(新课标)2017版高考数学大一轮复习第六章数列6.3

题型二 等比数列的性质 例2 1 (1)(2016· 衡水调研卷)若等比数列{an}满足a2a4＝ ，则 2
a1a32a5＝________．
【解析】 1 等比数列{an}中，因为a2a4＝ 2 ，所以a32＝a1a5＝a2a4
1 1 2 ＝ ，所以a1a3 a5＝ . 2 4 【答案】 1 4
(3)(2014· 大纲全国理)在等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则 数列{lgan}的前8项和等于( A．6 C．4
【解析】 ∵a4＝2，a5＝5， ∴a4a5＝a1a8＝a2a7＝a3a6＝10. ∴lga1＋lga2＋„＋lga8＝lg(a1a2„a8)＝lg(a1a8)4＝lg(a4a5)4＝ 4lg(a4a5)＝4lg10＝4，选C. 【答案】 C
Байду номын сангаас
1 【解析】 (1)由a1＋S1＝1及a1＝S1，得a1＝2. 又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1，得 an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1. ∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn. 1 1 ∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－ 2 为首项， 2 为公比的等比数 列．
an＋1 探究3 证明数列{an}为等比数列有两种方法：①证 a ＝ n q(常数)，②证an2＝an＋1·an－1(n≥2)．
思考题3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的 n∈N*有an＋Sn＝n. (1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列； (2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．
1 ∴q＝2. 又∵a3＋a6＝a3(1＋q3)＝36，∴a3＝32. ∵an＝a3·q
n－3
1 n －3 1 － 8－n ＝32· (2) ＝2 ＝2＝2 1，
∴8－n＝－1，即n＝9.
方法二：∵a4＋a7＝a1·q3(1＋q3)＝18且a3＋a6＝a1·q2· (1＋q3)＝36， 1 ∴q＝2，a1＝128. 1 1 又∵an＝a1·qn－1＝27·(2)n－1＝28－n＝2＝2－1， ∴8－n＝－1，即n＝9. (2)∵a2·a8＝a3·a7＝36且a3＋a7＝15， ∴a3＝3，a7＝12或a3＝12，a7＝3. 1 2 ∵q ＝4或q ＝ ，∴q＝± 2或q＝± . 4 2
答案 解析 6 由已知得{an}为等比数列，公比q＝2，由首项a1＝2，
2（1－2n） Sn＝126得 ＝126，解得2n＋1＝128，∴n＝6. 1－2
3．若数列{an}为等差数列，则数列{2an}为________数列； 若数列{an}为等比数列，且an>0，则数列{lgan}为________数 列．
A．－24 C．12
答案 A 解析 由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝ x· (6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三 项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.
2．(2015· 新课标全国Ⅰ，文)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝ 2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．
性质 (1)等比数列{an}中，m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，则 am·an＝ap·aq． (2)等比数列{an}中，Sn为其前n项和，当n为偶数时，S偶＝ S 奇· q ． (3)等比数列{an}中，公比为q，依次k项和为Sk，S2k－Sk， S3k－S2k(Sk≠0)成等比数列，新公比q′＝qk．
) B．5 D．3
题型三 等比数列的判定 例3 数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝
4an＋2(n∈N*)． (1)设bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列； an (2)设cn＝ ，求证：{cn}是等比数列． 3n－1
【证明】 an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2 ＝4an＋1－4an. bn＋1 an＋2－2an＋1 (1) b ＝ an＋1－2an n （4an＋1－4an）－2an＋1 2an＋1－4an ＝ ＝ ＝2， an＋1－2an an＋1－2an ∴数列{bn}是公比为2的等比数列，首项为a2－2a1. ∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
答案 解析 A 方法一：列方程求出首项和公比，过程略；
) B．－3 D．1
a4 方法二：两等式相减得a4－a3＝2a3，从而求得 ＝3＝q. a3
6．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10 ＝( ) A．7 C．－5 B．5 D．－7
答案 D 解析 设数列{an}的公比为q，由
常用技巧 (1)若{an}是等比数列，且an>0(n∈N*)，则{logaan}(a>0且 a≠1)成等差数列，反之亦然． b (2)三个数成等比数列可设三数为 q ，b，bq，四个数成等比 b b 数列且公比大于0时，可设四个数为 3， ，bq，bq3. q q
1．(课本习题改编)等比数列x，3x＋3，6x＋6，„的第四项 等于( ) B．0 D．24
4
意，舍去． 【答案】 ± 2 2
(3)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝ ________(m∈N*)．
【解析】 ∵{an}是等比数列，∴(S2m－Sm)2＝Sm·(S3m－
S2m)，即202＝10· (S3m－30)，得S3m＝70. 【答案】 70
探究2 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的 变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题 目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的 突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
4 4
a1[1－（－ 2）8] a1（－15） (3)∵S8＝ ＝ ＝15(1－ 2)， 1＋ 2 1＋ 2 ∴a1＝－(1－ 2)· (1＋ 2)＝1.
