概率论课后作业及答案
1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件
=A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}.
2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件
=A {球的最小号码为1}.
3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}.
4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再
从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件
=A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}. 答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现.
}),(),,({T H H H A =;
}),(),,({T T H H B =;
}),(),,(),,({H T T H H H C =.
2) 由题意,可只考虑组合,则
?
??
??
?=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω;
{})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A .
3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则
???
?
?????
?????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1(
Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A .
4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则
{}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω;
{}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =.
5) ???
?
??????????=)6,6(,),2,6(),1,6()6,2(,),2,2(),1,2()6,1(,),2,1(),1,1(
Ω;
{})1,6(),1,4(),1,2(),6,1(),4,1(),2,1(=A ;
?
?????=)6,6(),4,6(),2,6(),5,5(),3,5(),6,4(),4,4(),2,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(B .
注: 也可如下表示:
??
????????????=)6,6()6,2(,),2,2()6,1(,),2,1(),1,1( Ω;
{})6,1(),4,1(),2,1(=A ;
{})6,6(),5,5(),6,4(),4,4(),5,3(),3,3(),6,2(),4,2(),2,2(=B .
2. 一个工人生产了n 个零件,以事件i A 表示“他生产的第i 个零件是正品”)1(n i ≤≤.试用n A A A ,,,21 表示下列事件:
1) 没有一个零件是次品； 2) 至少有一个零件是次品；
3) 只有一个零件是次品； 4) 至少有两个零件不是次品.
答案: 1) n
i i A 1=; 2) n
i i A 1
=; (亦即:全部为正品的对立事件)
3))]([1
1 n i n i
j j j i A A =≠=?; 4) )])(([)(1
11 n i n
i
j j j i n i i A A A =≠==??.
3.设A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件: 1）A 发生;
2）只有A 发生;
3）A 与B 发生而C 不发生; 4）三个事件都发生;
5) 三个事件中至少有一个发生; 6) 三个事件中至少有两个发生; 7) 三个事件中恰好发生一个; 8) 三个事件中恰好发生两个; 9) 三个事件都不发生;
10) 三个事件中不多于两个发生; 11) 三个事件中不多于一个发生.
解:1) A ; 2) C B A ; 3) C AB ; 4) ABC ; 5) C B A ??; 6) BC A C B A C AB ABC ???
(AC BC AB ??= B A C A C B ??=) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件);
7) C B A C B A C B A ??; 8) BC A C B A C AB ??; 9) C B A (=C B A ??);
10）ABC (=C B A ??)(等价说法:至少有一个不发生.);
11) C B A C B A C B A C B A ??? (=B A C A C B ??)(即:至少有两个不发生).
4. 试把事件n A A A ??? 21表示成n 个两两互不相容事件之并. 答案: n n A A A A A A A A A 11321211-???? .
7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.
解: 所有可能情况为7
9种,则所求概率为 77
99
A p =.
9. 设甲袋中有a 只白球b 只黑球,乙袋中有c 只白球d 只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.
解: 所有可能情况有))((d c b a ++种,则所求概率为 )
)((d c b a bc
ad p +++=
.
11. 从n 双尺码不同的鞋子中任取r 2(n r <2)只,求下列事件的概率: 1) 所取r 2只鞋子中没有两只成对; 2) 所取r 2只鞋子中只有两只成对; 3) 所取r 2只鞋子恰好配成r 对. 解: 样本空间可考虑有??
?
??r n 22种可能结果,古典概型,则所求概率分别为 1) ??
? ????? ?????? ??=
r n r n p r 22]12[221??
? ?????? ??=r n r n r
22222;
2) ?
??
????? ?????? ??--???? ?????? ??=-r n r n n p r 22]12[221221222??? ??????? ??--=-r n n r n r 222
2212
2;
3) ??? ????? ?????? ??=
r n r n p r 22]22[3??
? ?????
??=r n r n 22.
12. 设有n 个人,每人都被等可能地分配到)(n N N ≥个房间中的任一间.求下列事件的概率:
1) 指定的n 间房里各住一人; 2) 恰有n 间房,其中各住一人.
解: 所有可能情况为n N 种,则所求概率分别为
1) 1!n n n n A n p N N ==; 2) 2!n N n n N n n A p N N
??? ???==.
13. 甲乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.
解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球): W 甲,
W B B 甲乙甲, W B B B B 甲乙甲乙甲, W B B B B B B 甲乙甲乙甲乙甲,
① 当b 为偶数时,则所求概率为
211-+?-+-?+++=
b a a
b a b b a b b a a p 甲 4
332211-+?-+-?-+-?-+-?++b a a b a b b a b b a b b a b a
a
a a
b a b b a b ?+?+-+-?+++112211
)2()1()1(1[-+?-+-++=
b a b a b b b a a ])1()2()1(!a
a b a b a b ?+-+?-+++ .
② 当b 为奇数时,则所求概率为
211-+?-+-?+++=
b a a
b a b b a b b a a p 甲 4
332211-+?-+-?-+-?-+-?++b a a b a b b a b b a b b a b 12121
b b a
a b a b a a -++??++-++
)2()1()1(1[-+?-+-++=
b a b a b b b a a ])
1()2()1(!+-+?-+++a b a b a b .
17.口袋中有12-n 只白球,n 2只黑球,一次取出n 只球,发现都是同色球,问这种颜色是
黑色的概率为多少?
