2018-2019学年华二附中高一年级下学期期中考试数学试卷

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2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题(解析版)

绝密★启用前2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期中数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件、 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C 解：1212311101a a a a a a q a q q >⎧<<⇒<<⇒⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，所以数列｛a n ｝是递增数列若数列{a n }是递增数列，则“a 1＜a 2＜a 3”，因此“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的充分必要条件，选C2．如图所示，在直角三角形ABC 中，A ∠为直角，以B 为圆心，AB 为半径作圆弧交BC 于点D ，若»AD 将ABC V 的面积分成相等的两部分，设ABC α∠=（弧度），则（）A ．sin 2cos αα=B ．2sin cos αα=C ．t n a αα=D ．t n 2a αα=答案：D根据题意得到2ABC S S ∆=扇ABD ，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到答案. 解：解：因为»AD 将ABC V 的面积分成相等的两部分，所以，2ABC S S ∆=扇ABD所以，»11222AD AB AC l AB ⋅⋅=⋅⋅⋅, 所以，11tan 222AB AB AB AB αα⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，化简得：tan 2αα=. 故选：D. 点评：本题主要考查扇形的面积公式、弧长公式，考查学生的计算能力和转化思想，属于基础题.3．在ABC ∆中，tan A 是以-4为第三项，-1为第七项的等差数列的公差，tan B 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均错答案：B本题首先可以根据“t nA a 是以4-为第三项，1-为第七项的等差数列的公差”计算出t nA a 的值，然后可以根据“tanB 是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比”计算出tanB 的值，然后根据t nA t nB a a 、的值计算出tanC 的值，最后根据t nA t nB t nC a a a 、、的值得出A B C 、、的取值范围，最终得出结果．解：因为t nA a 是以4-为第三项、1-为第七项的等差数列的公差，所以143t nA 44a -+==，因为tanB 是以12为第三项、4为第六项的等比数列的公比，所以tanB 2==，因为A B C 、、是ABC V 的内角，所以()()t nA tanBtanC tan 180tan 1t nA tanBa A B A B a ︒+=--=-+=--n3211432124+=-=-n，因为t nA t nB t nC a a a 、、都大于0，所以A B C 、、都属于()090︒、，所以ABC V 是锐角三角形．故选B ．点评：本题主要考查三角函数，考查正切函数的相关性质以及三角恒等变换公式的运用，考查推理能力．如果三个角A B C 、、在三角形内，则有A B C 180︒++=．4．已知ABC V 中，cot A 、cot B 、cot C 成等差数列，则以下结论中正确的是（） A ．角B 有最大值 B ．角B 有最小值 C ．ABC V 为锐角三角形 D ．ABC V 为钝角三角形答案：A先根据等差数列性质列等量关系，再根据两角和正弦公式、正弦定理以及余弦定理化得边的关系，最后根据余弦定理确定角B 范围，结合范围判断选择. 解：因为cot A 、cot B 、cot C 成等差数列，所以2cos cos cos 2cos sin()2cot cot cot sin sin sin sin sin sin B A C B A C B A C B A C B A C+=+∴=+∴=2cos sin sin sin sin B B B A C∴=222222222cos 2ac B b a c b b a c b ∴=∴+-=∴+=222221cos 242a c b a c B ac ac +-+∴==≥（当且仅当a c =时取等号）(0,)(0,]3B B ππ∈∴∈Q ，因此角B 有最大值，无最小值当ABC V 为正三角形时满足题意，所以排除D当22222222cos 0(,)2222b bc a c b c A A bc bc ππ+--<⇒==<⇒∈即ABC V 为钝角三角形，也满足题意，所以排除C 故选：A 点评：本题考查正弦定理、余弦定理、等差数列性质以及两角和正弦公式，考查基本分析转化判断能力，属中档题.二、填空题5．已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限答案：三利用终边相同的角的公式{}360,S k k Z ββα==+⋅∈o化简可得. 解：2020θ=︒Q ,2020=5360+220θ∴=︒⨯o o220o Q 在第三象限，2020θ=︒在第三象限.故答案为：三点评：本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：{}360,S k k Z ββα==+⋅∈o 或{}2,S k k Z ββαπ==+∈．6．已知θ的终边在第三象限，且1cos 3θ=-，则3cos()2πθ-=________先由条件可得sin 3θ=-，再由诱导公式可得3cos()sin 2πθθ-=-，得出答案.解：θ的终边在第三象限，且1cos 3θ=-，则sin 3θ===-3cos()cos 2cos sin 2223πππθπθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦点评：本题考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，解题时注意角的范围，属于基础题. 7．已知等差数列{}n a 中，202020a =，202020a =，则该等差数列的公差的大小为________答案：1-利用等差数列的性质直接求解．解：解：等差数列{}n a 中，202020a =，202020a =，∴20120201192020201920a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12039a =，1d =-．故答案为：1-．点评：本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．8．若函数()sin()6f x x πωπ=-(0)>ω的最小正周期为15，则1()3f =________ 答案：12-根据周期公式可求出ω，即可得到解析式，从而可求出1()3f ．解：因为215T πωπ==，所以10ω=，即()sin(10)6f x x ππ=-，∴1101()sin sin 3sin 336662f πππππ⎛⎫⎛⎫=-=+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：12-．点评：本题主要考查周期公式，诱导公式的应用，以及三角函数求值，属于容易题． 9．已知公比为q (0)q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2223S a =+，4423S a =+，则3a =________答案：12-用两个已知等式相减可得3422a a a =-，再用等比数列的通项公式可解得2q =，再利用2223S a =+可解得13a =-，最后利用等比数列的通项公式可解得312a =-. 解：由题意可得34424222a a S S a a +=-=-，即3422a a a =-，所以231112a q a q a q =-，因为10a ≠，0q >，所以220q q --= ，解得2q =或1q =-（舍去），由2223S a =+得12223a a a +=+，得123a a =+，所以113a a q =+，即1123a a =+，解得13a =-，所以2313412a a q ==-⨯=-.故答案为：12-. 点评：本题考查了等比数列通项公式的应用，考查了等比数列的前n 项和，属于基础题. 10．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____．先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 解：由于α为锐角，且4cos 5α=，故3sin 5α==，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故cos β====. 点评：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题. 11．若数列{}n a 的通项公式为cos2n n a n π=⋅()n ∈*N ，其前n 项和为n S ，则2020S =________答案：1010结合三角函数周期性，利用分组求和方法得结果. 解：因为cos2n y π=的周期为4 所以2020(10213041)(50617081)S =⨯-⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯+L(20170201812019020201)+⨯-⨯+⨯+⨯22225051010=+++=⨯=L故答案为：1010点评：本题考查三角函数周期性以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属基础题. 12．已知函数11()[sin ][sin ][sin ]23f x x x x =++++，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则()f x 的值域为________ 答案：{3,2,1,0,1,2,3}---由正弦函数的值域可知，[]sin 1,1x ∈-，即可根据题意，依据11121,,,0,,,12323---七个分段点分类讨论，即可求出．解：当sin 1x =-时，()()1113y =-+-+-=-；当1sin 1,2x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()()1113y =-+-+-=-；当1sin 2x =-时，()1012y =-++-=-；当11sin ,23x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()1012y =-++-=-；当1sin 3x =-时，1001y =-++=-；当1sin ,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，1001y =-++=-；当sin 0x =时，0000y =++=；当1sin 0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0000y =++=；当1sin 2x =时，0101y =++=；当12sin ,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0101y =++=；当2sin 3x =时，0112y =++=；当2sin ,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0112y =++=；当sin 1x =时，1113y =++=．所以函数()f x 的值域为{3,2,1,0,1,2,3}---．故答案为：{3,2,1,0,1,2,3}---．点评：本题主要考查高斯函数的理解和运用，以及正弦函数的值域的应用，意在考查学生分类讨论思想的应用能力，属于基础题．13．如图所示，三个全等的三角形ABF V 、BCD V 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF V 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=________73设()0AE k k =>，则2EF k =，由题意可得3CAE πθ∠=-，3CE k =，在CAE V 中，运用正弦定理可得3tan θ=，结合22tan sin 2tan 1θθθ=+可得结果. 解：设()0AE k k =>，则2EF k =，由ACE θ∠=，由于三角形ABF V 、BCD V 、CAE V 全等， ∴FAB θ∠=，CD k =，2DE k =，又∵ABC V 为等边三角形，∴3CAE πθ∠=-，在CAE V 中，由正弦定理可得：sin sin AE CE ACE CAE=∠∠，即3sin sin 3kkπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，313sin cos sin 22θθθ=-，化简得3tan 7θ=， ∴222322sin cos 2tan 737sin 23sin cos tan 126149θθθθθθθ====+++，故答案为：26. 点评：本题主要考查了利用正弦定理解三角形，利用正切求齐次式的值，属于中档题. 14．若函数()sin cos2f x a x x =+在区间(0,)n π()n ∈*N 内恰有2019个零点，则n =________答案：1346根据零点的定义可知，方程()sin cos20f x a x x =+=，即2sin 2sin 1a x x =- 在(0,)n π内有有2019个根，显然sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x=- 令sin t x =，再研究直线y a =与函数12y t t=-的交点个数，即可解出．解：令()sin cos20f x a x x =+=，即有2sin 2sin 1a x x =-，因为sin 0x =不满足方程，所以12sin sin a x x =-，令[)(]sin 1,00,1t x =∈-U ，∴12a t t=-．∵函数12y t t =-在[)1,0-上递增，在(]0,1上递增，由图象可知，直线y a =与函数12y t t=-的图象至少有一个交点．当1a >时，直线y a =与函数12y t t=-的图象只有一个交点，此时()1,0t ∈-，sin t x =在一个周期()0,2π内的(),2ππ上有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a <-时，同理可得，在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当11a -<<时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()11,0t ∈-，一个()20,1∈t ，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有两个解，所以在区间(0,)n π()n ∈*N 内不可能有奇数个解；当1a =-时，直线y a =与函数12y t t=-的图象有两个交点，一个()10,1t ∈，一个21t =-，所以sin t x =在一个周期()0,2π内，()0,π有两个解，(),2ππ有一个解，即一个周期()0,2π内有三个解，所以20193673÷=，即67321346n =⨯=．当1a =时，同理可得，1346n =．故答案为：1346．点评：本题主要考查根据函数的零点个数求参数，二倍角公式的应用，考查转化思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用，属于较难题．三、解答题15．已知函数2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-()x ∈R .（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求使得()f x 取得最大值时x 的集合. 答案：（1）减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z （2）5{|,}12x x k k ππ=+∈Z（1）利用两角差的三角公式化简函数的解析式，在根据正弦函数的性质计算可得．（2）当()f x 取最大值时，sin(2)13x π-=，22()32x k k Z πππ-=+∈，解出x 即得所求．