2020高考测试数学(理科)-附答案及解析
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绝密★启用前
数学测试题
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数34i z =+，则5z 的虚部是（）. A. 45- B. 45
C. 4-
D. 4 2. 设集合{}21log 3A x x =≤≤，{}
2340B x x x =--<，则A B =U （）.
A. ()1,2-
B. (]1,8-
C. [)2,4
D. []4,8
3. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从
育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户
籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不
同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数
比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）.
A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关
B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关
C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数是女性人数的43倍
D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数
4. “0a b >>”是“22a a b b +>+”的（）.
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则{}n a 中一定为0的项是（）.
A. 12a
B. 10a
C. 8a
D. 6a
6. 求11111135792019
++++++L 的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（）.
A. 1010?n ≤
B. 1010?n <
C. 1012?n ≤
D. 1012?n <
7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺. 蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）. （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg20.3010≈）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
8. 圆22
11:504C x y y +--=上有且仅有三点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（）. A. 53 B. 54 C. 259 D. 2516
9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）.
A. 36π
B. 27π
C. 27π2
D. 252
π 10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形．．．．．
三边的数对(,)x y 的个数m ，最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（）. A. 9429 B. 4715
C. 5116
D. 5317 11. 如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，
点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设
1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为（）.
A.
B. C. D. 12. 已知函数()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1x 、2x 、[]30,πx ∈，且[]0,πx ∀∈都有()()()12f x f x f x ≤≤，满
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足()30f x =的实数3x 有且只有3个，给出下述四个结论：
①满足题目条件的实数1x 有且只有1个；②满足题目条件的实数2x 有且只有1个；
③()f x 在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；④ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭
. 其中所有正确结论的编号是（）.
A. ①④
B. ②③
C. ①②③
D. ①③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知向量(1,2)=a ，(,3)m =-b ，若向量(2)-a b ∥b ，则实数m =________.
14. 若12n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为________. 15. 椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>
，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______.
16. 已知函数2()3,f x x x x =+∈R .若方程()10f x a x --=恰有3个互异的实数根，则实数a =_____.
三、解答题：共70分。
解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .
（1）若2c =，π3
C =，且ABC △
a ，
b 的值； （2）若sin sin()sin 2C B A A +-=，试判断ABC △的形状.
18. 底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如图所示的几何体.若4DA DH DB ===，3AE CG ==.
（1）求证：EG DF ⊥；
（2）求二面角A HF C --的正弦值.
19. 已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-.
（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.
20. 某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n 次；②混合检验，将其k （*k ∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中k （*k ∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；
（ii ）若141e p -=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈.
