概率论章节作业答案

第一章随机事件与概率

一、单项选择题

1.掷一枚骰子，设A ={出现奇数点}，B ={出现1或3点}，则下列选项正确的是

( B )

.

A.AB ={出现奇数点}

B. AB ={出现5点}

C. B ={出现5点}

D. A B =Ω

2.设A 、B 为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是 ( A ).

A. ()A B B A +-=

B. ()A B B A B A AB +-=-=-

C. ()A B B A B -+=+

D.AB AB A +=

3.将一枚匀称的硬币投掷两次，令A i ={第i 次正面向上}（i =1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为 ( D ).

A.1212A A A A

B.12A A

C.12A A

D.12A A

4.某人向一目标射击3次，设A i 表示“第i 次射击命中目标”（i =1，2，3），则3次都没有命中目标表示为 ( A ).

A.123A A A

B.123A A A ++

C.123A A A

D.123A A A

5.设A 与B 为互为对立事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式中错误的是

( A

).

A.(|)0P A B =

B. (|)0P B A =

C. ()0P AB =

D. ()1P A B =

6.设事件A 与B 相互独立,P (A )=0.2, P (B )=0.4, 则(|)P A B = ( D ).

A. 0.2

B. 0.4

C. 0.6

D. 0.8

7.已知事件A 与B 互不相容, P (A )>0, P (B )>0, 则

( C ).

A.()1P A B =

B.()()()P AB P A P B =

C. ()0P AB =

D.()0P AB >

8.设P (A )=0, B 为任一事件, 则 ( C ).

A.A =Φ

B.A B ⊂

C.A 与B 相互独立

D. A 与B 互不相容

9.已知P (A )=0.4, P (B )=0.5, 且A B ⊂,则P (A |B )= ( C ).

A. 0

B. 0.4

C. 0.8

D. 1

10.设A 与B 为两事件, 则AB = ( B ).

A.A B

B. A B

C. A B

D. A B

11.设事件A B ⊂, P (A )=0.2, P (B )=0.3,则()P A B = ( A ).

A. 0.3

B. 0.2

C. 0.5

D. 0.44

12.设事件A 与B 互不相容, P (A )=0.4, P (B )=0.2, 则P (A|B )=

( D ).

A. 0.08

B. 0.4

C. 0.2

D. 0

13.设A , B 为随机事件, P (B )>0, P (A |B )=1, 则必有 ( A ).

A.()()P A B P A =

B.A B ⊂

C. P (A )=P (B )

D. P (AB )=P (A )

14.从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为 ( A ).

A. 0.4

B. 0.2

C. 0.25

D. 0.75

15.某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为 ( A ).

A.37

B.0.4

C. 0.25

D.16 16.某种动物活20年的概率为0.8，活25年的概率为0.6，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是 ( B ).

A. 0.48

B. 0.75

C. 0.6

D. 0.8

17.将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为 ( A ).

A. 0.125

B. 0.25

C. 0.5

D. 0.4

18.一批产品的合格品率为96%，而合格品中有75%是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为 ( A ).

A. 0.72

B. 0.75

C. 0.96

D. 0.78

19.设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为 ( C ).

A. 710

B. 44710

C. 47410

C C D. 4710⨯ 20.设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为 ( C ).

A. 810

B. 38310

C C C. 33810 D. 38310C 21.某人打靶的命中率为0.4，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为 ( C ).

A. 20.4

B. 30.6

C. 22350.40.6C

D. 23250.40.6C

22.随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为 ( D ).

A.15615()66C

B.156151()66

C - C.15651()66C D.651()6- 23.把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为

(A ).

A. 19

B. 12

C. 23

D. 13 24.从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到

的4个数字完全不同的概率为( A ).

A.

5

18

B.

4!

6!

C.

4

4

4

6

A

A

D.

4

4!

6

25.某人每次射击命中目标的概率为p(0

( D ).

A. p2

B. (1-p)2

C. 1-2p

D. p(1-p)

二、填空题

1.一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为18/35.

2.甲乙两人，每人扔两枚均匀硬币，则两人所扔硬币均未出现正面的概率为1/16.

