备战2019高考数学苏教版2-1提素能高效演练讲义：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2(二) Word版含答案
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.1.3-3.1.4
3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示学习目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量基本定理思考 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？答案 不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直． 梳理 空间向量基本定理 (1)定理内容：①条件：三个向量e 1，e 2，e 3不共面．②结论：对空间中任一向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3. (2)基底：(3)推论：①条件：O ，A ，B ，C 是不共面的四点．②结论：对空间中任意一点P ，都存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →.知识点二 空间向量的坐标表示思考 若向量AB →＝(x 1，y 1，z 1)，则点B 的坐标一定为(x 1，y 1，z 1)吗？答案 不一定．由向量的坐标表示知，若向量AB →的起点A 与原点重合，则B 点的坐标为(x 1，y 1，z 1)，若向量AB →的起点A 不与原点重合，则B 点的坐标就不为(x 1，y 1，z 1)． 梳理 (1)空间向量的坐标表示：①向量a 的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量i ，j ，k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k ，有序实数组(x ，y ，z )叫做向量a 在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标，记作a ＝(x ，y ，z )．②向量OA →的坐标：在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A (x ，y ，z )，向量OA →是确定的，即OA →＝(x ，y ，z )． (2)空间中有向线段的坐标表示： 设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，①坐标表示：AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．②语言叙述：空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标． (3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(4)空间向量平行的坐标表示：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且a ≠0，则a ∥b ⇔b 1＝λa 1，b 2＝λa 2，b 3＝λa 3(λ∈R )．1．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{－a ，b,2c }也可构成空间的一个基底．(√) 2．若向量AP →的坐标为(x ，y ，z )，则点P 的坐标也为(x ，y ，z )．(×)3．在空间直角坐标系O －xyz 中向量AB →的坐标就是B 点坐标减去A 点坐标．(√)类型一 空间向量基本定理及应用 命题角度1 空间基底的概念例1 已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－67e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底．解 假设OA →，OB →，OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y ， 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． 所以OA →＝e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y ⎝⎛⎭⎫e 1＋e 2－67e 3 ＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋⎝⎛⎭⎫2x －67y e 3. 得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －67y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝74.故OA →，OB →，OC →共面，不可以构成空间的一个基底． 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1以下四个命题中正确的是________．(填序号)①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．答案②③解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故①不正确；②正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以与另外一个向量构成基底，故③正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故④不正确．命题角度2 空间向量基本定理的应用例2 如图，在空间四边形OABC 中，点D 是边BC 的中点，点G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.解 因为OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)，又点D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 而GH →＝OH →－OG →，又因为OH →＝23OD →＝23·12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )，所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .引申探究若将本例中的“G 是△ABC 的重心”改为“G 是AD 的中点”，其他条件不变，应如何表示OG →，GH →？解 OG →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )． 所以GH →＝OH →－OG → ＝13(b ＋c )－⎝⎛⎭⎫12a ＋14b ＋14c ＝－12a ＋112b ＋112c .反思与感悟 用空间向量基本定理时，选择合适的基底是解题的关键．跟踪训练2 如图所示，在平行六面体ABCD-A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′—→＝c ，P 是CA ′的中点，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，点Q 在CA ′上，且CQ ∶QA ′＝4∶1，用基底{a ，b ，c }表示以下向量．(1)AP →；(2)AM →；(3)AN →；(4)AQ →. 解 连结AC ，AD ′.(1)AP →＝12(AC →＋AA ′—→)＝12(AB →＋AD →＋AA ′—→)＝12(a ＋b ＋c )． (2)AM →＝12(AC →＋AD ′—→)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (3)AN →＝12(AC ′—→＋AD ′—→)＝12[(AB →＋AD →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→)]＝12a ＋b ＋c .(4)AQ →＝AC →＋CQ →＝AC →＋45CA ′—→＝AC →＋45(AA ′—→－AC →)＝15AC →＋45AA ′—→＝15(AB →＋AD →)＋45AA ′—→＝15a＋15b ＋45c . 类型二 空间向量的坐标表示例3 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′—→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′—→＝AD →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0， AF →＝AA ′—→＋A ′D ′—→＋D ′F —→＝12AB →＋AD →＋AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′—→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝12AB →＋12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′—→ ＝AB →－12AD →－12AA ′—→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0. 引申探究本例中，若以{DA →，DC →，DD ′—→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．解 AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫－1，0，12， AG →＝AB →＋BG →＝DC →－12DA →＝－12DA →＋DC →＝⎝⎛⎭⎫－12，1，0， EF →＝12DC →＋12DD ′—→＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN →的坐标．解 ∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， ∴AB →，AD →，AP →是两两垂直的单位向量．设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz . ∵MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝－12AB →＋AP →＋12PC →＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AC →)＝－12AB →＋AP →＋12(P A →＋AB →＋AD →)＝12AP →＋12AD →＝12e 2＋12e 3，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.类型三 空间向量的坐标运算及应用例4 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)． (1)求AB →＋AC →，AB →－AC →；(2)是否存在实数x ，y ，使得AC →＝xAB →＋yBC →成立，若存在，求x ，y 的值；若不存在，请说明理由．解 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)AB →＋AC →＝(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(0,1,2)． AB →－AC →＝(1,1,0)－(－1,0,2)＝(2,1，－2)． (2)假设存在x ，y ∈R 满足条件，由已知可得 BC →＝(－2，－1,2)．由题意得 (－1,0,2)＝x (1,1,0)＋y (－2，－1,2)， 所以(－1,0,2)＝(x －2y ，x －y,2y )， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x －2y ，0＝x －y ，2＝2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以存在实数x ＝1，y ＝1使得结论成立．反思与感悟 1.向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标．特别地，当向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即是终点的坐标． 2．进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质．跟踪训练4 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．证明 ∵AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴－24＝3－6＝－36， ∴AB →与CD →共线，即AB ∥CD ，又∵AD →＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)， BC →＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)， ∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD →与BC →不平行． ∴四边形ABCD 为梯形．1．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是________． 答案 (12,14,10)解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)． 2．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 答案 (2，－4,2)解析 依题意，得b ＝a －(－1,2，－1) ＝a ＋(1，－2,1)＝2(1，－2,1)＝(2，－4,2)．3．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b ＝________. 答案 (8,0,4)解析 4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．4.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1—→的坐标为________，AC 1—→的坐标为________．答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系知，A (0,0,0)，C 1(2，2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1—→的坐标为(2,2,1)．5．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .1．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示． 2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．一、填空题1．有下列三个命题：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底；③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．其中为真命题的是________．(填序号)答案 ①②解析 ①正确．作为基底的向量必须不共面；②正确；③不正确．a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．2．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即D 点坐标为(5,13，－3)．3.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB →的坐标为________，DC 1—→的坐标为________，B 1D —→的坐标为________.答案 (1,0,0) (1,0,1) (－1,1，－1)解析 由题图可知，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)，B 1(1,0,1)，所以AB →＝(1,0,0)，DC 1—→＝(1,0,1)，B 1D —→＝(－1,1，－1)．4．已知a ＝(3,5,7)，b ＝(6，x ，y )，若a ∥b ，则xy 的值为________． 答案 140解析 显然x ≠0，y ≠0. 因为a ∥b ，所以36＝5x ＝7y ，即x ＝10，y ＝14，所以xy ＝140.5．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ的值分别为________． 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3，∴⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，γ＝－12.6．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n ＝________. 答案 0解析 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)， 由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36，所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.7．已知A (2,3－μ，－1＋v )关于x 轴的对称点是A ′(λ，7，－6)，则λ，μ，v 的值分别为________． 答案 2,10,7解析 ∵A 与A ′关于x 轴对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3－μ＝－7，－1＋v ＝6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝10，v ＝7.8．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________. 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 16 －32解析 ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线， ∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32.9．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 解析 设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.10.如图，点M 为OA 的中点，以{OA →，OC →，OD →}为基底，DM →＝xOA →＋yOC →＋zOD →，则实数组(x ，y ，z )＝________.答案 ⎝⎛⎭⎫12，0，－1 解析 因为DM →＝OM →－OD →＝12OA →＋0OC →－OD →，所以实数组(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫12，0，－1. 11.