江西省南昌二中2015高三上第四次月考数学理试卷

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(优辅资源)江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试数学(理)试题Word版含答案

南昌二中2017～2018学年度上学期第四次考试高三数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）1．设全集U=R ，集合{}2log 2x x A =≤， ()(){}310x x x B =-+≥，则(C U B )⋂ A= （） A ．(],1-∞-B ．(](),10,3-∞- C ．[)0,3D ．()0,32．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则q ＝( ) A.1或－12 B.1 C.－12D.－23．给出下列四个命题：①“若0x 为()=y f x 的极值点，则()0'0f x =”的逆命题为真命题； ②“平面向量a ,b 的夹角是钝角”的充分不必要条件是•0a b < ③若命题1:01p x >-，则1:01p x ⌝≤-； ④命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++≥”. 其中不正确．．．的个数是（） A. 1 B. 2C. 3D. 44．已知()()tan ,1,1,2θ=-=-a b ，其中θ为锐角，若+a b 与a b -夹角为90，则212sin cos cos θθθ=+ （） A ． 1 B ． 1-C ． 5D ．155．已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（）6．已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）A.56B.58C.62D.607．定义运算1234a a a a ＝a 1a 4－a 2a 3 , 将函数f (x )sin cos xx的图象向左平移n(n>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为 ( ) A.6π B.3πC.56πD.23π 8．在△ABC 中，角、、所对的边长分别为,,,且满足，则的最大值是（）A. 1B.C.D. 39．设函数()31,12,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则满足()()()2f a f f a =的实数a 的取值范围是（）A.2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]0,1C.2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.[)1,+∞10．已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF ∥BC ，实数x ,y 满足PA +x PB +y PC =→0，设△ABC 、 △PBC 、△PCA 、△PAB 的面积分别为S 、S 1、S 2、S 3，记11S S λ=,22SS λ=,33S Sλ=, 则λ2·λ3取最大值时，3x +y 的值为( ) A.21B.23C. 1D. 211．已知函数kx x f =)(，)1(2ln 2)(2e x ee x x g ≤≤+=，若)(xf 与)(xg 的图象上分别存在点N M ,关于直线e y =对称，则实数k 的取值范围是（） A ．]4,2[2e e --B ．]2,2[e e-C ．]2,4[2e e -D ．),4[2+∞-e 12．已知数列{}n a 满足341=a ，且()()*+∈-=-N n a a a n n n 111，则122017111a a a ++的整数部分是（） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸的相应位置上）13．若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . 14．设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若2()2ln 2g x x bx kx =--在[1,)+∞上单调递减，则实数k 的取值范围是________.15．对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“光”值，现知某数列的“光”值为22+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为__________16．把边长为1的正方形ABCD 如图放置，A 、D 别在x 轴、y 轴的非负半轴上滑动．则OB OC ⋅的最大值是．三、解答题(本大题共70分=10分+12×5分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本小题10分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且8a b c ++=．（1）若52,2a b ==，求cos C 的值；（2）若22sin cos sin cos 2sin 22B AA B C +=，且ABC ∆的面积9sin 2S C =，求a 和b 的值．18．（本小题12分）设数列}{n a 的前n 项和为22n S n =，}{n b 为等比数列，且112211)(b a a b b a =-=，．（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．19．（本小题12分）已知向量()cos2,m x a =， (),2n a x =+，且函数()5(,0)f x m n a R a =⋅-∈>.（1）当函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为3时，求a 的值；（2）在（1）的条件下，若对任意的t R ∈，函数()y f x =，(],x t t b ∈+的图像与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值. 并求函数()y f x =在(]0,b 上的单调递减区间.20．（本小题12分）已知函数()0)f x x =≥，其反函数为y=f -1(x )，直线y x =-+分别与函数y =f (x ),y = f -1(x )的图象交于A n 、B n 两点（其中*∈N n ）;设||n n n B A a =，n S 为数列}{n a 的前n 项和。

南昌市2015届高三调研考试复习数学理试题答案(2014.12.25)

页眉内容南昌市2015届高三调研考试模拟卷理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.1．设{|{|ln(1)}A x y B x y x ====+，则AB =（C ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x ≤C ．{|11}x x -<≤D ．ϕ 2．复数5)z i i i -+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ A ） A ．2i - B ．2i + C ．4i - D ．4i + 3.下列说法不正确．．．的是（ D ） A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <”B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件；C.“若tan α≠3πα≠” 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p 是“甲考试及格”,q 是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝∧⌝4.设若2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰((1))1f f =，则a 的值是（ C ） A.1- B. 2 C. 1 D. 2-5．阅读如下程序框图，如果输出4i =，那么空白的判断框中应填人的条件是（ A ）A ．?10≤SB ．?12≤SC ．?14≤SD ．?16≤S6．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于,A B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AOB ∆的面积为（ C ） ABCD．7.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为（ A ）A ．532323++ππ＋1 B ．523323++ππ＋1 C ．53233++ππ D ．52333++ππ8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为（ B ）A ．4B ．5C ．6D ．79.由()y f x =的图象向左平移3π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到12sin(3)6y x π=-的图象，则()f x 为（ B ）A ．312sin()26x π+B ．12sin(6)6x π-C ．312sin()23x π+D ．12sin(6)3x π+10. 若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a )n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n 都成立，则a 的取值范围是（ D ）（A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0] （C ）[ 1 2，＋∞) （D ）(－∞， 12]11. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此三棱锥外接球的表面积为（ B ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．312. 已知)()(R x ex x f x∈=，若关于x 的方程01)()(2=-+-m x mf x f 恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ C ）A.),2()2,1(e e⋃ B.)1,1(e C.)11,1(+e D.),1(e e第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a )·(c －b )＝－ 52，则向量c的坐标为________．(1 2， 32)14.若实数x ，y 满足条件04(3)(3)0x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】715.已知F 是双曲线的右焦点12222=-by a x 的右焦点,点B A ,分别在其两条渐近线上，且满足2=，0=⋅（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________.16.ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，下列命题正确的是________（写出正确命题的编号）. ○1④⑤○1总存在某内角α，使1cos 2α≥ ②若AsinB>BsinA ，则B ＞A③存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ④若02=++AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π； ⑤若()10≤<<t tb a ，则tB A <.三、解答题：本大题共6小题，共70分17. (本小题满分12分)已知函数23()2cos 22f x x x =+- （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值（II ）在ABC ∆中,A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值.解：(Ⅰ)23()2cos 2f x x x=+-1cos 23222x x +=+-=sin(2)16x π+-所以()f x 最小正周期22T ππ== 70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ∴最大值为0.(Ⅱ) 由1()2f A =-得1sin(2)62A π+= 又132666A πππ<+<5266A ππ∴+=3A π∴= 解法一：由余弦定理得, 222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-22223()()()3()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-=即4b c +≤=, 6a b c ∴++≤ （当且仅当2b c ==时取等号）所以6L =解法二：由正弦定理得2sin sin sin3b cB Cπ==，即,b B cC ==，所以sin )b c B C +=+2sin()]4sin()36B B B ππ=+-=+ 2503666B B ππππ<<∴<+< 1s i n ()126Bπ∴<+≤（当且仅当3B C π==时取最大值） 4b c ∴+≤，∴6a b c ++≤ 所以6L =18. (本小题满分12分)已知等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是24,a a 的等差中项，()n N *∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log ,n n n n b aa S =+为数列{}nb 的前n 项和，求使1280n n S +--≤成立的n 的取值集合。

江西省南昌二中高三数学上学期第四次月考试题文新人教A版【会员独享】

南昌二中高三第四次考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是(）A ．11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B ． {}23x x << C ．122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭2. 直线013=++y x 的倾斜角是（）A ．6π B ．3π C ． 32π D ．65π3. 若函数是函数f(x)=log 3x ，那么f(x+1)的图像是( )4. 若命题“存在x ∈R,使01)1(2<+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围为（） A ．13a ≤≤B ．11a -≤≤C ．33a -≤≤D ．13a -≤≤5.直线l 与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称，则直线l 的方程是（） A 0223=+-y x B 0732=++y x C 01223=--y x D0832=++y x6. 与圆x 2 + (y + 5)2 = 3相切，且纵截距和横截距相等的直线共有（） A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条7. 已知等差数列{}n a 中，有011011<+a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（）A ．11B ．19C ． 20D ．218. 已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0)θπ<<，(0)ω>其图像与直线y =2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，若|x 2-x 1|的最小值为π，则该函数在区间（）上是增函数。

A ．,24ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭9. 已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A ．114⎛⎫- ⎪⎝⎭，B .114⎛⎫⎪⎝⎭，C.(12)，D.(12)-，10. 椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，l为左准线，PQ l ⊥，垂足为Q ，若四边形12PQF F 为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是A ．1(0,)2) B．(0,2 C ．1(,1)2 D．(2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分。