3.设袋中有5个红球、3个白球和2个黑球，从袋中任取3个球，则恰好取到1个红球、1个白球和1个黑球的概率为0.25 .

4.从数字1，2，…，10中有放回地任取4个数字，则数字10恰好出现两次的概率为0.0486.

5.甲乙丙三人各自独立地向一目标射击一次，三人的命中率分别是0.5，0.6，0.7，则目标被击中的概率为0.94.

6.甲袋中装有两白一黑共3个球，乙袋中装有一白两黑共3个球，从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，则取到白球的概率为5/12.

7.设事件A与B互不相容，P(A)=0.2, P(B)=0.3, 则()

P A B

=0.5.

8.设事件A与B相互独立，且P(A+B)=0.6, P(A)=0.2, 则P(B)=0.5.

9.设()0.3,(|)0.6

P A P B A

==，则P(AB)=0.42.

10.设

11

()()(),()(),()0

46

P A P B P C P AB P AC P BC

======，则P(A+B+C)=

5/12.

11.已知P(A)=0.7, P(A-B)=0.3, 则()

P AB=0.6.

12.某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好

命中3次的概率为0.25.

13.已知P (A )=0.4, P (B )=0.8, P (B|A )=0.25, 则P (A|B )=0.125.

14.设111(),(|),(|)432

P A P B A P A B ===，则()P A B =1/3. 15.一批产品的废品率为4%，而正品中的一等品率为60%，从这批产品中任取一件是一等品的概率为0.576.

16.甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮，甲、乙击中飞机的概率分别为0.4，0.5，则飞机至少被击中一炮的概率为0.7.

三、计算题

1.设P (A )=0.4, P (B )=0.2, (|)0.3P B A =, 求P (AB )以及P (A |B ).

解:由(|)0.3P B A =得:()0.3,()

P AB P A =即()()0.31()P B P AB P A -=-, 解得:P (AB )=0.02. 从而, ()0.02(|)0.1()0.2

P AB P A B P B =

==.

2.已知,()0.2,()0.3,A B P A P B ⊂==求：(1)(),()P A P B ；(2)P (AB )；(3)()P AB ；

(4) ()P A B ；(5)P (B -A ).

(1)由概率的性质，知()1()0.8,P A P A =-=()1()0.7P B P B =-=；

(2)因为A B ⊂，所以AB A =，P (AB )=P (A )=0.2； (3)()P AB =P (A -AB )=P (A )-P (AB )=P (A )-P (A )=0；

(4) 因为A B ⊂，所以A B B = , ()P A B =P (B )=0.3；

或者，()P A B =P (A )+P (B )-P (AB )=0.2+0.3-0.2=0.3；

3.若事件A 与B 互不相容，P (A )=0.6, P (A+B )=0.9, 求：(1)()P AB ；(2)(|)P A B ；

(3)()P AB .

解:(1) 因A 与B 互不相容，故AB =Φ，P (AB )=0，所以()P AB =1-P (AB )=1；

(2) 因A 与B 互不相容，由加法公式：P (A+B )=P (A )+P (B )，得P (B )=0.3，从而 (|)P A B =()()()0.661()0.77()

P AB P A P AB P B P B -===-； (3) ()P AB =1()1()10.90.1P AB P A B -=-+=-=.

4.已知事件A 与B 相互独立，且P (A )=0.4, P (A+B )=0.6, 求(1)P (B )；(2) ()P AB ；

(3)P (A|B ).

解：(1)因为事件A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B )，

()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B +=+-=+-

0.6=0.4+P (B )-0.4P (B )，解得：P (B )=13

； (2) 因为事件A 与B 相互独立，所以A 与B 也相互独立，故()P AB =4()()15

P A P B =

； (3) 因为事件A 与B 相互独立，所以P (A|B )=P (A )=0.4.

四、应用题 1.一批产品共有50个，其中40个一等品、6个二等品、4个三等品，现从中任取3个产品，求3个产品中至少有2个产品等级相同的概率.

解：设A “3个产品中至少有2个产品等级相同”，A “3个产品等级都不同”，由古典概率定义，得111406435012()0.049245

C C C P A C ==≈，从而 ()10.0490.951P A =-=.