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则向量OD →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a －12b ＋c解析 ∵AB →＝－2CD →， ∴OB →－OA →＝－2(OD →－OC →)， ∴b －a ＝－2(OD →－c )， ∴OD →＝12a －12b ＋c .二、解答题12．已知向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标．解 由已知p ＝2a ＋3b －c ，设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c )＝(x ＋y ＋z )a ＋ (y ＋z )b ＋z c ， 则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1，故p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1)．13．已知O ，A ，B ，C 四点的坐标分别是(0,0,0)，(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求分别满足下列条件的P 点坐标：(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．解 AB →＝OB →－OA →＝(2,6，－3)， AC →＝OC →－OA →＝(－4,3,1)． (1)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则OP →＝(x ，y ，z )，12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 所以OP →＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 点坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝OP →－OA →＝(x －2，y ＋1，z －2)，由(1)知12(AB →－AC →)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝3，y ＋1＝32，z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝12，z ＝0，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 三、探究与拓展14．已知向量a ，b ，c 是空间的一个基底，下列向量中可以与p ＝2a －b ，q ＝a ＋b 构成空间的另一个基底的是________．(填序号) ①2a ；②－b ；③c ；④a ＋c . 答案 ③④解析 ∵p ＝2a －b ，q ＝a ＋b ， ∴p 与q 共面，a ，b 共面． 而c 与a ，b 不共面，∴c 与p ，q 可以构成另一个基底，同理a ＋c 与p ，q 也可构成一组基底．15．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知△ABC 的边长为1，三棱柱的高为2，建立适当的空间直角坐标系，并写出AA 1—→，AB 1—→，AC 1—→的坐标．解 分别取BC ，B 1C 1的中点D ，D 1，以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D －xyz ，如图所示，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，A 1⎝⎛⎭⎫32，0，2，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，2，C 1⎝⎛⎭⎫0，12，2，所以AA 1—→＝(0,0,2)，AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，－12，2，AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32，12，2.。
(教师用书)高中数学 第三章 空间向量与立体几何教案 苏教版选修2-1
第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.1 空间向量及其线性运算3．1.2 共面向量定理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解空间向量与平面向量的联系与区别．(2)理解空间向量的线性运算及其性质．(3)理解共面向量定理．2．过程与方法(1)学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，经历向量及其运算由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程．(2)通过类比平面向量基本定理，得出共面向量基本定理，并能利用共面向量基本定理证明向量共面，学会判定与证明向量共面及四点共面的方法．3．情感、态度与价值观逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知能力．●重点难点重点：了解空间向量与平面向量的联系与区别，理解空间向量的线性运算及其性质．难点：共面向量定理的理解及应用．先回顾平面向量的定义及线性运算法则，类比得出空间向量的有关定义及运算法则，并通过空间图形进行严格的理论验证，从而突出教学重点．对于共面向量定理，完全可由平面向量基本定理类比得出，重在应用其证明共面问题，通过例题，体现向量法证明线线平行、线面平行的方法与步骤，从而突破教学难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是第三章《空间向量与立体几何》的第一节，由于是起始节，所以这节课中也包含了章引言的内容．章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算．向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用．本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具．采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，紧紧围绕教学重点展开教学，并从教学过程的每个环节入手，努力突破教学难点．●教学流程回顾平面向量的定义，类比得出空间向量的定义、几何表示、符号表示；找出空间向量与平面向量的区别与联系．⇒回顾平面向量的线性运算法则，得出空间向量的线性运算法则，并通过空间图形加以验证，得出空间向量线性运算满足的运算律．理解单位向量、共线向量、平行向量等概念，理解共线向量定理成立的条件及作用．⇒理解共面向量的定义，区分向量共面与直线共面的区别，理解共面向量定理的内涵，会用共面向量定理证明向量共面，从而证明立体几何问题如共面问题、线面平行问题等．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算法则，在常见的立体图形中，灵活的应用三角形和平行四边形法则进行空间向量的运算，实现利用给定向量表示某一向量的目的．⇒通过例2及变式训练，使学生体会共线向量定理的两个应用，正向可用来证明线线平行，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过例3及变式训练，使学生体会共面向量定理的两个应用，正向可用来证明线面平行，四点共面，逆用可用来求解字母参数，体会向量法解证立体几何问题的步骤与规律．⇒通过易错易误辨析，体会零向量的特殊性，在分析向量间关系及向量运算时，应注意零向量的特殊性．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.在空间，把既有大小又有方向的量叫做空间向量．已知空间四边形ABCD ，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0还成立吗？【提示】 成立．根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，其和为从第一个向量的首指向最后一个向量的尾，故AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AA →＝0.向量加法可以推广到有限个向量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾．【问题导思】共线向量一定是同一直线上的向量吗？【提示】 共线向量不一定是同一直线上的向量，而是表示向量的有向线段只要可以平移到同一直线上即可，因此共线向量也叫平行向量．对空间任意两个向量a，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b ＝λa .如果两个向量a 、b )，使得p ＝x a ＋y b .图3－1－1如图3－1－1，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：【思路探究】 观察各式涉及的向量在图形中的位置特点，将减法运算转化为加法运算，利用向量加法的三角形法则即可化简．【自主解答】(3)设M 是线段AC ′的中点，则12AD →＋12AB →－12＝12AD →＋12AB →＋12＝12(AD →＋AB →＋)＝12＝AM →.向量，AM →如图所示．1．进行向量的线性运算，实质是进行向量求和，解题时应抓住两条主线：一是基本“形”，通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和；二是基于“数”，熟练掌握AB →＋BC →＝AC →及向量中点公式．2．用已知向量表示空间向量，实质是向量的线性运算的反复应用．图3－1－2如图3－1－2，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别为AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示：(1)AC 1→；(2)AP →； (3)A 1N →；(4)MP →＋NC 1→.【解】 (1)AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝b ＋c ＋a . (2)∵P 为D 1C 1→的中点， ∴D 1P →＝12D 1C 1→＝12AB →＝12b ，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(3)A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－AA 1→＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(4)∵MP →＝MA 1→＋A 1D 1→＋D 1P → ＝12AA 1→＋AD →＋12AB → ＝12a ＋c ＋12b . NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a .∴MP →＋NC 1→＝(12a ＋c ＋12b )＋(12c ＋a )＝32a ＋12b ＋32c .图3－1－3如图3－1－3，已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，其中E ，H 是中点，F ，G是三等分点，且CF ＝2FB ，CG ＝2GD .试判断四边形EFGH 的形状．【思路探究】 证明向量EH →∥FG →且模不相等． 【自主解答】 ∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →. 又∵CF →＝2FB →，CG →＝2GD →， ∴CF →＝23CB →，CG →＝23CD →，∴FG →＝CG →－CF →＝23CD →－23CB →＝23(CD →－CB →)＝23BD →， ∴BD →＝32FG →，∴EH →＝34FG →，∴EH →∥FG →，|EH →|＝34|FG →|.又点F 不在直线EH 上，∴EH ∥FG ，且EH ≠FG ， ∴四边形EFGH 是梯形．1．证明EFGH 为梯形，必须证明两点：①EH →∥FG →； ②|EH →|≠|FG →|.2．利用向量共线可证空间图形中的两直线平行，为向量法证明立体几何问题奠定了基础．设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A 、B 、D 三点共线，求实数k 的值． 【解】 ∵BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2. ∴BD →＝BC →＋CD →＝(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝6e 1＋6e 2. ∵A ，B ，D 三点共线， ∴AB →＝λBD →.∴e 1＋k e 2＝λ(6e 1＋6e 2)．∵e 1，e 2是不共线向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝6λ ，k ＝6λ ，∴k ＝1.(2012·辽宁高考)如图3－1－4，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．证明：MN ∥平面A ′ACC ′.图3－1－4【思路探究】 利用向量的线性运算得到向量MN →可以由平面A ′ACC ′内两个不共线的向量表示即可．【自主解答】 因为MN →＝MA ′→＋A ′N →，且点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点，所以MN →＝12BA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝12(B ′A ′→＋AA ′→)＋12(A ′B ′→＋A ′C ′→)＝12AA ′→＋12A ′C ′→. 因为MN ⊄平面A ′ACC ′，所以MN ∥平面A ′ACC ′.1．判断三个向量共面，即利用向量的线性运算实现其中一个向量能用另外两个向量惟一表示．2．利用向量判断线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量能表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A ，B ，C ，D 四点共面． 【证明】 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋ν(3e 1－3e 2)＝0， 则(λ＋2μ＋3ν)e 1＋(λ＋8μ－3ν)e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3ν＝0，λ＋8μ－3ν＝0，解得λ＝－5，μ＝1，ν＝1是其中一组解， 则AB →＝15AC →＋15AD →，∴A 、B 、C 、D 四点共面.忽略零向量导致错误下列命题：①空间任意两个向量a ，b 不一定是共面的； ②a ，b 为空间两个向量，则|a |＝|b |⇔a ＝b ； ③若a ∥b ，则a 与b 所在直线一定平行； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是________． 【错解】 ②【错因分析】 ①空间任意两个向量都是共面的．②向量的模相等时，两个向量不一定相等，还要看向量的方向．③当a ∥b 时，它们所在直线平行或重合．④当b ＝0时，a 与c 不一定平行．【防范措施】 向量的平行(共线)不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，不一定有a ∥c ，但当b 为非零向量时，向量平行(共线)具备传递性，即若b ≠0，则当a ∥b ，b ∥c 时，有a ∥c .【正解】 ①②③④1．空间向量是平面向量的拓广和延伸，空间向量的线性运算法则和运算律与平面向量具有可类比性，但空间向量比平面向量应用范围更广泛．2．共线向量定理是判定两向量共线的充要条件，利用共线向量定理可以解决两方面的问题：(1)判定两向量共线；(2)由两向量共线，求待定字母的值．3．共面向量定理是判断三向量共面的理论依据，依此可以证明三向量共面，从而证明四点共面与线面平行问题．1．在空间四边形ABCD 中，AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝______. 【解析】 AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0. 【答案】 02．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简式子：DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝________. 【解析】 DA →－DB →＋B 1C →－B 1B →＋CB 1→－CB →＝BA →＋BC →＋BB 1→＝BD →＋BB 1→＝BD 1→. 【答案】 BD 1→3．有下列命题：①平行于同一直线的向量是共线向量；②平行于同一平面的向量是共面向量；③平行向量一定是共面向量；④共面向量一定是平行向量．其中正确的命题有________．【解析】 “共面向量一定是平行向量”不正确，即共面向量不一定共线．①②③均正确． 【答案】 ①②③图3－1－54．如图3－1－5，在空间四边形ABCD 中，E 、F 为AB 、CD 的中点，试证EF →，BC →，AD →共面． 【证明】 空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，利用多边形加法法则可得⎭⎬⎫EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.①又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①中，两式相加得2EF →＝AD →＋BC →. 所以EF →＝12AD →＋12BC →，即EF →与BC →、AD →共面．一、填空题1．下列命题中真命题的个数是________． ①空间中任两个单位向量必相等；②将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个圆； ③若两个非零向量a ，b 满足a ＝k b ，则a ，b 同向； ④向量共面即它们所在的直线共面．【解析】 ①是假命题，单位向量模相等，但方向不一定相同，因此空间中任两个单位向量不一定相等； ②是假命题，将空间中所有的单位向量移到同一起点，则它们的终点构成一个球面； ③是假命题，当k >0时，a ，b 同向，当k <0时，a ，b 反向；④是假命题，表示共面向量的有向线段所在的直线可以“平移”(平行移动)到同一平面，但不一定共面． 【答案】 02．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝________. 【解析】 B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ＝－12a ＋12b ＋c .【答案】 －12a ＋12b ＋c3．非零向量e 1、e 2不共线，若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k ＝________. 【解析】 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1，∴k ＝±1.【答案】 ±14．空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA →上，且OM →＝2MA →，N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】 如图， MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c .【答案】 －23a ＋12b ＋12c5．