解: 记事件}{个球为同一种颜色所取n A =, }{个球全为黑球所取n B =, 要求 =)|(A B P ?
则 )()()|(A P AB P A B P =??
? ??-??? ??+??? ??-?
??
??-??? ??=n n n n n n n n n n 14]212[142
?
??
??+??? ??-?
?? ??=n n n n n n 2122!
!)!2()!1(!)!12(!!)!2(n n n n n n n n n ?+-?-?=
32=.
18. 设M 件产品中有m 件废品,从中任取两件.
1) 在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率; 2) 在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率.
解: 1) 记事件},{有废品任取两件=A , },{均为废品任取两件=B ,则所求概率为 )()()|(1A P AB P A B P p =
=)
()
(A P B P =
??? ????? ??--??? ????? ??=22122M m M M m ??
? ??--??? ???
?? ??=222m M M m 121---=m M m .
2) 记事件},{有正品任取两件
=C ,},{有一正品一件废品任取两件=D ,则所求概率为
)()()|(2C P CD P C D P p ==)()(C P D P =??
? ????? ??-?
?
? ????? ?????? ??-=221211M m M m m M
??
? ??-??? ??-?=
22)(m M m M m 12-+=m M m .
19. 袋中有黑、白球各一个,一次次从中摸球,如果摸到白球,则放回白球,且再加入一个白球,直至摸到黑球为止.求摸了n 次都没有摸到黑球的概率.
解: 记事件i A :第i 次摸到白球, n i ,,2,1 =, 要求: =)(21n A A A P ? 由计算概率的乘法定理,则所求概率为
=)(21n A A A P )(1A P )|(12A A P ?)|(213A A A P ?)|(11-n n A A A P
1433221+????=
n n 1
1+=n .
21.某射击小组有20名射手,其中一级射手4人,二级8人,三级7人,四级1人,各级射手能通过选拔进入比赛的概率依次为0.9,0.7,0.5,0.2.求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.
解: 记事件=B {所选射手能进入比赛}, =i A {所选射手为第i 级}, 4,3,2,1=i . 已知 204)(1=
A P , 208)(2=A P , 207)(3=A P , 20
1)(4=A P , 9.0)|(1=A B P , 7.0)|(2=A B P , 5.0)|(3=A B P , 2.0)|(4=A B P .
用全概率公式,则所求概率为 ∑=?=4
1)|()()(i i i A B P A P B P
2.020
15.02077.02089.0204?+?+?+?=
645.0=.
23.甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%,35%,40%,并且在各自的产品中,废品各占5%,4%,2%.从它们的产品中任取一个恰好是废品,问此废品是甲、乙、丙生产的概率各为多少?
解: 记事件321,,A A A 表示所取产品分别是甲、乙、丙机器所生产; 事件=B {所取产品是废品}. 要求:=)|(B A P i ? (3,2,1=i ) 已知 25.0)(1=A P , 35.0)(2=A P , 40.0)(3=A P ,
05.0)|(1=A B P , 04.0)|(2=A B P , 02.0)|(3=A B P .
则 ∑=?=3
1)|()()(i i i A B P A P B P
02.04.004.035.005.025.0?+?+?=0345.0=.
由贝叶斯公式,则所求概率分别为 )|(1B A P )
()(1B P B A P =
)()|()(11B P A B P A P ?=
0345.005.025.0?=3623.06925
≈=, )|(2B A P )
()|()(22B P A B P A P ?=
4058.06928
≈=, )|(3B A P )
()|()(33B P A B P A P ?=
2319.06916≈=.
24.有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.如果他乘火车、轮船、汽车,则迟到的概率分别是1/4,1/3,1/12;而乘飞机不会迟到.可他迟到了,问他是乘火车来的概率为多少?
解: 记事件4321,,,A A A A 分别表示朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来.
事件=B {朋友迟到}. 要求:=)|(1B A P ?
已知 3.0)(1=A P , 2.0)(2=A P , 1.0)(3=A P , 4.0)(4=A P ,
41)|(1=
A B P , 31)|(2=A B P , 12
1
)|(3=A B P , 0)|(4=A B P . 则 ∑=?=4
1
)|()()(i i i A B P A P B P
04.012
1
1.031
2.041
3.0?+?+?+?
=15.0=. 由贝叶斯公式,则所求概率为
)|(1B A P )()|()(11B P A B P A P ?=5.015
.0413.0=?
=
.
25. 装有)3(≥m m 个白球和n 个黑球的罐子中丢失一球,但不知其颜色.现随机地从罐中摸取两个球,结果都是白球,求丢失的是白球的概率.
解: 记事件=A {丢失白球},=B {任取两个球都是白球}.要求:=)|(B A P ?
由 )
|()()|()()
|()()()()|(A B P A P A B P A P A B P A P B P AB P B A P ?+??=
=
, 已知n m m A P +=
)(, n
m n A P +=)(, )|(A B P ??? ??-+?
??
??-=2121n m m )2)(1()2)(1(-+-+--=n m n m m m ,
)|(A B P ??
? ??-+?
?? ??=212n m m )2)(1()1(-+-+-=n m n m m m .
则所求概率为
=)|(B A P )
2)(1()
1()2)(1()2)(1()
2)(1()
2)(1(-+-+-?
