海文钻石卡讲义(高数
[整理]届钻石卡学员考研数学学习计划(基础阶段)数学二——高等数学01
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2012届钻石卡学员考研数学学习计划（基础阶段）数学二——高等数学01第一单元学习计划——函数、极限、连续本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.--------------------------第一单元调整学习计划-------------第二单元学习计划——一元函数微分学本计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版在第一单元中我们应当学习——1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系；2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性；3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；4.会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数；5.罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，会用这四个定理证明；6.会用洛必达法则求未定式的极限；7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值；8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线；9.曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．---------------------------------------第二单元学习计划调整任务-------------。
海文考研钻石卡系列--容易混淆的概念之数学三.doc
高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例1：判断命题是否正确．若()n n x y n N <>，且序列,n n x y 的极限存在，lim ,lim ,n n n n x A y B A B →∞→∞==<则解答：不正确．在题设下只能保证A B ≤，不能保证A B <．例如：11,1n n x y n n ==+，,n n x y n <∀，而lim lim 0n n n n x y →∞→∞==．例2．选择题设n n n x z y ≤≤，且lim()0,lim n n n n n y x z →∞→∞-=则（ ）A ．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C ．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C 正确分析：若lim lim 0n n n n x y a →∞→∞==≠，由夹逼定理可得lim 0n n z a →∞=≠，故不选A 与D.取11(1),(1),(1)n n n n n n x y z n n=--=-+=-，则n n n x z y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，但lim n n z →∞不存在，所以B 选项不正确，因此选C ．例3．设,n n x a y ≤≤且lim()0,{}{}n n n n n y x x y →∞-=则与（ ）A ．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C ．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A 正确．分析：由于,n n x a y ≤≤，得0n n n a x y x ≤-≤-，又由lim()0n n n y x →∞-=及夹逼定理得lim()0n n a x →∞-=因此，lim n n x a →∞=，再利用lim()0n n n y x →∞-=得lim n n y a →∞=．所以选项A ．二、无界与无穷大无界：设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正数M ，使得()f x Mx X D ≤∀∈⊂则称函数()f x 在X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数()f x 在X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1x X ∈，使1()f x M >，那么函数()f x 在X上无界．无穷大：设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数δ（或正数X ），只要x 适合不等式00x x δ<-<（或x X >），对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >则称函数()f x 为当0x x →（或x →∞）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果()f x 在0x 某邻域内无界，则0lim ()x x f x →=∞② 如果0lim ()x x f x →=∞，则()f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11()sin f x x x=，令11,,22n n x y n n πππ==+，当n →+∞时，0,0n n x y →→，而lim ()lim (2)2n n n f x n ππ→+∞→+∞=+=+∞lim ()0n n f y →+∞=故()f x 在0x =邻域无界，但0x →时()f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在≠极限是无穷大当0x x →（或x →∞）时的无穷大的函数()f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例5：函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，当0x →时()f x 的极限不存在．四、如果0lim()0x xf x →=不能退出01lim()x x f x →=∞ 例6：()0x x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数，则0lim ()0x x f x →=，但由于1()f x 在0x =的任一邻域的无理点均没有定义，故无法讨论1()f x 在0x =的极限． 结论：如果0lim ()0x x f x →=，且()f x 在0x 的某一去心邻域内满足()0f x ≠，则1lim()x x f x →=∞．反之，()f x 为无穷大，则1()f x 为无穷小。
