安徽省皖中名校联盟2020届高三数学10月联考试题 理

皖中名校联盟2020届高三10月联考数学试题卷（理科）考试说明：1.考查范围：集合与逻辑，函数与基本初等函数，导数与定积分，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数列（少量）。

2.试卷结构：分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)；试卷分值:150分，考试时间:120分钟。

3.所有答案均要答在答题卷上，否则无效。

考试结束后只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．命题“0||,4≥+∈∀x x R x ”的否定是（ ） A ．0||,4<+∈∀x x R xB ．0||,4≤+∈∀x x R x C ．0||,4000≥+∈∃x x R xD ．0||,4000<+∈∃x x R x2．已知}24|{},034|{2x y y Q x x x P -==<+-=，则=Q P I （ ）A ．)1,0[B ．)2,0[C ．]2,1(D ．)2,1(3．由曲线x y x y ==,3围成的封闭图形的面积为（ ）A ．125B ．31 C ．41 D ．21 4．已知向量AB 与AC 的夹角为3π，),(,3||,2||R AC AB AM AC AB ∈+===μλμλ，且⊥，则=μλ（ ） A ．61B ．6C ．41D ．45．设函数11)(2+-+=-x e e x f xx，则使得)1()2(+>x f x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ．)1,(-∞B ．),1(+∞C ．)1,31(-D ．),1()31,(+∞--∞Y6．“0≥a ”是“函数|)1(|)(x ax x f +=在区间),0(+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知数列}{n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且63132S a a =+，给出以下结论：①010=a ；②最小10S ；③127S S =；④019=S ． 其中一定正确的结论是（ ） A ．①②B ．①③④C ．①③D ．①②④8．函数||||ln 4x x x y =的图象大致是（ ）9．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且)(x f 的图象关于点)0,12(π-对称，则下列判断正确的是（ ）A ．要得到函数)(x f 的图象，只需将x y 2cos 2=的图象向右平移6π个单位B ．函数)(x f 的图象关于直线π125=x 对称 C ．当]6,6[ππ-∈x 时，函数)(x f 的最小值为2- D ．函数)(x f 在]3,6[ππ上单调递增 10．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，当10<<x 时，12)(-=xx f ，则=)9(log 2f （ ） A ．97-B ．8C ．10-D ．925-11．设函数,1,41|,12|)(1⎩⎨⎧>-≤-=+x x x x f x 若互不相等的实数r q p ,,满足),()()(r f q f p f ==则r q p 222++的取值范围是（ ）A ．)16,8(B ．)17,9(C ．)16,9(D ．)235,217(12．已知b ax x x f ++=2)(，集合}0)(|{≤=x f x A ，集合}3)]([|{≤=x f f x B ，若∅≠=B A ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]2,6[-B ．]6,32[C ．]32,2[-D ．]32,6[--第П卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上．13．已知平面向量b a ρρ,满足32|2|,1||,2||=+==b a b a ρρρρ，则b a ρρ与的夹角为___________．14．函数)(x f y =的图象和函数0(log >=a x y a 且)1≠a 的图象关于直线x y -=对称，且函数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =的图象必过定点___________． 15．=︒-︒+︒-︒︒⋅︒)5.7cos 5.7(sin 35.7tan 15tan 15tan 5.7tan 22___________．16．若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线xe y =的切线，则=b ___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． 