++-+-+--?+-+-+--?
+n m n m m m n m n n m n m m m n m m n m n m m m n m m
2
2
-+-=
n m m .
27. 一架轰炸机袭击1号目标,另一架袭击2号目标,击中1号目标的概率为0.8,击中2号目标的概率为0.5,求至少击中一个目标的概率.
解: 记事件=i A {击中i 号目标}, 2,1=i .要求:=?)(21A A P ? 方法一: =?)(21A A P )()()(2121A A P A P A P -+
)()()()(2121A P A P A P A P ?-+=
90.05.08.05.08.0=?-+=.
方法二: =?)(21A A P )(121A A P ?-)(121A A
P -= )()(121A P A P ?-=
90.0)5.01()8.01(1=-?--=.
29.今有甲、乙两名射手轮流对同一目标进行射击,甲、乙命中的概率分别为21,p p ,甲先射,谁先命中谁得胜.问甲、乙两人获胜的概率各为多少?
解: 记事件=i A {第i 轮甲命中目标}, =i B {第i 轮乙命中目标}, ,2,1=i . 则
{甲获胜} ???=322112111A B A B A A B A A , 所以 =}{甲获胜P )(322112111 ???A B A B A A B A A P
+++=)()()(322112111A B A B A P A B A P A P
+????+??+=)()()()()()()()()(322112111A P B P A P B P A P A P B P A P A P
+?-?-+?-?-+=12211211)]1()1[()1()1(p p p p p p p
)1()1(1211p p p -?--=2
1211
p p p p p ?-+=.
由于 {乙获胜} ???=332211221111B A B A B A B A B A B A , 所以 =}{乙获胜P )(332211221111 ???B A B A B A B A B A B A P
+++=)()()(332211221111B A B A B A P B A B A P B A P
+?-?-+?-?-+?-=22231222121)1()1()1()1()1(p p p p p p p p
)1()1(1)1(2121p p p p -?--?-=
2
1212
1)1(p p p p p p ?-+?-=.
或: =}{乙获胜P }{1甲获胜P -212111p p p p p ?-+-
=2
1212
1)1(p p p p p p ?-+?-=.
2. 一口袋中装有m 个白球，n ? m 个黑球，连续无放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，此时取出了X 个白球，求X 的分布律。
解：由题设知，随机变量X 的可能取值为：0,1,2,,m ，且事件()(0,1,2,,)X k k m == 表示一共取了k +1次球，前k 次取到的都是白球，第k +1次取到的是黑球。所以有
11
(), 0,1,2,,.k m n m
k n
A A P X k k m A -+=== 3. 设一个试验只有两个结果：成功或失败，且每次试验成功的概率为 (01)p p <<，现进行重复试验，求下列X 的分布律。
（1） 将试验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数（几何分布）
（2） 将试验进行到出现k 次成功为止，以X 表示获得k 次成功时的试验次数（巴斯卡分
布）
解：（1）由题设知，随机变量X 的可能取值为：1,2, ，且事件()(1,2,)X n n == 表示一共进行了n 次试验，且前n ? 1次均是失败，而第n 次成功。所以有
1()(1), 1,2,.n P X n p p n -==-=
（2） 由题设知，随机变量X 的可能取值为：,1,2,k k k ++ ，且事件
()(,1,2,)X n n k k k ==++ 表示一共进行了n 次试验，且前n ? 1次中成功了k ? 1次，
而第n 次也成功。所以有
11()(1)
, ,1,2,.k n k k
n P X n C p p n k k k ---==-=++
5. 设随机变量X 服从泊松分布，求k 使()P X k =达到最大。 解：假设有
0()max ()l P X k P X l ≤<∞
===
则有：
()(1)
()(1)
P X k P X k P X k P X k =≥=-??
=≥=+? 11
!(1)!!
(1)!k k k k e e k k e e k k λλλλλλλλ---+--?≥?-????≥?+? 1
k k λ
λ≤???
≥-?
所以当λ为整数时，1k λ=-或k λ=时，()P X k =的值最大；
当λ不是整数时，[]k λ=（[]x 表示不超过x 的最大整数）时，()P X k =的值最大。 6. 设某商店销售某商品的数量服从参数为5的泊松分布，问在月初进货多少才能保证当月不脱销的概率为0.999。
解：假设在月初进货量为x 时，才能保证当月不脱销的概率为0.999。则由题意有
()0.999P X x ≤=
即
05()0.999!
k x
k P X x e k λ
-=≤==∑
由此得到x = 16。
7. 有一汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在每天的某段时间内出事故的概率为0.0001。在某天的该段时间内有1000量汽车通过。问出事故的次数不小于2的概率是多少？（利用泊松定理计算）
解：假设某天该段时间内出事故的次数为X ，有题设知~(1000, 0.0001)X b ，所以有
0010001
1999
10001000010.10.10.1(2)1(2)1(0)(1)
1(0.0001)(0.999)(0.0001)(0.999)(0.1)(0.1) 10!1!
1 1.10.0047
P X P X P X P X C C e e
e ---≥=-<=-=-==--≈--=-≈
8. 设随机变量X 具有对称的密度函数()f x ，即()()f x f x =-，证明对任意的0a >，有 （1） 0
1
()1()()2a F a F a f x dx -=-=
-?； （2） (||)2()1P X a F a <=-； （3） (||)2[1()]P X a F a >=-。 证明：（1） ()()()()()()x u
a
a a a
F a f x dx f u du f u du f u du F a =--∞
-∞
∞
∞
-=
=--=-==?
