和平街一中-2014届高三数学二轮复习_专题1_第1讲_三角函数的图像与性质教案 (教师版)
专题一 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数的图象与性质自主学习导引真题感悟1．2013年高考北京卷（文）在△ABC 中,3,5a b ==,1sin 3A =,则sin B =（ ）A ．15B ．59C ．3D ．1【答案】B2．2013年高考北京卷（文）已知函数21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（）. (I)求f x （）的最小正周期及最大值;(II)若(,)2παπ∈,且2f α=（）,求α的值. 【答案】解:(I)因为21(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（） =1cos 2sin 2cos 42x x x +=1(sin 4cos 4)2x x +=)24x π+,所以()f x 的最小正周期为2π,最大值为2.(II)因为f α=（）所以sin(4)14πα+=. 因为(,)2παπ∈, 所以9174(,)444πππα+∈,所以5442ππα+=,故916πα=.考题分析本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下．网络构建高频考点突破考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用【例1】(2012·北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将点A (1，3)绕原点O 顺时针旋转90°到点B ，那么点B 的坐标为________；若直线OB 的倾斜角为α，则sin 2α的值为________．[审题导引] 根据三角函数的定义求出点B 的坐标，进而求出角α，可求sin 2α.[规范解答] 如图所示， ∵点A 的坐标为(3，1)，∴∠AOx ＝60°，又∠AOB ＝90°，∴∠BOx ＝30°， 过B 作BC ⊥x 轴于C ， ∵OB ＝2，∴OC ＝3，BC ＝1，∴点B 的坐标为(3，－1)，则直线OB 的倾斜角为5π6，即α＝5π6，∴sin 2α＝sin 5π3＝－sin 2π3＝－32.[答案] (3，－1) －32【规律总结】三角函数的定义与诱导公式的应用(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件． 【变式训练】1．(2012·海淀一模)若tan α＝12，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝________. 解析 cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α ＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan α1＋tan 2α＝－2×121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝－45. 答案 －45考点二：三角函数图象变换及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式 【例2】(1)(2013年房山一模）已知函数()sin()(00)f x x ωϕωϕ=+><<π,的最小正周期为π，且图象过点1(,)62π.（Ⅰ）求,ωϕ的值；（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.解：（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x fx x 2sin 32cos += ………………… 4分 )2sin 232cos 21(2x x += )62sin(2π+=x ……………… 6分周期为2.2T ππ== ………………7分 （Ⅱ） 20π≤≤x ∴67626πππ≤+≤x …… ……9分∴当262ππ=+x 时，1)62sin(=+πx 此时2)(m ax =x f ………11分 ∴当6762ππ=+x 时，21)62sin(-=+πx 此时min ()1f x =- ………13分 (2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是________．[审题导引] (1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得；(2)先由图象求出f (x )的周期，从而得ω的值，再由关键点求φ，由最小值求A ，故得f (x )，可求f .[规范解答] (2)如图所示，T 4＝712π－π3＝π4，∴T ＝π.则ω＝2.又2×π3＋φ＝π，∴φ＝π3，又易知A ＝2，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin 2π3＝62. 【规律总结】求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式及其图象变换的规律方法(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点求A ，由函数的周期确定ω，由图象上的关键点确定φ.(2)一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作把曲线y ＝sin ωx 上所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度而得到的．【变式训练】3．(2012·房山一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析 T 2＝π－3π8，∴T ＝5π4，∴ω＝2πT ＝85.又85×3π8＋φ＝3π2，∴φ＝910π. 答案 85 910π考点三：三角函数图象与性质的综合应用【例3】(2012·北京东城11校联考)已知函数f (x )＝cos 2ωx －3sin ωx ·cos ωx (ω＞0)的最小正周期是π.(1)求函数f (x )的单调递增区间和对称中心； (2)若A 为锐角△ABC 的内角，求f (A )的取值范围．[审题导引] 把f (x )化为y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 的形式后求单调区间与对称中心，再根据A的范围求f (A )的取值范围．[规范解答] (1)f (x )＝1＋cos 2ωx 2－32sin 2ωx＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋12， T ＝2π2ω＝π，ω＝1. f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12， －π＋2k π≤2x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π.函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3＋k π，－π6＋k π，k ∈Z ， 令2x ＋π3＝π2＋k π，x ＝π12＋k π2，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋k π2，12，k ∈Z . (2)0＜A ＜π2，π3＜2A ＋π3＜4π3，－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＜12， －12≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＋12＜1， 所以f (A )的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1. 【规律总结】三角函数性质的求解方法(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求解．(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性，最值与周期．[易错提示] (1)在求三角函数的最值时，要注意自变量x 的范围对最值的影响，往往结合图象求解．(2)求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，只有当ω＞0时，才可整体代入并求其解，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解． 【变式训练】4．(2012·朝阳模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝7210，求sin 2α的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解析 (1)因为f (α)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，所以22(cos α＋sin α)＝7210， 所以cos α＋sin α＝75.平方得，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝4925，所以sin 2α＝2425.(2)因为g (x )＝f (x )·f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22(cos x ＋sin x )·22(cos x －sin x ) ＝12(cos 2x －sin 2x )＝12cos 2x . 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.所以，当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.名师押题高考【押题1】已知π2＜θ＜π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝－35，则tan(π－θ)的值为 A.34 B.43 C ．－34 D ．－43解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＝－35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin θ＝45，∴tan θ＝－43，tan(π－θ)＝－tan θ＝43.答案 B[押题依据] 本题以选择题的形式考查了同角三角函数的基本关系式及诱导公式，重点突出、考查全面，题目考查内容基础性较强，符合高考的方向．【押题2】(2013·北京西城一模) 已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设22()[()]2sin g x f x x =-，求()g x 的单调递增区间． （Ⅰ）解：依题意，得3π()04f =， ………………1分即 3π3πsincos 04422a +=-=， ………………3分 解得 1a =． ………………5分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =+． ………………6分22()[()]2sin g x f x x =-22(sin cos )2sin x x x =+-s i n 2c o s 2x x =+……………8分 π)4x =+． ……………10分由 πππ2π22π242k x k -≤+≤+，得 3ππππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ． ……12分所以 ()g x 的单调递增区间为3ππ[π,π]88k k -+，k ∈Z ． ………13分[押题依据] 将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再求其周期、单调区间、最值等，一直是高考的热点考向，也是三角函数的重要内容，本题考查内容重点突出，难度适中，故押此题．附录：三角函数各区模拟试题 2013年朝阳一模1.在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边，且满足7sin b a B =，则s i n A = ，若60B =，则sin C = .2.已知函数21()sin 22x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围. 2013年大兴一模1. 函数()f x =（ ）（A ）在ππ(,)22-上递增 （B ）在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减（C ）在ππ(,)22-上递减 （D ）在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增2. 函数f x x x ()s i nc o s =的最小正周期是3. 在∆A B C 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,3cos 5=A ，π4B =，b =．(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求sin C 及∆A B C 的面积． 2013年东城一模 1.函数()sin()3f x x π=-的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线56x π=对称；②图象C 关于点4(,0)3π对称；③函数)(x f 在区间5[,]36ππ内是增函数，其中正确的结论序号是 ．(写出所有正确结论的序号)2. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B =．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =ac 的最大值．2013年房山一模1.在△ABC 中，角A B C ,,所对的边分别为,,a b c ，24A a c π===,,则角C 的大小为 .2. 已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值． 2013年丰台一模 1. 若3cos ,tan 05x x =<，则sin x = 。
高三数学二轮专题复习第1讲 三角函数的图象与性质