17．（本小题满分10分）已知0>m ，命题:p 函数)2(log )(mx x f m -=在]1,0[上单调递减，命题:q 不等式1||>-+m x x 的解集为R ，若q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列}{n a 的公差为2，且1,1,1421---a a a 成等比数列．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b (*N n ∈)，n S 是数列}{n b 的前n 项和，求使152<n S 成立的最大正整数n ．19．（本小题满分12分）ABC ∆中，c b a ,,分别是内角C B A ,,所对的边，且满足02cos cos =+-+cba C B ． （1）求角C 的值；（2）若2=b ，AB 边上的中线3=CD ，求ABC ∆的面积．20．（本小题满分12分）已知函数a xax x f 21)(-+=，当]3,1[∈x 时，)(x f 的最小值为0． （1）求a 的值；（2）若0>a ，不等式02)2(≥⋅-xxk f 在区间]1,1[-上有解，求k 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数x axxx f ln 1)(+-=． （1）若0)(≥x f 对0>∀x 恒成立，求a 的值； （2）求证：2221...3221)1ln(nn n -+++>+（*N n ∈）．22．（本小题满分12分）已知函数2)1()(ax e x x f x--=．（1）讨论)(x f 的单调性；（2）若函数)(x f 有两个零点分别记为21,x x ． ①求a 的取值范围； ②求证：0)2(21<+'x x f ．皖中名校联盟2020届高三10月联考 数学试题卷（理科）参考答案一、选择题二、填空题 13．3π 14．)4,1(- 15．2-16．0或1三、解答题17．解：命题:p 令mx x u -=2)( )(x u Θ在]1,0[∈x 上单减 1>∴m又0)(>x u 02)1()(min >-==∴m u x u 21<<∴m ………3分 命题:q ⎩⎨⎧<≥-=-+mx m mx m x m x x ,,2||1||>-+m x x Θ的解集为R ∴只需1|)|(min >=-+m m x x ………6分q p ∧Θ为假命题，q p ∨为真命题 ∴p 、q 一真一假（1）若p 真q 假，则无解m m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>≤<<0121 （2）若p 假q 真，则20121≥∴⎪⎩⎪⎨⎧>>≥≤m m m m m 或 综上所述，),2[+∞∈m . ………10分18．解：（1）由题意知，)1)(1()1(4122--=-a a a 即)5)(1()1(1121+-=+a a a 解得31=a故12+=n a n ，*N n ∈………5分（2）由)321121(21)32)(12(1+-+=++=n n n n b n得n n a a a a S ++++=...321 )321121...71515131(21+-+++-+-=n n )32131(21+-=n )32(3+=n n由152)32(3<+n n解得6<n故所求的最大正整数n 为5. ………12分 19．解：（1）02cos cos =+-+cba C B Θ由正弦定理得0sin sin sin 2cos cos =+-+CB AC B 即0)sin sin 2(cos sin cos =+-⋅+⋅B A C C B 从而0cos sin 2)sin(=⋅-+C A C B 即0cos sin 2sin =⋅-C A A 又ABC ∆中，0sin >A 故21cos =C 得3π=C .………6分（2）由)(21CB CA CD +=得)60cos 222(41322︒⋅⋅⋅++=a a从而2=a 或a=)(4舍-故360sin 2221sin 21=︒⨯⨯⨯=⋅=∆C ab S ABC .………12分 20．解：（1）22211)(xax x a x f -=-=' 31≤≤x Θ 912≤≤∴x①当91≤a 时，0)(≤'x f 恒成立，)(x f 在[]3,1上单减 02313)3()(min =-+==∴a a f x f 31-=∴a②当191<<a 时，)(,0)(,)1,1[x f x f a x <'∈时单减；)(,0)(,]3,1(x f x f ax >'∈时单增 02)1()(min =-+==∴a a a af x f 0=-∴a a 0=∴a （舍）或1=a （舍）③当1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在]3,1[上单增021)1()(min =-+==∴a a f x f 1=∴a综上所述：131=-=a a 或. ………6分（2）由（1）可知：21)(,1-+==xx x f a 0222122)2(≥⋅--+=⋅-xx xxxk k f ，122)2(2+-1≤x xk 要使不等式在]1,1[-上有解，则只需max 2]122)2[(+-1≤x x k令12122)21(),221(2122+-=+-≤≤=t t t t x x x ，其最大值为1，1≤∴k . (12)分21. 