滑模变结构控制在时滞系统中的应用_乔枫

2009年03月第25卷第2期　沈阳建筑大学学报(自然科学版)Journal of Shenyang J ianzhu U niversity (N atural Science )　M ar .　2009V ol.25,N o.2 收稿日期:2008-06-21基金项目:住房和城乡建设部基金项目(2008-K2-18)作者简介:乔枫(1960—),男,教授,博士,主要从事非线性控制、智能控制等方面研究.文章编号:1671-2021(2009)02-0399-05滑模变结构控制在时滞系统中的应用乔　枫1,张　华1,周　悦1,朴慧京2(11沈阳建筑大学信息与控制工程学院,辽宁沈阳110168;　21装甲兵技术学院控制工程系,吉林长春130117)摘　要:目的研究一类线性不确定时滞系统控制器的设计问题,改善时滞系统的控制效果.方法采用滑模变结构控制策略,先用线性变换将原来的时滞系统变成一个无时滞的系统,再利用最优控制理论设计滑动平面并选择适当的滑模变结构控制规律,保证系统状态在有限的时间内到达滑动面.结果滑模变结构控制比P I D 控制超调量小10%,调节时间短5%,有效地抑制了系统控制器输出的抖动问题.结论滑模变结构控制方法具有更优的动态特性及鲁棒性,有效地提高了时滞系统的控制效果.关键词:时滞系统;滑模变结构控制;最优控制;过程控制;不确定性系统中图分类号:TP 273 文献标志码:A 0　引　言在工业过程控制系统中,具有时间滞后特性的被控对象非常普遍.系统的滞后时间对控制系统的控制性能极为不利,不仅使系统产生较明显的超调量和较长的调节时间,且使得系统的稳定性降低,因而时滞系统的控制已成为自动控制领域研究热点之一.目前,许多学者提出了行之有效的控制方法,主要有Sm ith 预估控制、自适应控制、模糊控制等[1].近些年来,滑模变结构控制逐渐引起了学者们的重视,其最大优点是滑动模态对加在系统上的干扰和系统的摄动具有完全的自适应性,而且系统状态一旦进入滑模运动,便快速地收敛到控制目标,为时滞系统、不确定性系统的鲁棒性设计提供了一种有效途径[2-3],但其最大的问题是系统控制器的输出具有抖动[4].笔者将滑模变结构控制(SM C )引入到时滞不确定性控制系统中,利用线性变换将原系统转化为线性无时滞系统,在新坐标下设计了最优滑模面和变结构控制律.通过仿真实验验证了该控制方法的可行性,有效地提高时滞系统的控制效果,解决了滑模变结构系统控制器输出的抖动问题.1　时滞系统的被控对象及无时滞变换 考虑如下形式的时滞不确定性系统x ・(t )=(A +ΔA )x (t )+B u (t -τ0)+F (t ),y (t )=C x (t )+D (t )u (t ),(1)式中:x (t )∈R n 为状态变量,u (t )∈R m为控制变量,ΔA x (t )为内部参数的摄动,F (t )为外部扰动.令f (x,t )=ΔA x (t )+F (t ),为不确定项,f (x,t )∈R n.对系统(1)作如下假设:假设1　不确定项满足上界条件,即|f (x,t )|<β|x (t )|.其中β为常数,|・|表示向量的范数.假设2　不确定项满足匹配f (x,t )=B d f (x,t ).其中 f (x,t )∈Rm ×1,B d 为定常矩阵.定义线性变换:z (t )=x (t )+∫tt-τ0eA (t-τ0-τ)B u (τ)d τ.(2)对式(2)求微分得:400　沈阳建筑大学学报(自然科学版)第25卷z・(t)=x・(t)+A∫t t-τ0e A(t-τ0-τ)B u(τ)dτ+e-A h B u(t)-B(t-τ0).(3)将式(1)、式(2)代入式(3)整理得到线性无时滞不确定系统z・(t)=A z(t)+B d u(t)+f(x,t),(4)式中:Bd=e-τ0A B.对系统(4)作如下假设:假设3　系统(4)完全能控,且Bd列满秩m.由假设3可知,存在非奇异变换w(t)=Tz(t),使得式(4)化为如下形式:w・1(t) w・2(t)=A11 A12A21 A22w1(t)w2(t)+B2u(t)+T1T2f(x,t),(5)式中:w1(t)∈R n-m,w2(t)∈R m为系统的状态,B2∈R n×m为非奇异矩阵,TA T-1= A11 A12 A21 A22,TB d=0B2;T1∈R n-m,T2∈R m,T=T1T2.将式(5)化为如下标准型:w・1(t)= A11w1(t)+ A12w2(t)+T1f(x,t),w・2(t)= A21w1(t)+ A22w2(t)+B2u(t)+T2f(x,t).(6)由于系统(4)是可控的,则( A11, A12)必可控.2　滑模变结构控制器设计滑模变结构控制器的设计可分为两个步骤:首先是设计切换函数s(t),使系统在滑动流形上产生的滑动模态是渐近稳定的并具有良好的动态特性;其次是要设计变结构控制律u(t),使系统状态在有限的时间内到达滑动流形并保持在上面运动,沿其滑动到平衡点[5].211　最优滑动面设计按照线性系统的一般设计方法,可选取切换函数为s(t)=w2(t)+K1w1(t),(7)式中:K1为待求的系数.当系统进入滑模态后,系统的特性由切换函数决定.因此选取适当的K1能保证系统的渐近稳定.当系统滑动模态发生时,s(t)=0.此时,系统等价于一个降阶子系统:w・1(t)= A11w1(t)+ A12w2(t),w2(t)=-K1w1(t).(8)因而,求系数K1的问题转化为视w2(t)为控制,求关于状态w1(t)反馈的最优控制问题[6].