解：解：（1）因为2()3sin(2)2sin ()612f x x x ππ=-+-所以()3sin(2)1cos2()612f x x x ππ=-+--312)cos(2)1626x x ππ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦2sin[(2)]166x ππ=--+ 2sin 213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭即()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由3222232k x k πππππ+-+剟，k Z ∈ 解得5111212k x k ππππ++剟，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递减区间为511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）当()f x 取最大值时，sin(2)13x π-=，此时22()32x k k Z πππ-=+∈，即5()12x k k Z ππ=+∈，所以所求x 的集合为5,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭．点评：本题考查三角函数的周期性和最值，求正弦函数的单调区间，化简函数的解析式，是解题的突破口，属于基础题．16．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，1a ＝1，且139,,a a a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项；(2)设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和S n . 答案：(1)a n ＝n . (2)S n ＝2n ＋1－2.解：(1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d++，解得d ＝1，d ＝0(舍去)，故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n . (2)由(1)知2=2n a n n b =，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n ＝()21212n --＝2n ＋1－2.点评：掌握等差、等比数列的概念及前n 项和公式是此类问题的关键．17．如图，岛A 、C相距海里．上午9点整有一客轮在岛C 的北偏西040且距岛C 10海里的D 处，沿直线方向匀速开往岛A ，在岛A 停留10分钟后前往B 市．上午9:30测得客轮位于岛C 的北偏西070且距岛C E 处，此时小张从岛C 乘坐速度为V 海里/小时的小艇沿直线方向前往A 岛换乘客轮去B 市．（Ⅰ）若(0,30]V ∈，问小张能否乘上这班客轮？（Ⅱ）现测得4cos 5BAC ∠=-，5sin 5ACB ∠=．已知速度为V 海里/小时((0,30]V ∈)的小艇每小时的总费用为(21502V V ++)元，若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，则至少需要多少费用？答案：（Ⅰ）若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮；（Ⅱ）若小张由岛C 直接乘小艇去B 市，其费用至少需16535元.（Ⅰ）在CDE ∆中，由余弦定理得DE ，进而得客轮的航行速度1V ，在ACE ∆中，由余弦定理得AE ，分别求出客轮和小张到岛A 所用的时间，比较即可；（Ⅱ）根据条件求得sin sin BAC B ∠，，再由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B =∠，求得BC ，进而求得总费用为()215351150501535122f V V V V V V ⎫⎫=++=++⎪⎪⎝⎭⎭，利用基本不等式求最值即可.解：（Ⅰ）如图，根据题意得： 10CD =，103CE =，7AC =704030DCE ∠=-=o o o ．在CDE ∆中，由余弦定理得， ()222232cos 10103210103102DE CD CE CD CE DCE =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=,所以客轮的航行速度110220V =⨯=（海里/小时）．因为CD DE =，所以30DEC DCE ∠=∠=o ，所以18030150AEC ∠=-=o o o ．在ACE ∆中，由余弦定理得，2222cos AC AE CE AE CE AEC =+-⋅⋅∠，整理得：2304000AE AE +-=，解得10AE =或40AE =-（不合舍去）．所以客轮从E 处到岛A 所用的时间1101202t ==小时，小张到岛A所用的时间至少为2t ==小时．由于2116t t >+，所以若小张9点半出发，则无法乘上这班客轮.（Ⅱ）在ABC ∆中，4cos 5BAC ∠=-，sin ACB ∠=, 所以ACB ∠为锐角，3sin 5BAC ∠=，cos ACB ∠= 所以()()0sin sin 180sin sin cos cos sin B BAC ACB BAC ACB BAC ACB BAC ACB⎡⎤=-∠+∠=∠+∠=∠∠+∠∠⎣⎦34555525=⨯-⨯=. 由正弦定理得，sin sin BC AC BAC B=∠,所以3BC ==所以小张由岛C 直接乘小艇去城市B 的总费用为()2115050122f V V V V V V ⎫⎫=++=++≥⎪⎪⎝⎭⎭((]0,30V ∈)，当且仅当1502V V =，即10V =时，()min f V =元）. 所以若小张由岛C 直接乘小艇去B市，其费用至少需元．18．若数列{}n a 共有k (,4)k k ∈≥*N 项，且同时满足120k a a a ++⋅⋅⋅+=，12||||||1k a a a ++⋅⋅⋅+=，则称数列{}n a 为()P k 数列.（1）若等比数列{}n a 为(4)P 数列，求1a 的值；（2）已知m 为给定的正整数，且2m ≥，①若公差为d (0)d >的等差数列{}n a 是(23)P m +数列，求公差d ；②若数列{}n b 的通项公式为1131212n n q n m b m nm n m-⎧≤≤⎪⎪=⎨-⎪+≤≤⎪⎩()n ∈*N ，其中常数1q <-，判断数列{}n b 是否为(2)P m 数列，并说明理由.答案：（1）14±；（2）①1(1)(2)d m m =++；②不是，详见解析（1）根据新定义结合等比数列即可求出1a 的值；（2）①设等差数列的公差为d ，根据新定义以及等差数列的性质即可求出公差d 的值；②若数列{}n a 是(2)P m 数列，根据新定义，对m 的值分奇数和偶数两种情况讨论，即可判断出数列{}n a 是否为(2)P m 数列.解：（1）设等比数列的公比为q ，∵数列{}n a 为(4)P 数列，∴12340a a a a +++=，∴2310q q q +++=，即()()2110q q ++=，∴1q =-，又∵12341a a a a +++=，∴141a =，解得114a =±；（2））①设等差数列的公差为d ，∵数列{}n a 是()23P m +数列，∴12230m a a a +++⋯+=，即()()1232320m a a m +++=， ∵()12322m m ++=+，∴12322m m a a a +++=，∴()2230m m a ++=，即20m a +=，又∵12231m a a a +++⋯+=，且0d >，∴()()12134231m m m m a a a a a a ++++-++⋯++++⋯+=，即()()211m m d ++=，解得()()112d m m =++，∴等差数列{}n a 的公差为得()()112d m m =++；②若数列{}n a 是()2P m 数列，则有：1220m a a a ++⋯+=，1221m a a a ++⋯+=， ∵1**,1,3,12,12n n q n m n N a m n m n m n N -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪+≤≤∈⎪⎩，且1q <-， ∴11(1)03124m q m m q -+⨯-=-（）， 11||(1)131||24m q m m q -+⨯+=-（），当m 为偶数时，在（）中，13101m q q -⨯<-，()1024m m +-<，所以（）不成立，当m 为奇数时，由（）+（）得：11 311mm q q q q --+=--，又∵1q <-，∴11 311m m q q q q -++=-+，解得21321m q q +=-， ∵()2m m ≥为奇数，∴14m q q +≥， ∴2431 2q q -≥，整理得：()()222110q q --≤，即21 12q ≤≤，与1q <-矛盾，综上可知，数列{}n a 不是()2P m 数列.点评：本题主要考查了新定义，以数列为载体，又考查的等比数列和等差数列的性质，理解新定义是解题的关键，属于难题.。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下期中考试数学试题一、单选题1．如果α是第三象限的角，那么3α必然不是下列哪个象限的角（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】先写出角α的范围，再除以3，从而求出3α角的范围，看出是第几象限角．【详解】α是第三象限的角，则32,22k k παπππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，所以22,33332k k αππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈；所以3α可以是第一、第三、或第四象限角．故选：B ．【点睛】本题考查了角的范围与象限角的判断问题，是基础题． 2．函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是（） A ．1sin ([0,])3y x x π=∈ B ．1cos ([0,])3y x x π=∈ C ．1sin ([0,])3y x x π=-∈D ．1cos ([0,])3y x x π=-∈【答案】D【解析】根据反三角函数的定义即可求出【详解】函数11arcsin 3,233y x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的反函数是1cos 3y x =-，[0,]x π∈，故选：D ．【点睛】本题主要考查反正弦函数的定义和性质，熟记反三角的定义是关键，属于基础题．3．在ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos a B c =，且满足21sin sin (2cos )sin22C A B C -=+，则ABC ∆为（） A ．锐角非等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形【答案】C【解析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A B =，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A B C +=，0A B -=代入计算求出cos C 的值为0，进而确定出C 为直角，即可确定出三角形形状．【详解】将已知等式2cos a B c =，利用正弦定理化简得： 2sin cos sin A B C = ，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，2sin cos sin cos cos sin A B A B A B ∴=+，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=，A 与B 都为ABC ∆的内角，0A B ∴-=，即A B =，已知第二个等式变形得：sin sin (2cos )A B C -=11(1cos )22C -+=11cos 2C -， 1[cos()cos 2A B -+-()](2cos )1A B C --=1cos 2C -， 1(cos 1)2C ∴---1(2cos )1cos 2C C -=-，即(cos 1)(2cos )C C +-=2cos C -，整理得：2cos 2cos 0C C -=，即cos cos (2)0C C -=， cos 0C =或cos 2C =（舍去）， 90C ∴=︒，则ABC ∆为等腰直角三角形．故选：C ．【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，积化和差公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．4．已知函数()()3f x cos x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，则（） A ．函数()1f x -一定是奇函数B ．函数()1f x +一定是奇函数C ．函数()1f x -一定是偶函数D ．函数()1f x +一定是偶函数【答案】D【解析】由三角函数图象的性质得：函数()cos(3)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，即函数(1)f x +一定为偶函数，得解．【详解】由函数()cos(3)f x x ϕ=+满足()(1)f x f ≤恒成立，得函数()f x 的图象关于直线1x =对称，即函数(1)f x +一定为偶函数，故选：D ．【点睛】本题考查了三角函数图象的性质及函数图象的平移，熟记性质是关键，属中档题．二、填空题5．2019︒是第______象限．【答案】三【解析】根据终边相同的角化为360k α⋅︒+，k Z ∈，0360α︒︒≤< 即可．【详解】20193605219︒=︒⨯+︒，是第三象限角．故答案为：三．【点睛】本题考查了终边相同的角的定义与应用问题，是基础题． 6．已知角α的终边经过点(2,3)P -，则sin α=______【答案】13-【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值．【详解】角α的终边经过点(2,3)P -，则2x =，3y =-，r OP ==，y sin r α∴==，故答案为：13-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 7．已知tan 2α=，则3sin cos 5sin 2cos αααα+=+______．【答案】712【解析】直接利用同角三角函数基本关系式化简所求的表达式为正切函数的形式，代入求解即可．【详解】tan 2α=，则3sin cos 3tan 15sin 2cos 5tan 2αααααα++=++321752212⨯+==⨯+．故答案为：712【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式以及三角函数化简求值，考查计算能力．8．函数y =______．【答案】2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈【解析】根据函数y =cos 0x ≥，再结合余弦函数的图象，求得x 的范围．【详解】根据函数y =cos 0x ≥，可得2222k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，故函数的定义域为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故答案为：2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象的特征，解三角不等式，属于基础题． 9．已知1cos()3πα-=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cot 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】-【解析】由已知求得cos α，进一步得到tan α，再由诱导公式求cot 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭．【详解】由1cos()3πα-=，3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得1cos 3α-=，即1cos 3α=-，sin 3α∴=-，则sin tan cos ααα==cot cot tan 22ππααα⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：-．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．10．已知4sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α=______．【答案】2【解析】根据同角三角函数关系以及三角函数的倍角公式进行化简即可．【详解】若4sin 5α=，α在第二象限， 3cos 5α∴=-，则2sin 2sincos222tan2cos2cos 22αααααα==4sin 5231cos 15αα===+-，故答案为：2 【点睛】本题主要考查三角函数的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数倍角公式是解决本题的关键．11．方程5sin 42cos2x x =+的解集为______．【答案】3{|arcsin2,4x x k π=+或3arcsin 2,}4x k k Z ππ=-+∈ 【解析】方程化为关于sin x 的一元二次方程，求出sin x 的值，再写出方程的解集．