湘教版九年级数学上册第3章 图形的相似 单元测试题(含答案)

湘教版九年级数学上册第3章 图形的相似 单元测试题
一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 1．以下列数据为长度的线段中，能成比例的是( ) A ．3 cm ，6 cm ，8 cm ，9 cm B ．3 cm ，5 cm ，6 cm ，9 cm C ．3 cm ，6 cm ，7 cm ，9 cm D ．3 cm ，6 cm ，9 cm ，18 cm
2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，A ′D ′分别是对应边BC ，B ′C ′上的高，且BC ＝10 cm ，B ′C ′＝6 cm ，AD ＝7 cm ，则A ′D ′为( )
A.16
3 cm B ．12 cm C.21
5
cm D ．以上都不正确 3．在△ABC 中，D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为( ) A.12 B.13 C.14 D.16
4．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，根据下列条件，能判定△ABC 和△DEF 相似的是( )
A.AB DE ＝AC DF
B.AB DE ＝BC EF C ．∠A ＝∠E D ．∠B ＝∠D 5．宽与长的比是
5－1
2(约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图1，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF .以点F 为圆心，以FD 的长为半径画弧，交BC 的延长线于点G .作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )
图1
A ．矩形ABFE
B ．矩形EFCD
C ．矩形EFGH
D ．矩形DCGH
6．如图2，已知△ABC ，任取一点O ，连接AO ，BO ，CO ，并取它们的中点D ，E ，F ，得△DEF ，则下列说法正确的个数是( )
①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2；④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
图2 图3
7．为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E ，标记好脚掌中心位置为B ，测得脚掌中心位置B 到镜面中心C 的距离是50 cm ，镜面中心C 距离旗杆底部D 的距离为4 m ，如图3所示．已知小丽同学的身高是1.54 m ，眼睛位置A 距离小丽头顶的距离是4 cm ，则旗杆DE 的高度为( )
A ．10 m
B ．12 m
C ．12.4 m
D ．12.32 m
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 8．已知a
b ＝3，则a －b b
＝________．
9．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，在△DEF 中，DE ＝4，DF ＝3，要使△ABC 与△DEF 相似，需添加一个条件是________．(写出一种情况即可)
10．如图4，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小得到△A ′B ′C ′，若AA ′＝2OA ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为________．
11．如果两个相似三角形的面积比是16∶9，那么它们对应的角平分线的比是________．
图4图5
12．如图5，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为
位似中心的位似图形，且OA
OA′＝
3
2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是________．
13．如图6，为了测量一水塔的高度，小强用2 m长的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔顶端的影子恰好落在地面上的同一点．此时，竹竿与这一点相距8 m，与水塔相距32 m，则水塔的高度为________m.
图6
14．如图7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝________．
图7
三、解答题(本大题共3小题，共37分)
15．(10分)已知：如图8，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，－2)，B(－5，－4)，C(－1，－5)．
(1)在网格中画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标．
图8
16．(13分)如图9(示意图)，小明把手臂水平向前伸直，手持长为a的小尺竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使站在点D处正好看到旗杆的底部和顶部．如果小明的手臂长l＝40 cm，小尺的长a＝20 cm，点D到旗杆底部的距离AD＝25 m，求旗杆BA的高度．
图9 17．(14分)如图10，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为
F，EF交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EF A；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
图10
1．[答案] D 2．[答案] C 3．[答案] C 4．[答案] B
5．[解析] D 设正方形ABCD 的边长为2，则CD ＝2，CF ＝1.在直角三角形DCF 中，DF ＝CF 2＋CD 2＝12＋22＝5，∴FG ＝5，∴CG ＝5－1，∴CG
CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故
选D.
6．[解析] C 根据位似的性质得出①△ABC 与△DEF 是位似图形，②△ABC 与△DEF 是相似图形．∵△DEF 是将△ABC 的三边缩小为原来的1
2得到的，∴△ABC 与△DEF 的周长比为2∶1，故③
错误．根据面积比等于相似比的平方，可知④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1.故选C.
7．[解析] B 由题意可得AB ＝1.5 m ，BC ＝0.5 m ，DC ＝4 m ，△ABC ∽△EDC ，则AB DE ＝BC
DC ，即
1.5DE ＝0.5
4
，解得DE ＝12(m)．故选B. 8．[答案] 2
9．[答案] ∠A ＝∠D (答案不唯一) 10．[答案] 3∶1
[解析] 由题意可知△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∵AA ′＝2OA ′，∴OA ＝3OA ′， ∴
AC A ′C ′＝OA O ′A ′＝31，∴C △ABC C △A ′B ′C ′＝AC A ′C ′＝3
1
. 故答案为3∶1. 11．[答案] 4∶3 12．[答案] (－2，43
)
[解析] 由题意得OA OA ′＝32.又∵B (3，－2)，∴点B ′的横坐标是3×(－2
3)＝－2，点B ′的纵坐标是－2
×(－23)＝43，即点B ′的坐标是(－2，43)．故答案为(－2，4
3
)．
13．[答案] 10
14.154或30
7 [解析] 在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AB ＝10.应分情况讨论：①当AQ ＝PQ ，∠QPB ＝90°时．设AQ ＝PQ ＝x .
由题意，得PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，
∴
BQ BA ＝PQ
CA ，∴10－x 10＝x 6
， ∴x ＝154，∴AQ ＝154.
②当AQ ＝PQ ，∠PQB ＝90°时．设AQ ＝PQ ＝y . 由题意，得△BQP ∽△BCA ，∴PQ AC ＝BQ BC ，
∴y 6＝10－y 8，∴y ＝307
. ③当AQ ＝AP ，∠PQB ＝90°时．设AQ ＝z . 由题意，得△BQP ∽△BCA ，BQ ＝10－z . BQ BC ＝BP BA ，10－z 8＝BP 10
，BP ＝12.5－1.25z . 在Rt △ACP 中，AC ＝6，AP ＝z ，BP ＝12.5－1.25z ，∴CP ＝8－(12.5－1.25z )＝1.25z －4.5.由勾股定理，得(12.5－4.5z )2＋62＝z 2，解得z ＝10，∴此情况不存在．
综上所述，满足条件的AQ 的值为154或307.
15．解：(1)(2)画图如下图所示，B 2(10，8)．
16．解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，交EF 于点P ，则CH ＝AD ＝25 m ，CP ＝40 cm ＝0.4 m ，EF ＝20 cm ＝0.2 m.
由题意，得EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CBA ， ∴EF BA ＝CP CH ， 即
0.2BA ＝0.425
， 解得BA ＝12.5(m)．
答：旗杆BA的高度为12.5 m.
17．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EF A.
(2)∵∠B＝90°，
AB＝12，BM＝5，
∴AM＝122＋52＝13.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝12.
∵F是AM的中点，
∴AF＝FM＝6.5.
∵△ABM∽△EF A，
∴BM
F A＝
AM
EA，
即
5
6.5＝
13
EA，
∴EA＝16.9，
∴DE＝EA－AD＝4.9.。