江西省南昌市第二中学高三上学期第四次月考——数学(

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合，，若，则（）A. B. C. D.2．下列命题中是假命题．．．的是（） A ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，;B ．使得函数是偶函数；C ．使得cos()cos cos α+β=α+β；D ． 243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在上递减；3．的值为（）A ．B ．C ．D ．4．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间内是（）A ．减函数且B ．减函数且C ．增函数且D ．增函数且5．已知数列的前项和，则数列（）A. 一定是等差数列B. 一定是等比数列C. 或者是等差数列，或者是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值等于( )A ．9B ．12C ．27D ．367. 将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得图像的一条对称轴方程为（）A. B. C. D.8. 已知为数列的前项和，且满足，，则（）A ．B ．C ．D ．9．中，，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A ． [1，2]B ．[0，1]C ． [0，2]D ． [﹣5，2]10．已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题5分，共25分）11．是正三角形ABC 的斜二测画法的水平放置直观图，若的面积为，那么的面积为．12．若是正项递增等比数列，表示其前项之积，且，则当取最小值时，的值为________．13.设均为正数,满足,则的最小值是 .14．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为15.下列四个命题：①函数与的图像关于直线对称；②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为，则实数的取值范围为；③在中，“”是“”的充分不必要条件；④数列的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若是单调递增数列，则实数的取值范围为。

江西省南昌二中高三数学上学期第四次月考试题理(含解

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题【试卷综述】突出考查数学主干知识，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容，高中数学的主干知识如函数、三角函数、数列、立体几何、导数的主体内容，解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识.明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向. 【题文】一、选择题（每小题5分，共50分）【题文】1．设集合22{,log }P a a =，{2,}aQ b =，若}0{=Q P I ，则=Q P Y （） A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3} 【知识点】集合的三大特性 A1 【答案】【解析】B 解析：{}{}{}0,2,Q 0,10,1,2P P Q ==∴⋃=Q 所以B 为正确选项.【思路点拨】按集合的性质分别求出集合P,Q.再求两个集合的并集.【题文】2．下列命题中是假命题的是（）A ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，; B ．,R ∃ϕ∈使得函数()sin(2)f x x =+ϕ是偶函数； C ．,,R ∃αβ∈使得cos()cos cos α+β=α+β；D ．243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递减；【知识点】命题 A2【答案】【解析】A 解析：因为当()2,2,lg 22lg2lg22lg2a b ==+=+=所以A 为假命题.【思路点拨】根据对数的运算法则可判定结果.【题文】3．2014cos()3π的值为（）A ．12B．2C ．12-D ．2-【知识点】三角函数的诱导公式 C2【答案】【解析】C 解析：2014441cos cos 670cos cos 33332πππππ⎛⎫⎛⎫=+==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 所以正确选项为C.【思路点拨】由三角函数的诱导公式可以计算出正确结果.【题文】4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2内是（）A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x < 【知识点】函数的奇偶性与单调性. B4 【答案】【解析】B 解析：由题意可知函数()f x 为周期为2的函数，再由复合函数的性质可知函数12()log (1)f x x =-在1(0,]2x ∈上为增函数，利用奇函数与周期可知B 正确. 【思路点拨】根据函数的奇偶性与单调性可直接求出结果. 【题文】5．已知数列{}n a 的前n 项和1(0)nn S a a =- ≠，则数列{}n a （）A. 一定是等差数列B. 一定是等比数列C. 或者是等差数列，或者是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列【知识点】数列的定义 D1【答案】【解析】C 解析：当1a =时数列为等差数列，为其它不等于零的值时为等比数列，所以正确选项为C.【思路点拨】根据等差数列与等比数列的定义可以找出正确选项. 【题文】6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤x，2x ＋y －9≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值等于( )A ．9B ．12C ．27D ．36【知识点】简单的线性规划 E5【答案】【解析】B 解析：由题意可知目标函数在y x =与290x y +-=的交点处取得最大值，因为交点为()3,3，代入可得max 12Z =，所以B 为正确选项.【思路点拨】根据线性规划的意义可找到最大值点，再求出最大值.【题文】7. 将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为（）A.9π=x B.8π=x C.2π=x D. π=x【知识点】三角函数的图像与性质 C4【答案】【解析】C 解析：由题意可知横坐标伸长到原的2倍，函数式变为1cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移6π个单位可得11cos cos 26324y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以对称轴方程为12242x k x k ππππ-=∴=+，当0k =时，可得C 为正确选项.【思路点拨】由三角函数的图像可列出关系式，求出其中正确的选项.【题文】8. 已知nS 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，13()n n n a a n N ++= ∈，则2014S =（）A ． 1007232⨯-B ． 100723⨯ C ．2014312- D ．2014312+ 【知识点】数列的求和 D4【答案】【解析】A 解析：由anan+1=3n ，得（n≥2），∴，则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又．∴=2×31007﹣2．故选：A ．【思路点拨】由数列递推式得到数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案【题文】9． ΔABC 中，120BAC ∠=o，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A ． [1，2]B ．[0，1]C ． [0，2]D ． [﹣5，2]【知识点】平面向量数量积的运算 F3【答案】【解析】D 解析：∵D 是边BC 上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[+]•=﹣+=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．【思路点拨】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．【题文】10．已知函数()()2212,3ln2f x x axg x a x b=+=+设两曲线()(),y f x y g x==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a∈+∞时，实数b的最大值是（）A．6136eB．616eC．2372eD．2332e【知识点】导数 B11【答案】【解析】D 解析：设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x0，y0）处的切线相同、f′（x）=x+2a，g′（x）=，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0），即由x0+2a=得x0=a或x0=﹣3a（舍去），即有b=a2+2a2﹣3a2lna=a2﹣3a2lna．令h（t）=t2﹣3t2lnt（t＞0），则h′（t）=2t（1﹣3lnt）、于是当t （1﹣3lnt ）＞0，即0＜t ＜时，h ′（t ）＞0；当t （1﹣3lnt ）＜0，即t ＞时，h ′（t ）＜0．故h （t ）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，于是h （t ）在（0，+∞）的最大值为h （）=，故b 的最大值为．【思路点拨】利用a 的表达式来表示b ，然后利用导数来研究b 的最大值，研究此函数的最值问题，先求出函数的极值，结合函数的单调性，最后确定出最大值与最小值即得二、填空题（每小题5分，共25分）【题文】11．'''C B A ∆是正三角形ABC 的斜二测画法的水平放置直观图，若'''C B A ∆的面积为3，那么ABC ∆的面积为．【知识点】斜二测画法 G2【答案】【解析】6解析：由题意可设正三角形的边长为a ，则在斜二测画法中，三角形的高为68a ，因为面积等于221633,82=26284a a a S a ⨯⨯=∴==正【思路点拨】由斜二测画法的定义可求出三角形的边长，再求出其面积. 【题文】12．若{}n a 是正项递增等比数列，nT 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当nT 取最小值时，n 的值为________．【知识点】等比数列的性质 D3 【答案】【解析】15解析：根据1020T T =，得出111213201120121915161,1a a a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅==⋅=L Q L ，1516a a <，所以15161,1a a <>所以15T 最小，所以n 的值为15【思路点拨】由题意可根据等比数列的性质求出各项的大小关系，再确定n 的值.【题文】13.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz 的最小值是 .【知识点】基本不等式 E6 【答案】【解析】3 解析：由基本不等式可得22213233333y y x z x z xz y xz xz y xz =++≥≥∴≥∴≥Q ，所以最小值为3.【思路点拨】由题意可列出不等式，再求出最小值.【题文】14．已知向量a r 与向量b r 的夹角为120o ，若()(2)a b a b +⊥-r r r r 且2a =r ，则b r 在a r 上的投影为【知识点】向量的运算 F2 【答案】【解析】解析：：因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求，因为，故，所以在上的投影为．故答案为：．【思路点拨】因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求．【题文】15.下列四个命题：①函数()()y f a x x R =+∈与()()y f a x x R =-∈的图像关于直线x a =对称；②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为[0,1]； ③在ABC ∆中，“ο30>A ”是“21sin >A ”的充分不必要条件；④数列{}n a 的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(3,)-+∞。