凤凰卫视钻石卡学员——致谢万学海文
凤凰卫视钻石卡学员——致谢万学海文凤凰卫视《鲁豫有约》栏目专访低起点高分考入中国人民大学的万学海文钻石卡学员。
该学员和家人在节目访谈中对万学海文钻石卡高端辅导给予了极高的评价，从而引发了整个教育对万学先进教学技术的高度关注，各大媒体随后竞相调研和报道了万学海文革命性的钻石卡高端辅导技术。
从而揭开了海文钻石卡发展的历程和帮助低起点学员考上理想院校的神秘面纱!该钻石卡学员是这样形容的：身边只报了一般课程的同学，有些郁闷，课程一结束，老师转身就走了，而他们也就只有闷头做题，可答案是对是错?回答得是否完全?谁都不知道。
我自己就不一样了，我的“钻石卡”不仅有老师为我答疑，而且还有专业咨询师每天监督我的学习。
尤其是对于我这样跨专业又跨院校考研的学生，许多专业知识都没有，经常需要专业咨询师为我分析案例、教我答题。
我的专业咨询师是浙大的公费研究生，他可是我们专业那年的最高分，对于如何答题才能得高分，他最有发言权，但是由于我的专业咨询师身在外地的学校，和我交流的方式大部分还是打电话和视频，已有时间我就去我梦想的校园去感受学习氛围，见导师，还可以旁听导师的课程，熟悉了导师的脾性和授课风格。
海文钻石卡，带给我的不仅仅是成功，我付出了，但我收获了更多更多。
该学员的一席话现场无数人震惊了也震撼了，无论从服务还是学习还是心理上都达到了一流的水平，考虑到了学生的方方面面，可谓考研的全程辅导专家，让家长省心也放心，尤其是这样一个以学生的利益为出发点得公司企业，让人不信服都难。
代表委员聚焦“用工荒”与“大学生就业难”2011年03月04日07:51齐鲁晚报我要评论(6)字号：T|T新春伊始，全国多地出现“用工荒”，企业用尽各种办法却招不来工人，连传统劳务输出地也频频告急。
而另一方面，大学毕业生就业形势严峻。
招工难与就业难并存，像一道谜题摆在整个社会面前。
3日，本报“两会三人行”栏目邀请了全国政协委员、山东省政协副主席、山东省工商联主席王乃静，全国人大代表、山东中瑞海产食品有限公司董事长于晓玉，走进本报“北京直播室”，本报首席评论员张金岭作为主持人，与两位嘉宾交流对话，把脉用工市场存在的问题，并提出建议。
海文考研钻石卡学员强化阶段测试卷 数学
y′ = −
6 y + 2x , 两边再对 x 求导，得 ey + 6x
(e y + 6 x（ ) 6 y′ + 2）-(6 y + 2 x)(e y y′ + 6) y′′ = − , (e y + 6 x ) 2
-4-
把 x = 0 代入，得 y (0) = 0 ， y′(0) = 0 ，代入 y′′ ，得 y′′(0) = −2 (12) 设 y = 1, y = e , y = 2e , y = e +
所以
1 2 1 ax (1 + ax 2 ) 3 − 1 2 = lim 3 =− a. lim x →0 x →0 1 cos x − 1 3 − x2 2
1 2
因为当 x → 0 时, (1 + ax ) 3 − 1 与 cos x − 1 是等价无穷小,所以 −
2 3 a = 1 ,故 a = − . 3 2
y
0
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
x
∫
dy ∫
f ( x, y )dx
【答案】 ( D ) 【解析】 由累次积分的积分限可得二重积分的积分区域 D = 然后再交换积分次序即得 ( D ) . (5) 设F ( x ) = (A)为正常数. 【答案】 ( A) 【解析】由于 e 无关. D 错误， 估算
π
0 0
0
π
π
-2-
当 0 < t < π 时， sin t > 0 ， e 方法 2：用分部积分法： I =
sin t
− e− sin t > 0, 所以 I > 0 .选 A.
esin t sin tdt = ∫ esin t (− d cos t )
万学海文2014届钻石卡I阶VIP课程讲义高等数学习题训练精选答案
【解析】由
知
1 a) 0 lim( x 0 1 x
从而
1 a 2bx x 2bx(1 x) 1 2b(1 x) lim lim 2 lim 1 x x 0 x 0 x 0 2x 2 x(1 x) 2(1 x)
因此 x 0 时, 7、 【答案】A
1 1 sin 0 .当 k 绝对值无限增大时 x 0 . 2 x x
1 1 sin 是无界的但不是无穷大量. 2 x x
1 a 2bx ln(1 x) (ax bx 2 ) 1 x lim lim 2 x 0 x 0 2x x2
极限存在的充要条件知 lim
x 0
1 arctan 存在.故选 A. x
13、 【答案】C 【解析】用排除法 ① 取 f ( x)
1 x 0 0 x 0 ,则 f ( x) 为有界函数,且 lim f ( x ) ( x ) 0 ,满 ， ( x ) x 0 x 0 1 x 0
4、 【答案】D
1 (2n+1) 2 2n 1 0 及 lim x2n+1 lim 【解析】由 lim x2n lim , n n 2n n n 2n 1
针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 1
2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案
但 x 2 k 时, f ( x) 0 . 9、 【答案】D
所以当 x 时, f ( x) 不是无穷大.