???
()()()2()a
a
a
F a F a f x dx f x dx ---==??
1
12()2()()()2a a F a f x dx F a f x dx ∴--=?-=-?
?
（2）因为 (||)()()()()()P X a P a X a P X a P X a F a F a <=-<<=<-≤-=-- 所以由（1）知，有(||)2()1P X a F a <=-
（3） 因为 (||)1(||)1(||)P X a P X a P X a >=-≤=-< 所以由（2）知，有(||)2[1()]P X a F a >=-
9. 设12(),()F x F x 都是一元分布函数，,0,1a b a b >+=，证明12()()aF x bF x +也是分布函数。
证明：令12()()()F x aF x bF x =+，要证()F x 是分布函数，只要证()F x 满足以下性质既可： （1） ()F x 非降函数；
（2） ()1,()0F F ∞=-∞=； （3）()F x 是右连续函数。
因为12(),()F x F x 都是一元分布函数，所以12(),()F x F x 满足上面的性质，又因为
,0,1a b a b >+=，所以有
12()()()F x aF x bF x =+是非降函数 12()()()1F aF bF a b ∞=∞+∞=+=
12()()()000F aF bF a b -∞=-∞+-∞=?+?=
1212,,()lim ()lim [()()]()()()y x y x
y x y x
F x F y aF y bF y aF x bF x F x →>→>+==+=+=
即()F x 是分布函数
11. 设随机变量X 的密度函数为
1,0() (0)0,0x
e x
f x x θθ-?>?=>??≤?
求c ，使得1
()2
P X c >=。 解：因为()c
P X c e
θ
->=，所以有
1
()ln 22
c
P X c e
c θ
θ-
>==
?= 14. 某城市每天用电量不超过百万度，以X 表示每天的耗电量（即用电量除以百万度），它具有密度函数
212(1),01,
()0,.x x x f x others ?-<<=?
?
若该城市每天的供电量仅80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如果每天供电量90
万度呢？
解：若该城市每天的供电量仅80万度，则供电量不够需要的概率是：
11
20.8
0.8
(0.8)()12(1)0.0272P X f x dx x x dx >==-=??
若该城市每天供电量为90万度，则供电量不够需要的概率是：
11
20.9
0.9
(0.9)()12(1)0.0037P X f x dx x x dx >==-=??
15. 设随机变量X 服从正态分布(108,9)N ， （1） 求(101.1117.6)P X <<； （2） 求常数a ，使()0.90P X a <=； （3） 求常数a ，使(||)0.01P X a a ->=。 解： 因为(108, 9)X N ，所以108
(0, 1)3
X N - ，则有 （1）
101.1108108117.6108108
(101.1117.6)()( 2.3 3.2)
3333
(3.2)( 2.3)0.9993129(10.98928)0.9885929
X X P X P P ----<<=<<=-<<=Φ-Φ-=--=
（2）108108108
()(
)()333
X a a P X a P ---<=<=Φ 又因为 (1.285)0.9Φ=，所以有
108
1.285 111.8553
a -=? （3）
(||)()()(2)(0)
10821081080108
()()
3333210801082108
1()()1()
333
P X a a P X a a P X a a P X a P X X a X P P a a ->=->+-<-=>+<----=>+<---=-Φ+Φ=-Φ 又因为 (2.325)0.99Φ=，所以2108
2.325 57.48753
a a -=?=
16. 设随机变量X 的分布函数为()F x ，求下列随机变量的分布函数： （1）aX b +（a ，b 为常数） （2）
1
X
（设(0)0P X ==） （3
（4）X
e 解：由分布函数的定义有：
（1） 1()()()F x P aX b x P aX x b =+≤=≤-， 所以当0a <时，aX b +的分布函数为：
1()()()1()1()x b x b x b
F x P aX x b P X P X F a a a
---=≤-=≥
=-<=--
当0a =时，aX b +以概率1等于常数b 当0a >时，aX b +的分布函数为：
1()()()()x b x b
F x P aX x b P X F a a
--=≤-=≤
= （2）当0x <时，
2111
()(
)(,0)(,0)111
0(,0)()(,0)
111
()(0)1()[1(0)](0)()
F x P x P x X P x X X X X
P X X P X P X X x x x P X P X P X P X F F x x x =≤=≤>+≤<=+≥<=≥-≥≥=≥-≥=-<--<=--- 当0x =时，
21
(0)(
0)(0)(0)F P P X F X
=≤=≤= 当0x >时，
2111
()(
)(,0)(,0)111
(,0)(0)()(,0)(0)11
1()0(0)1()(0)
F x P x P x X P x X X X X P x X P X P X P X X P X X x x
P X P X F F x x =≤=≤>+≤<=≥>+<=≥-≥≤+<=-<-+<=--+-
综上可知，
1
X
的分布函数为： 21(0)(),0()(0),0,1
1()(0),0.
F F x x F x F x F F x x ?
---
==???--+->?
（3）
3220,0,())(0),0,(),0.x F x P x P X x P x X x x
=≤===??-≤≤>?