2015-2016学年江西省南昌三中高三(上)第四次月考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i2．（5分）已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．（5分）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．1086．（5分）由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B． C． D．8．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．9．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5x的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．（5分）设M是△ABC内一点，且•=2，∠BAC=30°．定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f（P）=（，x，y），则log2x+log2y的最大值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣211．（5分）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有f k（x）=f（x），则（）A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为112．（5分）已知函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a=．14．（5分）在矩形ABCD中，AB=3．BC=，=2，点F在边CD上，若=3，则=．15．（5分）对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x0∈D，满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点，若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则实数a取值范围是．16．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．18．（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．20．（12分）如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC1﹣C的大小：（Ⅲ）设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB1C1，求线段BM的长．21．（12分）已知数列{a n}满足a1=，a n=2﹣（n≥2），S n是数列{b n}的前n项和，且有=1+b n．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求证：T n＜1．22．（12分）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h （x）．（I）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若对任意k∈[﹣1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．（5分）（2014•新课标II）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）（2012•湖北）已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B 找出符合条件的集合．3．（5分）（2016•吉林校级模拟）已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【分析】由命题p，找到x的范围是x∈R，判断p为真命题．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假命题，然后根据复合命题的判断方法解答．【解答】解：因为命题p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真命题；命题q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q 是假命题；所以p∧￢q为真命题；故选D；【点评】判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．4．（5分）（2012•安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b ⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．5．（5分）（2014秋•洛阳期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前12项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．（5分）（2015春•齐齐哈尔校级期末）由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据图形可以得到直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为第三象限二分之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三角形的面积，加上抛物线在第一和第二象限曲边梯形的面积减去直角三角形的面积．【解答】解：如图，由得：或，所以直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为S=﹣﹣=8+=8+（3x﹣）=8+．故选D．【点评】本题考查了定积分，考查了数形结合的数学思想，解答此题的关键是明确微积分基本定理．7．（5分）（2014•大庆二模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B． C． D．【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．【点评】本题考查的知识点是由三视图求面积、体积，其中根据三视图判断出几何体的形状，分析出几何体的几何特征是解答本题的关键．8．（5分）（2014秋•武平县校级期中）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．【分析】作平面区域，求出向量OA，OM的和，以及模，通过图象观察当M与B重合时，取最小；当M 与D重合时，取最大，代入计算即可得到范围．【解答】解：由约束条件，作平面区域如图，∵A（﹣1，0），M（x，y），∴=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则|+|=．由图可知，当M与B重合时，取最小，联立，得B（1，1）．∴|+|的最小值是1．当M与D重合时，取最大，代入点（0，2），可得最大为．则取值范围是[1，]．故选A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题．9．（5分）（2015秋•南昌校级月考）已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5x的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期为2的周期性函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点．故选：C．【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）﹣log5x的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．10．（5分）（2015秋•南昌校级月考）设M是△ABC内一点，且•=2，∠BAC=30°．定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f（P）=（，x，y），则log2x+log2y的最大值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【分析】由向量的数量积可得||•||=4，从而求出S△ABC=1，进而可得x+y=，从而利用基本不等式求最大值．【解答】解：由题意，∵•=||•||•cos30°=2，∴||•||=4，则S△ABC=||•||•sin30°=1又∵S△PBC=，∴S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC=x+y+=1，∴x+y=，∴xy≤（）2=（当且仅当x=y=时成立），∴log2x+log2y=log2xy≤log2=﹣4，故选B．【点评】本题考查了向量的运算、三角形面积相等即求法、基本不等式、对数运算等，属于中档题．11．（5分）（2009•湖南）设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有f k（x）=f（x），则（）A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1【分析】根据新定义的函数建立f k（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．【解答】解：由题意可得出k≥f（x）最大值，由于f′（x）=﹣1+e﹣x，令f′（x）=0，e﹣x=1=e0解出﹣x=0，即x=0，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2﹣1=1．故当k≥1时，恒有f k（x）=f（x）．因此K的最小值是1．故选D．【点评】本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想．12．（5分）（2013秋•德州期中）已知函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（）A．B．C．D．【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．【解答】解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（e x）′（sinx﹣cosx）+e x（sinx﹣cosx）′=2e x sinx，∵x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时，f′（x）＜0，∴x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时f（x）递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时f（x）递减，∴当x=2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））=e2kπ+π，又x∈（0，2013π），∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π═=．故选：B．【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值以及等比数列求和的问题，解题的关键是求出f（x）的极大值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2016•潍坊校级二模）已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a=n n．【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论．【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，当n=3时，a=27=33，…∴当分母指数取n时，a=n n．故答案为n n．【点评】本题考查了归纳推理，寻找规律是关键．14．（5分）（2014•贵州二模）在矩形ABCD中，AB=3．BC=，=2，点F在边CD上，若=3，则=﹣4．【分析】通过建立坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可得出．【解答】解：如图所示．A（0，0），B（3，0），C．∵，∴E．设F，∴=（3，0），=．∵=3，∴3x+0=3，解得x=1．∴F．∵=，=．则==﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题．15．（5分）（2015秋•南昌校级月考）对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x0∈D，满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点，若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则实数a取值范围是a＞﹣2．【分析】若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则2x++a=x在x∈（0，+∞）没有实数解，即+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解，【解答】解：若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则2x++a=x在x∈（0，+∞）没有实数解，即+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解，分离参数a，得出a=﹣（），由于x∈（0，+∞）时，≥2，所以﹣（）≤﹣2，所以a＞﹣2故答案为：a＞﹣2【点评】本题以新定义为载体，主要考查了一元二次方程的根的求解，及方程的根的分布，考查函数思想及运算求解能力．16．（5分）（2013•合肥校级模拟）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个命题：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述命题中正确的命题的序号是①②③．【分析】①c=0，f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），由奇函数的定义判断②b=0，c＞0，代入可得f（x）=x|x|+c=，令f（x）=0，通过解方程判断③根据中心对称的条件进行证明是否满足f（2c﹣x）=f（﹣x）④举出反例如c=0，b=﹣2【解答】解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣x|﹣x|+b（﹣x）=﹣f（x），故①正确②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=令f（x）=0可得，故②正确③设函数y=f（x）上的任意一点M（x，y）关于点（0，c）对称的点N（x′，y′），则．代入y=f（x）可得2c﹣y′=﹣x′|﹣x′|﹣bx′+c⇒y′=x′|x′|+bx′+c故③正确④当c=0，b=﹣2，f（x）=x|x|﹣2x=0的根有x=0，x=2，x=﹣2故④错误故答案为：①②③【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、对称性（中心对称的证明）及函数图象在解题中的运用，要求考生熟练掌握函数的性质，并能灵活运用性质求解．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（2016春•日喀则市校级期末）已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．【分析】（1）由向量运算和三角函数公式可得f（x）=（+）•=sin（2x+）+2，可得周期；（2）易得A=，由余弦定理可得b值，可得面积．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=（+）•==cos2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=cos2x+sin2x+2=sin（2x+）+2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）+2，又f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，A为锐角，可得A=，由余弦定理可得12=b2+3﹣2b××，解得b=1或b=2当b=1时，三角形ABC的面积S=bcsinA=，当b=2时，三角形ABC的面积S=bcsinA=．【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及余弦定理和三角形的面积公式，属中档题．18．（12分）（2014秋•洛阳期中）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．0 2 3∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．19．（12分）（2011春•南宫市校级期中）若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．【分析】（1）首先求出n=1时，一个不等式猜想a的最大值．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1，假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立，即可证明结果．【解答】解：（1）当n=1时，，即，所以a＜26，a是正整数，所以猜想a=25．（2）下面利用数学归纳法证明，①当n=1时，已证；②假设n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，有=因为所以，所以当n=k+1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25．…（14分）【点评】本题考查数学归纳法证明猜想的步骤，注意证明n=k+1时必须用上假设，注意证明的方法，考查计算能力．20．（12分）（2014•河西区二模）如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC1﹣C的大小：（Ⅲ）设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB1C1，求线段BM的长．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能证明CE∥平面A1B1C1．（Ⅱ）分别求出平面AB1C1的法向量和平面ACC1的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AC1﹣C的平面角．（Ⅲ）设点M的坐标为（a，b，0），由EM⊥平面AB1C1，利用向量法求出M（﹣3，﹣2，0），由此能求出线段BM的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵点B1在平面ABC内的正投影为B，∴B1B⊥BA，B1B⊥BC，又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系B﹣xyz，由题意知B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（0，0，4），C1（0，2，2），E（1，0，2），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），∵，∴，取y=1，得，又，∵=0，∴，∴CE∥平面A1B1C1．（Ⅱ）解：设平面AB1C1的法向量，∵，∴，取y1=1，得=（2，1，1），设平面ACC1的法向量，∵，∴，取x2=1，得，∴cos＜＞==，由图知二面角B1﹣AC1﹣C的平面角是钝角，∴二面角B1﹣AC1﹣C的平面角是．（Ⅲ）解：设点M的坐标为（a，b，0），则，由EM⊥平面AB1C1，得，解得a=﹣3，b=﹣2，∴M（﹣3，﹣2，0），∴||==．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2015•南海区校级模拟）已知数列{a n}满足a1=，a n=2﹣（n≥2），S n是数列{b n}的前n项和，且有=1+b n．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求证：T n＜1．【分析】（1）化简a n=2﹣，化出的形式，（2）由a n=s n﹣s n﹣1化简，得到递推公式，再推通项公式；（3）利用裂项求和法求和证明不等式成立．【解答】解：（1）证明：∵，∴，∴，即：∴．∴数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）当n≥2时，，，即：；∴，当n=1时，b1=S1=2，∴．（3）证明：由（1）知：∴，∴，∴．【点评】本题全面考查了数列的相关知识，有等差数列的证明，也用到了通项与前n项之间的普遍关系，同时考查了裂项求和的方法，属于难题．22．（12分）（2014•达州模拟）已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．（I）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若对任意k∈[﹣1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．【分析】（I）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b，c．然后求出函数f（x），求出导函数y=f′（x），可得函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）．（Ⅱ）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围．（Ⅲ）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．【解答】解：（I）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，导函数y=h′（x）过点（4，0）和（0，﹣8），代入h′（x）=2ax+b得b=﹣8，a=1，即h（x）=x2﹣8x+c，h′（x）=2x﹣8，f（x）=6lnx+h（x）=6lnx+x2﹣8x+c，，所以函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）=2+2×3﹣8=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0．（Ⅱ）因为f（x）=6lnx+x2﹣8x+c的定义域为（0，+∞），则==在（m，m+）上导数符号不变化．因为，，当x变化时单调递减区间为（1，3）．若函数在（m，m+）上是单调递减函数，则有，解得1．若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥3，解得0或m≥3．综上若函数在（m，m+）上是单调函数，则0或m≥3或1．（Ⅲ）对任意k∈[﹣1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，则只需要﹣x＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，即可．即﹣x＞6lnx+x2﹣8x+c恒成立，所以c＜﹣x2﹣6lnx+7x．设g（x）=﹣x2﹣6lnx+7x，x∈（0，6]，则，当此时函数单调递增，当，此时函数单调递减．所以g（x）的最小值为g（）或g（6）的较小者．，g（6）=﹣36﹣6ln6+7×6=6﹣6ln6，，所以g（x）的最小值为g（6）=6﹣6ln6，所以c＜6﹣6ln6，又c＜3，所以c＜6﹣6ln6．即c的取值范围是（﹣∞，6﹣6ln6）．【点评】本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．综合性较强，难度较强．2016年11月5日21页。