定义二次型性能指标:J=12∫t∞t0[w1(t)T Q1w1(t)+w2(t)Q2w2(t)]d t,(9)式中:Q1∈R(n-m)×(n-m),Q2∈R(m×m)为加权正定矩阵,t为滑动运动开始的时间.最优滑模设计问题是确定切换函数s=s(w1,w2),其中s∈R m,使得系统在滑动模态上J取得极小值.在式(8)中,把w2(t)视为控制,w1(t)作为状态,即求取状态反馈w2(t)=K1w1(t)使得J取极小值.由于( A11, A12)是可控对,所以,由式(8)和式(9)描述的“最优控制”是存在的,且有w2(t)=-Q-12 A T12Pw1(t),(10)式中:P∈R(n-m)×(n-m)为正定常数对称阵,是下述R iccati代数方程的解-P A11- A T11P+P A12Q-12 A T12P=Q1.(11)由此得到最优切换函数s(w1,w2)中的K1= Q-12 A T12P.则最优滑动模态的动态方程为w・1(t)=( A11- A12K1)w1(t)+T1f(x,t),w2(t)=-K1w1(t).(12)对于线性变换后的系统(5),如果系统内部参数的摄动和外部扰动满足匹配条件时,滑动模态不受扰动的影响,即滑动模态具有不变性[7].由假设2,可得Tf(x,t)=T B d f(x,t)=T2B2 f(x,t).(13)将式(13)代入式(12)可得滑动模态的动态方程w・1(t)=( A11- A12K1)w1(t),w2(t)=-K1w1(t).(14)可见,滑动模态与不确定项无关,即滑动模态在满足匹配条件时对内部的参数摄动及外部扰动具有不变性.因此,在设计滑模变结构控制器时,只要系统的扰动满足匹配条件,就可以不考虑系统的扰动.212　控制律的设计选择变结构控制律具有如下形式u(t)=u e(t)+u d(t),(15)第25卷乔　枫等:滑模变结构控制在时滞系统中的应用401　式中:u e (t )为连续控制部分,可取系统的等效控制;u d (t )为不连续控制部分[8].当系统进入滑动模态后,有s (t )=0,s ・(t )=0,即s ・(w 1,w 2)=w ・2(t )+k 1w ・1(t )=0.(16)令f (x,t )=0,得到系统(6)的标称方程w ・1(t )= A 11w 1(t )+ A 12w 2(t ),w ・2(t )= A 21w 1(t )+ A 22w 2(t )+B 2u (t ).(17)将式(17)代入式(16)得到标称系统的等效控制u e (t )=-B -12[( A 21+ A 11K 1)w 1(t )+( A 22+A 12K 1)w 2(t )],(18)不连续控制部分取为u d (t )=-B -12[ks (t )+d (t )sgns (t )],(19)式中:d (t )=β|T 2+K 1T 1||x (t )|+σ,σ>0,k >0.将式(18)、式(19)代入式(16)得到控制律u (t )=-B -12[( A 21+ A 11K 1)w 1(t )+( A 22+A 12K 1)w 2(t )]-B -12[ks (t )+d (t )sgns (t )].(20)按式(20)设计的控制律可以保证系统正常运动段和由正常运动段向切换面趋近时的动态品质.定理1　不确定性系统(4)在控制律(20)作用下,能在有限的时间t s 内到达切换面,即到达条件成立或符合滑动模态的存在条件.其中t s ≤1kln 1+k |s (0)|σ.证明:L yapunov函数选为V (t )=12s (t )2,则有V ・(t )=-k |s (t )|2-d (t )|s (t )|+s (t )(T 2+K 1T 1)f (x,t ).(21)由假设1可得:|(T 2+K 1T 1)f (x,t )|≤|(T 2+K 1T 1)||β||x (t )|.(22)将式(22)代入式(21)得:V ・(t )≤-k |s (t )|2-σ|s (t )|,(23)式中:|s (t )|=s (t )sgns (t ).式(23)右边两项都为负值,当s (t )≠0时,V ・(t )<0.即L yapunov 函数满足系统的到达条件.另外,设系统的到达时间为t s ,在V (0)=12s (0)2的初始条件下,对式(23)解微分方程,可得t s ≤1kln 1+k |s (0)|σ.即系统可以在有限的时间内到达切换面,到达条件成立.定理2变换后的系统(4)的渐进稳定是原系统(1)渐进稳定的充分条件[9].由于系统中存在sgn (s )函数,SM C 中的抖动问题没有得到解决,利用连续函数θ(s )取代sgn (s )可以消除抖动[10].θ(s )≈s|s |+ω,(24)式中:ω为很小的正常数,则系统的控制律变为u (t )=-(B 2)-1[( A 21+ A 11K 1)w 1(t )+( A 22+ A 12K 1)w 2(t )]-(B 2)-1ks (t )+d (t )s (t )|s (t )|+ω.(25)3　在锅炉温度时滞控制系统中的应用 为了验证上述控制算法在时滞控制系统中应用情况,笔者以一实验用锅炉控制系统为研究对象,其中被控对象为锅炉的温度,但是温度检测点和锅炉放置地有一段距离,水流流经管道造成时间的延迟,用来模拟时滞系统,利用计算机进行了大量仿真试验分析,对比研究了PI D 控制和滑模变结构控制的系统输出响应特性.此温度时滞系统被控对象的数学模型辨识采用机理分析法和实验测试法[11].根据机理分析法,系统的传递函数可以简化为G (s )=Ke -τ0s(T a s +1)(T b s +1),(26)式中:T a 、T b 为时间常数,K 为比例系数,τ0为滞后时间常数.