21. 设函数()()2ln 1f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点()
2e,e e 1-+，且在点()1,0处的切线方程为0y =.
（1）求,a b 的值；
（2）证明：当1x ≥时，()()21f x x ≥-；
（3）若当1x ≥时，()()21f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.
（二）选做题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，且0t ≠），其中0πα≤<，在以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:C C ρθρθ==.
（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 最大值.
23. 已知函数()13f x x x =++-.
（1）解不等式()2f x x ≤+；
（2）设函数()f x 的最小值为t ，实数,a b 满足0,0a b >>，且a b t +=. 求证：228113
a b a b +≥++.
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2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2−2z |=|2i −(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2,3. C解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=1±√54．负值舍去可得ℎ′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．7.C解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=−1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，α∈(0,π)，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，10.A解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，11.D解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.√3解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.−14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA ⊥平面PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底面内垂直于OE 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ， 四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (−3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．。
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2020年高考理科数学全国2卷真题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2,1,0,1,2,3U=--，{}-1,0,1A=，{}1,2B=，则()UA B=A. {} 2,3 -B. {} 2,2,3 -C. {} 2,1,0,3 --D. {} 2,1,0,2,3 --2. 若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin20α>D. sin20α<3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名B．18名C．24名D．32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。
已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 A.55 B.255 C.355 D. 4556.数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k = A. 2 B. 3 C. 4 D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)(解析版)
.10 D.310 C.12020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A B中元素的个数为（）A.2【答案】C【解析】【分析】采用列举法列举出AB.3C.4B中元素的即可.D.6⎧y≥x【详解】由题意，A B中的元素满足⎨，且x,y∈N*，⎩x+y=8由x+y=8≥2x，得x≤4，所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题2.复数11-3i的虚部是（）A.-310 B.-110【答案】D 【解析】【分析】【详解】因为 z = 1 3.在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p , p , p , p ，且 ∑ p = 1 ，则下面四种情形中，对应 ...利用复数的除法运算求出 z 即可.1 + 3i 1 3= = + i ，1 - 3i (1- 3i)(1+ 3i) 10 10 所以复数 z = 1 3的虚部为 .1 - 3i 10故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题41 2 3 4 ii =1样本的标准差最大的一组是（）A. p = p = 0.1, p = p = 0.41423C. p = p = 0.2, p = p = 0.31423B. p = p = 0.4, p = p = 0.11 42 3D. p = p = 0.3, p = p = 0.21 42 3【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组【详解】对于 A 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.1+ (2 + 3)⨯ 0.4 = 2.5 ，A方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (2 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.1 = 0.65 ； A对于 B 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.4 + (2 + 3)⨯ 0.1 = 2.5 ，B方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.4 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (3 - 2.5)2 ⨯ 0.1+ (4 - 2.5)2 ⨯ 0.4 = 1.85 ； B对于 C 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.2 + (2 + 3)⨯ 0.3 = 2.5 ，C方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.2 = 1.05 ； C对于 D 选项，该组数据的平均数为 x = (1 + 4)⨯ 0.3 + (2 + 3)⨯ 0.2 = 2.5 ，D方差为 s 2 = (1 - 2.5)2 ⨯ 0.3 + (2 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (3 - 2.5)2 ⨯ 0.2 + (4 - 2.5)2 ⨯ 0.3 = 1.45 .D因此，B 选项这一组 标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎1 + e -0.23(t -53) ，其中 K 为最大确诊病例数．