第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定[解析]式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1[解析] 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. [答案] B2.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减[解析] A 项，因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确.B 项，因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，当k ＝3时，直线x ＝8π3是其对称轴，B 项正确.C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＝cos 3π2＝0，所以x ＝π6是f (x ＋π)的一个零点，C 项正确.D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误. [答案] D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4[解析] 易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. [答案] B4.(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π[解析] f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.[答案] A考 点 整 合1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )区间奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π2，0⎝⎛⎭⎪⎫kπ2，0对称轴x＝kπ＋π2x＝kπ周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y＝A sin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得.(2)y＝A cos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得.(3)y＝A tan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.3.三角函数的两种常见变换热点一 三角函数的定义【例1】 (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.(2)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.[解析] (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13，∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝13(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时，cos β＝－223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－79. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时，cos β＝223，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－79.综上可知，cos(α－β)＝－79. 法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z )， ∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α， cos β＝cos[(2k ＋1)π－α]＝－cos α，k ∈Z .当sin α＝13时，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－cos 2α＋sin 2α＝－(1－sin 2α)＋sin 2α＝2sin 2α－1＝2×19－1＝－79.(2)由三角函数定义，得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α（sin α＋cos α）sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825. [答案] (1)－79 (2)1825探究提高 1.当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误.2.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.【训练1】 (1)(2018·潍坊三模)在直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，则sin(π－α)＝( ) A.12 B.32 C.－12D.－32(2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵[解析] (1)∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 23π，cos 23π，且|OP |＝1.∴由三角函数定义，知sin α＝cos 2π3＝－12.因此sin(π－α)＝sin α＝－12.(2)设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得yx <x <y ，所以－1<x <0，0<y <1.所以P 所在的圆弧是EF ︵. [答案] (1)C (2)C 热点二 三角函数的图象 考法1 三角函数的图象变换【例2－1】 (1)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度 C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度 D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y ＝f (x )的图象( )A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0对称 C.关于直线x ＝π12对称 D.关于直线x ＝－π12对称[解析] (1)因为y ＝sin 2x ＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1，故只需将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象. (2)由题意，T ＝π，ω＝2.又y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象关于y 轴对称.∴φ＋2π3＝k π＋π2，k ∈Z . 由|φ|<π2，取φ＝－π6，因此f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，代入检验f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，A 正确.[答案] (1)B (2)A探究提高 1.“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.考法2 由函数的图象特征求[解析]式【例2－2】 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的[解析]式为( )A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π12D.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(2)(2018·济南调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.1B.12 C.22 D.32[解析] (1)由题意知A ＝2，T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2，因为当x ＝5π12时取得最大值2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ，所以2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， 解得φ＝2k π－π3，k ∈Z ， 因为|φ|<π2，得φ＝－π3. 因此函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)观察图象可知，A ＝1，T ＝π，则ω＝2. 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是“五点法”中的始点，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，φ＝π3. 则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，所以x 1＋x 22＝π12，则x 1＋x 2＝π6， 因此f (x 1＋x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32. [答案] (1)B (2)D探究提高 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求[解析]式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置.【训练2】 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x )的[解析]式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12倍，再把所得的函数图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上的最小值.解 (1)设函数f (x )的最小正周期为T ，由题图可知 A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，即T ＝π，所以π＝2πω，解得ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，又过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由0＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ可得π3＋φ＝2k π，k ∈Z ， 则φ＝2k π－π3，k ∈Z ，因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故函数f (x )的[解析]式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(2)根据条件得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8时，4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，所以当x ＝π8时，g (x )取得最小值，且g (x )min ＝12. 热点三 三角函数的性质 考法1 三角函数性质【例3－1】 (2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0， 得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A ＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y ＝－A sin(－ωx －φ)，则y ＝A sin(－ωx －φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间. 考法2 三角函数性质与图象的综合应用【例3－2】 已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间.(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值. 解 (1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1) ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3. 由最小正周期为π，得ω＝1， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤kx ＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到y ＝2sin 2x ＋1的图象；所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π12(k ∈Z )，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可. 所以b 的最小值为4π＋11π12＝59π12.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【训练3】 (2018·湖南师大附中质检)已知向量m ＝(2cos ωx ，－1)，n ＝(sin ωx －cos ωx ，2)(ω>0)，函数f (x )＝m·n ＋3，若函数f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)若将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，求函数g (x )的值域.解 (1)f (x )＝m·n ＋3＝2cos ωx (sin ωx －cos ωx )－2＋3 ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4. 依题意知，最小正周期T ＝π.∴ω＝1，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，求得f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z .(2)将函数f (x )的图象先向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象. 然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4的图象.故g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4，由π4≤x ≤π2，知5π4≤4x ＋π4≤9π4.∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤22. 故函数g (x )的值域是[－2，1].1.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的图象求[解析]式(1)A＝y max－y min2，B＝y max＋y min2.(2)由函数的周期T求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.2.运用整体换元法求解单调区间与对称性类比y＝sin x的性质，只需将y＝A sin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入求解.(1)令ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，可求得对称轴方程；(2)令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx＋φ看作整体，可求得y＝A sin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号.3.函数y＝A sin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝tan x1＋tan2x的最小正周期为()A.π4 B.π2 C.π D.2π[解析] f (x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋sin 2x cos 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. [答案] C2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.[答案] A3.