a) 第n项可表示为首项加上公差乘以(n - 1)。
例如，第10项为2 + 3 * (10 - 1) = 29。
第20项为2 + 3 * (20 - 1) = 59。
8. 已知等差数列的首项和公差，求出前n项中大于m的项的个数。
三年级奥数第五讲等差数列求和
三年级奥数第五讲等差数列求和
例题1. 计算2+5+8+11+17+20+23
练习：计算1+2+3+5+7+9+11+13+15+17+19
例题2. 计算8+10+12+14+16+18+20
练习：计算3+6+9+12+15+18+21
例题3. 计算5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5
练习：20+17+14+11+8+5+2
例题4. 计算9+11+13+15+17+19+22
练习：计算5+7+9+11+13+15+17+19+21+25
例题5. 计算8+9+10+11+12+13+15+17+19+21+23
练习：计算12+13+14+15+16+18+20+22+24+26
例题6. 杨诚为了买课外书自己存钱，2003年元月存一元钱，以后每月都比前一个月多存1元钱，那么2003年这一年里一共可以存多少钱？
练习：一辆双层公共汽车空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位，第三站上三位，以此类推，到第11站之后，公汽上的作为刚好坐满。
求这两公汽共有多少个座位？
例题7. 三年级数学培优班第1小组由8名同学，开学时，老师要求该组没人都握一次手，问共握多少次手？
练习：有10把钥匙是互相配对的，但小组把锁和钥匙弄乱了，问最多需要实验多少次，就可以把锁和钥匙配起来？。
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三年级奥数等差数列求和习题及答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：计算（三）等差数列求和知识精讲一、定义：一个数列的前n 项的和为这个数列的和。
二、表达方式：常用n S 来表示 。
三：求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：(思路1)1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（） 101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和 即，和 (1001)100 2 10150 5050=+⨯÷=⨯=。
四、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯；② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯。
例题精讲：例1：求和：（1）1+2+3+4+5+6 = （2）1+4+7+11+13=（3）1+4+7+11+13＋ (85)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（3）式项数=（85-1）÷3+1=29和=（1+85）×29÷2=1247答案：（1）21 （2）36 （3）1247例2：求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+4+…+199（2）2+4+6+…+78（3）3+7+11+15+…+207分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
例如（1）式=（1+199）×199÷2=19900答案：（1）19900 （2）1160 （3）5355例3：一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列的和是多少？分析：根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756⨯=答案：56例4：求1+5+9+13+17……+401该数列的和是多少。
分析：这个数列的首项是1，末项是401，项数是（401-1）÷4+1=101，所以根据求和公式，可有：和=（1+401）×101÷2=20301答案：20301例5：有一串自然数2、5、8、11、……，问这一串自然数中前61个数的和是多少？分析：即求首项是2，公差是3，项数是61的等差数列的和，根据末项公式：末项=2+（61-1）×3=182根据求和公式：和=（2+182）×61÷2=5612答案：5612例6：把自然数依次排成“三角形阵”，如图。
第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：整体看就是自然数列，每排的个数的规律是1,3,5，7...即为奇数数列若排数为n （n≥2de 自然数)，则这排之前的数共有（n-1）（n-1)个。
（1）第十二排共有23个数。
前面共有（1+21）×11÷2=121个数，所以第十二排的第一个数为122，最后一个数为122+（23-1）×1=144（2）前十四排共有196个数，前十五排共有225个数，所以207在第十五排，第十五排的第一个数是197，所以207是第（207-197=10）个数（3）前十二排共有144个数，所以第十三排的第一个数是145，而第十三排共有25个数，所以最后一个数是145+（25-1）×1=169，所以和=（145+169）×25÷2=3925答案：（1）122；144 （2）第十五排第10个数（3）3925例7：15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？分析：由中项定理，中间的数即第8个数为：199515133÷=，所以这个数列最大的奇数即第15个数是：1332158147+⨯-=（）。
答案：147。
例8：把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？分析：由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45。
即第1个数是15，第6个数是40。
答案：第1个数：15；第6个数：40。