当 ），所以 I t * = K ) = 0.95K ，则 e 0.23 t *-53 = 19 ， t t = ln19 ≈ 3 ，解得 t * ≈ .,0 ⎪ ⎭B. ,0 ⎪⎭C.(1,0)⎝ 4 ⎝ 2 4，所以 D (2,2 )，代入抛物线方程 4 = 4 p ，求得 p = 1 ，所以其焦点坐标为 ( ,0) ，累计确诊病例数 I(t)(t 的单位：天)的 Logistic 模型： I (t )=KI( t * )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t * 约为（）（ln19≈3A. 60 【答案】C【解析】【分析】B. 63C. 66D. 69将 t = t * 代入函数 I (t ) =1 + eK ()【详解】I (t ) =K1 + e-0.23(t -53)( )1 + e -0.23( *-53( )所以， 0.23 (* - 53)30.23+ 53 ≈ 66 .故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题 5.设 O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线 C ： y 2 = 2 px( p > 0)焦点坐标为（）⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫A.【答案】B【解析】【分析】交于 D ， E 两点，若 O D ⊥ OE ，则 C 的D. (2,0)根据题中所给的条件 O D ⊥ OE ，结合抛物线的对称性，可知∠DOx = ∠EOx =π4，从而可以确定出点D的坐标，代入方程求得 p 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线 x = 2 与抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 交于 E, D 两点，且 O D ⊥ OE ，根据抛物线的对称性可以确定 ∠DOx = ∠EOx =π12故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，35B.-35C.17D.19 ()(a+b)==193 D.22点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6.已知向量a，b满足|a|=5，|b|=6，a⋅b=-6，则cos a,a+b=（）A.-311935【答案】D【解析】【分析】计算出a⋅a+b、a+b的值，利用平面向量数量积可计算出c os<a,a+b>的值.【详解】a=5，b=6，a⋅b=-6，∴a⋅(a+b)=a2+a⋅b=52-6=19.a+b=2a2+2a⋅b+b2=25-2⨯6+36=7，因此，cos<a,a+b>=a⋅(a+b)a⋅a+b19=.5⨯735故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.7.△在ABC中，cosC=A.1923，AC=4，BC=3，则cosB=（）11B. C.23【答案】A【解析】【分析】AB+B C2-AC2根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据c osB=，即可求得答案.2AB⋅B C【详解】在ABC中，cos C=2，AC=4，BC=3 3根据余弦定理：AB2=AC2+BC2-2A C⋅BC⋅cos CAB2=42+32-2⨯4⨯3⨯可得AB2=9，即AB=32 3..△S ABC=△S ADC=S由AB2+BC2-AC29+9-161cos B===2A B⋅BC2⨯3⨯391故cos B=.9故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A.6+42B.4+42C.6+23D.4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：1△CDB=2⨯2⨯2=2根据勾股定理可得：AB=AD=DB=22∴△A DB是边长为22的等边三角形根据三角形面积公式可得：△S ADB =1.2 tan θ - tan θ + ⎪ = 7 ，∴ 2 tan θ - = 7 ，.B. y =2x +1 2C. y = 2D. y = ( )，则x> 0 ，2 x ，则直线 l 的斜率 k = 2 x1 3 AB ⋅ AD ⋅ s in 60︒ = (2 2) 2 ⋅ = 2 32 2 2∴ 该几何体的表面积是： 3 ⨯ 2 + 23 = 6 + 2 3 .故选：C.【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.9.已知 2tan θ–tan(θ+A. –2π)=7，则 tan θ=（ ）4B. –1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案【详解】⎛ π ⎫ t an θ + 1 ⎝ 4 ⎭ 1 - t an θ令 t = tan θ , t ≠ 1，则 2t -1 + t1 - t= 7 ，整理得 t 2 - 4t + 4 = 0 ，解得 t = 2 ，即 tan θ = 2 .故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题10.若直线 l 与曲线 y = x 和 x 2+y 2= 1 5都相切，则 l 的方程为（ ）A. y =2x +1 1x +1 1 1x + 2 2【答案】D【解析】【分析】根据导数的几何意义设出直线 l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线 l 在曲线 y =x 上的切点为 x ,x0 0函数 y =x 的导数为 y ' =11 2 x，设直线 l 的方程为 y - x =1 (x - x )，即 x - 2x y + x = 0 ，0 0由于直线 l 与圆 x + y = 相切，则 ，5..= 5 ，∴ c = 5a ，根据双曲线的定义可得 PF - PF = 2a ， | ) + 2 PF1x 1 2 2 0 = 51 + 4 x 5 01两边平方并整理得 5x 2 - 4x -1 = 0 ，解得 x = 1 ， x = - （舍），0 0 0 0则直线 l 的方程为 x - 2 y + 1 = 0 ，即 y =1 1 x + .2 2故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题11.