滑模变结构控制系统的基本设计步骤(2014)
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滑膜变结构控制
2016.10.22
+ 本质上是一类特殊的非线性控制，其非线
性表现为控制作用的不连续性。与其他控 制策略的不同之处：系统的“结构”并不 固定，而是在动态过程中，根据系统当前 的状态有目的地不断变化。 + 人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适 当设计，系统状态点沿着此相轨迹渐近稳 定到平衡点，或形象地称为滑向平衡点的 一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来 源于此。
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，
具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏 （ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实 现简单。
+ 当状态轨迹到达滑动模态面后，
难以严格沿着滑动模态面向平 衡点滑动，而是在其两侧来回 穿越地趋近平衡点，从而产生 抖振——滑模控制实际应用中 的主要障碍。
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
+ 滑模变结构控制的整个控制过程ห้องสมุดไป่ตู้两部分组成：
① 正常运动段：位于切换面之外, 如图2.3.5的 X0到A 段所 示。 ② 滑动模态运动段：位于切换面上的滑动模态区之内，如 图2.3.5的 A到O段所示。
x0
O
A
s( x ) 0
+ 本质上是一类特殊的非线性控制，其非线
性表现为控制作用的不连续性。与其他控 制策略的不同之处：系统的“结构”并不 固定，而是在动态过程中，根据系统当前 的状态有目的地不断变化。 + 人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适 当设计，系统状态点沿着此相轨迹渐近稳 定到平衡点，或形象地称为滑向平衡点的 一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来 源于此。
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，
具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏 （ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实 现简单。
+ 当状态轨迹到达滑动模态面后，
难以严格沿着滑动模态面向平 衡点滑动，而是在其两侧来回 穿越地趋近平衡点，从而产生 抖振——滑模控制实际应用中 的主要障碍。
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
s(x)>0 A B C s(x)=0
s(x)<0
+ 滑模变结构控制的整个控制过程ห้องสมุดไป่ตู้两部分组成：
① 正常运动段：位于切换面之外, 如图2.3.5的 X0到A 段所 示。 ② 滑动模态运动段：位于切换面上的滑动模态区之内，如 图2.3.5的 A到O段所示。
x0
O
A
s( x ) 0
第03章 连续时间系统滑模变结构控制
2
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下：
c eT P( A)
(3.4.4)
An1b
1
其中 e T 0 0 1 b Ab
P( A) ( A 1I )( A 2 I )
( A n1I )
1 , 2 , , n1 为期望选取的特征值。
s cx x
(3.4.1)
为状态，所以，只有 c 0 时， 由于选择 x 和 x 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即 保证了系统为渐近稳定。
【注】规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
而选择不同的 c 值时，切换面上的状态运动轨迹趋 向原点的速度是不同的， c 越大，对于相同的 x ， x 的变化率越大，从而趋近速度越快。 图3.4.1，切换函数的参数分别选取c 0.8和 c 1.7 作出图示说明。 x
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
x Ax B(u Ax)
(3.3.6)
其中有 BA A 。通过设计控制律可实现对不确定 性的完全补偿。 条件式(3.3.5)称为不确定性和系统的完全匹配条件。 （3）当系统同时存在外干扰和不确定性时
x Ax Ax Bu Df
其中有 BD D，通过设计控制律 u 可实现对干扰的 完全补偿。