解：（1）22222211)1()(xa x x a ax a x x a x a ax x f -=-=+---=' ①当0<a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 在),0(+∞上单增 0)1()(,)1,0(=<∈∴f x f x 时当，不满足题意 ②当>a 时，单减时)(,0)(,)1,0(x f x f ax <'∈；单增时)(,0)(,),1(x f x f ax >'+∞∈0ln 11)1()(min ≥--==∴a a a f x f令a a a g ln 11)(--=，则22111)(aaa a a g -=-='单增时)(,0)(,)1,0(a g a g a >'∈；单减时)(,0)(,),1(a g a g a <'+∞∈0)1()(=≤∴g a g ∴由0ln 11≥--a a解得1=a . ………6分 （2）由（1）：取等号）当且仅当1(11ln =-≥x xx 令)(11*∈>+=N n nn x ，则有111ln +>+n n n 122->n n Θ 21111ln n n n n n ->+>+∴ 21ln )1ln(n n n n ->-+∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->-+>->-∴2221ln )1ln(212ln 3ln 101ln 2ln n n n n M 累加得*)(1...3221)1ln(222N n nn n ∈-+++>+，原命题得证. ………12分 22. 解：（1）)2(2)1()(a e x ax e x e x f xxx-=--+='（i ）当0≤a 时，02>-a e x单减时)(,0)(,)0,(x f x f x <'-∞∈；单增时)(,0)(,),0(x f x f x >'+∞∈（ii ）当210<<a 时， 单增时)(,0)(,))2ln(,(x f x f a x >'-∞∈；单减时)(,0)(,)0),2(ln(x f x f a x <'∈单增时)(,0)(,),0(x f x f x >'+∞∈（iii ）当21=a 时，0)(≥'x f 恒成立，)(x f 在R 上单增 （iv ）当21>a 时，单增时)(,0)(,)0,(x f x f x >'-∞∈；单减时)(,0)(,))2ln(,0(x f x f a x <'∈单增时)(,0)(,)),2(ln(x f x f a x >'+∞∈综上所述：0≤a 时，)(x f 在上单调递增上单调递减),0(,)0,(+∞-∞；210<<a 时，)(x f 在),0())2ln(,(,)0),2(ln(+∞-∞和上单调递减a a 上单调递增；21=a 时，)(x f 在R 上单调递增； 21>a 时，)(x f 在)),2(ln()0,(,))2ln(,0(+∞-∞a a 和上单调递减上单调递增.………4分（2）①1)0(-=f（i ）当0=a 时，xe x xf )1()(-=，只有一个零点，舍去（ii ）当0<a 时，单增单减在),0(,)0,()(+∞-∞x f 01)0()(min <-==∴f x f 又0)1(>-=a f ，取)2ln(1a b b -<-<且 则2)1()(ab e b b f b--=2)1(2ab b a --->)12(22-+-=b b a0)12)(1(2>-+-=b b a)(x f ∴存在两个零点 （iii ）当210<<a 时， )(x f 在),0(+∞上单调递增，0≤x 时，0)(<x f )(x f ∴不可能有两个零点，舍去（iv ）当21=a 时，)(x f 在)(,x f R 上单增不可能有两个零点，舍去 （v ）当21>a 时，)(x f 在上单增）（上单减）（),2(ln ,)2ln,0(+∞a a 0≤x 时，0)(<x f )(x f ∴不可能有两个零点，舍去综上所述：0<a （本题也可用分离参数法）………8分②由①知：0<a ，)(x f 在上单增上单减),0(,)0,(+∞-∞ ∴要证0)2(21<+'x x f 即证0221<+x x ，即证021<+x x 令)()()(x f x f x g --=，则)()()(x f x f x g -'+'=')2)(()2(a e x a e x x x --+-=-)(x x e e x --= 当0>x 时，单增)(,0)(x g x g >' 不妨设210x x >>，则)0()(1g x g >，即0)()(11>--x f x f 又)()(21x f x f =Θ )()(12x f x f ->∴)(x f Θ在上单减)0,(-∞ 12x x -<∴ 021<+∴x x，原命题得证. ………12分。