如图3－1－6，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为BD 1→的是________．图3－1－6①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.【解析】 (A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→，(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→. 【答案】 ①② 6．有四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ； ③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面； ④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题是________(填序号)．【解析】 由共面向量定理知，①真；若p 与a ，b 共面，当a 与b 共线且p 与a 和b 不共线时，就不存在实数组(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立，故②假．同理③真，④假．【答案】 ①③7．在下列各式中，使P ，A ，B ，C 四点共面的式子的序号为________． ①OP →＝OA →－OB →－OC →； ②OP →＝17OA →＋14OB →＋12OC →；③PA →＋PB →＋PC →＝0； ④OP →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； ⑤OP →＝12OA →－OB →＋32OC →.【解析】 根据四点共面的充要条件，易知①②④不适合，③⑤适合． 【答案】 ③⑤8．(2013·平遥高二检测)已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.【解析】 如图，取AB 的中点D ， OG →＝OC →＋CG → ＝OC →＋23CD →＝OC →＋23·12(CA →＋CB →)＝OC →＋13[(OA →－OC →)＋(OB →－OC →)]＝13OA →＋13OB →＋13OC →. ∴OA →＋OB →＋OC →＝3OG →. 【答案】 3 二、解答题图3－1－79．如图3－1－7，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，M 是线段CC ′的中点，G 是线段AC ′的三等分点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)AB →＋BC →； (2)AB →＋AD →＋AA ′→； (3)AB →＋AD →＋12CC ′→；(4)13(AB →＋AD →＋AA ′→)．【解】 (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→. (3)AB →＋AD →＋12CC ′→＝AB →＋BC →＋CM →＝AC →＋CM →＝AM →.(4)13(AB →＋AD →＋AA ′→)＝13AC ′→＝AG →. 向量AC →，AC ′→，AM →，AG →如图所示．10．如图3－1－8所示，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形且不共面，M 、N 分别是AC 、BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．图3－1－8【解】 ∵M 、N 分别是AC 、BF 的中点，四边形ABCD 、ABEF 都是平行四边形， ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →，MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →， ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →)＝2MN →， ∴CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．图3－1－911．如图3－1－9，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB . 【证明】 因为H 为BC 的中点，所以FH →＝12(FB →＋FC →)＝12(FE →＋EB →＋FE →＋ED →＋DC →)＝12(2FE →＋EB →＋ED →＋DC →)．因为EF ∥AB ，CD ∥AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE →＋DC →＝0，所以FH →＝12(EB →＋ED →)＝12EB →＋12ED →.因为EB →与ED →不共线，由共面向量定理知，FH →，EB →，ED →共面． 因为FH ⊄平面EDB ，所以FH ∥平面EDB .(教师用书独具)已知A 、B 、M 三点不共线，对于平面ABM 外的任一点O ，确定下列各条件下，点P 是否与A 、B 、M 一定共面． (1)OB →＋OM →＝3OP →－OA →； (2)OP →＝4OA →－OB →－OM →.【思路探究】 判断点P 是否在平面MAB 内，可先看MP →能否用向量MA →、MB →表示．当MP →能用MA →、MB →表示时，点P 位于平面MAB 内，否则点P 不在平面MAB 内．【自主解答】 (1)原式可变形为 OP →＝OM →＋(OA →－OP →)＋(OB →－OP →) ＝OM →＋PA →＋PB →，∴OP →－OM →＝PA →＋PB →， ∴PM →＝－PA →－PB →，∴P 与M 、A 、B 共面． (2)原式可变形为 OP →＝2OA →＋OA →－OB →＋OA →－OM →＝2OA →＋BA →＋MA →， ∴AP →＝－AO →－AB →－AM →，表达式中还含有AO →， ∴P 与A 、B 、M 不共面．1．解答本题中注意构造以P 、A 、B 、M 中某一点为起点，另三点为终点的三个向量来判断此三向量是否共面，若共面又共起点，此四点必共面，否则不共面．2．要证四点共面，可先作从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 【解】 (1)∵OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，∴13(OA →－OM →)＋13(OB →－OM →)＋13(OC →－OM →)＝0， ∴MA →＋MB →＋MC →＝0， ∴MA →＝－MB →－MC →，∴MA →、MB →、MC →三个向量是共面向量． (2)由(1)知MA →、MB →、MC →三个向量共面， 又有共同起点M ，所以M 、A 、B 、C 四点共面， 即点M 在平面ABC 内．3．1.3 空间向量基本定理 3．1.4 空间向量的坐标表示(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能(1)掌握空间向量基本定理，能恰当地选择基底，用基向量表示空间任一向量． (2)理解空间向量的正交分解，理解向量坐标的意义．(3)掌握向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，会应用向量坐标进行线性运算，能判断向量共线． 2．过程与方法(1)由平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，体会定理的条件及内涵；会在具体空间图形中，选取基底表示空间向量． (2)类比平面向量坐标运算法则，得出空间向量坐标运算法则，并运用这些法则进行向量坐标线性运算． (3)运用向量坐标进行向量共线的判定与应用． 3．情感、态度与价值观能过教师的引导，学生探究，激发学生求知欲望和学习兴趣，使学生具备探究、归纳、应用的能力，形成严谨的思维习惯． ●重点难点重点：用基底表示空间向量，向量线性运算的坐标表示． 难点：用基底表示空间向量．教学时，应采用类比思维的方法，先回顾平面向量基本定理及坐标表示，得出空间向量基本定理及坐标表示，降低问题的难度，在具体的常见几何体(正方体、三棱锥、棱柱)中，展示用基底表示空间向量的方法与过程，突出本节的重点，化解教学的难点．(教师用书独具)●教学建议空间向量基本定理是向量法研究立体几何问题的基石，是本章的重中之重，空间向量的坐标表示及坐标运算，是坐标法研究立体几何的工具．因此本节课是全章内容的工具性内容，为学生学习立体几何提供新角度、新手段、新方法．由于学生已学习了平面向量基本定理及坐标运算，因而本节宜采用类比教学法，多发挥学生自主探究能力，通过回顾→类比→完善→应用的环节获取新知识，应用新知识．除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机辅助教学，增加教学的直观性和趣味性．●教学流程回顾平面向量基本定理，类比得出空间向量基本定理，强调基向量的不共面性，线性表示的惟一性，常见几何体中基底的一般选法，定义单位正交基，推导空间向量基本定理的推论 .⇒回顾平面向量的坐标表示，得出空间向量的坐标表示，理清向量坐标的实际意义，向量坐标与点坐标的关系．⇒回顾平面向量线性运算的坐标表示，得出空间向量的线性运算的坐标表示，向量坐标与起始点坐标的关系，共线向量的坐标条件．⇒通过例1及变式训练，让学生掌握基底的选取条件，即不共面向量，加深对基底概念的理解．⇒通过例2及变式训练，让学生掌握如何选取基向量，如何用基底表示某一向量，在具体操作中运用向量的线性运算法则．⇒通过例3及变式训练，让学生掌握向量坐标运算法则，掌握如何运用起点、终点坐标表示向量坐标．⇒通过例4及变式训练，让学生掌握向量共线的坐标条件的应用，由此判定向量共线或求值．⇒通过易错易误辨析，让学生分清向量共线与向量同向的区别，以免概念混淆，解题出错．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.p＝x e1＋y e2＋z e3.如果三个向量e1，e2，e3如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i ，j ，k }表示．设O ，A ，B ，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得OP ＝xOA →＋yOB →＋zOC →.【问题导思】空间直角坐标系中，点的坐标与向量坐标有何联系与区别？【提示】 在空间直角坐标系中，当起点为原点时，向量坐标就是其终点坐标；当起点不是原点时，向量坐标是终点坐标减去起点坐标．所以向量坐标不是点的坐标，而是终点坐标与起点坐标的差值．在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a 的坐标．【问题导思】空间向量的坐标运算与几何运算相比较，有哪些好处？【提示】 坐标运算实际上是实数间的运算，运算起来更为简捷方便． 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA →＝e 1＋2e 2－e 3，OB →＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC →＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA →，OB →，OC →}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD →＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．【思路探究】 判断{OA →，OB →，OC →}能否作为基底，关键是判断它们是否共面，一般假设其共面，利用共面向量定理分析；求OD →的表示式，设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，利用待定系数法求系数．【自主解答】 假设OA →、OB →、OC →共面，由向量共面的充要条件知存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →成立． ∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3，∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底， ∴e 1，e 2，e 3不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1，此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA →＝xOB →＋yOC →， ∴OA →，OB →，OC →不共面．故{OA →，OB →，OC →}能作为空间的一个基底． 设OD →＝pOA →＋qOB →＋zOC →，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3 ∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴⎩⎪⎨⎪⎧p －3q ＋z ＝2，2p ＋q ＋z ＝－1，－p ＋2q －z ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝17，q ＝－5，z ＝－30，∴OD →＝17OA →－5OB →－30OC →.1．判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断．2．求一向量在不同基底下的表示式(或坐标)，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基底下的表示式(或坐标)，转化为在原基底下的表示式，对比系数．若{a ，b ，c }是空间的一个基底．试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为空间的一个基底．【解】 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，即a ＋b ＝μa ＋λb ＋(λ＋μ)c . ∵{a ，b ，c }是空间的一个基底， ∴a ，b ，c 不共面． ∴⎩⎪⎨⎪⎧μ＝1λ＝1λ＋μ＝0，此方程组无解．即不存在实数λ，μ，使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )成立，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． 故{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能作为空间的一个基底．图3－1－10如图3－1－10，四棱锥P －OABC 的底面为矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF →，BE →，AE →，EF →.【思路探究】选取基向量→观察空间图形→利用线性运算→用基底表示向量【自主解答】 连结OB ，则BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →)＝12(－OA →－OC →＋OP →)＝ －12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →)＝－a ＋12(－b ＋c )＝－a －12b ＋12c .AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12PC →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .EF →＝12CB →＝12OA →＝－12a .1．空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是惟一的． 2．用基底来表示空间中的向量是用向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则以及平行四边形法则的应用．图3－1－11如图3－1－11，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB →＝a ，AD →＝b ，＝c ，M 是CD ′的中点，N 是C ′D ′的中点，用基底{a ，b ，c }表示以下向量：(1)AM →；(2)AN →.【解】 (1)AM →＝12(AC →＋)＝12(AB →＋AD →＋AD →＋)＝12(a ＋2b ＋c )＝12a ＋b ＋12c . (2)AN →＝12(＋)＝12[(AB →＋AD →＋)＋(AD →＋)]＝12(AB →＋2AD →＋2)＝12a ＋b ＋c .已知A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求适合下列条件的点P 的坐标．(1)OP →＝12(AB →－AC →)；(2)AP →＝12(AB →－AC →)．【思路探究】 利用向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标求出AB →，AC →，然后进行坐标运算得到OP →，AP →，从而可确定点P 的坐标． 【自主解答】 AB →＝(2,6，－3)，AC →＝(－4,3,1)．(1)OP →＝12(AB →－AC →)＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设点P 的坐标为(x ，y ，z )，则AP →＝(x －2，y ＋1，z －2)．由(1)知，AP →＝12(AB →－AC →)＝(3，32，－2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3y ＋1＝32z －2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y＝12z ＝0，则点P 的坐标为(5，12，0)．1．牢记运算法则是正确进行向量线性运算的关键．2．涉及已知点的坐标进行向量运算时，注意利用终点的坐标减去起点的坐标得到向量的坐标，这是向量运算的前提．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，求AB →，AC →及2AB →＋3AC →. 【解】 AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)，2AB →＋3AC →＝2(1,1,0)＋3(－1,0,2)＝(2,2,0)＋(－3，0,6)＝(－1,2,6)．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,2)，求满足DB ∥AC ，DC ∥AB 的点D 的坐标．【思路探究】 由已知条件DB ∥AC ，DC ∥AB ，转化为向量平行，用共线向量定理及空间向量平行的坐标表示，可求得D 点的坐标． 【自主解答】 设D (x ，y ，z )，则DB →＝(－x,1－y ，－z )，AC →＝(－1,0,2)， 由DB ∥AC ，设DB →＝λAC →，即(－x,1－y ，－z )＝(－λ，0,2λ)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－x ＝－λ，1－y ＝0，－z ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝1，z ＝－2λ，得D (λ，1，－2λ)．∴DC →＝(－λ，－1,2＋2λ)，AB →＝(－1,1,0)． 又DC →∥AB →，设DC →＝μAB →，即(－λ，－1,2＋2λ)＝(－μ，μ，0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧－λ＝－μ，－1＝μ，2＋2λ＝0.解得λ＝μ＝－1.∴点D 的坐标为(－1,1,2)．1．