当0x >时，
222222()()()()()P x X x P X x P X x F x F x -≤≤=≤-<-=---
2220,
0()(0)(0),0,()(),0.x F x F F x F x F x x
=--=??--->?
（4）
40,0,0,
0,()()(ln ),0.(ln ),0.X
x x F x P e x P X x x F x x ≤≤??=≤===??
≤>>??
求23
Y X =+与cos Z X =的分布律。 解：
18. 设随机变量X 服从(0, 1)上的均匀分布，求2ln Y X =-的密度函数 解： 易知2ln Y X =-的取值范围是(0, )∞，对任意的0y >，有
22()()(2ln )(ln )()12
y y Y y
F y P Y y P X y P X P X e e --=≤=-≤=≥-=≥=-
所以2ln Y X =-的密度函数为
21,
0,()()2
0,0.
y
Y Y e y f y F y y -?>?'==??≤?
19. 对球的直径作近似测量，设其值在区间[, ]a b 上均匀分布，求球的体积的密度函数。 解：设球的直径为X ，则球的体积为34
3
Y X π=
。已知随机变量X 的密度函数为： 1
,,()0,
.X a x b f x b a
others ?<
=-??? 所以31
6
Y X π=
的分布函数是：
3
333
3
1
0,,
6
111 ()()()(,
666
1
1,.
6
Y
y a
F y P Y y P X y P X a y b
y b
π
πππ
π
?
≤
?
?
?
=<=<=<<<
?
?
?
≥
?
?
当33
11
66
a y b
ππ
<<时，有
(P X<=
所以球的体积的密度函数是：
1
3
33
2
1611
,,
()()3()66
0,.
Y Y
a y b
f y F y b a y
others
ππ
π
?
??
??<<
?
'
==?-??
?
??
2. 在袋中装有n个球，其中有1n个红球，2n个白球，且12
n n n
+≤，现从中任取r个球
（
12
min{,}
r n n
≤），设取出的红球数为X，取出的白球数为Y，求(,)
X Y的分布律与边缘分布律。
解：(,)
X Y的分布律为：
1212
{,},(0,1,,,0,1,,,)
k l r k l
n n n n n
r
n
C C C
P X k Y l k r l r k l r
C
--
--
=====+≤
边缘分布律为：
11
{},(0,1,,)
k r k
n n n
r
n
C C
P X k k r
C
-
-
===
22
{},(0,1,,)
l r l
n n n
r
n
C C
P Y l l r
C
-
-
===
6. 设随机向量(,)
X Y的密度函数为：
1
sin(),0,0
(,)222
0,.
x y x y
f x y
others
ππ
?
+≤≤≤≤
?
=?
??
求(,)
X Y的分布函数。
解：由分布函数的定义知：
(,)(,)y
x
F x y f u v dudv -∞-∞
=?
?
所以，当0x ≤或0y ≤时，有(,)0F x y =； 当0,02
2
x y π
π
≤≤
≤≤
时，有
0001
(,)(,)sin()2
11
[cos()cos()][sin sin()sin ]
22x
y
x
y
x F x y f u v dudv u v dudv
u u y du x x y y -∞-∞==+=-+=-++?
??
??
当02
x π
≤≤
且2
y π
>
时，有
2
00
01
(,)(,)sin()2
11
[cos()sin()][sin cos()1]
22x
y
x x F x y f u v dudv u v dudv
u u du x x π
-∞-∞==+=+=-+?
??
??
由对称性知，当2
x π
>
且02
y π
≤≤
时，有
1
(,)[sin cos()1]2
F x y y y =-+
当2
x π
>
且2
y π
>
时，有
(,)1F x y =
所以(,)X Y 的分布函数是：
0,0, 0,1
[sin sin()sin ],0,0,
22
2
1
[sin cos()1],
0,,(,)2
2
2
1
[sin cos()1],,0,
22
2
1,2
2
x or y x x y y x y x x x y F x y y y x y x y π
π
π
π
π
π
π
π
≤≤???-++≤≤≤≤???-+≤≤>
=???-+>≤≤??>
>
??
7. 设随机向量(,,)X Y Z 的分布函数为：
(1)(1)(1),,,0,
(,,)0,.ax by cz e e e x y z F x y z others ---?---≥=?
?
求其密度函数。
解：随机向量(,,)X Y Z 的密度函数为
3,,,0,
(,,)(,,)0,.ax by cz abce e e x y z F x y z f x y z x y z others ---?≥?==?
????
8. 设随机向量(,)X Y 的密度函数为：
1
,01,02,
(,)20,
.x y f x y others ?≤≤≤≤?=???
求,X Y 中至少有一个小于
1
2
的概率。 解：设A 为事件“,X Y 中至少有一个小于
12
”。则有 11,2201,02
11
13()(,)22
28
x y x y P A P X Y dxdy ≥≥≤≤≤≤=≥≥=
=??
所以,X Y 中至少有一个小于
1
2
的概率为： 5
1()8
P A -=
9. 一个电子部件包含两个主要元件，它们的寿命分别记为,X Y （小时），设(, )X Y 的分布函数为：
0.010.010.01()1,0,0,
(,)0,
.x y x y e e e x y F x y others ---+?--+≥≥=?