【详解】方程5sin 42cos2x x =+可化为2(5sin 4212si )n x x =+-，即24sin 5sin 60x x +-=，解得3sin 4x =，或sin 2x =-（不合题意，舍去）；所以该方程的解集为33|arcsin2,arcsin 2,44x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=-+∈⎨⎬⎩⎭或．故答案为：33|arcsin 2,arcsin 2,44x x k x k k Z πππ⎧⎫=+=-+∈⎨⎬⎩⎭或．【点睛】本题考查了三角函数方程的求解与应用问题，是基础题． 12．已知2sin sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则tan 8πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】3-【解析】由已知等式求得tan α，展开二倍角的正切求得tan 8π，再由两角差的正切求解．【详解】由2sin sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2sin cos 22ααα=-，4cos 22αα∴=-，则1tan 7α=-．由22tan8tan141tan 8πππ==-，解得tan 18π=-tan 18π=-+．tan tan8tan 81tan tan 8παπαπα-⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭+(1--=3=-故答案为：3-．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是中档题．13．将函数sin 2y x =的图象先沿x 轴向左平移6π个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后得到函数()y f x =图象，对于函数()y f x =有以下四个判断：①该函数的解析式为sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②该函数图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③该函数在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数；④若函数()y f x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，则12a =．其中正确判断的序号是______（写出所有正确判断的序号）．【答案】③④【解析】运用三角函数图象的平移变化及三角函数的性质可解决此问题．【详解】根据题意知，()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令3x π=则，02y =≠ ∴①②错误；对③，由函数的单调性知正确；对④，当2x π=时，f （x ）最小为111,22a a +=∴= ，正确；故答案为③④．【点睛】本题考查图象的变换及三角函数的性质的简单应用，考查推理求解能力，准确计算是关键，是中档题14．已知ABC ∆中，2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+，则cos 4A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】【解析】由已知结合正弦定理可得：2227322sin b c a bc A +=+，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，化为：2225(sin 2cos )b c A A bc+-=5b cc b =+≥=，进一步得到in 1()s A θ-≥，又in 1()s A θ-≤，可得in 1()s A θ-=．得到22A k πθπ=++，*k N ∈．求出sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由诱导公式得答案．【详解】2227sin 3sin 2sin 2sin sin sin B C A A B C +=+，由正弦定理可得：2227322sin b c a bc A +=+，222732sin 2b c bc Aa +-∴=，又2222cos a b c bc A =+-， 2222732sin 2cos 2b c bc A b c bc A +-∴=+-，化为：2252(sin 2cos )b c A A bc+-=5b cc b =+≥=c =时取等号．即)A θ-≥tan 2θ=，sinθ=cos θ=即in 1()s A θ-≥，又in 1()s A θ-≤，)sin(1A θ∴-=．22A k πθπ∴-=+，即22A k πθπ=++，*k N ∈．sin sin 2cos 4424A k ππππθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(cos sin )2210θθ=-=⨯=-.cos cos sin 44410A A A πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：10-．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题15．已知2sin cos 3αα+=．（1）求sin cos αα的值；（2）若α为第二象限的角，求11sin()cos()παπα---的值．【答案】（1）518-；（2）125-. 【解析】（1）利用同角三角函数关系，利用平方进行计算即可（2）利用三角函数的诱导公式进行化简求解即可【详解】（1）2sin cos 3αα+=，∴平方得22sin 2sin cos cos αααα++=49，得452sin cos 199αα=-=-，得5sin cos 18αα=-．（2）若α为第二象限的角，sin 0α>，cos 0α<，则11sin()cos()παπα-=--11sin cos sin cos sin cos αααααα++=21235518==--．【点睛】本题主要考查三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系以及三角函数的诱导公式是解决本题的关键．16．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的相邻对称轴之间的距离为2π，且该函数图象的一个最高点为,212π⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值和最小值．【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，单调递增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值为1.【解析】（1）由三角函数分析式的求法得：由题意有：2A =，T π=，即22Tπω==，由当12x π=时，函数()f x 取最大值，即22122k ππϕπ⨯+=+，解得23k πϕπ=+，又02πϕ<<，所以3πϕ=，即2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，（2）由三角函数的值域的求法得：当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，得解．【详解】（1）由题意有：2A =，T π= ，即22Tπω==，由当12x π=时，函数()f x 取最大值，即22122k ππϕπ⨯+=+，解得23k πϕπ=+，又02πϕ<<，所以3πϕ=，即2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-≤+≤+，得：51212k x k ππππ-≤≤+，()k ∈Z 故函数()f x 的分析式为：2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递增区间为：5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦．（2）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以2sin 2[1,2]3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 的最大值为2，最小值为1．【点睛】本题考查了三角函数分析式的求法及三角函数的值域，熟记公式准确计算是关键，属中档题．17．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()f t A t b ωϕ=++(0,0,0)A ωϕπ>><<．（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m (0)m >小时投产，求m 的最小值．【答案】（1）1()sin()2(0)262f t t t ππ=++≥（2）4【解析】试题分析：（1）由图象可得： 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩，周期12T =，2126ππω∴==，求得()f t 的解析式；（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为（t m +）小时，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：1()cos 226f t t π=+；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：1()cos ()226f t m t m π+=++；两企业用电负荷量之和为()()f t m f t ++，依题意，有9()()2f t m f t ++≤恒成立，求得m 最值；试题解析：（Ⅰ）由图象可得： 2.51.5A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得1,22A b ==周期12T =，2126ππω∴==，1()sin()226f t t πϕ∴=++，又()y f t =过点(0,2.5)，sin 1,ϕ∴= 且0ϕπ<<，2πϕ∴=，1()sin()2(0)262f t t t ππ∴=++≥（Ⅱ）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为（t m +）小时由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：1()cos 226f t t π=+；同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：1()cos ()226f t m t m π+=++；两企业用电负荷量之和1()()[cos ()cos ]4(0)266f t m f t t m t t ππ++=+++≥；依题意，有19()()[cos ()cos ]42662f t m f t t m t ππ++=+++≤恒成立，即cos()cos166t m t ππ++≤恒成立，展开有：(cos1)cossinsin16666m t m t ππππ+-≤恒成立，------10分(cos1)cossinsin)66666m t mt t πππππφ+-=+（其cos1sincosm mππφφ+==）；1≤，整理得到：1cos62m π≤-，依据余弦函数图像得：2422,()363k m k k Z πππππ+≤≤+∈，即124128k m +≤≤+，取0k =得：48m ≤≤ ∴m 的最小值为4．【考点】本题考查三角函数图象和性质及其应用、恒等变换等知识，考查建立三角函数模型，数据处理能力、运算求解能力和抽象概括能力，考查函数与方程的思想、转化与化归的思想．18．在锐角ABC ∆中，已知5cos 13A =，6ABC S ∆=，若点D 是线段BC 上一点（不含端点），过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．（1）若AEF ∆外接圆的直径长为134，求EF 的值；（2）求BC 的最小值（3）问点D 在何处时，DEF ∆的面积最大？最大值为多少？【答案】（1）3；（2）4；（3）当D 为BC 的中点时，DEF ∆的面积最大，最大值为216169. 【解析】（1）根据面积为6可得bc ，然后由正弦定理可得EF ；（2）用余弦定理得到2222cos BC b c bc A =+-，然后用重要不等式可得BC 的范围；（3）设ABD S x ∆=，然后根据面积关系将DEF ∆的面积用x 表示出来，再用一元二次函数求其最大值即可．【详解】（1）在锐角ABC ∆中，5cos 13A =，12sin 13A ∴=， 1126213ABC S bc ∆=⋅=，13bc ∴=，AEF ∆外接圆的直径长为134，由正弦定理可得，1312sin 413EF EF A ==，3EF ∴=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos BC b c bc A =+- 221021016b c bc =+-≥-=，当且仅当b c ==4BC ∴≥；故BC 的最小值为4（3）设ABD S x ∆=，则6ADC S x ∆=-，1sin 62ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=， 1213sin AB AC A ∴⋅==，DE AB ∵⊥于E ，DF AC ⊥于F ，12ABD S AB DE x ∆∴=⋅=，12ADC S AC DF ∆=⋅=6x -， 2x DE AB ∴=，122xDF AC -=，1sin()2EDF S DE DF A π∆=⋅⋅-12122sin 2x x A AB AC -=⋅⋅⋅ ()2246169x x -+=224(3)9169x ⎡⎤=---⎣⎦， ∴当3x =时，EDF S ∆的最大值为，216169． ∴当3x =时，三角形ABD 与三角形ADC 面积相等D ∴为BC 的中点，∴当D 为BC 的中点时，DEF ∆的面积最大，最大值为216169．【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，二次函数求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

2018-2019学年华二附中高三期中考

华二附中高三期中数学试卷2018.11一.填空题1.抛物线2y ax =的准线方程是1y =-，则a 的值为_____________ 2.函数()()22log 10y x x =+<的反函数是____________3.已知1020lg 034x π=，则x =_____________4.若函数211x y x -=-的值域是(,0][3,)-∝+∝U ，则此函数的定义域是__________ 5.在平面直角坐标系中，从六个点A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、E （2，2）、F （3，3）中任取三个，这三个点能构成三角形的概念是_____________（结果用分数表示）6.已知实数a 满足3a i +≥，则212lim 2n nnn n a a +-→∝+=+___________ 7.一般地，矩阵运算''a b x x c d y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可以看作向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭变换为向量''x y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，我们把矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭叫做变换矩阵，向量''x y ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭叫做向量x y ⎛⎫⎪⎝⎭的像，已知向量cos sin r r αα⎛⎫⎪⎝⎭的像是()()cos sin r r αθαθ+⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭，则对应的变换矩阵是_______ 8.某家具公司生产甲、乙两种书柜，制柜需先制白胚再油漆，每种柜的制造白胚工则该公司合理安排这两种产品的生产，每天可获得的最大利润为______________ 9.已知定义在R 上的函数()f x ，若函数()2f x +为偶函数，且()f x 对任意()1212,[2,)x x x x ∈+∝≠0 ，都有()()12120f x f x x x -<-，若()()31f a f a ≤+，则实数a 的取值范围是_________10.已知三棱锥A-BCD ，从B 、C 、D 三点及各棱中点共9个点中任取不共面4点，共____________种不同的取法（用数字作答）11.如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴y 上运动，在第一秒时它从原点运动到点（0，1），接着它按图所示在x 轴、y 轴的垂直方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么，在2018秒时，这个粒子所处的位置在点_______________.12.