条件式(3.3.2)称为干扰和系统的完全匹配条件。 （2）当系统存在不确定性时
x Ax Bu Ax
(3.3.4)
滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为 (3.3.5) rank B,ΔA rankB 假如式(3.3.5)满足，则系统可化为
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
通过Ackermann公式来求解其参数，具体方法如下：
c eT P( A)
(3.4.4)
An1b
1
其中 e T 0 0 1 b Ab
P( A) ( A 1I )( A 2 I )
( A n1I )
1 , 2 , , n1 为期望选取的特征值。
s cx x
(3.4.1)
为状态，所以，只有 c 0 时， 由于选择 x 和 x 在切换面上的状态运动轨迹才会渐近趋向原点，即 保证了系统为渐近稳定。
【注】规范空间：以状态和状态变化率为坐标构成的空间
3.4 滑模变结构控制器设计基本方法
而选择不同的 c 值时，切换面上的状态运动轨迹趋 向原点的速度是不同的， c 越大，对于相同的 x ， x 的变化率越大，从而趋近速度越快。 图3.4.1，切换函数的参数分别选取c 0.8和 c 1.7 作出图示说明。 x
3.3 滑模变结构控制匹配条件及不变性
x Ax B(u Ax)
(3.3.6)
其中有 BA A 。通过设计控制律可实现对不确定 性的完全补偿。 条件式(3.3.5)称为不确定性和系统的完全匹配条件。 （3）当系统同时存在外干扰和不确定性时
x Ax Ax Bu Df
其中有 BD D，通过设计控制律 u 可实现对干扰的 完全补偿。
条件式(3.3.2)称为干扰和系统的完全匹配条件。 （2）当系统存在不确定性时
x Ax Bu Ax
(3.3.4)
滑动模态与不确定性无关的充分必要条件为 (3.3.5) rank B,ΔA rankB 假如式(3.3.5)满足，则系统可化为
滑模变结构控制系统的基本设计步骤(2014)
C ( F , I m )T 1
C 一旦确定了，切换函数也就确定了。
（1-10）
二次型性能指标最优化法 提示：线性二次型最优控制问题
[3]
给定连续定常系统的状态空间为 x' (t ) Ax(t ) Bu (t ) ,且 x(0) x0 ，最优控制的性能 指标函数为
J (u )
1 tf T ( x Qx u T Ru )dt t 2 0
不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。
由线性系统理论可知（A，B）能控， ( A11 , A12 ) 必是能控的。 相应的切换面变为
s CT~ x C1 ~ x1 C2 ~ x2 0
其中 C2 为可逆方阵，在切换面上有
1 ~ x2 C2 C1 ~ x1 F~ x1
（1-7）
其中 ~ x1 R
nm
(1-5)
,~ x2 R m ， B2 为 m m 可逆方阵。
0 T 1 B B2
（1-6）
A A T 1 AT 11 12 , A21 A22
注：对系统进行非奇异线性变换 x
~ T~ x ，目的在于使 A 阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算，并
Ax Bu, s Cx, x R n , u R m , s R m x
单位向量控制可表示为
（1-16）
u
其中 表示模或范数。 记子空间
Cx Cx
(1-17)
S 0 x | Cx 0
显然有
Cx , 当x S 0 u Cx 不确定，当x S 0
提示：
（1-2）
等效控制法是最早提出的补充确定不连续微分方程在不连续面上的定义的方法， 这个方 法的概念很简单的，即寻找一种控制，用来强迫系统在切换面上运动，就是说，在这种控制 的系统的运动，正好是切换面上的滑动模态的运动，所以常称它为等效控制。 可求得
滑模变结构控制课件.ppt
总之，抖振产生的原因在于:当系统的轨迹到达切换面 时，其速度是有限大，惯性使运动点穿越切换面，从而 最终形成抖振，叠加在理想的滑动模态上。对于实际的 计算机采样系统而言，计算机的高速逻辑转换以及高精 度的数值运算使得切换开关本身的时间及空间滞后影响 几乎不存在，因此，开关的切换动作所造成的控制的不 连续性是抖振发生的根本原因。
精品课件
⑤利用极点配置得到K，使得Ac的特征值之一为0 则可得：
hT Ac x xT AcT h xT h 0 s sgn(s) hT f (x,t)
⑥利用李雅普诺夫定理求出最后一个未知数η
V 1 s2 2
V ss
sgn(s)s shT f (x,t) | s | shT f (x,t) || h || || f (x,t) ||
点，如图中点B所示。
(3)终止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点
C所示。
s(x)>0
A
B
C
精品课件
s(x)<0