2015-2016学年江西省南昌二中、临川一中高三(下)4月联考数学试卷(理科)(二)(解析版)

2015-2016学年江西省南昌二中、临川一中高三（下）4月联考数学试卷（理科）（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U=R，A={x|x2+2x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（）A．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．（﹣1，0] D．[﹣1，0）2．（5分）复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（）A．﹣ B．﹣C．D．3．（5分）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）②y=f（﹣x）③y=xf（x）④y=f（x）﹣x．A．①③B．②③C．①④D．②④4．（5分）等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．5 C．10 D．lg505．（5分）如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8？B．i＞9？C．i＞10？D．i＞11？6．（5分）已知抛物线C：y2=4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中点坐标为（2，2），则AB 所在直线的方程为（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．2x﹣y﹣2=0 D．2x+y﹣6=07．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4．表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（）A．85 B．86 C．87 D．888．（5分）（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣25209．（5分）圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（1，）C．（，2）D．（，）12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．12πC．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）设与的夹角为θ，=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ=．14．（5分）实数x、y满足不等式组，则W=的取值范围是．15．（5分）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．16．（5分）在数列{a n}中，a1=0，a n+2+（﹣1）n a n=2．记S n是数列{a n}的前n项和，则S2016﹣S2013=．三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=，求DC的长．18．（12分）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．20．（12分）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．21．（12分）已知函数f（x）=﹣aln（x+1）+﹣a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n都有（1+）n﹣a＞e成立，求a的取值范围．四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O的半径为4，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=2，∠BOD=∠A，OB与⊙O 相交于点E．（Ⅰ）求BD长；（Ⅱ）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（ρ＞0，0＜θ＜2π）．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为45°的直线交C2于点A．求|PA|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．2015-2016学年江西省南昌二中、临川一中高三（下）4月联考数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2016春•兴国县校级月考）已知全集U=R，A={x|x2+2x≤0}，B={x|x＞﹣1}，则集合∁U（A∩B）=（）A．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）C．（﹣1，0] D．[﹣1，0）【分析】化简集合A，根据交集与补集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U=R，A={x|x2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}，∴∁U（A∩B）={x|x≤﹣1或x＞0}=（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）（2016春•兴国县校级月考）复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，则sinθcosθ=（）A．﹣ B．﹣C．D．【分析】由复数z的实部为0且虚部不为0求得tanθ，再把sinθcosθ转化为含有tanθ的代数式得答案．【解答】解：∵复数z=（sinθ﹣2cosθ）+（sinθ+2cosθ）i是纯虚数，∴，解得tanθ=2．则sinθcosθ=．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了三角函数的化简求值，是基础题．3．（5分）（2016春•兴国县校级月考）已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）①y=f（|x|）②y=f（﹣x）③y=xf（x）④y=f（x）﹣x．A．①③B．②③C．①④D．②④【分析】由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）逐个验证即可【解答】解：由奇函数的定义：f（﹣x）=﹣f（x）验证①f（|﹣x|）=f（|x|），故为偶函数②f[﹣（﹣x）]=f（x）=﹣f（﹣x），为奇函数③﹣xf（﹣x）=﹣x•[﹣f（x）]=xf（x），为偶函数④f（﹣x）﹣（﹣x）=﹣[f（x）﹣x]，为奇函数可知②④正确故选D【点评】本题考查利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，是基础题．4．（5分）（2016春•阳东县校级月考）等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．5 C．10 D．lg50【分析】由等比数列的性质和题意得：a1•a2…a10=（a5•a6）5=105，由对数的运算求出数列{lga n}的前10项和即可．【解答】解：由题意得，等比数列{a n}中，a3=5，a8=2，所以a3•a8=a5•a6=10，由等比数列的性质得，a1•a2…a10=（a5•a6）5=105，所以数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lg（a1•a2…a10）=lg105=5，故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质的灵活应用，以及对数的运算，属于中档题．5．（5分）（2016•武汉校级模拟）如图给出的是计算+++…+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）A．i＞8？B．i＞9？C．i＞10？D．i＞11？【分析】写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S在第十次循环中结果中，此时的i满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．【解答】解：经过第一次循环得到，i=2，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到，i=3，此时的i应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到，i=4，此时的i应该不满足判断框中的条件…经过第十次循环得到S=+++…+，i=11，此时的i应该满足判断框中的条件，执行输出故判断框中的条件是i＞10故选C【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律．6．（5分）（2016春•兴国县校级月考）已知抛物线C：y2=4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中点坐标为（2，2），则AB所在直线的方程为（）A．x+y﹣4=0 B．x﹣y=0 C．2x﹣y﹣2=0 D．2x+y﹣6=0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB的方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可得，x1+x2=4，y1+y2=4则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=（x1﹣x2），∴k AB=1，∴直线AB的方程为y﹣2=（x﹣2）即x﹣y=0．故选：B【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．7．（5分）（2016春•兴国县校级月考）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4．表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（）A．85 B．86 C．87 D．88【分析】根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4．代入样本中心点求出该数据的值，【解答】解：设表中有一个模糊看不清数据为m．由表中数据得：=30，=63+，由于由最小二乘法求得回归方程=0.72x+58.4．将=30，=63+，代入回归直线方程，得63+=0.72×30+58.4，∴m=85．故选：A【点评】本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测．8．（5分）（2016春•兴国县校级月考）（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣2520【分析】根据展开式中各项系数的和2求得a的值，再把二项式展开，求得该展开式中常数项．【解答】解：令x=1可得（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为（a+1）=3，∴a=2．∴（x+）（3x﹣）5 =（x+）（3x﹣）5=（x+）（•243x5﹣•162x3+•108x﹣•+•﹣•），故该展开式中常数项为﹣•72+2•108=1440，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，求二项展开式各项的系数和的方法，属于中档题．9．（5分）（2016春•南昌校级月考）圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出圆柱的高是底面半径的2倍，结合图象求出满足条件的概率即可．【解答】解：如图示：设圆柱的高是h，则2πr2+2πrh=•2πrh，解得：h=2r，若|PO|≤r，P在以O为圆心，以r为半径的圆内，∴使|PO|≤r的概率是：p==，故选：C．【点评】本题考查了几何概型问题，考查圆柱、圆的有关公式，是一道基础题．10．（5分）（2016春•兴国县校级月考）下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个【分析】根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，f（﹣1）=0，f'（﹣1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，经检验，当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故④错误．【解答】解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；对于②：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故②错误；对于③：若p∧q为真，则p、q均为真命题，此时p∨q为真，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分条件，故③错误；对于④：f'（x）=3x2+6ax+b，因为f（x）在x=﹣1有极值0，故，解得经检验，当a=2，b=9时，f'（x）=3x2+12x+9=3（x+1）（x+3），此时f（x）在x=﹣1处取得极小值，符合条件；当a=1，b=3时，f'（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；所以a=2，b=9．故④错误．故选：A．【点评】考查了相关系数的概念，特称命题的否定，复合命题的真值表以及导数的应用，对第四个命题中利用导数求出a，b的值后需进行检验．11．（5分）（2016春•兴国县校级月考）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为2时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）A．（1，）B．（1，）C．（，2）D．（，）【分析】先确定双曲线的渐近线斜率1＜＜2，再根据=，即可求得双曲线离心率的取值范围．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率1＜＜2，∵e====，∴＜e＜，∴双曲线离心率的取值范围为（，）．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用=，属于中档题．12．（5分）（2016春•兴国县校级月考）某几何体三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．12πC．D．【分析】由三视图知：几何体为三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．如图：△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．OE⊥底面ABC，设OE=x，外接球的半径为R，利用勾股定理即可得出．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥S﹣ABC，且三棱锥的一个侧面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．底面为等腰直角三角形，直角边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点E，设该几何体的外接球的球心为O．