针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨
2
2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案
【解析】 lim + sin(tan x )及 lim － sin(tan x ) 均不存在. x
2012海文考研：赵达夫强化高数讲义高数下
9
（二）知识网络图 （二重积分）
定义：
∫∫ f ( x, y ) dxdy = lim∑ f (ξ ,η )σ
D d →0 i =1 i i
n
i
分割，近似代替、求和、取极限 概念 几何意义： f ( x, y ) ≥ 0,
∫∫ f ( x, y ) dxdy
D
表示以Ｄ为底，f ( x, y ) 顶的曲顶柱体体积 二重积分
f ( x) = e ax ,其中 a 为实数.
［6.18］求二元函数 f ( x, y ) = x (2 + y ) + y ln y 的极值.
2 2
［6.19］ 在椭圆 3 x + 2 xy + 3 y = 1 的第一象限部分上求一点,使该点处的切线与坐
2 2
标轴所围成的三角形面积最小,并求面积的最小值.
［7.1］填空题： 交换积分次序：
∫ dx ∫
0
1
x2
0
f ( x, y )dx + ∫ dx ∫
1
3
1 (3− x ) 2 0
f ( x, y )dy =
.
10
［7.2］填空题:
∫
1
0
xd.
［7.3］选择题: 设 D 是平面 xOy 上以点(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域, D1 是 D 在第一 象限的部分,则 I = (A) 2 (C) 4
2二知识网络图二元函数偏导数极限连续偏导数概念偏导数计算归结为一元函数求导隐函数的偏导数复合函数的偏导数一链锁法则高阶偏导数二阶偏导连续xyyxfxyfxy?全微分可微概念xyzfxydzfxydxfxydy可微则一阶微分形式不变性多元函数极值无条件极值条件极值多元极值在经济中的应用最大值最小值极值存在的必要条件判定极值的充分条件化成无条件极值拉格朗日乘数法多元函数微分学偏导数连续3三典型题型分析及解题方法与技巧题型一有关多元函数偏导数与全微分概念的命题61设zxy满足1sin11sinzxyxyzyy????????求zxy
2012海文考研：赵达夫强化高数讲义高数上
高等数学讲义（高数上）赵达夫一 函数、极限与连续（一） 本章的重点内容与常见的典型题型１．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。
求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2） 利用两个重要极限，两个重要极限即()1011lim 1lim 1lim 1,sin lim 1;nxx n x x x x e n x x x→∞→∞→→⎛⎞⎛⎞+=+=+=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠= （3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5） 利用夹逼定理；（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），再利用关系式求出极限；（7） 利用定积分求某些和式的极限； （8） 利用导数的定义；（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。
这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。
２．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。
３．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。
通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：１．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数；２．讨论函数的连续性、判断间断点的类型；３．无穷小的比较；４．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；５．求分段函数的复合函数。