已知正实数p 、q 满足2p q pq +=，则22p q p q ++的最小值是_________ 二.选择题13.若()''3x y +展开式的系数之和等于()107a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（） A.15 B.10C.8D.514.已知平面α截一球面得圆M ，球中过小圆心M 的直径为AB ，过点M 且与AB 成30°角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） A.7π B.9πC.11πD.13π15.使直线1ax by +=和2250x y +=只有整数公共点的有序实数对(),a b 的个数为（） A.72B.74C.78D.8216.定义向量的外积：a b ⨯r r 叫做向量a r 与b r的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1）,a a b b a b ⊥⨯⊥⨯r r r r r r ，且,a b r r 和a b ⨯r r构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）a b ⨯r r 的模sin ,a b a b a b ⨯=•r r r r r r ,a b r r表示向量a r 、b r 的夹角）；如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论： ①1AB AC ⨯与1BD 方向相反； ②AB BC BC AB ⨯=⨯；③6BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等；④()1AB AB CB ⨯•与正方体体积的数值相等；这四个结论中，正确的结论有（）个 A.4 B.3 C.2D.1三.解答题17.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωθωθ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图像与y 轴交于点302⎛⎫⎪⎝⎭，，它在y 轴的右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3M x 、()02,3N x π+-，点P 是()f x 图像上任意一点.（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知()0,1j =r，求()j MP NP •+r 的取值范围.18.如图，△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB 23=.（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.19.已知二次函数()2f x ax bx c =++（a 、b 、c 均为实常数，*a N ∈）的最小值是0，函数()y f x x =-的零点是352x +=和352x =，函数()g x 满足()()21f x g x x k =•+-，其中2k ≥，为常数.（1）已知实数1x 、2x ，满足120x k x <<<，且212x x k •>，试比较()1g x 与()2g x的大小关系，并说明理由；（2）求证：()()()()()()1211221g g g k g k g k g k +++->++++-L L .20.已知A 、B 为椭圆()222210x y a b a b +=>>和双曲线22221x y a b-=的公共顶点，P 、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于A 、B 的动点，且()(),>1AP BP AQ BQ R λλλ+=+∈，设AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k .（1）若2λ=，求2OP 的值（用a 、b 的代数式表示）；（2）求证：12340k k k k +++=；（3）设1F 、2F 分别为椭圆和双曲线的右焦点，若22F P F Q P ，求22221234k k k k +++的值.21.已知数列{}()()11:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,...,1,...,1k k k n a k k ----------644474448个，即当()()()*1122k k k k n k N -+<≤∈时，()11k na k -=-，记()*12n n S a a a n N =+++∈L .（1）求2018S 的值；（2）求当（()()()()*11222k k k k n k N +++<≤∈，试用n 、k 的代数式表示()*n S n N ∈；（3）对于*t N ∈，定义集合{|t n P n S =是n a 的整数倍，*n N ∈，且1}n t ≤≤，求集合2018P 中元素的个数.参考答案一.填空题1.142.)0y x =>3.14.[0,1)(1,2]U5.346.a7.cos sin sin cos θθθθ- 8.2729.13,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.6911.()6,4412.10二.选择题 13.D 14.A 15.A 16.D三.解答题17.（1）()13sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[]6,6-18.（1）d =（2 19.（1）()()()21221,f x x x g x g x =-+<；（2）略20.（1）22532a b +；（2）证明略；（3）821.（1）1888；（2）()()()11112k n k k S m k -+⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，其中1,2,...,1m k =+，()()()()*11222k k k k n k N +++<≤∈；（3）65.。

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一(下)期末数学试卷

2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n }中.已知a 2=4.a 6=16.则a 4=___ ．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n13.（单选题.3分）设S k =1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k.则S k+1为（）A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k +12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+114.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 9015.（问答题.0分）已知关于x 的方程sin 2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m 的取值范围.使此方程有解．16.（问答题.0分）在公差为d 的等差数列{a n }中.已知a 1=10.且a 1.2a 2+2.5a 3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n ；（Ⅱ）若d ＜0.求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：18.满分：01.（填空题.3分）在等比数列{a n}中.已知a2=4.a6=16.则a4=___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由等比数列通项公式得a2a6=a42 .由此能求出a4．【解答】：解：∵在等比数列{a n}中.a2=4.a6=16.∴ a2a6=a42 =4×16=64.且a4＞0.解得a4=8．故答案为：8．【点评】：本题考查等比数列的第4项的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．2.（填空题.3分）已知sinx=- 13 .x∈[π. 32π ].则x=___ ．【正确答案】：[1]π+arcsin 13【解析】：先将x∈[π. 32π ].化为π-x∈[- π2，0 ].再利用诱导公式sin（π-x）=sinx.求出π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.然后计算得解．【解答】：解：因为x∈[π. 32π ].所以π-x∈[- π2，0 ].由sinx=- 13.sin（π-x）=sinx.所以sin（π-x）=- 13.即π-x=arcsin（- 13）=-arcsin 13.所以x=π+arcsin 13.故答案为：π+arcsin 13 ．【点评】：本题考查了解三角方程.及正弦的主值区间.属简单题3.（填空题.3分）数列{a n }的前n 项和为S n .已知S n =2n 2+n+1.则a n =___ ．【正确答案】：[1] {4，n =14n −1，n ≥2【解析】：根据数列的递推公式即可求出通项公式．【解答】：解：当n=1时.a 1=S 1=2×12+1+1=4.当n≥2时.a n =S n -S n-1=2n 2+n+1-[2（n-1）2+n-1+1]=4n-1. 当n=1时.a 1=3≠4. 故a n = {4，n =14n −1，n ≥2 .故答案为： {4，n =14n −1，n ≥2 ．【点评】：本题考查了数列的递推公式.属于基础题4.（填空题.3分）等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n .和T n .且 S n T n= 3n+17n+3 .则 a9b 9=___ ．【正确答案】：[1] 2661【解析】：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= S17T 17.代值计算可得．【解答】：解：由等差数列的性质和求和公式可得 a 9b 9= 2a 92b 9 = a 1+a 17b 1+b 17 = S 17T 17 = 3×17+17×17+3 = 2661. 故答案为： 2661【点评】：本题考查等差数列的性质和求和公式.属基础题． 5.（填空题.3分） lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：求出数列通项公式的表达式.求出数列的和.然后求解数列的极限即可．【解答】：解： 11+2+3+⋯+n = 2n (n+1) =2（ 1n −1n+1 ）.∴ lim n→∞（1+ 11+2 + 11+2+3 +……+ 11+2+3+⋯+n ）= lim n→∞2（1- 12+12−13+13−14 +… +1n −1n+1 ）=lim n→∞（2- 2n+1 ）=2．故答案为：2．【点评】：本题考查数列的和.数列的极限的求法.考查计算能力．6.（填空题.3分）一个正实数.它的小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列.则这个正实数是___ ．【正确答案】：[1]√5+12【解析】：根据题意.这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.结合等比数列的性质可得a 2q 2=a （a-aq ）.即q 2+q-1=0.解可得q 的值.又由aq 为正整数且aq 2＜1.设aq 这个正整数为m.则有a= mq =m× √5+12且m （√5+12 ）×（ √5−12）2＜1.解可得m 的值.变形可得a 的值.即可得答案．【解答】：解：小数部分、整数部分及这个正实数依次成等比数列. 不妨设这个数为a.则整数部分aq.则小数部分为a-aq.则q ＞0. 则有a 2q 2=a （a-aq ）. 即q 2+q-1=0. 解得q=√5−12 .q= −1−√52（舍去）. 又由aq 为正整数.设aq 这个正整数为m.则a= mq =m× √5+12. 又由aq 2＜1.即m （ √5+12 ）×（ √5−12）2＜1. 解可得m ＜√5+12.又由m 为整数.则m=1.则a= mq=m× √5+12 = m q = √5+12. 故答案为： √5+12．【点评】：本题考查等比数列的性质.涉及等比中项的计算.注意分析q 的范围.属于基础题． 7.（填空题.3分）化小数为最简分数：0.3 4• 5•=___ ．【正确答案】：[1] 1955【解析】：由0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+….可得等号右边的数从0.045起为公比为0.01的无穷等比数列.运用无穷递缩等比数列的求和公式.计算可得所求值．【解答】：解：0.3 4• 5• =0.3+0.045+0.0045+… =0.3+ 0.0451−0.01 =0.3+ 45990 = 342990 = 1955 ．故答案为： 1955．【点评】：本题考查循环小数化为分数的方法.考查无穷递缩等比数列的求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．8.（填空题.3分）若无穷等比数列{a n }的各项和为 12.则a 2的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-1.0）∪（0. 18 ]【解析】：由题意 a 11−q =12 .|q|＜1.从而q=1-2a 1.进而a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+18.利用-1＜q ＜1.能求出a 2的取值范围．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n }的各项和为 12 .∴ a 11−q =12 .|q|＜1.∴q=1-2a 1.a 2=a 1q=（1-2q ）q=q-2q 2=-2（q- 14 ）2+ 18 . ∵-1＜q ＜1.a 2的取值范围是（-1.0）∪（0. 18]．故答案为：（-1.0）∪（0. 18 ]．【点评】：本题考查等比数列的第二项的取值范围的求法.考查等比数列的性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．9.（填空题.3分）设方程x-cosx= π4 的根是x 1.方程x+arcsin （x- π2 ）= π4 的根是x 2.则x 1+x 2的值是___ ．【正确答案】：[1] 3π4【解析】：先将两方程变形为：-θ- π4 =sinθ.-θ- π4 =arcsinθ.由y=sinθ.y=arcsinθ互为反函数.其图象关于直线y=x 对称.则方程组 {y =xy =−x −π4.由对称性及中点坐标公式可得.解的横坐标为θ1+θ22.得解．【解答】：解：由x-cosx= π4 .可化为： π4 -x=sin （x- π2 ）. x+arcsin （x- π2 ）= π4 .可化为： π4 -x=arcsin （x- π2 ）. 设θ=x - π2.则有：-θ- π4=sinθ.-θ- π4=arcsinθ. 由y=sinθ.y=arcsinθ.互为反函数. 其图象关于直线y=x 对称. 联立 {y =x y =−x −π4 .得：x=- π8 .即θ1+θ2=- π4 . 所以x 1- π2 +x 2- π2 =- π4 . 则x 1+x 2= 3π4 . 故答案为： 3π4 ．【点评】：本题考查了函数与其反函数图象关于直线y=x 对称的性质.属中档题 10.（填空题.3分）在等差数列{a n }中.若即sp+tm=kn.s+t=k.则有sa p +ta m =ka n .（s.t.k.p.m.n∈N*）.对于等比数列{b n }.请你写出相应的命题：___ ．【正确答案】：[1]若sp+tm=kn.s+t=k.则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【解析】：利用类比推理可得【解答】：解：利用类比推理可得.对于等比数列{b n }.若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）. 故答案为：若sp+tm=kn.s+t=k. 则有b p s b m t =b n k .（s.t.k.p.m.n∈N*）【点评】：本题考查了类比推理的问题.属于基础题．11.（单选题.3分）已知a 、b 、c 是非零实数.则“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的（） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：由举例1.-1.1可得“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “.由等比中项概念可得：当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac “.可推出“a 、b 、c 成等比数列”.故“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac “的必要不充分条件．