OE⊥底面ABC，设OE=x，外接球的半径为R，则=1+（2﹣x）2，解得x=．∴R2=，∴外接球的表面积S=4π×R2=．故答案为：．【点评】本题考查了三棱锥的三视图、空间位置关系、外接球的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．13．（5分）（2014•呼和浩特一模）设与的夹角为θ，=（3，3），2﹣=（﹣1，1），则cosθ=．【分析】设出的坐标，利用2﹣=（﹣1，1）求得x和y，进而求得两向量的积，和两向量的模，最后利用平面向量的数量积的法则求得cosθ的值．【解答】解：设=（x，y），故2﹣=（2x﹣3，2y﹣3）=（﹣1，1） x=1，y=2，即b=（1，2），则•=（3，3）•（1，2）=9，||=3，|b|=，故cosθ==故答案为：【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查了学生对向量基础知识的应用．14．（5分）（2009•唐山校级模拟）实数x、y满足不等式组，则W=的取值范围是[﹣1，1）．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的取值范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：表示可行域内的点Q（x，y）与点P（0，1）连线的斜率，当Q在直线y=x上时，W==1﹣取最大值1，当（x，y）=（1，0）时取最小值﹣1，故的取值范围是[﹣1，1）故答案为：[﹣1，1）．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）（2016•沈阳校级一模）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【分析】求得导数，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，运用判别式大于0，韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义和二次方程的实根的分布，考查运算能力，属于基础题．16．（5分）（2016春•兴国县校级月考）在数列{a n}中，a1=0，a n+2+（﹣1）n a n=2．记S n是数列{a n}的前n 项和，则S2016﹣S2013=2016．【分析】由a n+2+（﹣1）n a n=2，考虑分n为奇数、偶数来讨论，根据数列{a n}的表达式即可求S2016﹣S2013．【解答】解：由a n+2+（﹣1）n a n=2，可知得n为奇数时a n+2﹣a n=2，∴数列{a n}的奇数项构成以0为首项，2为公差的等差数列，当n为偶数时a n+2+a n=2，即a2+a4=a4+a6= (2)∴S2016﹣S2013=a2014+a2015+a2016=a2015+2=a1+（1008﹣1）×2+2=2016，故答案为：2016．【点评】本题考查求数列的前n项和的方法，考查等差数列前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答应写在答题卡上的指定区域内．17．（12分）（2016春•丰城市校级期末）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC=DC．（Ⅰ）若∠DAC=30°，求角B的大小；（Ⅱ）若BD=2DC，且AD=，求DC的长．【分析】（I）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=x．于是sinB==，cosB=，AB=x．再利用余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，根据正弦定理，有=．∵AC=DC，∴sin∠ADC==．又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°＞60°，∴∠ADC=120°．于是∠C=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠B=60°．（Ⅱ）设DC=x，则BD=2x，BC=3x，AC=x．于是sinB==，cosB=，AB=x．在△ABD中，由余弦定理，AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，即，得x=1．故DC=1．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016•沈阳二模）某小学对五年级的学生进行体质测试，已知五年一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如图（单位：cm）：男生成绩在175cm以上（包括175cm）定义为“合格”，成绩在175cm以下（不包括175cm）定义为“不合格”．女生成绩在165cm以上（包括165cm）定义为“合格”，成绩在165cm以下（不包括165cm）定义为“不合格”．（Ⅰ）求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数；（Ⅱ）在五年一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（Ⅲ）若从五年一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试，用X表示其中男生的人数，写出X的分布列，并求X的数学期望．【分析】（I）由茎叶图能求出五年一班的女生立定跳远成绩的中位数．（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），由此能求出至少有2人的成绩是合格的概率．（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的数学期望．【解答】解：（I）由茎叶图得五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为cm．…（2分）（II）设“仅有两人的成绩合格”为事件A，“有三人的成绩合格”为事件B，至少有两人的成绩是合格的概率：P=P（A）+P（B），又男生共12人，其中有8人合格，从而，（4分），所以．（6分）（III）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X的取值为0，1，2．则，，，（每项1分）（10分）X 0 1∴（人）．（未化简不扣分）（12分）（或是，因为X服从超几何分布，所以（人）．【点评】本题考查中位数、概率、分布列的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．（12分）（2016春•兴国县校级月考）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．【分析】（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，连OD，推导出△AA1D≌△ABD，从而DO ⊥A1B，由菱形的性质知AO⊥A1B，从而A1B⊥平面ADO，进而A1B⊥AD，再由AD∥BC，能证明A1B ⊥BC．（Ⅱ）分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，连OD，如图所示．由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1，可得△AA1D≌△ABD，所以A1D=BD，由于O是线段A1B的中点，所以DO⊥A1B，又根据菱形的性质知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，所以A1B⊥AD，又因为AD∥BC，所以A1B⊥BC．…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1，又由题意知DO⊥平面ABB1A1，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．设AD=AB=3BC=3a，由∠A1AB=60°知，|OA|=|OB1|=，所以|OD|==，从而A（0，﹣，0），B（，0，0），B1（0，，0），D（0，0，），所以．由=，得，所以．设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得，取y 0=1，则，，所以=（）．又平面ABB1A1的法向量为，所以．故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小为．…（12分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016•常德一模）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．【分析】（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，由此能求出椭圆C1的标准方程；又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，由此能求出抛物线C2的标准方程．（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…（3分）又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（5分）（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…（6分）即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…（7分）将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…（8分）联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…（10分）经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…（12分）【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、椭圆性质的合理运用．21．（12分）（2016春•兴国县校级月考）已知函数f（x）=﹣aln（x+1）+﹣a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若对任意的正整数n都有（1+）n﹣a＞e成立，求a的取值范围．【分析】（I）利用导数的运算法则可得：f′（x）=﹣，对a分类讨论即可得出单调性．（Ⅱ）．令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对∀x∈（0，1]，有g（x）＞0.，利用（Ⅰ），对a分类讨论即可得出．【解答】解：（Ⅰ），当时，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；当时，f（x）在上单调递减，在上单调递增，当a≥0时，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅱ）．令g（x）=（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，x∈（0，1]，故要上式成立，只需对∀x∈（0，1]，有g（x）＞0.，由（Ⅰ）可知：①当时，∴g（x）在（0，1]上单调递增；∴g（x）＞g（0）=0，符合题意．②当a≥0时，∴g（x）在（0，1]上单调递减；∴g（x）＜g（0）=0，不符合题意．③当时，g（x）在上单调递减；∴当时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．④当时，g（x）在（0，1]上单调递减；∴当x∈（0，1]时g（x）＜g（0）=0，不符合题意．综上可知，a的取值范围为．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．四、请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016春•兴国县校级月考）如图，⊙O的半径为4，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=2，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E．（Ⅰ）求BD长；（Ⅱ）当CE⊥OD时，求证：AO=AD．【分析】（Ⅰ）由OC=OD，可得∠OCA=∠ODB．进而单调△OBD∽△AOC．利用相似三角形的性质即可得出．（Ⅱ）由OC=OE，CE⊥OD．可得∠COD=∠BOD=∠A．进而得出．【解答】（Ⅰ）解：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB．∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，∵OC=OD=4，AC=2，∴，∴BD=8．（Ⅱ）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO．∴AD=AO．【点评】本题考查了圆的性质、相似三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-4：极坐标与参数方程]23．（2016春•兴国县校级月考）已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2（ρ＞0，0＜θ＜2π）．（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）P是C1上的任意一点，过P点作与C2的夹角为45°的直线交C2于点A．求|PA|的最大值．【分析】（Ⅰ）求出C1与C2的普通方程，即可求C1与C2交点的极坐标；（Ⅱ）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，所以C1的普通方程为：（x﹣2）2+y2=4．将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由直线与圆的方程联立解得或．所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．…（5分）（Ⅱ）设P（2+2cosα，2sinα），P到直线C2的距离为d==|+1|∴|PA|的最大值==2+2．…（10分）【点评】本题考查了直线的参数方程化为直角坐标方程、化为极坐标方程、点到直线的距离公式、直角三角形的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•宁城县模拟）已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（Ⅰ）求满足条件的实数t集合T；（Ⅱ）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．【分析】（Ⅰ）根据绝对值的几何意义求出t的范围即可；（Ⅱ）根据级别不等式的性质结合对数函数的性质求出m+n的最小值即可．【解答】解：（I）令f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣2|≥|x﹣1﹣x+2|=1≥t，∴T=（﹣∞，1]；（Ⅱ）由（I）知，对于∀t∈T，不等式•≥t恒成立，只需•≥t max，所以•≥1，又因为m＞1，n＞1，所以＞0，＞0，又1≤•≤=（=时取“=”），所以≥4，所以≥2，mn≥9，所以m+n≥2≥6，即m+n的最小值为6（此时m=n=3）．【点评】本题考查了绝对值的几何意义，考查对数函数以及级别不等式的性质，是一道中档题．。