2.10把钥匙中有3把能打开门，现从中任取2把，求能打开门的概率.

解：A “取出2把钥匙能打开门”，由古典概率知：

1123732108()15

C C C P A C +==. 3.将5双不同的鞋子混放在一起，从中任取4只，求这4只鞋子至少能配成一双的概率.

解：A “4只鞋子中至少能配成一双”，则A “4只鞋子都不同”.由古典概率得：41111522224108()21

C C C C C P A C ==，故13()1()21P A P A =-=. 4.从0，1，2，3这4个数中任取3个进行排列，求取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数的概率.

解：A “排成的数是三位数且是偶数”，A 0“排成的三位数末位是0”，A 2“排成的三位数末位是2”，则A =A 0+A 2，且A 0与A 2互不相容，因为

230342!1(),3!4C P A C ==11222341(),3!6

C C P A C == 所以，015()()()12

P A P A P A =+=. 5.一批零件共100个，次品率为10%，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求下列事件的概率：

(1)第三次才取得合格品；

(2)如果取得一个合格品后就不再取零件，在三次内取得合格品.

解：设A i “第i 次取到合格品”（i =1,2,3），则

(1)第三次才取到合格品的概率为：

12312131210990()()(|)(|)0.00831009998

P A A A P A P A A P A A A ==⨯⨯≈. (2)A “三次内取得合格品”，则112123A A A A A A A =++，所求概率为： 112123()()()()P A P A P A A P A A A =++

1121121312()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++

90109010990100100991009998

=+⨯+⨯⨯0.9993.≈ 6.盒子中有8个红球和4个白球，每次从盒子中任取一球，不放回地抽取两次，试求：(1) 两次取出的都是红球的概率；(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率；(3)第二次取到红球的概率.

解：A 1“第一次取出的是红球”，A 2“第二次取出的是红球”，则

(1)由乘法公式得，两次取出的都是红球的概率为：

121218714()()(|)121133P A A P A P A A ==

⨯=；

(2)在第一次取出白球的条件下，第二次取出红球的概率为：218(|)11

P A A =

； (3)由全概率公式得，第二次取到红球的概率为： 2121121()()(|)()(|)P A P A P A A P A P A A =+

7.某工厂有三台设备生产同一型号零件，每台设备的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而各台设备的废品率分别是0.05，0.04，0.02，今从全厂生产的这种零件中任取一件，求此件产品是废品的概率.

解：设A i “第i 台设备生产的零件”(i =1，2)，B “产品是废品”，由题意知：P (A 1)=25%，P (A 2)=35%，P (A 3)=40%，P (B |A 1)=0.05, P (B |A 2)=0.04, P (B |A 3)=0.02,由全概率公式得，产品是废品的概率为：

112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++

25%0.0535%0.0440%0.020.0345=⨯+⨯+⨯=.

8.两台车床加工同一种零件，加工出来的零件放在一起，已知第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02，且第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍.

(1)求任取一个零件是合格品的概率；

(2)如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率.

解：设B “零件是合格品”，A “第一台车床加工的零件”，则A “第二台车床加工的零件”，由题意知：21(),()33

P A P A ==. (1)由全概率公式得：()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

21(10.03)(10.02)0.97333

=⨯-+⨯-≈； (2)由贝叶斯公式得，如果取出的是废品，求它是由第二台车床加工的概率为：

10.02()()(|)3(|)0.252.921()()13

P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====-- 9.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,假设男人女人各占一半.现随机地挑选一人，求：

(1)此人恰是色盲的概率是多少？

(2)若随机挑选一人，此人是色盲，问他是男人的概率多大？

(3)若随机挑选一人，此人不是色盲，问他是男人的概率多大？

解：设B “色盲患者”，A “随机挑选一人是男人”，由题设知：

11(),(),(|)5%,(|)0.25%22

P A P A P B A P B A ====，则 (1)由全概率公式得，随机挑选一人是色盲的概率为：

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+

115%0.25%0.0262522

=⨯+⨯=； (2)由贝叶斯公式得，随机选一人是色盲，他是男人的概率为：

15%()()(|)2(|)0.952()()0.02625

P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈； (3)由贝叶斯公式得，随机选一人不是色盲，他是男人的概率为：

195%()()(|)2(|)0.48781()0.97375()

P AB P A P B A P A B P B P B ⨯===≈-. 10.现有10张考签，其中4张是难签，甲、乙、丙三人抽签考试(取后不放回)，甲先乙次丙最后，求下列事件的概率：

(1)甲乙都抽到难签；

(2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签；

(3)甲乙丙都抽到难签；

(4)证明：甲乙丙抽到难签的机会均等.