2 【答案】 (1)9 (2)± 2或± (3)a1＝1 2
探究1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问 题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式， 并能灵活运用．尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和 公式时，应根据公比的取值情况进行分类讨论，此外在运算过 程中，还应善于运用整体代换思想简化运算．
答案 等比，等差 解析 ①若数列{an}为等差数列，设公差为d，则 2an＋1 d ＝ 2a n＋1－an＝2 ，∴{2an}为等比数列； 2an ②若数列{an}为等比数列，设公比为q， an＋1 则lgan＋1－lgan＝lg ＝lgq，∴{lgan}为等差数列． an
4．若在1与4之间插入三个数使这五个数成等比数列，则这 三个数分别是________．
(2)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝ ________．
【解析】
a1＋a3＝5， 3 ∵a1a2a3＝a2 ＝8，∴a2＝2，∴ a1a3＝4.
a1＝1， a1＝4， 解得 或 a3＝4 a3＝1.
当a1＝1，a2＝2，a3＝4时，q＝2，an＝2n－1； 1 1 n－1 3－n 当a1＝4，a2＝2，a3＝1时，q＝ ，an＝4· ( ) ＝2 . 2 2 【答案】 23－n或2n－1
(2)在等比数列{an}中，若a3＝4，a9＝1，则a6＝________， 若a3＝4，a11＝1，则a7＝________．
【解析】 设数列{an}的公比为q，则a3，a6，a9组成的新数列 的公比为q3. 若a3＝4，a9＝1，则a62＝4，a6＝± 2，合题意； a3，a7，a11组成的新数列的公比为q4，由a3＝4，a11＝1，得a72 1 1 4 ＝4，当a7＝2时，q ＝ ，合题意，当a7＝－2时，q ＝－ ，不合题 2 2
授人以渔
题型一 等比数列的基本量 例1 {an}为等比数列，求下列各值． 1 (1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝2，求n； (2)已知a2·a8＝36，a3＋a7＝15，求公比q； (3)已知q＝－ 2，S8＝15(1－ 2)，求a1.
【解析】 (1)方法一：
a4＋a7＝a3·q＋a6·q＝q（a3＋a6）＝18， ∵ a3＋a6＝36，
3 2， 3 2 9 9 2 2 ∴a1(1＋q＋q )＝2，即q2(1＋q＋q )＝2.
1 解得q＝－ (q＝1舍)，∴a1＝6. 2 3 ②当q＝1时，S3＝3a1，∴a1＝2. 3 a1＝6， a1＝ ， 2 综上所述，得 1 或 q＝－ 2 q＝1. 3 a1＝6， a1＝ ， 2 【答案】 1 或 q＝－2 q＝1
答案 解析 2，2，2 2或－ 2，2，－2 2 设插入三个数分别为a，b，c，则b2＝1×4，∴b＝2或
b＝－2(舍)，a2＝1×b＝2.∴a＝± 2，同时c2＝b×4＝8，∴c＝ ±2 2，且a，c同号．∴这三个数为 2，2，2 2或－ 2，2， －2 2.
5．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4 ＝2S3＋1，则公比q等于( A．3 C．－1
思考题1 (1)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝ 1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( A．63 C．127
【解析】 a1（1－q7） ＝127，选C. 1－q 【答案】 C
)
B．64 D．128
∵a5＝a1q4，∴16＝q4.又q>0，故q＝2，S7＝
3 9 (2)在等比数列{an}中，a3＝2，S3＝2，求a1和q. a1（1－q3） 9 【解析】 ①当q≠1时，S3＝ ＝ 2 ，又a3＝a1·q2＝ 1－q
a4＋a7＝2， a5·a6＝a4·a7＝－8，
得
a4＝4， a7＝－2
或
a4＝－2， a7＝4，
所以
a ＝－8， 1 a1＝1， a1＝－8， a1＝1， 3 所以 或 所以a1＋ 1 或 3 q ＝－ q ＝－2， a10＝1 a10＝－8， 2 a10＝－7.