(2018·湖南六校联考)定义一种运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 2sin x 3 cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值是( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6[解析] f (x )＝2cos x －23sin x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，依题意g (x )＝f (x ＋φ)＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ是偶函数(其中φ>0).∴π3＋φ＝k π，k ∈Z ，则φmin ＝23π. [答案] C4.偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，其中△EFG 是斜边为4的等腰直角三角形(E ，F 是函数与x 轴的交点，点G 在图象上)，则f (1)的值为( )A.22B.62C. 2D.2 2[解析] 依题设，T 2＝|EF |＝4，T ＝8，ω＝π4. ∵函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，且0<φ<π. ∴φ＝π2，在等腰直角△EGF 中，易求A ＝2. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π2＝2cos π4x ，则f (1)＝ 2.[答案] C5.(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递减C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，3π2上单调递增D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π上单调递减[解析] 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度得函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z )得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z )，令k ＝1，得3π4≤x ≤5π4，即函数g (x )＝sin 2x 的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4.[答案] A 二、填空题6.(2018·江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________.[解析] 由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1.因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.[答案] －π67.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，其中|PQ |＝2 5.则f (x )的[解析]式为________.[解析] 由题图可知A ＝2，P (x 1，－2)，Q (x 2，2)，所以|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（－2－2）2＝（x 1－x 2）2＋42＝2 5.整理得|x 1－x 2|＝2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2|x 1－x 2|＝4，即2πω＝4，解得ω＝π2.又函数图象过点(0，－3)，所以2sin φ＝－3，即sin φ＝－32.又|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π3.[答案] f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π38.(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0).若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________.[解析] 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z ).又ω>0，∴ωmin ＝23.[答案] 23 三、解答题9.已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性.解 (1)f (x )的定义域为{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }，f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.10.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π，k ∈Z ， ∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π. 又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2. ∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3，又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.11.设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.高三数学二轮专题复习21 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。
高三数学二轮复习,第一讲三角函数图象性质
高2014届数学 二轮复习 专题二第一讲 三角函数图象与性质1.函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ）A.]4,4[ππππ+-k k （z k ∈） B.)](43,4[z k k k ∈++ππππ C. )](2,4[z k k k ∈++ππππD. )](22,42[z k k k ∈++ππππ备注：2.为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2sin =的图象（ ） A. 右移6π个单位 B. 右移12π个单位 C. 左移6π个单位 D.左移12π个单位 备注：二、热点透析 【热点一】)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象与解析式例1．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )．A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 【变式训练】1.已知函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 图象如图，试确定ϕω,.【热点二】三角函数的性质例2.设函数)2,0)(cos()sin()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则（ ）A. )(x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递减 B. )(x f y =在区间⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ上单调递减 C. )(x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上单调递增 D. )(x f y =在区间⎪⎭⎫⎝⎛43,4ππ上单调递增 备注：三、直击高考1．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( )A ．8 B.π8 C.π4D ．42.已知函数f (x )＝ (3sin ωx ＋cos ωx ) cos ωx ，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当- π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)对∀m ∈R 函数y ＝f (x )，x ∈[m ，m ＋π)图象与y ＝32有且仅有一个交点，求y ＝f (x )的单调递增区间．【拓展延伸】1.下列说法正确的是 .①“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的充分不必要条件 ②)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为周期函数，且最小正周期为23π③函数f （x ）=sinx -cos (x +6π)的值域为④函数()sin()4f x x πω=+（0ω>）在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是15[,]24【作业】必做题：二轮资料专题二，三角函数图象与性质（1）；预习（2） 选做题：1.若函数)0)(2sin()(>+=A x A x f ϕπ满足0)1(=f ，则（ ）A. )2(-x f 一定是奇函数B. )1(+x f 一定是偶函数C. )3(+x f 一定是偶函数D. )3(-x f 一定是奇函数2.为使变换后的函数图象关于点(－π12，0)成中心对称，只需将函y ＝sin (2x ＋π3)的图象( )A ．左移π12个单位长度B ．左移π6个单位长度C ．右平π12个单位长度D ．右移π6个单位长度3.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移2π个单位后，与函数sin(2)3y x π=+的图象重合，则ϕ=_________.本节反思：真题欣赏2010年全国新课标卷(4)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0，， 角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为（ ）2011全国新课标卷（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（ ）（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）452012年全国新课标卷（9）已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（）（A ）]45,21[ （B ）]43,21[ （C ）]21,0( （D ）(0,2]2013年全国新课标卷（15）设当x =θ 时，函数 f (x )＝sinx －2cosx 取得最大值，则 cosθ= ______ 2012年四川卷（4）如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A 、10B 、10C 、10D 、15（18 ）函数2()6cos3(0)2xf x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为正三角形.（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；（Ⅱ）若0()f x =，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值。
2014版高考命题探究数学知识点讲座15三角函数的图像与性质(解析版)
考点十五：三角函数的图像与性质2014年河北省某重点中学高三补习理科快班知识点讲座内部资料，请勿外传 主讲人：孟老师加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义 二.知识梳理1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2.三角函数的单调区间x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈， 递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈， 递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， tan y x =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3.函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心4.由y ＝sinx 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sinx 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sinx 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象5. 由y ＝Asin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式给出图象确定解析式y=Asin （ωx+ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置.6.对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系7. 求三角函数的单调区间一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A 、ω的正负.利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8. 求三角函数的周期的常用方法经过恒等变形化成“sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法9.五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图 五点取法是设x=ωx+ϕ，由x 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图.三．考点逐个突破 1.平移变换问题 例1.定义12142334a a a a a a a a =-,若函数sin 2 cos2x () 1 x f x =,则将()f x 的图象向右平移3π个单位所得曲线的一条对称轴的方程是A ．6x π=B ．4x π=C ．2x π=D ．x π=【答案】A 由定义可知,()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-,将()f x 的图象向右平移3π个单位得到52sin[2()]2sin(2)366y x x πππ=--=-,由52,62x k k Z πππ-=+∈得对称轴为2,32k x k Z ππ=+∈,当1k =-时,对称轴为2326x πππ=-=,选A ．例2.关于函数()=2()f x sin x -cos x cos x 的四个结论:P 1:;P 2:把函数()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后可得到函数2f (x )(sin x cos x )cos x =-的图 象;P 3:单调递增区间为[71188k ,k ππππ++],k Z ∈; P 4:图象的对称中心为 (128k ,ππ+-),k Z ∈.其中正确的结论有 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】因为2()=22221(2)14f x sin x cos x cos x sin x cos x x π-=--=--,所以最大值为1,所以P 1错误.将()21f x x =-的图象向右平移4π个单位后得到()2()2(2)142f x x x ππ=--=--,所以P 2错误.