江西省南昌市第二中学2015届高三上第四次月考数学(理)试题及答案

南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合22{,log }P a a =，{2,}a Q b =，若}0{=Q P ，则=Q P （） A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3} 2．下列命题中是假命题．．．的是（） A ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，;B ．,R ∃ϕ∈使得函数()sin(2)f x x =+ϕ是偶函数；C ．,,R ∃αβ∈使得cos()cos cos α+β=α+β；D ． 243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递减；3．2014cos()3π的值为（）A ．12 BC ．12-D ． 4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2内是（）A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <5．已知数列{}n a 的前n 项和1(0)n n S a a =- ≠，则数列{}n a （） A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 或者是等差数列，或者是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值等于( )A ．9B ．12C ．27D ．367. 将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为（）A.9π=x B. 8π=x C. 2π=x D. π=x8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，13()nn n a a n N ++= ∈，则2014S =（） A ． 1007232⨯- B ． 100723⨯ C ．2014312- D ．2014312+9． ΔABC 中，120BAC ∠=，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（） A ． [1，2] B ．[0，1] C ． [0，2] D ． [﹣5，2] 10．已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是（） A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e二、填空题（每小题5分，共25分）11．'''C B A ∆是正三角形ABC 的斜二测画法的水平放置直观图，若'''C B A ∆的面积为3，那么ABC ∆的面积为．12．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________．13.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是 .14．已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥- 且2a = ，则b 在a 上的投影为15.下列四个命题：①函数()()y f a x x R =+∈与()()y f a x x R =-∈的图像关于直线x a =对称； ②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为[0,1]；③在ABC ∆中，“30>A ”是“21sin >A ”的充分不必要条件； ④数列{}n a 的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(3,)-+∞。

江西省南昌二中高三数学上学期第四次段考试卷理(含解析)