本例中，求点D 的坐标，主要是利用两向量平行的坐标条件，列出关于点D 的坐标的方程组，通过解方程组求得．2．两向量平行的充要条件有两个：①a ＝λb ，②⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2，依此，既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值．设a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，计算2a ＋3b,5a －6b ，并确定λ，μ的值，使λa ＋μb 与向量b 平行． 【解】 ∵a ＝(2,3,0)，b ＝(－3，－2,1)，∴2a ＋3b ＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a －6b ＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa ＋μb ＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa ＋μb )∥b ， ∴2λ－3μ－3＝3λ－2μ－2＝μ1. ∴λ＝0，μ∈R ，即λ＝0，μ∈R 时，λa ＋μb 与b 平行.误解“两向量平行”和“两向量同向”已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，求x ，y 的值．【错解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.【错因分析】 “两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．错解忽略了“同向”这一条件的限制，扩大了范围． 【防范措施】 由于向量具有平移不变性，因此有关向量的平行问题与直线的平行是有区别的，并且两向量同向与向量平行也是不等价的，向量平行则两向量可能同向也可能反向，因此，解决这类问题时要特别注意限制条件．【正解】 由题意知a ∥b ，则x 1＝x 2＋y －22＝y3，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ①x 2＋y －2＝2x ②，把①代入②得x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，向量a 与b 反向，不符合题意，故舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，向量a 与b 同向，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3.1．用基底表示空间几何体中一向量时，应结合立体图形，根据空间向量线性运算法则，写出要求的向量表达式． 2．建立空间直角坐标系后，空间向量都有惟一的坐标(x ，y ，z )，两向量间的线性运算也有相应的坐标运算法则．3．对于两向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λy 2z 1＝λz 2(b ≠0)，依此可以判定两向量平行或由两向量平行求待定字母的值.1．下列说法正确的是________．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底； ②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底； ③单位正交基底中的基向量模为1，且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．【解析】 根据基底的有关概念可知：任何三个不共面的向量都可以构成一个基底，当这三个基向量是模为1且两两垂直的向量时，称此基底为单位正交基底，故有③正确，①②④错误．【答案】 ③图3－1－122．如图3－1－12，已知平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝c ，＝b ，D 是四边形OABC 的中心，则OD →＝________.【解析】 结合图形，充分利用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则，利用基向量a 、b 、c 表示OD →.仔细观察会发现OD →与OA →、OC →是共面向量，故它们三者之间具有线性关系，即可得到答案．【答案】 12a ＋12c3．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b ＝______. 【解析】 设b ＝(x ，y ，z )，则a ＋b ＝(x ＋1，y －2，z ＋1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－1，y －2＝2，z ＋1＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4，z ＝－2.∴b ＝(－2,4，－2)． 【答案】 (－2,4，－2)4．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k . 【解】 法一 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．∴k a ＋b ＝k (1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)．a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(7，－4，－16)．∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16.∴k ＝－13.法二 ∵(k a ＋b )∥(a －3b )． ∴k a ＋b ＝λ(a －3b )．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，∴k ＝－13.一、填空题1．设命题p ：a ，b ，c 是三个非零向量，命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的______条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)．【解析】 命题q 中，{a ，b ，c }为空间的一个基底，则根据基底的定义，可知a ，b ，c 为非零向量，且为不共面向量．故q ⇒p ，pD⇒/q ，所以命题p 是命题q 的必要不充分条件．【答案】 必要不充分2．设向量a ，b ，c 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是________．①{a ＋b ，b －a ，a }； ②{a ＋b ，b －a ，b }； ③{a ＋b ，b －a ，c }; ④{a ＋b ＋c ，a ＋b ，c }．【解析】 因为只有③中三个向量不共面，所以可以作为一个基底． 【答案】 ③3．已知{i ，j ，k }为空间的一个基底，若a ＝i －j ＋k ，b ＝i ＋j ＋k ，c ＝i ＋j －k ，d ＝3i ＋2j －4k ，又d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＝________，β＝________，γ＝________.【解析】 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋γ＝3－α＋β＋γ＝2α＋β－γ＝－4，解之得：⎩⎪⎨⎪⎧α＝12β＝－1γ＝72.【答案】 12 －1 72图3－1－134．如图3－1－13，已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 是底面A ′B ′C ′D ′的中心，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b ＋z c ，则x ，y ，z 的值分别为x ＝________，y ＝________，z ＝________.【解析】 由题意知AA ′→，AB →，AD →为不共面向量，而AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12(A ′B ′→＋A ′D ′→)＝AA ′→＋12AB →＋12AD →＝2a ＋b ＋32c ，∴x ＝2，y ＝1，z ＝32.【答案】 2 1 325．已知A (3,2,1)，B (－4,5,3)，C (－1,2,1)，则2AB →＋5AC →的坐标为________． 【解析】 2AB →＋5AC →＝2(－7,3,2)＋5(－4,0,0) ＝(－14－20,6＋0,4＋0)＝(－34,6,4)． 【答案】 (－34,6,4)6．(2013·平遥高二检测)已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝ (6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为________．。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.2(二)
3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0.∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)，BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ， 所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)， E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)． 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C . 反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析 由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC，故PC⊥BD，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案10解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________． 答案 －12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12.4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________． 答案 (－1,0,2)解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析 因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， 则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ； AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， 则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， 故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， 所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案 垂直解析 以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2； 当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)． (1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)， 则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______． 答案 －3或1 解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )， A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。
数学选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何章末复习
个帅哥帅哥的 ffff章末复习学习目标1.梳理知识重点，建立知识网络.2.进一步理解空间向量的观点及运算.3.能娴熟应用向量法解决立体几何问题．1． 空间中点、线、面地点关系的向量表示设直线 l ， m 的方向向量分别为 a ， b ，平面 α， β的法向量分别为 μ， v ，则线线平行 l ∥ m? a ∥ b ? a ＝ k b ， k ∈R线面平行 l ∥α? a ⊥μ? a ·μ＝0面面平行 α∥ β? μ∥ v ? μ＝ k v ， k ∈R线线垂直 l ⊥m? a ⊥b ? a ·b ＝0线面垂直 l ⊥ α? a ∥μ? a ＝ k μ， k ∈ R面面垂直 α⊥ β? μ⊥ v ? μ·v ＝ 0线线夹角π|a ·b |l ， m 的夹角为 θ0≤θ≤ 2 ，cos θ＝ |a ||b |线面夹角l ， α的夹角为 θ0≤ θ≤ π， sin θ＝ |a ·μ|2|a ||μ| 面面夹角π|μ·v |α，β的夹角为 θ0≤ θ≤ 2 ， cos θ＝ |μ||v |2． 用坐标法解决立体几何问题 步骤以下：(1) 成立适合的空间直角坐标系；(2) 写出有关点的坐标及向量的坐标；(3) 进行有关坐标的运算；(4) 写出几何意义下的结论．重点点以下：(1) 选择适合的坐标系．坐标系的选用很重要，适合的坐标系能够使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．(2)点的坐标、向量的坐标确实定．将几何问题转变为向量的问题，一定确立点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最中心的问题．(3)几何问题与向量问题的转变．平行、垂直、夹角问题都能够经过向量计算来解决，怎样转变也是这种问题解决的重点．1．a·b＝a·c(a≠0)的实质是向量b， c 在向量 a 方向上的投影相等， b 与 c 不必定相等．(√)2π2．设直线 l 与平面α订交，且 l 的方向向量为a，α的法向量为n，若〈 a， n〉＝3，则l π与α所成的角为6.(√ )ππ3．两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是[0，π]．( √)4．若空间向量 a 平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(× )种类一空间向量及其运算例 1如图，在四棱锥S－ ABCD 中，底面ABCD 是边长为1 的正方形， S 到 A， B， C，D的距离都等于 2.给出以下结论：→→→→①SA＋SB＋ SC＋ SD＝0；→→→→②SA＋SB－ SC－ SD＝0；→→→→③SA－SB＋ SC－ SD＝0；→→→→④SA·SB＝SC·SD；→ →⑤SA·SC＝ 0.此中正确结论的序号是________．答案 ③④分析→→→→→→简单推出 SA － SB ＋ SC －SD ＝BA ＋ DC ＝0，所以③正确； 又由于底面 ABCD 是边长为→ →→ →1 的正方形， SA ＝ SB ＝ SC ＝ SD ＝ 2，所以 SA ·SB ＝ 2·2·cos ∠ ASB ，SC ·SD ＝ 2·2·cos ∠ CSD ，而→→ →→∠ASB ＝∠ CSD ，于是 SA ·SB ＝SC ·SD ，所以④正确；其他三个都不正确，故正确结论的序号是③④ .反省与感悟 向量的表示与运算的重点是娴熟掌握向量加减运算的平行四边形法例、 三角形法例及各运算公式，理解向量运算法例、运算律及其几何意义．追踪训练 1如图，在平行六面体 →1—→成的A 1B 1C 1D 1－ ABCD 中， M 分AC 成的比为，N 分 A 1D2→ → —→ →比为 2，设 AB ＝ a ， AD ＝ b ， AA 1 ＝ c ，试用 a ， b ， c 表示 MN.解 连接 AN ，→ → →则MN ＝ MA ＋ AN ，由已知 ABCD 是平行四边形，→ → →故AC ＝AB ＋ AD ＝ a ＋ b ，→1 又M 分AC 成的比为 2，→ 1 → 1故MA ＝－AC ＝－(a ＋ b )．3 3→→→→→→→ 1—→1 又 N 分A 1D 成的比为 2，故 AN ＝ AD ＋ DN ＝ AD － ND ＝ AD －3 A 1D＝ (c ＋ 2b )．3→ → → ＝－11于是 MN ＝MA ＋ AN3 (a ＋b ) ＋ (c ＋ 2b )3＝1(－ a ＋ b ＋ c )． 3种类二利用空间向量解决地点关系问题例 2 在四棱锥 P －ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ， ABCD 是正方形， E 是 PA 的中点，求证：(1) PC ∥平面 EBD .证明 如图，以 D 为坐标原点，分别以DC ，DA ，DP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴成立空间直角坐标系．设 DC ＝ a ， PD ＝b ，则 D(0,0,0) ， C(a ， 0,0)， B(a ，a,0)， P(0， 0，b)，A(0， a,0)E a ， b0，2 2 .→ a b →→(1)DE ＝ 0， ，2 ，DB ＝ ( a ， a,0)， PC ＝ (a,0，－ b)．2设平面 EBD 的一个法向量为n ＝ (x ， y ， z)，→ab则 DE ·n ＝ 0，即 2y ＋2z ＝ 0，→ax ＋ ay ＝0.DB ·n ＝ 0，令 x ＝ 1，得 n ＝ 1，－ 1，a，b→a＝0，由于 PC1，－ 1，·n ＝ (a,0，－ b) ·b→ 所以 PC ⊥ n ，又 PC?平面 EBD ，故 PC ∥平面 EBD .(2) 由题意得平面→PDC 的一个法向量为 DA ＝ (0， a,0)，→ →又PB ＝(a ， a ，－ b)，PC ＝ (a,0，－ b)，设平面 PBC 的一个法向量为m ＝ (x 1， y 1， z 1) ，→ax 1＋ ay 1－ bz 1＝ 0，PB ·m ＝ 0，则 即→ax 1－ bz 1＝ 0，PC ·m ＝ 0，aa得 y 1 ＝0，令 x 1＝ 1，则 z 1＝ b ，所以 m ＝1， 0，b ，→a ＝ 0，由于 DA 1， 0，·m ＝ (0，a,0) · b→⊥ m ，即平面 PBC ⊥平面 PCD .所以 DA反省与感悟1.证明两条直线平行，只要证明这两条直线的方向向量是共线向量．2．证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．(2)能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．3．证明面面平行的方法(1)转变为线线平行、线面平行办理．(2)证明这两个平面的法向量是共线向量．4．证明两条直线垂直，只要证明这两条直线的方向向量垂直．5．证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．(2)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量相互垂直．6．证明面面垂直的方法(1)转变为证明线面垂直．(2)证明两个平面的法向量相互垂直．追踪训练2在正方体ABCD － A1B1C1D 1中，E，F 分别是 BB1，CD 的中点，求证：平面 AED ⊥平面 A1FD 1.