解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙抽到难签”，则

(1)甲乙都抽到难签的概率为：432()()(|)10915

P AB P A P B A ==

⨯=； (2)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率为：

644()()(|)10915P AB P A P B A ==⨯=； (3)甲乙丙都抽到难签的概率为：

4321()()(|)(|)109830

P ABC P A P B A P C AB ==

⨯⨯=； (4)由古典概率知，甲抽到难签的概率为：4()0.410P A ==. 由全概率公式得，乙抽到难签的概率为：

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+43640.4109109

=⨯+⨯=. 丙抽到难签的概率为：

()()(|)()(|)()(|)()(|)P C P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB P AB P C AB =+++ 4326434636541098109810981098

=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=0.4. 得，P (A )=P (B )=P (C )=0.4，所以，甲乙丙抽到难签的机会均等，各占40%.

11.三个人向同一敌机射击，设三人命中飞机的概率分别为0.4，0.5和0.7.若三人中只有一人击中，飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机必被击落.求飞机被击落的概率.

解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且

0()(10.4)(10.5)(10.7)0.09P A =-⨯--=，

1()0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P A =⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=, 2()0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P A =⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=,

3()0.40.50.70.14P A =⨯⨯=.

由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====.

故，由全概率公式得，飞机被击落的概率为：

00112233()()(|)()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++ 0.0900.360.20.410.60.1410.458=⨯+⨯+⨯+⨯=.

12.在上题中，假设三人的射击水平相当，命中率都是0.6，其他条件不变，再求飞机被击落的概率.

解：设A i 表示“三人中恰有i 人击中飞机”，i =0，1，2，3.B “飞机被击落”. A 0, A 1, A 2, A 3构成完备事件组，且由贝努里公式得：

00303()0.60.40.064P A C =⨯⨯=，1

213()0.60.40.288P A C =⨯⨯=， 2223()0.60.40.432P A C =⨯⨯=，3333()0.60.216P A C =⨯=.

由题设知：0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P B A P B A P B A P B A ====. 故由全概率公式得，飞机被击落的概率为：

3

0()()(|)i i i P B P A P B A ==∑

0.06400.2880.20.4320.60.21610.5328=⨯+⨯+⨯+⨯=

13.已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：

(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；

(2)一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率.

解：设A “产品是合格品”，B “经检查产品被判为合格品”，且由题意知：P (A )=95%, ()195%5%,(|)10.020.98,(|)0.03P A P B A P B A =-==-==.则

(1)由全概率公式得，任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为：

()()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A =+ 95%0.985%0.030.9325=⨯+⨯=；

(2)由贝叶斯公式得，一个经检查被判为合格的产品，它确实是合格品的概率为：

()0.950.98

(|)0.9984()0.9325

P AB P A B P B ⨯=

=≈. 14.一个工人看管三台机床，在一小时内机床不需要工人看管的概率第一台为0.9，第二台为0.8，第三台为0.7，且三台机床是否需要看管彼此独立.求在一小时内三台机床中最多有一台需要工人看管的概率.

解：设A i “第i 台机床需要看管”，i =1，2，3. “三台机床中最多有一台需要工人看管”表示为123123123123A A A A A A A A A A A A +++，且这4个事件两两互不

相容，由加法与独立性知，所求的概率为：

123123123123()P A A A A A A A A A A A A +++

123123123123()()()()P A A A P A A A P A A A P A A A =+++

123123123123()()()()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A =+++

0.10.80.70.90.20.70.90.80.30.90.80.70.902=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

15.加工某一零件共需经过三道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别是2%，3%，5%.假定各道工序是互不影响的，问加工出来的零件的次品率是多少？

解：设A i “第i 道工序加工出次品”，i =1，2，3.则加工出来的零件是次品表示为A 1+A 2+A 3，且A 1，A 2，A 3相互独立，从而123,,A A A 也相互独立. 所求概率为：

123123123(++)1()1()()()P A A A P A A A P A P A P A =-=-

1(12%)(13%)(15%)0.09693=----=.

