2019-2020年北师大版数学选修2-2课时分层作业1 归纳推理+Word版含解析

课时分层作业(一)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，则72 019的末两位数字为()A．01B．43C．07 D．49B[由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 019的末两位数字为43.]2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2·a n(n≥2)，且a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1B[可以通过S n＝n2·a n(n≥2)分别代入n＝2,3,4，求得a2＝13，a3＝16，a4＝110，猜想a n＝2n(n＋1).]3．给出下面的等式：1×9＋2＝11，12×9＋3＝111，123×9＋4＝1 111，1 234×9＋5＝11 111，12 345×9＋6＝111 111，……猜测123 456×9＋7等于()A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113B[观察几组数据可知，等号左边变化的数字依次为1和2,12和3,123和4,1 234和5,12 345和6，等号右边依次为2个1,3个1,4个1,5个1,6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边应为7个1．]4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)．则第n个正方形数是()A．n(n－1)B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2C[观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2．] 5．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n}的前4项，则这个数列的一个通项公式为()A．a n＝3n－1B．a n＝3nC．a n＝3n－2n D．a n＝3n－1＋2n－3A[∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，猜想a n＝3n－1．]二、填空题6．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，当n∈N＋时，由归纳推理可得：f n(1)＝________.12n＋1－1[归纳推理可得f n(x)＝x(2n－1)x＋2n(n∈N＋)，解得f n(1)＝12n＋1－1.]7．观察下列等式：1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81[由于1＝12，2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81．]8．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝____________，a n＝____________.153n－3(n≥2，n∈N＋)[依据图形特点可知当n＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n＝3n－3(n≥2，n∈N＋)．]三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．[解] 当n ＝1时，S 1＝a 1＝1； 当n ＝2时，1S 2＝－2－S 1＝－3，∴S 2＝－13；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－53，∴S 3＝－35；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－75，∴S 4＝－57.猜想：S n ＝－2n －32n －1(n ∈N ＋)．10．已知f (x )＝13x ＋3，分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．[解] 由f (x )＝13x ＋3，得f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝33， f (－1)＋f (2)＝13－1＋3＋132＋3＝33， f (－2)＋f (3)＝13－2＋3＋133＋3＝33. 归纳猜想一般性结论为f (－x )＋f (x ＋1)＝33. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝13－x ＋3＋13x ＋1＋3＝3x 1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x3＋3x ＋1＋13x＋1＋3＝3·3x＋13＋3x＋1＝3·3x＋13(1＋3·3x)＝33.[能力提升练]1．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为() A．n＋1B．2nC.n2＋n＋22D．n2＋n＋1C[1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋n(n＋1)2＝n2＋n＋22个区域，选C.]2．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是()A．(2,10) B．(10,2)C．(3,5) D．(5,3)A[由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．] 3．如下图所示是由火柴杆拼成的一列图形，第n个图形由n个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．133n＋1[n＝1,2,3,4时，火柴杆数分别为4根，7根，10根，13根，由此可归纳火柴杆数是一个以4为首项，以3为公差的等差数列，故第n个图形中，火柴杆有3n＋1根．]4．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图②，如此继续下去，得图③，……，试用n表示出第n个图形的边数a n＝________.①②③3×4n－1(n∈N＋)[观察图形可知，a1＝3，a2＝12，a3＝48，…，故{a n}是首项为3，公比为4的等比数列，故a n＝3×4n－1(n∈N＋)．]5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．[解](1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝3 4.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝3 4sin 2α＋34cos2α＝34.。