线性代数模拟试题一

线性代数模拟试题一
一、填空题（每小题2分，共50分）
1．=-===ij n ij n a D a a D 则若, (1) ；
2．()的系数是中在函数32
1
1
12x x
x x x
x
x f ---= (2) 3．对于方程⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+-=-++-=+-.
,,013222321321321x x x x x x x x x ，其系数矩阵A = (3) ；
4．排列()()32121 --n n n 的逆序数等于 (4) ；
5．n 阶行列式共有 （5） 项，正负号由 （6） 决定. 6．对于行列式|A |，当i=j ，时，
=∑=n
k kj ki
A a
1
（7） .
7．用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0和 （8） .
8．若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当 （9） 时，方程组有无穷多解．
9．矩阵与行列式有本质的区别，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是 （10） ，它的行数和列数可以不同.
10．只有当 （11） 时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律. 11．若A 方阵可逆，则|A -1|= （12） .
12．对于分块对角阵⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=s A A A A
2
1
，|A |= （13） . 13．矩阵等价具有的三个性质为： 反身性 、 （14） 、 传递性 . 14. 矩阵的初等行变换包括 （15） 、k r i ⨯、 （16） 三种.
15．把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，非0行的行数就是矩阵的秩，可逆矩阵的秩等于 （17） ，故可逆矩阵又称为满秩矩阵 .
16．奇次线性方程组Ax =0，当 （18） 只有0解，非奇次线性方程组Ax=b ，当 （19） 有唯一解，当 （20） 没解.
17．用m 阶初等矩阵E m (i (k ))左乘矩阵A =(a ij )m x n ，相当于对A 实施 （21） 变换. 18．{
}
b x a x a x a x x x x n n n T
=+++==π 221121),,,(称为叫做n 维向量空间中 （22） . 19．向量组只包含一个向量a 时，当 （23） 时该向量组线性相关. 20．矩阵的秩与向量组的秩的关系为： （24） .
21．要证明某一向量组是方程组AX =0的基础解系，需要证明三个结论:（a ）该组向量都是方程组的解、（b ） （25） 、（c ）方程组的任何一个解都可以由该向量组线性表示. 二、计算题（每小题10分，共30分）
1．计算行列式的值.4
3
2
1
321
3213211
x
a a a a a a x a a a a a x
a a a a a x
D n n n n
=+ 2．求下述矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=111211
120A . 3．研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα
三、证明题（第1题10分，第2题10分） 1．用数学归纳法证明
n
n
n n n n n
n n n n
n
n x x x x x x x x x x x x x x x x D
3212
2322212
23222
13211111
----=
()()
()2,121≥-∏+++=≤<≤n x x x x x j i n i j n
.
1 ,1,)3( .1,,,)2( ;
,,,)1( :. 0 ,,, 2111而且组合系数之和为个解的线性组合都可以表示为这的任一解方程组个线性无关的解的是方程组线性无关证明解系的一个基础是对应奇次方程组的一个解是非齐次线性方程组设+-=+-=++==-***-*-*r n X B AX r n B AX AX B AX . r n r n r n ηξηξξηηξηηξ
参考答案
一、填空题（每小题2分，共50分）
(1)a n )1(-; (2)-2;
(3)1
1
1
312
121
----; (4)
()2
1-n n ; (5)!n ;
(6) 下标排列的逆序数; (7) |A |;
(8)方程组中未知数个数与方程个数相等； (9)n r ≤； (10)数表；
(11) 第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时； (12) 1
-A ； (13)s A A A 21； (14)对称性； (15)j i r r ↔； (16) j i kr r +； (17)阶数； (18) ()n A R =； (19) ()n B R A R ==)(； (20)())(B R A R ≠；
(21) 第二种初等行变换k r i ⨯； (22)超平面； (23) 0=α； (24)相等；
(25)向量组线性无关；
二、计算题（每小题10分，共30分）
1．计算行列式的值.4
3
2
1
321
3213211
x
a a a a a a x a a a a a x a a a a a x
D n n n n
=+ 解：列都加到第一列，得将第1,,3,2+n ：
x
x x x x
x x a
a a a
a
a a a
a a a
a a D
n
i i
n
n i i
n
n i i
n
n
i i n
3
2
12
1
212
1
11
∑∑∑∑====+++++=
提取第一列的公因子，得：
.1
111)(3
2
2
2
211
1x
x
x x a
a a a a a a a a a D n
n n n
i i
n
∑=++=
加到最后一列，得
倍列的将第列，倍加到第列的列，将第倍加到第列的将第２)(1,3)(12)(11a a a n ---
a x
a a a a a
x a a a x
a D
n
n
i i n x ------+=∑=+
231
22
1
2
1
1
1
1
01
001
0001)( .)()(1
1
∏∑==-+=n
i i n
i i a a x x
2．求下述矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=111211
120A . 解：.),(施行初等行变换作分块矩阵E A
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100111010211001120⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----↔100111001120010211~21r r ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+110100001120010211~13r r ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+110100111020010211~32r r ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--⨯-+110100111020210011~31)2(r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯110100212121010210011~212r ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⨯-+110100212121010252321001~21)1(r r .1102121212523211
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=∴-A
3．研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα
解1：⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++000201520321,0321332211k k k k k k 即令ααα
整理得到)(.
0253,
022,03212131*⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=+-=+-=-k k k k k k k
.
,,,)(,02
530221
01)(321线性相关从而
必有非零解线性方程组的系数行列式线性方程组ααα*∴=---* 解2：
,201,520,321321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ααα ,253022101
),,(321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==∴αααA 矩阵
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=000220101253022101~初等行变换A .,,,32)(321线性相关故向量组ααα<=A R。