【解答】：解：当“a 、b 、c 成等比数列”时.不妨取“1.-1.1“.则不满足“b= √ac “. 即“a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b= √ac “. 当a 、b 、c 是非零实数.“b= √ac ”.由等比中项概念可得：“a 、b 、c 成等比数列”即“a 、b 、c 成等比数列”是“b= √ac ”的必要不充分条件. 故选：C ．【点评】：本题考查了等比数列的性质及充分.必要条件.属简单但易错题． 12.（单选题.3分）下列四个命题中正确的是（） A.若n→∞a n 2=A 2.则n→∞a n =AB.若a n ＞0. n→∞a n =A.则A ＞0C.若n→∞a n =A.则 n→∞a n 2=A 2D.若n→∞（a n -b n ）=0.则 n→∞a n =n→∞b n【正确答案】：C【解析】：此题可采用排除法法.可取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n.排除B ；取a n =b n =n.排除D 得到答案．【解答】：解：取a n =（-1）n .排除A ；取a n = 1n .排除B ；取a n =b n =n.排除D ．故选：C ．【点评】：考查学生认识极限及运算的能力.以及学会采用排除法做选择题． 13.（单选题.3分）设S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .则S k+1为（） A.S k + 12(k+1) B.S k + 12k+1 + 12(k+1) C.S k + 12k+1 - 12(k+1) D.S k + 12(k+1) - 12k+1【正确答案】：C【解析】：先利用S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .表示出S k+1.再进行整理即可得到结论．【解答】：解：因为S k = 1k+1 + 1k+2 + 1k+3 +…+ 12k .所以s k+1= 1(k+1)+1 + 1(k+1)+2 +…+ 12(k+1)−2 + 12(k+1)−1 + 12(k+1) =1k+1 +1k+2 +…+ 12k + 12k+1 + 12k+2 - 1k+1=s k +12k+1 - 12k+2．故选：C ．【点评】：本题主要考查数列递推关系式.属于易错题.易错点在与整理过程中.不能清楚哪些项有.哪些项没有．14.（单选题.3分）已知数列a n =arcsin （sinn°）.n∈N*.{a n }的前n 项和为S n .则当1≤n≤2016时（） A.S 1980≤S n ≤S 90 B.S 1800≤S n ≤S 180 C.S 1980≤S n ≤S 180 D.S 2016≤S n ≤S 90 【正确答案】：B【解析】：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ].考虑数列{a n }的周期为360.一个周期内的和.即可得到所求最小值和最大值．【解答】：解：由y=arcsinx 的值域为[- π2 . π2 ]. 当n 取1到90的自然数可得： S 90=π180 + 2π180 +…+ 90π180；当n 取91到180的自然数可得： a 91+a 92+…+a 180= 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0；当n 取181到270的自然数可得：a 181+a 182+…+a 270=-（ π180 + 2π180 +…+ 90π180 ）；当n 取271到360的自然数可得：a 271+a 272+…+a 360=-（ 89π180 + 88π180 +…+ π180 +0）．由{a n }的周期为360.可得S 360=0.且S180＞0.且为最大值；而S1800=S360×5=0.S2016=S216＞0.S1980=S180＞0.则故排除A.C.D．故选：B．【点评】：本题考查反正弦函数值的求法.以及数列的求和.考查分类讨论思想方法.以及运算能力和推理能力.属于中档题．15.（问答题.0分）已知关于x的方程sin2x+cosx+m=0.x∈[0.2π）．（1）当m=1时.解此方程（2）试确定m的取值范围.使此方程有解．【正确答案】：【解析】：（1）由sin2x+cos2x=1.则sin2x+cosx+m=0可化为：cos2x-cosx-1-m=0.将m=1代入解一元二次方程可得解.（2）分离m与cosx.用值域法可得解.即1+m=cos2x-cosx.再用配方法求cos2x-cosx的值域即可得解．【解答】：解：（1）sin2x+cosx+m=0.所以cos2x-cosx-1-m=0.当m=1时.方程为：cos2x-cosx-2=0.所以cosx=-1或cosx=2.又cosx∈[-1.1].所以cosx=-1.又x∈[0.2π）．所以x=π.故方程的解集为：{π}（2）由（1）得.cos2x-cosx-1-m=0有解.即1+m=cos2x-cosx有解.又1+m=cos2x-cosx=（cosx- 12）2- 14.又cosx∈[-1.1].所以（cosx- 12）2- 14∈[- 14，2 ].即1+m∈[- 14，2 ].即m∈[ −54，1 ].故答案为：[ −54，1 ]【点评】：本题考查了三角函数的运算及二次函数的值域.与方程有解问题.属中档题16.（问答题.0分）在公差为d的等差数列{a n}中.已知a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列．（Ⅰ）求d.a n；（Ⅱ）若d＜0.求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接由已知条件a1=10.且a1.2a2+2.5a3成等比数列列式求出公差.则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论.得到等差数列{a n}的前11项大于等于0.后面的项小于0.所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】：解：（Ⅰ）由题意得5a3•a1=(2a2+2)2 .即5(a1+2d)•a1=(2a1+2d+2)2 .整理得d2-3d-4=0．解得d=-1或d=4．当d=-1时.a n=a1+（n-1）d=10-（n-1）=-n+11．当d=4时.a n=a1+（n-1）d=10+4（n-1）=4n+6．所以a n=-n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n.因为d＜0.由（Ⅰ）得d=-1.a n=-n+11．则当n≤11时. |a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a n|=S n=−12n2+212n．当n≥12时.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11= 12n2−21n2+110．综上所述.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|= {−12n2+212n，n≤1112n2−212n+110，n≥12．【点评】：本题考查了等差数列、等比数列的基本概念.考查了等差数列的通项公式.求和公式.考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力.是中档题．17.（问答题.0分）某公司自2016年起.每年投入的技术改造资金为1000万元.预计自2016年起第n 年（2016年为第一年）.因技术改造.可新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5（万元）．按此预计.求：（1）第几年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）第几年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【正确答案】：【解析】：（1）计算n=1.2.3.4.5.6.7即可得到所求结论；（2）考虑1到5年不符题意；n ＞5时.可得1500+2000[n-5-0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.结合n的特殊值.计算可得结论．【解答】：解：（1）新增的盈利a n = {150(n −1)，n ≤52000(1−0.6n−5)，n ＞5 （万元）. 可得a 1=0.a 2=150.a 3=300.a 4=450.a 5=600.a 6=2000×（1-0.6）=800.a 7=2000×（1-0.36）=1280＞1000.则第7年起.当年新增盈利超过当年的技术改造金；（2）由n=5时.a 1+a 2+…+a 5=1500＜5000.可得所求n 超过5.可得1500+2000[n-5- 0.6(1−0．6n−5)1−0.6 ]＞1000n.化简可得n+3•0.6n-5＞11.5.由于3•0.6n-5随着n 的增大而减小.当n=11时.11+3•0.66＜11.5.当n=12时.12+3•0.67＞11.5.则第12年起.新增盈利累计总额超过累计技术改造金．【点评】：本题考查数列在实际问题中的运用.考查化简运算能力和推理能力.属于中档题．18.（问答题.0分）已知数列{a n}.满足a n+1=λa n2+μa n+1；（1）若λ=0.μ=1.a1=3.求{a n}的通项公式；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.求{a n}的前n项和为S n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立.求μ的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得数列为等差数列.即可得到所求通项公式；（2）由条件可得a n+1+1=2（a n+1）.由等比数列的定义和通项公式、求和公式.计算可得所求；（3）由条件可得a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.结合首项成立.以及二次函数的最值.计算可得所求范围．【解答】：解：（1）λ=0.μ=1.a1=3.可得a n+1=a n+1.即有a n=3+n-1=n+2；（2）若λ=0.μ=2.a1=1.可得a n+1=2a n+1.即有a n+1+1=2（a n+1）.可得a n+1=2n.即a n=2n-1.前n项和为S n=（2+4+…+2n）-n= 2(1−2n)1−2-n=2n+1-2-n；（3）若λ=1.a1=-1.{a n}满足a n+a n+1＞0恒成立. 可得a n+1=a n2+μa n+1.即有a n2+（1+μ）a n+1＞0恒成立.即（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24＞0恒成立.由a1=-1.可得1-（1+μ）+1＞0.即有μ＜1；又（a n+ 1+μ2）2+1- (1+μ)24≥1- (1+μ)24.可得1- (1+μ)24＞0.可得-3＜μ＜1.综上可得μ的范围是（-3.1）．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用.考查运算能力和推理能力.属于中档题．。

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f === 故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1nn a q a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.2．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B【解析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项. 【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B. 【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.3．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：3222k x k k Z ππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（） A ．2或3 B ．4或3C ．5或6D ．8或7【答案】A【解析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案. 【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.二、填空题5．函数1arcsin 22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______. 【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案. 【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以2x =-时，arcsin 23y π⎛=-=- ⎝⎭， 12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.6．数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a = _____.【答案】()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【解析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦； ∴()()3122n n a nn ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为：()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题7．()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案. 【详解】()cos f x x x =+12cos 2x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,. 故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.8．“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）. 【答案】必要非充分【解析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件. 故答案为：必要非充分. 【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S = ；【答案】60 【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．10．已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.【考点】余弦定理；三角形的面积公式.11．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【解析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．12．等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m ∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉ 当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉ 当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9. 【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.13．在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(t a n t a n )t a n t a n t a n t a n A C BA B C+=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B += 所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++ ()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B CA C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b AC B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为：2201714．已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______. 