（二） 知识网络图转换初等函数的连续性分段函数连续性判定闭区间上连续函数的性质第一类——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在连续的概念间断点的分类可去跳跃最值定理介值定理极限连续性（三）典型题型分析及解题方法与技巧题型一 求复合函数［例1.1］设()()()2,0,1(),()()().2,0,x e x f x x x g x f g x g f x x x −⎧<⎪=+=⎨≥⎪⎩求与题型二 利用函数概念求函数的表达式［例1.2］已知[]2(),()1(x)0,(x)x f x e f x x ϕϕϕ==−≥且求并写出它的定义域．题型三 判断函数的性质［例1.3］设sin ()tan ,()xf x x xef x =则是（ ）（A ） 偶函数 （B ）无界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数.题型四 求极限的方法［例1.4]］填空题 2352lim sin ____53x x x x→∞+=+.［例1.5］求下列极限()()1lim1cos x x x →−()2limx()()()2013sin cos3lim.1cos ln 1x x x x x x →+++［例1.6］ 求下列极限()220111lim ;sin x x x →⎛⎞−⎜⎟⎝⎠()312lim sin ln 1sin ln 1;x x x x →∞⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞+−+⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦()213lim sin cos xx x x →∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠［例1.7］ 选择题当1x →时，函数12111x x e x −−−的极限是（ ）. （A ）2; （B ）0；（C ）∞； （D ）不存在但不为∞.［例1.8］ 设()()()()320sin ,0,12sin sin ,0,x a x x x x f x x t dt x x−⎧>⎪⎪=⎨⎪−<⎪⎩∫ 问a 为何值时()0lim x f x →存在.［例1.9］求()2220100cos lim.sin xx x t dtx→−∫［例1.10］ 选择题 设函数()()()561cos 2sin ,56x x x f x t dt g x −==+∫，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）（A ） 低阶无穷小 （B ） 高阶无穷小（C ） 等价无穷小 （D ） 同阶但不等价的无穷小［例1.11］求()22201lim 1x t x x t e dt x −→∞+∫.［例1.12］确定a ，b ，c 值，使()()3sin lim0ln 1x x bax xC C t dtt→−=≠+∫.设2lim 8,____xx x a a x a →∞+⎛⎞==⎜⎟−⎝⎠则.［例1.14 ］ 选择题0x →时，()21x e ax bx −++是比2x 高阶无穷小，则（ ）（A ）1,12a b == （B ）1,1a b == （C ）1,12a b =−= （D ）1,1a b =−=［例1.15］设0x →时，()12311ax +−与cos 1x −是等价无穷小，求常数a 之值.［例1.16］填空题设()()2cos ,0,,0,x x x f x a x −⎧≠⎪=⎨=⎪⎩在0x =连续，则___a =.［例1.17］当0x →时，下列无穷小：()6ln 1,sin ,tan x x x x x +−中，（ ）是x 的低阶无穷小；（ ）是x 的一阶无穷小；（ ）是x 的二阶无穷小；（ ）是2x 的高阶无穷小．当0x +→的无穷小量2230cos ,,xx t dt t dt αβγ===∫∫排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）． （Ａ）,,αβγ （Ｂ）,,αγβ （Ｃ）,,βαγ （Ｄ）,,βγα［例1.19］求2222123lim 123n n n n n n n n n n n →∞⎛⎞++++⎜⎟++++++++⎝⎠ ．［例1.20］求n ++.［例1.21］设a >0,数列{}n a 满足010,0,1,2,...1,2n n n a n aa a a+>⎧⎪=⎛⎞⎨=+⎜⎟⎪⎝⎠⎩lim n a 求.［例1.22］11lim _____1n n n e →+∞⎛⎞⎜⎟−=⎜⎟−⎝⎠．［例1.23］设()1220,0lim x x x x ααααββ→+∞⎡⎤>≠+−=⎢⎥⎣⎦且,则(),____αβ=.［例1.24］设()f x 是区间[)0,+∞上单调减少且非负的连续函数,()()11nnn k a f k f x dx ==−∑∫,（ｎ＝1,2,…）,证明数列{}n a 的极限存在.题型五 讨论函数的连续性与间断点的关系［例1.25］设()()()2,2,,1,21,25,1,1,3, 5.x x x x f x g x x x x x x x ≤⎧⎧≤⎪==−<≤⎨⎨−>⎩⎪+>⎩讨论()()y f g x =的连续性，若有间断点并指出类型．［例1.26］选择题设()()()322011ln 1sin ,0,0,0,1sin ,0,xx x x xf x x t dt x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩∫则()f x 在0x =处（ ）.