? 求两个元件的寿命都超过120小时的概率。
解：两个元件的寿命都超过120小时的概率为：
(120, 120)(120)(120, 120)
[1(120)][( 120)(120, 120)]
[1(120,)][( ,120)(120, 120)] P X Y P X P X Y P X P Y P X Y F F F >>=>->≤=-≤-≤-≤≤=-∞-∞-1.2 1.2 2.4 2.4
[]e e e e ----=--=
10. 设随机向量(, )X Y 的密度函数为：
,0,0,(1)(,) (2)0,.n c x y x y f x y n others ?
>>?
++=>???
求常数c 及求边缘密度函数。
解：由
1
0111(,)(1)(1)1(1)(2)
n n c f x y dxdy dxdy c x dx c x y n n n ∞
∞
∞
∞
∞-+-∞-∞
===+=++---?
?
?
?
?得 (1)(2)
c n n =-- (, )X Y 关于X 的边缘密度函数为：
10(1)(2)
,0,(2)(1),0,(1)()(,) 0,0,0,0,n n
X n n dy x n x x x y f x f x y dy x x ∞-+∞
-∞
--?>?-+>?++===??≤??≤?
??
(, )X Y 关于Y 的边缘密度函数为：
10(1)(2)
,0,(2)(1),
0,
(1)()(,) 0,
0,
0,0,n n
Y n n dx y n y y x y f y f x y dx y y ∞-+∞
-∞
--?>?-+>?
++===??
≤?
?≤?
??
14. 设随机向量(, )X Y 的联合密度函数为：
,01,01,
(,)0,
.x y x y f x y others +<<<
? 求：在1
0X n
<<的条件下，Y 的分布函数与密度函数。 解：因为
11
2
101
1
(0)(,)[()]2n x n
n P X f x y dxdy x y dy dx n
n <<
+<<=
=+=
???? 所以在1
0X n
<<
的条件下，Y 的分布函数为： 0,
0,11(|0)(|0),01,1,
1.y P Y y X P Y y X y n n
y ≤???
≤<<=≤<<<
当01y <<时，
1
02
21220022(,)1(,0)1(|0)11(0)2[()]2 11122x n
v y
y n f x v dxdv
P Y y X n P Y y X n n P X n n y ny x v dv dx y ny n n n n n n
<<≤≤<<≤<<=
=+<<+++===
+++??
??
即在1
0X n
<<的条件下，Y 的分布函数为：
2
0,
0,1(|0),01,1
1,
1.y y ny P Y y X y n n y ≤??
+?≤<<=<
在1
0X n
<<的条件下，Y 的密度函数为：
12,01,11(|0)(|0)1
0,
.ny
y f y X P Y y X n n y n others +?<
<<=≤<<=+???
?
15. 设随机变量Y 服从Γ分布，其密度为：
1,0,() (0,0)()
0,0.
r r y
Y y e y f y r r y λλλ--?>?
=>>Γ??≤?
而随机变量X 关于Y 的条件密度函数为：
|,0,
(|)0,
0.xy X Y ye x f x y x -?>=?
≤? 求X 的密度函数。
解：由条件密度的定义：
|(,)
(|)()
X Y Y f x y f x y f y =
得X 与Y 的联合密度：
1()|,0,0,,0,0,(,)(|)()()()
0,.0,.r r xy r y x y r
X Y Y ye
y e x y e y x y f x y f x y f y r r others others λλλλ----+??>>>>??===ΓΓ??????
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
概率论课后习题答案
习题1解答 1、 写出下列随机试验的样本空间Ω: (1)记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分); (2)生产产品直到有10件正品为止,记录生产产品的总件数; (3)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的记为“正品”,不合格的记为“次品”,如连续查出了2件次品就停止检查,或检查了4件产品就停止检查,记录检查的结果; (4)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标、 解:(1)以n 表示该班的学生人数,总成绩的可能取值为0,1,2,…,100n ,所以该试验的样本空间为 {|0,1,2,,100}i i n n Ω==、 (2)设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品,样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=, 或写成{10,11,12,}.Ω= (3)采用0表示检查到一个次品,以1表示检查到一个正品,例如0110表示第一次与第四次检查到次品,而第二次与第三次检查到的就是正品,样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=、 (3)取直角坐标系,则有22 {(,)|1}x y x y Ω=+<,若取极坐标系,则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<、 2.设A 、B 、C 为三事件,用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件、 (1) A 发生而B 与C 不发生; (2) A 、B 、C 中恰好发生一个; (3) A 、B 、C 中至少有一个发生; (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生; (5) A 、B 、C 中至少有两个发生; (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生、
概率论与数理统计课后习题答案
第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0 （2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?， 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图： 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量， A =‘通过汽车不足5台’， B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2） {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （3） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = （4） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5） {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用 ,,A B C 表示下列事件： （1）仅A 发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 解 （1）ABC （2）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； （3）A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ； （4）ABC ABC ABC U U ； （5）AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ； 3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品，试用i A 表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）123A A A ；（2）123A A A U U ；（3） 123123123A A A A A A A A A U U ；（4）121323A A A A A A U U 。 4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A =‘5只全是好的’，则 537540 ()0.662C P A C =B ； 第2章条件概率与独立性 一、大纲要求 <1）理解条件概率的定义. <2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. <3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算. <4）了解独立重复实验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用. 二、重点知识结构图 为2这个公式称为乘法定理. 乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理设12,, ,n A A A 为任意n 个事件<2n ≥），且121()0n P A A A ->，则有 12112131212 1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --= 3．全概率公式 定理设12,,B B 为一列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1 i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一事件A ，有1 ()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑. 4.贝叶斯公式 定理设12,,B B 为一系列<有限或无限个）两两互不相容的事件，有 1i i B ∞==Ω∑()0(1,2,)i P B i >= 则对任一具有正概率的事件A ，有 1()(|) (|)()(|)k k k j j j P B P A B P B A P B P A B ∞==∑ 5.事件的相互独立性 定义若两事件A B 、满足，则称A B 、<或B A 、）相互独立，简称独立. 定理若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、； 、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立.