设双曲线 C ： x 2 y 2 - a 2 b 2= 1 （a >0，b >0）的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 5 ．P 是 C 上一点，且F 1P ⊥F 2△P ．若 PF 1F 2 的面积为 4，则 a =（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案【详解】c a1 2△S PF 1F 2 = 12| PF | ⋅ PF = 4 ，即 | PF | ⋅ PF = 8 ，1 2 1 2F P ⊥ F P ，∴ PF |2 + PF12122= (2c )2 ，∴ ( PF - PF1221⋅ PF = 4c 2 ，即 a 2 - 5a 2 + 4 = 0 ，解得 a = 1 ，2故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.12.已知 55<84，134<85．设 a=log 53，b =log 85，c=log 138，则（）A. a <b <c 【答案】A【解析】【分析】B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b结合 55< 84 可得出b < 45 5 b c b ⎪ = ⎪ < 1 ，∴ a < b ； = = ⋅ < ⋅ ⎪ = b log 5 lg 5 lg 5 (lg 5) ⎝2 ⎭ ⎝ 2lg 5 ⎭ ⎝ lg 25 ⎭ 5 13.若 x ，y 满足约束条件 ⎨2 x - y ≥ 0，，则 z =3x +2y 的最大值为_________．由题意可得 a 、 、 ∈ (0,1) ，利用作商法以及基本不等式可得出 a 、的大小关系，由 b = log 5 ，得 8b = 5 ， 84，由 c = log 8 ，得13c = 8 ，结合134 < 85 ，可得出 c > ，综合可得出 a 、 b 、13c 的大小关系.【详 解 】 由 题 意可 知 a、b 、c ∈ (0,1) ，a log 3 lg 3 lg8 1 ⎛ lg 3 + lg8 ⎫2⎛ lg 3 + lg8 ⎫2 ⎛ lg 24 ⎫25 2 84由 b = log 5 ，得 8b = 5 ，由 55 < 84 ，得 85b < 84 ，∴ 5b < 4 ，可得 b < ；8由 c = log 13 8 ，得13c = 8 ，由134 < 85 ，得134 < 135c ，∴ 5c > 4 ，可得 c > 4 5.综上所述， a < b < c .故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.⎧ x + y ≥ 0, ⎪⎪ ⎩x ≤ 1,【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的几何意义解决.【详解】不等式组所表示的可行域如图因为 z = 3x + 2 y ，所以 y = - 3x z z+ ，易知截距 越大，则 z 越大，2 2 23x 3x z平移直线 y =- ，当 y =-+ 经过 A 点时截距最大，此时 z 最大， 2 2 2⎧ y = 2 x ⎧ x = 1由 ⎨ ，得 ⎨ ， A(1,2) ，⎩ x = 1 ⎩ y = 2所以 zmax = 3 ⨯ 1 + 2 ⨯ 2 = 7 .⎛ 2 写出 x + ⎪ 二项式展开通项，即可求得常数项.⎛ 2 2 ⎫6x + ⎪ 6-r⎛ ⎪⎛ 2 x + ⎪ 的展开式中常数项是： C 64 ⋅ 24 = C 62 ⋅16 = 15 ⨯16 = 240 .故答案为：7.【点晴】本题主要考查简单线性规划的应用，涉及到求线性目标函数的最大值，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.2 14. (x 2 + )6 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．x【答案】 240【解析】【分析】2 ⎫6⎝x ⎭【详解】⎝ x ⎭其二项式展开通项：T r +1= C r 6⋅ (x 2 ) ⋅ 2 ⎫r ⎝ x ⎭= C r ⋅ x 12-2r (2) r ⋅ x -r6= C r (2) r ⋅ x 12-3r6当12 - 3r = 0 ，解得 r = 4∴ 2 ⎫6⎝ x ⎭故答案为： 240 .【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握(a + b )n 的展开通项公式 Tr +1= C r a n -r b r ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.n.△S ABC=△AOC=⨯AB⨯r+⨯BC⨯r+⨯AC⨯r=⨯(3+3+2)⨯r=22，15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【答案】23π【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中BC=2,AB=AC=3，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O，由于AM=32-12=22，故设内切圆半径为r，则：12⨯2⨯22=22，S△ABC=S△AOB+S△BOC+S11122212解得：r242，其体积：V=πr3=π.233故答案为：23π.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.16.关于函数f（x）=sin x+1sin x①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．有如下四个命题：【详解】对于命题①，f ⎛π⎫1⎛π⎫f -=+2=，⎝6⎭2⎝6⎭2f -⎪≠f ⎪，f(-x)=sin(-x)+1=-sin x-=- sin x+⎪=-f(x)，⎝2⎭⎝2⎭sin⎛π-x⎫f -x⎪=sin -x⎪+=cos x+⎝2⎭⎝2⎭⎝2⎭sin⎛π+x⎫f +x⎪=sin +x⎪+=cos x+⎝2⎭f -x⎪=f +x⎪，.③f（x）的图像关于直线x=π2对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取-π<x<0可判断命题④的正误.综合可得出结论.⎪⎪15=--2=-，则22⎛π⎫⎛π⎫⎝6⎭⎝6⎭所以，函数f(x)的图象不关于y轴对称，命题①错误；对于命题②，函数f(x)的定义域为{x x≠kπ,k∈Z}，定义域关于原点对称，1⎛1⎫sin(-x)sin x⎝sin x⎭所以，函数f(x)的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，⎛π⎫⎛π⎫11cos x，⎪⎛π⎫⎛π⎫11cos x，则⎪⎛π⎫⎛π⎫⎝2⎭⎝2⎭所以，函数f(x)的图象关于直线x=π2对称，命题③正确；对于命题④，当-π<x<0时，sin x<0，则f(x)=sin x+1sin x<0<2，命题④错误.故答案为：②③.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.（ .17.设数列{a n }满足 a 1=3， a n +1 = 3a n - 4n ．