s(x)=0
在滑模变结构中，通常点和起止点无多大意义，但终
止点却有特殊的含义。若切换面上某一区域内所有点都
是止点，则一旦状态点趋近该区域，就会被“吸引”到
精品课件
抖振问题的削弱方法
1. 准滑动模态方法（系统运动轨迹被限制在边界层） 采用饱和函数代替切换函数，即在边界层外采用正常的滑 模控制，在边界层内为连续状态的反馈控制，有效地避免 或削弱了抖振。 2. 趋近律方法（保证动态品质、减弱控制信号抖振） 3.滤波方法（通过采用滤波器，对控制信号进行平滑滤波） 3. 观测器方法（补偿不确定项和外界干扰） 4. 动态滑模方法 5. 智能控制方法
精品课件
⑤利用极点配置得到K，使得Ac的特征值之一为0 则可得：
hT Ac x xT AcT h xT h 0 s sgn(s) hT f (x,t)
⑥利用李雅普诺夫定理求出最后一个未知数η
V 1 s2 2
V ss
sgn(s)s shT f (x,t) | s | shT f (x,t) || h || || f (x,t) ||
点，如图中点B所示。
(3)终止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两 边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点
C所示。
s(x)>0
A
B
C
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s(x)<0
s(x)=0
在滑模变结构中，通常点和起止点无多大意义，但终
止点却有特殊的含义。若切换面上某一区域内所有点都
是止点，则一旦状态点趋近该区域，就会被“吸引”到
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抖振问题的削弱方法
1. 准滑动模态方法（系统运动轨迹被限制在边界层） 采用饱和函数代替切换函数，即在边界层外采用正常的滑 模控制，在边界层内为连续状态的反馈控制，有效地避免 或削弱了抖振。 2. 趋近律方法（保证动态品质、减弱控制信号抖振） 3.滤波方法（通过采用滤波器，对控制信号进行平滑滤波） 3. 观测器方法（补偿不确定项和外界干扰） 4. 动态滑模方法 5. 智能控制方法
滑模变结构控制基本理论课件
04
CATALOGUE
滑模变结构控制的实现与仿真
滑模控制器的MATLAB/Simulink实现
控制器设计
根据滑模变结构控制原理，利用 MATLAB/Simulink进行控制器设计，
包括滑模面函数、控制律等。
控制器参数调整
根据仿真结果，调整控制器参数，优 化控制性能。
模型建立
根据被控对象模型，在Simulink中建 立相应的仿真模型。
基于模拟退火算法的滑模控制器优化
模拟退火算法是一种基于物理退火原 理的优化算法，通过模拟金属退火过 程，寻找最优解。
模拟退火算法具有全局搜索能力强、 能够处理离散和连续问题等优点，适 用于滑模变结构控制的优化问题。
在滑模控制器优化中，模拟退火算法 可以用于优化滑模面的设计、滑模控 制器的参数等，提高滑模控制器的性 能和鲁棒性。
滑模控制器稳定性的分析方法
滑模控制器稳定性的分析方法包括基于 Lyapunov函数的方法、基于Razumikhin函数的 方法等。
滑模控制器稳定性的判定准则
滑模控制器稳定性的判定准则包括Lyapunov稳 定性定理、Razumikhin稳定性定理等。
03
CATALOGUE
滑模变结构控制的优化方法
基于遗传算法的滑模控制器优化
1
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法， 通过模拟基因突变、交叉和选择等过程，寻找最 优解。
2
在滑模控制器优化中，遗传算法可以用于优化滑 模面的设计、滑模控制器的参数等，提高滑模控 制器的性能和鲁棒性。
3
遗传算法具有全局搜索能力强、能够处理多变量 和非线性问题等优点，适用于滑模变结构控制的 优化问题。
案例分析
通过具体案例分析，深入了解滑模控制器在 实际应用中的优势和不足。
滑模变结构控制基础
2.1.3 系统结构定义 系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，
称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
可编辑ppt
4
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快
速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统 在线辨识、物理实现简单。
s(x)>0
A
B
C
s(x)<0
s(x)=0
可编辑ppt
10
2.3.1 右端不连续微分方程