16.甲、乙、丙三人独立地破译一密码，他们各自能破译出的概率分别是0.4，0.6，0.7，求此密码被破译的概率.

解：设A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙破译出密码”，则A+B+C 表示“密码被破译”，且A ，B ，C 相互独立，从而,,A B C 也相互独立，故所求概率为：

(++)1()1()()()P A B C P ABC P A P B P C =-=- 1(10.4)(10.6)(10.7)0.928=----=.

17.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，各在两批中随机取一粒，求： (1)两粒种子都能发芽的概率； (2)至多有一粒种子能发芽的概率； (3)至少有一粒种子能发芽的概率.

解：设A ，B 分别表示“甲、乙种子发芽”，由题设知：

()0.8,()0.7,()10.80.2,()10.70.3P A P B P A P B ===-==-=.

(1)两粒种子都能发芽的概率为：()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=；

(2)至多有一粒种子能发芽的概率为：

()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.80.30.20.70.20.30.44=⨯+⨯+⨯=；

(3)至少有一粒种子能发芽的概率为：

()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-

0.80.70.80.70.94=+-⨯=.

18.一批产品有70%的一级品，进行重复抽样检查，共抽取5件样品，求： (1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1； (2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率p 2； (3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率p 3.

解：该问题是参数p =0.7的5重贝努里试验，由贝努里公式得：

(1)取出5件样品中恰有2件一级品的概率p 1=2

2350.70.30.1323C ⨯⨯=；

(2)取出5件样品中至少有2件一级品的概率为：

p 2=5

5520.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005145510.70.30.70.30.96922C C -⨯⨯-⨯⨯=；

(3)取出5件样品中至少有一件一级品的概率为：

p 3=5

5510.70.3k k k k C -=⨯⨯∑=005510.70.30.99757C -⨯⨯=.

19.一射手对一目标独立地射击4次,若至少命中一次的概率为80

81

, 求射手射击一次命中目标的概率.

.解：设射手射击一次命中目标的概率为p ，由贝努里定理知，4次射击中至少有一次命中目标的概率为：41(1)p --，由题设知：

4801(1)81

p --=

，解得：23p =.

20.一射手对一目标独立地射击, 每次射击命中率为p , 求射击到第4次时恰好两次命中的概率.

解：射手射击到第4次恰好有两次命中目标，即第四次命中，而前三次中恰有一次命中，由贝努里定理知，所求概率为：

1

2223(1)3(1)P pC p p p p =-=-.

五、证明题

1.设0

()()()()()

(|)()1()1()()

P AB P A AB P A P A P B P A B P A P B P B P B --=

===--， 所以，(|)(|)P A B P A B =.

充分性若(|)(|)P A B P A B =，则

()()()()()

()1()1()()

P AB P AB P A AB P A P AB P B P B P B P B --===

--， 对上式两端化简，得：()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立

2.证明条件概率的下列性质：

(1)若P (B )>0，则0(|)1,(|)1,(|)0P A B P B P B ≤≤Ω=Φ=；

(2)若A 与B 互不相容，()0P C >，则(|)(|)(|)P A B C P A C P B C =+ ； (3)(|)1(|)P A B P A B =-. 证：(1)因为()

(|)()

P AB P A B P B =

，而0()()P AB P B ≤≤，所以，0(|)1P A B ≤≤， 且()()(|)1()()P B P B P B P B P B ΩΩ=

==，()()

(|)0()()

P B P P B P B P B ΦΦΦ===； (2)若A 与B 互不相容，则AC 与BC 也互不相容，从而

()()()

(|)(|)(|)()()

P AC BC P AC P BC P A B C P A C P B C P C P C +=

==+ ；

(3)由性质(2)得：(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ ，又A A =Ω ，由性质(1)知，

(|)1P B Ω=，所以，(|)(|)1P A B P A B +=，即(|)1(|)P A B P A B =-

第二章随机变量及其概率分布 一、单项选择题

1.设随机变量X 的分布律为 则P {X <1}=

( C ).