由222242k x k πππππ-+≤-≤+,解得增区间为388k x k ,k Z ππππ-+≤≤+∈,即3[]88k ,k k Z ππππ-++∈,所以3p 正确.由24x k ,k Z ππ-=∈,得,28k x k Z ππ=+∈,所以此时的对称中心为(1)28k ,ππ+-,所以4p 正确,所以选B ．例3. 已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=+->,其最小正周期为.2π(I)求()f x 的表达式;(II)将函数()f x 的图象向右平移8π个单位,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数()y g x =的图象,若关于x 的方程()0g x k +=,在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,求实数k 的取值范围.【答案】解:(I)21()cos cos 2f x x x x ωωω=⋅+-cos2112sin(2)226x x x ωπωω+=+-=+ 由题意知)(x f 的最小正周期2T π=,222T πωπωπ===所以2=ω 所以()sin 46f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭(Ⅱ)将()f x 的图象向右平移个8π个单位后,得到)34sin(π-=x y 的图象,再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到)32sin(π-=x y 的图象.所以)32sin()(π-=x x g 因为02x π≤≤,所以22333x πππ-≤-≤.()0g x k +=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解,即函数()y g x =与y k =-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个交点,由正弦函数的图象可知22k -≤-<或1k -=所以k <≤1k =-. 2.三角函数的性质 （1）单调性、周期性例4. 设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=. (Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)将函数)(x f 的图象向右平移3π个单位,得)(x g y =的图象,求x x g x F 323)()(-=在4π=x 处的切线方程.【答案】解:(Ⅰ)(1cos 2)()62)326x f x x x π+==++,故f (x )的最小正周期π=T , 由ππππk x k 2622≤+≤+-得f (x )的单调递增区间为()Z k k k ∈--]12,127[ππππ (Ⅱ)由题意:())]32336g x x x ππ=-++=+, x x xx g x F 2sin 323)()(=-=, 2'2sin 2cos 2)(x xx x x F -=, 因此切线斜率2'16)4(ππ-==F k , 切点坐标为)4,4(ππ, 故所求切线方程为)4(1642πππ--=-x y , 即08162=-+ππy x（2）最值例5.已知函数2()2sin ()21,,442f x x x x πππ⎡⎤=+--∈⎢⎥⎣⎦,则)(x f 的最小值为_________ 【答案】1【解析】2()2sin ()211cos 2()2144f x x x x x ππ=+-=-+--cos(2)2sin 222sin(2)23x x x x x ππ=-+==-,因为42x ππ≤≤,所以22633x πππ≤-≤,所以sin sin(2)sin 632x πππ≤-≤,即1sin(2)123x π≤-≤,所以12sin(2)23x π≤-≤,即1()2f x ≤≤,所以)(x f 的最小值为1.（3）奇偶性例6. 函数x xy sin 3+=的图象大致是【答案】C【 解析】函数()sin 3xy f x x ==+为奇函数,所以图象关于原点对称,排除B ．当x →+∞时,0y >,排除D ．1'()cos 3f x x =+,由1'()cos 03f x x =+=,得1cos 3x =-,所以函数()sin 3xy f x x ==+的极值有很多个,所以选C ．（4）对称性例7.已知函数()sin()(0)6f x x ωω=+π＞的最小正周期为4π,则A ．函数()f x 的图象关于点(,03π)对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x =π对称C ．函数()f x 的图象向右平移3π个单位后,图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递增【答案】C 因为函数的周期24T ππω==,所以12ω=,所以1()sin()26f x x π=+.当3x π=时,1()sin()sin 32363f ππππ=⨯+==所以A ,B 错误.将函数()f x 的图象向右平移3π个单位后得到11()sin[()]sin()2362f x x x ππ=-+=,此时为奇函数,所以选C ．（5）定义域、值域例8.已知函数f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-，求f （x ）的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.剖析：此题便于入手，求定义域、判断奇偶性靠定义便可解决，求值域要对函数化简整理. 解：由cos2x ≠0得2x ≠k π+2π，解得x ≠2πk +4π（k ∈Z ）.所以f （x ）的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2πk +4π，k ∈Z}. 因为f （x ）的定义域关于原点对称，且f （－x ）=）（－）（）（x x x 2cos 1cos 5cos 624+---=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=f （x ），所以f （x ）是偶函数. 又当x ≠2πk +4π（k ∈Z ）时， f （x ）=xx x 2cos 1cos 5cos 624+-=x x x 2cos 1cos 31cos 222））（（--=3cos 2x －1，所以f （x ）的值域为{y|－1≤y ＜21或21＜y ≤2}.3.简单的应用问题例9.已知电流I 与时间t 的关系式为sin()I A t ωϕ=+． （１）右图是sin()I A t ωϕ=+（ω＞0，||2πϕ<）在一个周期内的图象，根据图中数据求sin()I A t ωϕ=+的解析式；（２）如果t 在任意一段1150秒的时间内，电流sin()I A t ωϕ=+都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？解:本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．（１）由图可知 A ＝300．设t 1＝－1900，t 2＝1180， 则周期T ＝2（t 2－t 1）＝2（1180＋1900）＝175．∴ ω＝2T π＝150π．又当t ＝1180时，I ＝0，即sin （150π·1180＋ϕ）＝0，而||2πϕ<， ∴ ϕ＝6π．故所求的解析式为300sin(150)6I t ππ=+．（２）依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150，（ω>0） ∴ ω≥300π＞942，又ω∈N *，故最小正整数ω＝943．。
[vip专享]2014届高考数学一轮复习4.3三角函数的图象与性质教学案
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结论：正弦函数以及余弦函数的图像有____条对称轴，并且与函数图像交于图像的最
___点或最____点。每两条对称轴之间相差_____个周期。
余弦函数具有类似的性质。
正切函数没有对称轴。
（2）通过观察图像，试着写出正弦函数的两个对称中心：________、________
结论：正弦函数以及余弦函数的图像有____个对称中心，这些对称中心恰好是图像与
______
“”
3 “” 2 413“” 2 1 5
“” 21P961P9610 3 2 1 4 3 2 271 1
“” 3 21“”“”
P17-3D C B A3P682 1 2 1
“” C
BP17-23 1 A 3 D C“” B A2P16“8”---“-” 2 1 10
C
B A 3 2“” 1 “”
__________(用序号表示即可)．
【例 3－2】(2012 湖北高考)设函数 f(x)＝sin2ωx＋2 3sin
ωx·cos
( ) 1 ，1 ωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线 x＝π 对称，其中 ω，λ 为常数，且 ω∈ 2 .
(1)求函数 f(x)的最小正周期；
23WOR1DWO---RDWwOorRdDw1ordword
( )π
ω＞0，|φ|＜
【例 3－1】设函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)
2 ，给出以下四个论断：
①它的最小正周期为 π；
π
②它的图象关于直线 x＝12成轴对称图形；
( ) π ，0 ③它的图象关于点 3 成中心对称图形；
[ ) π
－ ，0 ④在区间 6 上是增函数．
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题
2014年高考数学(文科,大纲版)大二轮教学专题复习课件：专题二 三角函数 第1讲 三角函数的图象和性质
)
2 5 2 5 2 5 5 (A)(B) (C)± (D) 5 5 5 2
解析:(1)∵tan(π+α)=2,∴tan α=2,
sin( π ) cos( π ) sin( π ) cos( π )
sin a cos a sin a cos a = = sin a cos a sin a cos a tan a 1 2 1 = = =3.故选 A. tan a 1 2 1
π 5π π =cos 2 x =cos 2 x , 3 6 2
即 =
5π . 6
5π 答案: 6
4.(2012 年高考北京卷,文 15)已知函数
sin x cos xsin 2 x f(x)=
sin x
.
(1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 解:(1)由 sin x≠0,得 x≠kπ(k∈Z), ∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ,k∈Z}. ∵f(x)=
)
(2)(2013 年高考四川卷)函数 f(x)=2sin(ω x+ )（ω >0,
π π < < ）的部分图象如图所示, 2 2
则ω 、 的值分别是(
π π (A)2,(B)2,3 6 π π (C)4,(D)4, 6 3
)
π π π 解析:(1)函数 y=3cos =3sin 2 x 2 x 4 2 4
5 结合选项,代入点 π,2 验证知,选项 A 满足, 12
故选 A.
法二
5 π T 11 由图象可知, = π- π= , 12 2 2 12
2014届高考数学(理科)二轮复习专题讲义：专题二 第1讲三角函数的图像与性质
2014届高考数学（理科）二轮复习专题讲义：专题二 第1讲三角函数的图像与性质(1)三角函数的定义：若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)．(2)诱导公式：注意“奇变偶不变，符号看象限”． (3)基本关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin xcos x .二、经典例题领悟好[例1] (1)(2013·辽宁五校第二次联考)若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则 1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝( )A ．sin θ－cos θB ．cos θ－sin θC ．±(sin θ－cos θ)D ．sin θ＋cos θ(2)(2013·江西师大附中模拟)已知角α终边上一点P (3，1)，则2sin 2α－3tan α＝( ) A ．－1－3 3 B ．1－3 3 C ．－2 3 D ．0[解析] (1)1－2sin (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝|sin θ－cos θ|， 又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin θ－cos θ>0， 故原式＝sin θ－cos θ.(2)由已知得|OP |＝2，由三角函数定义可知sin α＝12，cos α＝32，即α＝2k π＋π6(k ∈Z )．所以2sin 2α－3tan α＝2sin ⎝⎛⎭⎫4k π＋π3－3tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋π6＝2sin π3－3tan π6＝2×32－3×33＝0. [答案] (1)A (2)D(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，否则机械地使用三角函数定义会出现错误.(2)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.三、预测押题不能少1．(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝⎛⎭⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1，则sin α的值是( )A.355B.377C.31010D.13解析：选C 由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，故sin α＝31010.(2)已知A 是单位圆上的点，且点A 在第二象限，点B 是此圆与x 轴正半轴的交点，记∠AOB ＝α.若点A 的纵坐标为35，则sin α＝________；tan 2α＝________.解析：由点A 的纵坐标为35及点A 在第二象限，得点A 的横坐标为－45，所以sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 答案：35 －247函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像： (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图像变换：y ＝sin x ――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ) ―――――――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)――――――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 二、经典例题领悟好[例2] (1)(2013·四川高考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3(2)(2013·新课标Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________. [解析] (1)∵34T ＝512π－⎝⎛⎭⎫－π3＝34π，∴T ＝π， ∴2πω＝π(ω>0)，∴ω＝2. 由图像知当x ＝512π时，2×512π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－π3(k ∈Z )．