（1）计算 a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前 n 项和 S n ．【答案】 1） a 2 = 5 ， a 3 = 7 ， a n = 2n + 1，证明见解析；（2） S n = (2n - 1)⋅ 2n +1 + 2 .【解析】【分析】（1）利用递推公式得出 a , a ，猜想得出{a23n}的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）由错位相减法求解即可.【详解】（1）由题意可得 a 2 = 3a 1 - 4 = 9 - 4 = 5 ， a 3 = 3a 2 - 8 = 15 - 8 = 7 ，由数列 {a n}的前三项可猜想数列{a }是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 a nn= 2n + 1，证明如下：当 n = 1 时， a 1 = 3 成立；假设 n = k 时， a k = 2k + 1 成立.那么 n = k +1 时， a k +1 = 3a k - 4k = 3(2k + 1) - 4k = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 也成立.则对任意的 n ∈ N * ，都有 a n = 2n + 1成立；（2）由（1）可知， a ⋅ 2n = (2n + 1)⋅ 2nnS = 3 ⨯ 2 + 5 ⨯ 22 + 7 ⨯ 23 +n2S = 3 ⨯ 22 + 5 ⨯ 23 + 7 ⨯ 24 +n+ (2n - 1)⋅ 2n -1 + (2n + 1)⋅ 2n ，①+ (2n - 1)⋅ 2n + (2n + 1)⋅ 2n +1 ，②由① - ②得： -S = 6 + 2 ⨯ (22 + 23 +n+ 2n )- (2n + 1)⋅ 2n +1= 6 + 2 ⨯ 22⨯ (1 - 2n -1)1 - 2- (2n + 1)⋅ 2n +1= (1- 2n) ⋅ 2n +1 - 2 ，即 S = (2n - 1)⋅ 2n +1 + 2 .n【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题18.某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：高考数学；（ （锻炼人次 [0，200] (200，400] (400，600]空气质量等级1（优） 2（良）3（轻度污染）4（中度污染）2567 161072 25128（1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好n(ad - b c)2附： K 2 = ，(a + b )(c + d )(a + c)(b + d )P(K 2≥k)k0.0503.841 0.0106.635 0.00110.828【答案】 1）该市一天的空气质量等级分别为1、2 、3 、4 的概率分别为 0.43 、 0.27 、 0.21、 0.09 ；（2）350 ； 3）有，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率；概率为 5 + 10 + 12 .（2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；（3）根据表格中的数据完善 2 ⨯ 2 列联表，计算出 K 2的观测值，再结合临界值表可得结论.【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1 的概率为 2 + 16 + 25= 0.43 ，等级为 2 的1006 +7 +8 7 + 2 + 0= 0.27 ，等级为 3 的概率为 = 0.21 ，等级为 4 的概率为 = 0.09 ；100 100 100100 ⨯ 20 + 300 ⨯ 35 + 500 ⨯ 45（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100（3） 2 ⨯ 2 列联表如下：人次 ≤ 400人次 > 400= 350空气质量不好空气质量好3322 378100 ⨯ (33⨯ 8 - 37 ⨯ 22)2K 2 =≈ 5.820 > 3.841 ，55 ⨯ 45 ⨯ 70 ⨯ 30因此，有 95% 的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力，属于基础题.19.如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 E, F 分别在棱 DD 1, BB 1 上，且 2DE = ED 1 ， BF = 2FB 1 ．（1）证明：点 C 1 在平面 AEF 内；（2）若 AB = 2 ， AD = 1 ， AA 1 = 3 ，求二面角 A - EF - A 1 的正弦值．（2的C G=CG，BF=2FB，∴CG=CC=BB=BF且CG=BF，233【答案】1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）连接C1E、C1F，证明出四边形AEC1F为平行四边形，进而可证得点C1在平面AEF内；（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C1-xyz，利用空间向量法可计算出二面角A-EF-A1余弦值，进而可求得二面角A-EF-A的正弦值.11【详解】（1）在棱CC上取点G，使得C G=CG，连接DG、FG、C E、C F，1111在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD//BC且AD=BC，BB1//CC1且BB1=CC1，1221111所以，四边形BCGF为平行四边形，则AF//DG且AF=DG，同理可证四边形DEC1G为平行四边形，∴C1E//DG且C1E=DG，∴C E//AF且C E=AF，则四边形AEC F为平行四边形，111因此，点C1在平面AEF内；（2）以点C1为坐标原点，C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系C1-xyz，由 ⎨ ，得 ⎨ 取 z = -1，得 x = y = 1 ，则 m = (1,1,-1)，⎩-2 x 1 - 2 z 1 = 0 ⎪⎩m ⋅ AF = 0 ⎪由 ⎨，得 ⎨ ⎪ m ⋅ n =7，因此，二面角 A - EF - A 1 的正弦值为 42 20.已知椭圆 C : ， A ， B 分别为 C 的左、右顶点．则 A (2,1,3 )、 A (2,1,0 )、 E (2,0,2 )、 F (0,1,1)，1AE = (0, -1, -1) ， AF = (-2,0, -2)， A E = (0, -1,2 ) ， A F = (-2,0,1)，1 1设平面 AEF 的法向量为 m = (x , y , z 111) ，⎧m ⋅ AE = 0 ⎧- y - z = 0 1 1 11 1设平面 A 1EF 的法向量为 n = (x 2 , y 2 , z2) ， ⎧n ⋅ A E = 0 ⎧- y + 2z = 01 2 2⎪⎩n ⋅ A 1F = 0⎩-2x 2 + z 2 = 0 ，取 z 2 = 2 ，得 x 2 = 1 ， y 2 = 4 ，则 n = (1,4,2 )，cos < m , n >= m ⋅ n3 7=3 ⨯ 21设二面角 A - EF - A 1 的平面角为θ ，则 cos θ =.77 42，∴ s in θ = 1 - cos 2θ =7 7. 