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状 态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此 时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模 态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动 模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这 一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
可编辑ppt
3
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.2 滑动模态定义
人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为 滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源 于此。
2.1.5 滑模控制缺点 当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
可编辑ppt
5
2.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代：
前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。
称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它 有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
可编辑ppt
4
2.1 滑模变结构控制简介
2.1.4 滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快
速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统 在线辨识、物理实现简单。
s(x)>0
A
B
C
s(x)<0
s(x)=0
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2.3.1 右端不连续微分方程
若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状 态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此 时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模 态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动 模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这 一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：
所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为 了突出变结构这个特点，本书统称为滑模变结构控制。
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2.1 滑模变结构控制简介
2.1.2 滑动模态定义
人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系 统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为 滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源 于此。
2.1.5 滑模控制缺点 当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模
态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点， 从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
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5
2.2 滑模变结构控制发展历史
20世纪50年代：
前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控 制的概念，研究对象：二阶线性系统。
滑模控制
滑模变结构理论一、引言滑模变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制,其非线性表现为控制的不连续性,这种控制策略与其它控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定,而是可以在动态过程中根据系统当前的状态(如偏差及其各阶导数等)有目的地不断变化,迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。
由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关,这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辩识,物理实现简单等优点。
该方法的缺点在于当状态轨迹到达滑模面后,难于严格地沿着滑模面向着平衡点滑动,而是在滑模面两侧来回穿越, 从而产生颤动。
滑模变结构控制出现于20世纪50年代,经历了 50余年的发展,已形成了一个相对独立的研究分支,成为自动控制系统的一种一般的设计方法。
以滑模为基础的变结构控制系统理论经历了 3个发展阶段.第1阶段为以误差及其导数为状态变量研究单输入单输出线性对象的变结构控制; 20世纪60年代末开始了变结构控制理论研究的第2阶段, 研究的对象扩大到多输入多输出系统和非线性系统;进入80年代以来, 随着计算机、大功率电子切换器件、机器人及电机等技术的迅速发展, 变结构控制的理论和应用研究开始进入了一个新的阶段, 所研究的对象已涉及到离散系统、分布参数系统、滞后系统、非线性大系统及非完整力学系统等众多复杂系统, 同时,自适应控制、神经网络、模糊控制及遗传算法等先进方法也被应用于滑模变结构控制系统的设计中。
二、基本原理带有滑动模态的变结构控制叫做滑模变结构控制(滑模控制)。
所谓滑动模态是指系统的状态被限制在某一子流形上运动。
通常情况下,系统的初始状态未必在该子流形上,变结构控制器的作用在于将系统的状态轨迹于有限时间内趋使到并维持在该子流形上,这个过程称为可达性。
系统的状态轨迹在滑动模态上运动并最终趋于原点,这个过程称为滑模运动。
滑模运动的优点在于,系统对不确定参数和匹配干扰完全不敏感。
下图简要地描述了滑模变结构控制系统的运动过程,其中S(t)为构造的切换函数(滑模函数), S(t)=0为滑模面。
第5章_滑模变结构控制
面坐标原点是不稳定的节点。
2
(1) 当 > 4 微分方程有一对共轭复特征值，其实部为正
数，相平面坐标原点是不稳定的焦点。
1,2
2
2
4
5.2 滑模变结构控制的理论基础
极点分布 奇点 相迹图
极点分布 奇点 相迹图
中心点
鞍点
稳定的 焦点
稳定的 节点
不稳定 的焦点
不稳定 的节点
5.2 滑模变结构控制的理论基础
x n u m t
我们需要确定切换函数向量 s(x)， s ，并m且寻求变结构控制
u
i
(x)
u u
i
i
(x), (x),
当si (x) 0 当si (x) 0
这里变结构体现在 u (x) 。u (x)
从定义中可以看出，设计变构控制的基本步骤，它包括两个相对部分，即
寻求切换函数s(x)和寻求 u。 (x)
5.2 滑模变结构控制的理论基础
• 5.2.2 变结构控制的特性和特点
1）设计反馈u(x)，限定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超 平面S或更一般地一个流形s(x)=0上。选择这样的s(x)，使得其上的 运动是渐进稳定的。
2）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算 法的在线实现都非常有利。
存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难。为此，我们再考虑选取切换线为
x=0及
，
s x& cx
c
） (0,
2
2
4
5.2 滑模变结构控制的理论基础
s=0两侧的相轨线都引向切换线s=0。因此，状态轨线一旦到达此直线 上，就沿着此直线收敛到原点，这种沿s=0滑动至原点的特殊运动称之为 滑动模。直线s=0称之为切换线或切换流形（switching manifold）， 相应的函数称之为切换函数。在滑动模下，系统的运动规律由简单的微分
2
(1) 当 > 4 微分方程有一对共轭复特征值，其实部为正
数，相平面坐标原点是不稳定的焦点。
1,2
2
2
4
5.2 滑模变结构控制的理论基础
极点分布 奇点 相迹图
极点分布 奇点 相迹图
中心点
鞍点
稳定的 焦点
稳定的 节点
不稳定 的焦点
不稳定 的节点
5.2 滑模变结构控制的理论基础
x n u m t
我们需要确定切换函数向量 s(x)， s ，并m且寻求变结构控制
u
i
(x)
u u
i
i
(x), (x),
当si (x) 0 当si (x) 0
这里变结构体现在 u (x) 。u (x)
从定义中可以看出，设计变构控制的基本步骤，它包括两个相对部分，即
寻求切换函数s(x)和寻求 u。 (x)
5.2 滑模变结构控制的理论基础
• 5.2.2 变结构控制的特性和特点
1）设计反馈u(x)，限定是变结构的，它能将系统的运动引导到一个超 平面S或更一般地一个流形s(x)=0上。选择这样的s(x)，使得其上的 运动是渐进稳定的。