由实验测试法可以得出系统的T a =4168,T b =0118,K =0161,τ0=2.并得到:A =01-112-517,B =0112,C =[1　0],D =[0].设系统的理想输出为y (t )=31℃,且满足匹配条件的不确定项:β=013,f (x,t )=(012+cos t )0120105-0102011x (t ).　沈阳建筑大学学报(自然科学版)第25卷402按式(20)、式(25)选择变结构控制律,取k=20,σ=115,ω=01001.在M A TLAB环境下进行仿真,得出系统的仿真曲线如图1～4所示.其中图1、图3为利用式(20)控制系统得出的系统响应曲线,图2、图4为利用式(25)控制系统得出的系统响应曲线.并且在图1、图2中对SM C与PI D控制进行了比较,PI D控制选取的参数分别为:比例系数P=01325,积分时间常数I=1019,微分时间常数D=019.图4　消抖之后的控制器输出 由图2可以看出,在时滞和干扰存在的情况下,采用笔者的设计方法不仅能够有效地抑制系统的干扰,而且系统的超调量小,调节时间短,过渡过程品质比PI D控制好,并且由图4可见此控制方法还解决了控制器输出的抖动问题.4　结　语笔者将滑模变结构控制方法应用于时滞不确定性系统,使系统的超调量减小,调节时间缩短,反映了最优控制的效果;同时对时滞系统的参数摄动及外部干扰具有很强的鲁棒性,解决了滑模变结构系统控制器输出的抖动问题,有效地提高了时滞系统的控制效果.参考文献:[1]　张翼飞,曾亮,邓方林.时滞系统控制发展历程综述[J].控制工程,2004,11(5):4-8.[2]　C am acho O scar,R ojas R ubén,G arcía2G abín W in2ston.Som e long ti m e delay sliding m ode control ap2p roaches[J].I SA Transactions,2007,46(1):95-101.[3]　Efe M O,U nsal C,Kaynak O.V ariable structure con2trol of a class of uncertain system s[J].A utom atica,2004,40(3):59-64.[4]　Huang S J,Huang K S,C hou K C.D evelopm ent andapp lication of a novel radial basis function slidingm ode controller[J].M 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C hina,130117)Abstract:The p roblem of designing controllers for a class of linear system s w ith uncertain ti m e2delay is con2 cerned.In o rder to i m p rove perfo r m ance of contro l system s w ith ti m e2delay,variable structure control strate2 gy w ith slid ing m ode is em p loyed.W ith a particular linear transfor m ation,the orig inal uncertain ti m e2delay system is first transfor m ed in to a delay2free system,and then a sliding m anifold is designed by app lying op ti2 m al control techn ique.A n app rop riate control law is selected w hich forces the system states to reach the slid2 ing surface in fin ite ti m e.The experi m ental com p arisons are m ade bet w een the sliding m ode variable struc2 tu re controller and a PI D controller fo r stability and rap idity.The new m ethod can not only reduce the over2 shoot by10%and shorten the regulation ti m e by5%,but also w eaken the influence of distu rbances.The si m ulation results show that this control m ethod has a m ore superior dynam ic perfor m ance and robustness and it efficiently i m p roves the contro l effect of the ti m e2delay system s.Key words:ti m e2delay system s;variable structure control;op ti m al control;p rocess control;uncertainty sys2 tem s。