例9：已知等差数列15，19，23，……443，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差是多少？分析：公差=19-15=4项数=（443-15）÷4+1=108倒数第二项=443-4=439奇数项组成的数列为：15，23，31……439，公差为8，和为（15+439）×54÷2=12258偶数项组成的数列为：19，27，35……443，公差为8，和为（19+443）×54÷2=12474差为12474-12258=216答案：216例10：在1~100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少？分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1~100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是991=⨯，最大的数是99911=⨯，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：111111-+=项，所以，所求数的和是：9182799999112594++++=+⨯÷=（）． 也可以从找规律角度分析．答案：594例11：一串数按下面的规律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6……问：从左面第一个数起，前105个数的和是多少？分析：这些数字直接看没有什么规律，但是如果3个一组，会发现这样一个数列：6,9,12,15......即求首项是6，公差是3，项数是105÷3=35的和末项=6+3×（35-1）=108和=（6+108）×35÷2=1995答案：1995例12：在下面12个方框中各填入一个数，使这12个数从左到右构成等差数列，其中10、16已经填好，这12个数的和为 。
16 10 分析：由题意知：这个数列是一个等差数列，又由题目给出的两个数10和16知：公差为2，那么第一个方格填26，最后一个方格是4，由等差数列求和公式知和为：(426)122180+⨯÷=。
答案：180。
本讲小结：1. 一个数列的前n 项的和为这个数列的和，我们称为 。
2. 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数2÷，1()2n n s a a n =+⨯÷。
3.对于任意一个奇数项的等差数列，各项和等于中间项乘以项数。
练习：1. 求和：（1）1+3+5+7+9= （2）1+2+3+4＋ (21)（3）1+3+5+7+9＋ (39)分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
答案：（1）25 （2）231 （3）4002. 求下列各等差数列的和。
（1）1+2+3+…+100（2）3+6+9+…+39分析：弄清楚一个数列的首项，末项和公差，从而先根据项数公式求项数，再根据求和公式求和。
答案：（1）5050 （2）2733.一个等差数列4,8,12,16,20,24,28,32，36这个数列的和是多少?分析：根据中项定理，这个数列一共有9项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：20×9=180答案：1804.所有两位单数的和是多少？分析：即求首项是11，末项是99的奇数数列的和为多少。
和=（11+99）×45÷2=2475答案：24755. 数列1、5、9、13、……，这串数列中，前91个数和是多少？分析：首项是1，公差是4，项数是91，根据重要公式，可得：末项=1+（91-1）×4=361和=（1+361）×91÷2=16471答案：164716.如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色。
如果最底层有15个正方形，问：“金字塔”中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中11a =， 2d =，15n a =，所以151218n =-÷+=（），所以，白色方格数是：1238188236++++=+⨯÷=（） 黑色方格数是：1237177228++++=+⨯÷=（）。
答案：287. 20052006200720082009201020112008++++++÷=（） 。
分析：根据中项定理知：200520062007200820092010201120087++++++=⨯,所以原式 2008720087=⨯÷=。
答案：7。
8. 把248分成8个连续偶数的和，其中最大的那个数是多少？分析：公差为2的递增等差数列。
平均数：248÷8=31，第4个数：31-1=30；首项：30-6=24；末项：24+（8-1）×2=38。
即：最大的数为38。
答案：389. 求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
分析：解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一个公差为2的等差数列，1，3，5，…，1999也是一个公差为2的等差数列，且项数均为1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到这两个等差数列的项数相等，公差相等，且对应项差1，所以1000项就差了1000个1，即原式=1000×1=1000答案：100010. 在1~100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：先计算1~100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．12100110010025050+++=+⨯÷=（），9182799999112594++++=+⨯÷=（），所有不能被9整除的自然数和：50505944456-=．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以先计算所有1~100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了。