2）滑动模相轨迹限制在维数低于原系统的子空间内，对离线分析和算 法的在线实现都非常有利。
存在扰动时，这种参数方法就显得相当困难。为此，我们再考虑选取切换线为
x=0及
，
s x& cx
c
） (0,
2
2
4
5.2 滑模变结构控制的理论基础
s=0两侧的相轨线都引向切换线s=0。因此，状态轨线一旦到达此直线 上，就沿着此直线收敛到原点，这种沿s=0滑动至原点的特殊运动称之为 滑动模。直线s=0称之为切换线或切换流形（switching manifold）， 相应的函数称之为切换函数。在滑动模下，系统的运动规律由简单的微分
滑模变结构控制基础
滑模控制优点
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
滑模控制缺点
2.1 滑模变结构控制简介
01
02
03
20世纪60年代：
20世纪50年代：
1977年：
2.2 滑模变结构控制发展历史
1
2
在切换面上的运动点有3种情况。 (1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起点，如图中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点C所示。
（）
（）
（）
为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌，下面简述一个二阶系统例子。
二阶系统用相平面方法进行研究，可以获得系统的全部的动力学特性。继电系统，以及更一般的分区线性化方法，实际上已蕴含着变结构控制的概念。
特别有吸引力的是系统的结构可以有一个或两个本身是不稳定的，但通过适当切换，组成一个滑模变结构系统，可以赋予它良好的动态特性（第一章介绍的例子）。二阶系统的分区线性化相平面方法、继电系统的滑动运动等促成了滑模变结构控制理论的产生。
滑动模态定义
系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
系统结构定义
2.1 滑模变结构控制简介
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。
当状态轨迹到达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振——滑模控制实际应用中的主要障碍。
滑模控制缺点
2.1 滑模变结构控制简介
01
02
03
20世纪60年代：
20世纪50年代：
1977年：
2.2 滑模变结构控制发展历史
1
2
在切换面上的运动点有3种情况。 (1)常点——状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所示。 (2)起点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起点，如图中点B所示。 (3)止点——状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点C所示。
（）
（）
（）
为了尽快使大家有关于滑模变结构控制系统的概貌，下面简述一个二阶系统例子。
二阶系统用相平面方法进行研究，可以获得系统的全部的动力学特性。继电系统，以及更一般的分区线性化方法，实际上已蕴含着变结构控制的概念。
特别有吸引力的是系统的结构可以有一个或两个本身是不稳定的，但通过适当切换，组成一个滑模变结构系统，可以赋予它良好的动态特性（第一章介绍的例子）。二阶系统的分区线性化相平面方法、继电系统的滑动运动等促成了滑模变结构控制理论的产生。
滑动模态定义
系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它有几种(组)不同数学表达式表达的模型。
系统结构定义
2.1 滑模变结构控制简介
滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。
滑模变结构控制
滑模变结构控制简介变结构控制(VSC: Variable Structure Control)本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不持续性，这种控制策殆与其它控制的不同的地方在于系统的“结构”并非固定，而是能够在动态进程中，按照系统当前的状态(如误差及其各阶导数等)，有目的地不断转变，迫使系统依照预定“滑动模态”的状态轨迹运动，所以又常称变结构控制为滑动模态控制(SMC: Sliding Mode Control),即滑模变结构控制。
由于滑动模态能够进行设计且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参教转变及扰动不灵敏、无雷系统在线辩识，物理实现简单等长处。
该方式的缺点在于当状态轨迹抵达滑模面后，难于严格地沿着滑面向着平衡点滑动，而是在滑模面双侧来回穿越，从而产生哆嗦。