定义设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成 立： ()()()i j i j P A A P A P A =<共2n C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A =<共3n C 个） 1212()()()()n n P A A A P A P A P A =<共n n C 个） 则称12,,n A A A 相互独立. 定理设n 个事件12,, n A A A 相互独立，那么，把其中任意m <1m n ≤≤）个事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立. 6. 重复独立实验，而且这些重复实验具备：<1）每次实验条件都相同，因此各次实验中同一个事件的出现概率相同；<2）各次实验结果相互独立；满足这两 1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件 =A {第一次出现正面}, =B {两次出现同一面}, =C {至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 =A {球的最小号码为1}. 3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件=A {得一件废品}. 4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件=A {两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件 =A {出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, =B {出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}. 答案:1) }),(),,(),,(),,({T T H T T H H H =Ω, 其中 :H 正面出现; :T 反面出现. }),(),,({T H H H A =; }),(),,({T T H H B =; }),(),,(),,({H T T H H H C =. 2) 由题意,可只考虑组合,则 ? ?? ?? ?=)5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(Ω; {})5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3,2,1(=A . 3) 用9,,2,1 号表示正品,10号表示废品.则 ??? ? ????? ?????????=)10,9()10,8()10,2(,),4,2(),3,2()10,1(,),4,1(),3,1(),2,1( Ω; {})10,9(,),10,2(),10,1( =A . 4) 记第一袋中的球为),(11b w ,第二袋中的球为),(22b w ,则 {}),(),,(),,(),,(),,(),,(112121112121b b b b w b w w b w w w =Ω; {}),(),,(),,(),,(11211121b b b b w w w w A =. 第一章 随机事件与概率 1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？ 它们的联系与区别是： （1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。 （3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。特别地，A A =、?=A A U 、φ=A A I 。 2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？ 两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。我们所说的两个事件相互独立，其实质是事件是否发生不影响A B 、A 事件B 发生的概率。而说两个事件互不相容，则是指事件发生必然导致事件A B 、A B 不发生，或事件B 发生必然导致事件不发生，即A φ=AB ，这就是说事件是否发生对事件A B 发生的概率有影响。 3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。其中基本事件也称为样本点。而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作??φ。为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。这是由于事件的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。条件发生变化，事件的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于3点”，都是随机事件。若同时抛掷4颗骰子，“出现的点数之和为3点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）将一颗骰子连续抛掷三次，观察出现的点数之和，其样本空间为 ?={34}。 518，，，，L （2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ?={012}。 3，，， 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不一样。 4．频率与概率有何联系与区别？ 事件的概率是指事件在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： A A 概率的公理化定义：设E 为随机试验，?为它的样本空间，对E 中的每一个事件都赋予一个实数，记为，且满足 A P A () （1）非负性：01≤≤P A ()； （2）规范性：P ()?=1； （3）可加性：若两两互不相容，有。 A A A n 12,,,,L L )P A P A i i i i ()(=∞=∞ =∑11U 则称为事件的概率。 P A ()A 而事件的频率是指事件在次重复试验中出现的次数与总的试验次数n 之比，即A A n n A ()n A n )(为次试验中出现的频率。因此当试验次数n 为有限数时，频率只能在一定程度上反映了事件n A A 发生的可能性大小，并且在一定条件下做重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 .习题 1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随 机变量，并求η的分布函数． 证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξ η e =也是随机变量． η的分布函数为 }{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη 当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η； 当 >y 时 ， ) (ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<= 因此，η的分布函数为 ???≤>=00 ),(ln )(y y y F y F ξ η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为 (01)p p <<，反复抛这 枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率． 解：（1）}{k =ξ 表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出 现反(正)面，据题意知， p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ，Λ ,4,3,2=k 所以，抛掷次数ξ的密度阵为 22112322(1)(1)k k k p p p p p p p p --?? ? ?---+-? ? L L K K (2) 恰好抛掷偶数次的概率为： Λ Λ+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ Λ++++++++ =--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533 ) 1()1(4242ΛΛ+++++++=q q qp p p pq 2 211 11q qp p pq -? +-?= ) 1(1 )1(1q p qp q p pq +? ++? = q q p p +++= 11 4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3 2{R P > ξ ．解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为 }{)(x P x F <=ξ 当0x ≤时，φξ =<}{x ，()0F x =； 当0x R <<时，22 2 2}{)(R x R x x P x F ==<=ππξ； 当x R ≥ 时， ()1F x = 故ξ的分布函数为 ???????≥<<≤=R x R x R x x x F , 10,0, 0)(22． 95 941)3/2(1)32(1}32{2 2=-=-=-=>R R R F R P ξ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数． 解：当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =； 当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为 ()(){}{}1arccos(1,1122R x F x F P R ππξππ --=-∞=<= ==； 当裂纹距离地面高度为x ()01x <<时，分布函数为 1 = 1x = R 概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL 概率论与数理统计统计课后习题答案 第二章习题解答 1. 设)(1x F 与)(2 x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(2 1x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ). A . 5 2,53-==b a B . 32,32==b a C . 23,21=-=b a D . 23,21-==b a 2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数} X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4. 