（A ）极限不存在； （B ）极限存在，但不连续； （C ）连续，但不可导； （D ）可导.［例1.27］选择题设()1arctan ,0,0,0,x x x f x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则()f x 在0x =处（ ） （A ）不连续； （B ）连续，但不可导； （C ）可导但()f x ′在0x =处不连续； （D ）可导且()f x ′在0x =处连续.［例1.28］求函数()()tan 41x x f x x π⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=+在区间()0,2π内的间断点，并判断其类型.［例1.29］设()f x 在(),−∞+∞内有定义，且()lim ,x f x a →∞=()1,0,0,0,f x g x x x ⎧⎛⎞≠⎪⎜⎟=⎝⎠⎨⎪=⎩，则（ ）． （A ）0x =必是()g x 的第一类间断点； （B ）0x =必是()g x 的第二类间断点； （C ）0x =必是()g x 的连续点；（D ）()g x 在点0x =处的连续性与a 的取值有关。
钻石卡高分学员介绍
钻石卡高分学员介绍万学海文钻石卡学员庞博，来自于河北经贸大学财务管理专业，考研总成绩214分，其中英语64分，199管理类综合150分（满分200分）。
报考安徽工业大学会计专硕。
庞博属于跨专业、跨学校考研。
因为前期学习基础比较薄弱，本想报考河北经贸大学的他最终报考了安徽工业大学。
在钻石卡咨询报名时候，他很迷茫，不知道考研该考哪个城市，哪个专业，哪个学校，也完全不知道当务之急是什么，英语基础太弱，连平常大学英语课，都跟不上进度，经常是记了笔记，听不懂不内容，懂了内容记不下笔记。
身边还有不少同学在迷迷糊糊混日子，打游戏，谈恋爱。
然而他内心知道，自己并不想和周围的同学混在一起。
刚准备考研之初，庞博一直自学，他知道学习资料的质量非常重要，所以为了找到最好的学习资料，他先后采取了多种渠道采集学习资料：（1）他拜访询问了自己认识的几乎所有学长学姐，也从他们那里不断的淘书，政治、英语、数学等等；（2）他去了三十多个书店和六个以上图书馆，还专程到图书批发市场选书；（3）他还花了大量精力到网上去选书，各种推荐贴，各种经验贴，众说不一，不知道谁是谁非；然后，他看着小山似的书堆惆怅了，这么多书，从先看那一本，全看还是部分看，看完这本看哪本，过多久再回来看这本……带着一堆疑惑，庞博十分郁闷。
他算了算，发现就在选书这一项上，花了近两个月时间，加上交通费住宿费，投在选书买书的钱竟然超过了两千元，但结果却是不知如何下手学习了。
他每天有条不紊地看着各种学习资料的同宿舍另一位报了海文钻石卡的同学，没有在选书上花一点时间，，考研复习十分顺畅，已经不知不觉领先他不少距离了。
庞博发现同学的书并不是很多，但却都是精品中的精华，然后了解到这些学习资料都是万学海文的专业团队在全国所有考研图书和学习资料中精中选精，进行三级优化，组合而成的最高品质的学习资料。
对比自己千辛万苦选书，却费时费力还选不到位的结果，为了避免其他学习项目也会出现类似问题，希望报钻石卡之后能够让自己考研全程有个清晰的规划，所以他报名成为了海文的钻石卡学员。
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一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇 )()(x f x f =-。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性(1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 一 函数、极限、连续 1 函数的性质 a 有界性(1) 定义：0M ∃>, x X ∀∈，有Mx f ≤)(.(2) 无界：0M ∀>, x X ∃∈，有 ()f x M >.(3) 无界与无穷：无界的本质是有一个子列趋向于无穷；无穷的本质是任意的子列趋向无穷。
b 奇偶性(1) 定义：偶)()(x f x f =-；奇 )()(x f x f =-。