变结构控制出现于50年代，经历了4()余年的进展，已形成了一个相对独立的研究分支，成为自动控制系统的一种一般的设计方式，适用于线性与非线性系统、持续与离散系统、肯定性与不肯定性系统、集中参数与散布参数系统、集中控制与分散控制等。
而且在实际工程中逐渐取得推行应用，如电机与电力系统控制、机械人控制、飞机控制、卫星姿态控制等尊。
这种控制方式通过控制長的切换使系统状态沿薈滑模面滑动，使系统在受到参数摄动和外干扰的时候具有不变性，正是这种特性使得变结构控制方式受到各国学者的重视。
变结构控制进展历史变结构控制的迸展进程大致可分为三个阶段：(1)1957-1962 年此阶段为研究的低级阶段。
前苏联的学者Utkin和Emelyanov在五十年代提出丁变结构控制的槪念，大体研究对象为二阶线性系统。
(2)1962-1970 年六十年代，学者开始针对高阶线性系统进行研究，但仿然限于单输入单输出系统。
主要讨论丁高阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限良二次型切换函数的情形。
(3)1970年以后在线性空间上研究线性系统的变结构控制。
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由此得到了一个等价的系统及最优指标：
~ A *~ ~ x 11 x1 A 12 x2 T J (~ x1 Q *11 ~ x1 V T Q22V )dt 0
式中， Q11 Q11 Q12Q22 Q21 , A11 A11 A12Q22 Q12
1 1 1 T ~ Q22 A12 Px1 Q22 Q21 ~ x1 ~ x2
4
整理后得
T ( A11 P Q21 ) ~ x1 Q22 ~ x2 0
上式正是切换面
~ [C1C2 ] X 0
这样我们就完全确定了阵 C：
T C ( A12 P Q21 ), Q22
u ( x) u L ( x) u N ( x) u L ( x) Lx, u N
可以看到： （1） u L Lx 是一线性反馈，它将改变系统（1-16）的动力学，即 S 0 以外部分的运动 过程。因为 S 0 以外系统是连续系统，没有什么切换面、滑动模态，用 Lx 改变其性能正像线 性系统中所研究的状态反馈一样。 （2）变结构控制
因为取 u 的范数式（1-17）给出
u
故称这种控制为单位向量控制。
Cx Cx
1
现在来个说明系统（1-16）在控制（1-17）下，当 x S 0 时，系统是连续系统，不存在滑动
5
模态，而在 S 0 上才是滑动模态区。 我们的任务是寻求控制，包括确定矩阵 C，使得： （1）任一轨线均到达 S 0 ； （2） S 0 存在良 好的滑动模态。 控制（1-17）的确能生成变结构控制使得 S 0 上有滑动模态区，而 S 0 外没有，从而可能形成 最终滑动模态控制，但是要满足上述两个条件往往是不够的，应该再增加一线性控制部分， 令
现在阵 C 是完全确定的，当然前提是我们认为阵 Q 已完全给定了。
（2）滑动模态控制器的设计
这里采用最终滑动模态控制器， 在最终滑动模态控制中， 系统状态从任一初始值出发一直到 进入最终滑模区域 S0 之前都不发生滑模运动，只有在进入最终滑动模态区域 S0 之后，才发 生滑模运动。这种控制的优点是除区域 S0 之外，系统控制都是连续的，从而使控制器的分 析与设计都十分简单。下面介绍一种最常用的最终滑动模态控制——单位向量控制。 考虑多输入系统
设式（1-5）的二次型最优化指标为
（1-11）
3
J ~ x T Q~ x dt t1
（1-12）
T
这里没有对能量提出要求，积分指标中去掉了 u Ru 项 式中， Q 示：
Q11Q12 正定，且 Q11 及 Q12 非奇，Q12=Q21，将式（1-12）的被积函数作分块表 Q21Q22
1
Cx Cx
（1-19）
利用式（1-3）的等效控制法，取 L (CB ) CA ，则 u L ( x) 就是等效控制 ueq ，由此上式可 写成
u ( x) (CB ) 1 CAx K ( x, t )
选取李亚普诺夫函数
Cx Cx
（1-20）
V ( x)
1 T s s 2
（1-21）
* * 1 1
（1-13）
式（1-13）形成了一个典型的二次型指标最优控制问题。 如果 ( A11 , A12 ) 可控，Q 正定，则 Q22 及 Q11 正定，由此最优控制问题（1-13）有解，存在唯 一的最优控制，此解为
1 T ~ V Q22 A12 Px1 * *
（1-14）
其中 P 是黎卡提代数方程
最终滑动模态的一个很大的优点是：不连续控制可以连续化以消除自振（抖振） ，效果是很 好的。
4.系统设计及仿真
考虑下面的简单二阶系统
x 0.25 x u x
状态空间方程可表示为
（1-24）
1 x2 x 2 0.25 x1 x2 u x
为设计最优切换函数，选取下面的优化指标
J
1 T x (t0 ) P (t0 ) x(t0 ) 2
T
对状态完全可观的系统，如果 Q 可以分解为 Q S S ，且（A,S）可观，那么最优控制存在， 并且闭环系统是渐进稳定的。 设系统已表示为式（1-5） ，滑模方程为