∵－π2<φ<π2，∴φ＝－π3.(2)y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图像，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．∵其图像与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合， ∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝π3＋π－π2＋2k π，即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ<π，∴φ＝5π6.[答案] (1)A (2)5π6(1)在利用图像求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关参数时，注意直接从图中观察振幅、周期，即可求出A 、ω，然后根据图像过某一特殊点来求φ，若是利用零点值来求，则要注意是ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值，此时要利用数形结合，否则就易步入命题人所设置的陷阱．(2)作三角函数图像左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x 的变化量，因此由y ＝sin ωx (ω>0)的图像得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图像时，应将图像上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|ω个单位，而非|φ|个单位．三、预测押题不能少2．(1)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的一个对称中心是( )A.⎝⎛⎭⎫π4，2 B.⎝⎛⎭⎫π3，2 C.⎝⎛⎭⎫π8，2D.⎝⎛⎭⎫π2，2解析：选C 将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移π4个单位，再向上平移2个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋2的图像，其对称中心的横坐标满足2x ＋3π4＝k π，即x ＝k π2－3π8，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝π8.(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示．若函数y ＝f (x )在区间[m ，n ]上的值域为[－2，2]，则n －m 的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 根据已知可得，f (x )＝2sin π4x ，若f (x )在[m ，n ]上单调，则n －m 取最小值．又当x ＝2时，y ＝2；当x ＝－1时，y ＝－2，故(n －m )min ＝2－(－1)＝3.(1)三角函数的单调区间： y ＝sin x 的单调递增区间是2222k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦， (k ∈Z )，单调递减区间是2222k k π3π⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦， (k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．(2)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π时为奇函数；当y ＝k π＋π2时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝k π＋π2求得．二、经典例题领悟好[例3] (2013·安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． [解] (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值和单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A >0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质．有关常用结论与技巧：(1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A >0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω<0，则最好用诱导公式将其转化为－ω>0后再去求解，否则极易出错．(2)对y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A >0，ω≠0)结合函数图像可观察出如下几点：①函数图像的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点； ②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期；③图像上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期． 三、预测押题不能少3．已知函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x ＋a . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为32，求a 的值． 解：(1)因为f (x )＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋12， 所以T ＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 故函数f (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )． (2)因为－π6≤x ≤π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为⎝⎛⎭⎫1＋a ＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋a ＋12＝32， 所以a ＝0.三角函数的考查形式灵活多变，主要考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性和有界性等，三角函数与平面向量、数列、函数的零点和不等式等知识的交汇命题成为近年高考的热点．一、经典例题领悟好[例1] (2013·湖北省武汉市调研测试)已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫ωx －π6－sin 2ωx (ω>0)的两个相邻的零点．(1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若对∀x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，求实数m 的取值范围． (1)学审题——审条件之审视结构f (x )―――――→恒等变换 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式――→零点 T 2＝π2―→ω的值―→f ⎝⎛⎭⎫π12的值． (2)学审题——审结论之逆向分析|f (x )－m |≤1―→f (x )－1≤m ≤f (x )＋1―→m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1―→求f (x )的最值． [解] (1)f (x )＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2ωx －π3＋cos 2ωx ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝32⎝⎛⎭⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx＝32sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. 由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π|2ω|＝π.又∵ω>0，∴ω＝1，∴f (x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1. ∵对∀x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1， ∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1. ∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤32， ∴－32≤32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤34，即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32，∴－14≤m ≤1－32.故m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－14，1－32.本题考查了三角函数与函数的零点、不等式的交汇，求解的难点是由|f (x )－m |<1恒成立，转化为m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1成立，即求f (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－7π12，0的最值． 二、预测押题不能少1．已知函数 f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫2π3＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－⎝⎛⎭⎫122＝－14. (2)f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14. f (x )<14等价于12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋14<14，即cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为511|<<Z 1212x k x k k ππ⎧⎫π+π+∈⎨⎬⎩⎭，.三角函数的概念是考查三角函数的重要工具，在高考命题中很少单独考查，2012年山东卷即考查动态中三角函数的定义．一、经典例题领悟好[例2] (2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为________．[解析] 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作P A 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2，|CD |＝cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2，所以P 点坐标为(2－sin 2，1－cos 2)，即OP 的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．[答案] (2－sin 2,1－cos 2)解决本题的关键有以下几点：(1)正确理解圆的滚动过程，确定圆心C 的坐标； (2)正确作出辅助线，并求得BP 与BC 的长度； (3)正确应用向量的坐标运算求出OP 的坐标． 二、预测押题不能少2．在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析：选A 画出草图，可知点Q 落在第三象限，则可排除B 、D ；代入A ，cos ∠QOP ＝6×(－72)＋8×(－2)62＋82＝－502100＝－22，所以∠QOP ＝3π4.代入C ，cos ∠QOP ＝6×(－46)＋8×(－2)62＋82＝－246－16100≠－22.1．(2013·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1D ．2π，2解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1.2．(2013·浙江高考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数．3．(2013·福建质检)函数f (x )＝x 2cos x 22x ππ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭的图像大致是( )解析：选B 因为f (－x )＝(－x )2cos(－x )＝x 2cos x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除C 、D ；又f ⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫π32cos π3＝π218>0，所以排除A.4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．4解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1. 5．(2013·济南模拟)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋π3(－2<x <10)的图像与x 轴交于点A ，过点A的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝( ) A ．－32 B ．－16 C ．16D ．32解析：选D 由f (x )＝0解得x ＝4，即A (4,0)，过点A 的直线l 与函数的图像交于B ，C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，如图，所以OB ＋OC ＝2OA ，所以(OB ＋OC )·OA ＝2OA ·OA ＝2|OA |2＝2×42＝32.6．(2013·济南模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ) R A>0>0,0<<2x ωϕπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的图像．为了得到这个函数的图像，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图像上所有的点()A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变解析：选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图像向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． 7．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α，则α＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos 2α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)，整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝⎛⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12. 