证明如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC， DD 1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系D－ xyz.设正方体棱长为1，则1E 1， 1，2， D1(0,0,1)，1A(1， 0,0)， F 0，2， 0 .→—→→1—→＝1，－ 1 .设m＝ (x1，y1，z1)，n＝ (x2，y2，∴DA ＝ (1,0,0)＝ D1A1，DE＝1， 1，，D1F0，22 z2)分别是平面AED 和平面 A1FD 1的一个法向量，→x1＝ 0，m·DA＝0，由得1→x1＋ y1＋2z1＝ 0.m·DE＝0，令 y1＝1，得m＝ (0,1，－ 2)．—→x 2＝ 0，n ·D 1A 1＝ 0，得 1又由－ z ＝ 0.—→＝ 0，2y 2n ·D 1F 2令 z 2 ＝ 1，得 n ＝(0,2,1) ．∵m ·n ＝(0,1，－ 2) ·(0,2,1) ＝ 0，∴m ⊥n ，故平面 AED ⊥平面 A 1FD 1. 种类三利用空间向量求角例 3 已知棱长为1 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，E ，F 分别是棱 B 1C 1 和 C 1D 1 的中点． 试求：(1) AD 1 与 EF 所成角的大小；(2) AF 与平面 BEB 1 所成角的余弦值；(3) 二面角 C 1－ DB －B 1 的正切值．解以点 B 1 为坐标原点， B 1A 1， B 1C 1，B 1B 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，成立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0,0,0) ，A(1,0,1) ， B(0,0,1) ， D 1(1,1,0) ，E 0， 1， 0 ，F 1，1，0 ，2 2 D(1,1,1) ．—→ (1) 由于 AD 1 ＝ (0,1，－ 1)，→1 1， 0 ，EF ＝，2 20，1，－ 1 1 1—→—→· ， ， 02 21，所以 cos 〈 AD 1，EF 〉＝2＝22× 2—→ →°， 180°]， 由于〈 AD 1 ，EF 〉∈ [0 所以 AD 1 与 EF 所成的角为 60°.→＝ (1,0,0) 为平面 BEB 1 的一个法向量，设 AF 与平面 BEB 1 所成的角为 θ，(2) 由图可得 BA个帅哥帅哥的 ffff则sinθ＝cos〈 BA， FA〉＝| →→|11，0， 0 ·，－1，12＝1，所以 cosθ＝ 2 2 1×12＋－ 1223 3 .2＋ 1(3)设平面 D 1DBB 1的一个法向量n1＝ (x， y，z)，→—→＝(0,0,1) ，由于 DB＝(－ 1，－ 1,0)， B1B→→—→n1·DB＝－x－y＝0，由 n1⊥DB， n1⊥B1B，得—→n1·B1B＝z＝0，令 y＝ 1，则n1＝ (－ 1,1,0) ．同理可得平面C1DB 的一个法向量n2＝ (－ 1,1,1) ，则 cos〈n1，n2〉＝－1，1，0·－1，1，1＝6，2× 331，n2〉＝21－DB － B1的正切值为2tan〈n2 .即二面角C 2 .反省与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成的角求解．(2) 直线与平面所成的角：要求直线 a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线 a 的方向向量a的夹角的余弦 cos〈n，a〉，再利用公式 sinθ＝ |cos〈n，a〉 |，求θ. (3) 二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与 n2，则平面α与β所成的角跟法向量 n1与 n2所成的角相等或互补，所以第一一定判断二面角是锐角仍是钝角．追踪训练 3 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB＝BE＝ EC＝ 2， G， F 分别是线段 BE，DC 的中点．(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值．(1)证明如图，取 AE 的中点 H，连接 HG ， HD，又G是BE的中点，所以 GH ∥ AB，且 GH＝12AB.又F是CD的中点，1所以 DF＝2CD.由四边形 ABCD 是矩形，得 AB∥CD ， AB＝ CD，所以 GH∥DF，且 GH＝DF，进而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF ∥DH .又 DH ? 平面 ADE ， GF?平面 ADE，所以 GF∥平面 ADE .(2) 解如图，在平面BEC 内，过 B 点作 BQ∥ EC.由于 BE⊥ CE，所以 BQ⊥ BE .又由于 AB⊥平面 BEC，所以 AB⊥ BE， AB ⊥BQ.→→→以 B 为坐标原点，分别以 BE， BQ， BA的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向成立空间直角坐标系，则 A(0,0,2) ， B(0,0,0) ， E(2,0,0) ，F(2,2,1) ．→由于 AB⊥平面 BEC，所以 BA＝ (0,0,2) 为平面 BEC 的法向量．设n＝ (x，y，z)为平面 AEF 的法向→→ ，－ 1)，又AE ＝(2,0，－ 2)， AF ＝ (2,2→ ＝ 0，2x － 2z ＝ 0， n ·AE由得→2x ＋ 2y －z ＝0.n ·AF ＝ 0，取 z ＝ 2，得 n ＝ (2，－ 1,2)．→→4 2|n ·BA|＝ AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值进而 |cos 〈 n ，BA 〉 |＝→＝ ，所以平面2×3 3|n ||BA|为2.3→ 1 → →1．已知空间四边形ABCD ， G 是 CD 的中点，则 AB ＋ 2(BD ＋ BC)＝ ________.答案 →AG分析在△ BCD 中，由于点 G 是 CD 的中点，→ 1 → →所以 BG ＝ 2(BD ＋ BC)，→→→→→→进而 AB ＋ 1(BD ＋ BC)＝ AB ＋BG ＝ AG.22．若 a ＝ (0,1，－ 1)， b ＝ (1,1,0) ，且 (a ＋ λb )⊥ a ，则实数 λ的值是 ________．答案－ 2分析a ＋ λb ＝ (λ， 1＋ λ，－ 1)．由( a ＋ λb )⊥ a ，知 (a ＋ λb ) ·a ＝ 0，∴λ× 0＋ (1＋λ)× 1＋ (－ 1)× (－ 1)＝ 0，解得 λ＝－ 2.3．已知向量 a ＝ (4－ 2m ， m － 1，m － 1)与 b ＝ (4,2－ 2m ， 2－2m)平行，则 m ＝ ________.答案1 或 3分析当 2－ 2m ＝0，即 m ＝ 1 时，a ＝ (2,0,0) ，b ＝ (4,0,0) ，知足 a ∥ b ；当 2－ 2m ≠ 0，即 m ≠1 时，∵ a ∥ b ，∴ 4－ 2m ＝ m － 1，解得 m ＝ 3.综上可知， m ＝ 3 或 m ＝ 1.4．已知平面 α经过点 O(0,0,0) ，且 e ＝ (1,1,1) 是 α的一个法向量， M(x ， y ， z)是平面 α内随意一点，则 x ， y ， z 知足的关系式是 ________．答案x ＋ y ＋z ＝0→分析OM ·e ＝ (x ， y ， z) ·(1,1,1) ＝x ＋ y ＋ z ＝ 0.→ →5．已知空间三点A(－2,0,2) ， B(－ 1,1,2)， C(－ 3,0,4)，设 a ＝ AB ， b ＝ AC.→(1) 若 |c |＝ 3，且 c ∥ BC ，求向量 c ； (2) 求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值．→解(1) ∵c ∥ BC ，∴存在实数 m ，→使得 c ＝ mBC ＝ m(－ 2，－ 1,2)＝ (－ 2m ，－ m,2m)．∵|c |＝ 3，∴－2m 2＋ － m 2＋ 2m 2＝ 3|m|＝ 3，∴m ＝ ±1，∴ c ＝ (－2，－ 1,2)或 c ＝ (2,1，－ 2)．(2) ∵ a ＝(1,1,0) ， b ＝ (－ 1,0,2)，∴a ·b ＝ (1,1,0) (·－1,0,2) ＝－ 1.又∵ |a |＝ 12＋ 12＋ 02＝ 2，|b |＝ － 1 2＋ 02＋ 22＝ 5，∴cos 〈 a ， b 〉＝ a ·b ＝ － 1 10，＝－|a ||b | 10 10即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为－1010.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题； 基向量法利用向量的观点及其运算解决问题； 坐标法利用数及其运算来解决问题．坐标方法常常与向量运算联合起来使用．一、填空题1．以下说法中不正确的选项是 ________． (填序号 )①若 |a|＝ |b|，则a，b的长度同样，方向同样或相反；②若向量 a 是向量 b 的相反向量，则|a|＝ |b|；③空间向量的减法知足联合律；④在四边形 ABCD 中，必定有→→→AB＋ AD＝ AC.答案①③④分析依照相反向量的定义知，只有②正确．2．已知 O 是空间随意一点， A， B，C，D 四点知足任三点均不共线，但四点共面，且→OA＝→→→2x·BO＋ 3y·CO＋4z·DO ，则 2x＋3y＋ 4z＝ ________.答案－ 1分析由 A， B， C， D 四点共面知→→→→OA＝－ 2x·OB＋ (－ 3y)·OC＋ (－ 4z)·OD ，所以－ 2x－3y－4z＝1，即 2x＋3y＋ 4z＝－ 1.3．空间中，若向量a＝(5,9，m)， b＝(1，－1,2)， c＝(2,5,1)共面，则m＝________.答案4分析∵向量 a， b， c 共面，∴存在实数α，β，使得 a＝αb＋βc，即(5,9， m)＝(α，－α， 2α)＋ (2β，5β，β)＝( α＋ 2β， 5β－α， 2α＋β)．α＋ 2β＝ 5，α＝ 1，∴ m＝ 2α＋β＝ 4.∴解得5β－α＝ 9，β＝ 2.4．已知不重合的平面α和平面β的法向量分别为 m＝(3,1，－5)， n＝(－6，－2,10)，则平面α，β的地点关系为 ________． (填“平行”“垂直” )答案平行分析∵ n＝(－6，－2,10)， m＝(3,1，－5)，∴n＝－2m.∴m∥ n.∴ α与β平行．—→→→—→5．在平行六面体ABCD －A1B1C1D 1中，若 AC1＝ aAB＋ 2bAD ＋3c A1A ，则 abc＝ ________.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案－ 1 6分析— →→ →—→—→→→由平行六面体 ABCD －A 1B 1C 1D 1，得 AC 1 ＝AB ＋AD ＋ AA 1 ，又已知 AC 1 ＝ aAB ＋ 2bAD —→，可得 a ＝ 1,2b ＝ 1,3c ＝－ 1，解得 a ＝ 111 ＋3c A 1A1， b ＝， c ＝－ ，所以 abc ＝－ .2 3 66．在平行六面体—→—→ —→ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，向量 D 1A 用 D 1C ， A 1C 1表示为 ________．答案分析—→ —→ —→D 1A ＝ D 1C －A 1C 1—→ — → →→—→由于 D 1C － D 1A ＝ AC ，且 AC ＝ A 1C 1，—→ —→ —→所以 D 1C － D 1A ＝ A 1C 1，—→ —→ —→ 即 D 1A ＝ D 1C －A 1C 1.7．已知向量 a ＝ (1,2,3) ，b ＝ ( x ，x 2 ＋y － 2，y)，而且 a ，b 同向，则 x ，y 的值分别为 ________．答案 1,3分析由题意知 a ∥b ，所以 x ＝ x 2＋ y － 2 y，＝1 2 3y ＝ 3x①即x 2＋ y － 2＝ 2x ②把①代入②得 x 2＋ x － 2＝ 0， (x ＋ 2)(x － 1)＝ 0，解得 x ＝－ 2 或 x ＝ 1，当 x ＝－ 2 时， y ＝－ 6；当 x ＝ 1 时， y ＝ 3.x ＝－ 2， 时， b ＝ (－ 2，－ 4，－ 6)＝－ 2a ，当y ＝－ 6向量 a ， b 反向，不切合题意，所以舍去．x ＝ 1， x ＝ 1， 当时， b ＝ (1,2,3) ＝ a ， a 与 b 同向，所以y ＝ 3y ＝ 3.8．已知空间四点 A(0,3,5) ， B(2,3,1) ，C(4,1,5) ， D(x,5,9)共面，则 x ＝ ________.考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案－ 6分析∵ A(0,3,5) ， B(2,3,1) ，C(4,1,5) ， D(x,5,9)，→→→．∴AB ＝(2,0，－ 4)， AC＝ (4，－ 2,0)， AD ＝ (x,2,4)∵四点 A， B， C， D 共面，→→→∴存在实数λ，μ使得AD＝λAB＋μAC，∴( x,2,4)＝λ(2,0，－ 4)＋μ(4，－ 2,0)，x＝ 2λ＋4μ，∴ 2＝－ 2μ，解得x＝－ 6.4＝－ 4λ，9．已知矩形 ABCD 中， AB＝ 1， BC＝3，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC 与平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为 ________．考点空间向量数目积的应用题点数目积的综合应用答案10 2分析如图，过 B， D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为M，N.可求得 AM ＝1， BM＝3，CN＝1， DN ＝3， MN＝ 1. 2222→→→→∵BD＝BM ＋MN＋ND，→ 2→→→ 2→2→ 2＋∴|BD|＝(BM＋MN＋ND) ＝ |BM| ＋|MN|→ 2→→→→ →→32225→10.|ND| ＋2(BM ·MN ＋ MN ·ND＋ BM·ND)＝＋1＋3＋ 0＝，∴ |BD|＝222210.以下图，在棱长为 4 的正方体 ABCD － A1B1C1D1中，点 E 是棱 CC1的中点，则异面直线 D 1E 与 AC 所成角的余弦值是 ________．答案105分析如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC， DD 1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，则A(4,0,0) ， C(0,4,0) ，→—→＝ (0,4，－ 2)，D1(0,0,4) ， E(0,4,2) ，AC＝(－ 4， 4,0)， D1E→ —→〉＝16cos〈AC， D1E32×20＝510，所以异面直线 D 1E 与 AC 所成角的余弦值为10. 5二、解答题11.如图，在四棱锥P－ ABCD 中，底面为直角梯形， AD ∥ BC，∠ BAD ＝ 90°，PA⊥底面 ABCD ，且 PA＝AD ＝ AB＝ 2BC， M， N 分别为 PC， PB 的中点．求 BD 与平面 ADMN 所成的角θ.解以下图，以 A 点为坐标原点，AB， AD ， AP 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立空间直角坐标系，设 BC＝ 1，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ，D (0,2,0) ，则 N(1,0,1) ，→→→，所以 BD＝ (－ 2,2,0)，AD＝ (0,2,0)， AN＝ (1,0,1)设平面 ADMN 的法向量为n ＝ (x ， y ， z)，→y ＝ 0，n ·AD ＝ 0，则由得→x ＋ z ＝ 0，n ·AN ＝ 0取 x ＝ 1，则 z ＝－ 1，所以 n ＝ (1,0，－ 1)．→→－ 2 1BD ·n＝由于 cos 〈 BD ， n 〉＝＝－ ，→ 8× 22|BD ||n |→1所以 sin θ＝ |cos 〈 BD ， n 〉 |＝ .2又 0°≤ θ≤ 90°，所以 θ＝30°.12.如图，已知平行六面体 ABCD － A 1B 1C 1D 1 的底面 ABCD 是菱形， 且∠ C 1CB ＝∠ C 1CD ＝∠BCD ＝ 60°，当CD的值等于多少时，能使A 1C ⊥平面 C 1BD?CC 1CD解不如设＝x ， CC 1＝ 1，使 A 1C ⊥平面 C 1BD .则 A 1C ⊥C 1B ， A 1C ⊥ C 1 D ，—→ —→ → —→ —→ —→ —→ 而 C 1D ＝ C 1C ＋ CD ， A 1C ＝A 1D 1＋ D 1C 1＋ C 1C→ → —→ ＝AD ＋DC ＋ C 1C ，—→ —→由 A 1C ·C 1D ＝ 0，→ →—→—→ →—→ 2 → 2 ＋得( AD ＋DC ＋ C 1C) ·(C 1C ＋ CD)＝ C 1C － CD —→ → → →C 1C ·AD ＋CD ·AD ＝0，—→→ →→x － x 2注意到 C 1C ·AD ＋ CD ·AD ＝，2 22可得方程 1－ x 2＋x － x＝ 0，22解得 x ＝ 1 或 x ＝－ (舍 )，3所以当CD＝ 1 时，能使 A 1 C ⊥平面 C 1BD .CC 113．在直角梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，BC ＝ 2AD ＝ 2AB ＝ 22，∠ ABC ＝ 90°，如图 (1)，把△ABD 沿 BD 翻折，使得平面 ABD ⊥平面 BCD ，如图 (2) ．(1) 求证： CD ⊥ AB ；(2) 求 BC 与平面 ACD 所成角的正弦值．(1) 证明 由已知条件可得 BD ＝ 2， CD ＝2， CD ⊥ BD .∵平面 ABD ⊥平面 BCD ，平面 ABD ∩平面 BCD ＝BD ，∴CD ⊥平面 ABD .又∵ AB? 平面 ABD ，∴ CD ⊥AB.(2) 解 以 D 为坐标原点， DB 所在的直线为 x 轴， DC 所在的直线为y 轴，成立空间直角坐标系，如图．由已知条件可得 D(0,0,0) ，A(1,0,1) ， B(2,0,0) ，C(0,2,0) ，→ → ，－ 1)． CD ＝ (0，－ 2,0)，AD ＝(－1,0 设平面 ACD 的一个法向量为 n ＝ (x ， y ， z)，→ → ⊥n ，则CD ⊥ n ，AD→y ＝ 0，CD ·n ＝ 0，∴可得→x ＋ z ＝ 0.AD ·n ＝ 0，令 x ＝ 1，得平面 ACD 的一个法向量为 n ＝ (1,0，－ 1)．设 BC 与平面 ACD 所成的角为 θ，→∵BC ＝(－ 2,2,0)，→ |－ 2|1 ∴sin θ＝ |cos 〈 BC ， n 〉 |＝ 2×2 2＝ 2，∴BC 与平面 ACD 所成角的正弦值为12.三、研究与拓展14．正三角形 ABC 与正三角形 BCD 所在的平面相互垂直，则直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 ________．考点 向量法求解直线与平面所成的角题点 向量法解决直线与平面所成的角答案155分析 取 BC 的中点 O ，连接 AO ， DO ，以点 O 为坐标原点， OD ，OC ，OA 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，成立以下图的空间直角坐标系 O － xyz.设 BC ＝ 1，则 A 0， 0，3 ，2B 0，－ 1， 0 ，C 0， 1， 0 ，2 23 ，D 2 ，0，0→ →＝ 3，1， 0 ，所以 BA ＝ 1， 3 ，BD0，2 22 2→3，－1，0 .CD ＝2 2设平面 ABD 的法向量为 n ＝ (x ， y ， z) ，→n ·BA ＝ 0，则→n ·BD ＝ 0，132y＋2 z＝ 0，所以312x＋2y＝ 0，取 x＝ 1，则 y＝－ 3， z＝ 1，所以 n＝(1，－3，1)，→3＋ 31522所以 cos〈n，CD 〉＝5× 1＝5，π又直线与平面所成角的范围是0，2，所以直线 CD 与平面ABD 所成角的正弦值为15 5 .15．