【答案】lg 3【解析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案. 【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg3n n n n ++=+所以123n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lglg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+ ()13131lg lg 331n n n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++ 所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3. 【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.三、解答题15．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A7∴sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC 边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 16．已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-. 【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限. 【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=- 所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-. （2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a =+则()111lim lim nn n n n n n a uu na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11n n n n n u a a b ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==--- 则111n n n n n n u a b u a b++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a b u b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17．已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值. 【答案】（1）π或3π；（2）；（3）19；【解析】试题分析：(1)4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22x x +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值. 试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或， arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18．（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos 7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案. 【详解】（1）()()cos 3cos 2cos2cos sin 2sin x x x x x x x =+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =-- ()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x =-所以原式得证. （2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦ ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos2cos 21k x k x x k x +=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a ---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kk a =-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos2cos2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=- ()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos2cos2cos 22k x kx x k x +=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12coscoscoscos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈ cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos 7π为无理数，所以1cos,cos cos777mm πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112cos cos cos777m mm m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos16,7m m m N π≤≤∈不是有理数. 【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。

上海市华师大二附中2018学年高一下学期期中数学试卷含解析

2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．2．函数f（x）=的定义域是．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为．8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是．9．已知，且，则cos（x+2y）=．10．设函数f（x）=，关于f（x）的性质，下列说法正确的是．①定义域是{x|x≠kπ+，k∈Z}；②值域是R；③最小正周期是π；④f（x）是奇函数；⑤f（x）在定义域上单调递增．二、选择题（4*4=16分）11．为了得到y=3sin（2x+）的图象，只需将y=3cos2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向右平移D．向左平移12．α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，则必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜D．α+β＞13．下列函数中以π为周期，在（0，）上单调递减的是（）A．y=（cot1）tanx B．y=|sinx|C．y=﹣cos2x D．y=﹣tan|x|14．下列命题中错误的是（）A．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos2y成立B．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin2y成立C．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（cosy）=cos3y成立D．存在定义在[﹣1，1]上的函数f（x）使得对任意实数y有等式f（siny）=sin3y成立三、解答题（8+10+12+14=44分）15．已知α，β∈（0，π），并且sin（5π﹣α）=cos（π+β），cos（﹣α）=﹣cos（π+β），求α，β的值．16．若关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．17．已知函数y=．（1）设变量t=sinθ+cosθ，试用t表示y=f（t），并写出t的范围；（2）求函数y=f（t）的值域．18．用a，b，c分别表示△ABC的三个内角A，B，C所对边的边长，R表示△ABC的外接圆半径．（1）R=2，a=2，B=45°，求AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a，b，R，其中b≤a，问a，b，R满足怎样的关系时，以a，b为边长，R为外接圆半径的△ABC不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a，b，R表示c．2018-2018学年上海市华师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（4*10=40分）1．求值arctan（cot）=．【考点】反三角函数的运用．【分析】利用特殊角的三角函数，反正切函数的定义和性质，求得arctan（cot）的值．【解答】解：arctan（cot）=arctan（）=，故答案为：．2．函数f（x）=的定义域是{x|x=2kπ，k∈z} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质得到cosx=1，解出即可．【解答】解：由题意得：cosx﹣1≥0，cosx≥1，∴cosx=1，∴x=2kπ，k∈Z，故答案为：{x|x=2kπ，k∈z}．3．若tanθ=﹣3，则sinθ（sinθ﹣2cosθ）=．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanθ=﹣3，∴sinθ（sinθ﹣2cosθ）====，故答案为：．4．若x∈（0，2π），则使=sinx﹣cosx成立的x的取值范围是[]．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把根式内部的代数式化为完全平方式的形式，由已知等式可得sinx≥cosx，再由已知x的范围求得x的具体范围．【解答】解：∵===sinx﹣cosx，∴sinx≥cosx，又x∈（0，2π），∴x∈[]．故答案为：∈[]．5．若arcsinx﹣arccosx=，则x=．【考点】反三角函数的运用．【分析】由题意可得arcsinx与arccosx=均为锐角，x＞0，求得cos（arcsinx﹣arccosx）的值，可得x的值．【解答】解：∵arcsinx∈（﹣，），arccosx∈（0，π），arcsinx﹣arccosx=，∴arcsinx与arccosx 均为锐角，x＞0．又cos（arcsinx﹣arccosx）=cos=，即cos（arcsinx）?cos（arccosx）+sin（arcsinx）sin（arccosx）=?x+x?=，∴?x=，∴x2（1﹣x2）=，∴x2=，或x2=，∴x=，或x=．经检验，x=不满足条件，故舍去．故答案为：．6．函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z）．【考点】复合函数的单调性．【分析】由0＜cos1＜1，得外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，再求出内函数t=sinx的减区间，取使t大于0的部分得答案．【解答】解：令t=sinx，∵0＜cos1＜1，∴外函数y=log cos1t在定义域内单调递减，又sinx＞0，∴当x∈[）（k∈Z）时，内函数t=sinx大于0且单调递减，∴函数f（x）=log cos1（sinx）的单调递增区间是[）（k∈Z），故答案为：[）（k∈Z）．7．若0＜θ＜，则cosθ，cos（sinθ），sin（cosθ）的大小顺序为cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；．【考点】三角函数线．【分析】观察知道，利用x＞0时，sinx＜x，结合余弦函数的单调性解答．【解答】解：因为sinx＜x，所以0＜θ＜，sinθ＜θ，所以cos（sinθ）＞cosθ，令x=cosθ，所以cosθ＞sin（cosθ），故答案为：cos（sinθ）＞cosθ＞sin（cosθ）；8．若关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，则ω的取值范围是{ω|ω≥1或ω≤﹣}．【考点】正弦函数的图象．【分析】利用正弦函数的图象特征，正弦函数的最大值，分类讨论求得ω的取值范围．【解答】解：∵关于x的函数y=sinωx在[﹣，]上的最大值为1，∴当ω＞0时，由ω？≥，ω≥1，当ω＜0时，由ω？（﹣）≥，求得ω≤﹣，故答案为：{ω|ω≥1或ω≤﹣}．9．已知，且，则cos（x+2y）=1．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=﹣2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．【解答】解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=﹣2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=﹣f（2y）=f（﹣2y）．∴x=﹣2y，即x+2y=0．。

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下期中考试数学试题(简答)

华东师范大学第二附属中学2018-2019学年第二学期高一期中考试数学试题一、填空题(每小题4分,共40分)1.2019°是第________象限.2.已知角α终边经过点P ()，，32-则=αsin ________.3.已知，2tan =α则=++ααααcos 2sin 5cos sin 3_________. 4.函数x y cos =的定义城为_______.5.已知()，ππ，，π⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=-2331cos αα则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cot πα______. 6.已知αα，54sin =在第二象限，则=2tan α_______. 7.方程x x 2cos 24sin 5+=的解集为________.8.已知，π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin sin 2αα则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-8tan πα______. 9.将函数x y 2sin =的图像先沿x 轴向左平移6π个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到函数()x f y =图像，对于函数()x f y =有以下四个判断: ①该函数的解析式为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin πx y ； ②该函数图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π对称； ③该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，上是增函数；④若函数()a x f y +=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最小值为1,则.21=a 其中正确判断的序号是_________(写出所有正确判断的序号).10.已知△ABC 中，，C B A A C B sin sin sin 2sin 2sin 3sin 7222+=+则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos πA ____.二、选择题(每小题4分,共16分)11.如果α是第三象限的角，那么3α必然不是下列哪个象限的角 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=31313arcsin 2，πx x y 的反函数是 A.[]()，π0sin 31∈=x x y B.[]()，π0cos 31∈=x x y C.[]()，π0sin 31∈-=x x y D.[]()，π0cos 31∈-=x x y13.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为，、、c b a 已知，c B a =cos 2且满足： ()，212sin cos 2sin sin 2+=-C C B A 则△ABC 是 A.锐角非等边三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 C.钝角三角形14.已知函数()()ϕ+=x x f 3cos 满足()()1f x f ≤恒成立,则()A.函数()1-x f 一定是奇函数B.函数()1+x f 一定是奇函数C.函数()1-x f 一定是偶函数D.函数()1+x f 一定是偶函数三、解答题(共44分)15.(本小题满分8分) 已知.32cos sin =+αα (1)求ααcos sin 的值；(2)若α为第二象限的角，求()()αα---ππ2cos 1sin 1的值。