(2) 导函数：奇导偶，偶导奇.(3) 原函数：奇原偶, 偶函数的原函数有且仅有一个为奇函数. c 周期性(1) 定义：)()(x f T x f =+(2) 导函数：导函数还是周期函数并且周期相同 d 单调性(1) 定义：递增(递减) 当12x x <时，均有()1212()()()()f x f x f x f x <>或(2) 导函数：'()()0()f x f x ≠−−→><←−−单增(减)；'()()0()f x f x ≠−−→≥≤←−−单增(减). 例1 设2()tan ,()x f x x xe f x =则是（A ）（A ） 偶函数 （B ）有界函数 （C ） 周期函数 （D ）单调函数分析：(A) 22()()tan()tan ()x x f x x x e x xe f x -=--==则()f x 是偶函数. (B) 取4n x n ππ=+, 则22()tan nnx x n n n n f x x x ex e ==→∞, 故无界.(C) 若为周期函数,设周期为T , ()(0)0f T f ==, 故而tan 0T =, 从而.T k π= 显然22()()()()tan()()tan x k x k f x k x k x k e x k xe ππππππ+++=++=+,当0tan 0x x >≠且, 显然()()f x k f x π+≠, 故而()f x 不是周期函数. (D) 设(0)()0f f π==, 故而()f x 不是单调函数.例2 设()f x 是一个奇的连续函数，则下面必定是奇函数的是( ) （A ）()0()()xf t f t dt +-⎰ （B ）()0()()xf t f t dt --⎰（C ）'()f x （D ）根据上面条件无法判断分析: 0()()()xx g t dt x ⎧=⎨⎩⎰奇, g 为偶函数偶, g 为奇函数(A) ()()f t f t +-是偶函数, 从而(A)是奇函数. (B) ()()f t f t --是奇函数, 从而(B)是偶函数. (C) ()f x 是奇函数, '()f x 偶函数.例3 设函数()f x 具有二阶导数，并满足()(),f x f x =--且()(1).f x f x =+若'(1)0,f > 则（ B ）(A)''(5)'(5)(5).f f f -≤-≤- (B)(5)''(5)'(5).f f f =-<- (C) '(5)(5)''(5).f f f -≤-≤- (D) (5)'(5)''(5).f f f -<-=- 分析: 显然(),''()f x f x 是奇函数, 故而(0)''(0)0.f f =='()f x 是偶函数且(),'(),''()f x f x f x 为周期为1的函数, 则 (5)(5)(0)0,'(5)'(1)0,''(5)''(0)0f f f f f f f =-==-=>-==. 2 极限的定义和性质 a 一元函数的极限与性质(1) 0lim ()x xf x A →=:0ε∀>,0δ∃>，当00||x x δ<-<时，有|()|f x A ε-<. (2) 0lim ()lim ()lim ()xx x x x x f x A f x f x A →→+→-=⇔==推论: 若0lim ()lim ()x x x x f x f x →+→-≠, 则0lim ()x xf x →不存在.(3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > (4) 四则运算(略). 它的一个重要推论如下: 若0()lim()x xf x Ag x →=，则 ① 0lim ()0lim ()0;x x x x g x f x →→=⇒= ② 0lim ()0,0lim g()0x x x x f x A x →→=≠⇒=.b 二元函数 (1)00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A →=:0ε∀>,0δ∃>，当0δ<<时，有|(,)|f x y A ε-<.(2)000(,)(,)lim (,)(,)(,),x y x y f x y A x y x y →=⇔以任意路径趋向(,)f x y A → 推论：若(,)x y 按两路径趋向于()00,x y 所得极限不同，则()()()00,,lim,x y x y f x y →不存在.(3) 0lim ()00,x xf x δ→>⇒∃>当00||,x x δ<-<有()0f x > 例4 设()221lim 3sin 1x x ax bx →++=-，求a 和b 。
分析:例5设函数(,)f x y 在点（0，0）连续，且222(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+，则点（0,0）是( ) （A ）极大值点 （B ）极小值点（C ）不是极值点 （D ）根据上面条件无法判断3 一元函数极限的计算 a 四则运算和等价无穷小代换. 例6 0ln(1)lim________1cos x x x x→+=-.例7 求xx I xx x sin e e lim sin 0--=→b 三大恒等变形1). 含()()v x u x 的极限.①若直接计算()lim ()v x u x 且()1u x →, 直接利用公式()lim ()exp((()1)())v x u x u x v x =-② 将()()v x u x 写成()()exp(()ln ())v x u x v x u x =求解.