~ A ~ ~ x 11 x1 A 12 x2 ~ ~ s C1 x1 C2 x2 0
对上式微分，并利用式（1-2） ，得到
( x) s T s s T CAx s T CBu V
（1-22）
6
将式（1-20）代入上式得
( x) K ( x, t )CB s 0 V s
即当 K ( x, t )CB 0 时，就能实现稳定的滑模运动。
2
（1-23）
其中 ~ x1 R
nm
(1-5)
,~ x2 R m ， B2 为 m m 可逆方阵。
0 T 1 B B2
（1-6）
A A T 1 AT 11 12 , A21 A22
注：对系统进行非奇异线性变换 x
~ T~ x ，目的在于使 A 阵规范化，以便于揭示系统特性及分析计算，并
1 V Q22 Q21 ~ x1 ~ x2
1 T 1 ~ x T Q~ x~ x1T Q11 ~ x1 (V Q22 Q21 ~ x1 )T Q21 ~ x1 ~ x1 Q12 (V Q22 Q21 ~ x1 ) 将（1-12）化为： 1 1 * (V Q Q ~ x )T Q (V Q Q ~ x )~ xTQ ~ x V TQ V 22 21 1 22 22 21 1 1 11 1 22
滑模变结构控制系统的基本设计方法及抖振 王杨
1.滑模变结构控制系统的设计要求
对于多变量系统
Ax Bu, s Cx x x Rn , u Rm , s Rm
设计的基本要求是： （1）切换面存在滑动模态。 （2）所有的相轨线于有限时间内到达切换面。 （3）滑动模态渐进稳定，并具有良好的动态品质。
C ( F , I m )T 1
C 一旦确定了，切换函数也就确定了。
（1-10）
二次型性能指标最优化法 提示：线性二次型最优控制问题
[3]
给定连续定常系统的状态空间为 x' (t ) Ax(t ) Bu (t ) ,且 x(0) x0 ，最优控制的性能 指标函数为
J (u )
1 tf T ( x Qx u T Ru )dt t 2 0
（1-8）
从而滑模运动满足式（1-8）和下列降阶方程：
~ ~ A ~ x 1 11 x1 A 12 x2
（1-9）
于是线性系统的滑动模可是为是由式（1-9）描述且具有反馈式（1-8）的 n-m 维子系统， 从而可根据通常的线性反馈设计方法（如极点配置、最优化方法、特征矢量配置及几何方法
2
等）确定反馈系数矩阵 F，不失一般性，取 C2 I m ，因此
Ax Bu, s Cx, x R n , u R m , s R m x
单位向量控制可表示为
（1-16）
u
其中 表示模或范数。 记子空间
Cx Cx
(1-17)
S 0 x | Cx 0
显然有
Cx , 当x S 0 u Cx 不确定，当x S 0
2.设计变结构控制的基本步骤
它包括两个相对独立的部分： （1）寻求切换函数 s（x） ，现在为求上式中的矩阵 C，使它所确定的滑动模态渐进稳 定且有良好的品质， （2）寻求 u ( x) ，即变结构控制，使到达条件得到满足，从而使切换面上布满止点， 形成滑动模态区。 一旦切换函数 s （x） 和变结构控制 u ( x) 都得到了， 变结构控制系统就完全建立起来了。
（1-3）
x [ I B (CB ) 1 C ] Ax s Cx 0
设 rankB=m，故存在非奇异线性变换 x T~ x ，使得式（1-1）化为下列形式：
（1-4）
A A ~ ~ x x1 0 1 11 12 ~ ~ A21 A22 x2 x B2 2
3.滑模变结构控制系统的设计
（1）切换函数的设计 极点配置法
首先系统做基本假设：[2] （1）A,B 可控； （2）CB 为非奇 m m 方阵 对于线性系统
Ax Bu, x R n , u R m x
（1-1）
1
由等效控制方法可知
Cx CAx CBu 0 s
* * 1 T * PA11 A11 P PA12Q22 A12 P Q11 0 T
的解。 于是我们得到了优化的最终滑动模态的运动微分方程
~ ( A* A Q 1 AT P ) ~ x x1 1 11 12 22 12
T * *
(1-15)
并且可证明当 D D Q11 及 ( D, A11 ) 为可观对时， P 为正定， 而且滑模运动方程必渐进稳定。 将 V Q22 Q21 ~ x1 ~ x2 代入式（1-14）后得
不会改变系统的原有性质，故称为等价变换。
由线性系统理论可知（A，B）能控， ( A11 , A12 ) 必是能控的。 相应的切换面变为
s CT~ x C1 ~ x1 C2 ~ x2 0
其中 C2 为可逆方阵，在切换面上有
1 ~ x2 C2 C1 ~ x1 F~ x1
（1-7）
提示：
（1-2）
等效控制法是最早提出的补充确定不连续微分方程在不连续面上的定义的方法， 这个方 法的概念很简单的，即寻找一种控制，用来强迫系统在切换面上运动，就是说，在这种控制 的系统的运动，正好是切换面上的滑动模态的运动，所以常称它为等效控制。 可求得