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝ AB＝ AC＝ 1， E，F 分别是 CC1，BC 的中点，AE⊥ A1B1， D 为棱 A1B1上的点．(1)证明： DF ⊥ AE；(2)能否存在一点 D ，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为14？若存在，说14明点 D 的地点，若不存在，说明原因．考点向量法求平面与平面所成的角题点向量法求平面与平面所成的角(1)证明∵ AE⊥ A1B1，A1B1∥ AB，∴ AB⊥ AE，又∵ AB⊥ AA1，AE ∩AA1＝ A，AE， AA1? 平面 A1ACC 1，∴AB ⊥平面 A1 ACC1，又∵ AC? 平面 A1ACC1，∴AB ⊥AC.以点 A 为坐标原点， AB， AC， AA1所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，成立以下图的空间直角坐标系A－ xyz，11 1则 A(0,0,0)， E 0， 1，2 ， F 2，2，0 ，A 1(0,0,1) ，B 1(1,0,1) ．—→ —→设 D (x 1,0,1)，则 A 1D ＝ λA 1B 1，且 λ∈ [0,1]，即( x 1,0,0)＝ λ(1,0,0) ， ∴D (λ， 0,1)，→ 11 ，－ 1∴DF ＝ － λ，，2 2→ 0， 1， 1 ，又AE ＝ 2→ → 1 1∴DF ·AE ＝ － ＝ 0，∴ DF ⊥ AE.2 214(2) 解 存在一点 D ，使得平面 DEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 14 .原因以下：设平面 DEF 的法向量为 n ＝ (x 2， y 2， z 2)，→n ·FE ＝ 0，则→n ·DF ＝ 0，→11 ， 1 → 1 1∵FE ＝ － ， 2 ，DF ＝ － λ， ，－ 1，2 2 2 21 1 1－ x 2＋ y 2＋ z 2＝ 0，222∴112－ λx 2＋ 2y 2－ z 2＝ 0，3x 2＝ 2 1－λz 2 ，即1＋ 2λy 2＝ 2 1－ λz 2，令 z 2 ＝ 2(1－ λ)，∴ n ＝ (3,1＋ 2λ， 2(1－ λ))．由题意可知平面 ABC 的法向量 m ＝ (0,0,1) ．∵平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为14，14∴|cos〈m，n〉 |＝|m·n|＝14，|m||n| 14|21－λ|14即9＋ 1＋ 2λ2＋ 4 1－λ2＝14，17∴λ＝2或λ＝4.7∵λ∈ [0,1] ，∴λ＝舍去．∴点 D 为 A1B1的中点．。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.3 空间向量基本定理 Word版含解析
.3.1.3 空间向量基本定理[对应学生用书P53]空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南1 000 m ，再往东600 m 处的某大厦5楼(每层楼高3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务．“人质”的隐藏地由华联超市“南1 000 m ”、“东600 m ”、“5楼”这三个量确定，设e 1是向南的单位向量，e 2是向东的单位向量，e 3是向上的单位向量．问题：请把“人质”的位置用向量p 表示出来．提示：p ＝1 000e 1＋600e 2＋14e 3.1．空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3.2．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任意一点P ，都存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得＝x OA ＋y OB ＋z OCOP .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量e 1，e 2，e 3不共面时，空间任何一向量才可以用e 1，e 2，e 3惟一表示，否则不可能表示．1．基底和基向量如果三个向量e 1、e 2、e 3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e 1、e 2、e 3线性表示，我们把{e 1，e 2，e 3}称为空间的一个基底，e 1，e 2，e 3叫做基向量．2．正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．1．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．[对应学生用书P54]基底的概念[例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．∴Error!此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．[一点通] 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个．但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底{a，b，c}下，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a ＝AB ，b ＝1AA，c ＝AD ，则x ＝1AB ，y ＝1AD ，z ＝AC ，a ＋b ＋c ＝1AC.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，a ＋b ＋c 也不共面，可以作为空间的基底．因为x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．答案：32．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA ＝e 1＋2e 2－e 3，OB＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC ＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA ，OB ，OC}能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量OD＝2e 1－e 2＋3e 3；若不能，请说明理由．解：假设OA 、OB 、OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x 、 y 使OA＝x OB ＋y OC成立．∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，∴e 1，e 2，e 3不共面，∴Error!此方程组无解，即不存在实数x 、y 使OA ＝x OB ＋y OC，∴OA ，OB ，OC不共面．故{OA ，OB ，OC}能作为空间的一个基底，设OD ＝p OA ＋q OB ＋z OC，则有2e 1－e 2＋3e 3＝p (e 1＋2e 2－e 3)＋q (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋z (e 1＋e 2－e 3)＝(p －3q ＋z )e 1＋(2p ＋q ＋z )e 2＋(－p ＋2q －z )e 3.∵{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，∴Error!解得Error!∴OD ＝17OA －5OB －30OC .用基底表示向量[例2] 如图所示，空间四边形OABC 中，G 、H 分别是△ABC 、△OBC 的重心，设OA ＝a ，OB ＝b ，OC＝c ，试用向量a 、b 、c 表示向量GH .[思路点拨] GH ＝OH －OG →用OD 表示OH →用OB、OC 表示OD ，用OA 、AG 表示OG →用AD 表示AG →用OD 、OA表示AD →用OB 、OC 表示OD[精解详析] GH ＝OH －OG ，∵OH ＝OD，23∴OH ＝×(OB ＋OC )＝(b ＋c )，231213OG ＝OA ＋AG ＝OA ＋AD23＝OA ＋(OD －OA )＝OA ＋×(OB ＋OC )23132312＝a ＋(b ＋c )，1313∴GH ＝(b ＋c )－a －(b ＋c )＝－a ，13131313即GH ＝－a .13[一点通] 用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量．(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．(3)在进行向量的拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则．3. 如图，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x 、y 、z 的值．(1)BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ；(2)AE ＝x AD ＋y AB＋z AA ' .解：(1)∵BD ' ＝BD ＋DD '＝BA ＋BC ＋DD '＝－AB ＋AD＋AA ' ，又BD ' ＝x AD ＋y AB＋z AA ' ，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE ＝AA ' ＋A E ' ＝AA ' ＋A C '' 12＝AA ' ＋(A B '' ＋A D '' )12＝AA ' ＋A B '' ＋A D '' 1212＝AD＋AB ＋AA ' 1212又AE ＝x AD ＋y AB＋z AA '∴x ＝，y ＝，z ＝1.12124．如图，四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设OA ＝a ，OC ＝b ，OP ＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：BF ，BE ，AE，EF .解：连接BO ，则BF ＝BP ＝(BO ＋OP )＝(c －b －a )＝－a －b ＋c .121212121212BE ＝BC ＋CE ＝－a ＋CP ＝－a ＋(CO ＋OP )＝－a －b ＋c .12121212AE ＝AP ＋PE ＝AO ＋OP ＋(PO ＋OC )＝－a ＋c ＋(－c ＋b )＝－a ＋b ＋c .12121212EF ＝CB ＝OA ＝a121212.空间向量基本定理的应用[例3] 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分．[思路点拨] 利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可．[精解详析] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，设点O 是AC 1的中点，则AO ＝1AC 12＝(AB＋BC ＋1CC )12＝(AB＋AD ＋1AA )，12设P ，M ，N 分别是BD 1，CA 1，DB 1的中点，则AP ＝AB ＋BP ＝AB ＋1BD12＝AB ＋(BA＋AD ＋1DD )12＝AB ＋(－AB ＋AD ＋1AA )＝(AB ＋AD ＋AA1)，1212同理可证：AM ＝(AB ＋AD ＋1AA )，AN ＝(AB ＋AD＋1AA )．1212由此可知，O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．[一点通] 用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论．5．求证：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以AC ＝AB ＋AD，1AB ＝AB ＋1AA，1AD ＝AD ＋1AA ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝(AB ＋AD )＋(AB ＋1AA)＋(1AD ＋1AA )＝2(AB ＋AD＋1AA )，又1AA ＝1CC ，AD ＝BC，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC＋1CC ＝1AC ，∴AC ＋1AB＋1AD ＝21AC .6．如图，M 、N 分别是四面体O ABC 的边OA 、BC 的中点，P 、Q 是MN 的三等分点，用向量OA 、OB 、OC 表示OP 和OQ.解：OP ＝OM ＋MP ＝OA ＋MN1223＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1223122312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .162312161313OQ ＝OM ＋MQ ＝OA ＋MN1213＝OA＋(ON －OM )＝OA ＋(ON －OA )1213121312＝OA＋×(OB ＋OC )＝OA ＋OB ＋OC .1313121316161．空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组{a ，b ，c }可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．2．空间任意三个不共面的向量a 、b 、c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底．3．由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是0.[对应课时跟踪训练(二十)] 1．空间中的四个向量a ，b ，c ，d 最多能构成基底的个数是________．解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有4组．答案：42.如图所示，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE＝OD＋x OB ＋y OA ，则x ＝________，y ＝________.12解析：∵AE ＝OE －OA＝OC－OA 12＝(OD＋DC )－OA 12＝OD＋AB －OA 1212＝OD＋(OB －OA )－OA 1212＝OD＋OB －OA ，121232∴x ＝，y ＝－.1232答案： －12323．已知空间四边形OABC ，其对角线为AC 、OB ，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G是MN 的中点，取{OA ，OB ，OC }为基底，则OG＝________.解析： 如图，OG ＝(OM ＋ON)12＝OM＋×(OB ＋OC )121212＝OA＋OB ＋OC 141414＝(OA＋OB ＋OC )．14答案：(OA＋OB ＋OC )144．平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，则x ＋y ＋z ＝________.解析：∵AC ' ＝AB ＋BC ＋CC ' ＝x AB＋2y BC －3z CC ' ，∴x ＝1,2y ＝1，－3z ＝1，即x ＝1，y ＝，z ＝－.1213∴x ＋y ＋z ＝1＋－＝.121376答案：765．设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为______(填写序号)．解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤6．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋β b ＋γc ，求α、β、γ的值．解：由题意a 、b 、c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对{α，β，γ}，使d ＝αa ＋β b ＋γc ，∴d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3.又∵d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴Error!解得Error!7.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 和A 1D 的一个三等分点，且＝，＝2，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示MN .AM MC 12A 1NND解：如图所示，连接AN ，则MN ＝MA ＋AN由ABCD 是平行四边形，可知AC ＝AB ＋AD＝a ＋b ，MA ＝－AC ＝－(a ＋b )．1313ND ＝1A D ＝(b －c )，1313AN ＝AD ＋DN ＝AD －ND ＝b －(b －c )＝(c ＋2b )，1313所以MN ＝MA ＋AN＝－(a ＋b )＋(c ＋2b )1313＝(－a ＋b ＋c )．138．如图所示，平行六面体OABC －O ′A ′B ′C ′，且OA ＝a ，OC ＝b ，OO '＝c ，用a ，b ，c 表示如下向量：(1) OB ' 、O B ' 、AC ' ；(2)GH(G 、H 分别是B ′C 和O ′B ′的中点)．解：(1)OB ′＝OB ＋BB ' ＝OA ＋OC ＋OO '＝a ＋b ＋c ，O B ' ＝O O ' ＋OB ＝O O ' ＋OA ＋OC ＝－c ＋a ＋b ＝a ＋b －c ，AC ' ＝AC ＋CC ′＝AB ＋AO ＋AA '＝OC ＋AA ' －OA＝b ＋c －a .(2)GH ＝GO ＋OH ＝－OG ＋OH＝－(OB′＋OC )＋(OB ' ＋OO ' )1212＝－(a ＋b ＋c ＋b )＋(a ＋b ＋c ＋c )1212＝(c －b )．12。
高中数学选修2-1-第三章 空间向量与立体几何 复习课件-苏教版
由题意知 DA1 是平面 ABD1 的一个法向量, DA1 =(1,0,1), DC1 是平面 BCD1 的一个法向量, DC1 =(0,1,1),
所以 cos
< DA1 , DC1 >=
DC1 DA1 DC1 DA1
=1 2
.
所以< DA1 , DC1 >=60°.即二面角 A-BD1-C 的大小为 60°.
3 AE-C 的大小为 π .
3
(1)求PB的长度;
(1)解:因为 AB 平行且等于 EC, 所以四边形 ABCE 是平行四边形,所以 BC∥AE, 又因为 BD⊥BC,所以 BD⊥AE, 所以 AE⊥FB,AE⊥FP, 即∠PFB 为二面角 P-AE-C 的平面角, BF= 3 ,PF=2 3 , 由余弦定理 BP2=BF2+PF2-2BF·PFcos∠BFP=9, 得 BP=3.
(2)P点到平面EFB的距离.
解:(2)设 n=(x,y,z)是平面 EFB 的单位法向量,即|n|=1,n⊥平面 EFB, 所以 n⊥ EF ,且 n⊥ BE .又 EF =(-a,a,0), BE =(0,-a,a),即
x
3,
x2 y2 ax ay
z2 0,
1,
得其中的一个解是
( 5 ,0, 2 5 ).
5
5
因为 N(1,1,0),所以 MN =(-1,1,-1),故点 N 到平面 MA1C1 的距离 d=| MN · n0|=1.
四、易错易误辨析 1.混淆向量与实数的运算性质致误 【典例4】 已知a,b都是非零向量,且向量a+3b与7a-5b垂直,向量a-4b与 7a-2b垂直,求向量a,b的夹角.