江西省南昌二中2015届高三上学期第四次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合P={a2，log2a}，Q={2a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{0，2} D．{0，1，2，3}2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∀a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgbB．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数C．∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβD．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减3．（5分）cos（）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣4．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜05．（5分）已知数列{a n}的前n项的和S n=a n﹣1（a是不为0的实数），那么{a n}（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）A．8 B．10 C．12 D．147．（5分）将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．x=π8．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足a1=1，a n a n+1=3n（n∈N+），则S2014=（）A．2×31007﹣2 B．2×31007C．D．9．（5分）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]10．（5分）已知函数f（x）=lnx+b设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）△A′B′C′是正三角形ABC的斜二测画法的水平放置直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为．12．（5分）若{a n}是正项递增等比数列，T n表示其前n项之积，且T10=T20，则当T n取最小值时，n的值为．13．（5分）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是．14．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若且，则在上的投影为．15．（5分）下列四个命题：①函数y=f（a+x）（x∈R）与y=f（a﹣x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称；②函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；④数列{a n}的通项公式为a n=n2+λn+2（n∈N+），若{a n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（﹣3，+∞）．其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．（1）若a=时，求集合A∩（∁U B）；（2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．18．（12分）已知函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令cn=+证明：2n＜c1+c2+…+c n＜2n+．19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinA，cosB），=（1，1）．（I）若∥，求角B的大小：（Ⅱ）若•=4，边长c=2，角c=求△ABC的面积．20．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a2=2，S5=15，数列{b n}满足：b1=，b n+1=b n（n∈N+），记数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的通项公式b n及前n项和公式T n；（3）记集合M={n|≥λ，n∈N+}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）已知数列{a n}的通项公式为a n=1++（n∈N+），求证：a2a3a4•…•a n＜（e为自然对数的底数）；（3）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．江西省南昌二中2015届高三上学期第四次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）设集合P={a2，log2a}，Q={2a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{0，1} B．{0，1，2} C．{0，2} D．{0，1，2，3}考点：对数的运算性质；交集及其运算．专题：函数的性质及应用；集合．分析：因为2a＞0，所以P∩Q={0}，只能a2=b=0或者log2a=b=0，化简这两种情况，得到a，b的值，然后计算集合的并集．解答：解：因为P∩Q={0}，并且2a＞0，所以只能a2=b=0或者log2a=b=0，解得a=b=0，此时log2a无意义；或者a=1，b=0；所以P={1，0}，Q={2，0}，所以P∪Q={0，1，2}；故选B．点评：本题考查了对数的运算以及集合的运算，关键时由题意得到a，b的值，考查了分析问题、解决问题的能力，属于基础题．2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∀a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgbB．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数C．∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβD．∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减考点：命题的真假判断与应用；全称命题；特称命题．专题：简易逻辑．分析：利用反例判断A的正误；通过特殊值判断B的正误；特殊值判断C的正误；利用幂函数的定义判断D的正误；解答：解：∀a，b∈R+，lg（a+b）≠lga+lgb，如果a=b=2，两个数值相等，所以A不正确．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，当φ=时，函数是偶函数，所以B正确．∃α，β∈R，使得cos（α+β）=cosα+cosβ，例如α=，β=，等式成立，所以C 正确；∃m∈R，使f（x）=（m﹣1）•是幂函数，且在（0，+∞）上递减，m=2时函数是幂函数，f（x）=x﹣1．满足题意，正确．故选：A．点评：本题考查命题的真假的判断与应用，反例法与特殊值法是常用方法，考查基本知识的应用．3．（5分）cos（）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos（）=cos（670+）=cos=cos（π+）=﹣cos=﹣，故选：C．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（﹣x），当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），则f（x）在区间（1，）内是（）A．减函数且f（x）＞0 B．减函数且f（x）＜0 C．增函数且f（x）＞0 D．增函数且f（x）＜0考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件推出函数的周期性，利用函数的周期性得：f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，利用条件、奇偶性、对数函数单调性之间的关系即可得到结论．解答：解；因为定义在R上的奇函数满足f（x+1）=f（﹣x），所以f（x+1）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），所以函数的周期是2，则f（x）在（1，）上图象和在（﹣1，﹣）上的图象相同，设x∈（﹣1，﹣），则x+1∈（0，），又当x∈（0，]时，f（x）=（1﹣x），所以f（x+1）=（﹣x），由f（x+1）=f（﹣x）得，f（﹣x）=（﹣x），所以f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x），由x∈（﹣1，﹣）得，f（x）=﹣（﹣x）在（﹣1，﹣）上是减函数，且f（x）＜f（﹣1）=0，所以则f（x）在区间（1，）内是减函数且f（x）＜0，故选：B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件推出函数的周期性是解决本题的关键，综合考查函数性质的综合应用，考查了转化思想．5．（5分）已知数列{a n}的前n项的和S n=a n﹣1（a是不为0的实数），那么{a n}（）A．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列考点：等比关系的确定．专题：计算题；分类讨论．分析：由题意可知，当a=1时，S n=0，判断数列是否是等差数列；当a≠1时，利用，判断数列{a n}是等差数列还是等比数列．解答：解：①当a=1时，S n=0，且a1=a﹣1=0，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=0，（n＞1）a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=0，∴a n﹣a n﹣1=0，∴数列{a n}是等差数列．②当a≠1时，a1=a﹣1，a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣1）﹣（a n﹣1﹣1）=a n﹣a n﹣1，（n＞1）a n﹣1=S n﹣1﹣S n﹣2=（a n﹣1﹣1）﹣（a n﹣2﹣1）=a n﹣1﹣a n﹣2，（n＞2），（n＞2）∴数列{a n}是等比数列．综上所述，数列{a n}或是等差数列或是等比数列．故选C．点评：本题考查数列的概念，等差数列与等比数列的判定，解题时要注意a=0的情况，避免丢解以及n的范围满足数列的定义．6．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值为（）A．8 B．10 C．12 D．14考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．解答：解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=x+3y过点A（3，3）时，z最大是12，故选C．点评：本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．（5分）将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数的图象的一条对称轴为（）A．B．C．D．x=π考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：通过函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，求出函数的解析式，三角函数的平移原则为左加右减上加下减，求出函数的表达式即可．解答：解：函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为：，再向左平移个单位得到函数为：=，所得函数的图象的一条对称轴为：．故选C．点评：本题考查三角函数的图象的变换，图象的平移，考查计算能力，是基础题．8．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，且满足a1=1，a n a n+1=3n（n∈N+），则S2014=（）A．2×31007﹣2 B．2×31007C．D．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由数列递推式得到数列{a n}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的求和公式得答案．解答：解：由a n a n+1=3n，得（n≥2），∴，则数列{a n}的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又．∴=2×31007﹣2．故选：A．点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的分组求和与等比数列的前n项和，是中档题．9．（5分）△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A．[1，2] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣5，2]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理：可设=+（0≤λ≤1）．由∠BAC=120°，AB=2，AC=1，可得=2×1×cos120°=﹣1．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出．解答：解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=+（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[+]•=﹣+=﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]．∴•的取值范围是[﹣5，2]．故选：D．点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=lnx+b设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，则a∈（0，+∞）时，实数b的最大值是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：分别求出函数f（x）的导数，函数g（x）的导数．由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则有f（x0）=g（x0），且f′（x0）=g′（x0），解出x0=a，得到b关于a的函数，构造函数，运用导数求出单调区间和极值、最值，即可得到b的最大值．解答：解：函数f（x）的导数为f'（x）=x+2a，函数g（x）的导数为，由于两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，设为P（x0，y0），则，由于x0＞0，a＞0则x0=a，因此构造函数，由h'（t）=2t（1﹣3lnt），当时，h'（t）＞0即h（t）单调递增；当时，h'（t）＜0即h（t）单调递减，则即为实数b的最大值．故选D．点评：本题考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查分离参数法和构造函数，运用导数求单调区间和极值、最值，同时考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）△A′B′C′是正三角形ABC的斜二测画法的水平放置直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为2．考点：斜二测法画直观图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由直观图和原图的面积之间的关系，直接求解即可．解答：解：因为=，且△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为2故答案为：2．点评：本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属基本运算的考查．12．（5分）若{a n}是正项递增等比数列，T n表示其前n项之积，且T10=T20，则当T n取最小值时，n的值为15．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：欲求n的值，根据T10=T20，得出a11a12…a20=1，根据等比数列的性质有a11a20=a12a19=1；由等比数列是正项递增的，容易得到a15＜a16．分析得出a15＜1，a16＞1，从而得到T15最小．解答：解：根据T10=T20，得出a11a12…a20=1，a11a20=a12a19=…=a15a16=1；a15＜a16，所以a15＜1，a16＞1，T15最小．故答案为：15．点评：此题考查等比数列的性质，需要灵活应用．13．（5分）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是3．考点：基本不等式．分析：由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．解答：解：∵x﹣2y+3z=0，∴，∴=，当且仅当x=3z时取“=”．故答案为3．点评：本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是2015届高考考查的重点内容．14．（5分）已知向量与向量的夹角为120°，若且，则在上的投影为．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求．解答：解：因为向量与向量的夹角为120°，所以在上的投影为，问题转化为求，因为，故，所以在上的投影为．故答案为：．点评：本题考查在上的投影的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．15．（5分）下列四个命题：①函数y=f（a+x）（x∈R）与y=f（a﹣x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称；②函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，则实数a的取值范围为[0，1]；③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；④数列{a n}的通项公式为a n=n2+λn+2（n∈N+），若{a n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（﹣3，+∞）．其中真命题的序号是②④．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据函数图象的对称变换法则，可判断①；根据对数函数的图象和性质结合二次函数的图象和性质，可判断②；根据充要条件的定义和正弦函数的图象和性质可判断③；根据递增数列的定义，可判断④解答：解：对于①，函数y=f（a+x）（x∈R）的图象关于直线x=a对称变换后得到y=f[a+（2a﹣x）]=f（3a﹣x）（x∈R）的图象，故①错误；对于②，若函数f（x）=lg（ax2﹣2x+a）的值域为R，令y=ax2﹣2x+a的值域为A，则（0，+∞）⊆A，当a=0时，满足条件，当a≠0时，须a＞0且△=4﹣4a2≥0，解得0＜a≤1；综上可得实数a的取值范围为[0，1]；故②正确③在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的必要不充分条件；④数列{a n}的通项公式为a n=n2+λn+2（n∈N+），则a n+1=（n+1）2+λ（n+1）+2，若{a n}是单调递增数列，则a n+1﹣a n=2n+1+λ＞0恒成立，即λ＞﹣（1+2n）≥﹣3，故实数λ的取值范围为（﹣3，+∞）．故④正确；故真命题的序号是②④，故答案为：②④点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数图象的对称变换，对数函数，二次函数，正弦函数的图象和性质，数列的单调性等知识点，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）已知全集U=R，集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）＜0}，函数y=lg的定义域为集合B．（1）若a=时，求集合A∩（∁U B）；（2）命题P：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算；必要条件．专题：常规题型．分析：（1）将a=带入原函数式，再求其定义域，然后进行交集、补集的运算便可．（2）根据必要条件的定义，及原函数的定义域，便可建立对于a的限定的式子．解答：解：（1）a=时原函数变成y=lg，解＞0得B=（，），所以∁U B=（﹣∞，]∪[，+∞），所以A∩（∁U B）=（2，3）∩（（﹣∞，]∪[，+∞））=[，3）（2）由题意得A=（2，3），解得B=（a2+2，a）∪（a，a2+2），根据必要条件的概念，由题意知A⊆B，所以或，所以解得a的取值范围是：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．点评：本题需掌握的几个知识点是：1．定义域的求法；2．交、并、补的运算；3．必要条件的概念；4．子集的概念．17．（12分）已知几何体A﹣BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体A﹣BCED的体积为16．（1）求实数a的值；（2）将直角三角形△ABD绕斜边AD旋转一周，求该旋转体的表面积．考点：由三视图求面积、体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，利用几何体A﹣BCED的体积为16，求实数a的值；（2）过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，求出圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，即可求该旋转体的表面积．解答：解：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=a，体积V==16，解得a=2；（2）在RT△ABD中，，BD=2，AD=6，过B作AD的垂线BH，垂足为H，得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为．点评：本题考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．18．（12分）已知函数f（x）=x2+x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令cn=+证明：2n＜c1+c2+…+c n＜2n+．考点：数列与函数的综合；等差数列的通项公式．专题：计算题；证明题．分析：（1）点（n，S n）均在函数y=f（x）的图象上，则s n=n2+n，可得a n=S n﹣S n﹣1=n+1，并验证a1即可；（2）证明：由c n=+＞2，得c1+c2+…+c n＞2n；由c n=+=2+﹣，得c1+c2+…+c n=2n+（﹣+﹣+…+﹣）=2n+﹣＜2n+；即证．解答：解：（1）∵点（n，S n）均在函数y=f（x）的图象上，∴，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n+1，a1也适合，所以a n=n+1（n∈N*）．（2）证明：∵，∴c1+c2+…+c n＞2n；又c n=+=2+﹣，∴c1+c2+…+c n=2n+（﹣+﹣+…+﹣）=2n+﹣＜2n+；∴2n＜c1+c2+…+c n＜2n+．点评：本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题．19．（12分）已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量=（a，b），=（sinA，cosB），=（1，1）．（I）若∥，求角B的大小：（Ⅱ）若•=4，边长c=2，角c=求△ABC的面积．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（I）根据平面向量平行时满足的条件，得到一个关系式，利用正弦定理化简即可求出tanB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）根据平面向量的数量积的运算法则化简•=4，得到a+b的值，然后由c及cosC的值，利用余弦定理表示出c2，变形后把a+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（I）∵∥，∴acosB=bsinA，（2分）根据正弦定理得：2RsinAcosB=2RsinBsinA（4分）∴cosB=sinB，即tanB=1，又B∈（0，π），∴B=；（8分）（Ⅱ）由•=4得：a+b=4，（8分）由余弦定理可知：4=a2+b2﹣2abcos=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，于是ab=4，（12分）∴S△ABC=absinC=．（13分）点评：此题考查学生掌握平面向量数量积的运算法则，灵活运用正弦、余弦定理化简求值，是一道中档题．20．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，并且a2=2，S5=15，数列{b n}满足：b1=，b n+1=b n（n∈N+），记数列{b n}的前n项和为T n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）求数列{b n}的通项公式b n及前n项和公式T n；（3）记集合M={n|≥λ，n∈N+}，若M的子集个数为16，求实数λ的取值范围．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）先得到，再利用累乘法，得到数列{b n}的通项公式，再利用错位相减法求出前n项和公式T n；（3）根据函数的的单调性，得到不等式，n∈N+继而求实数λ的取值范围解答：解：（1）设数列{a n}的公差为d，由题意得，解得，∴a n=n，∴．（2）由题意得，累乘得．由题意得①②②﹣①得：∴（3）由上面可得，令，则f（1）=1，，，，．下面研究数列的单调性，∵，∴n≥3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，f（n+1）＜f（n），即f（n）单调递减．∵集合M的子集个数为16，∴M中的元素个数为4，∴不等式，n∈N+解的个数为4，∴点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式、累乘法错位相减法求和，以及参数的取值范围，属于中档题．21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）已知数列{a n}的通项公式为a n=1++（n∈N+），求证：a2a3a4•…•a n＜（e为自然对数的底数）；（3）若k∈Z，且k＜对任意x＞1恒成立，求k的最大值．考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）根据题意先求函数的导函数f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0，求出满足条件的范围，即可求出函数的单调区间；（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x．由，令k=2，3，…，n，累加后，利用放缩法可得答案；（3）令，则．令h （x）=x﹣lnx﹣2，则，利用导数法，分析函数的图象和性质，可得答案．解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x，∴．当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．证明：（2）由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（x+1）＜x．∵，∴．令k=2，3，…，n，这n﹣1个式子相加得：==．即，∴．解：（3）令，则．令h（x）=x﹣lnx﹣2，则，故h（x）在（1，+∞）上单调递增，而h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴h（x）存在唯一零点x0∈（3，4），即x0﹣lnx0﹣2=0．当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x0）=0，即g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞h（x0）=0，即g'（x）＞0．∴g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，故．由题意有k＜[g（x）]min=x0，又k∈Z，x0∈（3，4），所以k的最大值是3．点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合，不等式的证明，恒成立问题，利用导数求函数的最值，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．。