【点睛】本题考查点在平面的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角角，考查推理能力与计算能 力，属于中等题.x 2 y 2 15+ = 1(0 < m < 5) 的离心率为高考数学+ = 1(0 < m < 5) ，可得 a = 5 ， b = m ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（ （ 根据离心率 e = = 1 - ⎪ = 1 - ⎪ = ， ⎝ 4 ⎭（1）求 C 的方程；（2）若点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，求 APQ 的面积．【答案】 1） 【解析】【分析】（1）因为 C : x 2 16 y 2 5+ = 1 ； 2） . 25 25 2x 2 y 225 m 2（2）点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M ，设x = 6 与 x 轴交点为 N ，可得 △PMB ≥? BNQ ，可求得 P 点坐标，求出直线 AQ直线距离公式和两点距离公式，即可求得 APQ 的面积. 直线方程，根据点到的【详解】（1）x 2 y 2C : + = 1(0 < m < 5)25 m 2∴ a = 5 ， b = m ，c ⎛ b ⎫2 ⎛ m ⎫215 a ⎝ a ⎭ ⎝ 5 ⎭4 解得 m =5 5或 m =- (舍)，4 4x 2 y 2+ = 1∴ C 的方程为： 25 ⎛ 5 ⎫2 ， ⎪x 2 16 y 2即 + = 1 ；25 25（2）不妨设 P , Q 在 x 轴上方点 P 在 C 上，点 Q 在直线 x = 6 上，且 | BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ，过点 P 作 x 轴垂线，交点为 M ，设 x = 6 与 x 轴交点为 N根据题意画出图形，如图可得 P 点纵坐标为 y = 1 ，将其代入 + = 1 ，25 25| BP |=| BQ | ， BP ⊥ BQ ， ∠PMB = ∠QNB = 90︒ ，又∠PBM + ∠QBN = 90︒ ， ∠BQN + ∠QBN = 90︒ ，∴ ∠PBM = ∠BQN ，根据三角形全等条件“ AAS ”，可得： △PMB ≥?BNQ ，x 2 16 y 2+ = 1 ， 25 25∴ B(5,0) ，∴ PM = BN = 6 - 5 = 1 ，设 P 点为 ( x P , y P ) ，x 2 16 y 2Px 2 16可得： P + = 1，25 25解得： x P = 3 或 x P = -3 ，∴ P 点为 (3,1)或 (-3,1) ，①当 P 点为 (3,1)时， 故 MB = 5 - 3 = 2 ，△PMB ≥? BNQ ，∴ | MB |=| NQ |= 2 ，22+112=可得：Q点为(6,2)，画出图象，如图A(-5,0),Q(6,2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x-11y+10=0，根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=2⨯3-11⨯1+10根据两点间距离公式可得：AQ=(6+5)2+(2-0)2=55，APQ面积为：1⨯55⨯5=5；∴2525125=55，②当P点为(-3,1)时，故MB=5+3=8，△PMB≥?BNQ，∴|MB|=|NQ|=8，可得：Q点为(6,8)，画出图象，如图A(-5,0),Q(6,8)，高考数学根据点到直线距离公式可得 P 到直线 AQ 的距离为： d = 8 ⨯ (-3)- 11⨯1 + 40 .（ 1 1 f ' ( ) = 0，即 3⨯ ⎛ ⎫⎪ + b = 0可求得直线 AQ 的直线方程为： 8x -11y + 40 = 0 ，根据两点间距离公式可得： AQ =(6 + 5)2 + (8 - 0 )282 + 112== 185 ，5 185 = 5185 ，1 5 5∴ APQ 面积为： ⨯ 185 ⨯= ， 2 185 2综上所述， APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题21.设函数 f ( x ) = x 3 + bx + c ，曲线 y = f ( x ) 在点(1 1，f( ))处的切线与 y 轴垂直． 2 2（1）求 b ．（2）若 f ( x ) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f ( x ) 所有零点的绝对值都不大于 1．【答案】 1） b = -3 4；（2）证明见解析【解析】【分析】1（1）利用导数的几何意义得到 f ' ( ) = 0 ，解方程即可；2 （2）由（1）可得 f ' ( x ) = 3x 2 -3 1 1 1= 2( x + )( x - ) ，易知 f ( x ) 在 (- , ) 上单调递减，在 (-∞, - ) ，4 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1( , +∞) 上单调递增，且 f (-1) = c - , f (- ) = c + , f ( ) = c - , f (1) = c + ，采用反证法，推出 2 4 2 4 2 4 4矛盾即可.【详解】（1）因为 f ' ( x ) = 3x 2 + b ，由题意， 1 1 2 2 ⎝ 2 ⎭3则 b =- ；4（2）由（1）可得 f ( x ) = x 3- 3x + c ，43 1 1f ' ( x ) = 3x 2 - = 3(x + )( x - ) ，4 2 22令 f '( x ) > 0 ，得 x > 1 1 1 1或 x <- ；令 f ' ( x ) < 0 ，得 - < x < ，2 2 2 21 1 11 所以 f ( x ) 在 (- , ) 上单调递减，在 (-∞, - ) ， ( , +∞) 上单调递增，2 2 21 1 1 1 1 1且 f (-1) = c - , f (- ) = c + , f ( ) = c - , f (1) = c + ，4 2 4 2 4 4若 f ( x ) 所有零点中存在一个绝对值大于 1零点 x ，则 f (-1) > 0 或 f (1) < 0 ，即 c > 1 1或 c < - .4 4的1 1 1 1 1 1 1当 c > 时， f (-1) = c - > 0, f (- ) = c + > 0, f ( ) = c - > 0, f (1) = c + > 0 ，4 4 2 4 2 4 4又 f (-4c) = -64c 3 + 3c + c = 4c(1- 16c 2 ) < 0 ，由零点存在性定理知 f ( x ) 在 (-4c, -1) 上存在唯一一个零点 x ，即 f ( x ) 在 (-∞, -1) 上存在唯一一个零点，在 (-1,+∞) 上不存在零点，此时 f ( x ) 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；1 1 1 1 1 1 1当 c < - 时， f (-1) = c - < 0, f (- ) = c + < 0, f ( ) = c - < 0, f (1) = c + < 0 ，4 4 2 4 2 4 4又 f (-4c) = 64c 3 + 3c + c = 4c(1 - 16c 2 ) > 0 ，由零点存在性定理知 f ( x ) 在 (1,-4c) 上存在唯一一个零点 x ' ，即 f ( x ) 在 (1, +∞) 上存在唯一一个零点，在 (-∞,1) 上不存在零点， 此时 f ( x ) 不存在绝对值不大于 1 的零点，与题设矛盾；综上， f ( x ) 所有零点的绝对值都不大于 1.