上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题与详细解析

华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.3.()cos f x x x =+的值域是______.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C B A B C +=++________．10.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A. B.C. D.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为413.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,]42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3B.4或3C.5或6D.8或7三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．16.已知()1221*,,0n n n n n n u a a b a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1lim nn n u u →∞-.17.已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos 16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？华师大二附中2021届高一第二学期期末数学考试试卷一、填空题1.函数1arcsin ,22y x x ⎛⎫⎡⎤=∈-- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭的值域是______.【答案】,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据arcsin y x =的单调性，结合x 的范围，得到答案.【详解】函数arcsin y x =是单调递增函数，所以32x =-时，arcsin 23y π⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，12x =-时，1arcsin 26y π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以函数的值域为：,36y ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故答案为：,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查反三角函数的单调性，根据函数的单调性求值域，属于简单题.2.数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++,则{}n a 的通项公式n a =_____.【答案】()()3122n n n ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【解析】【分析】根据n a 和n S 之间的关系,应用公式()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩得出结果【详解】当1n =时,113a S ==；当2n ≥时,()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦；∴()()3122n n a n n ⎧=⎪=⎨≥⎪⎩故答案为()()3122n nn ⎧=⎪⎨≥⎪⎩【点睛】本题考查了n a 和n S 之间的关系式,注意当1n =和2n ≥时要分开讨论,题中的数列非等差数列.本题属于基础题3.()cos f x x x =+的值域是______.【答案】[]22-,【解析】【分析】对()f x 进行整理，得到正弦型函数，然后得到其值域，得到答案.【详解】()cos f x x x=+12sin cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为[]sin 1,16x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以()f x 的值域为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题考查辅助角公式，正弦型函数的值域，属于简单题.4.“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的______条件（填“充要”，“充分非必要”，“必要非充分”，“既不充分也不必要”）.【答案】必要非充分【解析】【分析】通过等差数列的下标公式，得到必要条件，通过举特例证明非充分条件，从而得到答案.【详解】因为数列1234,,,a a a a 依次成等差数列，所以根据等差数列下标公式，可得1423a a a a +=+，当121a a ==，342a a ==时，满足1423a a a a +=+，但不能得到数列1234,,,a a a a 依次成等差数列所以综上，“1423a a a a +=+”是“数列1234,,,a a a a 依次成等差数列”的必要非充分条件.故答案为：必要非充分.【点睛】本题考查必要非充分条件的证明，等差数列通项的性质，属于简单题.5.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1010S =，2030S =，则30S =；【答案】60【解析】【详解】若数列{a n }为等差数列则S m ，S 2m -S m ，S 3m -S 2m 仍然成等差数列．所以S 10，S 20-S 10，S 30-S 20仍然成等差数列．因为在等差数列{a n }中有S 10=10，S 20=30，()302201030S ⨯=+-所以S 30=60．故答案为60．6.已知ABC ∆的三边分别是,,a b c ，且面积2224a b c S +-=，则角C =__________.【答案】045【解析】试题分析：由2224a b c S +-=，可得2221sin 24a b c ab C +-=，整理得222sin cos 2a b c C C ab+-==，即tan 1C =，所以045C =.考点：余弦定理；三角形的面积公式.7.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()a n n a a -=，那么99100log a =________【答案】1【解析】【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()a n n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==，则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，∴19999991001log (99)199a =⋅=．故答案为1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．8.等比数列{}n a 中首项12a =，公比()*+13,++720,,n n m q a a a n m N n m =+⋅⋅⋅=∈<，则n m +=______.【答案】9【解析】【分析】根据等比数列求和公式，将+1++720n n m a a a +⋅⋅⋅=进行转化，然后得到关于n 和m 的等式，结合*,,n m N n m ∈<，讨论出n 和m 的值，得到答案.【详解】因为等比数列{}n a 中首项12a =，公比3q =，所以1,,,n n m a a a +⋅⋅⋅成首项为123n n a -=⨯，公比为3的等比数列，共1n m -+项，所以()11+12313++27013n m n n n m a a a --+⨯-+⋅⋅⋅==-整理得11720313n m n -+--=因为*,,n m N n m∈<所以可得，等式右边为整数，故等式左边也需要为整数，则13n -应是720的约数，所以可得133,9,27n -=，所以1,2,3n =，当1n =时，得3721m =，此时*m N ∉当2n =时，得13241m -=，此时*m N ∉当3n =时，得2381m -=，此时6m =，所以9m n +=，故答案为：9.【点睛】本题考查等比数列求和的基本量运算，涉及分类讨论的思想，属于中档题.9.在△ABC 中，222sin sin 2018sin A C B +=，则2(tan tan )tan tan tan tan A C BA B C +=++________．【答案】22017【解析】【详解】因为222sin sin 2018sin A C B+=所以2222018a c b +=⋅注意到：tan tan tan tan tan tan A B C A B C++=⋅⋅故()2tan tan tan tan tan tan A C B A B C+++()2tan tan tan 11tan tan tan tan tan tan A C B B A B C A C +⎛⎫==+ ⎪⋅⋅⎝⎭22222222sin 1222sin sin cos 20182017B b ac b A C B ac a c b b b ⎛⎫=⋅=== ⎪⋅+--⎝⎭．故答案为2201710.已知数列{}n a 的通项公式为22lg 1,1,2,3,,3n n a n S n n ⎛⎫=+=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭是数列的前n 项和，则lim n n S →∞=______.【答案】lg 3【解析】【分析】对数列{}n a 的通项公式22lg 13n a n n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭进行整理，再求其前n 项和，利用对数运算规则，可得到n S ，从而求出lim n n S →∞，得到答案.【详解】222232lg 1lg 33n n n a n n n n ++⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()()()12lg 3n n n n ++=+所以123n nS a a a a =+++⋅⋅⋅+()()()12233445lg lg lg lg 1425363n n n n ++⨯⨯⨯=+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+()13131lg lg 331n n n n⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==++所以131lg lg 331lim lim n n n S n n→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭==+.故答案为：lg 3.【点睛】本题考查对数运算公式，由数列的通项求前n 项和，数列的极限，属于中档题.二、选择题11.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.12.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A.()f x 的最小正周期为π，最大值为3B.()f x 的最小正周期为π，最大值为4C.()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D.()f x 的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B 【解析】【分析】首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为()35cos222f x x =+，之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.【详解】根据题意有()1cos2x 35cos212cos2222f x x x -=+-+=+，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，且最大值为()max 35422f x =+=，故选B.【点睛】该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.13.将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间35[,]44ππ上单调递增 B.在区间3[,]4ππ上单调递减C.在区间53[,42ππ上单调递增 D.在区间3[,2]2ππ上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭（其中k ∈N ），对任意实数a ，在区间[],3a a +上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，则k 值为（）A.2或3 B.4或3C.5或6D.8或7【答案】A 【解析】【分析】根据题意先表示出函数的周期，然后根据函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，得到周期的范围，从而得到关于k 的不等式，从而得到k 的范围，结合k ∈N ，得到答案.【详解】函数215cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以可得2621213T k k ππ==++，因为在区间[],3a a +上，函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，所以5215cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭得121cos 436k x ππ+⎛⎫=- ⎪⎝⎭即21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在区间[],3a a +上的交点个数大于等于4，小于等于8，而21cos 36k y x ππ+⎛⎫=-⎪⎝⎭与14y =的图像在一个周期T 内有2个，所以2343T T ≤⎧⎨≥⎩，即6232164321k k ⎧⨯≤⎪⎪+⎨⎪⨯≥⎪+⎩解得3722k ≤≤，又因k ∈N ，所以得2k =或者3k =，故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据周期性求参数的值，函数与方程，属于中档题.三、解答题15.在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1)∠A =π3(2)AC边上的高为2【解析】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B7=．由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A 437sin A=2．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A=112727⎛⎫⨯-+⨯⎪⎝⎭=14．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=7142⨯=，∴AC边上的高为2．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.16.已知()1221*,,0nn n n n n u a ab a b ab b n N a b ---=+++⋅⋅⋅++∈>.（1）当a b =时，求数列{}n u 前n 项和n S ；（用a 和n 表示）；（2）求1limnn n u u →∞-.【答案】（1）1a =时，()3,12n n n S a +=≠时，()()()21221221n n n n a n a a a S a +++-+-+=-；（2）1,lim,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩；【解析】【分析】（1）当a b =时，求出()1nn u n a =+，再利用错位相减法，求出{}n u 的前n 项和n S ；（2）求出1nn u u -的表达式，对a ，b 的大小进行分类讨论，从而求出数列的极限.【详解】（1）当a b =时，可得()1nn u n a =+，当1a =时，得到1n u n =+，所以()32n n n S +=，当1a ≠时，所以()2312341n n n S a a a nan a -=+++⋅⋅⋅+++，两边同乘a 得()23412341nn n aS a a a na n a+=+++⋅⋅⋅+++上式减去下式得()()231121nn n a S a a a a n a+-=+++⋅⋅⋅+-+()()()11111n n n a a a S a n a a+--=+-+-，所以()()()121111n n n a a a n a S aa +--+=+--()()()21221221n n n a n a a a a +++-+-+=-所以综上所述，1a =时，()32n n n S +=；1a ≠时，()()()21221221n n nn a n a a aS a +++-+-+=-.