且4015542091{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455{1}0.4696969C C P X C ===≈； 2215542070{2}0.2167323 C C P X C ===≈； 1315542010{3}0.0310323C C P X C ===≈； 041554201{4}0.0010969 C C P X C ===≈. 因此所求X 的分布律为： 3． 5. 解：设X ＝{其中黑桃张数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3，4，5. 051339552 2109 {0}0.22159520C C P x C ===≈； 14 133955227417 {1}0.411466640 C C P x C ===≈； 231339552 27417 {2}0.274399960C C P x C ===≈； 32133955216302 {3}0.0815199920 C C P x C ===≈； 4 11339 552429{4}0.010739984 C C P x C ===≈； 50 133955233 {5}0.000566640 C C P x C ===≈. 所以X 的概率分布为： 6. 习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解 根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解 设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解 由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解 本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解 因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB . 一、习题详解： 1.1 写出下列随机试验的样本空间： (1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{ ;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω； (6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{ 2 16,T y x T y x ≤≤=Ω ； (7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{ 207 x x =Ω； (8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{ l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ； (2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??； (4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ； (8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。 第1章随机事件与概率 一、大纲要求 （1）理解随机事件的概率，了解样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算. （2）了解概率的统计定义和公理化定义，掌握概率的基本性质. （3）会计算古典概型的概率和几何概型的概率. 二、重点知识结构图 三、基础知识 1.随机试验的特征 （1）试验可以在相同的条件下重复地进行. （2）试验的可能结果不止一个，但明确知道其所有可能会出现的结果. （3）在每次试验前，不能确知这次试验的结果，但可以肯定，试验的结果必是所有可能结果中的某一个. 2.样本空间 在讨论一个随机试验时，试验的所有可能结果的集合是明确知道的，称这个集合为该实验的样本空间，常用()S Ω或表示，其元素称为样本点，常用ω记之，它是试验的一个可能结果. 3.随机事件 在实际问题中，面对一个随机试验，人们可能会关心某些特定的事情在重复试验下是否会发生.例如，投资者关心明日收市股价是否上涨，即明日股价>今日收市价，它是样本空间的一部分.因此，称样本空间的一些子集为随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A B C 、、记之. 4.事件的关系和运算 一个较为复杂的事件，通过种种关系，可使其与一些较为简单的事件联系起来，这时，我们就可设法利用这种联系，通过简单的事件去研究那些较为复杂的事件，用已知的事件去表示未知的事件. 5.事件的蕴含与包含 若当事件A 发生时B 必发生，则称A 蕴含B ，或者说B 包含A ，记作A B ?. 6.事件的相等 若A 与B 互相蕴含，即A B ?且B A ?，则称事件A 与B 相等，记为A B =. 7.事件的互斥(或称互不相容) 若事件A B 、不能在同一次试验中都发生(但可以都不发生)，则称它们是互不相容的或互斥的. 若一些事件中的任意两个事件都互不相容，则称这些事件是两两互不相容的，或简称互不相容的. 8.事件的对立（或称逆） 互不相容的一个重要特例是“对立”.称事件{}B A =不发生为A 的对立事件或逆事件，常记作A . 9.事件的并（或称和） 习题1解答 1. 写出下列随机试验的样本空间Ω： （1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为 {|0,1,2, ,100}i i n n Ω==. （2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为 {10|0,1,2,}k k Ω=+=， 或写成{10,11,12, }.Ω= （3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为 {00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=. （3）取直角坐标系，则有2 2 {(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有 {(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<. 2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1) A 发生而B 与C 不发生； (2) A 、B 、C 中恰好发生一个； (3) A 、B 、C 中至少有一个发生； (4) A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5) A 、B 、C 中至少有两个发生； (6) A 、B 、C 中有不多于一个事件发生. 概率统计课后答案 2 第 一 章 思 考 题 1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？ 2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很 重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但 你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个 病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率ΛΛ1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后 七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不 断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士 公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费 林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表: 675844625664686762609 876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗? 答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由. 4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸葛亮”吗？ ５．两事件A、B相互独立与A、B互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？ ６．条件概率是否是概率？为什么？ 习题一 1．写出下列试验下的样本空间： （1）将一枚硬币抛掷两次 答：样本空间由如下4个样本点组成Ω=正正，正反，反正，反反 {(,)(,)(,)(,)} （2）将两枚骰子抛掷一次 答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6} Ω== i j i j （3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出 3 概率论与数理统计习题及答案 习题 一 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) = 14+14+13-112=34 13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个， 计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥. 21 343 4 233377C C C 184(), ()C 35 C 35 P A P A ==== 故 232322()()()35 P A A P A P A =+= 23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()() ()()()()() P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -== +- 0.70.51 0.70.60.54 -= =+- 33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，1 4 ，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则 3 1231231 ()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=- 423 10.6534 =- ??= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人概率论与数理统计习题集及答案
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