【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的零点，涉及到导数的几何意义，反证法，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）⎧ x = 2 - t - t 222.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨（t 为参数且 t ≠1），C 与坐标轴交于 A 、B 两 ⎩ y = 2 - 3t + t 2点．（1）求 | AB | ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．（0 - ( 0 .3 （ max{a, b , c } = a ，由题意得出 a > 0,b , c < 0 ，由 a 3 = a 2 ⋅ a = b + c【答案】 1） 4 10 （2）3ρ cos θ - ρ sin θ + 12 = 0【解析】【分析】（1）由参数方程得出 A, B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出 AB 的值；（2）由 A, B 的坐标得出直线 AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.【详解】（1）令 x = 0 ，则 t 2 + t - 2 = 0 ，解得 t = -2 或 t =1（舍），则 y = 2 + 6 + 4 = 12 ，即 A(0,12) . 令 y = 0 ，则 t 2 - 3t + 2 = 0 ，解得 t = 2 或 t =1（舍），则 x = 2 - 2 - 4 = -4 ，即 B(-4,0) .∴ AB = (0 + 4)2 + (12 - 0)2 = 4 10 ；（2）由（1）可知 k AB = 12 - 4)= 3 ，则直线 AB 的方程为 y = 3(x + 4) ，即 3x - y + 12 = 0 .由 x = ρ cos θ, y = ρ sin θ 可得，直线 AB 的极坐标方程为 3ρ cos θ - ρ sin θ + 12 = 0 .【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题 [选修 4—5：不等式选讲]（10 分）23.设 a ，b ，c ∈ R ，a +b +c =0，abc =1．（1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用 max{a ，b ，c }表示 a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c }≥ 4 ． 【答案】 1）证明见解析（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由 (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设( bc)2 b 2 + c 2 + 2bc =bc，结合基本不等式，即可得出证明.【详解】（1）(a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 ，∴ a b + bc + ca = - 1 (a 2 + b 2 + c 2 ) 21(b + c )2b 2 +c 2 + 2bc2bc + 2bca = -b - c, a = ，∴ a 3 = a 2 ⋅ a ==≥= 4 .bc .abc = 1,∴ a, b , c 均不为 0 ，则 a 2 + b 2 + c 2 > 0 ，∴ a b + bc + ca = - 1 (a 2 + b 2 + c 2 )< 0 ； 2（2）不妨设 max{a, b , c } = a ，由 a + b + c = 0, a bc = 1可知， a > 0, b < 0, c < 0 ，bcbcbc当且仅当 b = c 时，取等号，∴ a ≥ 3 4 ，即 max{a, b , c } 3 4 .【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题。
(全国III卷)2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案
（3） 2 2 列联表如下：
人次 400
空气质量不好
33
空气质量好
22
人次 400 37 8
K2
100 338 37 222
5.820 3.841 ，
55 45 70 30
因此，有 95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考
根据题意画出图形，如图
理科数学参考答案 7
| BP || BQ | ， BP BQ ， PMB QNB 90 ，
又 PBM QBN 90 ， BQN QBN 90 ，
PBM BQN ， 根据三角形全等条件“ AAS ”， 可得：△PMB △BNQ ，
x2 16 y2 1 ， 25 25
【解析】 【分析】
（1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、 2 、 3 、 4 的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100 可得结果；
（3）根据表格中的数据完善 2 2 列联表，计算出 K2 的观测值，再结合临界值表可得结论.
【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为 2 16 25 0.43 ， 100
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意可得 a2 3a1 4 9 4 5 ， a3 3a2 8 15 8 7 ，
由数列an 的前三项可猜想数列an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列，即 an 2n 1，
证明如下：
当 n 1 时， a1 3成立；
假设 n k 时， ak 2k 1 成立.
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2020 年普通高等学校招生全国统一考试
2020年全国统一高考数学理科试卷(附答案解析)
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ，
A. 2B. 3C. 6D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
【答案】C
【解析】
【分析】
求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1即可求得 的系数，问题得解.
【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ）
所以 与 展开式的乘积可表示为：
或
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据散点图的分布可选择合适的函数模型.