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学(文)试题

江西省南昌市第二中学2015届高三上学期第四次月考数学（文）试题一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1. 已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）A．（1，2）B．[0，2]C．（0，2）D．[1，2]2. 是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（）A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i3. 已知命题p：函数y=a x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．6B．8C．8D．126. 在下列直线中，与非零向量=（A，B）垂直的直线是（）A．A x+By=0 B．A x﹣By=0 C．B x+Ay=0 D．B x﹣Ay=0A．B．C．D．8. 设二次函数f（x）=ax﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）A．3B．C．5D．72若数列的前n项和为T n，则T2014的值为（）A．20112012B．20122013C．20132014D．20142015化的可能图象是（）A．B．C．D．11. 已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为．12. 有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是．13. 若实数x，y满足的最小值是．14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．15. ①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n 取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．其中正确命题的序号是（把所有正确命题的序号都写上）．三、解答题（6小题，共75分）16. 已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（I）求ω的值；（II）在△ABC中，若A＜B，且，求．17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（I）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（II）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．19. 已知等差数列{a n}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{b n}的b2，b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}对任意自然数n均有=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．20. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（I）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（II）求证：平面AFC⊥平面CBF．（III）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．\21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．高三数学文科月考试卷一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1. 已知R是实数集，，则N∩∁R M=（）＜N={y|y=﹣=z+3. 已知命题p：函数y=a x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面Ct5. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）××=6. 在下列直线中，与非零向量=（A，B）垂直的直线是（）=7. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）C），=，）∴=1+8. 设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（）C则×=39. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为T n，则T2014的值为（）===110. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（）11. 已知tan（﹣α）=，则cos（+2α）的值为﹣．t=﹣tant=（﹣故答案为：﹣是．．故填：13. 若实数x，y满足的最小值是1．y=14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，22，15. ①函数在[0，π]上是减函数；②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；③数列{a n}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{a n}的前n项和为S n，则当n=4时，S n取得最大值；④定义运算则函数的图象在点处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．），∵=a=x）处的切线方程为：=216. 已知函数（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）在△ABC中，若A＜B，且，求．=∴，解之，得）得∴，得∴解之，得或∴，又由正弦定理，得如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？阴影部分的面积为，则在甲商场中奖的概率为：18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．=++44=24+12．B=2=2n12514n2b3，b4．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}对任意自然数n均有=a n+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．）∵+=a∴=a++∴=a．•圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积V F﹣ABCD．（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．，则所以MN MN AO（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．））∴∴所以有：，∴∴∴。

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江西省南昌二中2015高三上第四次月考数学理试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．设集合22{,log }P a a =，{2,}aQ b =，若}0{=Q P ，则=Q P （） A.{0,1} B.{0,1,2} C.{0,2} D.{0,1,2,3} 2．下列命题中是假命题．．．的是（） A ．,lg()lg lg a b R a b a b +∀∈+≠+，;B ．,R ∃ϕ∈使得函数()sin(2)f x x =+ϕ是偶函数；C ．,,R ∃αβ∈使得cos()cos cos α+β=α+β；D ． 243,()(1)m m m R f x m x -+∃∈=-⋅使是幂函数，且在(0,)+∞上递减；3．2014cos()3π的值为（）A ．12BC ．12-D ． 4．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1(0,]2x ∈时，12()log (1)f x x =-，则()f x 在区间3(1,)2内是（）A ．减函数且()0f x >B ．减函数且()0f x <C ．增函数且()0f x >D ．增函数且()0f x <5．已知数列{}n a 的前n 项和1(0)n n S a a =- ≠，则数列{}n a （） A. 一定是等差数列 B. 一定是等比数列C. 或者是等差数列，或者是等比数列D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 6．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值等于( )A ．9B ．12C ．27D ．367. 将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为（）A.9π=x B. 8π=x C. 2π=x D. π=x8. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足11a =，13()n n n a a n N ++= ∈，则2014S =（） A ． 1007232⨯- B ． 100723⨯ C ．2014312- D ．2014312+9． ΔABC 中，120BAC ∠= ，AB=2，AC=1，D 是边BC 上的一点（包括端点），则•的取值范围是（）A ． [1，2]B ．[0，1]C ． [0，2]D ． [﹣5，2]10．已知函数()()2212,3ln 2f x x axg x a x b =+=+设两曲线()(),y f x y g x ==有公共点，且在该点处的切线相同，则(0,)a ∈+∞时，实数b 的最大值是（） A ．6136eB ．616eC ．2372eD ．2332e二、填空题（每小题5分，共25分）11．'''C B A ∆是正三角形ABC 的斜二测画法的水平放置直观图，若'''C B A ∆的面积为3，那么ABC ∆的面积为．12．若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________．13.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是 .14．已知向量a 与向量b 的夹角为120，若()(2)a b a b +⊥- 且2a = ，则b 在a 上的投影为15.下列四个命题：①函数()()y f a x x R =+∈与()()y f a x x R =-∈的图像关于直线x a =对称； ②函数2()lg(2)f x ax x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围为[0,1]；③在ABC ∆中，“ 30>A ”是“21sin >A ”的充分不必要条件； ④数列{}n a 的通项公式为22()n a n λn n N +=++ ∈，若{}n a 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为(3,)-+∞。

其中真命题的序号是_________三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）已知集合U R =，集合{|(2)(3)0}A x x x =--<，函数2(2)lg x a y a x-+=-的定义域为集合B ．（I ）若12a =，求集合()U A C B ；（II ）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．17．(本小题满分12分)已知几何体BCED A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体BCED A -的体积为16．（I ）求实数a 的值；（II ）将直角三角形ΔABD 绕斜边AD 旋转一周，求该旋转体的表面积．18. (本小题满分12分)已知函数()21322f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点()(),n n S n N *∈均在函数()y f x =的图象上. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）令11n n n n na a c a a ++=+，证明：121222n n c c c n <+++<+ .19. (本小题满分12分)已知ABC ∆的角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，设向量(,)m a b = ，(sin ,cos )n A B = ，(1,1)p =.（I ）若m ∥n，求角B 的大小；（II ）若4m p ⋅=，边长2=c ，求ABC ∆的面积的最大值．20. (本小题满分13分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且22a =，515S =，数列{}n b 满足：112b =，11()2n n n b b n N n+++=∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T . （I ）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ；（II ）求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和公式n T ；（III ）记集合2(2T ){|,}2n n S M n λn N n +-=≥∈+，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围。

21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)(1)f x x x x =+- >-.（I ）求()f x 的单调区间；（II ）已知数列{}n a 的通项公式为2111()2n n a n N n+=++ ∈，求证：54234n a a a a e ⋅⋅< （e 为自然对数的底数）；（III ）若k Z ∈，且2(1)1xf x x k x -+<-对任意1x >恒成立，求k 的最大值。

南昌二中2015届高三上学期第四次考试数学试题（理）参考答案13. 解析：由230x y z -+=可化为23y x z =+,得224(3)43y x z x z =+≥⋅,14．解析：因为向量a 与向量b 的夹角为︒120，所以b 在a 上的投影为01||cos120||2b b =- ，问题转化为求||b ，因为2()(2)()(2)02||||40a b a b a b a b b b +⊥-⇔+⋅-=⇔--=故||b =所以b 在a上的投影为.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）解析：（1）因为集合{|23}A x x =<<，因为12a =函数29(2)4lg=lg 12x x a y a x x --+=--，由9412x x -->0，可得集合19={|}24B x x <<19{|}24U B x x x =≤≥或ð，故9(){|3}4U A B x x =≤< ð. （2）因为q 是p 的必要条件等价于p 是q 的充分条件，即A B ⊆由{|23}A x x =<<，而集合B 应满足2(2)0x a a x-+>-，因为22172()024a a a +-=-+>故2{|2}B x a x a =<<+，依题意就有：2223a a ≤⎧⎨+≥⎩，即1a ≤-或12a ≤≤所以实数a 的取值范围是∞ (-,-1][1,2].17．(本小题满分12分) 解析：（1）由该几何体的三视图知AC ⊥面BCED ，且EC=BC=AC=4，BD=a ，体积1(4)4416,232a V a +=⋅== ；（2）在ΔRT ABD中，AB =，2BD =，6AD =，过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H，易得BH =，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为BH =，所以圆锥底面周长为2C π==，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为12S =+=。

18. (本小题满分12分)解析：（1）点(),n n S 在()f x 的图象上，21322n S n n ∴=+，当2n ≥时，11n n n a S S n -=-=+；当1n =时，112a S ==适合上式，()1n a n n N *∴=+∈；（2）证明：由1112221n n n n n a a n n c a a n n ++++=+=+>=++， 122n c c c n ∴+++> ，又121122112n n n c n n n n ++=+=+-++++， 121111112233412n c c c n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122222n n n =+-<++，121222n n c c c n ∴<+++<+ 成立.19. (本小题满分12分)解析：（1）∵m ∥n cos sin a B b A ∴= 2sin cos 2sin sin R A B R B A ∴=，()cos sin ,tan 1.0,4B B B B B ππ∴=∴=∈∴=（2）由4m p ⋅=得4=+b a ，由均值不等式有2()42a b ab +≤=（当且仅当2a b ==时等号成立），又22222223131()()4124222cos 2222a b a b a b ab ab ab a b C ab ab ab ++-+--+-===≥=, 所以(0,]3πC ∈,从而sin C ∈（当且仅当2a b ==时等号成立），于是Δ11sin 422ABC S ab C =≤⨯=，即当2a b ==时，ABC ∆．20. (本小题满分13分) 解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11251015a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴n a n =，∴22n n nS +=。