错解:由题意得
2019_2020学年高中数学第3章空间向量与立体几何章末复习课讲义苏教版选修2_1
第3章 空间向量与立体几何空间向量的基本概念及运算【例的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________．[解析] 容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[答案] ③④1．空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式．(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．1.如图，已知ABCD A ′B ′C ′D ′是平行六面体． 的34设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.32[连接BD ，则M 为BD 的中点， MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]空间向量的坐标运算【例2】 (1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝2x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥c . ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值． (1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)[解] ①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.熟记空间向量的坐标运算公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，1．加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2)． 2．数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. 3．向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. 4．向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算．2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]利用空间向量证明平行、垂直问题M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． [解] 以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD . (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD . 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD .利用空间向量证明空间中的位置关系1．线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． 3．线面平行：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；(3)利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．4．线面垂直：(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行； (2)利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． 5．面面平行：(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)转化为线面平行、线线平行问题． 6．面面垂直：(1)证明两个平面的法向量互相垂直； (2)转化为线面垂直、线线垂直问题．3．如图，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别在BB 1，DD 1上，且AM ⊥A 1B ，AN ⊥A 1D .(1)求证：A 1C ⊥平面AMN .(2)当AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3时，问在线段AA 1上是否存在一点P 使得C 1P ∥平面AMN ，若存在，试确定P 的位置．[解] (1)证明：因为CB ⊥平面AA 1B 1B ，AM ⊂平面AA 1B 1B ， 所以CB ⊥AM ，又因为AM ⊥A 1B ，A 1B ∩CB ＝B ， 所以AM ⊥平面A 1BC ，所以A 1C ⊥AM ，同理可证A 1C ⊥AN ， 又AM ∩AN ＝A ，所以A 1C ⊥平面AMN .(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13，所以线段AA 1上存在一点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .利用空间向量求空间角【例4】 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2) (1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CD B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．[解] (1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22， 所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD . 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H . 因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD .所以∠A ′HO 为二面角A ′CD B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155.所以二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155.用向量法求空间角的注意点1．异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．2．直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．3．二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．4．在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC . (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F BC A 的余弦值．[解] (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB .在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC .以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77，所以二面角F BC A 的余弦值为77.。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 3.2.3
3.2.3 空间的角的计算学习目标 1.理解直线与平面所成角、二面角的概念.2.掌握向量法解决空间角的计算问题.3.体会空间向量解决立体几何问题的三步曲．知识点一 空间角的计算(向量法) 空间三种角的向量求法知识点二 向量法求线面角、二面角的原理 1．向量法求直线与平面所成角的原理2.向量法求二面角的原理1．两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(×)2．若向量n 1，n 2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|.(×) 3．直线与平面所成角的范围为⎝⎛⎭⎫0，π2.(×)类型一 求两条异面直线所成的角例1 如图，在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中，平面OBB 1O 1⊥平面OAB ，∠O 1OB ＝60°，∠AOB ＝90°，且OB ＝OO 1＝2，OA ＝3，求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值的大小．解 以O 为坐标原点，OA →，OB →的方向为x 轴，y 轴的正方向．建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，O 1(0,1，3)， A (3，0,0)，A 1(3，1，3)， B (0,2,0)，∴A 1B —→＝(－3，1，－3)， O 1A —→＝(3，－1，－3)． ∴|cos 〈A 1B —→，O 1A —→〉| ＝|A 1B —→·O 1A —→||A 1B —→ ||O 1A —→|＝|(－3，1，－3)·(3，－1，－3)|7×7＝17.∴异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.反思与感悟 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成角与异面直线所成角的区别．跟踪训练1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值．解 不妨设正方体的棱长为2，以D 点为坐标原点，分别取DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)，F (1,1,2)，则AE →＝(－1,0,2)，CF →＝(1，－1,2)， ∴|AE →|＝5，|CF →|＝6，AE →·CF →＝－1＋0＋4＝3. 又AE →·CF →＝|AE →||CF →|cos 〈AE →，CF →〉 ＝30cos 〈AE →，CF →〉， ∴cos 〈AE →，CF →〉＝3010，∴异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为3010. 类型二 求直线和平面所成的角例2 已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．解 以A 点为坐标原点，AB ，AA 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0，a,0)，A 1(0,0，2a )， C 1⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ， 方法一 取A 1B 1的中点M ， 则M ⎝⎛⎭⎫0，a2，2a ，连结AM ，MC 1， 有MC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，0，0，AB →＝(0，a,0)，AA 1—→＝(0,0，2a )．∴MC 1—→·AB →＝0，MC 1—→·AA 1—→＝0，∴MC 1—→⊥AB →，MC 1—→⊥AA 1—→，则MC 1⊥AB ，MC 1⊥AA 1， 又AB ∩AA 1＝A ，AB ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，∴MC 1⊥平面ABB 1A 1.∴∠C 1AM 是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．由于AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，AM →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，2a ， ∴AC 1—→·AM →＝0＋a 24＋2a 2＝9a 24，|AC 1—→|＝3a 24＋a 24＋2a 2＝3a ， |AM →|＝a 24＋2a 2＝32a ， ∴cos 〈AC 1—→，AM →〉＝9a 243a ×3a 2＝32. ∵〈AC 1—→，AM →〉∈[0°，180°]，∴〈AC 1—→，AM →〉＝30°， 又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°. 方法二 AB →＝(0，a,0)，AA 1—→＝(0,0，2a )， AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a .设侧面ABB 1A 1的法向量为n ＝(λ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AA 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0，2az ＝0，∴y ＝z ＝0.故n ＝(λ，0,0)． ∵AC 1—→＝⎝⎛⎭⎫－32a ，a 2，2a ，∴cos 〈AC 1—→，n 〉＝n ·AC 1—→|n ||AC 1—→|＝－λ2|λ|，∴|cos 〈AC 1—→，n 〉|＝12.又直线与平面所成的角在[0°，90°]范围内， ∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再进行换算．跟踪训练2 如图所示，已知直角梯形ABCD ，其中AB ＝BC ＝2AD ，AS ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AS ＝AB .求直线SC 与底面ABCD 的夹角θ的余弦值．解 由题设条件知，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AS 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．设AB ＝1，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)，∴AS →＝(0,0,1)， CS →＝(－1，－1,1)．显然AS →是底面ABCD 的法向量，它与已知向量CS →的夹角β＝90°－θ， 故有sin θ＝cos β＝AS →·CS →|AS →||CS →|＝11×3＝33，∵θ∈[0°，90°]， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 类型三 求二面角例3 在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ，E 是PD 的中点，求平面EAC 与平面ABCD 的夹角．解 方法一 如图，以A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设P A ＝AB ＝a ，AC ＝b ，连结BD 与AC 交于点O ，取AD 的中点F ，则C (b,0,0)，B (0，a,0)，BA →＝CD →.∴D (b ，－a,0)，P (0,0，a )， ∴E ⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，O ⎝⎛⎭⎫b2，0，0， OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． ∵OE →·AC →＝0， ∴OE →⊥AC →，∵OF →＝12BA →＝⎝⎛⎭⎫0，－a 2，0，OF →·AC →＝0， ∴OF →⊥AC →.∴∠EOF 为平面EAC 与平面ABCD 的夹角(或补角)． cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝22.又∵〈OE →，OF →〉∈[0°，180°]， ∴平面EAC 与平面ABCD 的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵P A ⊥平面ABCD ，∴AP →＝(0,0，a )为平面ABCD 的法向量， AE →＝⎝⎛⎭⎫b 2，－a 2，a 2，AC →＝(b,0,0)． 设平面AEC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2x －a 2y ＋a 2z ＝0，bx ＝0.∴x ＝0，y ＝z ，∴取m ＝(0,1,1)， cos 〈m ，AP →〉＝m ·AP →|m ||AP →|＝a 2·a ＝22.又∵〈m ，AP →〉∈[0°，180°]， ∴平面AEC 与平面ABCD 的夹角为45°.反思与感悟 1.当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.2.注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角．跟踪训练3 如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．解 (1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B —→＝(2,0，－4)，C 1D —→＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B —→，C 1D —→〉 ＝A 1B —→·C 1D —→|A 1B —→||C 1D —→|＝1820×18 ＝31010，又异面直线所成角的范围为⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1—→＝(0,2,4)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·AC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2， 所以n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的法向量． 同理，取平面ABA 1的法向量为n 2＝(0,1,0)． 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ， 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 所以平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.1．在一个二面角的两个半平面内，与二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________． 答案 ±156解析 由(0，－1，3)·(2，2，4)1＋9×4＋4＋16＝－2＋1210×24＝156，可知这个二面角的余弦值为156或－156. 2．已知a ，b 是异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是________． 答案 60°解析 AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1.∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∵异面直线所成的角是锐角或直角， ∴a 与b 所成的角是60°.3．已知在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值是________． 答案 23解析 以D 为坐标原点，分别以DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,2)， 故DB →＝(1,1,0)，DC 1—→＝(0,1,2)，DC →＝(0,1,0)， 设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令z ＝1，则y ＝－2，x ＝2， 所以n ＝(2，－2,1)．设直线CD 与平面BDC 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23.4．在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则PC 与平面ABCD 所成的角是________． 答案 30°解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0,0,1)，C (1，2，0)，PC →＝(1，2，－1)，平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1), 所以cos 〈PC →，n 〉＝PC →·n |PC →||n |＝－12，又因为〈PC →，n 〉∈[0°，180°]，所以〈PC →，n 〉＝120°，所以斜线PC 与平面ABCD 的法向量所在直线所成的角为60°，所以斜线PC 与平面ABCD 所成的角是30°.向量法求角(1)两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得，即cos θ＝|cos φ|. (2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得，即sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ.(3)二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角．一、填空题1．若直线l 1的方向向量与l 2的方向向量的夹角是150°，则l 1与l 2这两条异面直线所成的角为________． 答案 30°解析 异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以l 1与l 2这两条异面直线所成的角为180°－150°＝30°.2．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为________． 答案 45°或135°解析 cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝11×2＝22，即〈m ，n 〉＝45°.所以两平面所成的二面角为45°或135°.3．设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若〈a ，n 〉＝3π4，则l与α所成的角为________． 答案 π4解析 线面角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.∵〈a ，n 〉＝3π4，∴l 与法向量所在直线所成角为π4，∴l 与α所成的角为π4.4．已知在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB 1与ED 1所成角的余弦值为________．答案1010解析 ∵A (2,2,0)，B 1(2,0,2)，E (0,1,0)，D 1(0,2,2)， ∴AB 1—→＝(0，－2,2)，ED 1—→＝(0,1,2)， ∴|AB 1—→|＝22，|ED 1—→|＝5， AB 1—→·ED 1—→＝0－2＋4＝2，∴cos 〈AB 1—→，ED 1—→〉＝AB 1—→·ED 1—→|AB 1—→||ED 1—→|＝222×5＝1010，∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为1010. 5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为________． 答案63解析 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图．则D (0,0,0)，B (1,1,0)， B 1(1,1,1)．平面ACD 1的一个法向量为DB 1—→＝(1,1,1)． 又BB 1—→＝(0,0,1)，则cos 〈DB 1—→，BB 1—→〉＝DB 1—→·BB 1—→|DB 1—→||BB 1—→|＝13×1＝33.故BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱A 1B 1的中点，则直线AE 与平面BDD 1B 1所成角的正弦值为________． 答案1010解析 以A 1为坐标原点，A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，C (2,2,2)，E (1,0,0)，AC →＝(2,2,0)，AE →＝(1,0，－2)． ∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，则AC →＝(2,2,0)是平面BDD 1B 1的一个法向量．设直线AE 与平面BDD 1B 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈AC →，AE →〉|＝1010.7．在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为________． 答案 90°解析 以A 1为坐标原点，A 1C 1—→，A 1A —→的方向为y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1⎝⎛⎭⎫62，22，0，C 1(0，2，0)， B ⎝⎛⎭⎫62，22，1. ∴AB 1—→＝⎝⎛⎭⎫62，22，－1，C 1B —→＝⎝⎛⎭⎫62，－22，1，∴AB 1—→·C 1B —→＝64－24－1＝0，∴AB 1—→⊥C 1B —→.即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.8．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角的大小为________．答案 π6解析 如图所示，取AC 的中点O ，连结OB ，取A 1C 1的中点O 1，连结OO 1，以O 为坐标原点，OC ，OO 1所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，易得B (－3，0,0)，A (0，－1,0)，C 1(0,1,3)，B 1(－3，0,3)， ∴BB 1—→＝(0,0,3)，AB 1—→＝(－3，1,3)，AC 1—→＝(0,2,3)， 设平面AB 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1—→＝0，n ·AC 1—→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，2y ＋3z ＝0，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－3，233，设BB 1与平面AB 1C 1所成的角为θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∵sin θ＝|cos 〈BB 1—→，n 〉|＝233×433＝12，∴θ＝π6.9.如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠P AD ＝90°，且P A ＝AD ＝2，E ，F分别是线段P A ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________．答案36解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)．EF →＝(1,2，－1)， BD →＝(－2,2,0)，故cos 〈EF →，BD →〉＝243＝36.10．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值为________． 答案 23解析 如图，以点D 1为坐标原点，D 1A 1－D 1C 1，D 1D 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝a ，则AA 1＝2a ，所以D (0,0,2a )，C 1(0，a,0)，B (a ，a,2a )，C (0，a,2a )． 设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·DC 1—→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(－a ，－a ，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，a ，－2a )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝2z ，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，－1，－12， ∴CD →·n ＝(0，－a,0)·⎝⎛⎭⎫1，－1，－12＝a ， ∴cos 〈CD →，n 〉＝a a ·1＋1＋14＝23，设CD 与平面BDC 1所成角为α， ∴sin α＝23.二、解答题11．二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，求该二面角的大小． 解 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，CD →＝CA →＋AB →＋BD →. ∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉＝(217)2. ∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，又∵〈CA →，BD →〉∈[0°，180°]， ∴〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°.12．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是CC 1，D 1A 1，AB 的中点，求GA 与平面EFG 所成角的正弦值．解 如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)． ∴EF →＝(1，－2,1)， EG →＝(2，－1，－1)， GA →＝(0，－1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的一个法向量， 则由n ⊥EF →，n ⊥EG →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋z ＝0，2x －y －z ＝0，解得x ＝y ＝z .