A. 0

B. 0.2

C. 0.3

D. 0.5 2.设随机变量X 的概率分布为 则a =

( D ).

A. 0.2

B. 0.3

C. 0.1

D. 0.4

3.设随机变量X 的概率密度为2,1

(),0,1

c

x f x x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩则常数c =

( D ).

A. 1-

B.

12 C. -1

2

D. 1 4.设随机变量X 的概率密度为3

,01

(),0,ax x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它

则常数a =

( D ).

A.

14 B. 1

2

C. 3

D. 4 5.下列函数中可作为某随机变量的概率密度函数的是 (A ).

A.2100

,1000,

100x x x ⎧>⎪

⎨⎪≤⎩ B.

10

,0

0,0

x x

x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ C. 1,020,x -≤≤⎧⎨⎩其它 D. 1

13

,2

220,

x ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它

6.设函数()f x 在区间[,]a b 上等于sin x ，而在此区间外等于0；若()f x 可以作为某连续型随机变量的概率密度函数，则区间[,]a b 为 ( A ).

A. [0,]2π

B. [0,]π

C. [,0]2π-

D. 3[0,]2π

7.下列函数中，可以作为某随机变量X 的分布函数的是 ( C ).

A. 0,

00.3,01

()0.2,121,2x x F x x x <⎧⎪≤<⎪

=⎨≤<⎪⎪≥⎩

B. 0.5,0()0.8,011,1x x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩

C. 0,00.1,05

()0.6,56

1,6x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ D. 0,2()sin ,021,0x F x x x x ππ⎧<-⎪⎪⎪

=-≤<⎨⎪≥⎪⎪

⎩

8.设()F x 是随机变量X 的分布函数，则 ( B ). A. ()F x 一定连续 B. ()F x 一定右连续 C. ()F x 是不增的 D. ()F x 一定左连续

9.设()()F x P X x =≤是随机变量X 的分布函数，则下列结论错误的是(D ).

A.()F x 是定义在(,)-∞+∞上的函数

B.lim ()lim ()1x x F x F x →+∞

→-∞

-=

C.()()()P a X b F b F a <≤=-

D.对一切实数x ，都有0<()F x <1

10.设随机变量的概率分布为2

()(),(1,2,3...)3

k P X k a k ===，则常数a =( B ).

A. 1

B. 1

2

C. 2

D. 12-

11.已知随机变量X 的分布律为

()F x 是X 的分布函数，则F (2.5)=

( B ). A. 0.7 B. 0.8

C. 0.1

D. 1

12.随机变量

X 的概率密度

2,01

()0,

x x f x <<⎧=⎨

⎩其它，则11

{}22

P X -

≤≤=( A ). A.14 B.13 C.12 D.3

4

13.已知随机变量X 的分布律为 若

随

机

变

量

Y =X 2

，

则

P {Y =1}=

( C ).

A. 0.1

B. 0.3

C. 0.4

D. 0.2 14.设随机变量X ~B (4, 0.2)，则P {X >3}=

( A ).

A. 0.0016

B. 0.0272

C. 0.4096

D. 0.8192

15.设随机变量X ~N (1，4)，Y =2X +1，Y ~ ( C). A. N (1, 4) B. N (0, 1) C. N (3, 16) D. N (3, 9) 16.设2~(,)X N μσ，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则()P a X b ≤≤= ( D ). A.()()b a Φ-Φ B.()()b a Φ+Φ C.2

2

(

)(

)b a μ

μ

σ

σ

--Φ-Φ D.(

)(

)b a μ

μ

σ

σ

--Φ-Φ

17.设X ~N (-1，4)，()x Φ是N (0, 1)的分布函数，则P (-2

A.1

2()12

Φ- B.(0)(2)Φ-Φ- C.1(2)2Φ- D.(2)(0)Φ-Φ

18.设X ~N (0，1)，()x ϕ是X 的概率密度函数，则(0)ϕ= (C ). A. 0 B. 0.5

C.