答案：π128．(2013·荆州市质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图像关于点⎝⎛⎭⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2,2×⎝⎛⎭⎫－3π8＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 9.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝________.解析：由图像可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图像过定点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以0＝A tan2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.再由图像过定点(0,1)，可得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.故有f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 答案： 310．(2013·安徽高考)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值－ 3.此时x 的取值集合为2=2Z 3x x k k ⎧⎫ππ-∈⎨⎬⎩⎭，. (2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位长度，得y ＝f (x )的图像．11．(2013·长春市调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) >0>0<<R 22A x ωϕππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，－，的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围． 解：(1)由图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将⎝⎛⎭⎫π6，1代入得1＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3.因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 12．(2013·辽宁省五校模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数y ＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P (－3，3)， ∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f (x )＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，x ∈R ，∴y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. ∴－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1≤1. 故函数y ＝3f ⎝⎛⎭⎫π2－2x －2f 2(x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[－2,1]．。
最新高考数学二轮复习-专题二-第1讲-三角函数的图象与性质-学案讲义
第1讲三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan αα≠π2＋k π，k ∈Z .2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1(1)(2023·南宁模拟)在平面直角坐标系中，角α与β的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，它们的终边关于原点对称，且sin α＝13，则sin(α＋β)＝________.答案±429解析由题意，角α与β的顶点在原点，终边构成一条直线，所以β＝α＋π＋2k π，k ∈Z ，所以sin(α＋β)＝sin(2α＋π＋2k π)＝sin(2α＋π)＝－sin 2α＝－2sin αcos α，又sin α＝13，所以cos α＝±1－sin 2α＝±223，所以sin(α＋β)＝－2sin αcos α＝－2×13×±223＝±429.(2)(2023·巴中模拟)勾股定理，在我国又称为“商高定理”，最早的证明是由东汉末期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，他利用了勾股圆方图，此图被称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形组成的大正方形图案(如图所示)，若小正方形与大正方形的面积之比为917，则“赵爽弦图”里的直角三角形中最小角的正弦值为()A.217B.3434C.417D.1717答案D解析设大正方形的边长1，直角三角形中最小的角为θ，则中间小正方形的边长为cos θ－sinθ，由题意可得(cos θ－sin θ)2＝917，显然0<θ<π4，所以cos θ>sin θ>0，所以cos θ－sin θ＝31717，①又cos 2θ＋sin 2θ－2cos θsin θ＝917，所以2cos θsin θ＝817，所以(cos θ＋sin θ)2＝cos 2θ＋sin 2θ＋2cos θsin θ＝2517，即cos θ＋sin θ＝51717，②联立①②，解得sin θ＝1717.二级结论(1)若αsin α<α<tan α.(2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者知一可求二．跟踪演练1(1)(2023·鹰潭模拟)设sin 23°＝m ，则tan 67°等于()A ．－m 1－m 2B.m 1－m 2C.1m 2－m D.1m 2－1答案D解析∵sin 23°＝m ，∴cos 67°＝m ，∴sin 67°＝1－m 2，∴tan 67°＝1－m 2m，∵sin 23°＝m >0，∴tan 67°＝1－m 2m＝1m 2－1.(2)已知cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________.答案－15解析∵cos(α－π)，∴2sin α＝－cos α，∴tan α＝－12，∴sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－15.考点二三角函数的图象核心提炼由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的步骤例2(1)(2023·海东模拟)为了得到函数f (x )＝sin x g (x )＝cos 2x 的图象()A ．向左平移3π8个单位长度B ．向右平移3π8个单位长度C ．向左平移π8个单位长度D ．向右平移π8个单位长度答案B解析因为x x －3π4＋x f (x )＝x 故为了得到f (x )的图象，只需将g (x )的图象向右平移3π8个单位长度．(2)(多选)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)等于()A ．B ．2C ．xD ．2答案BC解析由函数图象可知，T 2＝2π3－π6＝π2，则|ω|＝2πT ＝2ππ＝2，所以排除A ；不妨令ω＝2，当x ＝2π3＋π62＝5π12时，y ＝－1，∴2×5π12＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，即函数的解析式为y ＝x ＋2π3＋2k x ＋π6＋＝x 2而x 2所以排除D ，选BC.规律方法由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2(1)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin f (x )等于()A ．B ．C ．xD ．x 答案B 解析方法一函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝f (2x )的图象，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，应当得到y ＝f根据已知得到了函数y ＝sin f t ＝则x ＝t 2＋π3，x －π4＝t 2＋π12，所以f (t )＝所以f (x )＝方法二由已知的函数y ＝sin第一步，向左平移π3个单位长度，得到y ＝＋π3－sin第二步，图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin即为y ＝f (x )的图象，所以f (x )＝(2)(2023·鞍山模拟)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ将函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g ()A.12B.22C.33D ．1答案D解析由图象可知，A ＝2，T4＝1－(－1)＝2，得T ＝8＝2πω，所以ω＝π4，所以f (x )＝2cos π4x ＋φ又因为点(－1,0)在函数f (x )的图象上，所以－π4＋φ＝0，所以－π4＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π4＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π4，即f (x )＝π4x －π4.所以g (x )＝f (x ＋1)＝2cos π4(x ＋1)－π4＝2cos π4x ，所以432cos π4×432cos π3＝1.考点三三角函数的性质核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．(3)奇偶性：当φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．例3(1)(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6x＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，则f ()A ．－32B ．－12C.12D.32答案D解析因为直线x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条相邻对称轴，所以T 2＝2π3－π6＝π2，不妨取ω>0，则T ＝π，ω＝2πT＝2，由题意知，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2×π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则f ＝32.(2)(多选)(2023·佛山模拟)已知函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)的初相为π6，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π3对称B ．函数f (x )的一个单调递减区间为－5π6，－π3C ．若把函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，则g (x )为偶函数D ．函数f (x )在区间－π6，π4上的值域为－32，332答案AB解析由题意知φ＝π6，所以f (x )＝x对于选项A ，因为f3，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－π3对称，故A项正确；对于选项B，由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3，k∈Z，则当k＝－1时，函数f(x)的一个单调递减区间为－5π6，－π3，故B项正确；对于选项C，把函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)＝3sin 2＋π6＝3sin2x的图象，所以g(x)为奇函数，故C项错误；对于选项D，因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3，所以－12≤x1，所以－32≤x3，即函数f(x)在区间－π6，π4上的值域为－32，3，故D项错误．规律方法研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋h的形式，然后结合正弦函数y＝sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y＝sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t＝ωx＋φ的范围，然后由y＝sin t 的性质判断各选项．跟踪演练3(1)(2023·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，0<φ<π，若f(x)≤|f恒成立，则f(x)的单调递增区间为()A.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)B.kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)C.kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)D.kπ－2π3，kπ－π6(k∈Z)答案D解析因为f (x )≤|f 恒成立，所以|f ＝f (x )max ＝1，即±1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π或2π3＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝－π6＋2k π或φ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝x 令－π2＋2k π≤2x ＋5π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－2π3＋k π≤x ≤－π6＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－2π3，k π－π6(k ∈Z )．(2)已知函数f (x )＝a －3tan 2x 在区间－π6，b上的最大值为7，最小值为3，则ab 的值为()A.5π12B.π3C.π6D.π12答案B解析∵x ∈－π6，b ，∴b >－π6，且2x ∈－π3，2b ，根据函数f (x )在区间－π6，b 上的最大值为7，最小值为3，得2b <π2，即b <π4，根据正切函数g (x )＝tan x －π2，则f (x )＝a －3tan 2x 在－π6，b上单调递减，∴fa ＋3＝7，解得a ＝4，∴f (b )＝4－3tan 2b ＝3，则tan 2b ＝33，∵2b －π3，∴2b ＝π6，即b ＝π12，∴ab ＝4×π12＝π3.专题强化练一、单项选择题1．已知点P (6，－8)是角α终边上一点，则sin ()A ．－45B.45C ．－35 D.35答案D解析点P (6，－8)是角α终边上一点，故cos α＝662＋(－8)2＝35，cos α＝35.2．(2023·扬州模拟)与函数y ＝tan x ()A ．x ＝π2B ．x ＝π6C ．x ＝π12D ．