（2）由（1）可知当a b =时，()1nn u n a=+则()111lim lim n nn n n n n a u u na -→∞→∞-+=()1lim n a n a n →∞+==；当a b ¹时，11nn n nn u a ab ab b --=++⋅⋅⋅++21nnb b b a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()111111n n n n b aa ab b a ba+++⎛⎫- ⎪⎝⎭==---则111n n n n nn u a b u a b ++--=-若0a b >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b a a u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭若0b a >>，111limlim lim 1nn n n n n nn n n n b a b u a b ab u a b b a ++→∞→∞→∞-⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫- ⎪⎝⎭所以综上所述1,lim ,n n n a a bu b a b u →∞-≥⎧=⎨<⎩.【点睛】本题考查错位相减法求数列的和，数列的极限，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17.已知方程arctanarctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x 的值；（2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值.【答案】（1）π或3π；（2）[arctan；（3）19；【解析】试题分析：(1) 4a π=时，由已知得到()22121212xxx x x +-=⇒=---或;(2)方程有实数解即a 在()arctan arctan 22xx +-的值域上，（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana 的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值.试题解析：（1）()()2π2arctan arctan 212122412xxx x x x x +-+-=⇒=⇒=---或，arccos =2x π或3π；（2）()()222arctan arctan 2tan tan ,4,2261012xxx t x a a a t x x x t t +-+-=⇒=⇒==---+-tan a ∴∈arctan a ⎡∴∈⎢⎣（3）因为方程在区间[]5,15上有两个相异的解α、β，所以[]411,1,441119x αβαβ-∈--∴-+-≥-∴+≤18.（1）证明：()3cos 34cos 3cos x x x =-；（2）证明：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()111112,,,n n n n n n n f x x a x a x a a a ---=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）利用（2）的结论判断()*cos16,7m m m N π≤≤∈是否为有理数？【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）不是【解析】【分析】（1）()()cos 3cos 2x x x =+，利用两角和的正弦和二倍角公式，进行证明；（2）对n 分奇偶，即21n k =+和2n k =两种情况，结合两角和的余弦公式，积化和差公式，利用数学归纳法进行证明；（3）根据（2）的结论，将cos7m π表示出来，然后判断其每一项都为无理数，从而得到答案.【详解】（1）()()cos 3cos 2cos 2cos sin 2sin x x x x x x x=+=-()222cos 1cos 2sin cos x x x x =--()322cos cos 21cos cos x x x x =---34cos 3cos x x=-所以原式得证.（2）n 为奇数时，3n =时，()()2323123cos 3cos 2cos cos cos x f x x a x a x a ==+++，其中30a =，成立21n k =-时，()()21cos 21cos k k x f x --=222122*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中210k a -=，成立21n k =+时，()()21cos 21cos k k x f x ++=221221122212cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a +-+=+++⋅⋅⋅++，其中210k a +=，成立，则当23n k =+时，()()()()cos 23cos 212cos 21cos 2sin 21sin 2k x k x x k x x k x +=++=+-+⎡⎤⎣⎦()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()()cos 232cos 21cos 2cos 21k x k x x k x+=+--2212212122212221222312222122cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a +-+------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2223222121122212cos 4cos 42cos 2cos k k k k k k k x a x a x a a x +++++-=++-+⋅⋅⋅-+因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()21122214,42,,2k k k a a a a +--⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；n 为偶数时，2n =时，()212212cos 2cos 2cos cos x f x x a x a -==++，其中()22211a =-=-，22n k =-时，()()22cos 22cos k k x f x --=232223*********cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ------=+++⋅⋅⋅++，其中()()221222111k k k a---=-=-=-，成立，2n k =时，()2cos 2cos k kx f x =2122122122122cos cos cos cos k k k k k k x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++，其中()()222111k kka=-=-=，成立，则当22n k =+时，()()cos 22cos 22cos 2cos 2sin 2sin 2k x kx x kx x kx x +=+=-()()()1cos 21cos 2cos 21cos 232k x k x k x =+---+⎡⎤⎣⎦所以得到()()cos 232cos 2cos 2cos 22k x kx x k x+=--21221222122122322232412232222cos cos cos cos 2cos 12cos cos cos cos k k k k k k k k k k k k x a x a x a x a x x a x a x a x a ----------⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++-⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()2122212121221232222cos 4cos 42cos 2cos 2k k k k k k k k k x a x a x a a x a a +++----=++-+⋅⋅⋅-+--其中22221k k a a ---=-，因为1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，所以()211221234,42,,2k k k a a a a ----⋅⋅⋅-+也均为整数，故原式成立；综上可得：对任何正整数n ，存在多项式函数()n f x ，使得()()cos cos n nx f x =对所有实数x 均成立，其中()11112n n n n n n f x x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++，1,,n a a ⋅⋅⋅均为整数，当n 为奇数时，0n a =，当n 为偶数时，()21nn a =-；（3）由（2）可得()*cos16,7m m m N π≤≤∈cos cos 77m m f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112cos cos cos 777m m m m m a a a πππ---=++⋅⋅⋅++*16,m m N ≤≤∈其中1122,,m m a a a -⋅⋅⋅均为有理数，因为cos7π为无理数，所以1cos,cos cos 777m m πππ-⋅⋅⋅均为无理数，故11112coscos cos 777m m m m m a a a πππ---++⋅⋅⋅++为无理数，所以()*cos 16,7m m m N π≤≤∈不是有理数.【点睛】本题考查利三角函数的二倍角的余弦公式，积化和差公式，数学归纳法证明，属于难题.。

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【答案】：③④
10.已知△ 中，，则
【答案】：
二.选择题
11.如果是第三象限的角，那么必然不是下列哪个象限的角（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】：B
【解析】：
解：∵α是第二象限角，
∴α∈（2kπ+ ，2kπ+π），k∈Z，
∴ ∈（ kπ+ ， kπ+ ），k∈Z．
∴是第一或二，四象限角．
【解析】：
解：（1）由题可得：
∴
（2）∵
∴
∴bc=6
∵
∴
即BC的取值范围为
（3）∵∠EDF+∠BAC=
∴
又
当且仅当DE=DF时等号成立，此时AD是∠BAC的角平分线。
∴
=
=6
∴
当DE=DF，AB=AC时，
则
∴
【答案】：C
【解析】：
解：将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，
∵A与B都为△ABC的内角，
整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，
∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），
∴C＝90°，
则△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
14.已知函数满足恒成立，则（）
A.函数一定是奇函数B.函数一定是奇函数
C.函数一定是偶函数D.函数一定是偶函数
【答案】：D
【解析】：
由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t变化的关系式为：f（t）＝cos t+4；
同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：f（t+m）＝cos （t+m）+4；
两企业用电负荷量之和f（t+m）+f（t）＝cos （t+m）+cos t+8（t≥0）；
依题意，有f（t+m）+f（t）＝cos （t+m）+cos t+8≤9恒成立，
解：由函数f（x）＝cos（3x+φ）满足f（x）≤f（1）恒成立，
得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
即函数f（x+1）一定为偶函数，
故选：D．
三.解答题
15.已知 .
（1）求的值；
（2）若为第二象限的角，求的值.
【答案】：（1）﹣ ．（2）-
【解析】：解：（1）∵ ，∴平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α＝，
即cos （t+m）+cos t≤1恒成立，
展开有：（cos m+1）cos t﹣sin msin t≤1恒成立，
∵（cos m+1）cos t﹣sin msin t＝Acos（ t+ϕ），
（其中，A＝，cosϕ＝；sinϕ＝）；
∴A＝ ≤1，
整理得到：cos m≤﹣ ，
依据余弦函数图象得： +2kπ≤ m≤ +2kπ，（k∈Z），
故选：C．
12.函数，的反函数是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】：D
【解析】：
解：函数的反函数是y＝﹣ cosx，x∈[0，π]，
故选：D．
13.在△ 中，三个内角、、所对的边分别为、、，已知，
且满足：，则△ 是（）
A.锐角非等边三角形B.等边三角形
C.等腰直角三角形D.钝角三角形
∴A﹣B＝0，即A＝B，
已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+ ＝1﹣ cosC，
﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
∴﹣ （﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，
即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，
（2）m的最小值为4
【解析】：
解：（1）由图知T＝12＝，∴ω＝，
A+b＝5，b﹣A＝3，可得：A＝1，b＝4，
∴f（t）＝sin（ x+φ）+4，
代入（0，5），得φ＝ +2kπ，
又0＜φ＜π，
∴φ＝
即f（t）＝sin（ t+ ）+4，
（2）设乙投产持续时间为t小时，则甲的投产持续时间为（t+m）小时，
17.如图，甲、乙两个企业的用电负荷量关于投产持续时间（单位：小时）的关系均近似地满足函数（，，）.
（1）根据图像，求函数的解析式；
（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟（）小时投产，求的最小值.
【答案】：
（1）f（t）＝sin（ t+ ）+4
2018-2019学年上海市华二附中高一下学期期中考试数学试卷
2019.05
一.填空题
1.2019°是第象限
【答案】：三2.已知角来自边经过点，则【答案】：
3.已知，则
【答案】：
4.函数的定义域为
【答案】：，
5.已知，，则
【答案】：
6.已知，在第二象限，则
【答案】：2
7.方程的解集为
即12k+4≤m≤12+8，取k＝0得：4≤m≤8
∴m的最小值为4
18.在锐角△ 中，已知，，若点是线段上一点（不含端点），
过作于，于 .
（1）若△ 外接圆的直径长为，求的值；
（2）求的取值范围；
（3）问点在何处时，△ 的面积最大，最大值为多少？
【答案】：（1）3；（2）；（3） .
即f（x）＝2sin（2x+ ），
令2kπ ≤2x+ ，得：k ，（k∈Z）
故函数f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（2x+ ）．
函数f（x）的单调递增区间为：[kπ ，k ]（k∈Z）．
（2）当，
则2x+ ∈[ ， ]，
所以2sin（2x+ ）∈[1，2]，
故函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
【答案】：，
8.已知，则
【答案】：
9.将函数的图像先沿轴向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长到原来
的2倍（纵坐标不变）后得到函数图像，对于函数有以下四个判断：
① 将函数的解析式为；② 该函数图像关于点对称；
将函数在上是增函数；若函数在上最小值为1，则 .
其中正确判断的序号是（写出所有正确判断的序号）
【答案】：
（1）函数f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（2x+ ）．
函数f（x）的单调递增区间为：[kπ ，k ]（k∈Z）．
（2）函数f（x）的最大值为2，最小值为1．
【解析】：
解：（1）由题意有：A＝2，T＝π，即ω＝＝2，
由当x＝时，函数f（x）取最大值，即2× +φ＝2k ，解得φ＝2kπ ，又0＜φ ，所以φ＝，
得2sinαcosα＝ ﹣1＝﹣ ，
得sinαcosα＝﹣ ．
（2）若α为第二象限的角，sinα＞0，cosα＜0，
则＝ + ＝＝＝﹣ ．
16.已知（其中，，）的相邻对称轴之间的距
离为，且该函数图像的一个最高点为 .
（1）求函数的解析式和单调递增区间；
（2）若，求函数的最大值和最小值.