例8 2lim tan ()4n n nπ→∞+例9 xx I xx e)1(lim10-+=→2） 有理化变形==例10limx →+例11求)cos 1(sin 1tan 1limx x xx I x -+-+=→3) 分子、分母同时除以最大的无穷大∞∞常见的无穷比较: ln (0)(0)(1)x x x x x a a αβαβ→+∞<<><<><<>，例12 limx 例13 32lim 1xx x x e e e →∞++d 洛必达法则和泰勒定理函数()()f x g x -进行泰勒定理展开时, 只要展开到首次不同项即可. 例14 设函数()()()561cos 2sin ,56x x x f x t dt g x -==+⎰，则当0x →时，()f x是()g x 的（ ）（A ） 低阶无穷小 （B ） 高阶无穷小（C ） 等价无穷小 （D ） 同阶但不等价的无穷小例15 求011lim()1xx x e x-→+--.4 二元函数极限的计算a 利用夹逼准则、等价无穷小、初等函数的连续性等转化为为一元函数的极限.例16 求()()2sin (,)0,0(,)0,0sin lim(1)lim.1xyx xy x y x y xyxy e →→+-和例17 求()5544(,)0,0lim.x y x y x y →++ b 选择不同的路径得到不同的极限从而极限不存在.例18 请说明()()222422(,)0,0(,)0,0lim lim ()x y x y x y x y x y xy x y →→+++-和是否存在.5 连续函数 a 定义:000000(,)(,)lim(,)(,)(lim ()())x y x y x x f x y f x y f x f x →→==.b 运算: 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），仍连续; 连续函数经有限次复合而成的复合函数仍连续。
c 闭区域(区间)连续函数性质: 有界性、最值性、介值性、零点定理. 推论: 设()f x 在(,)a b 连续,且lim (),lim ()x a x b f x f x →+→-存在, 则()f x 在(,)a b 有界.例19(04) 设函数2||sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界( ) A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3) 例20 设()f x 在[,]a b 连续，12,,,[,]n x x x a b ∈，求证存在[,]a b ξ∈使得1()()ni i i f w f x ξ==∑.二 微分学1 导数与偏导数的定义、性质 a 导数定义: ()()()()()000000limlimx x x f x f x f x x f x f x x x x→∆→-+∆-'==-∆ 1) ()0f x '存在00'()'()f x f x +-⇔=.2) 0'()f x 存在()f x ⇔在0x 可微−−→←−−≠()f x 在0x 连续. 3) 若()||()f x x a g x =-, ()g x 在x a =连续，则'()f a 存在()0.g a ⇔= 若()|()|f x g x =, ()g x 在x a =连续, 则'()f a 存在()0'()0g a g a ⇔==且.b 偏导数定义: ()()()0,,,lim x x f x x y f x y zf x y x x∆→+∆-∂'==∂∆,()()()yy x f y y x f y x f y z y y ∆-∆+='=∂∂→∆,,lim ,0. 1) (,)f x y 在00(,)x y可微(,)''lim 0x y z f x f y ∆∆→∆-∆-∆⇔=2) ','','x y x y f f f f f f ≠≠−−→←−−−−→≠↑↓≠←−−−−→←−−连续连续可微存在例1设(,)f x y =则(,)f x y 在原点偏导数有( )(A) x 偏导存在，y 偏导不存在 (B) x 偏导不存在，y 偏导也不存在 (C) x 偏导不存在, y 偏导存在 (D) x 偏导存在，y 偏导也存在例2 讨论二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=，)0，0()，(0，)0，0()，(，)，(2222y x y x y x y x xy y x f ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=，)0，0()，(，0，)0，0()，(，)，(22y x y x y x y x xy y x g 在(0,0)处的连续性、偏导是否存在和可微性．