x ＝π4答案B解析由2x ＋π6≠π2＋k π，k ∈Z ，解得x ≠π6＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，x ≠π6，∴与函数y ＝tan x x ＝π6.3．(2023·深圳模拟)已知＝45，则cos ()A ．－35B.35C ．－45 D.45答案C解析cos π2＋＝－＝－45.4．已知直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数f (x )＝ω>0)图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π2，则f (x )的单调递增区间是()A.k π＋π6，k π＋2π3，k ∈ZB.k π－π3，k π＋π6，k ∈ZC.2k π＋π3，2k π＋4π3，k ∈ZD.2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z答案B解析∵直线x ＝x 1，x ＝x 2是函数f (x )＝sin 且|x 1－x 2|的最小值为π2，∴T 2＝π2，即T ＝π＝2πω，解得ω＝2，即f (x )＝x 令2x ＋π6∈2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ∈k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间是k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .5．(2023·全国甲卷)设甲：sin 2α＋sin 2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则()A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析甲等价于sin 2α＝1－sin 2β＝cos 2β，等价于sin α＝±cos β，所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0，所以甲不是乙的充分条件；由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，平方可得sin 2α＝cos 2β＝1－sin 2β，即sin 2α＋sin 2β＝1，所以由乙可以推导出甲，则甲是乙的必要条件．6．(2023·沈阳模拟)已知向量m ，n f (x )＝m ·n ，若∃x ∈3π4，5π4，使不等式f (x )－a －1≥0成立，则实数a 的最大值为()A ．－3B ．－3C ．－2D ．－3－1答案C解析由题设，f (x )＝＋3sin ＋3sin 若x ∈3π4，5π4，则x ＋5π12∈7π6，5π3，故－1，－12，所以f (x )∈[－2，－1]，因为∃x ∈3π4，5π4，使不等式f (x )－a －1≥0成立，只需f (x )max ≥a ＋1即可，所以a ＋1≤－1，即a ≤－2，故a 的最大值为－2.7．(2023·怀化模拟)设ω>0，若函数y ＝2cos的图象向右平移π5个单位长度后与函数y＝2sin ω的最小值是()A.12B.32C.52D.72答案C解析函数y ＝2cos的图象向右平移π5个单位长度后，得到y ＝2cos －ωπ5＋象，与函数y ＝－3π10＋2cos则－ωπ5＋π5＝－3π10＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝52－10k ，k ∈Z ，∵ω>0，∴当k ＝0时，ω取到最小值，此时ω＝52.8．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y (m)和时间t (s)的函数关系为y ＝sin(ωt ＋φ)(ω>0，|φ|<π)，如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t 1，t 2，t 3(0<t 1<t 2<t 3)，且t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝5，则1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多为()A ．19B ．20C ．40D ．41答案C解析因为t 1＋t 2＝2，t 2＋t 3＝5，t 3－t 1＝T ，所以T ＝3，又T ＝2πω，所以ω＝2π3，则y ＝＋由0≤t ≤60，则φ≤2π3t ＋φ≤40π＋φ，所以1分钟内阻尼器由其他位置摆动经过平衡位置的次数最多，等价于1分钟内y ＝＋0的次数最多，等价于区间[φ，40π＋φ]内包含k π(k ∈Z )的次数最多，又|φ|<π，则区间[φ，40π＋φ]内包含了0，π，2π，3π，…，39π或π，2π，3π，…，40π，所以区间[φ，40π＋φ]内包含k π(k ∈Z )的次数最多为40.二、多项选择题9．为了得到函数f (x )＝sinx g (x )＝sin x 的图象()A ．所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度C ．向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变D ．向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变答案AC解析将函数g (x )＝sin x 的图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数f (x )＝sin x A 正确；将函数g (x )＝sin x 的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移π18个单位长度，可以得到函数f (x )＝sin B 不正确；将函数g (x )＝sin x 的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数f (x )＝sin x C 正确；将函数g (x )＝sin x 的图象向右平移π18个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，可以得到函数f (x )＝sin x D 不正确．10．(2023·烟台模拟)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )在0，π2上单调递增C ．直线x ＝－π4是f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的图象可由y ＝2sin x 的图象向左平移π4个单位长度得到答案BC解析f (x )＝sin x －cos x 可化为f (x )＝2sin则函数f (x )＝2sin2π，A 错误；当0≤x ≤π2时，－π4≤x －π4≤π4，因为函数y ＝sin x 在－π4，π4上单调递增，所以函数f (x )在0，π2上单调递增，B 正确；当x ＝－π4时，x －π4＝－π2，所以直线x ＝－π4是f (x )图象的一条对称轴，C 正确；函数y ＝2sin x 的图象向左平移π4个单位长度得到函数g (x )＝2sin D 错误．11．(2023·黄山模拟)若sin θ·cos 2θsin θ＋cos θ＝－35，则k ∈Z )的值可能是()A.12B.13C ．2D ．3答案CD解析由余弦的二倍角公式知，sin θ·(cos 2θ－sin 2θ)sin θ＋cos θ＝sin θ·(cos θ－sin θ)＝sin θ·cos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35，得5tan θ－5tan 2θ＝－3－3tan 2θ，即2tan 2θ－5tan θ－3＝0，解得tan θ＝－12或tan θ＝3，当k ＝2m (m ∈Z )时，tan (m π＋θ)＝tan θ，当k ＝2m －1(m ∈Z )时，＝π＋θ＝－1tan θ，所以当tan θ＝－12时，＝－12或2(k ∈Z )，当tan θ＝3时，3或＝－13(k ∈Z )．12．(2023·张家口模拟)已知函数f (x )＝|sin x |＋cos|x |，则下列结论正确的有()A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的最小值为－2C ．f (x )在区间－π，－π4上单调递增D ．方程f (x )＝12在区间[0,4π]内的所有根的和为8π答案ACD解析对于A 项，f (x )的定义域为R ，f (－x )＝|sin(－x )|＋cos|－x |＝|sin x |＋cos|x |＝f (x )，故A正确；对于B 项，由cos(－x )＝cos x 得cos|x |＝cos x ，所以f (x )＝|sin x |＋cos x ，又因为f(x＋2π)＝|sin(x＋2π)|＋cos(x＋2π)＝|sin x|＋cos x＝f(x)，所以函数f(x)是以2π为周期的周期函数，所以f(x)＝|sin x|＋cos xx＋cos x，x∈[2kπ，π＋2kπ]，sin x＋cos x，x∈(π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z，即f(x)x∈[2kπ，2kπ＋π]，x∈(2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z，故函数f(x)的图象如图所示．则f(π＋2kπ)＝－1，所以函数f(x)的最小值为－1，故B错误；对于C项，方法一如图，当x∈－π，－π4时，函数f(x)在－π，－π4上单调递增，故C正确；方法二当x∈－π，－π4时，f(x)＝－sin x＋cos x＝2cos因为x＋π4∈－3π4，0，函数y＝cos x在－3π4，0上单调递增，所以函数f(x)在－π，－π4上单调递增，故C正确；对于D项，由图象可知，方程f(x)＝12在区间[0,4π]上有四个不相等的实数根，设x1<x2<x3<x4，则x1＋x42＝x2＋x32＝2π，所以x1＋x2＋x3＋x4＝8π，故D正确．三、填空题13．(2023·西安模拟)已知sin2(π－θ)＝32cos0<|θ|<π2，则θ＝________.答案π3解析由题知sin2θ＝32sinθ，所以sin θ＝32或sin θ＝0，又因为0<|θ|<π2，所以θ＝π3.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________.答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．(2023·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，如图，A ，B 是直线y ＝12与曲线y ＝f (x )的两个交点，若|AB |＝π6，则f (π)＝________.答案－32解析设12由|AB |＝π6可得x 2－x 1＝π6，由sin x ＝12可知，x ＝π6＋2k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，由图可知，ωx 2＋φ－(ωx 1＋φ)＝5π6－π6＝2π3，即ω(x 2－x 1)＝2π3，所以ω＝4.因为f 0，所以8π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝－8π3＋k π，k ∈Z .所以f (x )＝x －8π3＋k k ∈Z ，所以f (x )＝sin x f (x )＝－x 又因为f (0)<0，所以f (x )＝x所以f (π)＝＝－32.16．(2023·重庆模拟)如图，函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象与坐标轴交于点A ，B ，C ，直线BC 交f (x )的图象于点D ，O (坐标原点)为△ABD 的重心(三条边中线的交点)，其中A (－π，0)，则tan ∠ABD ＝________.答案33π6－π2解析因为O 为△ABD 的重心，且A (－π，0)，可得OA ＝23AC ＝π，则AC ＝3π2，所以所以12T ＝π2－(－π)＝3π2，所以T ＝3π，由ω>0，所以2πω＝3π，解得ω＝23，可得f (x )＝＋由f (－π)＝0，即sin 23×(－π)＋φ＝0，可得23×(－π)＋φ＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π＋2π3，k ∈Z ，又由0<φ<π，所以φ＝2π3，所以f (x )＝于是f(0)＝0＝3，所以B (0，3).所以tan ∠ABD ＝tan(∠ABO ＋∠CBO )＝tan ∠ABO ＋tan ∠CBO 1－tan ∠ABO ·tan ∠CBO ＝π3＋π231－π26＝33π6－π2.。
高三数学一轮复习讲义三角函数图像与性质
课题：三角函数的图像与性质知识点一、正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数性质sinx y =cosx y =tanx y =定义域RR⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ图像值域[]1,1-[]1,1-R 对称性对称轴：()Z k k x ∈+=2ππ对称中心：()()Z k k ∈0,π对称轴：()z k k x ∈=π 对称中心：(,0)2k ππ+无对称轴对称中心：()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛0,2π 周期 π2π2π奇偶性奇 偶奇单调性单调递增区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-22,22ππππ 单调递减区间()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++232,22ππππ单调递增区间[]()Z k k k ∈-πππ2,2单调递减区间[]()Z k k k ∈+πππ2,2单调递增区间Z k k k ∈+-)2,2(ππππ最值当22ππ+=k X 时，y 的最大值：1；22ππ-=k X 时，y 的最小值：1，其中Z k ∈当πk x 2=时，y 的最大值：1；当ππ+=k x 2时，y 的最小值：1，其中Z k ∈无最大值，无最小值求解三角函数：sin ()y A x x ωϕ=+性质常用结论与技巧； (1)运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．①令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，可求得对称轴方程；②令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，可求得对称中心的横坐标；(2)周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|，注意y ＝Atan (ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(3)最值(或值域)：求最值(或值域)时，一般要确定u ＝ωx ＋φ的范围，然后结合函数y ＝sin u 或y ＝cos u 的性质可得函数的最值(值域)．【典型例题】【例1】函数cos()3y x π=-的单调增区间是（ ）A ．42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B ．22,2()33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．32,2()88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ D ．52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【例2】函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【例3】函数)62cos()(π+=x x f 的一条对称轴为（ ）A ．