令x ＝1，得n ＝(1,1,1)． 设GA 与平面EFG 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈GA →，n 〉|＝|－1|1×3＝33，∴GA 与平面EFG 所成角的正弦值为33. 13.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C1D 1中，E 为AB 的中点．(1)求异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值； (2)求二面角A 1－EC －A 的余弦值．解 如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，A 1(1,0,1)， (1)BD 1—→＝(－1，－1,1)，CE →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，故cos 〈BD 1—→，CE →〉＝BD 1—→·CE →|BD 1—→||CE →|＝－123×52＝－1515， 又异面直线所在角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线BD 1与CE 所成的角的余弦值是1515. (2)因为DD 1⊥平面AEC ，所以DD 1—→为平面AEC 的一个法向量，DD 1—→＝(0,0,1)，设平面A 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，又A 1E —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1，A 1C —→＝(－1,1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·A 1E —→＝0，n ·A 1C —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，取n ＝(1,2,1)，所以cos 〈DD 1—→，n 〉＝11×6＝66，结合图形知，二面角A 1－EC －A 的余弦值为66. 三、探究与拓展14．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为________．答案 0解析 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|·cos π3－|OA →|·|OB →|·cos π3＝12|OA →|(|OC →|－|OB →|)＝0.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝0.15.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)证明：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．(1)证明 如图，以点A 为坐标原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，P (0,0,2)．可得PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，则PC →·AD →＝0，所以PC ⊥AD .(2)解 由(1)可得PC →＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)．设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·CD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0. 令z ＝1，可得n ＝(1,2,1)．又AD →＝(2,0,0)是平面P AC 的一个法向量，所以cos 〈AD →，n 〉＝AD →·n |AD →||n |＝66， 从而sin 〈AD →，n 〉＝306. 所以二面角A －PC －D 的正弦值为306. (3)解 由(2)可得CD →＝(2，－1,0)．设AE ＝h ，h ∈[0,2]，则E (0,0，h )，所以BE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，h . 所以cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →||CD →|＝3212＋h 2×5＝32，解得h＝1010，即AE＝1010.。
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3.2.2 空间线面关系的判定(二)——垂直关系学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系．知识点一 向量法判断线线垂直设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔a·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 知识点二 向量法判断线面垂直思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝⎛⎭⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝⎛⎭⎫3，2，32，则直线l 与平面α的位置关系是怎样的？如何用向量法判断直线与平面的位置关系？答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直线的方向向量与平面的法向量平行，所以直线l 与平面α垂直．判断直线与平面的位置关系的方法：(1)直线l 的方向向量与平面α的法向量共线⇒l ⊥α.(2)直线的方向向量与平面的法向量垂直⇒直线与平面平行或直线在平面内． (3)直线l 的方向向量与平面α内的两相交直线的方向向量垂直⇒l ⊥α.梳理 设直线l 的方向向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量μ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ(k ∈R )．知识点三 向量法判断面面垂直思考 平面α，β的法向量分别为μ1＝(x 1，y 1，z 1)，μ2＝(x 2，y 2，z 2)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？ 答案 x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0.梳理 若平面α的法向量为μ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为ν＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)． 判断下面结论的对错： 1．AP ⊥AB ；(√) 2．AP ⊥AD .(√)3.AP →是平面ABCD 的法向量．(√) 4.AP →∥BD →.(×)类型一 证明线线垂直例1 如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求证：AB 1⊥MN .证明 设AB 的中点为O ，连结OC ，作OO 1∥AA 1.以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OO 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A ⎝⎛⎭⎫－12，0，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，0， N ⎝⎛⎭⎫0，32，14，B 1⎝⎛⎭⎫12，0，1， ∵M 为BC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫14，34，0. ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－14，34，14，AB 1—→＝(1,0,1)，∴MN →·AB 1—→＝－14＋0＋14＝0.∴MN →⊥AB 1—→，∴AB 1⊥MN .反思与感悟 证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练1 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求证：AC ⊥BC 1.证明 ∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC ⊥BC ，AC ，BC ，C 1C 两两垂直．如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)， ∴AC →＝(－3,0,0)，BC 1—→＝(0，－4,4)， ∴AC →·BC 1—→＝0，∴AC ⊥BC 1.类型二 证明线面垂直例2 如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明 方法一 设正方体的棱长为2，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)， E (2,2,1)，F (1,1,2)． ∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1) ＝(－1，－1，1)． AB 1—→＝(2,2,2)－(2,0,0) ＝(0,2,2)，AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)． 而EF →·AB 1—→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ，AB 1⊂平面B 1AC ，AC ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .方法二 设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1—→＝b ，则EF →＝EB 1—→＋B 1F —→＝12(BB 1—→＋B 1D 1—→)＝12(AA 1—→＋BD →)＝12(AA 1—→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )，∵AB 1—→＝AB →＋AA 1—→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1—→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b ) ＝12(|b |2－|a |2＋0＋0)＝0. ∴EF →⊥AB 1—→，即EF ⊥AB 1， 同理，EF ⊥B 1C . 又AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1⊂平面B 1AC ，B 1C ⊂平面B 1AC ， ∴EF ⊥平面B 1AC .反思与感悟 用向量法证明线面垂直的方法及步骤 (1)基向量法：①设出基向量，然后表示直线的方向向量； ②找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示； ③利用数量积计算．(2)坐标法：①建立空间直角坐标系，将直线的方向向量用坐标表示； ②求平面内任意两条相交直线的方向向量或平面的法向量；③证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行． 跟踪训练2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，点P 为DD 1的中点．求证：直线PB 1⊥平面P AC .证明 如图，以D 为坐标原点，DC →，DA →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC →＝(1,0，－1)，P A →＝(0,1，－1)，PB 1—→＝(1,1,1)， B 1C —→＝(0，－1，－2)， B 1A —→＝(－1,0，－2)．PB 1—→·PC →＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥PC →，即PB 1⊥PC . 又PB 1—→·P A →＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， 所以PB 1—→⊥P A →，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，P A ，PC ⊂平面P AC ， 所以PB 1⊥平面P AC . 类型三 证明面面垂直例3 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .证明 由题意知直线AB ，BC ，B 1B 两两垂直，以点B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,1)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)， E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， 故AA 1—→＝(0,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，AC 1—→＝(－2,2,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫－2，0，12. 设平面AA 1C 1C 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AA 1—→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，－2x ＋2y ＝0.令x ＝1，得y ＝1，故n 1＝(1,1,0)． 设平面AEC 1的法向量为n 2＝(a ，b ，c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC 1—→＝0，n 2·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＋c ＝0，－2a ＋12c ＝0. 令c ＝4，得a ＝1，b ＝－1，故n 2＝(1，－1,4)． 因为n 1·n 2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .反思与感悟 证明面面垂直的两种方法(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练3 如图，底面ABCD 是正方形，AS ⊥平面ABCD ，且AS ＝AB ，E 是SC 的中点．求证：平面BDE ⊥平面ABCD .证明 设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AS ＝1，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AS →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则B (1,0,0)，D (0,1,0)，A (0,0,0)，S (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，12，连结AC ，设AC 与BD 相交于点O ，连结OE ，则点O 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0. 因为AS →＝(0,0,1)，OE →＝⎝⎛⎭⎫0，0，12， 所以OE →＝12AS →，所以OE →∥AS →.又因为AS ⊥平面ABCD ，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABCD .1．若直线l 1的方向向量为a ＝(2，－4,4)，l 2的方向向量为b ＝(4,6,4)，则l 1与l 2的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 因为a ·b ＝2×4＋(－4)×6＋4×4＝0， 所以l 1⊥l 2.2．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为μ＝(－2,0，－4)，则l 与α的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直 解析 ∵a ∥μ，∴l ⊥α.3．平面α的一个法向量为m ＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为n ＝(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是________．(填“平行”“垂直”) 答案 垂直解析 ∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0， ∴两法向量垂直，从而两平面垂直．4．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，ν＝(t,5,1)，则t 的值为________． 答案 5解析 ∵平面α与平面β垂直，∴平面α的法向量μ与平面β的法向量ν垂直， ∴μ·ν＝0，即(－1)×t ＋0×5＋5×1＝0，解得t ＝5.5．在菱形ABCD 中，若P A →是平面ABCD 的法向量，则下列等式中可能不成立的是________．(填序号)①P A →⊥AB →；②P A →⊥CD →；③PC →⊥BD →；④PC →⊥AB →. 答案 ④解析 由题意知P A ⊥平面ABCD ，所以P A与平面上的线AB，CD都垂直，①②正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面P AC，故PC⊥BD，③正确．证明垂直问题的方法：(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．一、填空题1．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝________. 答案10解析因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.2．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．答案－10解析因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1,2,4)·(x，－1，－2)＝0，解得x＝－10.3．已知直线l 的方向向量为e ＝(－1,1,2)，平面α的法向量为n ＝⎝⎛⎭⎫12，λ，－1(λ∈R )．若l ⊥α，则实数λ的值为________． 答案 －12解析 ∵l ⊥α，∴e ∥n ，∴－112＝1λ＝2－1，∴λ＝－12.4．已知点A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，P (x,0，z )，若P A ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为________． 答案 (－1,0,2)解析 由题意知AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，AP →＝(x ，－1，z )，又P A ⊥平面ABC ，所以有AB →·AP →＝(－1，－1，－1)·(x ，－1，z )＝0，得－x ＋1－z ＝0，① AC →·AP →＝(2,0,1)·(x ，－1，z )＝0，得2x ＋z ＝0，② 联立①②得x ＝－1，z ＝2，故点P 的坐标为(－1,0,2)．5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则下列结论成立的是________．(填序号)①CE ⊥BD ；②A 1C 1⊥BD ；③AD ⊥BC 1；④CD ⊥BE . 答案 ①②解析 以D 点为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0，1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，1)，C 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴CE →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1，AC →＝(－1,1,0)， BD →＝(－1，－1,0)，A 1D —→＝(－1,0，－1)，A 1A —→＝(0,0，－1)，∵CE →·BD →＝(－1)×12＋(－1)×⎝⎛⎭⎫－12＋0×1＝0， ∴CE ⊥BD .显然A 1C 1⊥BD ，故只有①②正确．6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，若AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)，则给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量；④AP →∥BD →.其中正确的结论是________．(填序号) 答案 ①②③解析 因为AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0， 则AB →⊥AP →，即AP ⊥AB ；AP →·AD →＝(－1)×4＋2×2＋0＝0， 则AP →⊥AD →，即AP ⊥AD ，又AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ， 故AP →是平面ABCD 的一个法向量．BD →＝AD →－AB →＝(4,2,0)－(2，－1，－4)＝(2,3,4)， 所以AP →与BD →不平行．7.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 的位置关系为________．答案 垂直解析 以D 点为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，依题意可得D (0,0,0)，P (0,1，3)，C (0,2,0)，A (22，0,0)， M (2，2,0)．∴PM →＝(2，2,0)－(0,1，3)＝(2，1，－3)， AM →＝(2，2,0)－(22，0,0)＝(－2，2,0)， ∴PM →·AM →＝(2，1，－3)·(－2，2,0)＝0， 即PM →⊥AM →，∴AM ⊥PM .8．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]．若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 答案 π2或π3解析 由题意得OP →⊥OQ →， ∴cos x ·(2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)＝0. ∴2cos 2x －cos x ＝0， ∴cos x ＝0或cos x ＝12.又∵x ∈[0，π]， ∴x ＝π2或x ＝π3.9．在△ABC 中，A (1，－2，－1)，B (0，－3,1)，C (2，－2,1)．若向量n 与平面ABC 垂直，且|n |＝21，则n 的坐标为________________． 答案 (－2,4,1)或(2，－4，－1)解析 据题意，得AB →＝(－1，－1,2)，AC →＝(1,0,2)．设n ＝(x ，y ，z )， ∵n 与平面ABC 垂直，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －x －y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4z ，x ＝－2z .∵|n |＝21，∴x 2＋y 2＋z 2＝21，解得z ＝1或z ＝－1. 当z ＝1时，y ＝4，x ＝－2； 当z ＝－1时，y ＝－4，x ＝2， ∴n ＝(－2,4,1)或n ＝(2，－4，－1)．10．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则(x ，y ，z )＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫407，－157，4 解析 AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4.BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0，且BP →·BC →＝3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.所以(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫407，－157，4. 二、解答题11.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是B 1B ，DC 的中点，求证：AE ⊥平面A 1D 1F .证明 设正方体的棱长为1，如图所示，以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，A 1D 1—→＝(－1,0,0)，D 1F —→＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1， ∴AE →·A 1D 1—→＝0×(－1)＋1×0＋12×0＝0，AE →·D 1F —→＝12－12＝0，∴AE →⊥A 1D 1—→，AE →⊥D 1F —→，即AE ⊥A 1D 1，AE ⊥D 1F ，又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， A 1D 1，D 1F ⊂平面A 1D 1F ， ∴AE ⊥平面A 1D 1F .12.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，用向量法证明：(1)平面A 1BD ∥平面CB 1D 1； (2)AC 1⊥平面A 1BD .证明 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1—→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标，设正方体的棱长为1.则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，A (1,0,0)，C 1(0,1,1)． (1)∴A 1D —→＝(－1,0，－1)， A 1B —→＝(0,1，－1)， D 1B 1—→＝(1,1,0)， D 1C —→＝(0,1，－1)，设平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1D —→＝0，n 1·A 1B —→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－z 1＝0，y 1－z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝－1，y 1＝1.∴平面A 1BD 的一个法向量为n 1＝(－1,1,1)． 设平面CB 1D 1的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·D 1B 1—→＝0，n 2·D 1C →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，y 2－z 2＝0.令y 2＝1，得x 2＝－1，z 2＝1， ∴n 2＝(－1,1,1)， ∴n 1＝n 2，即n 1∥n 2. ∴平面A 1BD ∥平面CB 1D 1. (2)又AC 1—→＝(－1,1,1)，∴AC 1—→∥n 1. ∴AC 1—→是平面A 1BD 的法向量， ∴AC 1⊥平面A 1BD .13.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝1，AD ＝3，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．求证：无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF .证明 以A 为坐标原点，AD →，AB →，AP →的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，P (0,0,1)，B (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，12，D ()3，0，0，设BE ＝x (0≤x ≤3)， 则E (x,1,0)，PE →·AF →＝(x,1，－1)·⎝⎛⎭⎫0，12，12＝0，即PE →⊥AF →. 所以当x ∈[0， 3 ]时都有PE ⊥AF ，即无论点E 在BC 边的何处，都有PE ⊥AF . 三、探究与拓展14．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是______． 答案 －3或1 解析 ∵|a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．(1)证明 以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )， A 1E —→＝(－a ，a ，e －a )， BD →＝(－a ，－a ，0)，A 1E —→·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E —→⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)解 设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DB →＝(a ，a,0)，DA 1—→＝(a,0，a )，DE →＝(0，a ，e )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝⎝⎛⎭⎫1，－1，ae ， 由平面A 1BD ⊥平面EBD ，得n 1⊥n 2， ∴2－a e ＝0，即e ＝a2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。