D. 1 19.设X 服从均匀分布U[0，5]，Y =3X +2，则Y 服从 ( B ). A. U[0, 5] B. U[2, 17] C. U[2, 15] D. U[0, 17] 20.某种商品进行有奖销售，每购买一件有0.1的中奖率.现某人购买了20件该商品，用随机变量X 表示中奖的件数，则X 的分布为 ( D ).

A.正态分布

B.指数分布

C.泊松分布

D.二项分布 21.设X 服从参数2λ=的泊松分布，()F x 是X 的分布函数，则下列正确的选项是 ( B ).

A.2(1)F e -=

B.2(0)F e -=

C.P (X =0)=P (X =1)

D.2(1)2P X e -≤= 22.设X 服从参数λ的泊松分布，且2

(1)(3)3

P X P X ==

=，则λ= ( C ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

二、填空题

1.若2()1P X x β≤=-,1()1P X x α≥=-,其中x 1

2.设随机变量X 的概率分布为

记Y =X 2, 则P (Y =4)=0.5.

3.若X 是连续型随机变量, 则P (X =1)=0.

4.设随机变量X 的分布函数为F (x ), 已知F (2)=0.5, F (-3)=0.1, 则

(32)P X -<≤=0.4.

5.设随机变量X

的分布函数为212

()x

t F x e

dt --∞

=

,则其密度函数为.

6.设连续型随机变量X 的分布函数为0,0()sin ,021,2

x F x x x x ππ⎧⎪<⎪

⎪

=≤<⎨⎪

⎪

≥⎪⎩, 其密度函数为

()f x ,则()6

f π

=1/2.

7.设随机变量X 的分布函数为1,

0()0,

x e x F x x -⎧-≥=⎨

<⎩, 则当x >0时, X 的概率密

度()f x =1..

8.设随机变量X 的分布律为

则(01)P X ≤≤=0.6.

9.设随机变量X ~N (3, 4), 则(45)P X <<=0.148. (其中(1)0.8413,(0.5)0.6915Φ=Φ=)

10.设随机变量X 服从参数为6的泊松分布, 写出其概率分布律P(X=K)=6K/K! K=0，1，2，3.

11.若随机变量X ~B (4, 0.5), 则(1)P X ≥=15/16.

12.若随机变量X ~U (0, 5),且Y =2X ,则当010y ≤≤时, Y 的概率密度()Y f y =1/10. 13.设随机变量X ~N (0, 4)，则(0)P X ≥=0.5.

14.设随机变量X ~U (-1, 1)，则1

(||)2

P X ≤=0.5.

15.设随机变量X 在[2, 4]上服从均匀分布，则(23)P X <<=0.5.

16.设随机变量X ~N (-1, 4)，则1

~2

X Y +=

N(0，1). 17.设随机变量X 的分布律为(),0,1,2, (3)

k a

P X k k ===，则a =2/3.

18.设连续型随机变量X 的概率密度为1,02

()0,

kx x f x +<<⎧=⎨⎩其它，则k =-1/2.

19.若随机变量X ~N (1, 16)，Y =2X -1，则Y ~N(1，64). 20.若随机变量X ~U (1, 6)，Y =3X +2，则Y ~U(5，20). 三、计算题

1.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0

(),011,1x F x x x x <⎧⎪

=≤<⎨⎪≥⎩

，求X 的概率密度

函数.

解：由分布函数与概率密度函数之间的关系()()F x f x '=知，当0

2()()2f x x x '==，

当1x ≥或0x ≤时，()f x =0，所以，X 的概率密度为2,01

()0,x x f x <<⎧=⎨⎩

其它.

2.设X 服从参数p =0.2的0-1分布，求X 的分布函数及P (X <0.5). 解：X 的分布律为

当0x <时，()()F x P X x =≤=0；

当01x ≤<时，()()F x P X x =≤=(0)0.8P X ==；

当1x ≥时，()()F x P X x =≤=(0)(1)0.80.21P X P X =+==+=.

所以，X 的分布函数为0,

0()0.8,011,1x F x x x <⎧⎪

=≤<⎨⎪≥⎩

；而P (X <0.5)= P (X =0)=0.8.

3.设随机变量X ~U (a , b )，求X 的密度函数与分布函数.