6πB ．125πC ．32πD ．32π-【例4】函数2()cos cos f x x x x =+（[0,]x π∈）的单调递减区间为（ ）A ．[0,]3πB ．2[,]63ππC ．5[,]36ππD ．5[,]6ππ 【例5】函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A. 1-B.C.D. 0 【例6】已知函数2()sin 2+sin 22cos 1.33=+-+-∈f x x x x x R ππ（）（），（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求函数)(x f 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【举一反三】1．余弦函数cos()4y x π=+在下列哪个区间为减函数（ ）A ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[],0π-C ．3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.3．下列函数中，周期为π，且在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上为减函数的是（ ）A.)2sin(π+=x y B.)2cos(π+=x y C.)22cos(π+=x y D.)22sin(π+=x y4．已知函数2()3cos sin f x x x x =-，则()f x 的最小正周期为 ；单调减区间为 ．5．若函数()()13cos ,36f x x x x ππ=+-≤≤，则()f x 的最大值为（ ）A.1B.2 3 31 6．已知函数()sin sin()6f x x x π=+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.【课堂巩固】1．已知函数))(32cos(3)(R x x x f ∈-=π，下列结论错误的是（ ）A ．函数)(x f 的最小正周期为πB ．函数)(x f 图象关于点)0,125(π对称 C. 函数)(x f 在区间]2,0[π上是减函数 D ．函数)(x f 的图象关于直线6π=x 对称2．设函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=++（0ω>，||2πϕ<）的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减 C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增 3．函数3sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为_________.4．函数x x y 2cos 32sin -=的图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12π=x B ．12π-=x C. 6π=x D ．6π-=x5．函数的最小正周期是__________ .6．函数2sin 2y x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是 ． 7．已知函数3()2sin cos()32f x x x π=++. （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值及最小值.【课后练习】正确率：________1．当函数（）取得最大值时，（ ）A. B. C. D.2．设函数()()()sin 30,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 3．已知函数()()()2sin 20f x x θθπ=-+<<，14f π⎛⎫=-⎪⎝⎭则()f x 的一个单调递减区间是（ ） A ．5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．7,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．函数()sin cos()6f x x x π=--的值域为（ ）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．3,3⎡-⎣C ．[]2,2-D ．[]1,1-5．函数)2sin()(ϕ-=x A x f 的图象关于点)0,34(π成中心对称，则ϕ最小的ϕ的值为（ ） A ．3π B ．6πC ．3π-D ．6π- 6．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=（ ） A ．35- B ．35C ．45-D ．457．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则（ ）A 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B 、()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称C 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称D 、()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．函数sin 22y x x =的图象的一条对称轴方程为（ ） A. π12x =B.π12x =-C.π6x =D.π6x =-9．已知函数2()cos cos f x x x x =+，x R ∈．（1）求4()3f π；（2）求函数()f x 的最小正周期与单调减区间．。
高三数学二轮复习专题 三角函数(公开课)
高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)高三数学二轮复习专题三角函数(公开课)一、基础知识回顾三角函数是高中数学中的重要内容之一。
在这个专题中，我们将回顾三角函数的基础知识，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、性质以及相互之间的关系。
1. 三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三角函数的概念。
对于一个角A，定义了三个比值：正弦函数sinA=对边/斜边，余弦函数cosA=邻边/斜边，正切函数tanA=对边/邻边。
2. 三角函数的周期性我们知道，三角函数具有周期性。
例如，正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
这意味着在一个周期内，三角函数的值是重复的。
这种周期性使得三角函数在实际问题中具有广泛的应用。
3. 三角函数的性质三角函数有许多重要的性质。
例如，正弦函数和余弦函数是偶函数，即f(x)=f(-x)；正切函数是奇函数，即f(x)=-f(-x)。
此外，三角函数还具有增减性和界值性质。
二、三角函数的图像与性质下面我们将进一步讨论三角函数的图像与性质。
通过对三角函数图像的分析，我们能够更好地理解三角函数的特点和性质。
1. 正弦函数的图像与性质正弦函数的图像是一条连续的波浪线，振动范围在[-1,1]之间。
正弦函数的图像关于y轴对称，且在0点处取得最小值。
我们可以通过调整系数来改变正弦函数的振幅和周期。
2. 余弦函数的图像与性质余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，振动范围也在[-1,1]之间。
与正弦函数不同的是，余弦函数的图像关于x轴对称，且在0点处取得最大值。
同样地，我们可以通过系数调整来改变余弦函数的振幅和周期。
3. 正切函数的图像与性质正切函数的图像是一条连续的曲线，其值在整个实数轴上变化。
正切函数在某些点上没有定义，这些点是函数的奇点。
我们可以通过系数调整来改变正切函数的振幅和周期。
三、三角函数的应用三角函数在实际问题中有广泛的应用。
在这一部分，我们将介绍一些常见的三角函数应用，并通过例题来加深理解。
高三数学第二轮专题讲座复习：灵活运用三角函数的图象和性质解题.doc
高三数学第二轮专题讲座复习：灵活运用三角函数的图象和性质解题高考要求三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 重难点归纳1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3 三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用典型题例示范讲解例1设z 1=m +(2－m 2)i , z 2=cos θ+(λ+sin θ)i , 其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围错解分析 考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题技巧与方法 对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题解法一 ∵z 1=2z 2，∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－si n θ－1=2(s in θ－41)2－89 当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2 解法二 ∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1 ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0, 设t =m 2,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434589λλλλλ或或 ∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2 ∴λ的取值范围是［－89，2］ 例2如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 错解分析 考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活技巧与方法 首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题解 由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程020cos cos 1sin 4sin 2S L v t h L v gt αθαθ==⎧⎪⎨-=-=-⎪⎩ ① ② 由①②整理得 v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22tL ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222L t h S =+ αθv 0hO∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gL gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30° 例3如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b(1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式错解分析 不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母技巧与方法 数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式解 (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π, 由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］例4 已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立证明 若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β 0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜cos sin αβ＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角， 0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π, 0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴cos sin αβ＞1, αβsin cos ＞1,∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立 学生巩固练习1 函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )时间/h 温度/0C 30201014106o y xAoy xBoyxC oyxDo yx2 函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( ) A 非奇非偶函数 B 仅有最小值的奇函数 C 仅有最大值的偶函数D 既有最大值又有最小值的偶函数3 函数f (x )=(31)｜cos x ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________ 4 设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________5 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0(1)求证 b +c =－1； (2)求证c ≥3； (3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值 参考答案1 函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0,2π)时，y ＜0答案 D 2 解析 f (x )=cos2x +sin(2π+x )=2cos 2x －1+cos x =2［(cos x +81)2212-］－1答案 D3 解 在［－π,π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］ 而f (x )依｜cos x ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f (x )的递减区间4 解 由－2π≤ωx ≤2π，得f (x )的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得 5 解 (1)∵－1≤sin α≤1且f (sin α)≥0恒成立，∴f (1)≥0 ∵1≤2+cos β≤3,且f (2+c os β)≤0恒成立 ∴f (1)≤0 从而知f (1)=0∴b +c +1=0(2)由f (2+cos β)≤0,知f (3)≤0,∴9+3b +c ≤0 又因为b +c =－1,∴c ≥3(3)∵f (sin α)=sin 2α+(－1－c )sin α+c =(sin α－21c +)2+c －()21(c +)2,当sin α=－1时，［f (sin α)］max =8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b =－4,c =3O B αy x。