例3 ()f x 可导,()()|sin |F x f x x = ,则(0)0f =是'(0)F 存在的( )条件A 充要B 充分非必要C 必要非充分D 即非充分也非必要 2 显函数求导公式a 常见的求导公式: 四则运算和复合函数求导(略).b 微分方法求导(偏导数): 利用微分形式不变性求出微分, 自变量微分的系数就是所要求的导数.c 连环相乘的对数求导法: 设12()()()12()()()()n v x v x v x n f x u x u x u x =, 两边取对数 1122ln ()()ln ()()ln ()()ln ()n n f x v x u x v x u x v x u x =+++ 从而1122'()(()ln ()()ln ()()ln ())'()n n f x v x u x v x u x v x u x f x =+++ 例4 设22(,sin ),z f x y x y =+ 求,z z x y ∂∂∂∂和2z x y∂∂∂. 例5 设)4)(3()2)(1(----=x x x x y , 求'()f x .例6 设(,,)f x y z zx =(1,1,1)|.df3 特殊函数的求导方法a 参数函数求导法: '()'()dy y t dx x t =; '22'()/'()'()d y y t x t dx x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭. b 反函数求导法: 1dx dy dydx = ; 223''()('())d x y x dy y x -= c 变上限函数求导法则: 21()2211()()(())'()(())'()x x f t dt f x x f x x ϕϕϕϕϕϕ'⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 其他形式的变上限函数通过四则运算或者换元变成上面的形式. d 分段函数的求导方法: 定义是唯一的途径.例7 设()f x 在(,)a b 和(,)b c 上连续，()F x 和()G x 分别为()f x 在(,)a b 和(,)b c 的原函数，令(),()(),F x a x b H x G x b x c <≤⎧=⎨<<⎩又()H x 在x b =上连续，问()H x 是否为()f x 在(,)a b 的一个原函数？例8 设()y y x =满足2xy e '=，求它的反函数的二阶导数22d x dy ．例9 求常数a ，b 使函数23() 3x x f x ax b x ⎧≥=⎨+<⎩处处可导，并求出导数． 例10 设()f x 在（－∞，+ ∞）连续且10()(s )d x n n n Φx s f x s -=-⎰，求)(x Φ'．例11 设f （x ）在（－∞，+∞）连续，又⎰-=x t t f t x x Φ02d )()(21)(，求)()(x Φ，x Φ'''． 例12 设y t tt x Φy x d )d 1sin ()(20220⎰⎰+=，求)(x Φ''．4 隐函数求导公式: 两边同时求导或者求微分.例13 设()z y x f u ,,=有连续的一阶偏导数，又函数()x y y =及()x z z =分别由下列两式确定 2=-xy e xy 和⎰-=z x x dt t t e 0sin ，求dx du . 例14 设(,)0z z F x y y x ++=, 证明z z xy z xy x y∂∂+=-∂∂. 5 极值问题a 显函数极值问题先求出驻点'0'0x y z z =⎧⎨=⎩('()0f x =)或者导数不存在的点(偏导不存在考研不要求)；再进行判断，一元函数可以用'()f x 在可疑点附近的领域判断或者''()f x 在可疑点的值判断, 二元函数只能用二阶偏导判断. b 隐函数极值问题先求可疑点，再判断但是隐函数只能用二阶导数判断.c 条件极值1)方法1: 消去条件，将条件问题直接转化为无条件问题.2)方法2: 利用Lagrange 法将条件问题直接转化无条件问题.例15求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=的最大值与最小值．例16 求方程222610210180x xy y yz z -+--+=所确定的隐函数的极值. 例17设函数()y y x =由方程3222221y y xy x -+-=确定，试求()y y x =的驻点，并判断是否为极值.例18 求2221()()x t f x x t e dt -=-⎰单调区间和最值.例19 设()f x 在x = 0某邻域连续，0()lim 21cos x f x x→=-，则()f x 在x = 0处 （A ）不可导 （B ）可导且(0)0f '≠（C ）有极大值 （D ）有极小值6 有界闭区域上的最值先求内部可能点，再求边界可能点. 一元函数的边界可能点即为左右端点, 二元函数转化为求满足边界方程的可能条件极值点, 一般利用Lagrange 乘子法.其次，求出所有可能点对应的函数值，其中的最大值就为总体最大值， 最小值就为总体最小值.例20 求2222122,{|425}z x xy y D x x y =++=+≤的最值.7 中值定理的证明问题a) 直接证明型: 参数放在等式右边，左边为()()f b f a b a--或()()()()f b f a g b g a -- 的形式，直接利用拉格朗日或者柯西中值定理。