【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)及答案解析
试题第1页，总21页绝密★启用前2020年全国统一高考数学试题（理科)（新课标Ⅲ)试题副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可.试题第2页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．试题第3页，总21页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键。
高考理科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（复数）若1z i =+,则22z z -=A.0B.1 D.2【解析】∵1z i =+，∴222(2)(1)(1)12z z z z i i i -=-=+-=-=-，∴2=22z z -.【答案】D2.（集合）设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤ ，则a =A.－4B.－2C.2D.4【解析】由已知可得{}22A x x =-≤≤，2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，∵{}21A B x x =-≤≤ ，∴12a -=，解得2a =-.【答案】B 3.（立体几何，同文3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A.14- B.12 C.14+ D.12+【解析】如图A3所示，设正四棱锥底面的边长为a ，则有22221212h am a h m ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩整理得22420m am a --=，令m t a =，则有24210t t --=，∴114t +=，214t -=（舍去），即14m a +=.图A3【答案】C4.（解析几何）已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【解析】设A 点的坐标为(m ,n )，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴m =9，∵点A 到C 的焦点的距离为12，∴122p m +=，解得6p =.【答案】C5.（概率统计，同文5）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子的发芽实验，由实验数据,)(i i x y i =（1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图，在10C 至40C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A.y a bx =+B.2y a bx =+C.x y a be =+D.ln y a b x=+【解析】根据散点图的趋势和已学函数图象可知，本题的回归方程类型为对数函数，故选D 选项.【答案】D6.（函数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为A ．21y x =--B ．21y x =-+C ．23y x =-D ．21y x =+【解析】32()46f x x x '=-，∴函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为(1)2k f '==-，又∵(1)1f =-，∴所求的切线方程为12(1)y x +=--，化简为21y x =-+.【答案】B7.（三角函数，同文7）设函数()cos()6f x x πω=+在[]ππ-，的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为A.109πB.76πC.43πD.32π【解析】∵函数过点4π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴4ππcos()=096x ω-+，∴4πππ=962x ω-+-，解得23=ω，∴()f x 的最小正周期为3π4π2==ωT .【答案】C 8.（概率统计）25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为A.5 B.10 C.15 D.20【解析】∵5()x y +展开式的通项公式为55C r r r x y -(r =0,1,2,3,4,5)，∴1r =时，2141335C 5y x y x y x=，∴3r =时，323335C 10x x y x y =，∴展开式中的33x y 系数为5+10=15.【答案】C9.（三角函数）已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=A.53 B.23 C.13 D.59【解析】应用二倍角公式2cos22cos 1αα=-，将3cos28cos 5αα-=化简为，23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又∵(0,)α∈π，∴5sin 3α=.【答案】A 10.（立体几何，同文12）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，1O 为△ABC 的外接圆.若 1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【解析】由题意可知， 1O 为的半径r =2，由正弦定理可知，24sin ==AB r C，则14sin 4sin 60==== OO AB C ，∴球O 的半径4R ==，∴球O 的表面积为24π64πR =．图A10【答案】A11.（解析几何）已知22:2220M x y x y +---= ，直线:20+=l x y ，p 为l 上的动点.过点p 作M 的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PM AB 最小时，直线AB 的方程为A.210x y --= B.210x y +-=C.210x y -+= D.210x y ++=【解析】222:(1)(1)2-+-= M x y ， M 的半径r =2，圆心(1,1)M ，由几何知识可知，⊥PM AB ，故1||||=2=||||2||2∆=⋅⋅==四边形APM APBM S PM AB S AP AM AP ，∴⋅PM AB 最小，即PM 最小，此时直线PM ⊥l ，即直线PM 的斜率为12=m k ，故直线PM 的方程为11(1)2-=-y x ，化简为1122=+y x ，∴直线PM 与l 的交点P 的坐标为(1,0)-P ，直线AB 为过点P 作 M 的切线所得切点弦AB 所在的直线，其方程为(11)(1)(01)(1)4---+--=x y ，化简得210++=x y ．图A11【答案】D注：过圆外一点00(,)P x y 作222:()()O x a y b r -+-= 的切线所得切点弦所在直线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=.特别当0a b ==时，切点弦所在直线方程为200x x y y r +=.（具体推到过程，可到百度搜索）12.（函数）若242log 42log +=+a b a b 则A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2【解析】由指数和对数运算性质，原等式可化为2222log 2log a b a b +=+，∵222log 1log log 2b b b <+=，∴22222log 2log 2b b b b +<+，∴2222log 2log 2a b a b +<+，设2()2log x f x x =+，则有()(2)f a f b <，由指数函数和对数函数的单调性可知()f x 在(0,)+∞单调递增，∴2a b <.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考全国2卷理科数学带答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．12i 12i +=-A ．43i 55--B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+2．已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z}，则A 中元素的个数为A ．9B ．8C ．5D ．43．函数2e e ()x xf x x--=的图象大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为A ．2y x =±B ．3y x =±C ．22y x =±D ．32y x =±6．在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB = A ．42B ．30C ．29D ．257．为计算11111123499100S =-+-++-，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112 B ．114 C ．115 D ．1189．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角1011(50)f ++B ．0 12222x y Ca b+：在的直线上， 13141516．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题：共70分。